1 круг дефиниција лак на круг централен агол. Впишани и ограничени кругови. Централни и впишани агли

Нека
- произволна точка на елипсата. Ние имаме:
,
. Од дефиницијата за елипса

, (1.29)

или - потребната равенка на елипсата, што е незгодно да се користи. Од последното равенство произлегува дека .Откако
, тогаш можеме да ги квадратиме двете страни на равенката и по еквивалентни трансформации добиваме:
. Оттука,. Ајде да воведеме нова променлива
. Ние имаме:
. Од оваа еднаквост произлегува дека

. (1.30)

Равенката (1.30) се нарекува канонска (наједноставна) равенка на елипсата. Оваа равенка е равенка од втор ред. Така, секоја точка од елипсата што ја задоволува равенката (1.29) ја задоволува и равенката (1.30). Да докажеме дека сите точки на рамнината чии координати ја задоволуваат равенката (1.30) се точки на елипса, односно нивните координати ја задоволуваат равенката (1.29).

За фокален радиус односот важи
. Од равенката (1.30) имаме:
. Затоа
, или
. Слично го наоѓаме тоа
. Оттука,
.

Елипсата е симетрична во однос на координатните оски, бидејќи содржи само парни сили И , и во однос на потеклото. Оските на симетрија на елипсата се нарекуваат нејзини оски, а центарот на симетрија е центарот на елипсата.

Елипсата ги пресекува координатните оски во точките
,
,
,
. Овие точки се нарекуваат темиња на елипсата. На
елипсата дегенерира во круг со радиус и центар на потеклото. Темињата на елипсата ги ограничуваат сегментите на должина на оските
И
, и
(ова произлегува од фактот дека
).

Количини И се нарекуваат главни и помали полуоски на елипсата, оските на елипсата се главната и малата оска, соодветно.

Дефиниција. Елипса ексцентричност се нарекува релација каде - половина од растојанието помеѓу фокусите, - полуглавна оска, т.е.

. (1.31)

Со оглед на тоа
, добиваме
. Бидејќи

, Тоа
. Ако
, т.е. елипсата се приближува до круг, тогаш
. Ако
, А не се стреми кон нула, тогаш елипсата е издолжена по главната оска. Така, ексцентричноста на елипсата ја карактеризира мерката на нејзиното издолжување долж главната оска.

Ако фокусите на елипсата
И
се наоѓа на оската на ординатите, тогаш во овој случај
а големата е оската на оската . Равенката на елипсата ја има и формата (1.30), но
, а неговата ексцентричност се пресметува со формулата
.

Пример 14.Напишете равенка за елипса чии фокуси лежат на оската x симетрично во однос на потеклото, знаејќи дека растојанието помеѓу нејзините фокуси
и ексцентричност
.

Решение.Половина од растојанието помеѓу фокусите
. Фокусите на елипсата се наоѓаат на оската x, така што полуглавната оска е . Од (1.31) следува дека
. Потоа. Така, равенката на елипсата ја има формата
.

Пример 15.Дадена е елипса
. Најдете ги неговите полуоски, фокуси, ексцентричност.

Решение.Да ја намалиме равенката на елипсата на канонска форма. За да го направите ова, поделете ги двете страни на равенката со 45, добиваме
. Така, нејзината полуоска
,
. Полуглавната оска е полуоската , затоа фокусите на елипсата се наоѓаат на оската на ординатите и

, затоа, фокусите се на точките
И
. Ексцентричноста на елипсата е еднаква на односот на половина од растојанието помеѓу фокусите до полуглавната оска, т.е.
.

Пример 16.Пресметајте ја плоштината на четириаголник
, два врва И кои лежат во фокусите на елипсата
, уште двајца И
се совпаѓаат со краевите на неговата помала оска.

Решение.Канонската равенка на елипсата има форма
, Затоа
,
. Според тоа, темињата на четириаголникот И
имаат соодветни координати
И
. Да ги најдеме координатите на темињата И . Бидејќи
, Тоа
,
. Добиениот четириаголник е симетричен во однос на координатните оски и во однос на потеклото на координатите , оттука,

.

Предавање: Круг и Круг

Заокружетее затворена крива, чиишто точки се на исто растојание од центарот.

ВО Секојдневниот животСте виделе круг повеќе од еднаш. Токму тоа го опишува часовникот и секундарната рака, а тоа е обликот на круг што го има обрачот за гимнастика.

Сега замислете дека сте нацртале круг на парче хартија и сте сакале да го обоите.

Значи, целиот украсен простор, ограничен со круг, е круг.

Центар е точката што е подеднакво оддалечена од сите точки на кругот. Центарот на кругот и кругот е означен со буквата О.

Радиус е растојанието од центарот до кругот (R).

Дијаметар е отсечка што минува низ центарот што ги поврзува сите точки на кругот (г). Покрај тоа, дијаметарот е еднаков на два радиуси: d = 2R.

Акорд е отсечка што поврзува две точки на круг. Дијаметарот е посебен случај на акорд.

За да го пронајдете обемот, треба да ја користите формулата:

л=2 πR

Забележете дека обемот и површината зависат само од радиусот на кругот.

Областа на круг може да се најде со помош на следнава формула:

С=πR 2.

Би сакал да го привлечам вашето внимание на бројот „Пи“. Оваа вредност е пронајдена со помош на круг. За да го направите ова, нејзината должина беше поделена на два радиуси и на тој начин беше добиен бројот „Пи“.

Ако кругот е поделен на некои делови со два радиуси, тогаш таквите делови ќе се нарекуваат сектори. Секој сектор има своја мерка степен - степенот мерка на лакот на кој се потпира.

За да ја пронајдете должината на лакот, треба да ја користите формулата:

2. Користење на радијанска мерка:

Ако темето на одреден агол лежи на центарот на кругот, а неговите зраци ја сечат кружницата, тогаш таков агол се нарекува централен.

Ако некои два акорда се сечат во одреден момент, тогаш нивните отсечки се пропорционални:

Оваа статија го содржи минималниот сет на информации за кругот потребни за успешно полагање на Единствен државен испитматематика.

Обем е збир на точки лоцирани на исто растојание од дадена точка, која се нарекува центар на кругот.

За која било точка што лежи на кругот, еднаквоста е задоволена (Должината на отсечката е еднаква на радиусот на кругот.

Се нарекува отсечка што поврзува две точки на круг акорд.

Акорд што минува низ центарот на кругот се нарекува дијаметар круг () .

Обем:

Површина на круг:

Лак на круг:

Се вика делот од кругот затворен помеѓу две точки лак кругови. Две точки на круг дефинираат два лака. Акордот подтегнува два лака: и . Еднакви акорди се наведнуваат еднакви лакови.

Аголот помеѓу два радиуси се нарекува централен агол :

За да ја пронајдеме должината на лакот, правиме пропорција:

а) аголот е даден во степени:

б) аголот е даден во радијани:

Дијаметар нормално на акорд , ја дели оваа акорд и лаците што ги потпира на половина:

Ако акорди И кругови се сечат во точка , тогаш производите на отсечките на акордот на кои се поделени со точка се еднакви еден на друг:

Тангента на круг.

Права која има една заедничка точка со круг се вика тангентадо кругот. Права линија со два круга заеднички точкиповикани секант

Тангента на круг е нормална на радиусот нацртан до точката на тангенција.

Ако две тангенти се нацртани од дадена точка до круг, тогаш тангентните отсечки се еднакви една на другаа центарот на кругот лежи на симетралата на аголот со темето во оваа точка:

Ако тангента и секанта се нацртани од дадена точка до кружница, тогаш квадратот на должината на тангента отсечка е еднаков на производот на целата секантна отсечка и нејзиниот надворешен дел :

Последица: производот на целата отсечка на една секанта и нејзиниот надворешен дел е еднаков на производот на целиот сегмент на друга секанта и нејзиниот надворешен дел:

Агли во круг.

Степенската мерка на централниот агол е степен меркалак на кој почива:

Се нарекува агол чие теме лежи на круг и чии страни содржат акорди впишан агол . Впишан агол се мери со половина од лакот на кој се потпира:

∠∠

Впишаниот агол подвижен со дијаметарот е правилен:

∠∠∠

Впишаните агли подвиткани со еден лак се еднакви :

Впишаните агли на една акорд се еднакви или нивниот збир е еднаков

∠∠

Темиња на триаголници со дадена основа и еднакви аглина темето лежат на истиот круг:

Агол помеѓу два акорда (агол со теме во круг) е еднаков на половина од збирот на аголните вредности на лаците на кругот содржани во даден агол и во вертикален агол.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Агол помеѓу две секнати (агол со теме надвор од кругот) е еднаков на полу-разликата на аголните вредности на лаците на кругот содржани во аголот.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Впишан круг.

Кругот се нарекува впишан во многуаголник , ако ги допира неговите страни. Центар на впишан круг лежи на пресечната точка на симетралите на аглите на многуаголникот.

Не секој многуаголник може да собере круг.

Плоштина на многуаголник во кој е впишан круг може да се најде со помош на формулата

тука е полупериметарот на многуаголникот и е радиусот на впишаната кружница.

Од тука впишан радиус на кругот еднакви

Ако кругот е впишан во конвексен четириаголник, тогаш збировите на должините на спротивните страни се еднакви . Спротивно на тоа: ако во конвексен четириаголник збирите на должините на спротивните страни се еднакви, тогаш во четириаголникот може да се впише круг:

Можете да впишете круг во кој било триаголник, и тоа само еден. Центарот на кружницата лежи на точката на пресек на симетралите на внатрешните агли на триаголникот.

Впишан радиус на кругот еднаква на . Еве

Ограничен круг.

Кругот се нарекува опишан за многуаголник , ако минува низ сите темиња на многуаголникот. Центарот на кружниот круг лежи на пресечната точка нормални симетралистрани на многуаголникот. Радиусот се пресметува како радиус на кругот опкружен со триаголникот дефиниран со кои било три темиња на дадениот многуаголник:

Круг може да се опише околу четириаголник ако и само ако збирот на неговите спротивни агли е еднаков на .

Околу секој триаголник можете да опишете круг, и тоа само еден. Нејзиниот центар лежи на точката на пресек на нормалните симетрали на страните на триаголникот:

Circumradiusпресметано со помош на формулите:

Каде се должините на страните на триаголникот и е неговата плоштина.

Птоломејова теорема

Во цикличен четириаголник, производот на дијагоналите е еднаков на збирот на производите на неговите спротивни страни:

Во оваа статија детално ќе ја разгледаме дефиницијата. круг со број, дознајте го неговото главно својство и распоредете ги броевите 1,2,3 итн. За тоа како да означите други броеви на кругот (на пример, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) разбира .

Круг со броеви наречен круг со единица радиус чии точки одговараат , распоредени според следејќи ги правилата:

1) Потеклото е во крајната десна точка на кругот;

2) Обратно од стрелките на часовникот - позитивна насока; во насока на стрелките на часовникот - негативен;

3) Ако растојанието \(t\) на кругот го нацртаме во позитивна насока, тогаш ќе дојдеме до точка со вредност \(t\);

4) Ако растојанието \(t\) на кругот го нацртаме во негативна насока, тогаш ќе дојдеме до точка со вредност \(–t\).

Зошто кругот се нарекува круг со број?
Затоа што има бројки на него. На овој начин, кругот е сличен на бројната оска - на кругот, како и на оската, има одредена точка за секој број.

Зошто да знаете што е круг со броеви?
Со помош на кругот на броеви, се одредуваат вредностите на синусите, косинусите, тангентите и котангентите. Затоа, за да знаете тригонометрија и да го положите обединетиот државен испит со 60+ поени, мора да разберете што е круг со броеви и како да поставите точки на него.

Што значат зборовите „...од единица радиус...“ во дефиницијата?
Ова значи дека радиусот на овој круг е еднаков на \(1\). И ако конструираме таков круг со центарот на почетокот, тогаш тој ќе се пресече со оските во точките \(1\) и \(-1\).

Не мора да се нацрта мало; можете да ја промените „големината“ на поделбите долж оските, тогаш сликата ќе биде поголема (видете подолу).

Зошто радиусот е точно еден? Ова е попогодно, бидејќи во овој случај, при пресметување на обемот со помош на формулата \(l=2πR\), добиваме:

Должината на кругот со броеви е \(2π\) или приближно \(6,28\).

Што значи „... чии точки одговараат на реални броеви“?
Како што беше кажано погоре, на бројот круг за било кој реален бројдефинитивно ќе има неговото „место“ - точка што одговара на овој број.

Зошто да се одреди потеклото и насоката на кругот со броеви?
главната целброј круг - секој број уникатно ја одредува својата точка. Но, како можете да одредите каде да ја ставите поентата ако не знаете од каде да броите и каде да се движите?

Тука е важно да не се меша потеклото на координатната линија и на кругот на броеви - ова се две различни системиодбројување! И, исто така, не мешајте \(1\) на оската \(x\) и \(0\) на кругот - ова се точки на различни објекти.

Кои точки одговараат на броевите \(1\), \(2\) итн.?

Запомнете, претпоставивме дека кругот на броеви има радиус од \(1\)? Ова ќе биде нашиот единичен сегмент (по аналогија со бројната оска), кој ќе го нацртаме на кругот.

За да означите точка на кругот со броеви што одговара на бројот 1, треба да отидете од 0 до растојание еднакво на радиусот во позитивна насока.

За да означите точка на кругот што одговара на бројот \(2\), треба да поминете растојание еднакво на два радиуси од потеклото, така што \(3\) е растојание еднакво на три радиуси итн.

Кога ја гледате оваа слика, може да имате 2 прашања:
1. Што се случува кога кругот „заврши“ (т.е. правиме целосна револуција)?
Одговор: одиме на вториот круг! И кога ќе заврши вториот, ќе одиме на третиот и така натаму. Според тоа, на круг може да се нацрта бесконечен број броеви.

2. Каде ќе бидат негативни броеви?
Одговор: токму таму! Тие исто така можат да се подредат, броејќи од нула потребниот број радиуси, но сега во негативна насока.

За жал, тешко е да се означат цели броеви на кругот со броеви. Ова се должи на фактот дека должината на кругот со броеви нема да биде еднаква на цел број: \(2π\). И на најзгодните места (на местата на пресек со оските) ќе има и фракции, а не цели броеви