И тие ги извлекоа своите корени од латинскиот збор „ratio“, што значи „разум“. Врз основа на буквалниот превод:
- Рационален број е „разумен број“.
- Ирационалниот број е, соодветно, „неразумен број“.
Општ концепт на рационален број
Рационален број е број што може да се запише како:
- Обична позитивна дропка.
- Негативна заедничка дропка.
- Како број нула (0).
Со други зборови, следните дефиниции важат за рационален број:
- Секој природен број е инхерентно рационален, бидејќи секој природен број може да се претстави како обична дропка.
- Секој цел број, вклучувајќи го и бројот нула, бидејќи секој цел број може да се напише или како позитивна обична дропка, како негативна обична дропка или како број нула.
- Секоја обична дропка, и не е важно дали е позитивна или негативна, исто така директно се приближува до дефиницијата за рационален број.
- Дефиницијата може да вклучува и мешан број, конечна децимална дропка или бесконечна периодична дропка.
Примери за рационални броеви
Ајде да погледнеме примери рационални броеви:
- Природни броеви - „4“, „202“, „200“.
- Цели броеви - „-36“, „0“, „42“.
- Обични дропки.
Од горенаведените примери сосема е очигледно дека рационалните броеви можат да бидат и позитивни и негативни. Секако, бројот 0 (нула), кој пак е исто така рационален број, во исто време не спаѓа во категоријата позитивен или негативен број.
Од тука сакам да потсетам општообразовна програмакористејќи ја следнава дефиниција: „Рационални броеви“ се оние броеви што можат да се напишат како дропка x/y, каде што x (броител) е цел број, а y (именителот) е природен број.
Општ концепт и дефиниција на ирационален број
Покрај „рационалните броеви“, ги знаеме и таканаречените „ирационални броеви“. Ајде накратко да се обидеме да ги дефинираме овие бројки.
Дури и античките математичари, сакајќи да ја пресметаат дијагоналата на квадрат по неговите страни, дознале за постоењето на ирационален број.
Врз основа на дефиницијата за рационални броеви, можете да изградите логичен синџир и да дадете дефиниција за ирационален број.
Значи, во суштина, оние реални броеви кои не се рационални се едноставно ирационални броеви.
Децималните дропки, кои изразуваат ирационални броеви, не се периодични и бесконечни. 
Примери за ирационален број
За јасност, да разгледаме мал пример на ирационален број. Како што веќе разбравме, бесконечните децимални непериодични дропки се нарекуваат ирационални, на пример:
- Бројот „-5.020020002... (јасно се гледа дека двојките се одделени со низа од една, две, три итн. нули)
- Бројот „7.040044000444... (тука е јасно дека бројот на четири и бројот на нули се зголемува за една секој пат во синџир).
- Секој го знае бројот Пи (3.1415...). Да, да - тоа е исто така ирационално.
Општо земено, сите реални броеви се и рационални и ирационални. Зборувајќи со едноставни зборови, ирационален број не може да се претстави како заедничка дропка x/y.
Општ заклучок и кратка споредба меѓу бројките
Го разгледавме секој број посебно, но разликата помеѓу рационален и ирационален број останува:
- Ирационален број се јавува при извлекување на квадратниот корен, кога се дели круг со неговиот дијаметар итн.
- Рационалниот број претставува заедничка дропка.
Ајде да ја завршиме нашата статија со неколку дефиниции:
- Аритметичка операција извршена на рационален број, освен делењето со 0 (нула), на крајот ќе доведе до рационален број.
- Конечниот резултат, кога се изведува аритметичка операција на ирационален број, може да доведе и до рационална и до ирационална вредност.
- Ако двата броја учествуваат во аритметичка операција (освен за делење или множење со нула), тогаш резултатот ќе биде ирационален број.
Дропка m/nќе го сметаме за нередуциран (на крајот на краиштата, редуцираната дропка секогаш може да се сведе на нередуцирана форма). Со квадратирање на двете страни на еднаквоста, добиваме м^2=2n^ 2. Од тука заклучуваме дека m^2, а по ова бројот м- дури. тие. м = 2к. Затоа м^2 = 4к^2 и затоа 4 к^2 =2n^2 или 2 к^2 = n^2. Но, тогаш излегува дека nИсто така парен број, но ова не може да биде, бидејќи дропката m/nненамалување. Се појавува контрадикторност. Останува да се заклучи: нашата претпоставка е неточна и рационалниот број m/n, еднакво на √2, не постои“.
Тоа е сиот нивен доказ.
Критичка оценка на доказите на античките Грци
Но…. Да го погледнеме овој доказ за античките Грци донекаде критички. А ако сте повнимателни во едноставната математика, тогаш во неа можете да го видите следново:
1) Во рационалниот број што го усвоиле Грците m/nброеви мИ n- цела, но непознат(без разлика дали тие дури, дали тие чудно). И така е! А за некако да се воспостави каква било зависност меѓу нив, потребно е точно да се одреди нивната цел;
2) Кога древните одлучиле дека бројот м– дури, тогаш во еднаквоста што ја прифатија м = 2ктие (намерно или од незнаење!) не го окарактеризираа баш „правилно“ бројот „ к " Но, еве го бројот к- Ова целина(ЦЕЛА!) и сосема познатиброј кој сосема јасно го дефинира она што е пронајдено дуриброј м. И не биди вака пронајденброеви" к„старите не можеа во иднина“ употреба“ и број м ;
3) А кога од еднаквост 2 к^2 = n^2 античките го добиле бројот n^2 е парен, а во исто време n– дури, тогаш би морале не брзајсо заклучок за „ противречноста што се појави“, но подобро е да се увериме во максимумот точностприфатени од нив“ избор» броеви » n ».
Како можеа да го направат ова? Да, едноставно!
Погледнете: од еднаквоста што ја добија 2 к^2 = n^2 лесно може да се добие следнава еднаквост к√2 = n. И тука нема ништо за осуда - на крајот на краиштата, тие добија од еднаквоста m/n=√2 е друга еднаквост адекватна за тоа м^2=2n^2! И никој не им противречи!
Но, во новата еднаквост к√2 = nза очигледни ЦЕЛИ БЕРИ кИ nјасно е дека од него Секогаш добиј го бројот √2 - рационален . Секогаш! Затоа што содржи бројки кИ n- познати ЦЕЛИ!
Но, така што од нивната еднаквост 2 к^2 = n^2 и, како последица на тоа, од к√2 = nдобиј го бројот √2 - ирационален (како тоа " посака„старите Грци!), тогаш е неопходно да се има во нив, најмалку , број " к„како не цела (!!!) бројки. А токму тоа го немале античките Грци!
Оттука и ЗАКЛУЧОК: горенаведениот доказ за ирационалноста на бројот √2, направен од античките Грци пред 2400 години, е искрено погрешно и математички неточно, да не речам грубо - едноставно е лажен .
Во малата брошура F-6 прикажана погоре (види слика погоре), издадена во Краснодар (Русија) во 2015 година со вкупен тираж од 15.000 примероци. (очигледно со спонзорска инвестиција) е даден нов, крајно коректен од математичка гледна точка и крајно точен ] доказ за нерационалноста на бројот √2, што можеше да се случи одамна да немаше тешко " наставникн“ кон проучувањето на антиквитетите на историјата.
Самиот концепт на ирационален број е структуриран на таков начин што тој е дефиниран преку негација на својството „да се биде рационален“, затоа доказот со контрадикција е најприроден овде. Сепак, можно е да се понуди следното резонирање.
Како рационалните броеви суштински се разликуваат од ирационалните броеви? Двата од нив може да се приближат со рационални броеви со која било точност, но за рационалните броеви постои приближување со точност „нула“ (по самиот овој број), но за ирационални броеви тоа веќе не е случај. Ајде да се обидеме да „играме“ на ова.
Пред сè, да го забележиме овој едноставен факт. Нека $%\alpha$%, $%\beta$% се два позитивни броеви кои се приближуваат еден со друг со точност од $%\varepsilon$%, односно $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$% . Што се случува ако броевите ги замениме со нивните инверзни? Како ќе се промени точноста? Лесно е да се види дека $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ алфа\ бета), $$ што ќе биде строго помало од $%\varepsilon$% за $%\alpha\beta>1$%. Оваа изјава може да се смета како независна лема.
Сега да поставиме $%x=\sqrt(2)$%, и нека $%q\in(\mathbb Q)$% е рационална апроксимација на бројот $%x$% со точност од $%\varepsilon$ %. Знаеме дека $%x>1$%, а во однос на приближувањето $%q$% ја бараме нееднаквоста $%q\ge1$%. Сите броеви помали од $%1$% ќе имаат полоша точност на приближување од самиот $%1$% и затоа нема да ги разгледуваме.
На секој од броевите $%x$%, $%q$% додаваме $%1$%. Очигледно, точноста на приближување ќе остане иста. Сега ги имаме броевите $%\alpha=x+1$% и $%\beta=q+1$%. Се движи кон реципрочни броевии применувајќи ја „лемата“, ќе дојдеме до заклучок дека нашата точност на приближување е подобрена, станувајќи строго помала од $%\varepsilon$%. Го исполнивме бараниот услов $%\alpha\beta>1$% дури и со маржа: всушност, знаеме дека $%\alpha>2$% и $%\beta\ge2$%, од кои можеме да заклучиме таа точност се подобрува најмалку $%4$% пати, односно не надминува $%\varepsilon/4$%.
И тука е главната поента: според условот, $%x^2=2$%, односно $%x^2-1=1$%, што значи дека $%(x+1)(x- 1)=1$%, односно, броевите $%x+1$% и $%x-1$% се инверзни еден на друг. Ова значи дека $%\alpha^(-1)=x-1$% ќе биде приближување на (рационалниот) број $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% со точност строго помалку $%\varepsilon$%. Останува да се додаде $%1$% на овие бројки и излегува дека бројот $%x$%, односно $%\sqrt(2)$%, има нова рационална апроксимација еднаква на $%\beta ^(- 1)+1$%, односно $%(q+2)/(q+1)$%, со „подобрена“ точност. Ова го комплетира доказот, бидејќи за рационалните броеви, како што забележавме погоре, постои „апсолутно точна“ рационална апроксимација со точност од $%\varepsilon=0$%, каде што точноста, во принцип, не може да се зголеми. Но, успеавме да го направиме ова, што зборува за ирационалноста на нашите бројки.
Всушност, ова расудување покажува како да се конструираат специфични рационални приближувања за $%\sqrt(2)$% со постојано подобрување на точноста. Прво мора да ја земеме приближноста $%q=1$%, а потоа да ја примениме истата формула за замена: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Овој процес го произведува следново: $1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ и така натаму.
Што се ирационални броеви? Зошто се нарекуваат така? Каде се користат и што се тие? Малкумина можат да одговорат на овие прашања без размислување. Но, всушност, одговорите на нив се прилично едноставни, иако не им се потребни на сите и тоа во многу ретки ситуации
Суштина и ознака
Ирационалните броеви се бесконечни непериодични броеви.Потребата од воведување на овој концепт се должи на фактот што за решавање на новите проблеми што се појавуваат веќе не беа доволни досегашните концепти на реални или реални, цели, природни и рационални броеви. На пример, за да се пресмета која количина е квадрат од 2, потребно е да се користи непериодичен бесконечно децимали. Покрај тоа, многу едноставни равенки исто така немаат решение без да се воведе концептот на ирационален број.
Ова множество е означено како I. И, како што е веќе јасно, овие вредности не можат да се претстават како едноставна дропка, чиј броител ќе биде цел број, а именителот ќе биде
За прв пат, вака или онака, индиските математичари се сретнале со овој феномен во VII век кога било откриено дека квадратните корени на некои количини не можат експлицитно да се наведат. И првиот доказ за постоењето на такви броеви му се припишува на Питагорејот Хипас, кој го направил тоа во процесот на проучување на рамнокрак правоаголен триаголник. Некои други научници кои живееле пред нашата ера дадоа сериозен придонес во проучувањето на оваа група. Воведувањето на концептот на ирационални броеви повлекува ревизија на постоечкиот математички систем, поради што тие се толку важни.
потеклото на името
Ако односот преведен од латински е „фракција“, „сооднос“, тогаш префиксот „ir“
го дава овој збор спротивно значење. Така, името на множеството од овие броеви покажува дека тие не можат да бидат во корелација со цел број или дропка и да имаат посебно место. Ова произлегува од нивната суштина.
Место во генералниот пласман
Ирационалните броеви, заедно со рационалните броеви, припаѓаат на групата реални или реални броеви, кои пак припаѓаат на сложени броеви. Нема подмножества, но има алгебарски и трансцендентални сорти, за кои ќе се дискутира подолу.
Својства
Бидејќи ирационалните броеви се дел од множеството реални броеви, за нив важат сите нивни својства што се изучуваат аритметички (тие се нарекуваат и основни алгебарски закони).
a + b = b + a (комутативност);
(а + б) + в = а + (б + в) (асоцијативност);
a + (-a) = 0 (постоење на спротивниот број);
ab = ba (комутативен закон);
(ab)c = a(bc) (дистрибутивноста);
a(b+c) = ab + ac (закон за распределба);
a x 1/a = 1 (постоење на реципрочен број);
Споредбата се врши и во согласност со општите закони и принципи:
Ако a > b и b > c, тогаш a > c (преодност на релацијата) и. итн.
Се разбира, сите ирационални броеви можат да се претворат со помош на основна аритметика. Нема посебни правила за ова.
Покрај тоа, аксиомата на Архимед се однесува на ирационални броеви. Тој наведува дека за било кои две величини a и b, точно е дека ако го земете a како член доволно пати, може да го надминете b.
Употреба
И покрај фактот што не ги среќавате многу често во секојдневниот живот, ирационалните броеви не можат да се избројат. Ги има во огромен број, но тие се речиси невидливи. Ирационалните броеви се насекаде околу нас. Примери кои се познати на сите се пи, што е 3,1415926..., или e, што во суштина е основата природен логаритам, 2,718281828... Во алгебрата, тригонометријата и геометријата тие мора постојано да се користат. Патем, познатото значење на „златниот пресек“, односно односот и на поголемиот дел и на помалиот дел и обратно, исто така.
припаѓа на овој сет. Помалку познатиот „сребрен“ исто така.
На нумеричката линија тие се наоѓаат многу густо, така што помеѓу кои било две величини класифицирани како рационални, сигурно ќе се појави ирационална.
Сè уште има многу нерешени проблеми поврзани со овој сет. Постојат критериуми како мерката за ирационалност и нормалноста на некој број. Математичарите продолжуваат да ги проучуваат најзначајните примери за да утврдат дали припаѓаат на една или друга група. На пример, се верува дека e е нормален број, т.е. веројатноста за појава на различни цифри во неговата нотација е иста. Што се однесува до пи, истражувањето сè уште е во тек во врска со тоа. Мерката за ирационалност е вредност која покажува колку добро даден број може да се приближи со рационални броеви.
Алгебарски и трансцендентални
Како што веќе споменавме, ирационалните броеви се конвенционално поделени на алгебарски и трансцендентални. Условно, бидејќи, строго кажано, оваа класификација се користи за поделба на множеството В.
Оваа ознака крие сложени броеви, кои вклучуваат реални или реални броеви.
Значи, алгебарската е вредност што е корен на полином што не е идентично еднаков на нула. На пример, Квадратен коренод 2 би спаѓал во оваа категорија бидејќи е решение на равенката x 2 - 2 = 0.
Сите други реални броеви кои не го задоволуваат овој услов се нарекуваат трансцендентални. Оваа сорта ги вклучува најпознатите и веќе споменатите примери - бројот пи и основата на природниот логаритам e.
Интересно е што ниту едното ниту другото првично не биле развиени од математичарите во овој капацитет; нивната ирационалност и трансцендентност биле докажани многу години по нивното откритие. За пи, доказот бил даден во 1882 година и поедноставен во 1894 година, со што завршила 2.500-годишната дебата за проблемот со квадратурата на кругот. Сè уште не е целосно проучено, па современите математичари имаат на што да работат. Патем, првата прилично точна пресметка на оваа вредност ја изврши Архимед. Пред него сите пресметки беа премногу приближни.
За e (бројот на Ојлер или Напиер), доказ за неговата трансценденција е пронајден во 1873 година. Се користи при решавање на логаритамски равенки.
Други примери ги вклучуваат вредностите на синус, косинус и тангента за која било алгебарска ненулта вредност.
Разбирање на бројките, особено природни броеви, е една од најстарите математички „вештини“. Многу цивилизации, дури и модерните, им припишуваат одредени мистични својства на бројките поради нивната огромна важност во опишувањето на природата. Иако модерната наукаа математиката не ги потврдува овие „магични“ својства, важноста на теоријата на броеви е непобитна.
Историски гледано, најпрво се појавија различни природни броеви, а потоа прилично брзо им беа додадени дропки и позитивни ирационални броеви. По овие подмножества од множеството беа воведени нула и негативни броеви реални броеви. Последен сет, сет сложени броеви, се појави само со развојот на модерната наука.
ВО модерна математикабројките не се внесени по историски редослед, иако доста блиску до него.
Природни броеви $\mathbb(N)$
Множеството на природни броеви често се означува како $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, и често е пополнето со нула за да означи $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ ги дефинира операциите на собирање (+) и множење ($\cdot$) со следните својства за било кој $a,b,c\in \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ множеството $\mathbb(N)$ е затворено под операциите собирање и множење
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ комутативност
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ асоцијативност
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибуција
5. $a\cdot 1=a$ е неутрален елемент за множење
Бидејќи множеството $\mathbb(N)$ содржи неутрален елемент за множење, но не и за собирање, додавањето нула на ова множество осигурува дека вклучува неутрален елемент за собирање.
Покрај овие две операции, односите „помалку од“ ($
1. $a b$ трихотомија
2. ако $a\leq b$ и $b\leq a$, тогаш $a=b$ антисиметрија
3. ако $a\leq b$ и $b\leq c$, тогаш $a\leq c$ е преоден
4. ако $a\leq b$ тогаш $a+c\leq b+c$
5. ако $a\leq b$ тогаш $a\cdot c\leq b\cdot c$
Цели броеви $\mathbb(Z)$
Примери на цели броеви:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Решавањето на равенката $a+x=b$, каде што $a$ и $b$ се познати природни броеви, а $x$ е непознат природен број, бара воведување на нова операција - одземање(-). Ако има природен број $x$ што ја задоволува оваа равенка, тогаш $x=b-a$. Меѓутоа, оваа конкретна равенка не мора да има решение за множеството $\mathbb(N)$, така што практичните размислувања бараат проширување на множеството природни броеви за да вклучи решенија за таква равенка. Ова води до воведување на множество од цели броеви: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Бидејќи $\mathbb(N)\подмножество \mathbb(Z)$, логично е да се претпостави дека претходно воведените операции $+$ и $\cdot$ и односите $ 1. $0+a=a+0=a$ има неутрален елемент за додавање
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ постои спротивен број$-a$ за $a$
Имот 5.:
5. ако $0\leq a$ и $0\leq b$, тогаш $0\leq a\cdot b$
Множеството $\mathbb(Z)$ е исто така затворено под операцијата одземање, односно $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Рационални броеви $\mathbb(Q)$
Примери на рационални броеви:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Сега разгледајте ги равенките од формата $a\cdot x=b$, каде што $a$ и $b$ се познати цели броеви, а $x$ е непозната. За решението да биде возможно, потребно е да се воведе операцијата поделба ($:$), а решението има форма $x=b:a$, односно $x=\frac(b)(a)$ . Повторно се појавува проблемот што $x$ не секогаш припаѓа на $\mathbb(Z)$, така што множеството цели броеви треба да се прошири. Ова го воведува множеството рационални броеви $\mathbb(Q)$ со елементи $\frac(p)(q)$, каде што $p\in \mathbb(Z)$ и $q\in \mathbb(N)$. Множеството $\mathbb(Z)$ е подмножество во кое секој елемент $q=1$, затоа $\mathbb(Z)\подмножество \mathbb(Q)$ и операциите на собирање и множење се прошируваат на ова множество според следејќи ги правилата, кои ги зачувуваат сите горенаведени својства на множеството $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Поделбата е воведена на следниов начин:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
На множеството $\mathbb(Q)$ има равенката $a\cdot x=b$ единствена одлуказа секој $a\neq 0$ (поделбата со нула е недефинирано). Ова значи дека има инверзен елемент $\frac(1)(a)$ или $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\ exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (а)\cdot a=a)$
Редоследот на множеството $\mathbb(Q)$ може да се прошири на следниов начин:
$\frac(p_1)(q_1)
Множеството $\mathbb(Q)$ има едно важно својство: помеѓу кои било два рационални броја има бесконечно многу други рационални броеви, затоа, нема два соседни рационални броеви, за разлика од множествата на природни броеви и цели броеви.
Ирационални броеви $\mathbb(I)$
Примери на ирационални броеви:
$\sqrt(2) \приближно 1,41422135...$
$\pi\приближно 3,1415926535...$
Бидејќи помеѓу кои било два рационални броја има бесконечно многу други рационални броеви, лесно е погрешно да се заклучи дека множеството рационални броеви е толку густо што нема потреба дополнително да се прошири. Дури и Питагора направи таква грешка во негово време. Меѓутоа, неговите современици веќе го побиле овој заклучок кога ги проучувале решенијата на равенката $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множеството рационални броеви. За да се реши ваква равенка, потребно е да се воведе концептот на квадратен корен, а потоа решението на оваа равенка има форма $x=\sqrt(2)$. Равенката како $x^2=a$, каде што $a$ е познат рационален број, а $x$ е непознат, не секогаш има решение за множеството рационални броеви и повторно се јавува потреба да се прошири сет. Се појавува множество од ирационални броеви, а броевите како $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... припаѓаат на ова множество.
Реални броеви $\mathbb(R)$
Унијата на множества рационални и ирационални броеви е множество реални броеви. Бидејќи $\mathbb(Q)\подмножество \mathbb(R)$, повторно е логично да се претпостави дека воведените аритметички операции и односи ги задржуваат своите својства на новото множество. Формалното докажување за тоа е многу тешко, па гореспоменатите својства на аритметичките операции и односите на множеството реални броеви се воведени како аксиоми. Во алгебра, таквиот објект се нарекува поле, така што множеството реални броеви се вели дека е подредено поле.
За да биде целосна дефиницијата на множеството реални броеви, потребно е да се воведе дополнителна аксиома која ги разликува множествата $\mathbb(Q)$ и $\mathbb(R)$. Да претпоставиме дека $S$ е непразно подмножество од множеството реални броеви. Елементот $b\in \mathbb(R)$ се нарекува горната граница на множеството $S$ ако $\forall x\in S$ содржи $x\leq b$. Тогаш велиме дека множеството $S$ е ограничено погоре. Најмалата горна граница на множеството $S$ се нарекува supremum и се означува $\sup S$. Слично се воведени концептите на долна граница, поставена ограничена подолу, и infinum $\inf S$. Сега аксиомата што недостасува е формулирана на следниов начин:
Секое непразно и горно ограничено подмножество од множеството реални броеви има врв.
Може да се докаже и дека полето на реални броеви дефинирано на горенаведениот начин е единствено.
Комплексни броеви$\mathbb(C)$
Примери на сложени броеви:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ каде што $i = \sqrt(-1)$ или $i^2 = -1$
Множеството сложени броеви ги претставува сите подредени парови на реални броеви, односно $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, на кои операциите на собирањето и множењето се дефинираат на следниов начин:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Постојат неколку форми на пишување сложени броеви, од кои најчест е $z=a+ib$, каде што $(a,b)$ е пар од реални броеви, а бројот $i=(0,1)$ се нарекува имагинарна единица.
Лесно е да се покаже дека $i^2=-1$. Проширувањето на множеството $\mathbb(R)$ до множеството $\mathbb(C)$ ни овозможува да го одредиме квадратниот корен на негативни броеви, што беше причина за воведување на множество сложени броеви. Исто така, лесно е да се покаже дека подмножеството од множеството $\mathbb(C)$, дадено со $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, ги задоволува сите аксиоми за реални броеви, затоа $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, или $R\subset\mathbb(C)$.
Алгебарската структура на множеството $\mathbb(C)$ во однос на операциите собирање и множење ги има следните својства:
1. комутативност на собирање и множење
2. асоцијативност на собирање и множење
3. $0+i0$ - неутрален елемент за собирање
4. $1+i0$ - неутрален елемент за множење
5. Множењето е дистрибутивно во однос на собирањето
6. Постои една инверзна и за собирање и за множење.
