Косинуси на насока на вектор.
Косинуси на насоката на векторот aсе косинусите на аглите што векторот ги формира со позитивните полуоски на координати.
За да се најдат косинусите на насоката на векторот a, потребно е соодветните координати на векторот да се поделат со апсолутната вредност на векторот.
Имотот:Збирот на квадратите на косинусите на насоката е еднаков на еден.
Значи во случај на проблем со авионкосинусите на насоката на векторот a = (ax; ay) се наоѓаат со формулите:
Пример за пресметување на косинусите на насоката на векторот:
Најдете ги косинусите на насоката на векторот a = (3; 4).
Решение: |а| =
Така во случај на просторен проблемкосинусите на насоката на векторот a = (ax; ay; az) се наоѓаат со формулите:
Пример за пресметување на косинусите на насоката на векторот
Најдете ги косинусите на насоката на векторот a = (2; 4; 4).
Решение: |а| =
|
Насоката на векторот во просторот се одредува со аглите што векторот ги формира со координатните оски (сл. 12). Косинусите на овие агли се нарекуваат насока косинусите на векторот: , , .
Од својствата на проекциите:, , . Оттука, Лесно е да се покаже тоа 2) координатите на кој било единичен вектор се совпаѓаат со косинусите на неговата насока: . |
„Како да се најдат косинусите на насоката на векторот“
Означете ги со алфа, бета и гама аглите формирани од векторот a со позитивна насока на координатните оски (види слика 1). Косинусите на овие агли се нарекуваат косинуси на насоката на векторот a.
Бидејќи координатите a во Декартовиот правоаголен координатен систем се еднакви на проекциите на векторот на координатните оски, тогаш a1 = |a|cos(alpha), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (гама). Оттука: cos (алфа)=a1||a|, cos(бета) =a2||a|, cos(гама)= a3/|a|. Во овој случај |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Значи cos (алфа)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(бета) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(гама)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).
Треба да се забележи главното својство на косинусите на насоката. Збирот на квадратите на косинусите на насоката на векторот е еднаков на еден. Навистина, cos^2(алфа)+cos^2(бета)+cos^2(гама)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2 + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.
Првиот начин
Пример: даден: вектор a=(1, 3, 5). Најдете ги неговите косинуси за насока. Решение. Во согласност со она што го најдовме, пишуваме: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5,91. Така, одговорот може да се напише во следнава форма: (cos(алфа), cos(бета), cos(гама))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).
Втор начин
Кога ги наоѓате косинусите на насоката на векторот a, можете да ја користите техниката на одредување на косинусите на аглите со помош на скаларниот производ. Во овој случај, мислиме на аглите помеѓу a и векторите на единицата за насока на правоаголните Декартови координати i, j и k. Нивните координати се (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), соодветно. Треба да се потсети дека скаларниот производ на вектори е дефиниран на следниов начин.
Ако аголот помеѓу векторите е φ, тогаш скаларниот производ на два ветрови (по дефиниција) е број еднаков на производот на модулите на векторите и cosφ. (a, b) = |a||b|cos f. Тогаш, ако b=i, тогаш (a, i) = |a||i|cos(алфа), или a1 = |a|cos(алфа). Понатаму, сите дејства се вршат слично на методот 1, земајќи ги предвид координатите j и k.
ДЕФИНИЦИЈА
Векторсе нарекува подреден пар точки и (односно, точно се знае која од точките во овој пар е прва).
Првата точка се нарекува почеток на векторот, а вториот е негов крај.
Растојанието помеѓу почетокот и крајот на векторот се нарекува должинаили векторски модул.
Се нарекува вектор чиј почеток и крај се совпаѓаат нулаи се означува со ; неговата должина се смета за нула. Во спротивно, ако должината на векторот е позитивна, тогаш се нарекува не-нула.
Коментар. Ако должината на векторот е еднаква на еден, тогаш тој се нарекува ортомили единица вектори е назначен .
ПРИМЕР
| Вежбајте | Проверете дали е вектор  сингл. |
| Решение | Да ја пресметаме должината на даден вектор, таа е еднаква на квадратниот корен од збирот на квадратите на координатите: Бидејќи должината на векторот е еднаква на еден, тоа значи дека векторот е правоаголник. |
| Одговори | Единица вектор. |
Ненулта вектор може да се дефинира и како насочен сегмент.
Коментар. Насоката на векторот нула не е дефинирана.
Косинуси на насока на вектор
ДЕФИНИЦИЈА
Косинуси за насокана одреден вектор се викаат косинусите на аглите што векторот ги формира со позитивните насоки на координатните оски.
Коментар. Насоката на векторот е уникатно одредена од неговите косинуси на насоката.
За да ги пронајдете косинусите на насоката на векторот, неопходно е да се нормализира векторот (т.е. да се подели векторот по неговата должина):
Коментар. Координатите на единечниот вектор се еднакви на косинусите на неговата насока.
ТЕОРЕМА
(Својство на косинусите за насока). Збирот на квадратите на косинусите на насоката е еднаков на еден:
тоа се косинусите на аглите што векторот ги формира со позитивните полуоски на координати. Косинусите за насока уникатно ја специфицираат насоката на векторот. Ако векторот има должина 1, тогаш неговите косинуси на насока се еднакви на неговите координати. Општо земено, за вектор со координати ( а; б; в) косинусите на насоката се еднакви:
каде a, b, g се аглите направени од векторот со оските x, y, zсоодветно.
21) Разложување на вектор во единечни вектори. Единечниот вектор на координатната оска се означува со , оските со , а оските со (сл. 1).
За секој вектор што лежи во рамнината, се случува следното проширување:
Ако векторот 
лоциран во просторот, тогаш проширувањето во единечни вектори на координатните оски има форма:
22)Производ со точкидва вектори не-нула и бројот еднаков на производот на должините на овие вектори и косинусот на аголот меѓу нив се вика:
23) Агол помеѓу два вектори
Ако аголот помеѓу два вектори е акутен, тогаш нивниот скаларен производ е позитивен; ако аголот помеѓу векторите е тап, тогаш скаларниот производ на овие вектори е негативен. Скаларниот производ на два ненулта вектори е еднаков на нула ако и само ако овие вектори се ортогонални.
24) Условот на паралелизам и перпендикуларност на два вектори.
Услов векторите да бидат нормални
Векторите се нормални ако и само ако нивниот скаларен производ е нула Дадени се два вектори a(xa;ya) и b(xb;yb). Овие вектори ќе бидат нормални ако изразот xaxb + yayb = 0.
25) Векторски производ на два вектори.
Векторскиот производ на два неколинеарни вектори е вектор c=a×b кој ги задоволува следните услови: 1) |c|=|a| |б| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Векторите a, b, c формираат десна тројка вектори.
26) Колинеарни и компланарни вектори..
Векторите се колинеарни ако апсцисата на првиот вектор е поврзана со апсцисата на вториот на ист начин како што е и ординатата на првиот со ординатата на вториот. Дадени се два вектори а (xa;да) И б (xb;yb). Овие вектори се колинеарни ако xa = x bИ y a = y b, Каде Р.
Вектори −→ а,−→би −→ все нарекуваат компланарни, ако има рамнина на која се паралелни.
27) Мешан производ од три вектори. Мешан производ на вектори- скаларен производ на векторот a и векторскиот производ на векторите b и c. Најдете го мешаниот производ на векторите a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1).
Решение:
1 · 1 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 2 · 3 - 1 · 1 · 3 - 1 · 1 · 2 - 1 · 1 · 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2
28) Растојанието помеѓу две точки на рамнина. Растојанието помеѓу две дадени точки е еднакво на квадратниот корен од збирот на квадратните разлики на истите координати на овие точки.
29) Поделба на отсечка во оваа релација. Ако точката M(x; y) лежи на права што минува низ две дадени точки ( , ) и ( , ), и е дадена релација во која точката M ја дели отсечката , тогаш координатите на точката M се одредуваат со формулите
Ако точката М е средната точка на отсечката, тогаш нејзините координати се одредуваат со формулите
30-31. Наклон на права линијасе нарекува тангента на аголот на наклонот на оваа права. Наклонот на права линија обично се означува со буквата к. Потоа по дефиниција
Равенка на права линија со наклонја има формата каде к- права линија наклон, б- некој реален број. Користејќи ја равенката на права линија со коефициент на агол, можете да наведете која било права линија што не е паралелна со оската Ој(за права линија паралелна со оската на ординатите, аголниот коефициент не е дефиниран).
33. Општа равенка на права линија на рамнина. Равенка на формата 
Ете го општа равенка на права Окси. Во зависност од вредностите константа А, Би C се можни следниве посебни случаи:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - правата линија минува низ потеклото
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - права линија паралелна со оската Ox
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – права линија паралелна на оската Oy
B = C = 0, A ≠0 - правата линија се совпаѓа со оската Oy
A = C = 0, B ≠0 - правата линија се совпаѓа со оската Ox
34.Равенка на права во отсечкина рамнина во правоаголен координатен систем Оксија има формата каде аИ б- некои не-нула реални броеви. Ова име не е случајно, бидејќи апсолутни вредностиброеви АИ бсе еднакви на должините на отсечките на кои правата линија ги пресекува координатни оски ВолИ Ојсоодветно (сегментите се бројат од потеклото). Така, равенката на права во отсечки го олеснува конструирањето на оваа линија во цртежот. За да го направите ова, треба да ги означите точките со координати и во правоаголен координатен систем на рамнината и да користите линијар за да ги поврзете со права линија.
35. Нормалната равенка на права има форма
каде е растојанието од правата линија до потеклото; – аголот помеѓу нормалата на правата и оската.
Нормалната равенка може да се добие од општата равенка (1) со множење со факторот за нормализирање, знакот е спротивен на знакот така што .
Косинусите на аглите помеѓу права линија и координатните оски се нарекуваат косинуси за насока, – агол помеѓу права линија и оска, – помеѓу права линија и оска:
Така, нормалната равенка може да се запише во форма
Растојание од точка до права линијаопределена со формулата 
36. Растојанието помеѓу точка и права се пресметува со следнава формула: 
каде x 0 и y 0 се координатите на точката, а A, B и C се коефициенти од општата равенка на правата
37. Намалување на општата равенка на права во нормала. Равенката и рамнината во овој контекст не се разликуваат едни од други по ништо друго освен по бројот на членовите во равенките и димензијата на просторот. Затоа, прво ќе кажам се за авионот, а на крајот ќе направам резервација за правата линија.
Дадена е општата равенка на рамнината: Ax + By + Cz + D = 0.
;. го добиваме системот: g;Mc=cosb, MB=cosa Да го доведеме во нормална форма. За да го направиме ова, ги множиме двете страни на равенката со нормализирачкиот фактор M. Добиваме: Max+Mvu+MCz+MD=0. Во овој случај MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa го добиваме системот:
M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g
Со собирање на сите равенки на системот, добиваме M*(A2 + B2 + C2) = 1 Сега останува само да се изрази М од тука за да се знае со кој фактор за нормализирање мора да се помножи првобитната општа равенка за да се донесе во нормална форма:
M=-+1/ROOT KV A2 +B2 +C2
MD секогаш мора да биде помал од нула, затоа знакот на бројот M се зема спротивно на знакот на бројот D.
Со равенката на права линија, сè е исто, само од формулата за М треба едноставно да го отстраните терминот C2.
| Секира + Од страна на + Cz + Д = 0, |
38.Општа равенка на рамнината во просторот се нарекува равенка на формата
Каде А 2 + Б 2 + В 2 ≠ 0 .
Во тродимензионалниот простор во Декартовиот координатен систем, секоја рамнина се опишува со равенка од 1 степен (линеарна равенка). И назад, било кој линеарна равенкадефинира рамнина.
40.Равенка на рамнина во отсечки.Во правоаголен координатен систем Оксизво тродимензионален простор равенка на формата 
, Каде а, бИ в– се повикуваат ненула реални броеви равенка на рамнината во отсечки. Апсолутни вредности на броеви а, бИ веднаква на должините на отсечките што рамнината ги отсекува на координатните оски Вол, ОјИ Озсоодветно, сметајќи од потеклото. Знак на броеви а, бИ впокажува во која насока (позитивна или негативна) се исцртуваат отсечките на координатните оски
41) Равенка на нормална рамнина.
Нормалната равенка на рамнината е нејзината равенка напишана во форма
каде , , се нормални косинусите на насоката на рамнината, д
p е растојанието од потеклото до рамнината. При пресметување на косинусите на насоката на нормалата, треба да се претпостави дека е насочена од почетокот кон рамнината (ако рамнината минува низ потеклото, тогаш изборот на позитивната насока на нормалата е рамнодушен).
42) Растојание од точка до рамнина.Нека рамнината е дадена со равенката 
и се дава поен. Тогаш растојанието од точката до рамнината се одредува со формулата
 |
Доказ. Растојанието од точка до рамнина е, по дефиниција, должината на нормалната извлечена од точката до рамнината
Агол помеѓу рамнините
Нека рамнините и се специфицирани со равенките и , соодветно. Треба да го пронајдете аголот помеѓу овие рамнини.
Рамнините, вкрстувајќи се, формираат четири диедрални агли: два тапи и два остри или четири прави агли, и двата тапи агли се еднакви еден со друг, а двата остри агли се исто така еднакви еден на друг. Секогаш ќе бараме остар агол. За да ја одредиме нејзината вредност, земаме точка на линијата на пресек на рамнините и во оваа точка во секоја од
рамнини, цртаме нормални на линијата на пресекот.
Имотот:
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
б) дефиниција линеарни операции
збирот на два неколинеарни вектори е векторот кој доаѓа од заедничкото потекло на векторите долж дијагоналата на паралелограмот конструиран на овие вектори
Векторската разлика е збир на вектор и вектор спротивен на векторот: 
. Да ги поврземе почетоците на векторите и , тогаш векторот е насочен од крајот на векторот до крајот на векторот. 
Работата вектор по број се нарекува вектор со модул , и во и во . Геометриски, множењето со број значи „истегнување“ на векторот за фактор, задржување на насоката и менување на спротивното во .
Од горенаведените правила за собирање вектори и нивно множење со број, следат очигледни изјави:
1. 
(дополнувањето е комутативно);
2. 
(дополнувањето е асоцијативно);
3. 
(постоење на нулта вектор);
4. 
(постоење на спротивен вектор);
5. 
(дополнувањето е асоцијативно);
6. (множењето со број е дистрибутивно);
7. 
(векторското собирање е дистрибутивно);
в) скаларен производ и неговите основни својства
Производ со точкидва вектори не-нула е број еднаков на производот на должините на овие вектори и косинусот на аголот меѓу нив. Ако барем еден од двата вектори е нула, тогаш аголот меѓу нив не е дефиниран, а скаларниот производ се смета за еднаков на нула. Скаларниот производ на вектори и е означен
, каде и се должините на векторите и , соодветно, и е аголот помеѓу векторите и .
Скаларниот производ на векторот со себе се нарекува скаларен квадрат.
Својства на скаларниот производ.
За сите вектори и следново се вистинити: својствата на производот со точки:
комутативното својство на скаларен производ;
дистрибутивна сопственост 
или 
;
асоцијативно својство 
или 
, каде што е произволен реален број;
скаларниот квадрат на векторот е секогаш ненегативен ако и само ако векторот е нула.
Г) векторски производ и неговите својства
векторски производвекторот a на векторот b се нарекува вектор c, чија должина е нумерички еднаква на плоштината на паралелограмот конструиран на векторите a и b, нормално на рамнината на овие вектори и насочен така што најмалата ротација од a до b околу векторот c е спротивно од стрелките на часовникот кога се гледа од крајниот вектор c
Формули за пресметување на векторски производ на вектори
Векторски уметнички деладва вектори a = (a x; a y; a z) и b = (b x; b y; b z) во Декартовиот координатен систем е вектор чија вредност може да се пресмета со помош на следните формули:
- Вкрстениот производ на два ненулта вектори a и b е еднаков на нула ако и само ако векторите се колинеарни.
- Вектор c еднаков векторски производне-нула вектори a и b, е нормална на овие вектори.
- a × b = -b × a
- (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
- (a + b) × c = a × c + b × c
Равенка на права линија на рамнина
А) равенка на права линија со коефициент на агол
Наклон на права линијасе нарекува тангента на аголот на наклонот на оваа права.
Наклонот на права линија обично се означува со буквата к. Потоа по дефиниција.
Ако правата линија е паралелна со оската на ординатите, тогаш наклонот не постои (во овој случај се вели и дека наклонот оди до бесконечност).
Позитивниот наклон на линијата означува зголемување на нејзиниот график на функцијата, негативниот наклон означува намалување. Равенката на права со аголен коефициент има форма y=kx+b, каде k е аголниот коефициент на правата, b е некој реален број. Користејќи ја равенката на права линија со аголен коефициент, можете да наведете која било права линија што не е паралелна со оската Oy (за права линија паралелна на оската на ординатите, аголниот коефициент не е дефиниран).
Б) видови равенки на права линија
Равенката 
повикани општа равенкадиректнона површината.
Секоја равенка од прв степен во две променливи xИ yљубезен , Каде А, ВОИ СО– некои реални бројки и АИ ВОне се еднакви на нула во исто време, дефинира права линија во правоаголен координатен систем Оксина рамнината, а секоја линија на рамнината е дадена со равенка на формата .
Линиска равенка на формата , каде аИ б– се повикуваат некои реални броеви освен нула равенка на права линија во отсечки. Ова име не е случајно, бидејќи апсолутните вредности на бројките АИ беднакви на должините на отсечките кои правата линија ги отсекува на координатните оски ВолИ Ојсоодветно (сегментите се бројат од потеклото).
Линиска равенка на формата , каде xИ y- променливи, и кИ б– се повикуваат некои реални броеви равенка на права линија со наклон (к- наклон)
Канонска равенка на права на рамнинаво правоаголен Декартов координатен систем Оксиизгледа како 
, каде и се некои реални броеви, а во исто време тие не се еднакви на нула.
Очигледно, правата линија дефинирана со канонската равенка на правата поминува низ точката. За возврат, броевите и во именителот на дропките ги претставуваат координатите на векторот на насоката на оваа права. Така, канонска равенкадиректно во правоаголен координатен систем Оксина рамнината одговара права линија што минува низ точка и има вектор на насока .
Параметриски равенки на права на рамнинаизгледа како 
, каде и се некои реални броеви, а во исто време не се еднакви на нула, и е параметар кој зема какви било реални вредности.
Равенките на параметриските линии воспоставуваат имплицитна врска помеѓу апсцисите и ординатите на точките на права линија користејќи параметар (оттука и името на овој тип на равенка на права).
Пар броеви кои се пресметуваат од параметарските равенки на правата за некоја реална вредност на параметарот претставуваат координати на одредена точка на правата. На пример, кога имаме 
, односно точката со координати лежи на права линија.
Треба да се напомене дека коефициентите и за параметарот во параметарски равенкиправа се координатите на векторот на насоката на оваа права
Равенка на права што минува низ две точки
Нека две точки M 1 (x 1, y 1, z 1) и M 2 (x 2, y 2, z 2) се дадени во просторот, тогаш равенката на правата што минува низ овие точки е:
Ако некој од именителот е еднаков на нула, соодветниот броител треба да биде еднаков на нула.На рамнината, равенката на правата напишана погоре е поедноставена:
ако x 1 ≠ x 2 и x = x 1, ако x 1 = x 2.
Дропката = k се нарекува наклондиректно.
В) пресметување на аголот помеѓу две прави
ако се дадени две прави y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, тогаш акутниот агол помеѓу овие прави ќе се дефинира како
.
Две прави се паралелни ако k 1 = k 2. Две прави се нормални ако k 1 = -1 / k 2.
Теорема.Правите Ax + Bу + C = 0 и A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 се паралелни кога коефициентите A 1 = λA, B 1 = λB се пропорционални. Ако исто така C 1 = λC, тогаш линиите се совпаѓаат. Координатите на точката на пресек на две прави се наоѓаат како решение на системот равенки на овие прави.
Г) услови за паралелизам и перпендикуларност на две прави
Услови за паралелизам на две прави:
а) Ако правите се дадени со равенки со аголен коефициент, тогаш неопходен и доволен услов за нивниот паралелизам е еднаквоста на нивните аголни коефициенти:
к 1 = к 2 .
б) За случајот кога правите се дадени со равенки во општ поглед(6), неопходен и доволен услов за нивниот паралелизам е коефициентите за соодветните струјни координати во нивните равенки да бидат пропорционални, т.е.
Услови за перпендикуларност на две прави:
а) Во случај кога правите се дадени со равенки (4) со аголен коефициент, неопходен и доволен услов за нивната перпендикуларност е нивните аголни коефициенти да бидат инверзни по големина и спротивни по знак, т.е.
Оваа состојба може да се напише и во форма
к 1 к 2 = -1.
б) Ако равенките на правите се дадени во општ облик (6), тогаш условот за нивната перпендикуларност (неопходна и доволна) е да се задоволува еднаквоста
А 1 А 2 + Б 1 Б 2 = 0.
Ограничување на функцијата
А) граница на низа
Концептот на граница го користел Њутн во втората половина на 17 век и математичари од 18 век како Ојлер и Лагранж, но тие ја разбрале границата интуитивно. Првите ригорозни дефиниции за границата на низата беа дадени од Болзано во 1816 година и Коши во 1821 година.
Се повикува бројот граница броена низа , ако низата е бесконечно мала, т.е. сите нејзини елементи, почнувајќи од одреден, се помали во апсолутна вредност од кој било однапред одреден позитивен број.
Ако бројната низа има ограничување во форма на реален број, таа се нарекува конвергентен на овој број. Во спротивно, се нарекува низата дивергентни . Ако, згора на тоа, тој е неограничен, тогаш се претпоставува дека неговата граница е еднаква на бесконечноста.
Дополнително, ако сите елементи на неограничена низа, почнувајќи од одреден број, имаат позитивен знак, тогаш се вели дека границата на таквата низа е плус бесконечност .
Ако елементите на неограничена низа, почнувајќи од одреден број, имаат негативен знак, тогаш велат дека границата на таквата низа е еднаква на минус бесконечност .
Б) граница на функцијата
Ограничување на функцијата (гранична вредност на функцијата) В дадена точка, ограничување за доменот на дефиниција на функцијата, е вредноста кон која тежи вредноста на функцијата што се разгледува додека нејзиниот аргумент се стреми кон дадена точка.
Ограничување на функцијатае генерализација на концептот на граница на низа: првично, границата на функцијата во точка беше сфатена како граница на низа елементи од доменот на вредности на функција составена од слики на точки на секвенца на елементи од доменот на дефиниција на функција која се приближува до дадена точка (границата на која се разгледува); ако постои таква граница, тогаш се вели дека функцијата конвергира до одредената вредност; ако таква граница не постои, тогаш се вели дека функцијата се разминува.
Ограничување на функцијата- еден од основните концепти на математичката анализа. Вредноста се нарекува граница (гранична вредност) на функција во точка ако за која било низа точки што се конвергира кон, но не содржи еден од нејзините елементи (односно, во пробиено соседство), низата вредности на функцијата конвергира во .
Вредноста се нарекува граница (гранична вредност) функционира во точката ако за кој било позитивен број однапред земен има соодветен позитивен број така што за сите аргументи што го задоволуваат условот неравенството е исполнето.
В) две забележителни граници
· Првата извонредна граница:
Последици
· 
· 
· 
· Втората извонредна граница:
Последици
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
за,
6. 
Г) бесконечно мали и бесконечно големи функции
Функција y=f(x)повикани бесконечно малона x→aили кога x→∞, ако или , т.е. бесконечно мала функција е функција чија граница во дадена точка е нула.
ако функција y=f(x)застапен со x→aкако збир на константен број би бесконечно мала магнитуда α(x): f (x)=b+ α(x)Тоа .
Спротивно на тоа, ако , тогаш f (x)=b+α(x), Каде a (x)– бесконечно мало во x→a.
Заклучок 1.Ако и, тогаш.
Заклучок 2.Ако c=конст, тогаш .
Доколку функцијата f(x)е бескрајно голем во x→a, потоа функција 1 /f(x)е бесконечно мало во x→a.
Доколку функцијата f(x)- бесконечно мало во x→a(или x→∞)и не исчезнува, тогаш y= 1/f(x)е бесконечна одлична функција. наједноставните својства на бескрајно мали и бесконечно одлични функцииможе да се напише користејќи ги следните условни односи: А≠ 0
Г) откривање на неизвесности. Правилото на L'Hopital
главни видови на неизвесности: нула поделена со нула ( 0 до 0), бесконечност поделена со бесконечност, нула помножена со бесконечност, бесконечност минус бесконечност, еден до моќта на бесконечноста, нула до моќта на нула, бесконечноста до моќта на нула.
Правилото на L'Hopitalмногу широко се користи за гранични пресметкикога има неизвесност на формата нула поделена со нула, бесконечност поделена со бесконечност.
Овие типови на несигурности ги вклучуваат неизвесностите нула пати бесконечност и бесконечност минус бесконечност.
Ако и ако функционира f(x)И g(x)се диференцијабилни во соседството на точката, тогаш 
Во случај кога неизвесноста не исчезне по примената на правилото на L'Hopital, може да се примени повторно.
Пресметка на деривати
А) правило за диференцијација комплексна функција
Нека биде комплексна функција , каде што функцијата е среден аргумент. Ќе покажеме како се наоѓа изводот на сложена функција, знаејќи го изводот за функцијата (ќе го означиме со) и изводот за функцијата.
Теорема 1. Ако функцијата има извод во точка x, а функцијата има извод во точката (), потоа сложената функција во точката xима извод, и = .
Во спротивно, изводот на сложена функција е еднаков на производот од изводот на дадената функција во однос на средниот аргумент и изводот на средниот аргумент.
Б) диференцијација на параметарски одредена функција
Нека функцијата е дадена во параметарска форма, односно во форма:
каде што функциите и се дефинирани и континуирани во одреден интервал на варијација на параметарот . Ајде да ги најдеме диференцијалите на десната и левата страна на секоја од еднаквостите:
За да го пронајдеме вториот извод, ги извршуваме следните трансформации:
Б) концептот на логаритамски извод на функција
Логаритамскиот извод на позитивната функција се нарекува негов извод. Бидејќи , тогаш според правилото за диференцијација на сложена функција ја добиваме следната релација за логаритамскиот извод:
.
Користејќи го логаритамскиот извод, погодно е да се пресмета обичниот извод во случаи кога логаритам ја поедноставува формата на функцијата.
Суштината на оваа диференцијација е како што следува: прво, пронајдете го логаритамот дадена функција, па дури тогаш се пресметува изводот од него. Нека се даде некоја функција. Да ги земеме логаритмите на левата и десната страна на овој израз:
И тогаш, изразувајќи го саканиот дериват, резултатот е:
Г) дериват инверзна функција
Ако y=f(x) и x=g(y) се пар меѓусебно инверзни функции, а функцијата y=f(x) има извод f"(x), тогаш изводот на инверзната функција g"( x)=1/f" (x).
Така, дериватите на заемно инверзните функции се реципрочни величини. Формула за изводот на инверзната функција:
Г) дериват имплицитна функција
Ако со равенката е опишана функција од една променлива y=ѓ(x), каде што променливата yе на левата страна, а десната зависи само од аргументот x, тогаш велат дека функцијата е дадена експлицитно. На пример, следните функции се експлицитно наведени:
y=грев x,y=x 2+2x+5,y=lncos x.
Во многу проблеми, сепак, функцијата може да се специфицира имплицитно, т.е. како равенка
Ф(x,y)=0.
да се најде изводот y′( x) имплицитно одредената функција не треба да се претвора во експлицитна форма. За да го направите ова, знаејќи ја равенката Ф(x,y)=0, само направете го следново:
Прво треба да ги разликувате двете страни на равенката во однос на променливата x, под претпоставка дека y− е диференцијабилна функција xи користење на правилото за пресметување на извод на сложена функција. Во овој случај, изводот на нула (на десната страна) исто така ќе биде еднаков на нула.
Коментар: Ако десната страна е не-нула, т.е. имплицитната равенка е
ѓ(x,y)=е(x,y),
тогаш ги разликуваме левата и десната страна на равенката.
Решете ја добиената равенка за изводот y′( x).
Поим за дериват
А) дефиниција на дериват
Извод на функција диференцијација интеграција.
y xx
Дефиниција на дериват
Размислете за функцијата ѓ(x x 0. Потоа функцијата ѓ(x) е диференцијабилнаво точката x 0, и таа дериватсе одредува со формулата
ѓ′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0ѓ(x 0+Δ x)−ѓ(x 0)Δ x.
Извод на функцијае еден од основните поими на математиката, а во математичка анализадериватот заедно со интегралот зазема централно место. Процесот на пронаоѓање на изводот се нарекува диференцијација. Инверзната операција - враќање на функција од познат извод - се нарекува интеграција.
Изводот на функцијата во одредена точка ја карактеризира брзината на промена на функцијата во таа точка. Проценка на стапката на промена може да се добие со пресметување на односот на промената на функцијата Δ yдо соодветна промена во аргументот Δ x. Во дефиницијата на изводот, таквата врска се разгледува во границата под условот Δ x→0. Ајде да преминеме на построга формулација:
Дефиниција на дериват
Размислете за функцијата ѓ(x), чиј домен содржи некој отворен интервал околу точката x 0. Потоа функцијата ѓ(x) е диференцијабилнаво точката x 0, и таа дериватсе одредува со формулата
ѓ′( x 0)=limΔ x→0Δ yΔ x=limΔ x→0ѓ(x 0+Δ x)−ѓ(x 0)Δ x.
Б) геометриско значењедериват
Изводот на функцијата, пресметан за дадена вредност, е еднаков на тангентата на аголот формиран од позитивната насока на оската и позитивната насока на тангентата нацртана на графикот на оваа функција во точката со апсцисата:
Ако функцијата има конечен извод во точка, тогаш во соседството може да се приближи линеарна функција
Функцијата се нарекува тангента на точката Број.
Г) табела на деривати на наједноставните елементарни функции
