Табела на вредности со тригонометриски равенки. Основни формули на тригонометрија. Променлива замена и метод на замена

При решавање на многу математички проблеми , особено оние кои се случуваат пред одделение 10, јасно е дефиниран редоследот на извршените дејствија кои ќе доведат до целта. Таквите проблеми вклучуваат, на пример, линеарни и квадратни равенки, линеарни и квадратни неравенки, дробни равенки и равенки кои се сведуваат на квадратни. Принципот на успешно решавање на секој од наведените проблеми е како што следува: потребно е да се утврди каков тип на проблем се решава, запомнете ја потребната низа на дејства што ќе доведат до посакуваниот резултат, т.е. одговори и следете ги овие чекори.

Очигледно е дека успехот или неуспехот во решавањето на одреден проблем зависи главно од тоа колку правилно се одредува типот на равенката што се решава, колку правилно се репродуцира низата од сите фази на неговото решение. Се разбира, неопходно е да се поседуваат вештини за изведување идентитетски трансформациии пресметување.

Поинаква е ситуацијата со тригонометриски равенки.Воопшто не е тешко да се утврди фактот дека равенката е тригонометриска. Потешкотии се јавуваат при определување на редоследот на дејствијата што би довеле до точниот одговор.

Од страна на изгледравенка, понекогаш е тешко да се одреди неговиот тип. И без да се знае типот на равенката, речиси е невозможно да се избере вистинската од неколку десетици тригонометриски формули.

За да решите тригонометриска равенка, треба да се обидете:

1. доведете ги сите функции вклучени во равенката до „исти агли“;
2. доведете ја равенката до „идентични функции“;
3. фактор на левата страна на равенката итн.

Ајде да размислиме основни методи за решавање на тригонометриски равенки.

I. Намалување на наједноставните тригонометриски равенки

Дијаграм за решение

Чекор 1.Изрази тригонометриска функција во однос на познати компоненти.

Чекор 2.Најдете го аргументот на функцијата користејќи ги формулите:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = арктан a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Чекор 3.Најдете ја непознатата променлива.

Пример.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Решение.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Одговор: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Замена на променлива

Дијаграм за решение

Чекор 1.Намалете ја равенката во алгебарска форма во однос на една од тригонометриските функции.

Чекор 2.Означете ја добиената функција со променливата t (ако е потребно, воведете ограничувања за t).

Чекор 3.Запишете и решете го резултатот алгебарска равенка.

Чекор 4.Направете обратна замена.

Чекор 5.Решете ја наједноставната тригонометриска равенка.

Пример.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Решение.

1) 2(1 – грев 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Нека sin (x/2) = t, каде што |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 или e = -3/2, не го задоволува условот |t| ≤ 1.

4) грев (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Одговор: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Метод за намалување на редоследот на равенките

Дијаграм за решение

Чекор 1.Заменете ја оваа равенка со линеарна, користејќи ја формулата за намалување на степенот:

грев 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Чекор 2.Решете ја добиената равенка користејќи ги методите I и II.

Пример.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Решение.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Одговор: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Хомогени равенки

Дијаграм за решение

Чекор 1.Намалете ја оваа равенка на формата

а) грев x + b cos x = 0 ( хомогена равенкапрв степен)

или кон погледот

б) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (хомогена равенка од втор степен).

Чекор 2.Поделете ги двете страни на равенката со

а) cos x ≠ 0;

б) cos 2 x ≠ 0;

и добијте ја равенката за tan x:

а) a tan x + b = 0;

б) тен 2 x + b арктан x + c = 0.

Чекор 3.Решете ја равенката користејќи познати методи.

Пример.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Решение.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Нека tg x = t, тогаш

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 или t = -4, што значи

tg x = 1 или tg x = -4.

Од првата равенка x = π/4 + πn, n Є Z; од втората равенка x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Одговор: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Метод на трансформација на равенка со помош на тригонометриски формули

Дијаграм за решение

Чекор 1.Користење на сите видови на тригонометриски формули, сведете ја оваа равенка на равенка решена со методите I, II, III, IV.

Чекор 2.Решете ја добиената равенка користејќи познати методи.

Пример.

грев x + грев 2x + грев 3x = 0.

Решение.

1) (грев х + грев 3х) + грев 2х = 0;

2sin 2x cos x + грев 2x = 0.

2) грев 2x (2cos x + 1) = 0;

грев 2x = 0 или 2cos x + 1 = 0;

Од првата равенка 2x = π/2 + πn, n Є Z; од втората равенка cos x = -1/2.

Имаме x = π/4 + πn/2, n Є Z; од втората равенка x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Како резултат на тоа, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Одговор: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Решавање вештини и способности тригонометриски равенкисе многу важно, нивниот развој бара значителен напор, како од страна на ученикот, така и од страна на наставникот.

Со решавањето на тригонометриските равенки се поврзани многу проблеми од стереометријата, физиката итн.. Процесот на решавање на ваквите проблеми отелотворува многу од знаењата и вештините кои се стекнуваат со проучување на елементите на тригонометријата.

Тригонометриските равенки заземаат важно место во процесот на учење математика и воопшто на личниот развој.

Сè уште имате прашања? Не знаете како да решавате тригонометриски равенки?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.

Главните методи за решавање на тригонометриски равенки се: намалување на равенките на наједноставни (со користење на тригонометриски формули), воведување нови променливи и факторинг. Ајде да ја разгледаме нивната употреба со примери. Обрнете внимание на форматот на пишување решенија за тригонометриски равенки.

Неопходен услов за успешно решавање на тригонометриските равенки е познавањето на тригонометриските формули (тема 13 од работа 6).

Примери.

1. Равенки сведени на наједноставните.

1) Реши ја равенката

Решение:

Одговор:

2) Најдете ги корените на равенката

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, кои припаѓаат на сегментот.

Решение:

Одговор:

2. Равенки кои се сведуваат на квадратни.

1) Решете ја равенката 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение:Користејќи ја формулата sin 2 x = 1 – cos 2 x, добиваме

Одговор:

2) Решете ја равенката cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение:Користејќи ја формулата cos 2x = 2 cos 2 x – 1, добиваме

Одговор:

3) Решете ја равенката tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Одговор:

3. Хомогени равенки

1) Решете ја равенката 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Нека cosx = 0, потоа 2sinx = 0 и sinx = 0 – контрадикција со фактот дека sin 2 x + cos 2 x = 1. Тоа значи cosx ≠ 0 и можеме да ја поделиме равенката со cosx. Добиваме

Одговор:

2) Решете ја равенката 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Ги користиме формулите 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, добиваме

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Нека cosx = 0, потоа sin 2 x = 0 и sinx = 0 - контрадикција со фактот дека sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ова значи cosx ≠ 0 и можеме да ја поделиме равенката со cos 2 x . Добиваме

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Да означиме tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
а) tgx = 4, x= арктан4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x= арктан2 + 2 к, к .

Одговор: arctg4 + 2 к, арктан2 + 2 к, к

4. Равенки на формата а sinx + б cosx = с, с≠ 0.

1) Реши ја равенката.

Решение:

Одговор:

5. Равенки решени со факторизација.

1) Реши равенка на гревот 2x – sinx = 0.

Корен на равенката ѓ (X) = φ ( X) може да послужи само како број 0. Ајде да го провериме ова:

cos 0 = 0 + 1 - еднаквоста е вистина.

Бројот 0 е единствениот корен од оваа равенка.

Одговор: 0.

Поим за решавање на тригонометриски равенки.

За да решите тригонометриска равенка, претворете ја во една или повеќе основни тригонометриски равенки. Решавањето на тригонометриска равенка на крајот се сведува на решавање на четирите основни тригонометриски равенки.

Решавање на основни тригонометриски равенки.

Постојат 4 типа на основни тригонометриски равенки:
sin x = a; cos x = a
tan x = a; ctg x = a
Решавањето на основните тригонометриски равенки вклучува разгледување на различните позиции „x“ на единица круг, и користење табела за конверзија (или калкулатор).
Пример 1. sin x = 0,866. Со помош на табела за конверзија (или калкулатор) ќе го добиете одговорот: x = π/3. Единичката кружница дава друг одговор: 2π/3. Запомнете: сè тригонометриски функциипериодични се, односно нивните вредности се повторуваат. На пример, периодичноста на sin x и cos x е 2πn, а периодичноста на tg x и ctg x е πn. Затоа одговорот е напишан вака:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Пример 2. cos x = -1/2. Со помош на табела за конверзија (или калкулатор) ќе го добиете одговорот: x = 2π/3. Единичката кружница дава друг одговор: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Пример 3. tg (x - π/4) = 0.
Одговор: x = π/4 + πn.
Пример 4. ctg 2x = 1.732.
Одговор: x = π/12 + πn.

Трансформации кои се користат при решавање на тригонометриски равенки.

За да се трансформираат тригонометриските равенки, се користат алгебарски трансформации (факторизација, редукција хомогени членовиитн.) и тригонометриски идентитети.
Пример 5: Со помош на тригонометриски идентитети, равенката sin x + sin 2x + sin 3x = 0 се претвора во равенката 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Така, следните основни тригонометриски равенки треба да се реши: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Наоѓање агли користејќи познати функциски вредности.
- Пред да научите како да решавате тригонометриски равенки, треба да научите како да наоѓате агли користејќи познати функционални вредности. Ова може да се направи со помош на табела за конверзија или калкулатор.
- Пример: cos x = 0,732. Калкулаторот ќе го даде одговорот x = 42,95 степени. Кругот на единицата ќе даде дополнителни агли, чиј косинус е исто така 0,732.
Оставете го растворот на страна на кругот на единицата.
- Можете да нацртате решенија на тригонометриска равенка на единечната кружница. Решенија на тригонометриска равенка на единечната кружница се темињата на правилен многуаголник.
- Пример: Решенијата x = π/3 + πn/2 на единечната кружница ги претставуваат темињата на квадратот.
- Пример: Решенијата x = π/4 + πn/3 на единечната кружница претставуваат темиња на правилен шестоаголник.
Методи за решавање на тригонометриски равенки.
- Ако дадена тригонометриска равенка содржи само една тригонометриска функција, решете ја таа равенка како основна тригонометриска равенка. Ако дадена равенка вклучува две или повеќе тригонометриски функции, тогаш постојат 2 методи за решавање на таква равенка (во зависност од можноста за нејзина трансформација).
  - Метод 1.
- Трансформирајте ја оваа равенка во равенка од формата: f(x)*g(x)*h(x) = 0, каде што f(x), g(x), h(x) се основните тригонометриски равенки.
- Пример 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Решение. Користејќи ја двојната формула агол грев 2x = 2*sin x*cos x, заменете го гревот 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Сега решете ги двете основни тригонометриски равенки: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
- Пример 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Решение: Користејќи тригонометриски идентитети, трансформирајте ја оваа равенка во равенка од формата: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Сега решете ги двете основни тригонометриски равенки: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
- Пример 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Решение: Користејќи тригонометриски идентитети, трансформирајте ја оваа равенка во равенка од формата: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Сега решете ги двете основни тригонометриски равенки: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0 .
  - Метод 2.
- Претворете ја дадената тригонометриска равенка во равенка која содржи само една тригонометриска функција. Потоа заменете ја оваа тригонометриска функција со некоја непозната, на пример, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, итн.).
- Пример 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Решение. Во оваа равенка, заменете го (cos^2 x) со (1 - sin^2 x) (според идентитетот). Трансформираната равенка е:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете го sin x со t. Сега равенката изгледа вака: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Ова е квадратна равенка, со два корени: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вториот корен t2 не го задоволува опсегот на функции (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Пример 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Решение. Заменете го tg x со t. Препишете ја оригиналната равенка на следниов начин: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Сега најдете t и потоа најдете x за t = tan x.

Дадени се односите помеѓу основните тригонометриски функции - синус, косинус, тангента и котангента. тригонометриски формули. И бидејќи има доста врски помеѓу тригонометриските функции, ова го објаснува изобилството на тригонометриски формули. Некои формули поврзуваат тригонометриски функции од ист агол, други - функции од повеќекратен агол, други - ви дозволуваат да го намалите степенот, четврти - да ги изразите сите функции преку тангента на половина агол итн.

Во оваа статија ќе ги наведеме по редослед сите основни тригонометриски формули, кои се доволни за решавање на огромното мнозинство на тригонометриски проблеми. За полесно меморирање и користење, ќе ги групираме по намена и ќе ги внесеме во табели.

Навигација на страницата.

Основни тригонометриски идентитети

Основни тригонометриски идентитетидефинирање на односот помеѓу синус, косинус, тангента и котангента на еден агол. Тие произлегуваат од дефиницијата за синус, косинус, тангента и котангента, како и од концептот на единична кружница. Тие ви дозволуваат да изразите една тригонометриска функција во однос на која било друга.

За детален опис на овие тригонометриски формули, нивното изведување и примери за примена, видете ја статијата.

Формули за намалување

Формули за намалувањеследат од својствата на синус, косинус, тангента и котангента, односно тие го одразуваат својството на периодичност на тригонометриските функции, својството на симетрија, како и својството на поместување за даден агол. Овие тригонометриски формули ви овозможуваат да преминете од работа со произволни агли на работа со агли кои се движат од нула до 90 степени.

Образложението за овие формули, мнемоничко правило за нивно меморирање и примери за нивната примена може да се проучат во статијата.

Формули за додавање

Формули за тригонометриско собирањепокажете како тригонометриските функции од збирот или разликата на два агли се изразуваат во однос на тригонометриските функции на тие агли. Овие формули служат како основа за изведување на следните тригонометриски формули.

Формули за двојни, тројни итн. агол

Формули за двојни, тројни итн. агол (тие се нарекуваат и формули за повеќекратни агли) покажуваат како тригонометриските функции се двојни, тројни итн. аглите () се изразуваат во однос на тригонометриските функции на еден агол. Нивното изведување се заснова на формули за собирање.

Подетални информации се собрани во формулите на написот за двојни, тројни итн. агол

Формули за половина агол

Формули за половина аголпокажете како тригонометриските функции на половина агол се изразуваат во однос на косинус на цел агол. Овие тригонометриски формули следат од формулите со двоен агол.

Нивниот заклучок и примери за примена може да се најдат во статијата.

Формули за намалување на степенот

Тригонометриски формули за намалување на степенисе дизајнирани да го олеснат преминот од природните сили на тригонометриските функции кон синусите и косинусите од прв степен, но повеќекратни агли. Со други зборови, тие ви дозволуваат да ги намалите моќите на тригонометриските функции на првото.

Формули за збир и разлика на тригонометриски функции

Главната цел формули за збир и разлика на тригонометриски функциие да се оди на производ на функции, што е многу корисно при поедноставување тригонометриски изрази. Овие формули се исто така широко користени при решавање на тригонометриски равенки, бидејќи ви овозможуваат да го факторизирате збирот и разликата на синусите и косинусите.

Формули за производ од синуси, косинуси и синус по косинус

Преминот од производ на тригонометриски функции до збир или разлика се врши со користење на формулите за производ на синуси, косинуси и синус по косинус.

Универзална тригонометриска замена

Нашиот преглед на основните формули на тригонометријата го комплетираме со формули кои изразуваат тригонометриски функции во однос на тангента на половина агол. Оваа замена беше повикана универзална тригонометриска замена. Неговата погодност лежи во фактот што сите тригонометриски функции се изразени во однос на тангента на половина агол рационално без корени.

Библиографија.

Алгебра:Тетратка за 9-то одделение. просечно училиште/Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Ед. С.А. Телјаковски - М.: Образование, 1990. - 272 стр.: лошо. - ISBN 5-09-002727-7
Башмаков М.И.Алгебра и почетоците на анализата: Учебник. за 10-11 одделение. просечно училиште - 3-то издание. - М .: Образование, 1993. - 351 стр.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
Алгебраи почеток на анализа: Проц. за 10-11 одделение. општо образование институции / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn и други; Ед. А.Н.
Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.

Авторско право од паметни студенти

Сите права се задржани.
Заштитено со закон за авторски права. Ниту еден дел од страницата, вклучувајќи ги внатрешните материјали и изгледот, не смее да се репродуцира во каква било форма или да се користи без претходна писмена дозвола од носителот на авторските права.

Тригонометриски равенки .

Наједноставните тригонометриски равенки .

Методи за решавање на тригонометриски равенки.

Тригонометриски равенки. Равенка која содржи непозната под се нарекува знакот на тригонометриската функција тригонометриски.

Наједноставните тригонометриски равенки.

Методи за решавање на тригонометриски равенки. Решавањето на тригонометриска равенка се состои од две фази: трансформација на равенкатада го сфатите наједноставнотип (види погоре) и решениедобиениот наједноставен тригонометриска равенка.Има седум основни методи за решавање на тригонометриски равенки.

1. Алгебарски метод. Овој метод ни е добро познат од алгебрата.

(метод на замена и замена на променливата).

2. Факторизација. Ајде да го разгледаме овој метод со примери.

Пример 1. Решете ја равенката:грев x+cos x = 1 .

Решение Да ги преместиме сите членови на равенката налево:

Грев x+cos x – 1 = 0 ,

Да го трансформираме и факторизираме изразот во

Левата страна на равенката:

Пример 2. Решете ја равенката: cos 2 x+ грев x cos x = 1.

Решение: cos 2 x+ грев x cos x– грев 2 x– костим 2 x = 0 ,

Грев x cos x– грев 2 x = 0 ,

Грев x· (кос x– грев x ) = 0 ,

Пример 3. Решете ја равенката: cos 2 x-кос 8 x+ цена 6 x = 1.

Решение: cos 2 x+ цена 6 x= 1 + cos 8 x,

2 со 4 x cos 2 x= 2 кос² 4 x ,

Кос 4 x · (кос 2 x- кос 4 x) = 0 ,

Кос 4 x · 2 грев 3 xгрев x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). грев 3 x= 0, 3). грев x = 0 ,

Водејќи до хомогена равенка. Равенката повикани хомогена од во врска со гревИ cos , Ако сето тоа термини од ист степен во однос на гревИ cosистиот агол. За да решите хомогена равенка, потребно е: