Во голем број проблеми во математиката и нејзините примени, потребно е да се користи позната вредност на тригонометриска функција за да се најде соодветната вредност на аголот, изразена во степени или радијани. Познато е дека бесконечен број на агли одговараат на истата вредност на синусот, на пример, ако $\sin α=1/2,$ тогаш аголот $α$ може да биде еднаков на $30°$ и $150°,$ или во радијанска мерка $π /6$ и $5π/6,$ и кој било од аглите што се добива од нив со додавање член од формата $360°⋅k,$ или, соодветно, $2πk,$ каде што $k $ е кој било цел број. Ова станува јасно од испитувањето на графикот на функцијата $y=\sin x$ на целата бројна права (види слика $1$): ако на оската $Oy$ нацртаме отсечка со должина $1/2$ и нацртаме права линија паралелна со оската $Ox, тогаш таа ќе го пресече синусоидот на бесконечен број точки. За да се избегне можна разновидност на одговорите, се воведуваат инверзни тригонометриски функции, инаку наречени кружни или лачни функции (од латинскиот збор arcus - „лак“).

Главните четири тригонометриски функции $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ и $\mathrm(ctg)\,x$ одговараат на четири лак функции $\arcsin x,$ $ \arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ и $\mathrm(arcctg)\,x$ (читај: arcsine, arccosine, arctangent, arccotangent). Да ги разгледаме функциите \arcsin x и \mathrm(arctg)\,x, бидејќи другите две се изразуваат преку нив со помош на формулите:

$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$

Еднаквоста $y = \arcsin x$ по дефиниција значи агол $y,$ изразен во радијанска мерка и содржан во опсег од $−\frac(π)(2)$ до $\frac(π)(2), $ синус што е еднаков на $x,$ т.е. $\sin y = x.$ Функцијата $\arcsin x$ е функцијата инверзна функција$\sin x,$ разгледан на интервалот $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\right],$ каде оваа функција монотоно се зголемува и ги зема сите вредности од $−1 $ до $+1.$ Очигледно, аргументот $y$ на функцијата $\arcsin x$ може да земе вредности само од интервалот $\left[−1,+1\десно].$ Значи, Функцијата $y=\arcsin x$ е дефинирана на интервалот $\left[−1,+1\десно], $ монотоно се зголемува, а нејзините вредности го исполнуваат интервалот $\left[−\frac(π) (2),+\frac(π)(2)\ десно].$ Графикот на функцијата е прикажан на сл. 2, $

Под услов $−1 ≤ a ≤ 1$, можеме да ги претставиме сите решенија на равенката $\sin x = a$ во форма $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0 ,±1,± 2, ….$ На пример, ако

$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$ потоа $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 ,….$

Релацијата $y=\mathrm(arcctg)\,x$ е дефинирана за сите вредности на $x$ и по дефиниција значи дека аголот $y,$ изразен во радијанска мерка, е содржан во

$−\frac(π)(2)

а тангентата на овој агол е еднаква на x, т.е. $\mathrm(tg)\,y = x.$ Функцијата $\mathrm(arctg)\,x$ е дефинирана на целата бројна права и е инверзна функција на функцијата $\mathrm( tg)\,x$, која се смета само на интервалот

$−\frac(π)(2)

Функцијата $y = \mathrm(arctg)\,x$ монотоно се зголемува, нејзиниот график е прикажан на сл. $3, $

Сите решенија на равенката $\mathrm(tg)\,x = a$ може да се напишат во форма $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$

Забележете дека инверзните тригонометриски функции се широко користени во математичката анализа. На пример, една од првите функции за која е добиена претстава со серија на бесконечна моќност е функцијата $\mathrm(arctg)\,x.$ Од оваа серија, Г. Лајбниц, со фиксна вредност на аргументот $x =1$, ја доби познатата претстава на број до бесконечна близина

Инверзни тригонометриски функции- тоа се арксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс.

Прво да дадеме неколку дефиниции.

АрксинИли, можеме да кажеме дека ова е таков агол, кои припаѓаат на сегментот, чиј синус е еднаков на бројот a.

лак косинусбројот а се нарекува број таков што

Арктангенсбројот а се нарекува број таков што

Аркотангентабројот а се нарекува број таков што

Ајде да разговараме подетално за овие четири нови функции за нас - инверзни тригонометриски.

Запомнете, ние веќе се запознавме.

На пример, аритметичкиот квадратен корен на a е ненегативен број чиј квадрат е еднаков на a.

Логаритмот на бројот b до основата a е број c таков што

При што

Ние разбираме зошто математичарите мораа да „измислат“ нови функции. На пример, решенија на равенка се и не би можеле да ги запишеме без специјалниот аритметички симбол квадратен корен.

Концептот на логаритам се покажа како неопходен за запишување решенија, на пример, за таква равенка: Решението на оваа равенка е ирационален бројОва е експонентот до кој 2 мора да се подигне за да се добие 7.

Истото е и со тригонометриските равенки. На пример, сакаме да ја решиме равенката

Јасно е дека неговите решенија одговараат на точки на тригонометрискиот круг чија ордината е еднаква на И јасно е дека тоа не е табеларната вредност на синусот. Како да запишете решенија?

Овде не можеме без нова функција, означувајќи го аголот чиј синус е еднаков на даден броја. Да, сите веќе погодија. Ова е арксин.

Аголот што припаѓа на отсечката чиј синус е еднаков е лаксин од една четвртина. И ова значи дека низата решенија на нашата равенка што одговараат на вистинската точка на тригонометрискиот круг е

И втората серија решенија на нашата равенка е

Повеќе за решението тригонометриски равенки - .

Останува да се открие - зошто дефиницијата за лак означува дека ова е агол што припаѓа на сегментот?

Факт е дека има бесконечно многу агли чиј синус е еднаков на, на пример, . Треба да избереме еден од нив. Го избираме оној што лежи на сегментот.

Погледни тригонометриски круг. Ќе видите дека на отсечката секој агол одговара на одредена синусна вредност, и тоа само една. И обратно, секоја вредност на синусот од сегментот одговара на една вредност на аголот на отсечката. Ова значи дека на сегмент можете да дефинирате функција земајќи вредности од до

Да ја повториме дефиницијата уште еднаш:

Лак на број е бројот , такви што

Ознака: Областа за дефиниција на лак е сегмент. Опсегот на вредности е сегмент.

Можете да се сетите на фразата „арксините живеат десно“. Само не заборавајте дека не е само десно, туку и на сегментот.

Подготвени сме да ја графираме функцијата

Како и обично, ги исцртуваме вредностите x на хоризонталната оска и вредностите y на вертикалната оска.

Затоа што, според тоа, x се наоѓа во опсег од -1 до 1.

Тоа значи дека доменот на дефиниција на функцијата y = arcsin x е отсечката

Рековме дека y припаѓа на отсечката. Ова значи дека опсегот на вредности на функцијата y = arcsin x е сегментот.

Забележете дека графикот на функцијата y=arcsinx целосно се вклопува во регионот ограничен со линииИ

Како и секогаш кога цртаме график на непозната функција, да почнеме со табела.

По дефиниција, лакот на нула е број од отсечката чиј синус е еднаков на нула. Која е оваа бројка? - Јасно е дека ова е нула.

Слично на тоа, лакот на еден е број од отсечката чиј синус е еднаков на еден. Очигледно ова

Продолжуваме: - ова е број од отсечката чиј синус е еднаков на . Да тоа

0
0

Изградба на график на функција

Својства на функцијата

1. Опсег на дефиниција

2. Опсег на вредности

3., односно оваа функција е непарна. Неговиот график е симетричен во однос на потеклото.

4. Функцијата монотоно се зголемува. Неговата минимална вредност, еднаква на - , се постигнува во , а нејзината најголема вредност, еднаква на , во

5. Што покажуваат графиконите на функции и ? Зарем не мислите дека тие се „направени според истата шема“ - исто како десната гранка на функцијата и графикот на функцијата, или како графиците на експоненцијалните и логаритамските функции?

Замислете дека отсекувавме мал фрагмент од до до од обичен синусен бран, а потоа го свртевме вертикално - и ќе добиеме арсинистички график.

Она што за функцијата на овој интервал се вредностите на аргументот, тогаш за лакот ќе има вредности на функцијата. Така треба да биде! На крајот на краиштата, синус и лак - реципрочни функции. Други примери на парови на меѓусебно инверзни функции се на и , како и експоненцијални и логаритамски функции.

Потсетиме дека графиконите на взаемно инверзните функции се симетрични во однос на правата линија

На сличен начин ја дефинираме функцијата.Потребна ни е само отсечка на која секоја вредност на аголот одговара на сопствената косинус вредност, а познавајќи го косинусот, можеме единствено да го најдеме аголот. Ќе ни одговара некој сегмент

Косинусот на лакот на некој број е бројот , така што

Лесно е да се запамети: „лак косинусите живеат одозгора“, и не само одозгора, туку и на сегментот

Ознака: Областа за дефиниција на лак косинус е сегмент. Опсегот на вредности е сегмент.

Очигледно, сегментот е избран затоа што на него секоја косинусова вредност се зема само еднаш. Со други зборови, секоја косинусова вредност, од -1 до 1, одговара на една вредност на аголот од интервалот

Лак косинус не е ниту парен ниту непарна функција. Но, можеме да ја користиме следната очигледна врска:

Ајде да ја нацртаме функцијата

Ни треба дел од функцијата каде што е монотона, односно ја зема секоја вредност точно еднаш.

Ајде да избереме сегмент. На овој сегмент функцијата монотоно се намалува, односно кореспонденцијата помеѓу множествата е еден-на-еден. Секоја x вредност има соодветна y вредност. На овој сегмент има функција инверзна на косинус, односно функцијата y = arccosx.

Ајде да ја пополниме табелата користејќи ја дефиницијата за лачен косинус.

Косинусот на лакот на бројот x што припаѓа на интервалот ќе биде број y што му припаѓа на интервалот така што

Ова значи, бидејќи;

Бидејќи;

Бидејќи,

Бидејќи,

0
0

Еве го косинусниот графикон на лакот:

Својства на функцијата

1. Опсег на дефиниција

2. Опсег на вредности

Оваа функција општ поглед- не е ниту пар, ниту непарен.

4. Функцијата строго се намалува. Највисока вредност, еднаква на , функцијата y = arccosx ја зема во , а најмалата вредност еднаква на нула ја зема во

5. Функциите и се меѓусебно инверзни.

Следните се арктангентен и аркотангентен.

Арктангенсот на бројот е бројот , така што

Ознака: . Областа на дефиниција на арктангенсот е интервалот. Областа на вредности е интервалот.

Зошто краевите на интервалот - точки - се исклучени во дефиницијата за арктангенс? Се разбира, бидејќи тангентата на овие точки не е дефинирана. Не постои број а еднаков на тангентата на кој било од овие агли.

Ајде да изградиме график на арктангенсот. Според дефиницијата, арктангенсот на бројот x е број y што припаѓа на интервалот таков што

Како да се изгради графикон веќе е јасно. Бидејќи арктангента е инверзна функција на тангента, постапуваме на следниов начин:

Избираме дел од графикот на функцијата каде кореспонденцијата помеѓу x и y е еден на еден. Ова е интервалот C. Во овој дел функцијата зема вредности од до

Тогаш инверзната функција, односно функцијата, има домен на дефиниција што ќе биде целата бројна линија, од до, а опсегот на вредности ќе биде интервалот

Средства,

Средства,

Средства,

Но, што се случува за бесконечно големи вредности на x? Со други зборови, како оваа функција се однесува додека x се стреми кон плус бесконечност?

Можеме да си го поставиме прашањето: за кој број во интервалот тангентата вредност се стреми кон бесконечност? - Очигледно ова

Ова значи дека за бесконечно големи вредности на x, арктангентниот график се приближува до хоризонталната асимптота

Слично на тоа, ако x се приближи до минус бесконечност, арктангентниот график се приближува до хоризонталната асимптота

Сликата покажува график на функцијата

Својства на функцијата

1. Опсег на дефиниција

2. Опсег на вредности

3. Функцијата е непарна.

4. Функцијата строго се зголемува.

6. Функции и се меѓусебно инверзни - се разбира, кога функцијата се разгледува на интервалот

Слично на тоа, ја дефинираме функцијата на инверзна тангента и ја исцртуваме нејзината графика.

Аркотангента на бројот е бројот , така што

График на функции:

Својства на функцијата

1. Опсег на дефиниција

2. Опсег на вредности

3. Функцијата е од општа форма, односно ниту парна ниту непарна.

4. Функцијата строго се намалува.

5. Директни и - хоризонтални асимптоти на оваа функција.

6. Функциите и се меѓусебно инверзни ако се земат предвид на интервалот

Дефиниција и нотација

Арксин (y = arcsin x) е инверзна функција на синус (x = грешни -1 ≤ x ≤ 1и множеството вредности -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Арксинот понекогаш се означува на следниов начин:
.

График на функцијата на лак

График на функцијата y = arcsin x

Графикот на лак се добива од синусниот график ако се заменуваат оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лакот.

Аркозин, аркос

Дефиниција и нотација

Лачен косинус (y = arccos x) е инверзна функција на косинус (x = cos y). Има опсег -1 ≤ x ≤ 1и многу значења 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Аркозинот понекогаш се означува на следниов начин:
.

График на косинус функција на лакот


График на функцијата y = arccos x

Косинусниот график на лакот се добива од косинусниот график ако се заменуваат оските на апсцисата и ординатите. За да се елиминира двосмисленоста, опсегот на вредности е ограничен на интервалот во кој функцијата е монотона. Оваа дефиниција се нарекува главна вредност на лакот косинус.

Паритет

Функцијата на лак е непарна:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Косинусот на лакот не е парен или непарен:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Својства - екстремни, зголемување, намалување

Функциите arcsine и arccosine се континуирани во нивниот домен на дефиниција (види доказ за континуитет). Главните својства на арксин и аркозин се претставени во табелата.

y = arcsin x y = arccos x
Опсег и континуитет - 1 ≤ x ≤ 1 - 1 ≤ x ≤ 1
Опсег на вредности
Растечки, опаѓачки монотоно се зголемува монотоно се намалува
Високи
Минимумите
Нули, y = 0 x = 0 x = 1
Пресечни точки со ординатна оска, x = 0 y = 0 y = π/ 2

Табела на арксини и аркосини

Оваа табела ги прикажува вредностите на арксини и аркосини, во степени и радијани, за одредени вредности на аргументот.

x arcsin x arccos x
град мило. град мило.
- 1 - 90 ° - 180° π
- - 60 ° - 150°
- - 45 ° - 135°
- - 30 ° - 120°
0 0° 0 90°
30° 60°
45° 45°
60° 30°
1 90° 0° 0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Формули

Исто така види: Изведување на формули за инверзни тригонометриски функции

Формули за збир и разлика


на или

на и

на и


на или

на и

на и


на

на


на

на

Изрази преку логаритми, сложени броеви

Исто така види: Изведување формули

Изрази преку хиперболични функции

Деривати

;
.
Видете Изведување на арксин и деривати на аркозин > > >

Деривати од повисок ред:
,
каде е полином на степен . Се одредува со формулите:
;
;
.

Видете Изведување на деривати од повисок ред на арксин и аркозин > > >

Интеграли

Ја правиме замената x = грев т. Интегрираме по делови, имајќи предвид дека -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, цена t ≥ 0:
.

Ајде да изразиме лак косинус преку лачен синус:
.

Проширување на серијата

Кога |x|< 1 се случува следното распаѓање:
;
.

Инверзни функции

Инверзните на арксин и аркозин се синус и косинус, соодветно.

Следниве формули важат во целиот домен на дефиниција:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Следниве формули важат само за множеството вредности на арксин и аркозин:
arcsin(sin x) = xна
arccos(cos x) = xво .

Референци:
И.Н. Бронштајн, К.А. Семендјаев, Прирачник за математика за инженери и студенти, „Лан“, 2009 година.

Исто така види:

Во оваа лекција ќе ги разгледаме карактеристиките инверзни функциии повторете инверзни тригонометриски функции. Својствата на сите основни инверзи ќе бидат разгледани одделно. тригонометриски функции: арксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс.

Оваа лекција ќе ви помогне да се подготвите за еден од видовите задачи НА 7И C1.

Подготовка за Единствен државен испит по математика

Експериментирајте

Лекција 9. Инверзни тригонометриски функции.

Теорија

Резиме на лекција

Да се ​​потсетиме кога ќе се сретнеме со таков концепт како инверзна функција. На пример, разгледајте ја функцијата за квадрат. Дозволете ни да имаме квадратна просторија со страни од 2 метри и сакаме да ја пресметаме нејзината површина. За да го направите ова, користејќи ја квадратната формула, квадратуваме два и како резултат добиваме 4 м2. Сега замислете го инверзниот проблем: ја знаеме плоштината на квадратна просторија и сакаме да ги најдеме должините на нејзините страни. Ако знаеме дека површината е сепак иста 4 m2, тогаш ќе го извршиме обратното дејство на квадрат - извлекување на аритметички квадратен корен, што ќе ни даде вредност од 2 m.

Така, за функцијата на квадрат на број, инверзната функција е да се земе аритметичкиот квадратен корен.

Поточно, во горниот пример, немавме никакви проблеми со пресметување на страната на просторијата, бидејќи разбираме дека ова е позитивна бројка. Меѓутоа, ако се одмориме од овој случај и го разгледаме проблемот на поопшт начин: „Пресметај го бројот чиј квадрат е еднаков на четири“, ќе се соочиме со проблем - има два такви бројки. Тоа се 2 и -2, затоа што исто така е еднакво на четири. Излегува дека инверзниот проблем во општиот случај може да се реши двосмислено, а дејството на одредување на бројот што на квадрат го дал бројот што го знаеме? има два резултати. Удобно е да се прикаже ова на графикон:

Ова значи дека таков закон за кореспонденција на броеви не можеме да го наречеме функција, бидејќи за функција една вредност од аргументот одговара на строго еденвредност на функцијата.

Со цел прецизно да се воведе инверзната функција на квадрат, беше предложен концептот на аритметички квадратен корен, кој дава само ненегативни вредности. Оние. за функција, инверзната функција се смета за .

Слично на тоа, постојат функции инверзни на тригонометриските, тие се нарекуваат инверзни тригонометриски функции. Секоја од функциите што ги разгледавме има своја инверзна, тие се нарекуваат: лаксин, аркозин, арктангенс и аркотангенс.

Овие функции го решаваат проблемот со пресметување на агли од позната вредност на тригонометриската функција. На пример, користејќи табела со вредности на основни тригонометриски функции, можете да го пресметате синусот на кој агол е еднаков на . Ја наоѓаме оваа вредност во линијата на синусите и одредуваме на кој агол одговара. Првото нешто што сакате да одговорите е дека ова е аголот или, но ако имате табела со вредности на располагање, веднаш ќе забележите друг кандидат за одговорот - ова е аголот или. И ако се потсетиме на периодот на синусот, ќе разбереме дека има бесконечен број на агли на кои синусот е еднаков. И таков збир на вредности на агли што одговараат на дадена вредност на тригонометриската функција ќе се набљудува и за косинусите, тангентите и котангентите, бидејќи сите тие имаат периодичност.

Оние. се соочуваме со истиот проблем што го имавме за пресметување на вредноста на аргументот од вредноста на функцијата за операцијата квадратирање. И во овој случај, за инверзни тригонометриски функции, беше воведено ограничување на опсегот на вредности што тие ги даваат при пресметувањето. Ова својство на таквите инверзни функции се нарекува стеснување на опсегот на вредности, а тоа е неопходно за да се нарекуваат функции.

За секоја од инверзните тригонометриски функции, опсегот на агли што ги враќа е различен и ќе ги разгледаме одделно. На пример, лакот ги враќа вредностите на аголот во опсег од до .

Способноста за работа со инверзни тригонометриски функции ќе ни биде корисна при решавање на тригонометриски равенки.

Сега ќе ги посочиме основните својства на секоја од инверзните тригонометриски функции. Кој сака подетално да се запознае со нив, погледнете го поглавјето „Решавање тригонометриски равенки“ во програмата за 10-то одделение.

Да ги разгледаме својствата на функцијата лак и да го изградиме нејзиниот график.

Дефиниција.Арксин на бројотx

Основни својства на лаксинот:

1) во,

2) во .

Основни својства на лаксинската функција:

1) Опсег на дефиниција ;

2) Опсег на вредности ;

3) Функцијата е непарна Препорачливо е да ја запаметите оваа формула посебно, бидејќи тоа е корисно за трансформации. Исто така, забележуваме дека необичноста ја подразбира симетријата на графикот на функцијата во однос на потеклото;

Ајде да изградиме график на функцијата:

Ве молиме имајте предвид дека ниту еден од деловите на графикот на функцијата не се повторува, што значи дека лакот не е периодична функција, за разлика од синус. Истото ќе важи и за сите други функции на лак.

Да ги разгледаме својствата на косинусната функција на лакот и да го изградиме неговиот график.

Дефиниција.лак косинус на бројотxе вредноста на аголот y за кој . Покрај тоа, и како ограничувања на вредностите на синусот, и како избраниот опсег на агли.

Основни својства на лачниот косинус:

1) во,

2) во .

Основни својства на косинусната функција на лакот:

1) Опсег на дефиниција ;

2) Опсег на вредности;

3) Функцијата не е ниту парна ниту непарна, т.е. општ поглед . Исто така, препорачливо е да се запамети оваа формула, таа ќе ни биде корисна подоцна;

4) Функцијата монотоно се намалува.

Ајде да изградиме график на функцијата:

Да ги разгледаме својствата на функцијата арктангенс и да го изградиме нејзиниот график.

Дефиниција.Арктангенс на бројотxе вредноста на аголот y за кој . Покрај тоа, затоа што Нема ограничувања на вредностите на тангентите, туку на избраниот опсег на агли.

Основни својства на арктангенсот:

1) во,

2) во .

Основни својства на функцијата арктангенс:

1) Опсег на дефиниција;

2) Опсег на вредности ;

3) Функцијата е непарна . Оваа формула е исто така корисна, како и други слични на неа. Како и во случајот со лакот, необичноста имплицира дека графикот на функцијата е симетричен во однос на потеклото;

4) Функцијата монотоно се зголемува.

Ајде да изградиме график на функцијата:

Инверзна косинусна функција

Опсегот на вредности на функцијата y=cos x (види слика 2) е отсечка. На сегментот функцијата е континуирана и монотоно опаѓачка.

Ориз. 2

Тоа значи дека на отсечката е дефинирана функцијата инверзна на функцијата y=cos x. Оваа инверзна функција се нарекува лак косинус и се означува y=arccos x.

Дефиниција

Аркозин на бројот a, ако |a|1, е аголот чиј косинус припаѓа на отсечката; се означува со arccos a.

Така, arccos a е агол што ги задоволува следните два услови: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

На пример, arccos, бидејќи cos и; arccos, бидејќи cos и.

Функцијата y = arccos x (слика 3) е дефинирана на сегмент; нејзиниот опсег на вредности е сегментот. На отсечката, функцијата y=arccos x е континуирана и монотоно се намалува од p на 0 (бидејќи y=cos x е континуирана и монотоно опаѓачка функција на отсечката); на краевите на отсечката ги достигнува своите екстремни вредности: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Забележете дека arccos 0 = . Графикот на функцијата y = arccos x (види слика 3) е симетричен на графикот на функцијата y = cos x во однос на правата y=x.

Ориз. 3

Да покажеме дека важи еднаквоста arccos(-x) = p-arccos x.

Всушност, по дефиниција 0? arccos x? Р. Помножувајќи се со (-1) сите делови од последната двојна неравенка, добиваме - p? arccos x? 0. Додавајќи го p на сите делови од последната неравенка, наоѓаме дека 0? p-arccos x? Р.

Така, вредностите на аглите arccos(-x) и p - arccos x припаѓаат на истиот сегмент. Бидејќи косинусот монотоно се намалува на отсечка, не може да има два различни агли на него еднакви косинуси. Да ги најдеме косинусите на аглите arccos(-x) и p-arccos x. По дефиниција cos (arccos x) = - x, според формулите за редукција и по дефиниција имаме: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Значи, косинусите на аглите се еднакви, што значи дека самите агли се еднакви.

Инверзна синусна функција

Да ја разгледаме функцијата y=sin x (сл. 6), која на отсечката [-р/2;р/2] е растечка, континуирана и зема вредности од отсечката [-1; 1]. Тоа значи дека на сегментот [- p/2; p/2] се дефинира инверзната функција на функцијата y=sin x.

Ориз. 6

Оваа инверзна функција се нарекува лаксин и се означува y=arcsin x. Да ја воведеме дефиницијата за лак на број.

Лак на број е агол (или лак) чиј синус е еднаков на бројот a и кој припаѓа на отсечката [-р/2; стр/2]; се означува со arcsin a.

Така, arcsin a е агол кој ги задоволува следните услови: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2 ? лак, а? r/2. На пример, бидејќи гревот и [- p/2; стр/2]; arcsin, бидејќи sin = u [- p/2; стр/2].

Функцијата y=arcsin x (сл. 7) е дефинирана на отсечката [- 1; 1], опсегот на неговите вредности е сегментот [-р/2;р/2]. На сегментот [- 1; 1] функцијата y=arcsin x е континуирана и монотоно се зголемува од -p/2 до p/2 (ова произлегува од фактот дека функцијата y=sin x на отсечката [-p/2; p/2] е континуирана и монотоно се зголемува). Таа ја зема најголемата вредност при x = 1: arcsin 1 = p/2, а најмалата на x = -1: arcsin (-1) = -p/2. На x = 0 функцијата е нула: arcsin 0 = 0.

Да покажеме дека функцијата y = arcsin x е непарна, т.е. arcsin(-x) = - arcsin x за било кој x [ - 1; 1].

Навистина, по дефиниција, ако |x| ?1, имаме: - p/2 ? arcsin x ? ? r/2. Така, аглите arcsin(-x) и - arcsin x припаѓаат на истиот сегмент [ - стр/2; стр/2].

Ајде да ги најдеме синусите на овиеагли: sin (arcsin(-x)) = - x (по дефиниција); бидејќи функцијата y=sin x е непарна, тогаш sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Значи, синусите на аглите кои припаѓаат на истиот интервал [-р/2; p/2], се еднакви, што значи дека самите агли се еднакви, т.е. arcsin (-x)= - arcsin x. Тоа значи дека функцијата y=arcsin x е непарна. Графикот на функцијата y=arcsin x е симетричен во однос на потеклото.

Да покажеме дека arcsin (sin x) = x за било кој x [-р/2; стр/2].

Навистина, по дефиниција -p/2? arcsin (грев х) ? стр/2, а по услов -p/2? x? r/2. Тоа значи дека аглите x и arcsin (sin x) припаѓаат на истиот интервал на монотоност на функцијата y=sin x. Ако синусите на таквите агли се еднакви, тогаш самите агли се еднакви. Ајде да ги најдеме синусите на овие агли: за агол x имаме sin x, за агол arcsin (sin x) имаме sin (arcsin(sin x)) = sin x. Откривме дека синусите на аглите се еднакви, затоа, аглите се еднакви, т.е. arcsin(sin x) = x. .

Ориз. 7

Ориз. 8

Графикот на функцијата arcsin (sin|x|) се добива со вообичаените трансформации поврзани со модулот од графикот y=arcsin (sin x) (прикажано со испрекината линија на сл. 8). Посакуваниот график y=arcsin (sin |x-/4|) се добива од него со поместување за /4 надесно по x-оската (прикажано како полна линија на сл. 8)

Инверзна функција на тангента

Функцијата y=tg x на интервалот ги зема сите нумерички вредности: E (tg x)=. Во текот на овој интервал тој е континуиран и монотоно се зголемува. Ова значи дека на интервалот е дефинирана функција инверзна на функцијата y = tan x. Оваа инверзна функција се нарекува арктангенс и се означува y = арктан x.

Арктангента на a е агол од интервал чија тангента е еднаква на a. Така, arctg a е агол што ги задоволува следните услови: tg (arctg a) = a и 0? арктг а ? Р.

Значи, секој број x секогаш одговара на една вредност на функцијата y = арктан x (сл. 9).

Очигледно е дека D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Функцијата y = арктан x се зголемува бидејќи функцијата y = tan x се зголемува на интервалот. Не е тешко да се докаже дека arctg(-x) = - arctgx, т.е. тој арктангенс е непарна функција.

Ориз. 9

Графикот на функцијата y = арктан x е симетричен на графикот на функцијата y = tan x во однос на правата линија y = x, графикот y = арктан x поминува низ потеклото на координатите (бидејќи арктан 0 = 0) и е симетричен во однос на потеклото (како графикот на непарна функција).

Може да се докаже дека арктан (tan x) = x ако x.

Котангентна инверзна функција

Функцијата y = ctg x на интервал ги зема сите нумерички вредности од интервалот. Опсегот на неговите вредности се совпаѓа со множеството на сите реални броеви. Во интервалот, функцијата y = cot x е континуирана и монотоно се зголемува. Тоа значи дека на овој интервал е дефинирана функција која е инверзна на функцијата y = cot x. Инверзната функција на котангенсот се нарекува аркотангента и се означува y = arcctg x.

Лачниот котангенс на a е агол кој припаѓа на интервал чиј котангенс е еднаков на a.

Така, аrcctg a е агол што ги задоволува следните услови: ctg (arcctg a)=a и 0? arcctg a ? Р.

Од дефиницијата на инверзната функција и дефиницијата за арктангенс произлегува дека D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Лачниот котангенс е опаѓачка функција бидејќи функцијата y = ctg x се намалува во интервалот.

Графикот на функцијата y = arcctg x не ја пресекува оската Ox, бидејќи y > 0 R. За x = 0 y = arcctg 0 =.

Графикот на функцијата y = arcctg x е прикажан на слика 11.

Ориз. 11

Забележете дека за сите реални вредности на x, идентитетот е вистинит: arcctg(-x) = p-arcctg x.