Губење на корени и надворешни корени при решавање равенки

Општинска образовна установа „СОУ бр.2 со длабинска студијапоединечни предмети“ на градот Всеволожск. Истражувачка работаизготвен од ученик од одделение 11Б: Василиј Василиев. Раководител на проектот: Егорова Људмила Алексеевна.

Равенка Прво, ајде да погледнеме различни начини за решавање на оваа равенка sinx+cosx =- 1

Решение бр. 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Одговор: + 2

Решение бр. 2 sinx+cosx = - 1. Одговор: +2 y x 0 1 2 синкос+ - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tan =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Решение бр.3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Одговор:

sinx+cosx =-1 Решение бр. 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Одговор: - + 2 n

Да ги споредиме решенијата Точни решенија Ајде да откриеме во кои случаи може да се појават надворешни корени и зошто бр. 2 Одговор: +2 бр. 3 Одговор: бр. 4 Одговор: + 2 n бр. 1 Одговор: +2

Проверка на решението Дали е потребно да се провери? Дали треба да ги проверам корените за секој случај, за да бидам на безбедна страна? Ова секако е корисно кога е лесно да се замени, но математичарите се рационални луѓе и не прават непотребни работи. Ајде да погледнеме различни случаи и да запомниме кога навистина е потребна верификација.

1. Наједноставни готови формули c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a Во случаите кога корените се наоѓаат со помош на наједноставните, готови формули, проверката не треба да се прави. Меѓутоа, кога користите такви формули, треба да се сеќавате на условите под кои тие можат да се користат. На пример, формулата = може да се користи под услов a 0, -4ac 0 и одговорот x= arccos2+2 за равенката cosx =2 се смета за груба грешка, бидејќи формулата x= arccos a +2 може да биде само се користи за корените на равенката cosx =a, каде што | a | 1

2. Трансформации Почесто, кога решавате равенки, треба да извршите многу трансформации. Ако равенката се замени со нова која ги има сите корени од претходната и се трансформира така што нема губење или стекнување корени, тогаш таквите равенки се нарекуваат еквивалентни. 1. При пренесување на компонентите на равенката од еден во друг дел. 2. Кога се додава ист број на двете страни. 3. Кога двете страни на равенката се множат со ист број што не е нула. 4 . При примена на идентитети кои се вистинити на сетот на сите реални броеви. Сепак, верификацијата не е потребна!

Сепак, не секоја равенка може да се реши со еквивалентни трансформации. Почесто е неопходно да се применат нееднакви трансформации. Често ваквите трансформации се засноваат на употреба на формули кои не се валидни за сите реални вредности. Во овој случај, особено, се менува доменот на дефинирање на равенката. Оваа грешка се наоѓа во решението бр. 4. Да ја погледнеме грешката, но прво да го погледнеме повторно решението бр.4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Грешката лежи во формулата sin2x= Оваа формула може да се користи, но дополнително треба да проверите дали корените се броеви од формата + за кои не е дефинирано tg. Сега е јасно дека решението е губење на корените. Ајде да видиме до крај.

Решение бр. 4 i y x 0 1 Да ги провериме броевите = + n со замена: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Значи x= +2 n е коренот на равенката Одговор: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Разгледавме еден од начините за губење корени; има многу од нив во математиката, па затоа треба внимателно да ги решите, запомнувајќи ги сите правила. Како што можете да ги изгубите корените на равенката, можете да стекнете и дополнителни во текот на нејзиното решавање. Да го разгледаме решението бр. 3 во кое е направена таква грешка.

Решение #3 I y x 0 1 2 2 и дополнителни корени! Може да се појават надворешни корени кога двете страни на равенката се на квадрат. Во овој случај, потребно е да се провери. За n=2k имаме sin k+cos k=-1; cos k=-1 за k=2m-1, тогаш n=2(2m+1)=4m+2, x= = +2 m, Одговор: +2 За n=2k+1 имаме грев +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 при k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Значи, разгледавме неколку можни случаи, од кои има многу. Обидете се да не губите време и да не правите глупави грешки.

Основни методи за решавање равенки

Кое е решението на равенката?

Идентична трансформација. Основни

видови на идентитетски трансформации.

Странски корен. Губење на коренот.

Решавање на равенката е процес кој се состои главно од замена дадена равенкадруга равенка еквивалентна на неа . Оваа замена се нарекуваидентична трансформација . Основни идентитетски трансформацииследното:

1.

Замена на еден израз со друг што е идентично еднаков на него. На пример, равенката (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 може да се замени со следниов еквивалент:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Пренесување на членовите на равенката од едната на другата страна со обратни знаци. Значи, во претходната равенка можеме да ги пренесеме сите нејзини членови од десната страна налево со знакот „-“: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x - 10 = 0, по што добиваме:9 x 2 – 3 x - 6 = 0 .

3.

Множење или делење на двете страни на равенката со ист израз (број) различен од нула. Ова е многу важно бидејќиновата равенка може да не е еквивалентна на претходната ако изразот со кој множиме или делиме може да биде еднаков на нула.

ПРИМЕР Равенкатаx - 1 = 0 има еден коренx = 1.

Множење на двете страни соx - 3 , ја добиваме равенката

( x - 1)( x - 3) = 0, што има два корени:x = 1 иx = 3.

Последната вредност не е коренот на дадената равенка

x - 1 = 0. Ова е т.ннадворешен корен .

Спротивно на тоа, поделбата може да доведе догубење на коренот . Значи

во нашиот случај, ако (x - 1 )( x - 3 ) = 0 е оригиналот

равенка, па коренотx = 3 ќе биде изгубен во делба

двете страни на равенката наx - 3 .

Во последната равенка (точка 2), можеме да ги поделиме сите нејзини членови со 3 (не нула!) и на крајот да добиеме:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Оваа равенка е еквивалентна на оригиналната:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Можеподигнете ги двете страни на равенката на непарна моќност илиизвлечете го непарниот корен од двете страни на равенката . Треба да се запомни дека:

а) изградба водури и степен може да предизвикадо стекнување на туѓи корени ;

б)погрешно екстракцијадури и корен може да доведе догубење на корените .

ПРИМЕРИ. Равенка 7x = 35 има еден коренx = 5 .

Со квадратирање на двете страни на оваа равенка, добиваме

равенката:

49 x 2 = 1225 .

има два корени:x = 5 Иx = – 5. Последна вредност

е надворешен корен.

Погрешно екстракција квадратен коренод двете

делови од равенката 49x 2 = 1225 резултати во 7x = 35,

а ние ги губиме нашите корениx = – 5.

Точно земањето квадратен корен резултира со

равенка: | 7x | = 35, А оттука до два случаи:

1) 7 x = 35, Потоаx = 5 ; 2) – 7 x = 35, Потоаx = – 5 .

Затоа, когаточно вадење квадрат

корени не ги губиме корените на равенката.

Што значиВо право извадете го коренот? Ова е местото каде што се среќаваме

со многу важен концептаритметички корен

(цм. ).

ЗАБИ. Забите на 'рбетниците се целосно слични по структура и развој со плакоидните лушпи што ја покриваат целата кожа на рибата ајкула. Бидејќи целата усна шуплина, а делумно и фарингеалната празнина, е обложена со ектодермален епител, типичен плакоид... ...

ПЕЛМОНАРНА ТУБЕРКУЛОЗА- ПЕЛМОНАРНА ТУБЕРКУЛОЗА. Содржина: I. Патолошка анатомија...........110 II. Класификација на белодробна туберкулоза.... 124 III. Клиника............................128 IV. Дијагностика............................160 V. Прогноза................. .......... 190 VI. Третман… Голема медицинска енциклопедија

ТРУЕЊЕ- ТРУЕЊЕ. Труењето значи „нарушување на функциите на животните“. организми, предизвикани од егзогени или ендогени, хемиски или физички и хемиски активни супстанции, кои се туѓи по квалитет, квантитет или концентрација... ... Голема медицинска енциклопедија

Бактерии од јазли на мешунките- Палеонтолошките податоци укажуваат дека најстарите мешунки кои имале јазли биле некои растенија кои припаѓаат на групата Eucaesalpinioideae. У модерни видовиОткриени се јазли од мешункасти растенија... Биолошка енциклопедија

Список на епизоди од анимираната серија „Лунтик“- Во оваа статија недостасуваат врски до извори на информации. Информациите мора да бидат проверливи, во спротивно може да бидат доведени во прашање и избришани. Можеш... Википедија

РАСТЕНИЈАТА И ЖИВОТНАТА СРЕДИНА- Животот на растението, како и секој друг жив организам, е комплексен збир на меѓусебно поврзани процеси; најзначајниот од нив, како што е познато, е метаболизмот со животната средина. Околината е изворот од кој... ... Биолошка енциклопедија

Список на епизоди од серијата „Лунтик“- Главна статија: Авантурите на Лунтик и неговите пријатели Содржина 1 Број на епизоди 2 Список на епизоди од анимираната серија Лунтик и неговите пријатели ... Википедија

Болести на овошни дрвја- Овошните дрвја, благодарение на постојаната човечка грижа за нив, треба да достигнат многу постара возраст од нивните необработени роднини, ако не и против спротивставените влијанија на многу состојби на самата култура, имено барањата што ги поставуваме... ...

Сеча на шуми- бербата на шумите, или вадењето на шумскиот приход во форма на дрво и кора, може да се изврши на два начина: со ископување или искоренување на цели дрвја, т.е. стебла заедно со корените, или одделно, во делови, прво исечени или отстранети. од... ... енциклопедиски речникФ. Брокхаус и И.А. Ефрон

Грош- (полски grosz, од германски Groschen, од латински grossus (dēnārius) „дебел denarius“) монета од различни земји и времиња. Содржина 1 Појавување на еден денар ... Википедија

Американски монети- 20 долари од Сен Гауден најубавата и најскапата американска монета Американските монети се монети кои се ковани во американската ковачница. Произведен од 1792 година... Википедија

Книги

  • Главните причини за губење на косата кај жените, Алексеј Мичман, Шест од десет жени страдаат од губење на косата во одреден период од нивниот живот. Опаѓањето на косата може да настане поради повеќе причини, како наследност, хормонални промени кај... Категорија:

Следниве трансформации најчесто се користат при решавање равенки:

Други трансформации

Во списокот претставен во претходниот пасус, намерно не вклучивме такви трансформации како што се подигање на двете страни на равенката на иста природна моќност, логаритам, потенцирање на двете страни на равенката, извлекување на коренот на истиот степен од двете страни на равенка, ослободување на надворешна функција и други. Факт е дека овие трансформации не се толку општи: трансформациите од горната листа се користат за решавање равенки од сите видови, а трансформациите штотуку споменатите се користат за решавање на одредени видови равенки (ирационални, експоненцијални, логаритамски итн.). Тие се детално дискутирани во рамките на соодветните методи за решавање на соодветните видови равенки. Еве линкови до нивните детални описи:

  • Подигнување на двете страни на равенката на иста природна моќност.
  • Преземање логаритми од двете страни на равенката.
  • Потенцирање на двете страни на равенката.
  • Извлекување на коренот на иста моќност од двете страни на равенката.
  • Замена на израз кој одговара на еден од деловите на првобитната равенка со израз од друг дел од првобитната равенка.

Обезбедените врски содржат сеопфатни информации за наведените трансформации. Затоа, повеќе нема да се задржуваме на нив во оваа статија. Сите последователни информации се однесуваат на трансформациите од листата на основни трансформации.

Што се случува како резултат на трансформација на равенката?

Спроведувањето на сите горенаведени трансформации може да даде или равенка која има исти корени како и првобитната равенка, или равенка чии корени ги содржат сите корени од првобитната равенка, но која може да има и други корени, или равенка чии корени нема да ги вклучува сите корени на трансформираната равенка. Во следните параграфи ќе анализираме која од овие трансформации, под кои услови, доведува до кои равенки. Ова е исклучително важно да се знае за успешно решавање на равенките.

Еквивалентни трансформации на равенки

Од особен интерес се трансформациите на равенките кои резултираат со еквивалентни равенки, односно равенки кои имаат ист сет на корени како и првобитната равенка. Таквите трансформации се нарекуваат еквивалентни трансформации. ВО училишни учебницисоодветната дефиниција не е дадена експлицитно, но лесно се чита од контекстот:

Дефиниција

Еквивалентни трансформации на равенкисе трансформации кои даваат еквивалентни равенки.

Па зошто еквивалентни трансформации се интересни? Факт е дека ако со нивна помош е можно да се дојде од решената равенка до прилично едноставна еквивалентна равенка, тогаш решавањето на оваа равенка ќе го даде посакуваното решение на првобитната равенка.

Од трансформациите наведени во претходниот пасус, не сите се секогаш еквивалентни. Некои трансформации се еквивалентни само под одредени услови. Ајде да направиме листа на искази кои одредуваат кои трансформации и под кои услови се еквивалентни трансформации на равенката. За да го направите ова, ќе ја земеме горната листа како основа, а на трансформациите што не се секогаш еквивалентни, ќе додадеме услови што им даваат еквивалентност. Еве ја листата:

  • Замена на израз на левата или десната страна на равенката со израз кој не ги менува променливите за равенката е еквивалентна трансформација на равенката.

Да објасниме зошто е тоа така. За да го направите ова, земаме равенка со една променлива (слично размислување може да се спроведе за равенки со неколку променливи) од формата A(x)=B(x), изразите на нејзината лева и десна страна ги означивме како A( x) и B(x), соодветно. Нека изразот C(x) е идентично еднаков на изразот A(x), а ODZ на променливата x од равенката C(x)=B(x) се совпаѓа со ODZ на променливата x за првобитната равенка. Да докажеме дека трансформацијата на равенката A(x)=B(x) во равенката C(x)=B(x) е еквивалентна трансформација, односно ќе докажеме дека равенките A(x)=B (x) и C(x) =B(x) се еквивалентни.

За да го направите ова, доволно е да се покаже дека кој било корен од првобитната равенка е корен на равенката C(x)=B(x), а секој корен од равенката C(x)=B(x) е корен на првобитната равенка.

Да почнеме со првиот дел. Нека q е коренот на равенката A(x)=B(x), тогаш кога ќе ја замениме за x ќе ја добиеме точната нумеричка еднаквост A(q)=B(q). Бидејќи изразите A(x) и C(x) се идентично еднакви и изразот C(q) има смисла (ова произлегува од условот дека OD за равенката C(x)=B(x) се совпаѓа со OD за првобитната равенка) , тогаш нумеричката еднаквост A(q)=C(q) е точно. Потоа ги користиме својствата на нумеричките еднаквости. Поради својството на симетрија, еднаквоста A(q)=C(q) може да се препише како C(q)=A(q) . Тогаш, поради својството на транзитивност, равенствата C(q)=A(q) и A(q)=B(q) имплицираат еднаквост C(q)=B(q). Ова докажува дека q е коренот на равенката C(x)=B(x) .

Апсолутно аналогно се докажува вториот дел, а со тоа и целата констатација во целина.

Суштината на анализираната еквивалентна трансформација е како што следува: ви овозможува да работите одделно со изрази на левата и десната страна на равенките, заменувајќи ги со идентично еднакви изрази на оригиналниот ODZ на променливите.

Најчест пример: можеме да го замениме збирот на броеви од десната страна на равенката x=2+1 со неговата вредност, што ќе резултира со еквивалентна равенка од формата x=3. Навистина, изразот 2+1 го заменивме со идентично еднаков израз 3, а ODZ на равенката не се промени. Друг пример: на левата страна од равенката 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 можеме, а од десната – , што ќе не доведе до еквивалентната равенка 3·x+ 6=5·x+ 3. Добиената равенка е навистина еквивалентна, бидејќи изразите ги заменивме со идентично еднакви изрази и во исто време добивме равенка која има OD што се совпаѓа со OD за првобитната равенка.

  • Додавањето ист број на двете страни на равенката или одземањето на истиот број од двете страни на равенката е еквивалентна трансформација на равенката.

Да докажеме дека со собирање на ист број c на двете страни на равенката A(x)=B(x) се добива еквивалентната равенка A(x)+c=B(x)+c и дека со одземање од двете страни на равенката A(x) =B(x) од истиот број c ја дава еквивалентната равенка A(x)−c=B(x)−c.

Нека q е коренот на равенката A(x)=B(x), тогаш еднаквоста A(q)=B(q) е точно. Својствата на нумеричките еднаквости ни овозможуваат да додадеме на двете страни на вистинска нумеричка еднаквост или да одземеме ист број од неговите делови. Да го означиме овој број како c, тогаш важат равенствата A(q)+c=B(q)+c и A(q)−c=B(q)−c. Од овие еднаквости произлегува дека q е коренот на равенката A(x)+c=B(x)+c и равенката A(x)−c=B(x)−c.

Сега назад. Нека q е коренот на равенката A(x)+c=B(x)+c и равенката A(x)−c=B(x)−c, а потоа A(q)+c=B(q) +c и A (q)−c=B(q)−c. Знаеме дека со одземање на ист број од двете страни на вистинска нумеричка еднаквост се добива вистинска нумеричка еднаквост. Знаеме и дека со додавање на точната бројна еднаквост на двете страни се добива точната нумеричка еднаквост. Да го одземеме бројот c од двете страни на точното нумеричко равенство A(q)+c=B(q)+c и да го додадеме бројот c на двете страни на еднаквоста A(x)−c=B(x) −в. Ова ќе ни ги даде точните нумерички еднаквости A(q)+c−c=B(q)+c−c и A(q)−c+c=B(q)+c−c, од кои заклучуваме дека А (q) =B(q) . Од последното равенство произлегува дека q е коренот на равенката A(x)=B(x) .

Ова ја докажува оригиналната изјава како целина.

Да дадеме пример за таква трансформација на равенките. Да ја земеме равенката x−3=1 и да ја трансформираме со додавање на бројот 3 на двете страни, по што ја добиваме равенката x−3+3=1+3, што е еквивалентно на првобитната. Јасно е дека во добиената равенка можете да извршите операции со броеви, како што дискутиравме во претходната точка од списокот, како резултат на тоа ја имаме равенката x=4. Значи, со еквивалентни трансформации, случајно ја решивме равенката x−3=1, нејзиниот корен е бројот 4. Разгледуваната еквивалентна трансформација многу често се користи за да се ослободиме од идентични нумерички термини лоцирани во различни делови од равенката. На пример, и во левата и во десната страна на равенката x 2 +1=x+1 има ист член 1, одземањето на бројот 1 од двете страни на равенката ни овозможува да преминеме на еквивалентната равенка x 2 + 1−1=x+1−1 и понатаму до еквивалентна равенка x 2 =x, и со тоа да се ослободиме од овие идентични поими.

  • Додавањето на двете страни на равенката или одземањето од двете страни на равенката израз за кој ODZ не е потесен од ODZ за првобитната равенка е еквивалентна трансформација.

Да ја докажеме оваа изјава. Односно, докажуваме дека равенките A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) се еквивалентни, под услов ODZ за изразот C(x ) не е веќе , отколку ODZ за равенката A(x)=B(x) .

Прво докажуваме една помошна точка. Да докажеме дека, под наведените услови, OD равенките пред и по трансформацијата се исти. Навистина, ODZ за равенката A(x)+C(x)=B(x)+C(x) може да се смета како пресек на ODZ за равенката A(x)=B(x) и ODZ за изразот C(x) . Од ова и од фактот дека ODZ за изразот C(x) не е потесен по услов од ODZ за равенката A(x)=B(x), произлегува дека ODZ за равенките A(x)= B(x) и A (x)+C(x)=B(x)+C(x) се исти.

Сега ќе ја докажеме еквивалентноста на равенките A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x), под услов опсезите на прифатливи вредности за овие равенките се исти. Нема да дадеме доказ за еквивалентноста на равенките A(x)=B(x) и A(x)−C(x)=B(x)−C(x) под наведениот услов, бидејќи е сличен .

Нека q е коренот на равенката A(x)=B(x), тогаш бројното равенство A(q)=B(q) е точно. Бидејќи ODZ на равенките A(x)=B(x) и A(x)+C(x)=B(x)+C(x) се исти, тогаш изразот C(x) има смисла кај x =q, што значи дека C(q) е некој број. Ако додадете C(q) на двете страни на точната нумеричка еднаквост A(q)=B(q), тогаш ова ќе ја даде точната нумеричка неравенка A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , од што произлегува дека q е коренот на равенката A(x)+C(x)=B(x)+C(x ) .

Назад. Нека q е коренот на равенката A(x)+C(x)=B(x)+C(x), тогаш A(q)+C(q)=B(q)+C(q) е a вистинска нумеричка еднаквост. Знаеме дека со одземање на ист број од двете страни на вистинска нумеричка еднаквост се добива вистинска нумеричка еднаквост. Одземете го C(q) од двете страни на еднаквоста A(q)+C(q)=B(q)+C(q), ова дава A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)и понатаму A(q)=B(q) . Според тоа, q е коренот на равенката A(x)=B(x) .

Така, конкретната изјава е целосно докажана.

Да дадеме пример за оваа трансформација. Да ја земеме равенката 2 x+1=5 x+2. Можеме да го додадеме на двете страни, на пример, изразот −x−1. Додавањето на овој израз нема да го промени ODZ, што значи дека таквата трансформација е еквивалентна. Како резултат на ова, ја добиваме еквивалентната равенка 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Оваа равенка може дополнително да се трансформира: отворете ги заградите и намалете ги сличните термини на левата и десната страна (видете ја првата ставка во списокот). По извршувањето на овие дејства ја добиваме еквивалентната равенка x=4·x+1. Трансформацијата на равенките што често се разгледуваат се користи за да се ослободат од идентичните поими кои се истовремено на левата и десната страна на равенката.

  • Ако поместите член во равенката од еден дел во друг, менувајќи го знакот на овој член во спротивен, ќе добиете равенка еквивалентна на дадената.

Оваа изјава е последица на претходните.

Да покажеме како се врши оваа еквивалентна трансформација на равенката. Да ја земеме равенката 3·x−1=2·x+3. Ајде да го преместиме терминот, на пример, 2 x од десната страна налево, менувајќи го неговиот знак. Во овој случај ја добиваме еквивалентната равенка 3·x−1−2·x=3. Може да се помести и минус еден од левата страна на равенката надесно, менувајќи го знакот во плус: 3 x−2 x=3+1. Конечно, носењето слични поими нè води до еквивалентната равенка x=4.

  • Множењето или делењето на двете страни на равенката со ист број што не е нула е еквивалентна трансформација.

Ајде да дадеме доказ.

Нека A(x)=B(x) е некоја равенка, а c некој број различен од нула. Да докажеме дека множењето или делењето на двете страни на равенката A(x)=B(x) со бројот c е еквивалентна трансформација на равенката. За да го направите ова, докажуваме дека равенките A(x)=B(x) и A(x) c=B(x) c, како и равенките A(x)=B(x) и A(x) :c= B(x):c - еквивалент. Ова може да се направи на овој начин: докажете дека кој било корен од равенката A(x)=B(x) е корен од равенката A(x) c=B(x) c и корен од равенката A(x) :c=B(x) :c, а потоа докажи дека кој било корен од равенката A(x) c=B(x) c, како и секој корен од равенката A(x):c=B(x):c , е корен од равенката A(x) =B(x) . Ајде да го направиме тоа.

Нека q е коренот на равенката A(x)=B(x) . Тогаш е точно нумеричкото равенство A(q)=B(q). Откако ги проучувавме својствата на нумеричките еднаквости, научивме дека множењето или делењето на двете страни на вистинска нумеричка еднаквост со ист број различен од нула, доведува до вистинска нумеричка еднаквост. Помножувајќи ги двете страни на равенството A(q)=B(q) со c, ја добиваме точната бројна равенка A(q) c=B(q) c, од која произлегува дека q е коренот на равенката A( x) c= B(x)·c. И поделувајќи ги двете страни на еднаквоста A(q)=B(q) со c, ја добиваме точната бројна еднаквост A(q):c=B(q):c, од која произлегува дека q е коренот на равенка A(x):c =B(x):c.

Сега во друга насока. Нека q е коренот на равенката A(x) c=B(x) c. Тогаш A(q)·c=B(q)·c е вистинска нумеричка еднаквост. Поделувајќи ги двата негови делови со ненулта број c, ја добиваме точната бројна еднаквост A(q)·c:c=B(q)·c:c и понатаму A(q)=B(q) . Следи дека q е коренот на равенката A(x)=B(x) . Ако q е коренот на равенката A(x):c=B(x):c . Тогаш A(q):c=B(q):c е вистинска нумеричка еднаквост. Помножувајќи ги двата негови делови со ненулта број c, ја добиваме точната бројна еднаквост A(q):c·c=B(q):c·c и понатаму A(q)=B(q) . Следи дека q е коренот на равенката A(x)=B(x) .

Изјавата е докажана.

Да дадеме пример за оваа трансформација. Со негова помош, можете, на пример, да се ослободите од фракциите во равенката. За да го направите ова, можете да ги помножите двете страни на равенката со 12. Резултатот е еквивалентна равенка на формата , која потоа може да се трансформира во еквивалентната равенка 7 x−3=10, која во својата нотација не содржи дропки.

  • Множење или делење на двете страни на равенката со ист израз, OD за која не е потесна од OD за првобитната равенка и не исчезнува со OD за првобитната равенка, е еквивалентна трансформација.

Да ја докажеме оваа изјава. За да го направите ова, докажуваме дека ако ODZ за изразот C(x) не е потесен од ODZ за равенката A(x)=B(x), а C(x) не исчезнува на ODZ за равенката A(x)=B( x) , потоа равенките A(x)=B(x) и A(x) C(x)=B(x) C(x), како и равенките A(x) =B(x) и A( x):C(x)=B(x):C(x) - еквивалент.

Нека q е коренот на равенката A(x)=B(x) . Тогаш A(q)=B(q) е вистинска нумеричка еднаквост. Од фактот дека ODZ за изразот C(x) не е истиот ODZ за равенката A(x)=B(x), произлегува дека изразот C(x) има смисла кога x=q. Ова значи дека C(q) е некој број. Покрај тоа, C(q) е ненула, што произлегува од условот изразот C(x) да не исчезне. Ако ги помножиме двете страни на равенството A(q)=B(q) со ненула број C(q), тоа ќе ја даде точната нумеричка еднаквост A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , од што произлегува дека q е коренот на равенката A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Ако ги поделиме двете страни на еднаквоста A(q)=B(q) со ненула број C(q), ова ќе ја даде точната нумеричка еднаквост A(q):C(q)=B(q): C(q) , од што произлегува дека q е коренот на равенката A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Назад. Нека q е коренот на равенката A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Тогаш A(q)·C(q)=B(q)·C(q) е вистинска нумеричка еднаквост. Забележете дека ODZ за равенката A(x) C(x)=B(x) C(x) е иста како ODZ за равенката A(x)=B(x) (ова го оправдавме во една од претходните ставови тековна листа). Бидејќи C(x) по услов не исчезнува на ODZ за равенката A(x)=B(x), тогаш C(q) е ненула број. Поделувајќи ги двете страни на еднаквоста A(q) C(q)=B(q) C(q) со ненула број C(q) ја добиваме точната нумеричка еднаквост A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)и понатаму A(q)=B(q) . Следи дека q е коренот на равенката A(x)=B(x) . Ако q е коренот на равенката A(x):C(x)=B(x):C(x) . Тогаш A(q):C(q)=B(q):C(q) е вистинска нумеричка еднаквост. Помножувајќи ги двете страни на еднаквоста A(q):C(q)=B(q):C(q) со ненула број C(q) ја добиваме точната нумеричка еднаквост A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)и понатаму A(q)=B(q) . Следи дека q е коренот на равенката A(x)=B(x) .

Изјавата е докажана.

За јасност, даваме пример за спроведување на расклопена трансформација. Да ги поделиме двете страни на равенката x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) со изразот x 2 +1. Оваа трансформација е еквивалентна, бидејќи изразот x 2 +1 не исчезнува на OD за првобитната равенка и OD на овој израз не е потесен од OD за првобитната равенка. Како резултат на оваа трансформација, ја добиваме еквивалентната равенка x 3 ·(x 2 +1): (x 2 +1) = 8· (x 2 +1): (x 2 +1), која понатаму може да се трансформира во еквивалентната равенка x 3 =8.

Трансформации кои водат до последователни равенки

Во претходниот пасус, испитавме кои трансформации од списокот на основни трансформации и под кои услови се еквивалентни. Сега да видиме кои од овие трансформации и под кои услови доведуваат до последователни равенки, односно до равенки кои ги содржат сите корени на трансформираната равенка, но покрај нив може да имаат и други корени - надворешни корени за првобитната равенка.

Трансформациите што водат до последователни равенки се барани не помалку од еквивалентни трансформации. Ако со нивна помош е можно да се добие равенка која е прилично едноставна во однос на решението, тогаш нејзиното решение и последователното отстранување на надворешните корени ќе дадат решение за првобитната равенка.

Забележете дека сите еквивалентни трансформации може да се сметаат за посебни случаи на трансформации кои водат до последователни равенки. Ова е разбирливо, бидејќи постои еквивалентна равенка посебен случајравенки за последица. Но, од практична гледна точка, покорисно е да се знае дека трансформацијата што се разгледува е прецизно еквивалентна, а не доведува до последователна равенка. Да објасниме зошто е тоа така. Ако знаеме дека трансформацијата е еквивалентна, тогаш добиената равенка дефинитивно нема да има корени кои не се поврзани со првобитната равенка. А трансформацијата што води до последователната равенка може да биде причина за појавата на надворешни корени, што нè обврзува во иднина да извршиме дополнителна акција - просејување на надворешни корени. Затоа, во овој дел од статијата ќе се фокусираме на трансформациите, како резултат на кои може да се појават надворешни корени за оригиналната равенка. И навистина е важно да може да се разликуваат таквите трансформации од еквивалентни трансформации за јасно да се разбере кога е неопходно да се филтрираат надворешните корени, а кога тоа не е потребно.

Ајде да ја анализираме целата листа на основни трансформации на равенките дадени во вториот став од овој член со цел да бараме трансформации, како резултат на кои може да се појават надворешни корени.

  • Замена на изразите на левата и десната страна на равенката со идентично еднакви изрази.

Докажавме дека оваа трансформација е еквивалентна доколку нејзината имплементација не го промени OD. И ако се смени DL, што ќе се случи? Стеснувањето на ODZ може да доведе до губење на корените; ова ќе се дискутира подетално во следниот пасус. И со проширувањето на ОДЗ, може да се појават надворешни корени. Не е тешко да се оправда ова. Да го претставиме соодветното резонирање.

Нека изразот C(x) е таков што е идентично еднаков на изразот A(x) и OD за равенката C(x)=B(x) е поширок од OD за равенката A(x)=B (x). Да докажеме дека равенката C(x)=B(x) е последица на равенката A(x)=B(x), и дека меѓу корените на равенката C(x)=B(x) може да има да бидат корени кои се туѓи на равенката A( x)=B(x) .

Нека q е коренот на равенката A(x)=B(x) . Тогаш A(q)=B(q) е вистинска нумеричка еднаквост. Бидејќи ODZ за равенката C(x)=B(x) е поширока од ODZ за равенката A(x)=B(x), тогаш изразот C(x) е дефиниран на x=q. Потоа, земајќи ја предвид идентичната еднаквост на изразите C(x) и A(x) , заклучуваме дека C(q)=A(q) . Од равенствата C(q)=A(q) и A(q)=B(q), поради својството на транзитивност, следува еднаквоста C(q)=B(q). Од оваа еднаквост произлегува дека q е коренот на равенката C(x)=B(x) . Ова докажува дека под наведените услови равенката C(x)=B(x) е последица на равенката A(x)=B(x) .

Останува да се докаже дека равенката C(x)=B(x) може да има корени различни од корените на равенката A(x)=B(x). Да докажеме дека кој било корен од равенката C(x)=B(x) од ODZ за равенката A(x)=B(x) е корен од равенката A(x)=B(x). Патеката p е коренот на равенката C(x)=B(x), која припаѓа на ODZ за равенката A(x)=B(x). Тогаш C(p)=B(p) е вистинска нумеричка еднаквост. Бидејќи p припаѓа на ODZ за равенката A(x)=B(x), тогаш изразот A(x) е дефиниран за x=p. Од ова и од идентичната еднаквост на изразите A(x) и C(x) произлегува дека A(p)=C(p) . Од равенствата A(p)=C(p) и C(p)=B(p), поради својството транзитивност, следува дека A(p)=B(p), што значи p е коренот на равенка A(x)= B(x) . Ова докажува дека секој корен од равенката C(x)=B(x) од ODZ за равенката A(x)=B(x) е корен од равенката A(x)=B(x). Со други зборови, на ODZ за равенката A(x)=B(x) не може да има корени на равенката C(x)=B(x), кои се надворешни корени за равенката A(x)=B( x). Но, според условот, ODZ за равенката C(x)=B(x) е поширока од ODZ за равенката A(x)=B(x). И ова дозволува постоење на број r кој припаѓа на ODZ за равенката C(x)=B(x) и не припаѓа на ODZ за равенката A(x)=B(x), што е коренот од равенката C(x)=B(x). Односно, равенката C(x)=B(x) може да има корени кои се туѓи на равенката A(x)=B(x), и сите ќе припаѓаат на множеството на кое ODZ за равенката А (x)=B се продолжува (x) кога изразот A(x) во него се заменува со идентично еднаков израз C(x).

Значи, заменувањето на изразите на левата и десната страна на равенката со идентично еднакви изрази, како резултат на што ODZ се проширува, во општ случај доведува до последователна равенка (односно, може да доведе до појава на необични корени) и само во одреден случај води до еквивалентна равенка (во случај добиената равенка да нема корени туѓи на првобитната равенка).

Да дадеме пример за спроведување на анализирана трансформација. Замена на изразот од левата страна на равенката идентично еднакво на него со изразот x·(x−1) води до равенката x·(x−1)=0, во овој случај се случува проширување на ODZ - му се додава бројот 0. Добиената равенка има два корени 0 и 1, а замената на овие корени во првобитната равенка покажува дека 0 е необичен корен за првобитната равенка, а 1 е коренот на првобитната равенка. Навистина, заменувањето на нулата во оригиналната равенка го дава бесмислениот израз , бидејќи содржи делење со нула, а со замена на еден се добива точната нумеричка еднаквост , што е исто како 0=0 .

Забележете дека слична трансформација на слична равенка во равенката (x−1)·(x−2)=0, како резултат на која и ODZ се шири, не доведува до појава на надворешни корени. Навистина, двата корени на добиената равенка (x−1)·(x−2)=0 - броевите 1 и 2, се корени на првобитната равенка, што е лесно да се потврди со проверка со замена. Со овие примери уште еднаш сакавме да нагласиме дека замената на израз од левата или десната страна на равенката со идентично еднаков израз, кој го проширува ODZ, не мора да доведе до појава на надворешни корени. Но, тоа може да доведе и до нивниот изглед. Значи, ако таквата трансформација се случила во процесот на решавање на равенката, тогаш е неопходно да се изврши проверка за да се идентификуваат и филтрираат надворешните корени.

Најчесто, ODZ на равенката може да се прошири и да се појават надворешни корени поради замената со нула на разликата на идентични изрази или збирот на изрази со спротивни знаци, поради замената со нула производи со еден или повеќе нула фактори. , поради намалувањето на дропките и поради употребата на својствата корени, моќи, логаритми итн.

  • Додавање ист број на двете страни на равенката или одземање ист број од двете страни на равенката.

Погоре покажавме дека оваа трансформација е секогаш еквивалентна, односно води до еквивалентна равенка. Само напред.

  • Додавање ист израз на двете страни на равенката или одземање на истиот израз од двете страни на равенката.

Во претходниот став, додадовме услов дека OD за изразот што се додава или одзема не треба да биде потесен од OD за равенката што се трансформира. Овој услов ја направи предметната трансформација еквивалентна. Овде има аргументи слични на оние дадени на почетокот на овој став од статијата во врска со фактот дека еквивалентната равенка е посебен случај на последователна равенка и дека знаењето за еквивалентноста на трансформацијата е практично знаењето е покорисноза истата трансформација, но од гледна точка на фактот дека таа води до равенка-последица.

Дали е можно, како резултат на додавање на истиот израз или одземање на истиот израз од двете страни на равенката, да се добие равенка која, покрај сите корени од првобитната равенка, ќе има и други корени? Не тој не може. Ако ODZ за изразот што се додава или одзема не е потесен од ODZ за првобитната равенка, тогаш како резултат на собирањето или одземањето ќе се добие еквивалентна равенка. Ако ODZ за изразот што се додава или одзема е потесен од ODZ за првобитната равенка, тогаш тоа може да доведе до губење на корените, а не до појава на надворешни корени. Ќе зборуваме повеќе за ова во следниот пасус.

  • Пренесување член од еден дел од равенката во друг со знакот променет во спротивен.

Оваа трансформација на равенката е секогаш еквивалентна. Затоа, нема смисла да се смета за трансформација што води кон равенка-последица, од причините наведени погоре.

  • Множење или делење на двете страни на равенката со ист број.

Во претходниот пасус, докажавме дека ако множењето или делењето на двете страни на равенката се врши со број што не е нула, тогаш ова е еквивалентна трансформација на равенката. Затоа, повторно, нема смисла да се зборува за тоа како трансформација што води до последователна равенка.

Но, тука вреди да се обрне внимание на резервацијата за разликата од нула на бројот со кој се множат или делат двете страни на равенката. За поделба оваа клаузула е јасна - со основните часовиго сфативме тоа Не можете да делите со нула. Зошто оваа клаузула за множење? Ајде да размислиме што резултира со множење на двете страни на равенката со нула. За јасност, да земеме специфична равенка, на пример, 2 x+1=x+5. Ова е линеарна равенка која има еден корен, што е бројот 4. Да ја запишеме равенката што ќе се добие со множење на двете страни на оваа равенка со нула: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Очигледно, коренот на оваа равенка е кој било број, бидејќи кога ќе замените кој било број во оваа равенка наместо променливата x, ја добивате точната нумеричка еднаквост 0=0. Односно, во нашиот пример, множењето на двете страни на равенката со нула доведе до последователна равенка, што предизвика појава на бесконечен број на надворешни корени за првобитната равенка. Покрај тоа, вреди да се напомене дека во овој случај вообичаените методи за скрининг на надворешни корени не се справуваат со нивната задача. Ова значи дека извршената трансформација е бескорисна за решавање на првобитната равенка. И ова е типична ситуација за трансформацијата што се разгледува. Ова е причината зошто трансформација како што е множење на двете страни на равенката со нула не се користи за решавање на равенките. Сè уште треба да ја разгледаме оваа трансформација и другите трансформации што не треба да се користат за решавање на равенките во последниот пасус.

  • Множење или делење на двете страни на равенката со ист израз.

Во претходниот пасус, докажавме дека оваа трансформација е еквивалентна ако се исполнети два услови. Да ги потсетиме. Првиот услов: OD за овој израз не треба да биде потесен од OD за оригиналната равенка. Вториот услов: изразот со кој се врши множењето или делењето не смее да исчезне на ODZ за првобитната равенка.

Да го смениме првиот услов, односно ќе претпоставиме дека OD за изразот со кој планираме да ги помножиме или делиме двете страни на равенката е потесен од OD за првобитната равенка. Како резултат на таквата трансформација, ќе се добие равенка за која ODZ ќе биде потесен од ODZ за првобитната равенка. Ваквите трансформации може да доведат до губење на корените, ќе зборуваме за нив во следниот пасус.

Што ќе се случи ако го отстраниме вториот услов за ненулта вредности на изразот со кој двете страни на равенката се множат или делат со ODZ за првобитната равенка?

Поделувањето на двете страни на равенката со истиот израз, кој исчезнува со OD за првобитната равенка, ќе резултира со равенка чијшто OD е потесен од OD за првобитната равенка. Навистина, бројките ќе испаднат од него, претворајќи го изразот со кој беше извршена поделбата на нула. Ова може да доведе до губење на коренот.

Што е со множењето на двете страни на равенката со истиот израз, кој исчезнува на ODZ за првобитната равенка? Може да се покаже дека кога двете страни на равенката A(x)=B(x) се множат со изразот C(x), за кој ODZ не е потесен од ODZ за првичната равенка, а кој исчезнува за ODZ за првобитната равенка, равенката се добива е последица што покрај сите корени на равенката A(x)=B(x), може да има и други корени. Ајде да го направиме ова, особено затоа што овој став од написот е прецизно посветен на трансформациите што водат до последователни равенки.

Нека изразот C(x) е таков што ODZ за него не е потесен од ODZ за равенката A(x)=B(x), а исчезнува на ODZ за равенката A(x)=B(x ) . Да докажеме дека во овој случај равенката A(x)·C(x)=B(x)·C(x) е последица на равенката A(x)=B(x) .

Нека q е коренот на равенката A(x)=B(x) . Тогаш A(q)=B(q) е вистинска нумеричка еднаквост. Бидејќи ODZ за изразот C(x) не е потесен од ODZ за равенката A(x)=B(x), тогаш изразот C(x) е дефиниран на x=q, што значи дека C(q) е одредена бројка. Со множење на двете страни на вистинско нумеричко равенство со кој било број се добива вистинска нумеричка еднаквост, затоа, A(q)·C(q)=B(q)·C(q) е вистинска нумеричка еднаквост. Ова значи дека q е коренот на равенката A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Ова докажува дека секој корен од равенката A(x)=B(x) е корен од равенката A(x) C(x)=B(x) C(x), што значи дека равенката A(x) C (x)=B(x)·C(x) е последица на равенката A(x)=B(x) .

Забележете дека под наведените услови, равенката A(x)·C(x)=B(x)·C(x) може да има корени кои се туѓи на првобитната равенка A(x)=B(x). Сите тие се броеви од ODZ за првобитната равенка што го претвораат изразот C(x) на нула (сите броеви кои го претвораат изразот C(x) на нула се корените на равенката A(x) C(x)=B (x) C(x) , бидејќи нивната замена во наведената равенка ја дава точната нумеричка еднаквост 0=0 ), но кои не се корени на равенката A(x)=B(x) . Равенките A(x)=B(x) и A(x)·C(x)=B(x)·C(x) под наведените услови ќе бидат еквивалентни кога сите броеви од ODZ за равенката A(x )=B (x) , поради кои изразот C(x) исчезнува, се корените на равенката A(x)=B(x) .

Значи, множење на двете страни на равенката со истиот израз, ODZ за кој не е потесен од ODZ за првобитната равенка, а кој исчезнува со ODZ за првобитната равенка, во општиот случај доведува до последователна равенка, која е, тоа може да доведе до појава на странски корени.

Да дадеме пример за илустрација. Да ја земеме равенката x+3=4. Неговиот единствен корен е бројот 1. Да ги помножиме двете страни на оваа равенка со истиот израз, кој исчезнува со ODZ за првобитната равенка, на пример, со x·(x−1) . Овој израз исчезнува на x=0 и x=1. Множењето на двете страни на равенката со овој израз ни ја дава равенката (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Добиената равенка има два корени: 1 и 0. Бројот 0 е необичен корен за првобитната равенка што се појави како резултат на трансформацијата.

Трансформации кои можат да доведат до губење на корените

Некои конверзии од под одредени услови може да доведат до губење на корените. На пример, кога се делат двете страни на равенката x·(x−2)=x−2 со истиот израз x−2, коренот се губи. Навистина, како резултат на таквата трансформација, равенката x=1 се добива со еден корен, кој е бројот 1, а првобитната равенка има два корени 1 и 2.

Потребно е јасно да се разбере кога корените се губат како резултат на трансформации, за да не се губат корените при решавање на равенките. Ајде да го сфатиме ова.

Како резултат на овие трансформации, може да дојде до губење на корените ако и само ако ODZ за трансформираната равенка се покаже дека е потесна од ODZ за првобитната равенка.

За да се докаже оваа изјава, треба да се поткрепат две точки. Прво, потребно е да се докаже дека ако, како резултат на наведените трансформации на равенката, ODZ се стесни, тогаш може да дојде до губење на корените. И, второ, потребно е да се оправда дека ако, како резултат на овие трансформации, корените се изгубат, тогаш ODZ за добиената равенка е потесна од ODZ за првобитната равенка.

Ако ODZ за равенката добиена како резултат на трансформацијата е потесна од ODZ за првичната равенка, тогаш, природно, ниту еден корен од првобитната равенка лоцирана надвор од ODZ за добиената равенка не може да биде корен на равенката добиени како резултат на трансформацијата. Ова значи дека сите овие корени ќе се изгубат кога ќе се премести од првобитната равенка во равенка за која ODZ е потесен од ODZ за првобитната равенка.

Сега назад. Да докажеме дека ако, како резултат на овие трансформации, корените се изгубат, тогаш ODZ за добиената равенка е потесна од ODZ за првобитната равенка. Ова може да се направи со спротивен метод. Претпоставката дека како резултат на овие трансформации, корените се губат, но ОДЗ не се стеснува, е во спротивност со тврдењата докажани во претходните ставови. Навистина, од овие искази произлегува дека ако при извршувањето на наведените трансформации ОДЗ не се стесни, тогаш се добиваат или еквивалентни равенки или последователни равенки, што значи дека не може да дојде до губење на корените.

Значи, причината за можното губење на корените при извршување на основните трансформации на равенките е стеснувањето на ОДЗ. Јасно е дека при решавањето на равенките не треба да губиме корени. Тука, природно, се поставува прашањето: „Што треба да направиме за да избегнеме губење на корените при трансформирање на равенките? Ќе одговориме во следниот пасус. Сега да ја разгледаме листата на основни трансформации на равенките за да видиме подетално кои трансформации можат да доведат до губење на корените.

  • Замена на изразите на левата и десната страна на равенката со идентично еднакви изрази.

Ако го замените изразот на левата или десната страна на равенката со идентично еднаков израз, OD за кој е потесен од OD за првобитната равенка, тоа ќе доведе до стеснување на OD, и поради тоа, корени може да се изгуби. Најчесто, замена на изразите од левата или десната страна на равенките со идентично еднакви изрази, извршена врз основа на некои својства на корените, силите, логаритмите и некои тригонометриски формули. На пример, заменувањето на изразот од левата страна на равенката со идентично еднаков израз го стеснува ODZ и доведува до губење на коренот −16. Слично на тоа, заменувањето на изразот од левата страна на равенката со идентично еднаков израз доведува до равенка за која ODZ е потесен од ODZ за првобитната равенка, што повлекува губење на коренот −3.

  • Додавање ист број на двете страни на равенката или одземање ист број од двете страни на равенката.

Оваа трансформација е еквивалентна, затоа, корените не можат да се изгубат при нејзиното спроведување.

  • Додавање ист израз на двете страни на равенката или одземање на истиот израз од двете страни на равенката.

Ако додадете или одземете израз чиј OD е потесен од OD за оригиналната равенка, тоа ќе доведе до стеснување на OD и, како последица на тоа, до можно губење на корените. Вреди да се има на ум ова. Но, овде вреди да се напомене дека во пракса обично е неопходно да се прибегне кон додавање или одземање изрази што се присутни во снимањето на оригиналната равенка, што не доведува до промена на ODZ и не повлекува губење на корените.

  • Пренесување член од еден дел од равенката во друг со знакот променет во спротивен.

Оваа трансформација на равенката е еквивалентна, затоа, како резултат на нејзината имплементација, корените не се губат.

  • Множење или делење на двете страни на равенката со ист број различен од нула.

Оваа трансформација е исто така еквивалентна и поради неа не доаѓа до губење на корените.

  • Множење или делење на двете страни на равенката со ист израз.

Оваа трансформација може да доведе до стеснување на OD во два случаи: кога OD за изразот со кој се врши множењето или делењето е потесен од OD за првобитната равенка, и кога делењето се врши со израз кој станува нула на ОД за оригиналната равенка. Забележете дека во пракса обично не е неопходно да се прибегне кон множење и делење на двете страни на равенката со израз со потесен VA. Но, треба да се справите со делењето со израз кој се претвора во нула за првобитната равенка. Постои метод кој ви овозможува да се справите со губењето на корените за време на таквата поделба, ќе зборуваме за тоа во следниот став од овој напис.

Како да се избегне губење на коренот?

Ако користите само трансформации од равенки за трансформација и во исто време не дозволувате стеснување на ODZ, тогаш нема да дојде до губење на корените.

Дали ова значи дека не може да се направат други трансформации на равенките? Не, тоа не значи. Ако смислите некоја друга трансформација на равенката и целосно ја опишете, односно наведете кога таа води до еквивалентни равенки, кога - до равенки-последици, и кога може да доведе до губење на корените, тогаш добро би можело да се усвои.

Дали целосно треба да се откажеме од реформите кои би ја стесниле ДПД? Не би требало да го прави тоа. Не би било повредено да ги задржите во вашиот арсенал трансформации во кои конечен број броеви испаѓаат од ODZ за првобитната равенка. Зошто не треба да се напуштат таквите трансформации? Бидејќи постои метод за да се избегне губење на коренот во такви случаи. Се состои од посебна проверка на броевите што паѓаат од ODZ за да се види дали меѓу нив има корени од првобитната равенка. Можете да го проверите ова со замена на овие броеви во оригиналната равенка. Оние од нив кои, кога ќе се заменат, ја даваат точната нумеричка еднаквост, се корените на првобитната равенка. Тие треба да бидат вклучени во одговорот. По таква проверка, можете безбедно да ја извршите планираната трансформација без страв дека ќе ги изгубите корените.

Типична трансформација во која ODZ за една равенка се стеснува на неколку броеви е да се подели двете страни на равенката со истиот израз, кој станува нула на неколку точки од ODZ за првобитната равенка. Оваа трансформација е основа на методот на решение реципрочни равенки. Но, исто така се користи за решавање на други видови равенки. Да дадеме пример.

Равенката може да се реши со воведување нова променлива. За да воведете нова променлива, треба да ги поделите двете страни на равенката со 1+x. Но, со таква поделба, може да дојде до губење на коренот, бидејќи иако ODZ за изразот 1+x не е потесен од ODZ за првобитната равенка, изразот 1+x станува нула при x=−1, и овој број припаѓа на ODZ за првобитната равенка. Ова значи дека коренот −1 може да се изгуби. За да се елиминира губењето на коренот, треба посебно да проверите дали −1 е корен од првобитната равенка. За да го направите ова, можете да го замените −1 во оригиналната равенка и да видите каква еднаквост добивате. Во нашиот случај, со замената се добива еднаквост, што е исто како 4=0. Оваа еднаквост е лажна, што значи дека -1 не е коренот на првобитната равенка. По таква проверка, можете да ја извршите предвидената поделба на двете страни на равенката со 1 + x, без страв дека може да дојде до губење на корените.

На крајот од овој став, уште еднаш да се свртиме кон равенките од претходниот став и. Трансформација на овие равенки врз основа на идентитети и доведува до стеснување на ОДЗ, а тоа повлекува губење на корените. Во овој момент рековме дека за да не ги изгубиме корените, треба да се откажеме од реформите кои го стеснуваат ДЗ. Тоа значи дека овие трансформации мора да се напуштат. Но, што треба да правиме? Можно е да се извршат трансформации кои не се засноваат на идентитети и , поради што се стеснува ОДЗ, а врз основа на идентитети и . Како резултат на преминот од првобитните равенки и кон равенките и нема стеснување на ОДЗ, што значи дека корените нема да се изгубат.

Овде особено забележуваме дека кога ги заменувате изразите со идентично еднакви изрази, мора внимателно да се осигурате дека изразите се точно идентично еднакви. На пример, во равенката. невозможно е да се замени изразот x+3 со израз за да се поедностави изгледот на левата страна на , бидејќи изразите x+3 и не се идентично еднакви, бидејќи нивните вредности не се совпаѓаат на x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Трансформации на равенки кои не треба да се користат

Трансформациите споменати во овој напис обично се доволни за практични потреби. Односно, не треба да ви пречи да смислите какви било други трансформации; подобро е да се фокусирате на правилната употреба на веќе докажаните.

Литература

  1. Мордкович А.Г.Алгебра и почеток на математичка анализа. 11 одделение. За 2 часа Дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - второ издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01027-2.
  2. Алгебраи почетокот на математичката анализа. 10-то одделение: учебник. за општо образование институции: основни и профил. нивоа / [Ју. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; Изменето од А.Б. Жижченко. - 3-то издание. - М.: Образование, 2010.- 368 стр.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Во последната лекција користевме три чекори за решавање на равенките.

Првата фаза е техничка. Користејќи синџир на трансформации од првобитната равенка, доаѓаме до прилично едноставна, која ја решаваме и ги наоѓаме корените.

Втората фаза е анализа на растворот. Ги анализираме трансформациите што ги извршивме и дознаваме дали се еквивалентни.

Третата фаза е верификација. Проверката на сите пронајдени корени со нивна замена во оригиналната равенка е задолжителна кога се вршат трансформации кои можат да доведат до последователна равенка

Дали е секогаш потребно да се разликуваат три фази при решавање на равенка?

Се разбира не. Како, на пример, при решавањето на оваа равенка. Во секојдневниот живот тие обично не се разликуваат. Но, сите овие фази треба да се „имаат на ум“ и да се изведат во една или друга форма. Императив е да се анализира еквивалентноста на трансформациите. А ако анализата покаже дека треба да се изврши проверка, тогаш таа е задолжителна. Во спротивно, равенката не може да се смета за правилно решена.

Дали е секогаш можно да се проверат корените на равенката само со замена?

Ако при решавањето на равенката се користеле еквивалентни трансформации, тогаш не е потребна верификација. При проверка на корените на равенката, многу често се користи ODZ (дозволена вредност опсег), а ако е тешко да се провери со користење на ODZ, тогаш тоа се врши со замена во оригиналната равенка.

Вежба 1

Решете ја равенката квадратен корен од два x плус три е еднаква на еден плус x.

Решение

ODZ на равенката се определува со систем од две неравенки: два x плус три се поголеми или еднакви на нула и еден плус x е поголем или еднаков на нула. Решението е x поголемо или еднакво на минус еден.

Ајде да ги квадратиме двете страни на равенката, да ги преместиме членовите од едната на другата страна на равенката, да додадеме слични членови и да добиеме квадратна равенка x квадрат е еднакво на два. Нејзините корени се

x прво, второ е еднакво на плус или минус квадратниот корен од два.

Испитување

Вредноста на x прво е еднаква на квадратниот корен од два е коренот на равенката, бидејќи е вклучена во ODZ.
Вредноста на x секунда е еднаква на минус квадратниот корен од два не е коренот на равенката, бидејќи не е вклучен во ДЗ.
Ајде да провериме дека коренот x е еднаков на квадратниот корен од два, заменувајќи го во првобитната еднаквост, добиваме

еднаквоста е точно, што значи дека x е еднаков на квадратен корен од два е коренот на равенката.

Одговор: квадратен корен од два.

Задача 2

Решете ја равенката квадратен корен од x минус осум е еднакво на пет минус x.

Решение

ODZ на ирационална равенка се одредува со систем од две неравенки: x минус осум е поголем или еднаков на нула и пет минус x е поголем или еднаков на нула. Решавајќи го, откриваме дека овој систем нема решенија. Коренот на равенката не може да биде ниту една од вредностите на променливата x.

Одговор: нема корени.

Задача 3

Решете ја равенката квадратен корен од x коцки плус четири x минус еден минус осум квадратни корени од x до четвртата сила минус x е еднаков на квадратен корен од x коцка минус еден плус два квадратни корени од x.

Решение

Да се ​​најде ODZ во оваа равенка е доста тешко.

Ајде да ја извршиме трансформацијата: квадрат од двете страни на оваа равенка,

Да ги преместиме сите членови на левата страна од равенката и да донесеме слични членови, да напишеме два корени под еден, да добиеме слични радикали, да донесеме слични, да го поделиме со коефициентот минус 12 и да го множиме радикалниот израз, ќе добиеме равенка во форма на производ од два фактора еднакви на нула. Откако го решивме, ги наоѓаме корените:

x првиот е еднаков на еден, x вториот е еднаков на нула.

Бидејќи ги подигнавме двете страни на равенката на рамномерна моќност, проверката на корените е задолжителна.

Испитување

Ако x е еднакво на еден, тогаш

ја добиваме точната еднаквост, што значи дека x е еднакво на еден е коренот на равенката.

Ако x е нула, тогаш квадратниот корен од минус еден е недефиниран.

Ова значи дека x еднакво на нула е надворешен корен.

Одговор: еден.

Задача 4

Решете ја равенката логаритам на изразот x во квадрат плус пет x плус две основа два е еднакво на три.

Решение

Да ја најдеме равенката ОДЗ. За да го направите ова, ја решаваме неравенката x на квадрат плус пет x плус два над нула.

Неравенството го решаваме со методот на интервал. За да го направите ова, ја факторизираме неговата лева страна, откако претходно ја решивме квадратната равенка и земајќи го предвид знакот за неравенство, го одредуваме ODZ. ODZ е еднаков на спојувањето на отворените зраци од минус бесконечност до минус дропка пет плус квадратниот корен од седумнаесет поделен со два, и од минус дропка пет минус квадратниот корен од седумнаесет поделен со два до плус бесконечност.

Сега да почнеме да ги наоѓаме корените на равенката. Со оглед на тоа дека три е еднаков на логаритамот од осум до основата два, ја запишуваме равенката на следниов начин: логаритамот на изразот x квадрат плус пет x плус два на основата два е еднаков на логаритамот од осум до основата два. Да ја потенцираме равенката, да добиеме и решиме квадратна равенка.

Дискриминаторката е четириесет и девет.

Пресметајте ги корените:

x првиот е еднаков на минус шест; x секунда е еднаква на една.

Испитување

Минус шест му припаѓа на ODZ, еден припаѓа на ODZ, што значи дека двата броја се корени на равенката.

Одговор: минус шест; еден.

Во последната лекција го разгледавме прашањето за појавата на надворешни корени. Можеме да ги откриеме преку верификација. Дали е можно да се изгубат корените при решавање на равенката и како да се спречи тоа?

При извршување на такви дејства на равенка, како прво, делење на двете страни на равенката со истиот израз ax од x (освен оние случаи кога со сигурност се знае дека секирата од x не е еднаква на нула за кој било x од доменот на дефиниција на равенката) ;

второ, стеснувањето на OD на равенката за време на процесот на решавање може да доведе до губење на корените на равенката.

Запомнете!

Равенката напишана како

ef од x помножено со пепел од x е еднакво на zhe од x помножено со пепел од x се решава на овој начин:

треба да се факторизира со ставање на заедничкиот фактор надвор од загради;

потоа, изедначете го секој фактор на нула, со што се добиваат две равенки.

Ние ги пресметуваме нивните корени.

Вежба 1

Решете ја равенката x коцка е еднаква на x.

Првиот начин

Поделете ги двете страни на оваа равенка со x, добиваме x квадрат е еднакво, имајќи корени x прво еднаква на еден,

x секунда е еднаква на минус еден.

Втор начин

X коцка е еднаква на X. Да го преместиме x на левата страна на равенката, да го извадиме x од заградите и да добиеме: x помножено со x на квадрат минус еден е нула.

Да ги пресметаме неговите корени:

X првиот е еднаков на нула, x вториот е еднаков на еден, x третиот е еднаков на минус еден.

Равенката има три корени.

Кога го решававме првиот метод, изгубивме еден корен - x е еднакво на нула.

Одговор: минус еден; нула; еден.

Запомнете! Намалувањето на двете страни на равенката со фактор што го содржи непознатото може да резултира со изгубени корени.

Задача 2

Решете ја равенката: декадниот логаритам од x квадрат е еднаков на два.

Решение

Првиот начин

Со дефиниција за логаритам, ја добиваме квадратната равенка x квадрат е еднаква на сто.

Неговите корени: x прво е еднакво на десет; X секунда е еднаква на минус десет.

Втор начин

Според својството на логаритми, имаме два децимални логаритми x е еднакво на два.

Неговиот корен - x е еднаков на десет

Со вториот метод, коренот x е еднаков на минус десет беше изгубен. А причината е што примениле погрешна формула, стеснувајќи го опсегот на равенката. Изразот за децимален логаритам од x квадрат е дефиниран за сите x освен x еднакви на нула. Изразот за децимален логаритам на x е за x поголем од нула. Точната формула за децимален логаритам x квадрат е еднаква на два децимални логаритми модул x.

Запомнете! Кога решавате равенка, паметно користете ги достапните формули.