Нумерички неравенки и нивните својства. Решавање систем на неравенки - својства и методи на пресметување Дејства со неравенки примери

Системот на неравенки обично се нарекува запишување на неколку неравенки под знакот на кадрава заграда (во овој случај, бројот и видот на неравенки вклучени во системот може да бидат произволни).

За да се реши систем, потребно е да се најде пресекот на решенијата на сите неравенки вклучени во него. Во математиката, решение за неравенство е секоја вредност на промената за која неравенството е точно. Со други зборови, треба да го пронајдете збирот на сите негови решенија - ова ќе се нарече одговор. Како пример, да се обидеме да научиме како да решиме систем на неравенки користејќи го методот на интервал.

Својства на неравенки

За да се реши проблемот, важно е да се знаат основните својства својствени на нееднаквостите, кои можат да се формулираат на следниов начин:

• На двете страни на нееднаквоста може да се додаде една иста функција, дефинирана во опсегот на дозволените вредности (ADV) на оваа нееднаквост;
• Ако f(x) > g(x) и h(x) е која било функција дефинирана во ODZ на неравенство, тогаш f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
• Ако двете страни на неравенката се помножат со позитивната функција дефинирана во ODZ на оваа неравенка (или со позитивен број), добиваме неравенка еквивалентна на првобитната;
• Ако двете страни на неравенката се помножат со негативната функција дефинирана во ODZ на оваа неравенка (или со негативен број) и променете го знакот за неравенство во спротивен, тогаш добиената неравенка е еквивалентна на дадената неравенка;
• Неравенките со исто значење може да се додаваат по член, а неравенките со спротивна смисла може да се одземат по термин;
• Неравенките со исто значење со позитивни делови може да се множат член по член, а неравенките формирани од ненегативни функции може да се подигнат член по член во позитивен степен.

За да решите систем на неравенки, треба да ја решите секоја неравенка посебно и потоа да ги споредите. Резултатот ќе биде позитивен или негативен одговор, што значи дали системот има решение или не.

Метод на интервал

Кога решаваат систем на нееднаквости, математичарите често прибегнуваат кон интервалниот метод, како еден од најефективните. Ни овозможува да го намалиме решението на неравенката f(x) > 0 (<, <, >) да се реши равенката f(x) = 0.

Суштината на методот е како што следува:

• Најдете го опсегот на прифатливи вредности на нееднаквоста;
• Намалете ја неравенката во форма f(x) > 0(<, <, >), односно поместете ја десната страна налево и поедноставете;
• Решете ја равенката f(x) = 0;
• Нацртајте дијаграм на функции на бројна права. Сите точки означени на ODZ и неговото ограничување го делат овој сет на таканаречени интервали на константен знак. На секој таков интервал се одредува знакот на функцијата f(x);
• Одговорот запишете го како заедница од поединечни множества на кои f(x) го има соодветниот знак. ОДЗ точките кои се гранични се вклучени (или не се вклучени) во одговорот по дополнителна проверка.

Полето на реални броеви има својство на подредување (Оддел 6, стр. 35): за кои било броеви a, b, еден и важи само една од трите релации: или . Во овој случај, записот a > b значи дека разликата е позитивна, а влезната разлика е негативна. За разлика од полето на реални броеви, полето сложени броевине е подредено: за сложени броеви концептите „повеќе“ и „помалку“ не се дефинирани; Затоа, ова поглавје опфаќа само реални броеви.

Односите ги нарекуваме неравенки, броевите a и b се поими (или делови) од неравенката, знаците > (поголеми од) и Неравенките a > b и c > d се нарекуваат неравенки со исто (или исто) значење; неравенки a > b и c Од дефиницијата за неравенство веднаш произлегува дека

1) кој било позитивен број поголем од нула;

2) кој било негативен број е помал од нула;

3) кој било позитивен број е поголем од кој било негативен број;

4) од два негативни броја, оној чија апсолутна вредност е помала е поголема.

Сите овие изјави признаваат едноставно геометриско толкување. Нека позитивната насока на бројната оска оди десно од почетната точка; тогаш, без оглед на знаците на броевите, поголемиот од нив е претставен со точка која лежи десно од точката што го претставува помалиот број.

Неравенките ги имаат следните основни својства.

1. Асиметрија (неповратност): ако , тогаш , и обратно.

Навистина, ако разликата е позитивна, тогаш разликата е негативна. Тие велат дека при преуредување на поимите на нееднаквоста, значењето на неравенството мора да се смени во спротивно.

2. Транзитивност: ако , тогаш . Навистина, од позитивноста на разликите произлегува дека

Покрај знаците за нееднаквост, се користат и знаците за нееднаквост.Тие се дефинирани на следниов начин: записот значи дека или или Затоа, на пример, можете да пишувате, а исто така. Вообичаено, неравенките напишани со знаци се нарекуваат строги неравенки, а оние напишани со знаци се нарекуваат нестроги неравенки. Според тоа, самите знаци се нарекуваат знаци на строга или нестрога нееднаквост. Својствата 1 и 2 дискутирани погоре се исто така вистинити за нестрогите неравенки.

Сега да ги разгледаме дејствата што можат да се извршат на една или повеќе нееднаквости.

3. Додавањето ист број на поимите на неравенката не го менува значењето на неравенката.

Доказ. Нека се дадени неравенство и произволен број. По дефиниција, разликата е позитивна. Ајде да додадеме два на оваа бројка спротивни броевиод што нема да се смени т.е.

Оваа еднаквост може да се преработи на следниов начин:

Од ова произлегува дека разликата е позитивна, т.е

и тоа требаше да се докаже.

Ова е основа за можноста секој член на нееднаквоста да биде искривен од еден до друг дел со спротивен знак. На пример, од нееднаквоста

следи тоа

4. При множење на членовите на неравенката со ист позитивен број, значењето на неравенката не се менува; Кога членовите на неравенката се множат со истиот негативен број, значењето на неравенката се менува во спротивно.

Доказ. Нека тогаш Ако тогаш бидејќи производот на позитивните броеви е позитивен. Отворајќи ги заградите од левата страна на последната неравенка, добиваме , т.е. Случајот се разгледува на сличен начин.

Точно истиот заклучок може да се извлече и во однос на делењето на делови од неравенката со кој било друг број освен нула, бидејќи делењето со број е еквивалентно на множење со број и броевите имаат исти знаци.

5. Условите на неравенството нека бидат позитивни. Потоа, кога нејзините поими ќе се подигнат на истата позитивна моќност, значењето на нееднаквоста не се менува.

Доказ. Нека во овој случај, со својството на транзитивност, и . Потоа, поради монотоното зголемување функција за напојувањеза и позитивно ќе имаме

Конкретно, ако каде е природен број, тогаш добиваме

односно при извлекување на коренот од двете страни на неравенство со позитивни поими, значењето на неравенството не се менува.

Нека условите на неравенството се негативни. Тогаш не е тешко да се докаже дека кога нејзините поими се подигнати на непарна природна моќност, значењето на нееднаквоста не се менува, но кога ќе се подигне на рамномерна природна моќ, се менува во спротивното. Од неравенки со негативни членови може да се извлече и коренот на непарниот степен.

Нека, понатаму, термините на нееднаквоста имаат различни знаци. Потоа, кога се подига на непарна моќност, значењето на нееднаквоста не се менува, но кога се подига на парна сила, во општ случај, не може да се каже ништо дефинитивно за значењето на добиената неравенка. Всушност, кога некој број е подигнат на непарна сила, знакот на бројот се зачувува и затоа значењето на неравенството не се менува. При подигање на нееднаквост на рамномерна моќност, се формира неравенство со позитивни поими, а неговото значење ќе зависи од апсолутни вредностиусловите на првобитната нееднаквост, резултатот може да биде нееднаквост со исто значење како првобитната, нееднаквост со спротивно значење, па дури и еднаквост!

Корисно е да се провери сето она што е кажано за подигање на нееднаквостите на моќи користејќи го следниов пример.

Пример 1. Подигнете ги следните неравенки до означената моќност, менувајќи го знакот за неравенство на спротивен или знак за еднакво, доколку е потребно.

а) 3 > 2 со јачина од 4; б) до степен 3;

в) до степен 3; г) до степен 2;

д) со јачина од 5; д) до степен 4;

е) 2 > -3 со моќност од 2; ж) на јачина од 2,

6. Од нееднаквост можеме да преминеме на неравенство помеѓу ако поимите на неравенката се и позитивни или и двете негативни, тогаш меѓу нивните реципроци постои нееднаквост со спротивно значење:

Доказ. Ако a и b се со ист знак, тогаш нивниот производ е позитивен. Поделете со нееднаквост

т.е. што се бараше да се добие.

Ако поимите на една неравенка имаат спротивни знаци, тогаш нееднаквоста меѓу нивните реципроци има исто значење, бидејќи знаците на реципроците се исти како знаците на самите величини.

Пример 2. Проверете го последното својство 6 користејќи ги следните неравенки:

7. Логаритам на неравенки може да се направи само во случај кога членовите на неравенките се позитивни (негативните броеви и нулта логаритми немаат).

Нека . Потоа ќе има

и кога ќе има

Точноста на овие изјави се заснова на монотонијата логаритамска функција, што се зголемува ако основата и се намалува со

Значи, при земањето на логаритам на неравенка составена од позитивни членови на база поголема од еден, се формира неравенство со исто значење како даденото, а кога се зема логаритам на позитивна основа помала од еден, неравенство на се формира спротивно значење.

8. Ако, тогаш ако, но, тогаш.

Ова веднаш произлегува од својствата на монотоноста експоненцијална функција(стр. 42), што се зголемува во случајот и се намалува ако

При додавање на термински неравенки со исто значење, се формира неравенство со исто значење како и податоците.

Доказ. Дозволете ни да го докажеме овој исказ за две неравенки, иако е точно за кој било број додадени неравенки. Нека се дадени нееднаквостите

По дефиниција, бројките ќе бидат позитивни; тогаш нивниот збир исто така излегува позитивен, т.е.

Групирајќи ги поимите поинаку, добиваме

а со тоа и

и тоа требаше да се докаже.

Невозможно е да се каже нешто дефинитивно во општиот случај за значењето на неравенството добиено со додавање на две или повеќе неравенки со различни значења.

10. Ако од една неравенка одземе, поим по член, друга неравенка со спротивно значење, тогаш се формира неравенство со исто значење како првото.

Доказ. Нека се дадени две неравенки со различни значења. Вториот од нив, според својството на неповратност, може да се преработи на следниот начин: г > в. Сега да додадеме две неравенки со исто значење и да ја добиеме неравенката

истото значење. Од второто наоѓаме

и тоа требаше да се докаже.

Невозможно е да се каже нешто дефинитивно во општиот случај за значењето на неравенката добиена со одземање од една неравенка друга неравенка со исто значење.

Неравенките играат значајна улога во математиката. На училиште главно се занимаваме со нумерички неравенки, со чија дефиниција ќе ја започнеме оваа статија. И тогаш ќе наброиме и оправдаме својства на нумерички неравенки, на кој се засноваат сите принципи на работа со нееднаквости.

Веднаш да забележиме дека многу својства на нумеричките неравенки се слични. Затоа, ќе го претставиме материјалот според истата шема: формулираме својство, даваме негово оправдување и примери, по што преминуваме на следното својство.

Навигација на страницата.

Нумерички неравенки: дефиниција, примери

Кога го воведовме концептот на нееднаквост, забележавме дека неравенките често се дефинираат според начинот на кој се пишуваат. Така, ние ги нарековме неравенките значајни алгебарски изрази што ги содржат знаците кои не се еднакви на ≠, помалку<, больше >, помало или еднакво на ≤ или поголемо или еднакво на ≥. Врз основа на горната дефиниција, погодно е да се даде дефиниција за нумеричка неравенка:

Средбата со нумеричките неравенки се јавува на часовите по математика во прво одделение, веднаш по запознавањето со првите природни броеви од 1 до 9 и запознавањето со операцијата за споредба. Точно, таму тие едноставно се нарекуваат неравенки, испуштајќи ја дефиницијата за „нумерички“. За јасност, не би било повредено да се наведат неколку примери за наједноставните нумерички неравенки од таа фаза на нивното проучување: 1<2 , 5+2>3 .

И подалеку од природни броевизнаењето се проширува и на други видови броеви (целобројни, рационални, реални броеви), се изучуваат правилата за нивна споредба и тоа значително ја проширува разновидноста на видовите нумерички неравенки: −5>−72, 3>−0,275·(7 −5,6), .

Својства на нумеричките неравенки

Во пракса, работата со нееднаквости овозможува голем број на својства на нумерички неравенки. Тие произлегуваат од концептот на нееднаквост што го воведовме. Во однос на броевите, овој концепт е даден со следнава изјава, која може да се смета за дефиниција на односите „помалку од“ и „повеќе од“ на множество броеви (често се нарекува дефиниција на разлика за неравенство):

Дефиниција.

• број а повеќе број b ако и само ако разликата a−b е позитивен број;
• бројот a е помал од бројот b ако и само ако разликата a−b е негативен број;
• бројот a е еднаков на бројот b ако и само ако разликата a−b е нула.

Оваа дефиниција може да се преработи во дефиницијата на односите „помалку или еднакво на“ и „поголемо или еднакво на“. Еве ја неговата формулација:

Дефиниција.

• број a е поголем или еднаков на b ако и само ако a−b е ненегативен број;
• a е помал или еднаков на b ако и само ако a−b е непозитивен број.

Овие дефиниции ќе ги користиме кога ги докажуваме својствата на нумеричките неравенки, на чиј преглед продолжуваме.

Основни својства

Прегледот го започнуваме со три главни својства на нееднаквостите. Зошто се основни? Затоа што тие се одраз на својствата на неравенките во најопшта смисла, а не само во однос на нумеричките неравенки.

Нумерички неравенки напишани со помош на знаци< и >, карактеристика:

Што се однесува до нумеричките неравенки напишани со помош на знаците за слаби неравенки ≤ и ≥, тие имаат својство на рефлексивност (а не антирефлексивност), бидејќи неравенките a≤a и a≥a го вклучуваат случајот на еднаквост a=a. Тие се карактеризираат и со антисиметрија и транзитивност.

Значи, нумеричките неравенки напишани со помош на знаците ≤ и ≥ ги имаат следните својства:

• рефлексивноста a≥a и a≤a се вистински неравенки;
• антисиметрија, ако a≤b, тогаш b≥a, а ако a≥b, тогаш b≤a.
• транзитивност, ако a≤b и b≤c, тогаш a≤c, а исто така, ако a≥b и b≥c, тогаш a≥c.

Нивниот доказ е многу сличен на веќе дадените, затоа нема да се задржуваме на нив, туку ќе преминеме на други важни својства на нумеричките неравенки.

Други важни својства на нумеричките неравенки

Да ги дополниме основните својства на нумеричките неравенки со низа резултати кои се од големо практично значење. На нив се засноваат методи за проценка на вредностите на изразите, на нив се засноваат принципи решенија за нееднаквостии така натаму. Затоа, препорачливо е добро да ги разберете.

Во овој дел, ќе ги формулираме својствата на нееднаквостите само за еден знак на строга нееднаквост, но вреди да се има предвид дека слични својства ќе важат и за спротивниот знак, како и за знаците на нестроги неравенки. Да го објасниме ова со пример. Подолу го формулираме и докажуваме следново својство на неравенки: ако а

• ако a>b тогаш a+c>b+c ;
• ако a≤b, тогаш a+c≤b+c;
• ако a≥b, тогаш a+c≥b+c.

За погодност, ќе ги претставиме својствата на нумеричките неравенки во форма на листа, додека ќе ја дадеме соодветната изјава, ќе ја напишеме формално со помош на букви, ќе дадеме доказ и потоа ќе покажеме примери за употреба. И на крајот од статијата ќе ги сумираме сите својства на нумеричките неравенки во табела. Оди!