Концептите „множество“, „елемент“, „припадност на елемент во множество“ се примарните поими на математиката. Еден куп- која било колекција (сет) на какви било предмети .

А е подмножество од множеството Б,ако секој елемент од множеството А е елемент од множеството Б, т.е. AÌB Û (ХОА Þ ХОВ).

Две сета се еднакви, ако се состојат од исти елементи. Зборуваме за теоретска еднаквост на множества (да не се меша со еднаквост меѓу броевите): A=B Û AÌB Ù VA.

Сојуз од два сетасе состои од елементи кои припаѓаат на барем едно од множествата, т.е. KHOAÈV Û KHOAÚ KHOV.

раскрсницасе состои од сите елементи кои истовремено припаѓаат и на множеството А и на множеството Б: хоАХВ И хоА Ù хоВ.

Разликасе состои од сите елементи на А кои не припаѓаат на Б, т.е. xО A\B Û xОА ÙхПВ.

Декартов производ C=A´B од множества A и B е множество од сите можни парови ( x, y), каде што првиот елемент Xсекој пар содржи А и неговиот втор елемент наприпаѓа на В.

Се нарекува подмножество F од Декартовиот производ A´B мапирање множество А до множество Б , доколку е исполнет условот: (“ XОА) ($! пар ( x.y)ÎF). Истовремено пишуваат: А В.

Термините „приказ“ и „функција“ се синоними. Ако ("хоА)($! уУВ): ( x, y)ОF, па елементот наÎ ВОповикани начин Xпри прикажување на F и напишете го вака: на=F( X). Елемент Xво исто време е прототип (еден од можните) елемент y.

Ајде да размислиме множество рационални броеви Q - множеството од сите цели броеви и множеството од сите дропки (позитивни и негативни). Секој рационален бројможе да се претстави како количник, на пример, 1 =4/3=8/6=12/9=…. Има многу такви претстави, но само една од нив е нередуцирана .

ВО кој било рационален број може да биде единствениот начинпретставуваат како дропка p/q, каде што pÎZ, qÎN, броевите p, q се сопрости.

Својства на множеството Q:

1. Затвореност при аритметички операции.Резултатот од собирање, одземање, множење, подигање до природна моќност, делење (освен делење со 0) на рационални броеви е рационален број: ; ; .

2. Уредност: (" x, yÎQ, x¹y)®( x Ú x>y).

Покрај тоа: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)а -б.

3. Густина. Помеѓу кои било два рационални броја x, yпостои трет рационален број (на пример, c= ):

("x, yÎQ, x<y) ($cÎQ) : ( Xy).

На множеството Q можете да извршите 4 аритметички операции, да решавате системи на линеарни равенки, но квадратни равенки на формата x 2 =a, aÎ N не се секогаш решливи во множеството Q.

Теорема.Нема број xÎQ, чиј квадрат е 2.

g Нека има таква дропка X=p/q, каде што броевите p и q се сопрости и X 2 = 2. Потоа (p/q) 2 =2. Оттука,

Десната страна на (1) е делива со 2, што значи дека p 2 е парен број. Така p=2n (n-цел број). Тогаш q мора да биде непарен број.

Враќајќи се на (1), имаме 4n 2 =2q 2. Затоа q 2 =2n 2. Слично, се уверуваме дека q е делив со 2, т.е. q е парен број. Теоремата се докажува со контрадикторност.н

геометриски приказ на рационални броеви.Ставајќи единечна отсечка од потеклото на координатите 1, 2, 3... пати надесно, добиваме точки од координатната права што одговараат природни броеви. Поместувајќи се слично налево, добиваме точки што одговараат на негативни цели броеви. Ајде да земеме 1/q(q= 2,3,4 … ) дел од единичен сегмент и ќе го поставиме од двете страни на потеклото Реднаш. Ги добиваме точките на линијата што одговараат на броевите на формата ±p/q (pОZ, qОN).Ако p, q поминуваат низ сите парови на релативно прости броеви, тогаш на правата линија ги имаме сите точки што одговараат на дробните броеви. Така, Според прифатениот метод, секој рационален број одговара на една точка на координатната линија.

Дали е можно да се одреди еден рационален број за секоја точка? Дали линијата е целосно исполнета со рационални броеви?

Излегува дека има точки на координатната линија што не одговараат на ниеден рационален број. Конструираме рамнокрак правоаголен триаголник на единечна отсечка. Точката N не одговара на рационален број, бидејќи ако ВКЛУЧЕНО=x- тогаш рационално x 2 = 2, што не може да биде.

Има бесконечно многу точки слични на точката N на права линија. Да ги земеме рационалните делови од сегментот x=вклучено,тие. X. Ако ги поместиме надесно, тогаш ниту еден рационален број нема да одговара на секој од краевите на кој било од овие сегменти. Под претпоставка дека должината на отсечката е изразена со рационален број x=, го сфаќаме тоа x=- рационално. Ова е во спротивност со она што беше докажано погоре.

Рационалните броеви не се доволни за да се поврзе одреден рационален број со секоја точка на координатната права.

Ајде да изградиме еден куп реални броевиР преку бескрајни децимали.

Според алгоритамот за делење „агол“, секој рационален број може да се претстави како конечна или бесконечна периодична децимална дропка. Кога именителот на дропката p/q нема прости множители освен 2 и 5, т.е. q=2 m ×5 k, тогаш резултатот ќе биде конечната децимална дропка p/q=a 0,a 1 a 2 …a n. Другите дропки можат да имаат само бесконечни децимални проширувања.

Познавајќи бесконечна периодична децимална дропка, можете да го најдете рационалниот број чијшто претставува претставување. Но, секоја конечна децимална дропка може да се претстави како бесконечна децимална дропка на еден од следниве начини:

a 0 ,a 1 a 2 …a n = a 0 ,a 1 a 2 …a n 000…=a 0,a 1 a 2 …(a n -1)999… (2)

На пример, за бесконечна децимална дропка X=0,(9) имаме 10 X=9, (9). Ако го одземеме оригиналниот број од 10x, добиваме 9 X=9 или 1=1,(0)=0,(9).

Се воспоставува кореспонденција еден-на-еден помеѓу множеството од сите рационални броеви и множеството од сите бесконечни периодични децимални дропки ако ја идентификуваме бесконечната децимална дропка со бројот 9 во периодот со соодветната бесконечна децимална дропка со бројот 0 во периодот според правилото (2).

Да се ​​согласиме да користиме такви бесконечни периодични дропки кои го немаат бројот 9 во точката. Ако во процесот на расудување се појави бесконечна периодична децимална дропка со бројот 9 во периодот, тогаш ќе ја замениме со бесконечна децимална дропка со нула во точката, т.е. наместо 1999... ќе земеме 2000...

Дефиниција за ирационален број.Покрај бесконечните децимални периодични дропки, постојат и непериодични децимални дропки. На пример, 0,1010010001... или 27,1234567891011... (природните броеви се појавуваат последователно по децималната точка).

Размислете за бесконечна децимална дропка од формата ±a 0, a 1 a 2 …a n… (3)

Оваа дропка се одредува со наведување на знакот „+“ или „–“, а не целина негативен број a 0 и низи од децимални места a 1 ,a 2 ,…,a n ,… (множеството децимали се состои од десет броеви: 0, 1, 2,…, 9).

Да повикаме која било дропка од формата (3) реален (реален) број.Ако има знак „+“ пред дропката (3), тој обично се испушта и се пишува со 0 , a 1 a 2 …a n… (4)

Ќе повикаме број од формуларот (4) ненегативен реален број,и во случај кога барем еден од броевите a 0 , a 1 , a 2 , ..., a n е различен од нула, - позитивен реален број. Ако знакот „-“ е земен во изразот (3), тогаш ова е негативен број.

Со унијата на множествата рационални и ирационални броеви се формира множеството реални броеви (QÈJ=R). Ако бесконечната децимална дропка (3) е периодична, тогаш таа е рационален број, кога дропката е непериодична, таа е ирационална.

Два ненегативни реални броја a=a 0,a 1 a 2 …a n…, b=b 0,b ​​1 b 2 …b n….повикани еднакви(тие пишуваат a=b), Ако a n = b nна n=0,1,2… Бројот a е помал од бројот b(тие пишуваат а<б), ако било кој од нив а 0 или a 0 =b 0и има таков број m,Што a k =b k (k=0,1,2,…m-1),А м , т.е. а Û (а 0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), a m ). Концепт " А>б».

За да споредиме произволни реални броеви, го воведуваме концептот „ модул на бројот а» . Модул на реален број a=±a 0, a 1 a 2 …a n…Ова е ненегативен реален број кој може да се претстави со истата бесконечна децимална дропка, но земен со знак „+“, т.е. ½ А½= a 0, a 1 a 2 ... a n…и ½ А½³0. Ако А -не-негативни, бе негативен број, па размислете а>б. Ако двата броја се негативни ( а<0, b<0 ), тогаш ќе претпоставиме дека: 1) a=b, ако ½ А½ = ½ б½; 2) А , ако ½ А½ > ½ б½.

Својства на множеството Р:

Јас. Својства на ред:

1. За секој пар реални броеви АИ бима една и само една врска: a=b, a б.

2. Ако а , Тоа А (транзитивност).

3. Ако а , тогаш има број c таков што а< с .

II. Својства на операциите собирање и одземање:

4. а+б=б+а(комутативност).

5. (а+б)+в=а+(б+в) (асоцијативност).

6. a+0=a.

7. a+(-a)= 0.

8. од а Þ a+c ("cÎR).

III. Својства на операциите за множење и делење:

9. a×b=b×a .

10. (a×b)×c=a×(b×c).

11. a×1=a.

12. а×(1/а)=1 (а¹0).

13. (a+b)×c = ac + bc(дистрибутивноста).

14. ако а и c>0, тогаш а×с .

IV. Архимедов имот("cÎR)($nÎN) : (n>c).

Без оглед на бројот cÎR, постои nÎN таков што n>c.

В. Својство на континуитет на реалните броеви.Нека две непразни множества AÌR и BÌR се такви што секој елемент АОП повеќе нема да има ( а£ б) од кој било елемент bОB. Потоа Принципот на континуитет на Дедекиндтврди постоење на број c таков што за сите АОА и bОB важи следниов услов: а£ c£ б:

("AÌR, BÌR): (" аÎA, bÎB ® а£ б) ($cÎR): (" аÎA, bÎB® а£ c£b).

Ќе го идентификуваме множеството R со множеството точки на бројната линија и ќе ги повикаме вистинските броеви точки.

Геометриски реалните броеви, како рационалните броеви, се претставени со точки на права.

Нека л е произволна права линија, а О е некои од нејзините точки (сл. 58). Секој позитивен реален број α да ја поврземе точката А, која лежи десно од О на растојание од α единици за должина.

Ако, на пример, α = 2,1356..., тогаш

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

итн. Очигледно, точката А во овој случај мора да биде на права линија л десно од точките што одговараат на броевите

2; 2,1; 2,13; ... ,

но лево од точките што одговараат на броевите

3; 2,2; 2,14; ... .

Може да се покаже дека овие услови се дефинираат на линијата л единствената точка А, која ја сметаме како геометриска слика на реален број α = 2,1356... .

Исто така, за секој негативен реален број β да ја поврземе точката B што лежи лево од О на растојание од | β | единици за должина. Конечно, бројот „нула“ го поврзуваме со точката О.

Значи, бројот 1 ќе биде прикажан на права линија л точка А, која се наоѓа десно од О на растојание од една единица должина (сл. 59), бројот - √2 - до точката Б, лоцирана лево од О на растојание од √2 единици должина итн. .

Ајде да покажеме како на права линија л со помош на компас и линијар, можете да најдете точки што одговараат на реалните броеви √2, √3, √4, √5, итн. За да го направите ова, пред сè, ќе покажеме како можете да конструирате отсечки чии должини се изразени по овие бројки. Нека AB е отсечка земена како единица за должина (сл. 60).

Во точката А, конструираме нормална на оваа отсечка и на неа исцртуваме отсечка AC еднаква на отсечката AB. Потоа, со примена на Питагоровата теорема на правоаголното триаголник ABC, добиваме; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Според тоа, отсечката BC има должина √2. Сега да конструираме нормална на отсечката BC во точката C и да ја избереме точката D на неа така што отсечката CD е еднаква на една единица со должина AB. Потоа од правоаголен триаголникАјде да најдеме BCD:

ВД = √ВC 2 + СД 2 = √2+1 = √3

Според тоа, отсечката BD има должина √3. Продолжувајќи го опишаниот процес понатаму, би можеле да ги добиеме отсечките BE, BF, ..., чии должини се изразени со броевите √4, √5 итн.

Сега на права линија л лесно е да се најдат оние точки кои служат како геометриско претставување на броевите √2, √3, √4, √5 итн.

Со исцртување, на пример, отсечката BC десно од точката O (сл. 61), ја добиваме точката C, која служи како геометриска слика на бројот √2. На ист начин, ставајќи ја отсечката BD десно од точката O, добиваме точка D“, која е геометриска слика на бројот √3 итн.

Сепак, не треба да се мисли дека се користи компас и линијар на бројната линија л може да се најде точката што одговара на кој било даден реален број. Докажано е, на пример, дека имајќи на располагање само компас и линијар, невозможно е да се конструира отсечка чија должина е изразена со бројот π = 3,14... . Затоа, на нумеричката линија л со помош на такви конструкции е невозможно да се означи точката што одговара на овој број, но сепак таква точка постои.

Значи, за секој реален број α можно е да се поврзе некоја добро дефинирана точка со права линија л . Оваа точка ќе биде на растојание од | α | единици за должина и да биде десно од О ако α > 0, и лево од О, ако α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой л . Всушност, нека бројот α точката А одговара, а бројот β - точка Б. Тогаш, ако α > β , тогаш A ќе биде десно од B (Слика 62, а); ако α < β , тогаш А ќе лежи лево од Б (слика 62, б).

Зборувајќи во § 37 за геометриската слика на рационалните броеви, го поставивме прашањето: дали која било точка на правата може да се смета за геометриска слика на некои рационаленбројки? Тогаш не можевме да одговориме на ова прашање; Сега можеме да одговориме сосема дефинитивно. Постојат точки на правата што служат како геометриска претстава на ирационални броеви (на пример, √2). Според тоа, не секоја точка на правата претставува рационален број. Но, во овој случај, се поставува друго прашање: дали која било точка на бројната права може да се смета како геометриска слика на некои валиденбројки? Ова прашање е веќе позитивно решено.

Навистина, нека А е произволна точка на правата л , лежи десно од О (сл. 63).

Должината на отсечката ОА се изразува со некој позитивен реален број α (види § 41). Според тоа, точката А е геометриска слика на бројот α . Слично е утврдено дека секоја точка B што лежи лево од O може да се смета како геометриска слика на негативен реален број - β , Каде β - должина на сегментот VO. Конечно, точката О служи како геометриски приказ на бројот нула. Јасно е дека две различни точки на една права л не може да биде геометриска слика од ист реален број.

Од причините наведени погоре, права линија на која одредена точка O е означена како „почетна“ точка (за дадена единица должина) се нарекува бројна линија.

Заклучок. Множеството од сите реални броеви и множеството од сите точки на бројната права се во кореспонденција еден на еден.

Ова значи дека секој реален број одговара на една, добро дефинирана точка на бројната права и, обратно, на секоја точка на бројната права, со таква кореспонденција, одговара еден, добро дефиниран реален број.

Комплексни броеви

Основни концепти

Првичните податоци за бројот датираат од камено доба - палеомелитска ера. Овие се „еден“, „малку“ и „многу“. Тие беа снимени во форма на засеци, јазли итн. Развојот на работните процеси и појавата на сопственоста го принудија човекот да измисли бројки и нивните имиња. Прво се појавија природни броеви Н, добиени со броење предмети. Потоа, заедно со потребата за броење, луѓето имаа потреба да мерат должини, површини, волумени, време и други количини, каде што требаше да земат предвид делови од користената мерка. Така настанале дропките. Формалното потврдување на концептите на дробни и негативни броеви беше спроведено во 19 век. Множество од цели броеви З– тоа се природни броеви, природни броеви со знак минус и нула. Цели и дробни броевиформираше збир на рационални броеви П,но исто така се покажа како недоволно за проучување на континуирано променливите варијабли. Битие повторно ја покажа несовршеноста на математиката: неможноста да се реши равенка на формата X 2 = 3, поради што се појавија ирационални броеви Јас.Унија на множеството рационални броеви Пи ирационални броеви Јас– збир на реални (или реални) броеви Р. Како резултат на тоа, нумеричката линија беше пополнета: секој реален број одговараше на точка на неа. Но, на многумина Рне постои начин да се реши равенка на формата X 2 = – А 2. Следствено, повторно се појави потреба да се прошири концептот на број. Вака се појавиле сложените броеви во 1545 година. Нивниот креатор Џ. Кардано ги нарече „чисто негативни“. Името „имагинарно“ било воведено во 1637 година од Французинот Р. Декарт, во 1777 година Ојлер предложил да се користи првата буква од францускиот број. јасза означување на имагинарната единица. Овој симбол влезе во општа употреба благодарение на К. Гаус.

Во текот на 17 и 18 век, дискусијата за аритметичката природа на имагинарите и нивното геометриско толкување продолжи. Данецот Г. Весел, Французинот Ј. Арган и Германецот К. Гаус независно предложиле да се претстави комплексен број како точка на координатна рамнина. Подоцна се покажа дека е уште попогодно да се претставува број не по самата точка, туку со вектор што оди до оваа точка од потеклото.

Само кон крајот на 18 и почетокот на 19 век сложените броеви го зазедоа своето заслужено место во математичката анализа. Нивната прва употреба е во теорија диференцијални равенкии во теоријата на хидродинамиката.

Дефиниција 1.Комплексен бројсе нарекува израз на формата , каде xИ yсе реални броеви и јас– имагинарна единица, .

Два сложени броја и еднаквиако и само ако, .

Ако , тогаш се повикува бројот чисто имагинарен; ако , тогаш бројот е реален број, тоа значи дека множеството Р СО, Каде СО- еден куп сложени броеви.

Коњугатна комплексен број се нарекува комплексен број.

Геометриска сликасложени броеви.

Секој комплексен број може да се претстави со точка М(x, y) рамнина Окси.Пар од реални броеви ги означува и координатите на векторот на радиусот , т.е. помеѓу множеството вектори на рамнината и множеството сложени броеви, може да се воспостави кореспонденција еден на еден: .

Дефиниција 2.Вистински дел X.

Ознака: x= Одг z(од латински Realis).

Дефиниција 3.Имагинарен делкомплексен број е реален број y.

Ознака: y= јас z(од латински Imaginarius).

Одг zсе депонира на оската ( О), Јас сум zсе депонира на оската ( О), тогаш векторот што одговара на комплексниот број е вектор на радиус на точката М(x, y), (или М(Ре z, Јас сум z)) (сл. 1).

Дефиниција 4.Се нарекува рамнина чии точки се поврзани со множество сложени броеви комплексен авион. Се нарекува оската на апсцисата реална оска, бидејќи содржи реални броеви. Се нарекува ординатна оска имагинарна оска, содржи чисто имагинарни сложени броеви. Се означува множеството сложени броеви СО.

Дефиниција 5.Модулкомплексен број z = (x, y) се нарекува должина на векторот: , т.е. .

Дефиниција 6.Аргументкомплексен број е аголот помеѓу позитивната насока на оската ( О) и вектор: .

РЕАЛНИ БРОЕВИ II

§ 44 Геометриски приказ на реални броеви

Геометриски реалните броеви, како рационалните броеви, се претставени со точки на права.

Нека л е произволна права линија, а О е некои од нејзините точки (сл. 58). Секој позитивен реален број α да ја поврземе точката А, која лежи десно од О на растојание од α единици за должина.

Ако, на пример, α = 2,1356..., тогаш

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

итн. Очигледно, точката А во овој случај мора да биде на права линија л десно од точките што одговараат на броевите

2; 2,1; 2,13; ... ,

но лево од точките што одговараат на броевите

3; 2,2; 2,14; ... .

Може да се покаже дека овие услови се дефинираат на линијата л единствената точка А, која ја сметаме како геометриска слика на реален број α = 2,1356... .

Исто така, за секој негативен реален број β да ја поврземе точката B што лежи лево од О на растојание од | β | единици за должина. Конечно, бројот „нула“ го поврзуваме со точката О.

Значи, бројот 1 ќе биде прикажан на права линија л точка А, која се наоѓа десно од О на растојание од една единица должина (сл. 59), бројот - √2 - до точката Б, лоцирана лево од О на растојание од √2 единици должина итн. .

Ајде да покажеме како на права линија л со помош на компас и линијар, можете да најдете точки што одговараат на реалните броеви √2, √3, √4, √5, итн. За да го направите ова, пред сè, ќе покажеме како можете да конструирате отсечки чии должини се изразени по овие бројки. Нека AB е отсечка земена како единица за должина (сл. 60).

Во точката А, конструираме нормална на оваа отсечка и на неа исцртуваме отсечка AC еднаква на отсечката AB. Потоа, применувајќи ја Питагоровата теорема на правоаголен триаголник ABC, добиваме; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Според тоа, отсечката BC има должина √2. Сега да конструираме нормална на отсечката BC во точката C и да ја избереме точката D на неа така што отсечката CD е еднаква на една единица со должина AB. Потоа од правоаголниот триаголник BCD наоѓаме:

ВД = √ВC 2 + СД 2 = √2+1 = √3

Според тоа, отсечката BD има должина √3. Продолжувајќи го опишаниот процес понатаму, би можеле да ги добиеме отсечките BE, BF, ..., чии должини се изразени со броевите √4, √5 итн.

Сега на права линија л лесно е да се најдат оние точки кои служат како геометриско претставување на броевите √2, √3, √4, √5 итн.

Со отпуштање, на пример, отсечката BC десно од точката O (сл. 61), ја добиваме точката C, која служи како геометриска слика на бројот √2. На ист начин, ставајќи ја отсечката BD десно од точката O, добиваме точка D“, која е геометриска слика на бројот √3 итн.

Сепак, не треба да се мисли дека се користи компас и линијар на бројната линија л може да се најде точката што одговара на кој било даден реален број. Докажано е, на пример, дека имајќи на располагање само компас и линијар, невозможно е да се конструира отсечка чија должина е изразена со бројот π = 3,14... . Затоа, на нумеричката линија л со помош на такви конструкции е невозможно да се означи точката што одговара на овој број, но сепак таква точка постои.

Значи, за секој реален број α можно е да се поврзе некоја добро дефинирана точка со права линија л . Оваа точка ќе биде на растојание од | α | единици за должина и да биде десно од О ако α > 0, и лево од О, ако α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой л . Всушност, нека бројот α точката А одговара, а бројот β - точка Б. Тогаш, ако α > β , тогаш A ќе биде десно од B (Слика 62, а); ако α < β , тогаш А ќе лежи лево од Б (слика 62, б).

Зборувајќи во § 37 за геометриската слика на рационалните броеви, го поставивме прашањето: дали која било точка на правата може да се смета за геометриска слика на некои рационаленбројки? Тогаш не можевме да одговориме на ова прашање; Сега можеме да одговориме сосема дефинитивно. Постојат точки на правата што служат како геометриска претстава на ирационални броеви (на пример, √2). Според тоа, не секоја точка на правата претставува рационален број. Но, во овој случај, се поставува друго прашање: дали која било точка на бројната права може да се смета како геометриска слика на некои валиденбројки? Ова прашање е веќе позитивно решено.

Навистина, нека А е произволна точка на правата л , лежи десно од О (сл. 63).

Должината на отсечката ОА се изразува со некој позитивен реален број α (види § 41). Според тоа, точката А е геометриска слика на бројот α . Слично е утврдено дека секоја точка B што лежи лево од O може да се смета како геометриска слика на негативен реален број - β , Каде β - должина на сегментот VO. Конечно, точката О служи како геометриски приказ на бројот нула. Јасно е дека две различни точки на една права л не може да биде геометриска слика од ист реален број.

Од причините наведени погоре, права линија на која одредена точка O е означена како „почетна“ точка (за дадена единица должина) се нарекува бројна линија.

Заклучок. Множеството од сите реални броеви и множеството од сите точки на бројната права се во кореспонденција еден на еден.

Ова значи дека секој реален број одговара на една, добро дефинирана точка на бројната права и, обратно, на секоја точка на бројната права, со таква кореспонденција, одговара еден, добро дефиниран реален број.

Вежби

320. Откријте која од двете точки е лево, а која десно на бројната права, ако овие точки одговараат на броеви:

а) 1,454545... и 1,455454...; в) 0 и - 1,56673...;

б) - 12.0003... и - 12.0002...; г) 13.24... и 13.00 часот....

321. Откријте која од двете точки се наоѓа на бројната права подалеку од почетната точка О, ако овие точки одговараат на броевите:

а) 5,2397... и 4,4996...; .. в) -0,3567... и 0,3557... .

г) - 15.0001 и - 15.1000...;

322. Во овој дел се покажа дека за да се конструира отсечка со должина √ n со помош на компас и линијар, можете да постапите на следниов начин: прво конструирајте отсечка со должина √2, потоа отсечка со должина √3 итн., додека не дојдеме до сегмент со должина √ n . Но, за секој поправен П > 3 овој процес може да се забрза. Како, на пример, би почнале да конструирате отсечка со должина √10?

323*. Како да користите компас и линијар за да ја пронајдете точката на бројната линија што одговара на бројот 1 / α , ако позицијата на точката што одговара на бројот α , дали е познато?

Експресивен геометриски приказ на системот на рационални броеви може да се добие на следниов начин.

На одредена права линија, „нумеричката оска“, го означуваме сегментот од О до 1 (слика 8). Ова ја утврдува должината на единечниот сегмент, кој, општо земено, може да се избере произволно. Позитивните и негативните цели броеви потоа се претставени со множество од еднакво распоредени точки на бројната оска, имено позитивните броеви се означени десно, а негативните броеви лево од точката 0. За да се прикажат броевите со именител n, поделете го секој од добиени отсечки со единечна должина за n еднакви делови; Точките на делење ќе претставуваат дропки со именител n. Ако го направиме ова за вредностите на n што одговараат на сите природни броеви, тогаш секој рационален број ќе биде прикажан со одредена точка на бројната оска. Ќе се согласиме да ги наречеме овие точки „рационални“; Во принцип, ние ќе ги користиме термините „рационален број“ и „рационална точка“ како синоними.

Во Поглавје I, § 1, релацијата на неравенство А беше дефинирана за кој било пар рационални точки, тогаш природно е да се обидеме да ја генерализираме врската на аритметичка неравенка на таков начин што ќе го зачува овој геометриски ред за точките што се разгледуваат. Тоа е можно ако ја прифатиме следната дефиниција: велат дека рационален број А помалкуотколку рационален број B (А е поголем од бројот А (B>A), ако разлика VAпозитивен. Ова имплицира (за А помеѓу A и B се оние кои се и >A и сегмент (или сегмент) и се означува со [A, B] (а само множеството од средни точки е интервал(или помеѓу), означено (А, Б)).

Се нарекува растојанието на произволна точка А од потеклото 0, сметана како позитивен број абсолутна вредност A и се означува со симболот

Концепт " абсолутна вредност" се дефинира на следниов начин: ако A≥0, тогаш |A| = A; ако A

|A + B|≤|A| + |B|,

што е точно без оглед на знаците на А и Б.

Факт од фундаментално значење се изразува со следнава реченица: рационалните точки се наоѓаат густо насекаде на бројната права. Значењето на оваа изјава е дека секој интервал, без разлика колку е мал, содржи рационални точки. За да се потврди валидноста на наведената изјава, доволно е да се земе бројот n толку голем што интервалот ќе биде помал од дадениот интервал (A, B); тогаш барем една од погледните точки ќе биде во овој интервал. Значи, не постои таков интервал на бројната права (дури и најмалиот што може да се замисли) во кој нема да има рационални точки. Ова води до дополнителна последица: секој интервал содржи бесконечен сет на рационални точки. Навистина, ако одреден интервал содржи само конечен бројрационални точки, тогаш внатре во интервалот формиран од две соседни такви точки, повеќе нема да има рационални точки, а тоа е во спротивност со она што штотуку докажаното.