Се јави Несоодветен интеграл Од функцијатаФ(X) со бесконечна горна граница.Ако оваа граница постои и е конечна, тогаш се нарекува неправилниот интеграл Конвергентен. Но, ако не постои или е еднаков
± ¥, тогаш се нарекува овој несоодветен интеграл Дивергентни.

Ако Ф(X) ≥ 0 за сите X ≥ А, Тоа Унеправилен интеграл (6.1) постои очигледна геометриско значење, што произлегува од геометриското значење (4.3) на вообичаеното определен интеграл. Навистина, според Сл. 5.14

(6.2)

(6.3)

Еве С¥ - област бескрајно проширена во насока на оската Окриволинеарен трапез (сл. 5.15). И покрај неговата бесконечен обем, тој исто така може да испадне дека е конечен. Но, тоа може да се случи, според Сл. 5.15, само во случај кога Y = Ф(X) → 0 во X → ¥ . Па дури и тогаш, ако функцијата Y = Ф(X) → 0 во X → ¥ доволно брзо.

Пример 1. Најдете област С¥ , прикажано на сл. 5.16.

,
од ln Б → ¥ на Б → ¥ .

Значи, С¥ = ¥. И ова и покрај фактот што функцијата кога X → ¥ . Несоодветен интеграл, што значи дека се разминува.

Пример 2. Најдете област С¥ , прикажано на сл. 5.17.

Еве С¥ = 1. Односно, бесконечно продолжената област се покажа како конечна. Ова се случи затоа што интеграндот функционира на X → ¥ доволно брзо (барем многу побрзо од интеграндот во претходниот пример). Неправилен интеграл (број), што значи дека се конвергира.

Пример 3 . Откријте дали неправилниот интеграл конвергира или дивергира.

Решение . Да го пресметаме овој интеграл:

Не постои. Ова е очигледно ако се потсетиме на однесувањето на графикот на функцијата Y= = Грев X(синусоиди) кај X → ¥ . Така, тој не постои, што значи дека се разминува. Сепак, ова не може да биде поинаку, бидејќи функцијата интегранд cos Xне се стреми кон нула кога X →¥ .

Забележете дека при пресметување на неправилни интеграли од типот, како и при пресметување на обични дефинитивни интеграли, можете веднаш да ја примените формулата Њутн-Лајбниц:

Еве

Навистина:

Доколку вредноста Ф(¥ ) постои и е конечен, тогаш според формулата Њутн-Лајбниц (6.4) конвергира и неправилниот интеграл.

Забелешка.Сосема аналогно на интегралите со бесконечна горна граница, може да се земат предвид неправилни интеграли со бесконечна долна граница, па дури и со двете бесконечни граници на интеграција. Односно, интеграли на формата

За да ги пресметате, можете да ја користите и формулата Њутн-Лајбниц.

Пример 4.

Значи, (број), односно овој интеграл конвергира. Неговата вредност π е еднаква на плоштината С¥ бесконечно продолжената фигура во двете насоки прикажана на сл. 5.18.

Забележете дека самиот факт на конвергенција-дивергенција на неправилни интеграли со бесконечни граници на интеграција не мора да се утврди со директно пресметување на овие интеграли. Ова прашање често може да се реши многу поедноставно со споредување на овој несоодветен интеграл со некој друг интеграл за кој веќе е воспоставена конвергенција-дивергенција.

Да претпоставиме, на пример, дека за сите постои нееднаквост Ф(X) £ Г(X), Каде Y = Ф(X) И Y = Г(X) - Две континуирани и ненегативни функции (сл. 5.19). Тогаш е очигледно дека

Од нееднаквоста (6.6) и Сл. 5.19 очигледно го следи т.н Споредбен тест за неправилни интеграли:

1) Ако (бројот) конвергира, тогаш (број) - конвергира, и Б

2) Ако - тогаш се разминува - се разминува.

3) Ако - се разминува, тогаш - ништо не може да се каже за овој интеграл.

4) Ако (број) - конвергира, тогаш - ништо не може да се каже за овој интеграл.

Како функција Г(X) , со која оваа функција се споредува на интервалот Ф(X), често се користи функцијата, а интегралот се користи како споредбен интеграл, имајќи предвид дека кога А > 0 и која било α функција е позитивна и континуирана функција и тоа

Пример 5.

Решение. Очигледно е дека за сите X Î е повредено барањето за произволно избирање бодови на делумни сегменти – не може да се избере =Со, бидејќи вредноста на функцијата во овој момент е недефинирана. Сепак, дури и за овие случаи е можно да се генерализира концептот на определен интеграл со воведување на друг премин до границата. Се нарекуваат интеграли во бесконечни интервали и над дисконтинуирани (неограничени) функции не твоја.

Дефиниција.

Нека функцијата
е дефинирано на интервалот [ а; ) и може да се интегрира на кој било конечен интервал [ а; б], т.е. постои
за било кој б > а. Ограничување на типот
повикани неправилен интеграл прв вид (или неправилен интеграл на бесконечен интервал) и означува
.

Така, по дефиниција,
=
.

Ако границата од десната страна постои и е конечна, тогаш неправилниот интеграл
повикани конвергентен . Ако оваа граница е бесконечна, или воопшто не постои, тогаш велат дека неправилниот интеграл се разминува .

Слично на тоа, можеме да го воведеме концептот на несоодветен интеграл на функцијата
долж интервалот (–; б]:

=
.

И несоодветниот интеграл на функцијата
во текот на интервалот (–; +) се дефинира како збир на интегралите воведени погоре:

=
+
,

Каде А– произволна точка. Овој интеграл конвергира ако двата поима се спојуваат и се разминува ако барем еден од поимите се разминува.

Од геометриска гледна точка, интегралот
,
, ја одредува нумеричката вредност на плоштината на бесконечен криволинеарен трапез ограничен горе со графикот на функцијата
, лево – право
, одоздола – по оската OX. Конвергенцијата на интегралот значи постоење на конечна површина на таков трапез и нејзина еднаквост до границата на плоштината на криволинеарен трапез со подвижен десен ѕид
.

За случајот на интеграл со бесконечна граница, можеме да генерализираме Формула Њутн-Лајбниц:

=
= F( + ) – F( а),

каде F( + ) =
. Ако оваа граница постои, тогаш интегралот конвергира, во спротивно се разминува.

Разгледавме генерализација на концептот на дефинитивен интеграл во случај на бесконечен интервал.

Сега да разгледаме генерализација за случајот на неограничена функција.

Дефиниција

Нека функцијата
е дефинирано на интервалот [ а; б), е неограничен во некое соседство на точката б, и е континуиран на кој било интервал
, каде што >0 (и, според тоа, може да се интегрира на овој интервал, т.е.
постои). Ограничување на типот
повикани неправилен интеграл од втор вид (или неправилен интеграл на неограничена функција) и се означува
.

Така, неправилниот интеграл на неограниченото во точката бфункциите постојат по дефиниција

=
.

Ако границата од десната страна постои и е конечна, тогаш се повикува интегралот конвергентен. Ако нема конечна граница, тогаш се нарекува неправилниот интеграл дивергентни.

Слично, можеме да го дефинираме неправилниот интеграл на функцијата
имајќи бесконечен дисконтинуитет во точката А:

=
.

Доколку функцијата
има бесконечен јаз во внатрешната точка Со
, тогаш неправилниот интеграл се дефинира на следниов начин

=
+
=
+
.

Овој интеграл конвергира ако двата члена се спојуваат и се разминува ако барем еден член се разминува.

Од геометриска гледна точка, неправилниот интеграл на неограничена функција ја карактеризира и областа на неограничен заоблен трапез:

Бидејќи неправилниот интеграл е изведен со преминување на границата од определен интеграл, сите својства на определен интеграл може да се пренесат (со соодветни пречистувања) на неправилни интеграли од првиот и вториот вид.

Во многу проблеми кои водат до неправилни интеграли, не е неопходно да се знае на што е еднаков овој интеграл, доволно е само да се потврди неговата конвергенција или дивергенција. За ова користат знаци на конвергенција. Знаци на конвергенција на неправилни интеграли:

1) Знак за споредување.

Нека биде за сите X

. Тогаш ако
конвергира, потоа конвергира
, и

. Ако
се разминува, потоа се разминува и
.

2) Ако конвергира
, потоа се конвергира и
(последниот интеграл во овој случај се нарекува апсолутно конвергентен).

Знаците на конвергенција и дивергенција на несоодветни интеграли на неограничени функции се слични на оние формулирани погоре.

Примери за решавање проблеми.

Пример 1.

А)
; б)
; V)

G)
; г)
.

Решение.

а) По дефиниција имаме:

.

б) Исто така

Според тоа, овој интеграл конвергира и е еднаков на .

в) По дефиниција
=
+
, и А– произволен број. Да го ставиме во нашиот случај
, тогаш добиваме:

Овој интеграл се спојува.

Ова значи дека овој интеграл се разминува.

д) Да разгледаме
.

За да се најде антидериватот на интеграндот, потребно е да се примени методот на интеграција по делови. Тогаш добиваме:
Бидејќи ниту едното ниту другото
, ниту

не постојат, тогаш не постои и

Затоа, овој интеграл се разминува.

Пример 2. Истражете ја конвергенцијата на интегралот во зависност од.

Решение.

n
На

имаме:
Ако
, Тоа

имаме:
Ако
И . Затоа, интегралот се разминува.
, А

= ,

, Потоа

имаме:
Затоа, интегралот конвергира.

, Тоа

затоа, интегралот се разминува.

Така,

Пример 3.

А)
Пресметајте го неправилниот интеграл или утврдете ја неговата дивергенција:
;
.

Решение.

б)
;
V)

а) Интегрален

.

е неправилен интеграл од втор вид, бидејќи интеграндот .

не е ограничен во одреден момент
. Потоа, по дефиниција,
Интегралот конвергира и е еднаков на

б) Размислете

. И овде интеграндот не е ограничен во точката
. Затоа, овој интеграл е несоодветен од вториот вид и, по дефиниција,
Затоа, интегралот се разминува.
в) Размислете
. Интегранд
претрпува бесконечен јаз во две точки:

=

=

.

И
.

, од кои првиот припаѓа на интервалот на интеграција

  • . Следствено, овој интеграл е несоодветен интеграл од вториот вид. Потоа, по дефиниција
  • Затоа, интегралот конвергира и е еднаков на

Да разгледаме два вида несоодветни интервали:

1. Неправилни интеграли од прв вид со бесконечни граници на интеграција;


2. Неправилни интеграли од втор вид од функции со бесконечни дисконтинуитети.

Несоодветни интеграли од првиот вид со бесконечни граници на интеграција

Дефиниција: Интеграли од формата: се нарекуваат неправилни интеграли од првиот вид со бесконечни граници, кои се дефинираат со користење на границите:

Дефиниција Неправилните интеграли се вели дека се конвергентни ако постојат конечни граници со кои се дефинираат овие интеграли.

Теорема 2. Ако за позитивни функции за кои важи неравенката 0?g(x)?f(x), за кој било x? и, неправилниот интеграл на помалата функција дивергира, тогаш неправилниот интеграл на поголемата функција исто така дивергира.

Пример. Истражете ја конвергенцијата на интегралот:

Решение. Да го споредиме интеградот со функцијата. За позитивни знаци на интервалот. Несоодветните интеграли од вториот вид се дефинираат поинаку, во зависност од локацијата на точките на дисконтинуитет на интервалот [ а; б].

1) Да претпоставиме дека функцијата ѓ(x) има бесконечен дисконтинуитет во некоја внатрешна точка на доменот на интеграција ( вÎ( а; б)) На други точки од сегментот [ а; б] функцијата се претпоставува дека е континуирана.

Тогаш, ако границите и постојат и се конечни, тогаш велат дека интегралот конвергира и е еднаков на

. (8.22)
2) Нека е единствената точка на дисконтинуитет на функцијата ѓ(x) се совпаѓа со точката А

. (8.23)
3) Нека е единствената точка на дисконтинуитет на функцијата ѓ(x) се совпаѓа со точката б. Тогаш, ако границата постои и е конечна, тогаш се вели дека интегралот конвергира и е еднаков на

. (8.24)
Се претпоставува дека e > 0 и d > 0.

Задача 8.12.Пресметајте го неправилниот интеграл.

Решение. x= 2. Затоа,

Задача 8.13.Пресметајте го неправилниот интеграл.

Решение.Интеграндот има дисконтинуитет од вториот вид во точката x= 0 (во рамките на регионот за интеграција). Оттука,

Првата граница постои и е конечна, но втората граница е еднаква на бесконечност (at). Затоа, овој интеграл се разминува.

Поглавје 9. Функции на неколку променливи

§9.1. Дефиниција n-димензионален Евклидов простор Rn.

Пред да се продолжи со проучување на функциите на многу променливи, корисно е да се воведе концептот n-димензионален простор за кој било n = 1, 2, 3,… .

2 Точка x n-димензионален простор (вектор) е подредена колекција n реални броеви.

Се повикува бројот јаскоординатата на векторот.

2 Растојание помеѓу две точки n-димензионален простор и се одредува со формулата:


Растојание од точка до точка xнаречен модул на векторот xи е назначен . Од формулата (9.1) произлегува дека .

ВО n-димензионален простор, природно се воведува концептот на скаларен производ:

Агол помеѓу вектори xИ yможе да се определи со формулата:

Како и досега, вектори xИ yсе нормални ако и само ако тие производ со точкие еднакво на нула.

2 Збир на сите точки n-димензионален простор во кој растојанието е дефинирано според формулата (9.1) и скаларниот производ се вика n-димензионален Евклидов векторски простори се означува со .

Во случај n= 1 просторот се совпаѓа со линијата, во случајот n= 2 – со авион, а во случајот n= 3 – со простор.

2 Нека и . Множеството од сите точки такви што , се нарекува n-измерена топка со центар во точка xили д-соседство на точката xво просторот и се означува со .

Во координатна форма, оваа дефиниција изгледа вака:

Во случај на директна линија, т.е. на n= 1, соседството на точката е интервал центриран во точката на радиусот д. Во случај на авион, т.е. на n= 2, соседството на точката е отворен круг со центарот на точката на радиусот д. Во случај на простор, т.е. на n= 3 соседството на точката е отворена топка центрирана на точката на радиусот д.

§9.2. Доменот на дефиниција на функција од неколку променливи. Континуитет

2 Функција nпроменливи е правило (закон) според кое секое множество кое се состои од nпроменливи земени од некоја област Дн-димензионален простор, се доделува на еден број z. Во повеќето едноставен случај.

2 Функција од 2 променливи е правило (закон) според кое секоја точка М(x; y), кои припаѓаат на некоја област Давион xOy, се совпаѓа со еднина број z.

Многу точки во просторот со координати формираат одредена површина (сл. 9.1), издигнувајќи се над областа Д(геометриско значење на функција од две променливи).

2 Површина Д, за која е конструирана горната кореспонденција, се нарекува домен на дефинирање на функцијата.

Проблем 9.1.Најдете го доменот на функцијата

Решение.Потребниот домен на дефиниција е збир на точки на рамнината xOy, задоволувајќи го системот на нееднаквости. Неравенки и променете го нивниот знак во спротивен (соодветно) кога се сечат следните прави: x = yИ x = 0, y= 0. Овие линии ја делат рамнината xOyза 6 региони. Доследно, со замена на произволни точки од секој домен во системот, ние сме убедени дека унијата на домени (1) и (3) е домен на дефиниција на оригиналната функција. Покрај тоа, тоа е директно x = y, со исклучок на точката (0; 0), е вклучена во доменот на дефиниција, а правата x= 0, и y= 0 – не е вклучено (сл. 9.2).

2 Затворањето на регион е збир на точки во просторот, секое соседство на секоја од нив содржи точки од регионот Д.

Нека, на пример, Д– некоја отворена (границата не е вклучена) област во авионот xOy. Тогаш ќе се добие затворање на регионот ако на регионот Дприкачете ја нејзината граница Г .

2 Нека во некоја област Давион xOyфункција е дадена, и нека биде некоја точка на затворање на регионот Д(). Број Асе нарекува граница на функцијата во точката М 0 ако за кој било број д> 0 постои таков број δ > 0, што за сите точки освен точката М 0 и помалку од едно растојание од него δ , нееднаквоста е задоволена.

2 Функцијата се нарекува континуирана во точка ако е дефинирана во оваа точка () и важи еднаквоста.

§9.3. Линии на ниво на функција од две променливи

2 линии на авион xOy, дадени со равенките , каде СО– произволна константа, наречена линии на ниво на функција.

Нивоените линии се линии на пресек на површината, дадена функцијаи авиони z = В, паралелно со авионот xOy. Користејќи линии за ниво, можете да го проучите обликот на површината одредена со функцијата.

Пример 9.2.Најдете ги линиите на нивоата и определи ја формата на површината дадена со равенката.

Равенките на линиите на нивоа во овој случај ја имаат формата . Во Ц< 0 уравнение дает пустое множество решений (следовательно, вся поверхность расположена выше плоскости xOy). На В= 0 само една точка ја задоволува равенката на линијата на ниво x = 0, y= 0 (со рамнина xOyповршината се вкрстува само на почетокот на координатите). На В> Линиите од 0 ниво се елипсови, со полуоски и . Линии на нивоа што одговараат на различни вредности СО, прикажано на сл. 9.3. Површина, дадена со равенката, се нарекува елиптичен параболоид (сл. 9.4).

§9.4. Парцијални деривати од прв ред

Нека во некоја област Давион xOyфункцијата е дадена, и е одредена точка во регионот Д.

x

, (9.2)

2 Делумен извод на функција во точка во однос на променлива y(означено со или ) наречено

, (9.3)
ако оваа граница постои и е конечна.

2 Делумна дериватна функција nпроменливи во точка по променлива x iповикани

, (9.4)
ако оваа граница постои и е конечна.

Како што може да се види од формулите (9.2) – (9.4), парцијалните изводи се одредуваат на ист начин како што е одреден изводот на функција од една променлива. При пресметување на границата, само една од променливите добива прираст, останатите променливи не добиваат зголемувања и остануваат константни. Следствено, парцијалните деривати може да се пресметаат со користење на истите правила како и обичните деривати, третирајќи ги сите слободни променливи (освен онаа со која се прави диференцијација) како константи.

Задача 9.3.Најдете парцијални изводи на функции

Решение. .

Задача 9.4.Најдете парцијални изводи на функција.

Решение.При диференцирање на дадена функција во однос на променлива xго користиме правилото за диференцијација функција за напојување, и при наоѓање на парцијалниот извод во однос на променлива y– правило за диференцијација експоненцијална функција:

Задача 9.5.Пресметај ги парцијалните изводи на функцијата во точката.

Решение.Примена на правилото за диференцијација комплексна функција, да ги најдеме парцијалните деривати

Замена на координатите на точката во парцијални изводи М, добиваме

§9.5. Градиент на функција од неколку променливи.
Насочен дериват

2 Градиентот на функција во точка е вектор составен од парцијални изводи на дадена функција пресметани во дадена точка:

2 Изводот на функција во точка во насока на векторот е проекцијата на векторот на градиент на дадена функција пресметана во точката М 0, во оваа насока

Пресметувајќи ја проекцијата на вектор на вектор во согласност со формулата (2.6), добиваме

. (9.7)
Забележувајќи дека каде а– аголот што векторот го прави со оската Вол, добиваме друга формула за пресметување на изводот во однос на насоката на векторот

Задача 9.6.Најдете го градиентот на функцијата во точка М 0 (4; 2) и изводот во однос на насоката на векторот

Решение.Да ги најдеме парцијалните деривати

Ајде да ги пресметаме вредностите на парцијалните деривати во точката М 0:

Градиент на функција во точка М 0 ќе се најде со помош на формулата (9.5):

Задача 9.7.Во точката М 0 (0; 1) пресметај го изводот на функцијата во правец на симетралата на вториот координатен агол.

Решение.Да ги најдеме парцијалните изводи на функцијата:

Ајде да ги пресметаме вредностите на парцијалните деривати и градиентот на функцијата во точката М 0:

Извод на функција во точка М 0 во правец на симетралата на вториот координатен агол (оваа насока е со оската Волагол а= 135°) може да се најде со помош на формулата (9.8):

§9.6. Диференцијал на функција од неколку променливи
и неговата примена за приближни пресметки

1 Ако во некоја точка функцијата има континуирани парцијални изводи и , тогаш нејзиниот вкупен пораст кога се движи од точката М 0 до точка може да се претстави како:

, (9.9)
каде во , .

2 Изразот се нарекува целосен диференцијалфункционира во точката.

Од формулата (9.9) произлегува дека диференцијалот на функцијата е главниот линеарен дел од вкупниот прираст на функцијата. За доволно мал Д xи Д yизразот е значително помал од диференцијалот и може да се занемари. Така, доаѓаме до следната приближна формула:

. (9.10)
Коментар.Формулата (9.10) може да се користи за приближно пресметување на вредностите на функциите само во точки доволно блиску до точката. Како помала вредност, толку е попрецизна вредноста пронајдена со помош на формулата (9.9).

Пример 9.8.Пресметајте приближно користејќи диференцијал.

Да ја разгледаме функцијата. Треба да се пресмета вредноста z 1 од оваа функција во точката ( x 1 ; y 1) = (0,09; 6,95). Да ја користиме приближната формула (9.9), избирајќи ја точката (0; 7) како точка. Потоа Д x = x 1 – x 0 = 0,09 - 0 = 0,09, Д y =y 1 – y 0 = 6,95 – 7 = – 0,05.

Оттука,

§9.7. Делумни деривати од повисок ред

Пушти во областа Ддадена е функција која има континуирани парцијални изводи и во овој домен. Така, во областа Ддобивме две нови континуирани функциидве променливи и . Ако во одреден момент во областа Дфункции и имаат парцијални изводи и во однос на променливата x, и со промена y, тогаш овие изводи се нарекуваат изводи од втор ред на функцијата. Тие се назначени на следниов начин:

1 Ако во одреден момент во областа Дфункцијата има континуирани мешани изводи и , тогаш во точката овие изводи се еднакви: .

D, мора да се исполнат следните услови: D = 32 – 9 = 23. МБидејќи дискриминаторот е поголем од нула, тогаш во точката АИ СОфункцијата има екстрем. Имено, локален минимум, бидејќи