Поставување системи на неравенки во две променливи. Резиме на часот „Решавање системи на неравенки со две променливи“. Системи на множества неравенки со две променливи

Неравенство со две променливиx и yнаречена неравенство на формата:

(или потпишете)

каде има израз со овие променливи.

Со одлуканеравенките во две променливи повикуваат подреден пар на броеви така што неравенството станува вистина нумеричка неравенка.

Решете ја нееднаквоста- значи наоѓање на множеството од сите негови решенија. Решението за неравенство во две променливи е одредено множество точки координатна рамнина.

Главниот метод за решавање на овие неравенки е графичкиметод. Се состои во цртање на гранични линии (ако нееднаквоста е строга, линијата се црта со точкаста линија). Граничната равенка ја добиваме ако во дадена неравенка знакот за неравенство го замениме со знак за еднаквост. Сите линии заедно ја делат координатната рамнина на делови. Потребниот сет на точки што одговара на дадена нееднаквост или систем на неравенки може да се одреди со преземање контролна точка во секој регион од регионот.

Множеството неравенки со две променливи ја има формата

Решението за популацијата е обединување на сите решенија за нееднаквостите.

Пример 1.Решете го системот

Решение.Ајде да го изградиме системот Охоосоодветните линии (сл. 19):

Равенката дефинира круг со центар ЗА¢ (0; 1) и Р = 2.

Равенката дефинира парабола со теме во ЗА(0; 0).

Дозволете ни да најдеме решенија за секоја од нееднаквостите вклучени во системот. Првата неравенка одговара на плоштината во кругот и на самиот круг (убедени сме во валидноста на ова ако ги замениме координатите на која било точка од оваа област во неравенство). Втората нееднаквост одговара на областа која се наоѓа под параболата.

Решението за системот е пресекот на двете посочени области (прикажано на слика 19 со наметнување на две линии за шрафирање).

Потраги

Ниво I

1.1. Решете графички:

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

Ниво II

2.1. Решете графички:

1) 2)

2.2. Најдете го бројот на целобројни решенија на системот:

1) 2) 3)

2.3. Најдете ги сите решенија на системот:

1) 2)

Решавање на неравенство во две променливи, и уште повеќе системи на неравенки со две променливи, се чини дека е доста тешка задача. Сепак, постои едноставен алгоритам кој ви помага лесно и без напор да го решите навидум многу сложени задачиовој вид. Ајде да се обидеме да го сфатиме.

Дозволете ни да имаме неравенство со две променливи од еден од следниве типови:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

За да го прикажете множеството решенија за таквата нееднаквост на координатната рамнина, постапете на следниов начин:

1. Градиме график на функцијата y = f(x), која ја дели рамнината на два региони.

2. Избираме која било од добиените области и разгледуваме произволна точка во неа. Ја проверуваме изводливоста на првобитната нееднаквост за оваа точка. Ако тестот резултира со правилна нумеричка неравенка, тогаш заклучуваме дека оригиналната неравенка е задоволена во целиот регион на кој припаѓа избраната точка. Така, множеството решенија на нееднаквоста е регионот на кој припаѓа избраната точка. Ако проверката резултира со неточна нумеричка неравенка, тогаш множеството решенија на неравенката ќе биде вториот регион на кој не припаѓа избраната точка.

3. Ако неравенството е строга, тогаш границите на регионот, односно точките на графикот на функцијата y = f(x), не се вклучени во множеството решенија и границата е прикажана со точкаста линија. Ако неравенката не е строга, тогаш границите на регионот, односно точките на графикот на функцијата y = f(x), се вклучени во множеството решенија на оваа неравенка и границата во овој случај е прикажана како полна линија.
Сега да разгледаме неколку проблеми на оваа тема.

Задача 1.

Кое множество точки е дадено со неравенката x · y ≤ 4?

Решение.

1) Градиме график на равенката x · y = 4. За да го направите ова, прво го трансформираме. Очигледно, x во овој случај не се претвора во 0, бидејќи во спротивно би имале 0 · y = 4, што е неточно. Ова значи дека можеме да ја поделиме нашата равенка со x. Добиваме: y = 4/x. Графикот на оваа функција е хипербола. Ја дели целата рамнина на два региони: оној помеѓу двете гранки на хиперболата и оној надвор од нив.

2) Да избереме произволна точка од првиот регион, нека биде точката (4; 2).
Да ја провериме неравенството: 4 · 2 ≤ 4 – неточно.

Тоа значи дека точките од овој регион не ја задоволуваат првобитната нееднаквост. Тогаш можеме да заклучиме дека множеството решенија на неравенката ќе биде вториот регион на кој не му припаѓа избраната точка.

3) Бидејќи неравенството не е строга, граничните точки, односно точките од графикот на функцијата y = 4/x, ги цртаме со полна линија.

Да го насликаме множеството точки што ја дефинираат првобитната нееднаквост, жолта (сл. 1).

Задача 2.

Нацртајте ја областа дефинирана на координатната рамнина од системот
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Решение.

За почеток, градиме графикони на следните функции (Сл. 2):

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – права линија

x 2 + y 2 = 9 – круг.

1) y > x 2 + 2.

Ја земаме точката (0; 5), која се наоѓа над графикот на функцијата.
Да ја провериме неравенството: 5 > 0 2 + 2 – точно.

Следствено, сите точки што лежат над дадената парабола y = x 2 + 2 ја задоволуваат првата неравенка на системот. Ајде да ги обоиме жолто.

2) y + x > 1.

Ја земаме точката (0; 3), која се наоѓа над графикот на функцијата.
Да ја провериме неравенството: 3 + 0 > 1 – точно.

Следствено, сите точки што лежат над правата линија y + x = 1 ја задоволуваат втората нееднаквост на системот. Да ги обоиме со зелено засенчување.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Земете ја точката (0; -4), која лежи надвор од кругот x 2 + y 2 = 9.
Да ја провериме неравенството: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – неточно.

Затоа, сите точки што лежат надвор од кругот x 2 + y 2 = 9, не ја задоволуваат третата нееднаквост на системот. Тогаш можеме да заклучиме дека сите точки што се наоѓаат во кругот x 2 + y 2 = 9 ја задоволуваат третата неравенка на системот. Ајде да ги обоиме со виолетово засенчување.

Не заборавајте дека ако нееднаквоста е строга, тогаш соодветната гранична линија треба да се повлече со точкаста линија. Ја добиваме следната слика (сл. 3).

(Сл. 4).

Задача 3.

Нацртајте ја областа дефинирана на координатната рамнина од системот:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Решение.

За почеток, градиме графикони на следните функции:

x 2 + y 2 = 16 – круг,

x = -y – права линија

x 2 + y 2 = 4 – круг (сл. 5).

Сега да ја разгледаме секоја нееднаквост посебно.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Земете ја точката (0; 0), која лежи во кругот x 2 + y 2 = 16.
Да ја провериме неравенството: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – точно.

Според тоа, сите точки што лежат во кругот x 2 + y 2 = 16 ја задоволуваат првата нееднаквост на системот.
Да ги обоиме со црвено засенчување.

Ја земаме точката (1; 1), која се наоѓа над графикот на функцијата.
Да ја провериме неравенството: 1 ≥ -1 – точно.

Следствено, сите точки што лежат над правата x = -y ја задоволуваат втората неравенка на системот. Ајде да ги обоиме со сино засенчување.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Земете ја точката (0; 5), која лежи надвор од кругот x 2 + y 2 = 4.
Да ја провериме неравенството: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – точно.

Следствено, сите точки што лежат надвор од кругот x 2 + y 2 = 4 ја задоволуваат третата неравенка на системот. Ајде да ги обоиме сино.

Во овој проблем, сите нееднаквости не се строги, што значи дека ги повлекуваме сите граници со полна линија. Ја добиваме следната слика (сл. 6).

Областа за пребарување е областа каде што сите три обоени области се вкрстуваат една со друга (Слика 7).

Сè уште имате прашања? Не знаете како да решите систем на неравенки со две променливи?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!

веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.

https://accounts.google.com

Наслов на слајд:

Неравенки со две променливи и нивните системи Лекција 1

Неравенки со две променливи Неравенки 3x – 4y  0; и се неравенки со две променливи x и y. Решението за неравенство во две променливи е пар вредности на променливите што го претвораат во вистинска нумеричка неравенка. За x = 5 и y = 3, неравенката 3x - 4y  0 се претвора во правилна бројна неравенка 3  0. Парот броеви (5;3) е решение за оваа неравенка. Парот броеви (3;5) не е негово решение.

Дали парот броеви (-2; 3) е решение на неравенството: бр. 482 (б, в) Дали не е

Решението на неравенката е подредениот пар реални броеви, што ја претвора оваа неравенка во вистинска нумеричка неравенка. Графички, ова одговара на одредување точка на координатната рамнина. Решавањето на нееднаквоста значи да се најдат многу решенија за неа.

Неравенките со две променливи имаат форма: Множеството решенија на неравенка е множество од сите точки на координатната рамнина што задоволуваат дадена неравенка.

Множества решенија за неравенката F(x,y) ≥ 0 x y F(x,y)≤0 x y

F(x, y)>0 F(x, y)

Правило за пробна точка Конструирај F(x; y)=0 Земајќи пробна точка од која било област, определи дали нејзините координати се решение за неравенката Извлечете заклучок за решението на неравенката x y 1 1 2 A(1;2) F (x; y) =0

Линеарни неравенки со две променливи Линеарна нееднаквостсо две променливи се нарекува неравенство од формата ax + bx +c  0 или ax + bx +c

Најдете ја грешката! бр. 484 (б) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Решете ја неравенката графички: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Цртаме графикони со полни линии:

Да го одредиме знакот за нееднаквост во секоја од областите -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Решението на неравенката е збир на точки од областите што го содржат знакот плус и решенија за равенката -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Да го решиме заедно бр.485 (б) бр.486 (б, г) бр. 1. Постави ја неравенството и на координатната рамнина нацртај го множеството точки за кои: а) апсцисата е поголема од ординатата; б) збирот на апсцисата и ординатата е поголем од нивната двојна разлика.

Да го решиме заедно бр. 2. Дефинирај со неравенство отворена полурамнина која се наоѓа над правата линија AB што минува низ точките A(1;4) и B(3;5). Одговор: y  0,5x +3,5 бр. 3. За кои вредности на b множеството решенија на неравенката 3x – b y + 7  0 претставува отворена полурамнина која се наоѓа над правата линија 3x – b y + 7 = 0. Одговор: b  0.

Домашна работа стр. 21, бр. 483; бр. 484 (в, г); бр. 485 (а); Бр. 486 (в).

Преглед:

За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com

Наслов на слајд:

Неравенки со две променливи и нивните системи Лекција 2

Системи на неравенки со две променливи

Решението за систем на неравенки со две променливи е пар вредности на променливи што ја претвораат секоја од неравенките на системот во вистинска нумеричка неравенка. Бр. 1. Нацртајте множество решенија на системи на неравенки. бр. 496 (усно)

а) x y 2 2 x y 2 2 б)

Ајде да го решиме заедно бр. 1. Со кои вредности на k системот на неравенки дефинира триаголник на координатната рамнина? Одговор: 0

Заедно решаваме x y 2 2 2 2 2 бр. 2. На сликата е прикажан триаголник со темиња A(0;5), B(4;0), C(1;-2), D(-4;2). Дефинирајте го овој четириаголник со систем на неравенки. A B C D

Да го решиме заедно бр. 3. За што k и b е множеството точки на координатната рамнина дефинирано со системот на неравенки: а) лента; б) агол; в) празен сет. Одговор: а) k= 2,b  3; б) k ≠ 2, b – кој било број; в) k = 2; б

Ајде заедно да го решиме бројот 4 Која бројка е дадена со равенката? (усно) 1) 2) 3) бр. 5. Нацртајте го на координатната рамнина множеството решенија на точки определени со неравенката.

Ајде да го решиме заедно бр. 497 (в, г), 498 (в)

Домашна работа П.22 бр.496, бр.497 (а, б), бр.498 (а, б), бр.504.

Преглед:

За да користите прегледи на презентации, креирајте сметка на Google и најавете се на неа: https://accounts.google.com

Наслов на слајд:

Неравенки со две променливи и нивните системи Лекција 3

Најдете ја грешката! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Најдете ја грешката! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2

Одреди ја неравенката 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Одреди ја неравенката

0 - 3 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 Определи го знакот за неравенство ≤

Решете го графички системот на неравенки -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1

Неравенки и системи на нееднаквости повисоки степенисо две променливи бр. 1. Нацртајте на координатната рамнина множество точки определени со системот на неравенки

Неравенки и системи на неравенки од повисоки степени со две променливи бр. 2. Нацртајте го на координатната рамнина множеството точки специфицирани со системот на неравенки

Неравенки и системи на неравенки од повисоки степени со две променливи бр. 3. Нацртајте го на координатната рамнина множеството точки определени со системот на неравенки Да ја трансформираме првата неравенка на системот.

Неравенки и системи на неравенки од повисоки степени со две променливи Добиваме еквивалентен систем

Неравенки и системи на неравенки од повисоки степени со две променливи бр. 4. Нацртајте го на координатната рамнина множеството точки специфицирани со системот на неравенки

Ајде да одлучиме заедно бр. 502 Колекција на Галицки. Бр. 9.66 б) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4

. Бр. 9.66(в) Решете заедно 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2

Заедно решаваме бр. 9.66(g) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y|

Решете ја неравенката: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Запиши го системот на неравенки

11:11 3) Која бројка се одредува со множеството решенија на системот на неравенки? Најдете ја областа на секоја фигура. 6) Колку парови природни броевидали се решенија за системот на нееднаквости? Пресметај го збирот на сите такви броеви. Решение на вежби за обука 2) Запишете систем на неравенки со две променливи чие множество решенија е прикажано на слика 0 2 x y 2 1) Нацртајте го множеството решенија на системот на координатната рамнина: 4) Дефинирајте го прстенот прикажан на сликата како систем на неравенки. 5) Решете го системот на неравенки y x 0 5 10 5 10

Решение на вежби за обука 7) Пресметајте ја плоштината на фигурата дадена со множеството решенија на системот на неравенки и пронајдете го најголемото растојание помеѓу точките од оваа слика 8) Со која вредност од m има само системот на неравенки едно решение? 9) Наведете некои вредности на k и b на кои системот на неравенки дефинира на координатната рамнина: а) лента; б) агол.

Ова е интересно Англискиот математичар Томас Хариот (Хариот Т., 1560-1621) го воведе познатиот знак за нееднаквост, аргументирајќи го на следниов начин: „Ако два паралелни отсечки служат како симбол на еднаквост, тогаш пресечните отсечки мора да бидат симбол на нееднаквост. .“ Во 1585 година, младиот Хариот бил испратен од англиската кралица на истражувачка експедиција во Северна Америка. Таму тој видел тетоважа популарна меѓу Индијците во форма. Ова е веројатно причината зошто Хариот го предложил знакот за нееднаквост во две од неговите форми: „>“ е поголемо од... и „.

Ова е интересно Симболите ≤ и ≥ за нестрога споредба беа предложени од Волис во 1670 година. Првично, линијата беше над знакот за споредба, а не под него, како што е сега. Овие симболи станаа широко распространети по поддршката на францускиот математичар Пјер Бугер (1734), од кого ја добија својата модерна форма.

Тема: Равенки и неравенки. Системи на равенки и неравенки

Лекција:Равенки и неравенки со две променливи

Да разгледаме генерално равенка и неравенка со две променливи.

Равенка со две променливи;

Неравенство со две променливи, знакот за нееднаквост може да биде што било;

Овде x и y се променливи, p е израз кој зависи од нив

Пар од броеви () се нарекува делумно решение на таква равенка или неравенка ако, при замена на овој пар во изразот, ја добиеме точната равенка или неравенка, соодветно.

Задачата е да се најде или да се прикаже на рамнина множеството од сите решенија. Може ли да парафразирам? оваа задача- најдете локусточки (GMT), график на равенка или неравенка.

Пример 1 - реши равенка и неравенка:

Со други зборови, задачата вклучува наоѓање на GMT.

Да го разгледаме решението на равенката. Во овој случај, вредноста на променливата x може да биде која било, така што имаме:

Очигледно, решението на равенката е множеството точки што формираат права линија

Ориз. 1. График на равенки Пример 1

Решенијата на дадена равенка се, особено, точките (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Решението на дадената неравенка е полурамнина која се наоѓа над линијата, вклучувајќи ја и самата линија (види Слика 1). Навистина, ако земеме која било точка x 0 на правата, тогаш ја имаме еднаквоста . Ако земеме точка во полурамнина над права, имаме . Ако земеме точка во полурамнината под линијата, тогаш таа нема да ја задоволи нашата нееднаквост: .

Сега разгледајте го проблемот со круг и круг.

Пример 2 - реши равенка и неравенка:

Ние го знаеме тоа дадена равенкае равенка на круг со центар на почеток и радиус 1.

Ориз. 2. Илустрација на пример 2

Во произволна точка x 0, равенката има две решенија: (x 0; y 0) и (x 0; -y 0).

Решението за дадена неравенка е збир на точки лоцирани во кругот, не земајќи го предвид самиот круг (види слика 2).

Да разгледаме равенка со модули.

Пример 3 - реши ја равенката:

Во овој случај, би било можно да се прошират модулите, но ќе ги разгледаме спецификите на равенката. Лесно е да се види дека графикот на оваа равенка е симетричен за двете оски. Тогаш, ако точката (x 0 ; y 0) е решение, тогаш точката (x 0 ; -y 0) е исто така решение, точките (-x 0 ; y 0) и (-x 0 ; -y 0 ) се исто така решение .

Така, доволно е да се најде решение каде што двете променливи се ненегативни и земаат симетрија за оските:

Ориз. 3. Илустрација на пример 3

Значи, како што гледаме, решението на равенката е квадрат.

Ајде да го разгледаме таканаречениот метод на област користејќи конкретен пример.

Пример 4 - прикажете го множеството решенија за неравенството:

Според методот на области, прво ја разгледуваме функцијата од левата страна ако има нула од десната страна. Ова е функција од две променливи:

Слично на методот на интервали, привремено се оддалечуваме од нееднаквоста и ги проучуваме карактеристиките и својствата на составената функција.

ODZ: тоа значи дека оската x се пробива.

Сега означуваме дека функцијата е еднаква на нула кога броителот на дропката е еднаков на нула, имаме:

Градиме график на функцијата.

Ориз. 4. График на функцијата, земајќи го предвид ODZ

Сега разгледајте ги областите на постојан знак на функцијата, тие се формираат со права линија и скршена линија. внатре во скршената линија има област D 1. Помеѓу отсечка од скршена линија и права линија - област D 2, под линијата - област D 3, помеѓу отсечка на скршена линија и права линија - област D 4

Во секоја од избраните области, функцијата го задржува својот знак, што значи дека е доволно да се провери произволна точка за тестирање во секоја област.

Во областа ја земаме точката (0;1). Имаме:

Во областа ја земаме точката (10;1). Имаме:

Така, целиот регион е негативен и не ја задоволува дадената нееднаквост.

Во областа земете ја точката (0;-5). Имаме:

Така, целиот регион е позитивен и ја задоволува дадената нееднаквост.

Решавање на неравенство во две променливи, и уште повеќе системи на неравенки со две променливи, се чини дека е доста тешка задача. Сепак, постои едноставен алгоритам кој помага лесно и без многу напор да се решат навидум многу сложени проблеми од овој вид. Ајде да се обидеме да го сфатиме.

Дозволете ни да имаме неравенство со две променливи од еден од следниве типови:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

1. Градиме график на функцијата y = f(x), која ја дели рамнината на два региони.

Задача 1.

Кое множество точки е дадено со неравенката x · y ≤ 4?

Решение.

Ајде да го насликаме множеството точки што ја дефинираат првобитната нееднаквост во жолта боја (сл. 1).

Задача 2.

Нацртајте ја областа дефинирана на координатната рамнина од системот
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Решение.

За почеток, градиме графикони на следните функции (Сл. 2):

y = x 2 + 2 – парабола,

y + x = 1 – права линија

x 2 + y 2 = 9 – круг.

1) y > x 2 + 2.

2) y + x > 1.

Ја земаме точката (0; 3), која се наоѓа над графикот на функцијата.
Да ја провериме неравенството: 3 + 0 > 1 – точно.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

(Сл. 4).

Задача 3.

Нацртајте ја областа дефинирана на координатната рамнина од системот:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Решение.

За почеток, градиме графикони на следните функции:

x 2 + y 2 = 16 – круг,

x = -y – права линија

x 2 + y 2 = 4 – круг (сл. 5).

Сега да ја разгледаме секоја нееднаквост посебно.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Земете ја точката (0; 0), која лежи во кругот x 2 + y 2 = 16.
Да ја провериме неравенството: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – точно.

Ја земаме точката (1; 1), која се наоѓа над графикот на функцијата.
Да ја провериме неравенството: 1 ≥ -1 – точно.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Земете ја точката (0; 5), која лежи надвор од кругот x 2 + y 2 = 4.
Да ја провериме неравенството: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – точно.

Областа за пребарување е областа каде што сите три обоени области се вкрстуваат една со друга (Слика 7).

Сè уште имате прашања? Не знаете како да решите систем на неравенки со две променливи?
За да добиете помош од учител -.
Првата лекција е бесплатна!

blog.site, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до оригиналниот извор.