Поглавје 3. Линеарни векторски простори
Тема 8. Линеарни векторски простори
Дефиниција линеарен простор. Примери на линеарни простори
Операцијата за собирање е дефинирана во §2.1 слободни векториод Р 3 и операцијата на множење вектори со реални броеви, а исто така ги наведува својствата на овие операции. Проширувањето на овие операции и нивните својства на збир на објекти (елементи) од произволна природа доведува до генерализација на концептот на линеарен простор геометриски векториод Р 3 дефинирано во §2.1. Дозволете ни да ја формулираме дефиницијата за линеарен векторски простор.
Дефиниција 8.1.Многумина Велементи X , на , z ,... повикан линеарен векторски простор, Ако:
постои правило дека на секои два елементи x И на од Водговара на третиот елемент од В, повикан износ X И на и назначени X + на ;
постои правило дека секој елемент x и кој било реален бројодговара на елемент од В, повикан производ на елементот Xпо броји назначени x .
Покрај тоа, збирот на кои било два елементи X + на и работа x кој било елемент за кој било број мора да ги исполнува следниве барања - аксиоми на линеарен простор:
1°. X + на = на + X (комутативност на собирањето).
2°. ( X + на ) + z = X + (на + z ) (асоцијативност на собирање).
3°. Постои елемент 0 , повикан нула, така што
X + 0 = X , x .
4°. За било кој x постои елемент (- X ), повикан спротивно за X , така што
X + (– X ) = 0 .
5°. ( x ) = ()x , x , , Р.
6°. x = x , x .
7°. () x = x + x , x , , Р.
8°. ( X + на ) = x + y , x , y , Р.
Ќе ги наречеме елементите на линеарен простор векторибез разлика на нивната природа.
Од аксиомите 1°–8° следува дека во кој било линеарен простор Ввалидни се следните својства:
1) постои еден нула вектор;
2) за секој вектор x има само еден спротивен вектор (- X ), и (- X ) = (– l) X ;
3) за кој било вектор X еднаквоста 0× е точно X = 0 .
Да докажеме, на пример, својството 1). Да претпоставиме дека во вселената Вима две нули: 0 1 и 0 2. Ставајќи 3° во аксиомата X = 0 1 , 0 = 0 2, добиваме 0 1 + 0 2 = 0 1. Исто така, ако X = 0 2 , 0 = 0 1, тогаш 0 2 + 0 1 = 0 2. Земајќи ја предвид аксиомата 1°, добиваме 0 1 = 0 2 .
Да дадеме примери на линеарни простори.
1. Множеството реални броеви формира линеарен простор Р. Во него очигледно се задоволни аксиомите 1°–8°.
2. Множеството слободни вектори во тридимензионален простор, како што е прикажано во §2.1, исто така формира линеарен простор, означен Р 3. Нулата на овој простор е нула вектор.
Множеството вектори на рамнина и на права се исто така линеарни простори. Ќе ги означиме Р 1 и Р 2 соодветно.
3. Генерализација на простори Р 1 , Р 2 и Р 3 служи простор Рn, n Н, повикан аритметички n-димензионален простор, чии елементи (вектори) се подредени збирки nпроизволни реални броеви ( x 1 ,…, x n), т.е.
Рn = {(x 1 ,…, x n) | x i Р, јас = 1,…, n}.
Удобно е да се користи ознаката x = (x 1 ,…, x n), додека x iповикани i-та координата(компонента)вектор x .
За X , на РnИ РНие дефинираме собирање и множење со број користејќи ги следните формули:
X + на = (x 1 + y 1 ,…, x n+ y n);
x = (x 1 ,…, x n).
Нултиот елемент на просторот Рnе вектор 0 = (0,…, 0). Равенство на два вектори X = (x 1 ,…, x n) И на = (y 1 ,…, y n) од Рn, по дефиниција, значи еднаквост на соодветните координати, т.е. X = на Û x 1 = y 1 &… & x n = y n.
Овде е очигледно исполнувањето на аксиомите 1°–8°.
4. Нека В [ а ; б] – множество од реални континуирани на интервалот [ а; б] функции ѓ: [а; б] Р.
Збир на функции ѓИ еод В [ а ; б] се нарекува функција ч = ѓ + е, дефинирана со еднаквост
ч = ѓ + е Û ч(x) = (ѓ + е)(x) = ѓ(X) + е(x), " x Î [ а; б].
Производ на функција ѓ Î В [ а ; б] по број а Î Рсе определува со еднаквост
u = ѓ Û u(X) = (ѓ)(X) = ѓ(x), " x Î [ а; б].
Така, воведените операции на собирање две функции и множење на функција со број го трансформираат множеството В [ а ; б] во линеарен простор чии вектори се функции. Аксиомите 1°–8° се очигледно задоволни во овој простор. Нултиот вектор на овој простор е идентично нултата функција и еднаквоста на две функции ѓИ езначи, по дефиниција, следново:
ѓ = е ѓ(x) = е(x), " x Î [ а; б].
Предавање 6. Векторски простор.
Основни прашања.
1. Векторски линеарен простор.
2. Основа и димензија на просторот.
3. Ориентација на просторот.
4. Разложување на вектор по основа.
5. Векторски координати.
1. Векторски линеарен простор.
Збир што се состои од елементи од која било природа во кои тие се дефинирани линеарни операции: Се повикуваат собирање два елементи и множење елемент со број простори, а нивните елементи се векториовој простор и се назначени на ист начин како векторски величиниво геометријата: . ВекториВаквите апстрактни простори, по правило, немаат ништо заедничко со обичните геометриски вектори. Елементи на апстрактни простори можат да бидат функции, систем од броеви, матрици итн., а во одреден случај, обични вектори. Затоа, таквите простори обично се нарекуваат векторски простори .
Векторските простори се, На пример, збир на колинеарни вектори, означени В1 , множество од компланарни вектори В2 , збир на вектори на обичен (реален простор) В3 .
За овој конкретен случај, можеме да ја дадеме следната дефиниција за векторски простор.
Дефиниција 1.Множеството вектори се нарекува векторски простор, ако линеарна комбинација од кои било вектори на множество е исто така вектор на ова множество. Самите вектори се нарекуваат елементивекторски простор.
Поважен, и теоретски и применет, е општиот (апстрактниот) концепт на векторскиот простор.
Дефиниција 2.Многумина Релементи, во кои збирот се одредува за кои било два елементи и за кој било елемент https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" width="68" height="20"> т.н. вектор(или линеарно) простор, а неговите елементи се вектори, ако операциите на собирање вектори и множење вектор со број ги задоволуваат следните услови ( аксиоми) :
1) собирањето е комутативно, т.е.gif" width="184" height="25">;
3) постои таков елемент (нулта вектор) што за кој било https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.gif" width= " 99" height="27">;
5) за кои било вектори и за кој било број λ важи еднаквоста;
6) за кои било вектори и кои било броеви λ
И µ
еднаквоста е вистина: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45 height=20" height="20"> и сите броеви λ
И µ
фер 
;
8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45" height="20">.
Следат наједноставните аксиоми кои дефинираат векторски простор: последиците :
1. Во векторскиот простор има само една нула - елементот - нултиот вектор.
2. Во векторскиот простор, секој вектор има единствен спротивен вектор.
3. За секој елемент е задоволена еднаквоста.
4. За кој било реален број λ и нула вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" width="68" height="25">.
5..gif" width="145" height="28">
6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> е вектор што ја задоволува еднаквоста https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.
Значи, навистина, множеството од сите геометриски вектори е линеарен (векторски) простор, бидејќи за елементите на ова множество се дефинирани дејствата на собирање и множење со број што ги задоволуваат формулираните аксиоми.
2. Основа и димензија на просторот.
Суштинските концепти на векторски простор се концептите на основа и димензија.
Дефиниција.Збир од линеарно независни вектори, земени по одреден редослед, преку кои може линеарно да се изрази кој било вектор на просторот, се вика основаовој простор. Вектори. Се нарекуваат компонентите на основата на просторот основни .
Основата на збир на вектори лоцирани на произволна линија може да се смета за еден колинеарен вектор на оваа линија.
Основа на авионотајде да повикаме два неколинеарни вектори на оваа рамнина, земени по одреден редослед https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24">.
Ако основните вектори се парно нормални (ортогонални), тогаш основата се нарекува ортогонални, и ако овие вектори имаат должина еднаква на еден, тогаш се нарекува основата ортонормални .
Најголем бројсе нарекуваат линеарно независни вектори на просторот димензијана овој простор, односно димензијата на просторот се совпаѓа со бројот на основни вектори на овој простор.
Значи, според овие дефиниции:
1. Еднодимензионален простор В1 е права линија, а основата се состои од еден колинеаренвектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39" height="23 src=">.
3. Обичниот простор е тродимензионален простор В3 , чија основа се состои од три некомпланарнивектори
Од тука гледаме дека бројот на основни вектори на права линија, на рамнина, во реалниот простор се совпаѓа со она што во геометријата обично се нарекува број на димензии (димензија) на права линија, рамнина, простор. Затоа, природно е да се воведе поопшта дефиниција.
Дефиниција.Векторски простор Рповикани n– димензионални ако нема повеќе од nлинеарно независни вектори и се означува Р n. Број nповикани димензијапростор.
Во согласност со димензијата на просторот се делат на конечни-димензионалниИ бесконечно-димензионални. Димензијата на нултиот простор се смета за еднаква на нула по дефиниција.
Забелешка 1.Во секој простор можете да наведете онолку основи колку што сакате, но сите основи на дадениот простор се состојат од ист број вектори.
Забелешка 2.ВО n– во димензионален векторски простор, основа е секоја нарачана колекција nлинеарно независни вектори.
3. Ориентација на просторот.
Нека основните вектори во просторот В3 имаат општ почетокИ нареди, односно се означува кој вектор се смета за прв, кој за втор и кој за трет. На пример, во основата векторите се подредени според индексирање. |
|
За тоа за да се ориентира просторот, неопходно е да се постави одредена основа и да се прогласи за позитивен .
Може да се покаже дека множеството од сите основи на просторот спаѓа во две класи, односно во две разединети подмножества.
а) сите основи кои припаѓаат на едно подмножество (класа) имаат истотоориентација (основи со исто име);
б) кои било две основи кои припаѓаат на различниподмножества (класи), имаат спротивнотоориентација, ( различни имињаоснови).
Ако една од двете класи на основи на просторот се прогласи за позитивна, а другата негативна, тогаш се вели дека овој простор ориентирана .
Често, кога се ориентира просторот, се нарекуваат некои основи правои други - лево .
https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> се нарекуваат право, ако, при набљудување од крајот на третиот вектор, најкратката ротација на првиот вектор https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23" > се спроведува спротивно од стрелките на часовникот(Сл. 1.8, а).
https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">
https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">
Ориз. 1.8. Десна основа (а) и лева основа (б)
Обично правилната основа на просторот се прогласува за позитивна основа
Десната (лева) основа на просторот, исто така, може да се одреди со користење на правилото на „десна“ („лева“) завртка или завртка.
По аналогија со ова, се воведува концептот на десно и лево тројкинекомпланарни вектори кои мора да се подредат (сл. 1.8).
Така, во општиот случај, две подредени тројки од некомпланарни вектори имаат иста ориентација (исто име) во просторот В3 ако и двајцата се десни или и двете леви, и - спротивна ориентација (спротивна) ако едниот е десен, а другиот лев.
Истото се прави и во случај на простор В2 (авион).
4. Разложување на вектор по основа.
За едноставност на расудувањето, да го разгледаме ова прашање користејќи го примерот на тродимензионален векторски простор Р3 .
Нека https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" width="15" height="19"> биде произволен вектор на овој простор.
Соодветно на таков векторски простор. Во оваа статија, првата дефиниција ќе биде земена како почетна точка.
N (\displaystyle n)-димензионалниот Евклидов простор обично се означува E n (\displaystyle \mathbb (E) ^(n)); нотацијата често се користи и кога од контекстот е јасно дека просторот е обезбеден со природна Евклидова структура.
Формална дефиниција
За да се дефинира Евклидовиот простор, најлесниот начин е да се земе како главен концепт скаларниот производ. Евклидов векторски простор е дефиниран како конечно-димензионален векторски простор над полето на реални броеви, на чии парови вектори е одредена функција со реална вредност (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot,\cdot))ги има следните три својства:
Пример за Евклидов простор - координатен простор R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),)што се состои од сите можни множества на реални броеви (x 1, x 2, …скаларен производ во кој се определува со формулата (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n.
(\стил на прикажување (x,y)=\збир _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)
Должини и агли Дадено на Евклидов просторпроизвод со точки доволно за да влезетегеометриски концепти должина и агол. Векторска должина u (\displaystyle u) дефинирани како(u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) и е назначен| u |.
(\displaystyle |u|.) должина и агол. Векторска должинаИ Позитивната определеност на скаларниот производ гарантира дека должината на векторот не е нула, а од дволинеарноста следува дека| a u |= | a |) | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)
односно должините на пропорционалните вектори се пропорционални.
Агол помеѓу вектори v (\displaystyle v)определена со формулата φ = arccos ((x , y) | x | | y |) .(\displaystyle \varphi =\arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\десно).) Од косинусовата теорема следува дека за дводимензионален Евклидов простор (Евклидска рамнина оваа дефиницијаја дефинира структурата на метричкиот простор на Евклидов простор (оваа функција се нарекува Евклидова метрика). Особено, растојанието помеѓу елементите (точките) x (\displaystyle x)И y (\displaystyle y) координатен простор R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))се дава со формулата d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 .
(\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)
Алгебарски својства
Ортонормални основи
Коњугирани простори и оператори x (\displaystyle x)Било кој вектор Евклидовиот простор дефинира линеарна функционалност x ∗ (\приказ на стил x^(*)) на овој простор, дефиниран како x ∗ (y) = (x , y) .
(\displaystyle x^(*)(y)=(x,y).)
Оваа споредба е изоморфизам помеѓу Евклидовиот простор и неговиот двоен простор и им овозможува да се идентификуваат без да се компромитираат пресметките. Особено, конјугираните оператори може да се сметаат дека дејствуваат на оригиналниот простор, а не на неговиот двоен, а само-придружните оператори може да се дефинираат како оператори што се совпаѓаат со нивните конјугати. Во ортонормална основа, матрицата на придружниот оператор е транспонирана на матрицата на оригиналниот оператор, а матрицата на само-придружниот оператор е симетрична. Позитивната определеност на скаларниот производ гарантира дека должината на векторот не е нула, а од дволинеарноста следува декаДвижења на Евклидов простор Движењата на Евклидовиот простор се трансформации кои зачувуваат метрика (исто така наречени изометрии). Пример за движење - паралелна транслација во вектор, што ја преведува поентата p (\displaystyle p)до точка
p + v (\displaystyle p+v)
. Лесно е да се види дека секое движење е состав на паралелно преведување и трансформација што одржува фиксирана една точка. Со избирање на фиксна точка како потекло на координатите, секое такво движење може да се смета како ā
,
,
-
4.3.1 Дефиниција на линеарен простор ā
,
,
Нека λ
,
μ
-
елементи на некое множество λ
,
μ
Р..
Л иреални бројки, Множеството L се нарекувалинеарна или
1 0 . векторски простор, ако се дефинираат две операции:
ā
+
=
Додаток.Секој пар на елементи од ова множество е поврзан со елемент од истото множество, наречен нивен збир
2°. λ
Множење со број. ā
Било кој реален броји елемент λ
ā
Било кој реален бројЛ
одговара на елемент од истото множество
=
+
ā;
2. ā+(
+
)=(ā+
)+
;
и следните својства се задоволни: 1. à+
3. постои
ā
+
=ā
;
нула елемент , така што
-
4. постои ā
+(-ā
)=
.
спротивен елемент λ , μ - такви што
5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;
6. 1ā= ā;
7.
λ(ā
+
)=
λ ā+λ
;
8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā
Ако
,
...
реални броеви, тогаш:
Елементи на линеарен простор à,Покажете си дека овие множества формираат линеарни простори:
1) Множество од геометриски вектори на рамнина;
2) Многу геометриски вектори во тродимензионален простор;
3) Множество полиноми од одреден степен;
4) Збир на матрици со иста димензија.
4.3.2 Линеарно зависни и независни вектори. Димензии и основа на просторот
Линеарна комбинација
вектори
ā
1
,
ā
2 ,
…, ā
n
Било кој реален бројсе нарекува вектор од истиот простор на формата:
,
Каде λ Јас сум вистински бројки.
Вектори ā 1 , .. , ā n се нарекуваатлинеарно независна, ако нивната линеарна комбинација е нулта вектор ако и само ако сите λјас се еднакви на нула,односно
λ
i =0 
Ако линеарната комбинација е нула вектор и барем еден од λ
јасе различна од нула, тогаш овие вектори се нарекуваат линеарно зависни. Последново значи дека барем еден од векторите може да се претстави како линеарна комбинација на други вектори. Навистина, дури и ако, на пример, 
. Потоа, 
, Каде 
.
Се нарекува максимално линеарно независен подреден систем на вектори основа простор Било кој реален број. Се нарекува бројот на основни вектори димензија простор.
Да претпоставиме дека има nлинеарно независни вектори, тогаш се нарекува просторот n-димензионални. Другите просторни вектори може да се претстават како линеарна комбинација nосновни вектори. По основа n- може да се земе димензионален простор било кој nлинеарно независни вектори на овој простор.
Пример 17.Најдете ја основата и димензијата на овие линеарни простори:
а) множество вектори што лежат на права (колинеарна на некоја права)
б) збир на вектори кои припаѓаат на рамнината
в) збир на вектори на тродимензионален простор
г) збир на полиноми со степен не поголем од два.
Решение.
А)Било кои два вектори кои лежат на права линија ќе бидат линеарно зависни, бидејќи векторите се колинеарни 
, Тоа 
,
λ
- скаларен. Следствено, основата на даден простор е само еден (било кој) вектор различен од нула.
Обично овој простор е назначен Р, неговата димензија е 1.
б)кои било два неколинеарни вектори 
ќе бидат линеарно независни, а сите три вектори на рамнината ќе бидат линеарно независни. За кој било вектор 
, има бројки
И
такви што 
. Просторот се нарекува дводимензионален, означен со Р 2 .
Основата на дводимензионалниот простор е формирана од кои било два неколинеарни вектори.
V)Сите три некомпланарни вектори ќе бидат линеарно независни, тие ја формираат основата на тродимензионалниот простор Р 3 .
G)Како основа за просторот на полиноми со степен не поголем од два, можеме да ги избереме следните три вектори: ē 1 = x 2 ; ē 2 = x; ē 3 =1 .
(1 е полином идентично еднаков на еден). Овој простор ќе биде тридимензионален.
ГЛАВА 8. ЛИНЕАРНИ ПРОСТОРИ § 1. Дефиниција за линеарен простор
Генерализирајќи го концептот на вектор, познат од училишната геометрија, ќе дефинираме алгебарски структури (линеарни простори) во кои е можно да се конструира n-димензионална геометрија, чиј посебен случај ќе биде аналитичката геометрија.
Дефиниција 1. Дадено е множество L=(a,b,c,…) и поле P=( ,…). Нека е дефинирано L алгебарска операцијасе дефинира собирањето и множењето на елементите од L со елементи од полето P:
Множеството L се нарекува линеарен простор над полето P, доколку се исполнети следните барања (аксиоми на линеарен простор):
1. L комутативна група во однос на собирањето;
2. α(βa)=(αβ)a α,β P, a L;
3. α(a+b)=αa+αb α P, a,b L;
4. (α+β)a=αa+βa α,β P, a L;
5. a L точно е следново равенство: 1 a=a (каде 1 е единицата на полето P).
Елементите на линеарниот простор L се нарекуваат вектори (уште еднаш забележуваме дека ќе ги означиме со латински букви a, b, c,...), а елементите од полето P се нарекуваат броеви (ги означуваме Грчки букви α,
Забелешка 1. Гледаме дека добро познатите својства на „геометриските“ вектори се земени како аксиоми на линеарниот простор.
Забелешка 2. Некои познати учебници за алгебра користат различни ознаки за броеви и вектори.
Основни примери на линеарни простори
1. R 1 е множество од сите вектори на некоја права.
ВО во продолжение ќе ги наречеме таквите векторисегментни векторина права линија. Ако го земеме R како P, тогаш очигледно R1 е линеарен простор над полето R.
2. R 2 , R3 – вектори на сегменти на рамнина и во тродимензионален простор. Лесно е да се види дека R2 и R3 се линеарни простори над R.
3. Нека P е произволно поле. Размислете за множеството P(n) сите подредени множества од n елементи од полето P:
P(n) = (α1 ,α2 ,α3 ,...,αn )| αi P, i=1,2,..,n.
Множеството a=(α1,α2,…,αn) ќе се нарече n-димензионално вектор на ред.Броевите i ќе се нарекуваат компоненти
вектор а.
За вектори од P(n) , по аналогија со геометријата, природно ги воведуваме операциите на собирање и множење со број, претпоставувајќи за кои било (α1 ,α2 ,…,αn ) P(n) и (β1 ,β2 ,.. .,βn ) P(n) :
(α1,α2,…,αn)+(β1,β2,...,βn)=(α1 +β1,α2 +b2,...,αn +βn), |
|
(α1 ,α2 ,…,αn )= (α1 , α2 ,…, αn ) Р. |
Од дефиницијата за собирање вектори на редови јасно се гледа дека се врши компонентно. Лесно е да се провери дали P(n) е линеарен простор над P.
Векторот 0=(0,…,0) е нулта вектор (a+0=a a P(n)), а векторот -a=(-α1,-α2,…,-αn) е спротивен на a (бидејќи . a+(-a)=0).
Линеарен простор П(n) се нарекува n-димензионален простор на вектори на редови или n-димензионален аритметички простор.
Забелешка 3. Понекогаш со P(n) ќе го означиме и n-димензионалниот аритметички простор на векторите на колоните, кој се разликува од P(n) само по начинот на кој се запишуваат векторите.
4. Размислете за множеството М n (P) од сите матрици од n-ти ред со елементи од полето P. Ова е линеарен простор над P, каде нултата матрица е матрица во која сите елементи се нули.
5. Размислете за множеството P[x] од сите полиноми во променливата x со коефициенти од полето P. Лесно е да се потврди дека P[x] е линеарен простор над P. Да го наречемепростор на полиноми.
6. Нека P n [x]=( 0 xn +…+ n | i P, i=0,1,..,n) множеството од сите полиноми со степен не повисок од n заедно со
0. Тоа е линеарен простор над полето P. P n [x] ќе се јавиме простор на полиноми со степен најмногу n.
7. Со Ф да го означиме множеството од сите функции на реална променлива со ист домен на дефиниција. Тогаш Ф е линеарен простор над R.
ВО Во овој простор може да се најдат други линеарни простори, на пример просторот линеарни функции, диференцијабилни функции, континуирани функцииитн.
8. Секое поле е линеарен простор над себе.
Некои последици од аксиомите на линеарниот простор
Заклучок 1. Нека L е линеарен простор над полето P. L го содржи нултиот елемент 0 и L (-а) L (бидејќи L е група за собирање).
ВО Во продолжение, нултиот елемент од полето P и линеарниот простор L ќе се означат идентично со
0. Ова обично не предизвикува конфузија.
Заклучок 2. 0 a=0 a L (0 P на левата страна, 0 L на десната страна).
Доказ. Да го разгледаме α a, каде α е кој било број од P. Имаме: α a=(α+0)a=α a+0 a, од каде 0 a= α a +(-α a)=0.
Заклучок 3. α 0=0 α P.
Доказ. Да се земе предвид α a=α(a+0)=α a+α 0; па оттука α 0=0. Заклучок 4. α a=0 ако и само ако или α=0 или a=0.
Доказ. Адекватност докажано во Последиците 2 и 3.
Да ја докажеме неопходноста. Нека α a=0 (2). Да претпоставиме дека α 0. Тогаш, бидејќи α P, тогаш постои α-1 P. Помножувајќи го (2) со α-1, добиваме:
α-1 (α a)=α-1 0. Со последица 2 α-1 0=0, т.е. α-1 (α a)=0. (3)
Од друга страна, користејќи ги аксиомите 2 и 5 на линеарниот простор, имаме: α-1 (α a)=(α-1 α) a=1 a=a.
Од (3) и (4) следува дека a=0. Истрагата е докажана.
Следниве изјави ги презентираме без доказ (нивната валидност лесно се проверува).
Последица 5. (-α) a=-α a α P, a L. Последица 6. α (-a)=-α a α P, a L. Последица 7. α (a–b)=α a–α b α P, a, b L.
§ 2. Линеарна зависност на вектори
Нека L е линеарен простор над полето P и a1 ,a2 ,…како што е (1) некои конечно множествовектори од Л.
Множеството a1,a2,...како што ќе се нарече систем на вектори.
Ако b = α1 a1 +α2 a2 +…+αs како , (αi P), тогаш велат дека векторот b линеарно изразенипреку системот (1), или е линеарна комбинацијавектори на системот (1).
Како и во аналитичката геометрија, така и во линеарниот простор може да се воведат концептите на линеарно зависни и линеарно независни системи на вектори. Ајде да го направиме ова на два начина.
Дефиниција I. Конечниот систем на вектори (1) за s 2 се нарекува линеарно зависни,ако барем еден од неговите вектори е линеарна комбинација на другите. Во спротивно (т.е. кога ниту еден од неговите вектори не е линеарна комбинација на другите), се нарекува линеарно независни.
Дефиниција II. Конечниот систем на вектори (1) се нарекува линеарно зависни, ако има множество од броеви α1 , α2 ,…,αs , αi P, од кои барем еден не е еднаков на 0 (таквото множество се нарекува не-нула), тогаш важи еднаквоста: α1 a1 +…+ αs како =0 (2).
Од Дефиницијата II можеме да добиеме неколку еквивалентни дефинициилинеарно независен систем:
Дефиниција 2.
а) систем (1) линеарно независни, ако од (2) следува дека α1 =…=αs =0.
б) систем (1) линеарно независни, ако еднаквоста (2) е задоволена само за сите αi =0 (i=1,…,s).
в) систем (1) линеарно независни, ако некоја нетривијална линеарна комбинација на вектори на овој систем е различна од 0, т.е. ако β1 , …,βs е кое било множество броеви што не е нула, тогаш β1 a1 +…βs како 0.
Теорема 1. За s 2 дефиниции линеарна зависност I и II се еквивалентни.
Доказ.
I) Нека (1) е линеарно зависен по дефиницијата I. Тогаш можеме да претпоставиме, без губење на општоста, дека како =α1 a1 +…+αs-1 како-1 . Да го додадеме векторот (-како) на двете страни на оваа еднаквост. Добиваме:
0= α1 a1 +…+αs-1 како-1 +(-1) како (3) (од заклучокот 5
(–како ) =(-1) како ). Во еднаквоста (3) коефициентот (-1) е 0, и затоа системот (1) е линеарно зависен и по дефиниција
II) Нека системот (1) е линеарно зависен по дефиницијата II, т.е. постои ненулта множество α1 ,…,αs, што ја задоволува (2). Без губење на општоста, можеме да претпоставиме дека αs 0. Во (2) додаваме (-αs како) на двете страни. Добиваме:
α1 a1 +α2 a2 +…+αs како - αs како = -αs како , од каде α1 a1 +…+αs-1 како-1 = -αs како . |
Бидејќи αs 0, тогаш има αs -1 P. Да ги помножиме двете страни на еднаквоста (4) со (-αs -1 ) и да користиме некои аксиоми на линеарниот простор. Добиваме:
(-αs -1 ) (-αs како )= (-αs -1 )(α1 a1 +…+αs-1 како-1), што следува: (-αs -1 α1 ) a1 +…+(-αs - 1) αs-1 како-1 =како.
Да ја воведеме ознаката β1 = -αs -1 α1 ,…, βs-1 =(-αs -1 ) αs-1 . Тогаш еднаквоста добиена погоре ќе се препише како:
како = β1 a1 +…+ βs-1 како-1 .
Од s 2, ќе има барем еден вектор ai на десната страна. Откривме дека системот (1) е линеарно зависен од Дефиницијата I.
Теоремата е докажана.
Врз основа на теорема 1, доколку е потребно, за s 2 можеме да примениме која било од горенаведените дефиниции за линеарна зависност.
Забелешка 1. Ако системот се состои од само еден вектор a1, тогаш само дефиницијата е применлива за него
Нека a1 =0; тогаш 1a1 =0. Бидејќи 1 0, тогаш a1 =0 е линеарно зависен систем.
Нека a1 0; тогаш α1 a1 ≠0, за било кој α1 0. Ова значи дека ненултиот вектор a1 е линеарно независен
Постојат важни врскипомеѓу линеарната зависност на системот од вектори и неговите потсистеми.
Теорема 2. Ако некој потсистем (т.е. дел) од конечен систем на вектори е линеарно зависен, тогаш целиот систем е линеарно зависен.
Доказот за оваа теорема не е тешко да се направи самостојно. Може да се најде во кој било учебник по алгебра или аналитичка геометрија.
Заклучок 1. Сите потсистеми на линеарно независен систем се линеарно независни. Добиено од теорема 2 со контрадикторност.
Забелешка 2. Лесно е да се види дека линеарно зависните системи можат да имаат потсистеми исто линеарно
Заклучок 2. Ако системот содржи 0 или два пропорционални (еднакви) вектори, тогаш тој е линеарно зависен (бидејќи потсистем од 0 или два пропорционални вектори е линеарно зависен).
§ 3. Максимални линеарно независни потсистеми
Дефиниција 3. Нека a1, a2,…,ak,…. (1) е конечен или бесконечен систем на вектори на линеарен простор L. Нејзиниот конечен потсистем ai1, ai2, …, воздух (2) се нарекува основа на системот (1)или максимален линеарно независен потсистемовој систем доколку се исполнети следните два услови:
1) потсистемот (2) е линеарно независен;
2) ако некој вектор аj од системот (1) е доделен на потсистемот (2), тогаш добиваме линеарно зависна
систем ai1, ai2, …, воздух, ај (3).
Пример 1. Во просторот Pn [x], разгледајте го системот на полиноми 1,x1 , …, xn (4). Да докажеме дека (4) е линеарно независен. Нека α0, α1,…, αn се броеви од P такви што α0 1+α1 x+...+αn xn =0. Тогаш, според дефиницијата за еднаквост на полиномите, α0 =α1 =…=αn =0. Тоа значи дека системот на полиноми (4) е линеарно независен.
Сега да докажеме дека системот (4) е основа на линеарниот простор Pn [x].
За било кој f(x) Pn [x] имаме: f(x)=β0 xn +…+βn 1 Pn [x]; затоа, f(x) е линеарна комбинација на вектори (4); тогаш системот 1,x1 , …, xn ,f(x) е линеарно зависен (по дефиниција I). Така, (4) е основа на линеарниот простор Pn [x].
Пример 2. На сл. 1 a1, a3 и a2, a3 – основи на системот вектори a1,a2,a3.
Теорема 3. Подсистем (2) ai1 ,…, воздух на конечен или бесконечен систем (1) a1 , a2 ,…,како ,… е максимален линеарно независен потсистем (основа) на системот (1) ако и само ако
а) (2) линеарно независна; б) кој било вектор од (1) е линеарно изразен преку (2).
Неопходност. Нека (2) е максимален линеарно независен потсистем на системот (1). Тогаш се задоволени два услови од Дефиницијата 3:
1) (2) линеарно независна.
2) За кој било вектор a j од (1) системот ai1 ,…, ais ,aj (5) е линеарно зависен. Потребно е да се докаже дека тврдењата а) и б) се вистинити.
Услов а) се совпаѓа со 1); затоа, а) е задоволен.
Понатаму, врз основа на 2) постои ненулта множество α1 ,...,αr ,β P (6) така што α1 ai1 +…+αr воздух +βaj =0 (7). Да докажеме дека β 0 (8). Да претпоставиме дека β=0 (9). Тогаш од (7) се добива: α1 ai1 +…+αr воздух =0 (10). Бидејќи множеството (6) е не-нула и β=0, следува дека α1 ,...,αr е множество кое не е нула. И тогаш од (10) следува дека (2) е линеарно зависна, што е во спротивност со условот а). Ова докажува (8).
Со додавање на векторот (-βaj) на двете страни на еднаквостите (7), се добива: -βaj = α1 ai1 +…+αr воздух. Бидејќи β 0, тогаш
постои β-1 P; помножете ги двете страни на последното равенство со β-1: (β-1 α1 )ai1 +…+ (β-1 αr )воздух =aj . Ајде да воведеме
нотација: (β-1 α1)= 1,…, (β-1 αr)= r; така, добивме: 1 ai1 +…+ r воздух =ај ; па затоа е докажана задоволливоста на условот б).
Потребата е докажана.
Доволност. Нека се исполнети условите а) и б) од теорема 3 Потребно е да се докаже дека се исполнети условите 1) и 2) од Дефиницијата 3.
Бидејќи условот а) се совпаѓа со условот 1), тогаш 1) е задоволен.
Да докажеме дека 2) важи. Според условот б), секој вектор aj (1) е линеарно изразен преку (2). Следствено, (5) е линеарно зависен (по дефиниција 1), т.е. 2) се исполнува.
Теоремата е докажана.
Коментар. Не секој линеарен простор има основа. На пример, нема основа во просторот P[x] (во спротивно, степените на сите полиноми во P[x] би биле, како што следува од став б) од теорема 3, колективно ограничени).
§ 4. Главната теорема за линеарната зависност. Нејзините последици
Дефиниција 4. Нека два конечни системи на вектори на линеарен простор L:a1 ,a2 ,…,al (1) и
b1 ,b2 ,…,bs (2).
Ако секој вектор на системот (1) е линеарно изразен преку (2), тогаш ќе кажеме дека системот (1)
линеарно се изразува преку (2). Примери:
1. Секој потсистем на системот 1 ,…,ai ,…,ak линеарно се изразува низ целиот систем, бидејќи
ai =0 a1 +…+1 ai +…+0 ак .
2. Секој систем на вектори на сегменти од R2 е линеарно изразен преку систем кој се состои од два неколинеарни рамни вектори.
Дефиниција 5. Ако два конечни системи на вектори се линеарно изразени еден низ друг, тогаш тие се нарекуваат еквивалентни.
Забелешка 1. Бројот на вектори во два еквивалентни системи може да биде различен, како што може да се види од следните примери.
3. Секој систем е еквивалентен на неговата основа (ова следува од теорема 3 и пример 1).
4. Било кои два системисегментните вектори од R2, од кои секоја содржи два неколинеарни вектори, се еквивалентни.
Следната теорема е една од најважните тврдења во теоријата на линеарни простори. Основна теорема за линеарна зависност.Нека во линеарен простор L над полето P се дадени два
векторски системи:
a1 ,a2 ,…,al (1) и b1 ,b2 ,…,bs (2) и (1) е линеарно независна и линеарно изразена преку (2). Потоа l s (3). Доказ. Треба да докажеме нееднаквост (3). Да го претпоставиме спротивното, нека l>s (4).
По услов, секој вектор ai од (1) е линеарно изразен преку системот (2):
a1 =α11 b1 +α12 b2 +…+α1s bs a2 =α21 b1 +a22 b2 +…+α2s bs
…………………... (5)
al =αl1 b1 +αl2 b2 +…+αls bs .
Да ја направиме следната равенка: x1 a1 +x2 a2 +…+x1 al =0 (6), каде што xi се непознати кои земаат вредности од полето P (i=1,…,s).
Дозволете ни да го помножиме секое од равенствата (5), соодветно, со x1,x2,…,xl, да ги замениме во (6) и да ги собереме членовите што содржат b1, потоа b2 и, конечно, bs. Добиваме:
x1 a1 +…+xl al = (α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl )b1 |
+ (α12 x1 +α22 x2 + … +αl2 xl )b2 + …+(α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl )bs =0. |
Ајде да се обидеме да најдеме решение кое не е нула |
равенката (6). За да го направите ова, нека се изедначат со нула сите |
коефициенти за bi (i=1, 2,…,s) и составете го следниот систем на равенки: |
|
α11 x1 +α21 x2 + … +αl1 xl =0 |
|
α12 x1 +α22 x2 +…+αl2 xl =0 |
|
……………………. |
|
α1s x1 +α2s x2 +…+αls xl =0.
(8) хомоген систем s на равенки за непознати x 1,…, xl. Таа е секогаш кооперативна.
ВО поради нееднаквоста (4) во овој систем бројот на непознати повеќе бројравенки, и затоа, како што следува од методот на Гаус, тој се сведува на трапезоидна форма. Ова значи дека има не-нула
решенија на системот (8). Да означиме еден од нив со x1 0 ,x2 0 ,…,xl 0 (9), xi 0 P (i=1, 2,…s).
Заменувајќи ги броевите (9) во левата страна на (7), добиваме: x1 0 a1 +x2 0 a2 +…+xl 0 al =0 b1 +0 b2 +…+0 bs =0. (10)
Значи, (9) е ненула решение за равенката (6). Според тоа, системот (1) е линеарно зависен и тоа е во спротивност со условот. Затоа, нашата претпоставка (4) е неточна и л с.
Теоремата е докажана.
Последици од главната теорема за линеарна зависност Заклучок 1. Два конечни еквивалентни линеарно независни векторски системи се состојат од
ист број вектори.
Доказ. Нека системите на вектори (1) и (2) се еквивалентни и линеарно независни. За да го докажеме ова, ја применуваме главната теорема двапати.
Бидејќи системот (2) е линеарно независен и линеарно изразен преку (1), потоа со главната теорема l s (11).
Од друга страна, (1) е линеарно независен и линеарно се изразува преку (2), и со главната теорема s l (12).
Од (11) и (12) следува дека s=l. Изјавата е докажана.
Заклучок 2. Ако во некој систем на вектори a1 ,…,како ,… (13) (конечни или бесконечни) има две основи, тогаш тие се состојат од ист број вектори.
Доказ. Нека ai1 ,…,ail (14) и aj1 ,..ajk (15) се основите на системот (13). Да покажеме дека тие се еквивалентни.
Според теорема 3, секој вектор на системот (13) е линеарно изразен преку неговата основа (15), особено, секој вектор на системот (14) е линеарно изразен преку системот (15). Слично, системот (15) е линеарно изразен преку (14). Тоа значи дека системите (14) и (15) се еквивалентни и според заклучокот 1 имаме: l=k.
Изјавата е докажана.
Дефиниција 6. Бројот на вектори во произволна основа на конечен (бесконечен) систем на вектори се нарекува ранг на овој систем (ако нема бази, тогаш ранг на системот не постои).
Според заклучокот 2, ако системот (13) има барем една основа, неговиот ранг е единствен.
Забелешка 2. Ако системот се состои само од нула вектори, тогаш претпоставуваме дека неговиот ранг е 0. Користејќи го концептот ранг, можеме да ја зајакнеме главната теорема.
Заклучок 3. Дадени се два конечни системи на вектори (1) и (2), а (1) линеарно се изразува преку (2). Тогаш рангот на системот (1) не го надминува рангот на системот (2).
Доказ . Рангот на системот (1) да го означиме со r1, рангот на системот (2) со r2. Ако r1 =0, тогаш изјавата е вистинита.
Нека r1 0. Потоа r2 0, бидејќи (1) линеарно се изразува преку (2). Тоа значи дека системите (1) и (2) имаат бази.
Нека a1 ,…,ar1 (16) е основа на системот (1) и b1 ,…,br2 (17) е основа на системот (2). Тие се линеарно независни по дефиниција на основата.
Бидејќи (16) е линеарно независна, тогаш главната теорема може да се примени на парот системи (16), (17). Според ова
теорема r1 r2 . Изјавата е докажана.
Заклучок 4. Два конечни еквивалентни системи на вектори имаат исти рангови. За да ја докажеме оваа изјава, треба двапати да го примениме заклучокот 3.
Забелешка 3. Забележете дека рангот на линеарно независен систем на вектори е еднаков на бројот на неговите вектори (бидејќи во линеарно независен систем неговата единствена основа се совпаѓа со самиот систем). Според тоа, последица 1 е посебен случајЗаклучок 4. Но, без доказ за овој конкретен случај, не би можеле да го докажеме заклучокот 2, да го воведеме концептот на ранг на систем од вектори и да го добиеме заклучокот 4.
§ 5. Конечни-димензионални линеарни простори
Дефиниција 7. Линеарен простор L над полето P се нарекува конечно-димензионален ако има барем една основа во L.
Основни примери на конечни-димензионални линеарни простори:
1. Векторски отсечки на права линија, рамнина и во простор (линеарни простори R1, R2, R3).
2. n-димензионален аритметички простор P(n) . Да покажеме дека во P(n) постои следнава основа: e1 =(1,0,…,0)
e2 =(0,1,…,0) (1)
mk =(0,0,…1).
Прво да докажеме дека (1) е линеарно независен систем. Да ја креираме равенката x1 e1 +x2 e2 +…+xn en =0 (2).
Користејќи ја формата на вектори (1), ја препишуваме равенката (2) на следниов начин: x1 (1,0,…,0)+x2 (0,1,…,0)+…+xn (0,0,…, 1)=( x1 , x2 , …, xn )=(0,0,…,0).
Според дефиницијата за еднаквост на вектори на редови, следува:
x1 =0, x2 =0,…, xn =0 (3). Затоа, (1) е линеарно независен систем. Да докажеме дека (1) е основа на просторот P(n) користејќи теорема 3 на бази.
За секој a=(α1 ,α2 ,…,αn ) Pn имаме:
а=(α1 ,α2 ,…,αn )=(α1 ,0,…,0)+(0,α2 ,…,0)+(0,0,…,αn )= 1 e1 + 2 e2 +…+ n en .
Тоа значи дека секој вектор во просторот P(n) може линеарно да се изрази преку (1). Следствено, (1) е основа на просторот P(n), и затоа P(n) е конечно-димензионален линеарен простор.
3. Линеарен простор Pn [x]=(α0 xn +...+αn | αi P).
Лесно е да се потврди дека основата на просторот Pn [x] е системот на полиноми 1,x,…,xn. Значи Pn
[x] е конечно-димензионален линеарен простор.
4. Линеарен простор М n(P). Може да се потврди дека множеството матрици од формата Eij во кое единствениот ненулти елемент 1 е вклучен пресек на i-таредовите и j-тата колона (i,j=1,…,n) ја сочинуваат основата Mn (P).
Последици од главната теорема за линеарна зависност за конечни-димензионални линеарни простори
Заедно со последиците од главната линеарна теорема за зависност 1-4, од оваа теорема може да се добијат неколку други важни тврдења.
Заклучок 5. Било кои две основи на конечно-димензионален линеарен простор се состојат од ист број вектори.
Оваа изјава е посебен случај на заклучокот 2 од главната линеарна теорема за зависност применета на целиот линеарен простор.
Дефиниција 8. Бројот на вектори во произволна основа на конечно-димензионален линеарен простор L се нарекува димензија на овој простор и се означува со слабо L.
Според заклучокот 5, секој конечно-димензионален линеарен простор има единствена димензија. Дефиниција 9. Ако линеарен простор L има димензија n, тогаш тој се нарекува n-димензионален
линеарен простор. Примери:
1. затемнети R 1 =1;
2. dimR 2 =2;
3. dimP (n) =n, т.е. P(n) е n-димензионален линеарен простор, бидејќи погоре, во примерот 2 е прикажано дека (1) е основата
P(n);
4. dimP n [x]=(n+1), бидејќи, како што е лесно да се провери, 1,x,x2 ,…,xn е основа на n+1 вектори на овој простор;
5. dimM n (P)=n2, бидејќи има точно n2 матрици од формата Eij наведени во примерот 4.
Заклучок 6. Во n-димензионален линеарен простор L, сите n+1 вектори a1 ,a2 ,…,an+1 (3) сочинуваат линеарно зависен систем.
Доказ. По дефиниција на димензијата на просторот во L, постои основа од n вектори: e1 ,e2 ,…,en (4). Да разгледаме пар системи (3) и (4).
Да претпоставиме дека (3) е линеарно независна. Бидејќи (4) е основа на L, тогаш секој вектор на просторот L може линеарно да се изрази преку (4) (со теорема 3 од §3). Конкретно, системот (3) е линеарно изразен преку (4). Според претпоставката (3) тој е линеарно независен; тогаш главната теорема за линеарна зависност може да се примени на парот системи (3) и (4). Добиваме: n+1 n, што е невозможно. Контрадикцијата докажува дека (3) е линеарно зависна.
Истрагата е докажана.
Забелешка 1. Од заклучокот 6 и теоремата 2 од §2 добиваме дека во n-димензионален линеарен простор секој конечен систем на вектори што содржи повеќе од n вектори е линеарно зависен.
Од оваа забелешка следува
Заклучок 7. Во n-димензионален линеарен простор, секој линеарно независен систем содржи најмногу n вектори.
Забелешка 2. Користејќи ја оваа изјава можеме да утврдиме дека некои линеарни простори не се конечни-димензионални.
Пример. Да го разгледаме просторот на полиномите P[x] и да докажеме дека не е конечно-димензионален. Да претпоставиме дека затемнети P[x]=m, m N. Размислете за 1, x,…, xm – множество од (m+1) вектори од P[x]. Овој систем на вектори, како што е наведено погоре, е линеарно независен, што е во спротивност со претпоставката дека димензијата на P[x] е еднаква на m.
Лесно е да се провери (со помош на P[x]) дека конечните-димензионални линеарни простори не се празни места на сите функции на реална променлива, простори на континуирани функции итн.
Заклучок 8. Секој конечен линеарно независен систем на вектори a1, a2,…,ak (5) на конечно-димензионален линеарен простор L може да се дополни на основата на овој простор.
Доказ. Нека n=dim L. Да разгледаме два можни случаи.
1. Ако k=n, тогаш a 1, a2,…,ak е линеарно независен систем од n вектори. Според заклучокот 7, за кое било b L системот a1 , a2 ,…,ak , b е линеарно зависен, т.е. (5) – основа Л.
2.
Нека k n. Тогаш системот (5) не е основа на L, што значи дека постои вектор a k+1 L, дека a1 , a2 ,…,ak , ak+1 (6) е линеарно независен систем. Ако (k+1) Со заклучок 7, овој процес завршува по конечен број чекори. Добиваме основа a1 , a2 ,…,ak , ak+1 ,…,an на линеарниот простор L кој содржи (5). Истрагата е докажана. Од заклучокот 8 следува Заклучок 9. Секој ненулти вектор на конечно-димензионален линеарен простор L е содржан во некоја основа L (бидејќи таквиот вектор е линеарно независен систем). Следи дека ако P е бесконечно поле, тогаш во конечно-димензионален линеарен простор над полето P има бесконечно многу основи (бидејќи во L има бесконечно многу вектори од формата a, a 0, P\0). § 6. Изоморфизам на линеарни простори Дефиниција 10. Две линеарни простори L и L` над едно поле P се нарекуваат изоморфни ако постои биекција: L L` ги задоволува следните услови: 1. (а+б)= (а)+ (б) а, б Л, 2. (а)= (а) P, a L. Самото вакво мапирање се нарекува изоморфизам или изоморфно пресликување. Својства на изоморфизмите. 1. Со изоморфизам нултиот вектор станува нула. Доказ. Нека L и: L L` се изоморфизам. Бидејќи a=a+0, тогаш (a)= (a+0)= (a)+ (0). Бидејќи (L)=L` тогаш од последното равенство е јасно дека (0) (го означуваме со 0`) е нултиот вектор од 2. Со изоморфизам, линеарно зависен систем се трансформира во линеарно зависен систем. Доказ. Нека a1, a2,…,како (2) е некој линеарно зависен систем од L. Тогаш постои ненула множество од броеви 1 ,…, s (3) од P, така што 1 a1 +…+ s како =0. Да ги подложиме двете страни на оваа еднаквост на изоморфно пресликување. Земајќи ја предвид дефиницијата за изоморфизам, добиваме: 1 (a1 )+…+ s (како )= (0)=0` (го користевме својството 1). Бидејќи множеството (3) е не-нула, тогаш од последното равенство следува дека (1),..., (s) е линеарно зависен систем. 3. Ако: L L` е изоморфизам, тогаш -1 : L` L е исто така изоморфизам. Доказ. Бидејќи е биекција, тогаш постои биекција -1 : L` L. Треба да докажеме дека ако a`, Бидејќи е изоморфизам, тогаш a`+b`= (a)+ (b) = (a+b). Од ова произлегува: a+b= -1 ((a+b))= -1 ((a)+ (b)). Од (5) и (6) имаме -1 (a`+b`)=a+b= -1 (a`)+ -1 (b`). Слично, се проверува дека -1 (a`)= -1 (a`). Значи, -1 е изоморфизам. Имотот е докажан. 4. Со изоморфизам, линеарно независен систем се трансформира во линеарно независен систем. Доказ. Нека: L L` е изоморфизам, а a1, a2,..., како (2) е линеарно независен систем. Задолжително докажете дека (a1), (a2),…, (како) (7) е исто така линеарно независна. Да претпоставиме дека (7) е линеарно зависен. Потоа, при прикажување -1, тој оди во системот a1,...,како. Според својството 3 -1 е изоморфизам, а потоа според својството 2, системот (2) исто така ќе биде линеарно зависен, што е во спротивност со условот. Затоа, нашата претпоставка е неточна. Имотот е докажан. 5. Со изоморфизмот, основата на секој систем на вектори оди во основата на системот на неговите слики. Доказ. Нека a1, a2,…,како ,… (8) се конечен или бесконечен систем на линеарни вектори просторот L, : L L` е изоморфизам. Нека системот (8) има основа ai1 , …, воздух (9). Да покажеме дека системот (a1),…, (ak),… (10) има основа (ai1),…, (воздух) (11). Бидејќи (9) е линеарно независен, тогаш според својството 4 системот (11) е линеарно независен. Да му доделиме на (11) кој било вектор од (10); добиваме: (ai1), …, (воздух), (aj) (12). Размислете за системот ai1 , …,air , aj (13). Тој е линеарно зависен, бидејќи (9) е основа на системот (8). Но (13) под изоморфизам се претвора во (12). Бидејќи (13) е линеарно зависен, тогаш според својството 2 системот (12) е исто така линеарно зависен. Ова значи дека (11) е основата на системот (10). Применувајќи го Својството 5 на целиот конечно-димензионален линеарен простор L, добиваме Изјава 1. Нека L е n-димензионален линеарен простор над полето P, : L L` изоморфизам. Тогаш L` е исто така конечно-димензионален простор и dim L`= dim L = n. Конкретно, изјавата 2 е вистинита Ако конечните-димензионални линеарни простори се изоморфни, тогаш нивните димензии се еднакви. Коментар. Во §7 ќе се утврди валидноста на обратната страна на оваа изјава. § 7. Векторски координати Нека L е конечно-димензионален линеарен простор над полето P и e1,...,en (1) некаква основа на L. Дефиниција 11. Нека a L. Да го изразиме векторот a преку основата (1), т.е. a= 1 e1 +…+ n en (2), i P (i=1,…,n). Се нарекува колоната (1,…, n)t (3). координатна колонавектор a во основа (1). Координатната колона на векторот a во основата e се означува и со [a], [a]e или [1,.., n]. Како и во аналитичката геометрија, се докажува единственоста на векторскиот израз преку основата, т.е. единственоста на координатната колона на векторот во дадена основа. Забелешка 1. Во некои учебници, наместо координатни колони, се разгледуваат координатни линии (на пример, во книгата). Во овој случај, формулите добиени таму на јазикот на координатните колони изгледаат поинаку. Теорема 4. Нека L е n-димензионален линеарен простор над полето P и (1) некаква основа на L. Размислете за пресликувањето: a (1,..., n)t, кое поврзува кој било вектор a од L со неговата координатна колона во основа (1). Тогаш е изоморфизам на просторите L и P(n) (P(n) е n-димензионален аритметички простор на вектори на колони). Доказ . Мапирањето е единствено поради уникатноста на векторските координати. Лесно е да се провери дали е бијекција и (а)= (а), (а)+ (б)= (а+б). Ова значи изоморфизам. Теоремата е докажана. Заклучок 1. Систем од вектори a1,a2,…,како на конечно-димензионален линеарен простор L е линеарно зависен ако и само ако системот што се состои од координатните колони на овие вектори во некоја основа на просторот L е линеарно зависен. Валидноста на оваа изјава произлегува од теорема 1 и второто и четвртото својство на изоморфизмот. Забелешка 2. Заклучокот 1 ни овозможува да го проучуваме прашањето за линеарната зависност на системите на вектори во во конечно-димензионален линеарен простор може да се сведе на решавање на истото прашање за колоните од одредена матрица. Теорема 5 (критериум за изоморфизам на конечни-димензионални линеарни простори). Два конечни-димензионални линеарни простори L и L` над едно поле P се изоморфни ако и само ако имаат иста димензија. Неопходност. Нека L L` Врз основа на изјавата 2 од §6, димензијата на L се совпаѓа со димензијата на L1. Адекватност. Нека dim L = dim L`= n. Потоа, според теорема 4, имаме: L P(n) и L` P(n) . Од тука не е тешко да се добие дека L L`. Теоремата е докажана. Забелешка. Во продолжение, често ќе означуваме n-димензионален линеарен простор со Ln. § 8. Матрица на транзиција Дефиниција 12. Нека во линеарниот простор Ln дадени се две основи: e= (е1,...еn) и e`=(e1`,...,e`n) (старо и ново). Да ги прошириме векторите на основата e` во основата e: e`1 =t11 e1 +…+tn1 ен ………………….. e`n =t1n e1 +…+tnn en . t11………t1n Т= ……………… tn1………tnn повикани транзициона матрицаод основа е до основа е`. Забележете дека е погодно да се напишат еднаквостите (1) во форма на матрица на следниов начин: e` = eT (2). Оваа еднаквост е еквивалентна на дефинирање на транзициската матрица. Забелешка 1. Да формулираме правило за конструирање на преодна матрица: за да се конструира преодна матрица од основа e во основа e`, потребно е сите вектори ej` од новата основа e` да ги најдат своите координатни колони во стара основа e и запишете ги како соодветните колони од матрицата Т. Забелешка 2. Во книгата, транзициската матрица е составена ред по ред (од координатните редови на векторите на новата основа во старата). Теорема 6. Преодната матрица од едната основа на n-димензионалниот линеарен простор Ln над полето P до неговата друга основа е недегенерирана матрица од n-ти ред со елементи од полето P. Доказ. Нека T е преодната матрица од основата e до основата e`. Колоните од матрицата Т, по дефиниција 12, се координатните колони на векторите на основата e` во основата e Бидејќи e` е линеарно независен систем, тогаш според заклучокот 1 од теоремата 4 колоните од матрицата T. се линеарно независни, и затоа |T|≠0. Теоремата е докажана. Вистина е и обратното. Теорема 7. Секоја недегенерирана квадратна матрица од n-ти ред со елементи од полето P служи како преодна матрица од една основа на n-димензионалниот линеарен простор Ln над полето P до некоја друга основа Ln. Доказ . Нека се дадени основата e = (e1, ..., en) на линеарниот простор L и несингуларна квадратна матрица Т= t11………t1n tn1………tnn n-ти ред со елементи од полето P. Во линеарниот простор Ln, разгледајте подреден систем на вектори e`=(e1 `,…,e`n), за кои колоните од матрицата T се координатни колони во основата e . Системот на вектори e` се состои од n вектори и, врз основа на заклучокот 1 од теоремата 4, е линеарно независен, бидејќи колоните од не-единечна матрица Т се линеарно независни. Според тоа, овој систем е основа на линеарниот простор Ln, а поради изборот на системски вектори e` важи еднаквоста e`=eT. Ова значи дека Т е преодна матрица од основата e до основата e`. Теоремата е докажана. Врска помеѓу координатите на векторот a во различни основи Нека се дадени основите e=(е1,...еn) и e`=(e1`,...,e`n) во линеарниот простор Ln со преодната матрица T од основата e во основата e` , т.е. (2) е точно. Векторот a има координати во базите e и e` [a]e =(1 ,…, n)T и [a]e` =(1 `,…, n `)T , т.е. a=e[a]e и a=e`[a]e` . Потоа, од една страна, a=e[a]e , а од друга a=e`[a]e` =(eT)[a]e` =e(T[a]e` ) (користевме еднаквоста (2)). Од овие еднаквости добиваме: a=e[a]e =e(T[a]e` ). Оттука, поради уникатноста на проширувањето на векторот во основа Ова имплицира еднаквост [a]e =Т[a]e` (3), или n`. Релациите (3) и (4) се нарекуваат формули за координатна трансформацијакога се менува основата на линеарниот простор. Тие ги изразуваат старите векторски координати во однос на новите. Овие формули може да се решат во однос на новите векторски координати со множење на (4) од левата страна со Т-1 (таква матрица постои, бидејќи Т е не-единечна матрица). Тогаш добиваме: [a]e` =T-1 [a]e . Користејќи ја оваа формула, знаејќи ги координатите на векторот во старата основа e на линеарниот простор Ln, можете да ги најдете неговите координати во новата основа, e`. § 9. Потпростори на линеарен простор Дефиниција 13. Нека L е линеарен простор над полето P и H L. Ако H е исто така линеарен простор над P во однос на истите операции како L, тогаш H се вика потпросторлинеарен простор Л. Изјава 1. Подмножество H од линеарен простор L над полето P е потпростор од L ако се исполнети следните услови: 1. h1 +h2H за било кој h1, h2H; 2.
h H за кое било h H и P. Доказ. Ако условите 1 и 2 се задоволени во H, тогаш собирањето и множењето со елементи на полето P се наведени во H. Валидноста на повеќето од аксиомите на линеарниот простор за H произлегува од нивната важност за L. Да провериме некои од нив: а) 0 h=0 H (поради условот 2); б) h H имаме: (-h)=(-1)h H (поради условот 2). Изјавата е докажана. 1.
Потпросторите на кој било линеарен простор L се 0 и L. 2. R 1 – потпростор на просторот R2 на вектори на сегменти на рамнината. 3.
Просторот на функции на реална променлива ги има, особено, следните потпростори: а) линеарни функции од формата ax+b; б) континуирани функции; в) диференцијабилни функции. Еден универзален начин за идентификување на потпросторите на кој било линеарен простор е поврзан со концептот на линеарен труп. Дефиниција 14. Нека a1 ,...како (1) е произволен конечен систем на вектори во линеарен простор L. Да повикаме линеарна обвивкаод ова системско множество ( 1 a1 +…+ s како | i P) = Теорема 8. Линеарното тело H на кој било конечен систем на вектори (1) од линеарен простор L е конечно-димензионален потпростор на линеарниот простор L. Основата на системот (1) е исто така основа на H, а димензијата од H е еднаков на ранг на системот (1). Доказ. Нека H= Теоремата е докажана. Забелешка 1. Ако H е конечно-димензионален потпростор на линеарниот простор L и h1 ,...,hm е основа на H, тогаш лесно може да се види дека H=
. Ова значи дека линеарните трупови се универзален начин за конструирање на конечни-димензионални потпростори на линеарни простори.
Дефиниција 15. Нека A и B се два потпростори на линеарен простор L над полето P. Нивниот збир A+B да го наречеме следново множество: A+B=(a+b| a A, b B).
Пример. R2 е збир на потпросторите OX (вектори на оската OX) и OY. Лесно е да се докаже следново
Изјава 2. Збирот и пресекот на два потпростори на линеарен простор L се потпростори на L (доволно е да се провери задоволувањето на условите 1 и 2 од изјавата 1).
Фер
Теорема 9. Ако A и B се два конечни-димензионални потпростори на линеарен простор L, тогаш dim(A+B)=dimA+ dimB–dim A B.
Доказот за оваа теорема може да се најде, на пример, во.
Забелешка 2. Нека A и B се два конечни-димензионални потпростори на линеарен простор L. За да се најде нивниот збир A+B, погодно е да се користи дефиницијата за A и B како линеарни трупови. Нека A=
