Унијата (логичка сума) на N настани се нарекува настан , што се забележува секогаш кога ќе се појави барем еден однастани . Конкретно, сојузот на настаните А и Б се нарекува настан А+ Б(некои автори
), што се забележува кога доаѓаили А,или Били двата од овие настани во исто време(Сл. 7). Знак на вкрстување во текстуалните формулации на настани е сврзникот "или".

Ориз. 7. Комбинирање A+B настани

Неопходно е да се земе предвид дека веројатноста за настанот P(A) одговара на левата страна засенчена на сл. 7 на фигурата, и нејзиниот централен дел, означен како
. И исходите што одговараат на настанот Б се наоѓаат и на десната страна на засенчената фигура и во означената
централен дел. Така, при додавање И област
всушност ќе биде вклучен во оваа сума двапати, а точниот израз за плоштината на засенчената фигура има форма
.

Значи, веројатност за обединувањедва настани А и Б е еднаква на

За поголем број настани, генералниот пресметковен израз станува исклучително тежок поради потребата да се земат предвид бројните опции за меѓусебно преклопување на областите. Меѓутоа, ако настаните што се комбинираат се некомпатибилни (види стр. 33), тогаш меѓусебното преклопување на областите е невозможно, а поволната зона се одредува директно од збирот на областите што одговараат на поединечни настани.

Веројатност здруженијакој било број некомпатибилнинастани се определува со изразот

Заклучок 1: Комплетната група на настани се состои од некомпатибилни настани, од кои еден е нужно реализиран во искуство. Како резултат, ако настаните …
,формираат целосна група, тогаш за нив

Така,

СОпоследица 3Да земеме предвид дека спротивното од изјавата „ќе се случи барем еден од настаните …
“ е изјавата „ниту еден од настаните …
не се спроведува“. Тоа е, со други зборови, „настаните ќе се набљудуваат во искуство , И , и..., и “, што веќе претставува пресек на настани спротивни на оригиналниот сет. Оттука, земајќи ја предвид (2.0), за комбинирање на произволен број на настани добиваме

Последиците 2 и 3 покажуваат дека во случаи кога директното пресметување на веројатноста за настан е проблематично, корисно е да се процени сложеноста на проучувањето на спротивниот настан. На крајот на краиштата, знаејќи го значењето
, добијте ја потребната вредност од (2 .0)
повеќе не претставува никаква тешкотија.

    1. Примери за пресметки на веројатностите на сложени настани

Пример 1 : Двајца ученици (Иванов и Петров) заедно Изастана за заштита лабораториска работа, откако ги научив првите 8 конуситролање прашања за оваа работа од 10 достапни. Проверка на подготвеноста, стрНаставникот ги прашува сите само по еденn случајно избрано прашање. Одреди ја веројатноста за следните настани:

А= „Иванов ќе ја брани својата лабораториска работа“;

Б= „Петров ќе ја брани својата лабораториска работа“;

В= „двајцата ќе ја бранат лабораториската работа“;

Д= „барем еден од учениците ќе ја брани работата“;

Е= „само еден од учениците ќе ја брани работата“;

Ф= „Никој од нив нема да ја заштити работата“.

Решение. Имајте на ум дека способноста да се брани работа како Иванов, ткако и Петрова посебно се определува само според бројот на совладувани прашања, затоана. (Забелешка: во во овој примервредностите на добиените фракции не беа намерно намалени за да се поедностави споредбата на резултатите од пресметката.)

НастанВможе да се формулира поинаку како „и Иванов и Петров ќе ја заштитат работата“, т.е. ќе се случиИ настанА, И настанБ. Значи настанотВе пресекот на настанитеАИБ, а во согласност со (2 .0)

каде факторот „7/9“ се јавува поради тоа што настанувањето на настанотАзначи дека Иванов добил „успешно“ прашање, што значи дека Петров сега има само 7 „добри“ прашања од преостанатите 9 прашања.

НастанДимплицира дека „работата ќе штитиили Иванов,или Петров,или обајцата се заедно“, т.е. ќе се случи барем еден од настанитеАИБ. Значи настанотДе спој на настаниАИБ, а во согласност со (2 .0)

што ги исполнува очекувањата, бидејќи Дури и за секој ученик поединечно, шансите за успех се доста високи.

СОнастанот Е значи дека „или Ивано ќе ја заштити работатаво, и Петров „стрпаѓа"или Иванов лошо ќе помине„Профи, а Петров може да се справи со одбраната“. Двете алтернативи меѓусебно се исклучуваат (некомпатибилни), па

Конечно, изјаватаФќе биде фер само ако "И Иванов,И Петров со заштитаНе ќе се снајде“. Значи,

Ова го комплетира решението на проблемот, но корисно е да се забележат следниве точки:

1. Секоја од добиените веројатности го задоволува условот (1 .0), nо, ако за
И
добие конфликтпријатно со(1 .0) е невозможно во принцип, тогаш за
обидете се икористењето (2 .0) наместо (2.0) би довело до јасно неточнозначење на проектот
. Важно е да се запамети дека таквата вредност на веројатноста е фундаментално невозможна, и ако добиете таков парадоксален резултат, веднаш започнете да ја барате грешката.

2. Пронајдените веројатности ги задоволуваат односитем

.

Етоа е сосема очекувано, бидејќи настаниВ, ЕИФформираат комплетнаy група и настаниДИФсе спротивни едни на други. Сметководство за овиеможе да се користат соодноси од една странакомбе да ги провери двојно пресметките, а во друга ситуација може да послужи како основа за алтернативен начин за решавање на проблемот.

П Забелешка : Не занемарувајте пишувањепрецизна формулација на настанот, во спротивно, во текот на решавањето на проблемот, може неволно да се префрлите на поинакво толкување на значењето на овој настан, што ќе доведе до грешки во расудувањето.

Пример 2 : Во голема серија на микроциркути кои не ја поминале конечната контрола на квалитетот, 30% од производите се неисправни.Ако изберете кои било два микроцира по случаен избор од оваа серија, тогаш што еверојатноста дека меѓу нив:

А= „и двете валидни“;

Б= „точно 1 употреблив микроспој“;

В= „и двете неисправни“.

Дозволете ни да ја анализираме следната верзија на расудувањето (пазете, содржи грешка):

Бидејќи станува збор за голема серија производи, отстранувањето на неколку микроциркути од него практично не влијае на односот на бројот на употребливи и неисправни производи, што значи дека со избирање на некои микроциркули од оваа серија неколку пати по ред, ние може да претпостави дека во секој случај остануваат непроменети веројатности

= П(избран производ со дефект) = 0,3 и

= П(избран соодветен производ) = 0,7.

За да се случи некој настанАпотребно е тоаИ прво,И по втор пат, беше избран соодветен производ и затоа (земајќи ја предвид независноста една од друга на успехот при изборот на првиот и вториот микроспој) за пресекот на настаните имаме

Слично на тоа, за настанот C да се случи, двата производи треба да бидат неисправни, а за да се добие Б, треба да изберете еден добар производ и еднаш неисправен производ.

Знак за грешка. Xиако сите добиле над веројатностаи изгледаат веродостојно, кога се анализираат заедно лесно е да сеВе молиме имајте во предвид дека .Меѓутоа, случаитеА, БИВформираат комплетнагрупа настани за кои треба да се изврши .Оваа контрадикторност покажува дека има некоја грешка во расудувањето.

СО има грешки. Дозволете ни да воведеме две помошниспецијални настани:

= „првиот микроспој е добар, вториот е неисправен“;

= „првиот микроспој е неисправен, вториот е добар“.

Очигледно е дека, сепак, токму оваа опција за пресметка беше користена погоре за да се добие веројатноста за настанотБ, иако настаниБИ не се ахеквивалент. Всушност,
, бидејќи формулацијанастаниБбара меѓу микроциркулите да има точноеден , но воопшто нене мора да биде првиот беше добар (а другиот беше неисправен). Затоа, иако настан не е дупликат настан , но треба да се научида дејствува самостојно. Со оглед на некомпатибилноста на настаните И , веројатноста за нивниот логички збир ќе биде еднаква на

По посочената корекција на пресметки имаме

што индиректно ја потврдува исправноста на пронајдените веројатности.

Забелешка : Обрнете посебно внимание на разликата во формулацијата на настаните како „самопрво од наведените елементи мора...“ и „самоеден од наведените елементиентов треба...“ Најновиот настанјасно пошироко и инклузивноТво својот состав првиот како еден од (можно многубројниx) опции. Овие алтернативи (дури и ако нивните веројатности се совпаѓаат) треба да се земат предвид независно една од друга.

П Забелешка : Зборот „процент“ доаѓа од „по цент“, т.е.„на сто“. Презентирањето на фреквенциите и веројатностите како проценти ви овозможува да работите со поголеми вредности, што понекогаш го олеснува перцепирањето на вредностите „по уво“. Сепак, користењето множење или делење со „100%“ во пресметките за правилна нормализација е незгодно и неефикасно. Во овој поглед, брБидете внимателни кога користите вредности за споменувањеизразени во проценти, заменете ги во пресметаните изрази заво форма на фракции на единица (на пример, 35% е запишано во пресметкатаМи се допаѓа „0,35“) за да се минимизира ризикот од погрешно нормализирање на резултатите.

Пример 3 : Множеството на отпорници содржи еден отпорник nНоминални 4 kOhm, три отпорници од 8 kOhm и шест отпорнициили со отпор од 15 kOhm. Три отпорници избрани по случаен избор се поврзани едни со други паралелно. Определете ја веројатноста за добивање конечен отпор не поголем од 4 kOhm.

Реш ција. Отпорност на паралелно поврзувањеисториите може да се пресметаат со помош на формулата

.

Ова ви овозможува да воведете настани како што се

А= „избрани се три отпорници од 15 kOhm“ = „
”;

Б= „водва отпорници од 15 kOhm и еден со отпорm 8 kOhm“ =“
”…

Комплетната група настани што одговараат на проблематичните услови исто така вклучува цела линијаопции, и токму оние дакои го исполнуваат наведеното барање за добивање отпор не поголем од 4 kOhm. Сепак, иако „директната“ патека на решение, која вклучува пресметка (и последователни сумиИако е точно да се одредат веројатностите кои ги карактеризираат сите овие настани, не е препорачливо да се дејствува на овој начин.

Забележете дека за да се добие конечен отпор помал од 4 kOhm dДоволно е употребениот сет да вклучува барем еден отпорник со отпорЈадам помалку од 15 kOhm. Така, само во случајАне е исполнет условот за задача, т.е. настанАеспротивно на лицето кое се проучува. Во исто време,

.

Така,.

П ри означување : Пресметување на веројатноста за некој настанА, не заборавајте да ја анализирате сложеноста на одредувањетоЈас сум веројатноста за настан спротивен на него. Ако diss.прочитајте
лесно, тогаш ова е токму местото каде што треба да започнете, решеноодносно задачите, пополнувајќи го со примена на релацијата (2 .0).

П пример 4 : Во кутијата имаnбело,мцрна икцрвени топчиња. Топките се извлекуваат по случаен избор од кутијата едно по едно.и се враќаат назад после секое екстракција. Одреди ја веројатностанастаниА= „бела топкаќе се извлече пред црното” .

Реш ција. Размислете за следниот сет на настани

= „белата топка е извадена при првиот обид“;

= „прво се извади црвеното, а потоа белото“;

= „Двапати се вадеше црвена топка, трет пат бела”…

Така даКако што се враќаат топчињата, тогаш редоследотyty може формално бесконечно да се прошири.

Овие настани се некомпатибилни и заедно го сочинуваат збирот на ситуации во кои се случува настанотА. Така,

Лесно е да се види дека термините се вклучени во формуларот за сумагеометриска прогресија со почетен елемент
и именител
. Но, износитеа елементите на бесконечна геометриска прогресија е еднаква на

.

Така,. ЛИнтересно е што оваа веројатност (како што следува од добиенототи израз) не зависи од бројот на црвени топчиња во кутијата.

Кратка теорија

За квантитативно да се споредат настаните според степенот на можност за нивно настанување, се воведува нумеричка мерка, која се нарекува веројатност за настан. Веројатноста за случаен настане број кој ја изразува мерката на објективната можност да се случи некој настан.

Количините кои одредуваат колку се значајни објективните причини за да се очекува појава на некој настан се карактеризираат со веројатноста на настанот. Мора да се нагласи дека веројатноста е објективна величина која постои независно од познавачот и е условена од целокупниот сет на услови кои придонесуваат за настанување на некој настан.

Објаснувањата што ги дадовме за концептот на веројатност не се математичка дефиниција, бидејќи тие не го дефинираат овој концепт квантитативно. Постојат неколку дефиниции за веројатноста за случаен настан, кои се широко користени при решавање на конкретни проблеми (класична, геометриска дефиниција на веројатност, статистичка и сл.).

Класична дефиниција на веројатноста за настанго сведува овој концепт на поелементарниот концепт на подеднакво можни настани, кој повеќе не е предмет на дефиниција и се претпоставува дека е интуитивно јасен. На пример, ако матрицата е хомогена коцка, тогаш загубата на која било од лицата на оваа коцка ќе биде подеднакво можни настани.

Нека веродостојниот настан се подели на подеднакво можни случаи, чиј збир го дава настанот. Односно, случаите во кои се распаѓа се нарекуваат поволни за настанот, бидејќи појавата на еден од нив го обезбедува појавувањето.

Веројатноста за настан ќе биде означена со симболот.

Веројатноста за настан е еднаква на односот на бројот на случаи поволни за него, од вкупниот број на единствено можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи, со бројот, т.е.

Ова е класичната дефиниција за веројатност. Така, за да се најде веројатноста за настан, потребно е, земајќи ги предвид различните исходи од тестот, да се најде збир на единствено можни, подеднакво можни и некомпатибилни случаи, да се пресмета нивниот вкупен број n, бројот на случаи m поволни за даден настан, а потоа извршете ја пресметката користејќи ја горната формула.

Веројатност за настан еднаков на односотсе нарекува бројот на исходи од искуството поволни за настанот до вкупниот број на исходи од искуството класична веројатностслучаен настан.

Следниве својства на веројатност произлегуваат од дефиницијата:

Својство 1. Веројатност сигурен настанеднаков на еден.

Својство 2. Веројатност невозможен настанеднаква на нула.

Својство 3. Веројатноста за случаен настан е позитивен број помеѓу нула и еден.

Својство 4. Веројатноста за појава на настани кои формираат целосна група е еднаква на еден.

Својство 5. Веројатноста за појава на спротивен настан се определува на ист начин како и веројатноста за појава на настанот А.

Бројот на случаи кои фаворизираат појава на спротивен настан. Оттука, веројатноста за појава на спротивен настан е еднаква на разликата помеѓу единството и веројатноста за појава на настанот А:

Важна предност на класичната дефиниција за веројатноста за настан е тоа што со нејзина помош веројатноста за настан може да се одреди без прибегнување кон искуство, туку врз основа на логично расудување.

Кога ќе се исполнат збир на услови, сигурно ќе се случи сигурен настан, но невозможен настан дефинитивно нема да се случи. Меѓу настаните што може или не може да се случат кога ќе се создадат збир на услови, на појавата на некои може да се смета со добра причина, а на појавата на други со помала причина. Ако, на пример, има повеќе бели топки во урната отколку црни топки, тогаш има повеќе причина да се надеваме дека ќе се појави бела топка кога ќе се извлече од урната по случаен избор, отколку за појава на црна топка.

На следната страница се дискутира.

Пример за решение на проблемот

Пример 1

Кутијата содржи 8 бели, 4 црни и 7 црвени топчиња. По случаен избор се извлекуваат 3 топки. Најдете ги веројатностите на следните настани: – извлечено е најмалку 1 црвено топче, – има најмалку 2 топчиња со иста боја, – има најмалку 1 црвена и 1 бела топка.

Решението на проблемот

Вкупниот број на исходи од тестот го наоѓаме како број на комбинации од 19 (8+4+7) елементи од 3:

Ајде да ја најдеме веројатноста за настанот- Извлечена е најмалку 1 црвена топка (1,2 или 3 црвени топки)

Потребна веројатност:

Нека настанот- има најмалку 2 топчиња со иста боја (2 или 3 бели топки, 2 или 3 црни топки и 2 или 3 црвени топки)

Број на исходи поволни за настанот:

Потребна веројатност:

Нека настанот– има најмалку една црвена и 1 бела топка

(1 црвена, 1 бела, 1 црна или 1 црвена, 2 бели или 2 црвени, 1 бела)

Број на исходи поволни за настанот:

Потребна веројатност:

Одговор: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Пример 2

Две фрлени коцки. Најдете ја веројатноста дека збирот на поени е најмалку 5.

Решение

Настанот нека биде резултат од најмалку 5

Ајде да ја користиме класичната дефиниција за веројатност:

Вкупен број на можни резултати од тестот

Број на испитувања кои го фаворизираат настанот од интерес

На паднатата страна на првата коцка, може да се појават еден поен, два поени..., шест поени. на сличен начин, можни се шест исходи при тркалање на втората матрица. Секој од исходите од фрлањето на првата матрица може да се комбинира со секој од резултатите на втората. Така, вкупниот број на можни елементарни исходи од тестот е еднаков на бројот на места со повторувања (избор со сместувања од 2 елементи од множеството том 6):

Да ја најдеме веројатноста за спротивниот настан - збирот на поени е помал од 5

Следниве комбинации на паднати поени ќе го фаворизираат настанот:

№ 1-ва коска 2-та коска 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3

Цената е во голема мера под влијание на итноста на одлуката (од еден ден до неколку часа). Онлајн помош со испити/тестови е достапна со закажување.

Можете да оставите барање директно во разговорот, откако претходно сте ги испратиле условите за задачите и ве информирале за временската рамка за решението што ви треба. Времето на одговор е неколку минути.

Како да се пресмета веројатноста за настан?

Разбирам дека секој сака однапред да знае како ќе заврши спортскиот настан, кој ќе победи, а кој ќе загуби. Со оваа информација, можете без страв да се обложувате на спортски настани. Но, дали е воопшто можно, и ако е така, како да се пресмета веројатноста за настан?

Веројатноста е релативна вредност, затоа не може со сигурност да зборува за ниту еден настан. Оваа вредност ви овозможува да ја анализирате и оцените потребата да се обложите на одредено натпреварување. Одредувањето на веројатностите е цела наука која бара внимателно проучување и разбирање.

Коефициент на веројатност во теоријата на веројатност

Во спортското обложување, постојат неколку опции за исходот на натпреварот:

  • победа на првиот тим;
  • победа на вториот тим;
  • цртај;
  • вкупно

Секој исход од натпреварот има своја веројатност и фреквенција со која ќе се случи овој настан, под услов да се задржат првичните карактеристики. Како што рековме претходно, невозможно е точно да се пресмета веројатноста за кој било настан - може да се совпадне или не. Така, вашиот облог може или да победи или да изгуби.

Не може да има 100% точна прогноза за резултатите од натпреварувањето, бидејќи многу фактори влијаат на исходот на натпреварот. Нормално, обложувалниците однапред не го знаат исходот од натпреварот и само го претпоставуваат резултатот, донесувајќи одлуки користејќи го нивниот систем за анализа и нудејќи одредени коефициенти за обложување.

Како да се пресмета веројатноста за настан?

Да претпоставиме дека шансите на букмејкерот се 2,1/2 - добиваме 50%. Излегува дека коефициентот 2 е еднаков на веројатноста од 50%. Користејќи го истиот принцип, можете да добиете коефициент на веројатност за рентабилност - 1/веројатност.

Многу играчи мислат дека по неколку повторени порази дефинитивно ќе се случи победа - ова е погрешно мислење. Веројатноста да се добие облог не зависи од бројот на загуби. Дури и ако превртите неколку глави по ред во игра со монети, веројатноста за превртување на опашките останува иста - 50%.

Што е веројатност?

Првиот пат кога го сретнав овој термин, немаше да разберам што е тоа. Затоа, ќе се обидам јасно да објаснам.

Веројатноста е шанса да се случи настанот што го сакаме.

На пример, решивте да одите кај некој пријател, се сеќавате на влезот, па дури и на подот на кој живее. Но, го заборавив бројот и локацијата на станот. И сега стоите на скалите, а пред вас има врати за избор.

Која е шансата (веројатноста) ако заѕвониш на првото ѕвонче, твојот пријател да ти одговори на вратата? Има само станови, а пријател живее само зад еден од нив. Со еднакви шанси можеме да избереме која било врата.

Но, каква е оваа шанса?

Вратата, вистинската врата. Веројатност за погодување со ѕвонење на првото ѕвонче: . Односно, еднаш од три точно ќе погодите.

Сакаме да знаеме, откако еднаш се јавивме, колку често ќе ја погодиме вратата? Ајде да ги погледнеме сите опции:

  1. Ти се јави 1-виврата
  2. Ти се јави 2врата
  3. Ти се јави 3-тиврата

Сега да ги погледнеме сите опции каде што може да биде пријател:

А. Зад 1-вивратата
б. Зад 2вратата
В. Зад 3-тивратата

Ајде да ги споредиме сите опции во форма на табела. Ознаката за проверка означува опции кога вашиот избор се совпаѓа со локацијата на пријателот, крстот - кога не се совпаѓа.

Како гледаш се Можеби опциилокацијата на вашиот пријател и вашиот избор на која врата да ѕвони.

А поволни исходи на сите . Односно, еднаш ќе погодите со еднаш ѕвонење на вратата, т.е. .

Ова е веројатност - односот на поволен исход (кога вашиот избор се совпаѓа со локацијата на вашиот пријател) до бројот на можни настани.

Дефиницијата е формулата. Веројатноста обично се означува со p, така што:

Не е многу погодно да се напише таква формула, така што ќе земеме за - бројот на поволни исходи и за - вкупниот број на исходи.

Веројатноста може да се напише како процент; за да го направите ова, треба да го помножите добиениот резултат со:

Зборот „исходи“ веројатно ви го привлече вниманието. Затоа што математичарите се јавуваат различни акции(кај нас таквата акција е ѕвонче на врата) експерименти, тогаш резултатот од таквите експерименти обично се нарекува исход.

Па, има поволни и неповолни исходи.

Да се ​​вратиме на нашиот пример. Да речеме, заѕвонивме на една од вратите, но таа ни беше отворена странец. Не погодивме правилно. Која е веројатноста ако заѕвониме на една од преостанатите врати, нашиот пријател ќе ни ја отвори?

Ако мислевте така, тогаш ова е грешка. Ајде да го сфатиме.

Ни останаа две врати. Значи, имаме можни чекори:

1) Јавете се 1-виврата
2) Јавете се 2врата

Пријателот, и покрај сето ова, дефинитивно стои зад еден од нив (на крајот на краиштата, тој не стоеше зад оној што го повикавме):

а) Пријател за 1-вивратата
б) Пријател за 2вратата

Ајде повторно да ја нацртаме табелата:

Како што можете да видите, постојат само опции, од кои се поволни. Тоа е, веројатноста е еднаква.

Зошто да не?

Ситуацијата што ја разгледавме е пример на зависни настани.Првиот настан е првото ѕвонче, вториот настан е второто ѕвонче.

И тие се нарекуваат зависни затоа што влијаат на следните дејства. На крајот на краиштата, ако по првото ѕвонење на вратата одговори пријател, колкава би била веројатноста тој да стои зад еден од другите двајца? Во право,.

Но, ако има зависни настани, тогаш мора и да има независна? Така е, тие се случуваат.

Пример за учебник е фрлање паричка.

  1. Фрли паричка еднаш. Која е веројатноста да се добијат глави, на пример? Така е - бидејќи постојат сите опции (или глави или опашки, ќе ја занемариме веројатноста паричката да слета на нејзиниот раб), но тоа само ни одговара.
  2. Но, дојде до глави. Добро, да го фрлиме пак. Која е веројатноста за добивање глави сега? Ништо не е сменето, се е исто. Колку опции? Две. Со колкумина сме задоволни? Еден.

И нека дојде до глави барем илјада пати по ред. Веројатноста да се добијат глави одеднаш ќе биде иста. Секогаш има опции, и поволни.

Лесно е да се разликуваат зависните настани од независни:

  1. Ако експериментот се изведе еднаш (еднаш фрлаат паричка, еднаш заѕвонуваат на вратата итн.), тогаш настаните се секогаш независни.
  2. Ако експериментот се изведе неколку пати (се фрла паричка еднаш, на вратата се ѕвони неколку пати), тогаш првиот настан е секогаш независен. И тогаш, ако се промени бројот на поволните или бројот на сите исходи, тогаш настаните се зависни, а ако не, тие се независни.

Ајде малку да вежбаме да ја одредуваме веројатноста.

Пример 1.

Паричката се фрла двапати. Која е веројатноста да се добијат глави двапати по ред?

Решение:

Ајде да разгледаме сè можни опции:

  1. Орел-орел
  2. Глави-опашки
  3. Опашки-Глави
  4. Опашки-опашки

Како што можете да видите, постојат само опции. Од нив само сме задоволни. Тоа е, веројатноста:

Ако условот бара едноставно да се најде веројатноста, тогаш одговорот треба да се даде во форма децимална. Ако се прецизираше дека одговорот треба да се даде во проценти, тогаш ќе се помножиме со.

Одговор:

Пример 2.

Во кутија со чоколади, сите чоколади се спакувани во иста обвивка. Сепак, од слатки - со јаткасти плодови, со коњак, со вишни, со карамела и со нугат.

Која е веројатноста да земете една бонбона и да добиете бонбона со јаткасти плодови? Дајте го вашиот одговор во проценти.

Решение:

Колку можни исходи има? .

Односно, ако земете една бонбона, таа ќе биде една од достапните во кутијата.

Колку поволни исходи?

Бидејќи во кутијата има само чоколади со јаткасти плодови.

Одговор:

Пример 3.

Во кутија со балони. од кои се бели и црни.

  1. Која е веројатноста да се нацрта бело топче?
  2. Додадовме уште црни топчиња во кутијата. Која е сега веројатноста да се нацрта бела топка?

Решение:

а) Во кутијата има само топки. Од нив се бели.

Веројатноста е:

б) Сега има повеќе топки во кутијата. И останаа исто толку белци - .

Одговор:

Вкупна веројатност

Веројатноста за сите можни настани е еднаква на ().

Да речеме дека има црвени и зелени топчиња во кутија. Која е веројатноста да се нацрта црвено топче? Зелена топка? Црвена или зелена топка?

Веројатност за цртање црвена топка

Зелена топка:

Црвена или зелена топка:

Како што можете да видите, збирот на сите можни настани е еднаков на (). Разбирањето на оваа точка ќе ви помогне да решите многу проблеми.

Пример 4.

Во кутијата има маркери: зелена, црвена, сина, жолта, црна.

Која е веројатноста да се нацрта НЕ црвен маркер?

Решение:

Ајде да го изброиме бројот поволни исходи.

НЕ е црвен маркер, тоа значи зелена, сина, жолта или црна.

Веројатност за сите настани. А веројатноста за настани што ги сметаме за неповолни (кога ќе извадиме црвен маркер) е .

Така, веројатноста за извлекување на НЕ црвено фломастер е .

Одговор:

Веројатноста дека некој настан нема да се случи е еднаква на минус веројатноста дека настанот ќе се случи.

Правило за множење на веројатностите на независни настани

Веќе знаете што се независни настани.

Што ако треба да ја пронајдете веројатноста дека два (или повеќе) независни настани ќе се случат по ред?

Да речеме дека сакаме да знаеме колкава е веројатноста дека ако превртиме паричка еднаш, ќе видиме глави двапати?

Веќе разгледавме - .

Што ако еднаш фрлиме паричка? Која е веројатноста да се види орел двапати по ред?

Вкупно можни опции:

  1. Орел-орел-орел
  2. Глави-глави-опашки
  3. Глави-опашки-глави
  4. Глави-опашки-опашки
  5. Опашки-глави-глави
  6. Опашки-глави-опашки
  7. Опашки-опашки-глави
  8. Опашки-опашки-опашки

Не знам за вас, но неколку пати направив грешки при составувањето на оваа листа. Леле! И единствената опција (првата) ни одговара.

За 5 фрлања, можете сами да направите листа на можни исходи. Но, математичарите не се толку вредни како тебе.

Затоа, тие прво забележале, а потоа докажале дека веројатноста за одредена низа на независни настани секој пат се намалува за веројатноста за еден настан.

Со други зборови,

Да го погледнеме примерот на истата несреќна монета.

Веројатност за добивање глави во предизвик? . Сега ја превртуваме паричката еднаш.

Која е веројатноста да се добијат глави во низа?

Ова правило не функционира само ако од нас се бара да ја најдеме веројатноста дека истиот настан ќе се случи неколку пати по ред.

Ако сакаме да ја најдеме низата опашки-глави-опашки за последователни фрлања, би го направиле истото.

Веројатноста за слетување глави е - , глави - .

Веројатноста да се добие низата опашки-глави-опашки-опашки:

Можете сами да го проверите со правење табела.

Правило за собирање на веројатностите за некомпатибилни настани.

Затоа застанете! Нова дефиниција.

Ајде да го сфатиме. Да ја земеме нашата истрошена паричка и да ја фрлиме еднаш.
Можни опции:

  1. Орел-орел-орел
  2. Глави-глави-опашки
  3. Глави-опашки-глави
  4. Глави-опашки-опашки
  5. Опашки-глави-глави
  6. Опашки-глави-опашки
  7. Опашки-опашки-глави
  8. Опашки-опашки-опашки

Значи, некомпатибилните настани се одредена, дадена низа на настани. - ова се некомпатибилни настани.

Ако сакаме да одредиме колкава е веројатноста за два (или повеќе) некомпатибилни настани, тогаш ги додаваме веројатностите на овие настани.

Треба да разберете дека главите или опашките се два независни настани.

Ако сакаме да ја одредиме веројатноста за појава на низа (или која било друга), тогаш го користиме правилото за множење на веројатностите.
Која е веројатноста да се добијат глави при првото фрлање, а опашки на второто и третото фрлање?

Но, ако сакаме да знаеме колкава е веројатноста да се добие една од неколкуте секвенци, на пример, кога главите ќе се појават точно еднаш, т.е. опции и, тогаш мора да ги собереме веројатностите на овие секвенци.

Вкупните опции ни одговараат.

Можеме да го добиеме истото со собирање на веројатностите за појава на секоја низа:

Така, додаваме веројатности кога сакаме да ја одредиме веројатноста за одредени, неконзистентни, секвенци на настани.

Постои одлично правило кое ќе ви помогне да не се збуните кога да множите и кога да собирате:

Да се ​​вратиме на примерот кога еднаш фрливме паричка и сакавме да ја знаеме веројатноста еднаш да видиме глави.
Што ќе се случи?

Треба да испадне:
(глави И опашки И опашки) ИЛИ (опашки И глави И опашки) ИЛИ (опашки И опашки И глави).
Вака испаѓа:

Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример 5.

Во кутијата има моливи. црвена, зелена, портокалова и жолта и црна. Која е веројатноста за цртање црвени или зелени моливи?

Решение:

Што ќе се случи? Мораме да повлечеме (црвено ИЛИ зелено).

Сега е јасно, ајде да ги собереме веројатностите за овие настани:

Одговор:

Пример 6.

Ако матрицата се фрли двапати, колкава е веројатноста да се добијат вкупно 8?

Решение.

Како можеме да добиеме поени?

(и) или (и) или (и) или (и) или (и).

Веројатноста да се добие едно (кое) лице е .

Ја пресметуваме веројатноста:

Одговор:

Обука.

Мислам дека сега разбирате кога треба да ги пресметате веројатностите, кога да ги соберете и кога да ги множите. Не е тоа? Ајде да вежбаме малку.

Задачи:

Ајде да земеме шпил со карти што содржи карти вклучувајќи лопати, срца, 13 палки и 13 дијаманти. Од до кец на секој костум.

  1. Која е веројатноста да се нацртаат палки по ред (првата извадена карта ја ставаме назад во палубата и ја мешаме)?
  2. Која е веројатноста да се извлече црна карта (лопати или палки)?
  3. Која е веројатноста да се нацрта слика (џек, кралица, крал или кец на десетка)?
  4. Која е веројатноста да се нацртаат две слики по ред (ја отстрануваме првата карта од палубата)?
  5. Која е веројатноста, земајќи две карти, да соберете комбинација - (џек, кралица или крал) и кец? Редоследот по кој се извлекуваат картите не е важен.

Одговори:

  1. Во шпил карти со секоја вредност, тоа значи:
  2. Настаните се зависни, бидејќи по извлекувањето на првата картичка, бројот на картички во палубата се намали (како и бројот на „слики“). На палубата првично има тотални дигалки, кралици, кралеви и асови, што значи веројатност да се нацрта „слика“ со првата карта:

    Бидејќи ја отстрануваме првата картичка од палубата, тоа значи дека веќе има оставени картички на палубата, вклучувајќи и слики. Веројатност за цртање слика со втората картичка:

    Бидејќи нè интересира ситуацијата кога ќе извадиме „слика“ И „слика“ од палубата, треба да ги помножиме веројатностите:

    Одговор:

  3. Откако ќе се извади првата карта, бројот на картички во палубата ќе се намали. Така, ни одговараат две опции:
    1) Првата картичка е кец, втората е Џек, кралица или крал
    2) Со првата карта вадиме џек, кралица или крал, а со втората кец. (кец и (џек или кралица или крал)) или ((џек или кралица или крал) и кец на десетка). Не заборавајте за намалување на бројот на картички во палубата!

Ако сте биле во можност сами да ги решите сите проблеми, тогаш сте одлични! Сега ќе ги кршите проблемите со теоријата на веројатност на обединет државен испит како ореви!

ТЕОРИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТИ. ПРОСЕЧНО НИВО

Ајде да погледнеме на пример. Да речеме дека фрламе матрица. Каква коска е ова, знаеш ли? Ова е она што тие го нарекуваат коцка со бројки на нејзините лица. Колку лица, толку броеви: од до колку? Пред.

Така ги фрламе коцките и сакаме да дојде или. И го добиваме.

Во теоријата на веројатност велат што се случило поволен настан(да не се меша со просперитетна).

Да се ​​случеше и настанот ќе беше поволен. Севкупно, може да се случат само два поволни настани.

Колку се неповолни? Бидејќи има вкупно можни настани, тоа значи дека неповолните се настани (ова е ако или испадне).

Дефиниција:

Веројатноста е односот на бројот на поволни настани со бројот на сите можни настани. Односно, веројатноста покажува колкав дел од сите можни настани се поволни.

Веројатноста се означува со латинска буква (очигледно од Англиски зборверојатност - веројатност).

Вообичаено е да се мери веројатноста како процент (види теми и). За да го направите ова, вредноста на веројатноста мора да се помножи со. Во примерот со коцки, веројатност.

И во проценти:.

Примери (одлучете сами):

  1. Која е веројатноста да добиете глави при фрлање паричка? Која е веројатноста за слетување на главите?
  2. Кога фрлате коцка, колкава е веројатноста да добиете парен број? Која е чудна?
  3. Во кутија со едноставни, сини и црвени моливи. По случаен избор цртаме еден молив. Која е веројатноста да се добие едноставна?

Решенија:

  1. Колку опции има? Глави и опашки - само две. Колку од нив се поволни? Само еден е орел. Значи, веројатноста

    Исто е и со опашките: .

  2. Вкупно опции: (колку страни има коцката, толку многу различни опции). Поволни: (сите се парни броеви:).
    Веројатност. Се разбира, истото е и со непарните броеви.
  3. Вкупно: . Поволни:. Веројатност: .

Вкупна веројатност

Сите моливи во кутијата се зелени. Која е веројатноста да се нацрта црвен молив? Нема шанси: веројатност (на крајот на краиштата, поволни настани -).

Таков настан се нарекува невозможен.

Која е веројатноста за цртање зелен молив? Има точно ист број на поволни настани колку што има вкупни настани (сите настани се поволни). Значи, веројатноста е еднаква на или.

Таквиот настан се нарекува сигурен.

Ако кутијата содржи зелени и црвени моливи, колкава е веројатноста да се нацрта зелено или црвено? Уште еднаш. Да го забележиме ова: веројатноста за извлекување зелена е еднаква, а црвената е еднаква.

Во сума, овие веројатности се точно еднакви. Тоа е, збирот на веројатностите на сите можни настани е еднаков на или.

Пример:

Во кутија со моливи, меѓу нив има сина, црвена, зелена, обична, жолта, а останатите се портокалови. Која е веројатноста да не се нацрта зелено?

Решение:

Се сеќаваме дека сите веројатности се собираат. И веројатноста за добивање зелена е еднаква. Ова значи дека веројатноста да не се нацрта зелено е еднаква.

Запомнете го овој трик:Веројатноста дека некој настан нема да се случи е еднаква на минус веројатноста дека настанот ќе се случи.

Независни настани и правилото за множење

Еднаш вртиш паричка и сакаш двата пати да дојде до главите. Која е веројатноста за ова?

Ајде да ги разгледаме сите можни опции и да одредиме колку има:

Глави-глави, опашки-глави, глави-опашки, опашки-опашки. Што друго?

Вкупно опции. Од нив само еден ни одговара: Орел-Орел. Севкупно, веројатноста е еднаква.

Добро. Сега ајде да превртиме паричка еднаш. Направете ја математиката сами. Се случи? (одговор).

Можеби сте забележале дека со додавање на секое следно фрлање, веројатноста се намалува за половина. Општо правилоповикани правило за множење:

Веројатноста за независни настани се менуваат.

Што се независни настани? Сè е логично: тоа се оние кои не зависат еден од друг. На пример, кога фрламе паричка неколку пати, секој пат кога се прави ново фрлање, чиј резултат не зависи од сите претходни фрлања. Исто толку лесно можеме да фрлиме две различни монети во исто време.

Повеќе примери:

  1. Коцките се фрлаат двапати. Која е веројатноста да се добие и двата пати?
  2. Паричката се фрла еднаш. Која е веројатноста првиот пат да дојде до глави, а потоа двапати да се спушти?
  3. Играчот фрла две коцки. Која е веројатноста збирот на броевите на нив да биде еднаков?

Одговори:

  1. Настаните се независни, што значи дека правилото за множење функционира: .
  2. Веројатноста за глави е еднаква. Веројатноста за опашки е иста. Множете се:
  3. 12 може да се добие само ако се тркалаат две -ки: .

Некомпатибилни настани и правилото за собирање

Настаните кои се надополнуваат еден со друг до точка на целосна веројатност се нарекуваат некомпатибилни. Како што сугерира името, тие не можат да се случат истовремено. На пример, ако превртиме паричка, таа може да дојде до глави или опашки.

Пример.

Во кутија со моливи, меѓу нив има сина, црвена, зелена, обична, жолта, а останатите се портокалови. Која е веројатноста да се нацрта зелено или црвено?

Решение .

Веројатноста за цртање зелен молив е еднаква. Црвено -.

Поволни настани во сите: зелено + црвено. Ова значи дека веројатноста за цртање зелено или црвено е еднаква.

Истата веројатност може да се претстави во оваа форма: .

Ова е правилото за додавање:се собираат веројатностите за некомпатибилни настани.

Проблеми од мешан тип

Пример.

Паричката се фрла двапати. Која е веројатноста резултатите од ролните да бидат различни?

Решение .

Ова значи дека ако првиот резултат се глави, вториот мора да бидат опашки, и обратно. Излегува дека има два пара независни настани и овие парови се некомпатибилни едни со други. Како да не се збуниш каде да множиш и каде да собираш.

Постои едноставно правило за такви ситуации. Обидете се да опишете што ќе се случи користејќи ги сврзниците „И“ или „ИЛИ“. На пример, во овој случај:

Треба да излезе нагоре (глави и опашки) или (опашки и глави).

Онаму каде што има сврзник „и“ ќе има множење, а каде што има „или“ ќе има собирање:

Пробајте го сами:

  1. Која е веројатноста дека ако монета се фрли двапати, паричката и двата пати ќе слета на истата страна?
  2. Коцките се фрлаат двапати. Која е веројатноста да се добијат вкупно поени?

Решенија:

  1. (Паднаа глави и паднаа опашки) или (опашки паднаа и опашки паднаа): .
  2. Кои се опциите? И. Потоа:
    Падна (и) или (и) или (и): .

Друг пример:

Фрли паричка еднаш. Која е веројатноста главите да се појават барем еднаш?

Решение:

О, колку не сакам да поминувам низ опциите... Глави-опашки-опашки, орел-глави-опашки,... Но нема потреба! Да се ​​потсетиме на вкупната веројатност. Дали се сеќаваш? Која е веројатноста дека орелот никогаш нема да испадне? Едноставно е: главите летаат цело време, затоа.

ТЕОРИЈА НА ВЕРОЈАТНОСТИ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Веројатноста е односот на бројот на поволни настани со бројот на сите можни настани.

Независни настани

Два настани се независни ако појавата на едниот не ја менува веројатноста за појава на другиот.

Вкупна веројатност

Веројатноста за сите можни настани е еднаква на ().

Веројатноста дека некој настан нема да се случи е еднаква на минус веројатноста дека настанот ќе се случи.

Правило за множење на веројатностите на независни настани

Веројатноста за одредена низа на независни настани е еднаква на производот од веројатностите на секој настан

Некомпатибилни настани

Некомпатибилни настани се оние што не може да се случат истовремено како резултат на експеримент. Голем број на некомпатибилни настани формираат целосна група на настани.

Веројатноста за некомпатибилни настани се собираат.

Откако опишавме што треба да се случи, користејќи ги сврзниците „И“ или „ИЛИ“, наместо „И“ ставаме знак за множење, а наместо „ИЛИ“ ставаме знак за собирање.

„Несреќите не се случајни“... Звучи како нешто што рекол некој филозоф, но всушност, проучувањето на случајноста е судбината на големата наука за математиката. Во математиката, случајноста се занимава со теоријата на веројатност. Формулите и примерите на задачите, како и главните дефиниции на оваа наука ќе бидат претставени во статијата.

Што е теорија на веројатност?

Теоријата на веројатност е една од математичките дисциплини што ги проучува случајните настани.

За да биде малку појасно, да дадеме мал пример: ако фрлите паричка нагоре, таа може да слета на главите или опашките. Додека паричката е во воздухот, двете од овие веројатности се можни. Односно, веројатноста за можни последици е 1:1. Ако некој е извлечен од шпил од 36 карти, тогаш веројатноста ќе биде означена како 1:36. Се чини дека тука нема што да се истражува и предвидува, особено со помош на математички формули. Меѓутоа, ако повторувате одредена акција многу пати, можете да идентификувате одредена шема и, врз основа на неа, да го предвидите исходот на настаните во други услови.

Да го резимираме сето горенаведено, теоријата на веројатност во класична смисла ја проучува можноста за појава на еден од можните настани во нумеричка вредност.

Од страниците на историјата

Теоријата на веројатност, формули и примери на првите задачи се појавија во далечниот среден век, кога првпат се појавија обиди да се предвиди исходот од игрите со карти.

Првично, теоријата на веројатност немаше никаква врска со математиката. Тоа беше оправдано со емпириски факти или својства на настан што може да се репродуцира во пракса. Првите работи во оваа област како во математичка дисциплинасе појави во 17 век. Основачи биле Блез Паскал и Пјер Ферма. Долго времестудирале коцкање и виделе одредени обрасци за кои решиле да му кажат на општеството.

Истата техника ја измислил Кристиан Хајгенс, иако не бил запознаен со резултатите од истражувањето на Паскал и Ферма. Концептот на „теорија на веројатност“, формули и примери, кои се сметаат за први во историјата на дисциплината, беа воведени од него.

Не мала важност се и делата на Јакоб Бернули, теоремите на Лаплас и Поасон. Тие ја направија теоријата на веројатност повеќе како математичка дисциплина. Теоријата на веројатност, формулите и примерите на основните задачи ја добија својата сегашна форма благодарение на аксиомите на Колмогоров. Како резултат на сите промени, теоријата на веројатност стана една од математичките гранки.

Основни концепти на теоријата на веројатност. Настани

Главниот концепт на оваа дисциплина е „настан“. Постојат три типа на настани:

  • Сигурен.Оние што и онака ќе се случат (паричката ќе падне).
  • Невозможно.Настани кои нема да се случат под никакви околности (паричката ќе остане да виси во воздухот).
  • Случајно.Оние кои ќе се случат или нема да се случат. Тие можат да бидат под влијание на различни фактори кои е многу тешко да се предвидат. Ако зборуваме за паричка, тогаш случајни фактори кои можат да влијаат на резултатот: физички карактеристикимонетите, неговата форма, почетната положба, силата на фрлање итн.

Сите настани во примерите се означени со големи латински букви, со исклучок на P, кој има различна улога. На пример:

  • A = „студентите дојдоа на предавање“.
  • Ā = „студентите не дојдоа на предавање“.

ВО практични задачиНастаните обично се снимаат со зборови.

Една од најважните карактеристики на настаните е нивната еднаква можност. Односно, ако фрлите паричка, можни се сите варијанти на почетниот пад додека не падне. Но, настаните исто така не се подеднакво можни. Ова се случува кога некој намерно влијае на исходот. На пример, „етикетирани“ карти за играњеили коцки, во кои центарот се префрлигравитација.

Настаните исто така можат да бидат компатибилни и некомпатибилни. Компатибилните настани не ја исклучуваат меѓусебната појава. На пример:

  • A = „студентот дојде на предавањето“.
  • Б = „студентот дојде на предавање“.

Овие настани се независни еден од друг, а појавата на еден од нив не влијае на појавата на другиот. Некомпатибилните настани се дефинираат со тоа што појавата на еден ја исклучува појавата на друга. Ако зборуваме за иста монета, тогаш губењето на „опашките“ го оневозможува појавувањето на „главите“ во истиот експеримент.

Акции на настани

Настаните може да се множат и додаваат; соодветно, во дисциплината се воведуваат логички врски „И“ и „ИЛИ“.

Износот се определува со фактот дека или настан А или Б, или два, може да се случат истовремено. Ако тие се некомпатибилни, последната опција е невозможна; или А или Б ќе се тркалаат.

Множењето на настаните се состои во појавување на А и Б во исто време.

Сега можеме да дадеме неколку примери за подобро да ги запомниме основите, теоријата на веројатност и формулите. Примери за решавање проблеми подолу.

Вежба 1: Компанијата учествува на конкурс за добивање договори за три вида работа. Можни настани што може да се случат:

  • A = „фирмата ќе го добие првиот договор“.
  • A 1 = „фирмата нема да го добие првиот договор“.
  • Б = „фирмата ќе добие втор договор“.
  • Б 1 = „фирмата нема да добие втор договор“
  • C = „фирмата ќе добие трет договор“.
  • C 1 = „фирмата нема да добие трет договор“.

Користејќи дејства за настани, ќе се обидеме да ги изразиме следните ситуации:

  • К = „компанијата ќе ги добие сите договори“.

ВО математичка формаравенката ќе ја има следната форма: K = ABC.

  • М = „компанијата нема да добие ниту еден договор“.

M = A 1 B 1 C 1.

Ајде да ја комплицираме задачата: H = „компанијата ќе добие еден договор“. Бидејќи не е познато кој договор ќе го добие компанијата (прв, втор или трет), потребно е да се сними целата серија можни настани:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

И 1 п.н.е. 1 е серија на настани каде што фирмата не ги добива првиот и третиот договор, туку го добива вториот. Други можни настани беа снимени со користење на соодветниот метод. Симболот υ во дисциплината го означува сврзното „ИЛИ“. Ако го преведеме горниот пример на човечки јазик, компанијата ќе го добие или третиот договор, или вториот или првиот. На сличен начин, можете да запишете и други услови во дисциплината „Теорија на веројатност“. Формулите и примерите за решавање проблеми претставени погоре ќе ви помогнат да го направите тоа сами.

Всушност, веројатноста

Можеби, во оваа математичка дисциплина, веројатноста за настан е централниот концепт. Постојат 3 дефиниции за веројатност:

  • класичен;
  • статистички;
  • геометриски.

Секој има свое место во проучувањето на веројатноста. Теоријата на веројатност, формули и примери (9-то одделение) главно ја користат класичната дефиниција, која звучи вака:

  • Веројатноста на ситуацијата А е еднаква на односот на бројот на исходи кои го фаворизираат нејзиното појавување со бројот на сите можни исходи.

Формулата изгледа вака: P(A)=m/n.

А е всушност настан. Ако се појави падеж спротивен на А, може да се напише како Ā или A 1 .

m е бројот на можни поволни случаи.

n - сите настани што можат да се случат.

На пример, A = „нацртајте карта од костим за срце“. Има 36 карти во стандардна палуба, 9 од нив се со срца. Според тоа, формулата за решавање на проблемот ќе изгледа вака:

P(A)=9/36=0,25.

Како резултат на тоа, веројатноста дека картата на срцевиот костум ќе биде извлечена од палубата ќе биде 0,25.

Кон виша математика

Сега стана малку познато што е теорија на веројатност, формули и примери за решавање проблеми што се среќаваат во училишна наставна програма. Меѓутоа, теоријата на веројатност се среќава и во вишата математика, која се изучува на универзитетите. Најчесто тие работат со геометриски и статистички дефиниции на теоријата и сложени формули.

Теоријата на веројатност е многу интересна. Подобро е да се започне со изучување на формули и примери (повисока математика) мали - со статистичка (или фреквенција) дефиниција на веројатност.

Статистичкиот пристап не му противречи на класичниот, туку малку го проширува. Ако во првиот случај беше неопходно да се утврди со каква веројатност ќе се случи некој настан, тогаш во овој метод е неопходно да се наведе колку често ќе се случи. Овде се воведува нов концепт на „релативна фреквенција“, кој може да се означи со W n (A). Формулата не се разликува од класичната:

Ако класичната формула се пресметува за предвидување, тогаш статистичката се пресметува според резултатите од експериментот. Да земеме на пример мала задача.

Одделот за технолошка контрола ги проверува производите за квалитет. Од 100 производи, за 3 е утврдено дека се неквалитетни. Како да ја пронајдете веројатноста за фреквенција на квалитетен производ?

A = „изглед на квалитетен производ“.

W n (A)=97/100=0,97

Така, фреквенцијата на квалитетен производ е 0,97. Од каде ти 97? Од 100 проверени производи, кај 3 е утврдено дека се неквалитетни. Одземаме 3 од 100 и добиваме 97, ова е количината на квалитетна стока.

Малку за комбинаториката

Друг метод на теоријата на веројатност се нарекува комбинаторика. Нејзиниот основен принцип е дека ако може да се направи одреден избор А м различни начини, а изборот на B е на n различни начини, тогаш изборот на A и B може да се направи со множење.

На пример, има 5 патишта кои водат од градот А до градот Б. Има 4 патеки од градот Б до градот Ц. На колку начини можете да стигнете од градот А до градот Ц?

Едноставно е: 5x4=20, односно на дваесет различни начини можете да стигнете од точката А до точката C.

Ајде да ја комплицираме задачата. Колку начини има да се постават картички во пасијанс? Има 36 карти на палубата - ова е почетната точка. За да го дознаете бројот на начини, треба да „одземете“ по една картичка од почетната точка и да се множите.

Односно, 36x35x34x33x32...x2x1= резултатот не се вклопува на екранот на калкулаторот, па едноставно може да се означи 36!. Знак "!" веднаш до бројот означува дека целата серија на броеви се множи заедно.

Во комбинаториката постојат такви концепти како пермутација, поставеност и комбинација. Секој од нив има своја формула.

Подредено множество елементи на множеството се нарекува распоред. Поставувањата може да се повторат, односно еден елемент може да се користи неколку пати. И без повторување, кога елементите не се повторуваат. n се сите елементи, m се елементи кои учествуваат во поставувањето. Формулата за поставување без повторување ќе изгледа вака:

A n m =n!/(n-m)!

Врските на n елементи кои се разликуваат само по редоследот на поставеноста се нарекуваат пермутации. Во математиката изгледа вака: P n = n!

Комбинации од n елементи од m се оние соединенија во кои е важно кои елементи биле и колкав е нивниот вкупен број. Формулата ќе изгледа вака:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формулата на Бернули

Во теоријата на веројатност, како и во секоја дисциплина, постојат дела на извонредни истражувачи во својата област кои ја подигнале на ново ниво. Едно од овие дела е формулата Бернули, која ви овозможува да ја одредите веројатноста одреден настан да се случи под независни услови. Ова сугерира дека појавата на А во експеримент не зависи од појавата или непојавувањето на истиот настан во претходни или последователни испитувања.

Бернулиова равенка:

P n (m) = C n m × p m ×q n-m.

Веројатноста (p) за појава на настанот (А) е константна за секое испитување. Веројатноста дека ситуацијата ќе се случи точно m пати во n број на експерименти ќе се пресмета со формулата претставена погоре. Според тоа, се поставува прашањето како да се дознае бројот q.

Ако настанот А се случи p неколку пати, соодветно, тој може да не се случи. Единица е број кој се користи за означување на сите исходи од ситуацијата во дисциплината. Според тоа, q е број кој ја означува можноста некој настан да не се случи.

Сега ја знаете формулата на Бернули (теорија на веројатност). Подолу ќе разгледаме примери за решавање проблеми (прво ниво).

Задача 2:Посетител на продавница ќе купи со веројатност 0,2. 6 посетители самостојно влегоа во продавницата. Која е веројатноста посетителот да купи?

Решение: Бидејќи не е познато колку посетители треба да купат, еден или сите шест, потребно е да се пресметаат сите можни веројатности со помош на формулата Бернули.

A = „посетителот ќе купи“.

Во овој случај: p = 0,2 (како што е наведено во задачата). Според тоа, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (бидејќи во продавницата има 6 клиенти). Бројот m ќе варира од 0 (ниту еден клиент нема да купи) до 6 (сите посетители на продавницата ќе купат нешто). Како резултат, го добиваме решението:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 ×q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ниту еден од купувачите нема да изврши купување со веројатност 0,2621.

Како инаку се користи формулата на Бернули (теорија на веројатност)? Примери за решавање проблеми (второ ниво) подолу.

По горниот пример, се поставуваат прашања за тоа каде отишле C и r. Во однос на p, број со јачина од 0 ќе биде еднаков на еден. Што се однесува до C, може да се најде со формулата:

C n m = n! /m!(n-m)!

Бидејќи во првиот пример m = 0, соодветно, C = 1, што во принцип не влијае на резултатот. Користејќи ја новата формула, ајде да се обидеме да дознаеме колкава е веројатноста двајца посетители да купат стока.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Теоријата на веројатност не е толку комплицирана. Формулата на Бернули, чии примери се претставени погоре, е директен доказ за тоа.

Поасонова формула

Поасоновата равенка се користи за пресметување на случајни ситуации со мала веројатност.

Основна формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Во овој случај λ = n x стр. Еве едноставна Поасонова формула (теорија на веројатност). Подолу ќе разгледаме примери за решавање проблеми.

Задача 3: Фабриката произведе 100.000 делови. Појава на неисправен дел = 0,0001. Која е веројатноста да има 5 неисправни делови во една серија?

Како што можете да видите, бракот е неверојатен настан, и затоа формулата на Поасон (теорија на веројатност) се користи за пресметка. Примерите за решавање проблеми од овој вид не се разликуваат од другите задачи во дисциплината; ние ги заменуваме потребните податоци во дадената формула:

A = „случајно избраниот дел ќе биде неисправен“.

p = 0,0001 (според условите на задачата).

n = 100000 (број на делови).

m = 5 (неисправни делови). Ги заменуваме податоците во формулата и добиваме:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Исто како Бернулиевата формула (теорија на веројатност), примери на решенија со кои се напишани погоре, Поасоновата равенка има непозната e. Всушност, таа може да се најде со формулата:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Сепак, постојат посебни табели кои ги содржат скоро сите вредности на e.

Де Мовр-Лапласова теорема

Ако во Бернулиевата шема бројот на испитувања е доволно голем, а веројатноста за појава на настанот А во сите шеми е иста, тогаш веројатноста за појава на настанот А одреден број пати во низа тестови може да се најде со Лапласовата формула:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

За подобро да се потсетиме на формулата на Лаплас (теорија на веројатност), примерите на проблеми се подолу за да помогнат.

Прво, да го најдеме X m, да ги замениме податоците (сите се наведени погоре) во формулата и да добиеме 0,025. Користејќи ги табелите, го наоѓаме бројот ϕ(0,025), чија вредност е 0,3988. Сега можете да ги замените сите податоци во формулата:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Така, веројатноста дека флаерот ќе работи точно 267 пати е 0,03.

Формула на Бејс

Бејсовата формула (теорија на веројатност), примери за решавање проблеми со чија помош ќе бидат дадени подолу, е равенка која ја опишува веројатноста за настан врз основа на околностите што би можеле да се поврзат со него. Основната формула е како што следува:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

А и Б се дефинитивни настани.

P(A|B) е условна веројатност, односно настанот А може да се случи под услов настанот Б да е вистинит.

P (B|A) - условна веројатност на настанот Б.

Значи, последниот дел од краткиот курс „Теорија на веројатност“ е Бајсовата формула, примери за решенија на проблемите со кои се дадени подолу.

Задача 5: Во магацинот биле донесени телефони од три фирми. Во исто време, уделот на телефоните што се произведуваат во првата фабрика е 25%, во втората - 60%, во третата - 15%. Исто така, познато е дека просечниот процент на неисправни производи во првата фабрика е 2%, во втората - 4%, а во третата - 1%. Треба да ја пронајдете веројатноста случајно избраниот телефон да биде дефектен.

A = „случајно избран телефон“.

Б 1 - телефонот што го произведе првата фабрика. Според тоа, ќе се појават воведните B 2 и B 3 (за втората и третата фабрика).

Како резултат добиваме:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - така ја најдовме веројатноста за секоја опција.

Сега треба да ги пронајдете условните веројатности за посакуваниот настан, односно веројатноста за неисправни производи во компаниите:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Сега да ги замениме податоците во формулата на Бејс и да добиеме:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Статијата претставува теорија на веројатност, формули и примери за решавање проблеми, но ова е само врвот на ледениот брег на огромна дисциплина. И после се што е напишано, логично ќе биде да се постави прашањето дали е потребна теоријата на веројатност во животот. На обичниот човекТешко е да се одговори, подобро е да прашате некој што го користел да освои џекпот повеќе од еднаш.