Секции: Математика

Класа: 11

Лекција 1

Тема: 11 одделение (подготовка за единствен државен испит)

Поедноставување тригонометриски изрази.

Наједноставно решение тригонометриски равенки. (2 часа)

Цели:

  • Систематизирајте, генерализирајте, проширете ги знаењата и вештините на учениците поврзани со употребата на формули за тригонометрија и решавање едноставни тригонометриски равенки.

Опрема за лекцијата:

Структура на лекцијата:

  1. Организациски момент
  2. Тестирање на лаптопи. Дискусијата за резултатите.
  3. Поедноставување на тригонометриски изрази
  4. Решавање едноставни тригонометриски равенки
  5. Самостојна работа.
  6. Резиме на лекција. Објаснување на домашната задача.

1. Организациски момент. (2 минути.)

Наставникот ги поздравува присутните, ја најавува темата на часот, ги потсетува дека претходно имале задача да ги повторуваат формулите за тригонометрија и ги подготвува учениците за тестирање.

2. Тестирање. (15 мин + 3 мин дискусија)

Целта е да се тестира знаењето тригонометриски формулии способноста да се применат. Секој ученик има лаптоп на своето биро со верзија на тестот.

Може да има било кој број опции, ќе дадам пример за една од нив:

I опција.

Поедноставете ги изразите:

а) основни тригонометриски идентитети

1. грев 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули за собирање

3. sin5x - sin3x;

в) претворање на производ во збир

6. 2sin8y cos3y;

г) формули со двоен агол

7. 2sin5x cos5x;

д) формули за полуагли

ѓ) формули со троен агол

е) универзална замена

ж) намалување на степенот

16. cos 2 (3x/7);

Учениците ги гледаат своите одговори на лаптопот до секоја формула.

Работата веднаш се проверува од компјутерот. Резултатите се прикажуваат на голем екран за сите да ги видат.

Исто така, по завршувањето на работата, точните одговори се прикажуваат на лаптопите на учениците. Секој ученик гледа каде е направена грешката и кои формули треба да ги повтори.

3. Поедноставување на тригонометриските изрази. (25 мин.)

Целта е да се повтори, вежба и консолидира употребата на основните формули за тригонометрија. Решавање задачи Б7 од Единствениот државен испит.

Во оваа фаза, препорачливо е класот да се подели на групи од силни ученици (работа самостојно со последователно тестирање) и слаби ученици кои работат со наставникот.

Задача за силни ученици (однапред подготвена на печатена основа). Главниот акцент е ставен на формулите на редукција и двоен агол, според Единствениот државен испит 2011 година.

Поедноставете ги изразите (за силни ученици):

Во исто време, наставникот работи со слаби ученици, дискутирајќи и решавајќи задачи на екранот под диктат на учениците.

Пресметајте:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Поедностави:

Време беше да се разговара за резултатите од работата на силната група.

Одговорите се појавуваат на екранот, а исто така, со помош на видео камера, работата на 5 различни ученици(по една задача за секоја).

Слабата група ја гледа состојбата и начинот на решение. Во тек се дискусии и анализи. Со употреба на технички средства тоа се случува брзо.

4. Решавање едноставни тригонометриски равенки. (30 мин.)

Целта е да се повтори, систематизира и генерализира решението на наједноставните тригонометриски равенки и да се запишат нивните корени. Решение на проблемот Б3.

Секоја тригонометриска равенка, без разлика како ја решаваме, води до наједноставното.

При завршувањето на задачата учениците треба да обрнат внимание на запишување на корените на равенките на посебни случаи и општ погледи на изборот на корените во последната равенка.

Решавање на равенки:

Запишете го најмалиот позитивен корен како одговор.

5. Самостојна работа (10 мин.)

Целта е да се тестираат стекнатите вештини, да се идентификуваат проблемите, грешките и начини за нивно отстранување.

Работата на повеќе нивоа се нуди по избор на студентот.

Опција "3"

1) Најдете ја вредноста на изразот

2) Поедностави го изразот 1 - грев 2 3α - cos 2 3α

3) Реши ја равенката

Опција за „4“

1) Најдете ја вредноста на изразот

2) Реши ја равенката Запишете го најмалиот позитивен корен во вашиот одговор.

Опција "5"

1) Најдете тана ако

2) Најдете го коренот на равенката Запишете го најмалиот позитивен корен како одговор.

6. Резиме на лекцијата (5 мин.)

Наставникот го сумира фактот дека во текот на часот повторувале и зајакнувале тригонометриски формули и решавање на наједноставните тригонометриски равенки.

Поставете домашна работа(подготвен на печатена основа однапред) со проверка на место на следниот час.

Решавање на равенки:

9)

10) Во вашиот одговор наведете го најмалиот позитивен корен.

Лекција 2

Тема: 11 одделение (подготовка за единствен државен испит)

Методи за решавање на тригонометриски равенки. Избор на корен. (2 часа)

Цели:

  • Генерализирање и систематизирање на знаењата за решавање на тригонометриски равенки од различни видови.
  • Промовирајте го развојот математичко размислувањеучениците, способноста за набљудување, споредување, генерализирање, класифицирање.
  • Поттикнете ги учениците да ги надминат тешкотиите во процесот на ментална активност, на самоконтрола и интроспекција на нивните активности.

Опрема за лекцијата: KRMu, лаптопи за секој ученик.

Структура на лекцијата:

  1. Организациски момент
  2. Дискусија за d/z и себе. работа од минатата лекција
  3. Преглед на методи за решавање тригонометриски равенки.
  4. Решавање на тригонометриски равенки
  5. Избор на корени во тригонометриски равенки.
  6. Самостојна работа.
  7. Резиме на лекција. Домашна работа.

1. Организациски момент (2 мин.)

Наставникот ја поздравува публиката, ја објавува темата на часот и планот за работа.

2. а) Анализа на домашна задача (5 мин.)

Целта е да се провери извршувањето. Едно дело се прикажува на екранот со помош на видео камера, а останатите селективно се собираат за проверка на наставниците.

б) Анализа на самостојна работа (3 мин.)

Целта е да се анализираат грешките и да се наведат начини за нивно надминување.

Одговорите и решенијата се на екранот, а на учениците однапред им е дадена работа. Анализата се одвива брзо.

3. Преглед на методи за решавање тригонометриски равенки (5 мин.)

Целта е да се потсетиме на методите за решавање на тригонометриски равенки.

Прашајте ги учениците кои методи за решавање тригонометриски равенки ги знаат. Нагласете дека постојат таканаречени основни (често користени) методи:

а постојат применети методи:

  • користејќи ги формулите за претворање на збир во производ и производ во збир,
  • според формули намалување на степенот,
  • универзална тригонометриска замена
  • воведување на помошен агол,
  • множење со некоја тригонометриска функција.

Исто така, треба да се потсети дека една равенка може да се реши на различни начини.

4. Решавање тригонометриски равенки (30 мин.)

Целта е да се генерализираат и консолидираат знаењата и вештините на оваа тема, да се подготви за решението Ц1 од Единствениот државен испит.

Сметам дека е препорачливо да се решаваат равенките за секој метод заедно со учениците.

Ученикот го диктира решението, наставникот го запишува на таблетот и целиот процес се прикажува на екранот. Ова ќе ви овозможи брзо и ефикасно да се потсетите на претходно опфатениот материјал во вашата меморија.

Решавање на равенки:

1) замена на променливата 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) факторизација 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) хомогена гревови равенки 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) претворање на збирот во производ cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) претворање на производот во збир 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) намалување на степенот sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универзална тригонометриска замена sinx + 5cosx + 5 = 0.

При решавањето на оваа равенка треба да се забележи дека со користење овој методдоведува до стеснување на опсегот на дефиниција, бидејќи синусот и косинус се заменуваат со tg(x/2). Затоа, пред да го напишете одговорот, треба да проверите дали броевите од множеството π + 2πn, n Z се коњи од оваа равенка.

8) воведување на помошен агол √3sinx + cosx - √2 = 0

9) множење со некоја тригонометриска функција cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Избор на корени на тригонометриски равенки (20 мин.)

Бидејќи во услови на жестока конкуренција при влез на универзитетите, само решавањето на првиот дел од испитот не е доволно, повеќето студенти треба да внимаваат на задачите од вториот дел (C1, C2, C3).

Затоа, целта на оваа фаза од часот е да се запамети претходно изучениот материјал и да се подготви за решавање на проблемот Ц1 од Единствениот државен испит 2011 година.

Постојат тригонометриски равенки во кои треба да изберете корени кога го пишувате одговорот. Ова се должи на некои ограничувања, на пример: именителот на дропката не е еднаков на нула, изразот под парниот корен е ненегативен, изразот под знакот логаритам е позитивен итн.

Ваквите равенки се сметаат за равенки со зголемена сложеност и во верзија на Единствениот државен испитсе во вториот дел, поточно C1.

Реши ја равенката:

Дропката е еднаква на нула ако тогаш со користење на единица кругајде да ги избереме корените (види слика 1)

Слика 1.

добиваме x = π + 2πn, n Z

Одговор: π + 2πn, n Z

На екранот, изборот на корени е прикажан на круг во слика во боја.

Производот е еднаков на нула кога барем еден од факторите е еднаков на нула, а лакот не го губи своето значење. Потоа

Користејќи го единечниот круг, ги избираме корените (види слика 2)

Секции: Математика

Класа: 11

Лекција 1

Тема: 11 одделение (подготовка за единствен државен испит)

Поедноставување на тригонометриски изрази.

Решавање едноставни тригонометриски равенки. (2 часа)

Цели:

  • Систематизирајте, генерализирајте, проширете ги знаењата и вештините на учениците поврзани со употребата на формули за тригонометрија и решавање едноставни тригонометриски равенки.

Опрема за лекцијата:

Структура на лекцијата:

  1. Организациски момент
  2. Тестирање на лаптопи. Дискусијата за резултатите.
  3. Поедноставување на тригонометриски изрази
  4. Решавање едноставни тригонометриски равенки
  5. Самостојна работа.
  6. Резиме на лекција. Објаснување на домашната задача.

1. Организациски момент. (2 минути.)

Наставникот ги поздравува присутните, ја најавува темата на часот, ги потсетува дека претходно имале задача да ги повторуваат формулите за тригонометрија и ги подготвува учениците за тестирање.

2. Тестирање. (15 мин + 3 мин дискусија)

Целта е да се тестира знаењето за тригонометриските формули и способноста за нивна примена. Секој ученик има лаптоп на своето биро со верзија на тестот.

Може да има било кој број опции, ќе дадам пример за една од нив:

I опција.

Поедноставете ги изразите:

а) основни тригонометриски идентитети

1. грев 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули за собирање

3. sin5x - sin3x;

в) претворање на производ во збир

6. 2sin8y cos3y;

г) формули со двоен агол

7. 2sin5x cos5x;

д) формули за полуагли

ѓ) формули со троен агол

е) универзална замена

ж) намалување на степенот

16. cos 2 (3x/7);

Учениците ги гледаат своите одговори на лаптопот до секоја формула.

Работата веднаш се проверува од компјутерот. Резултатите се прикажуваат на голем екран за сите да ги видат.

Исто така, по завршувањето на работата, точните одговори се прикажуваат на лаптопите на учениците. Секој ученик гледа каде е направена грешката и кои формули треба да ги повтори.

3. Поедноставување на тригонометриските изрази. (25 мин.)

Целта е да се повтори, вежба и консолидира употребата на основните формули за тригонометрија. Решавање задачи Б7 од Единствениот државен испит.

Во оваа фаза, препорачливо е класот да се подели на групи од силни ученици (работа самостојно со последователно тестирање) и слаби ученици кои работат со наставникот.

Задача за силни ученици (однапред подготвена на печатена основа). Главниот акцент е ставен на формулите на редукција и двоен агол, според Единствениот државен испит 2011 година.

Поедноставете ги изразите (за силни ученици):

Во исто време, наставникот работи со слаби ученици, дискутирајќи и решавајќи задачи на екранот под диктат на учениците.

Пресметајте:

5) sin (270º - α) + cos (270º + α)

6)

Поедностави:

Време беше да се разговара за резултатите од работата на силната група.

Одговорите се појавуваат на екранот, а исто така со помош на видео камера се прикажува трудот на 5 различни ученици (по една задача за секој).

Слабата група ја гледа состојбата и начинот на решение. Во тек се дискусии и анализи. Со употреба на технички средства тоа се случува брзо.

4. Решавање едноставни тригонометриски равенки. (30 мин.)

Целта е да се повтори, систематизира и генерализира решението на наједноставните тригонометриски равенки и да се запишат нивните корени. Решение на проблемот Б3.

Секоја тригонометриска равенка, без разлика како ја решаваме, води до наједноставното.

При завршувањето на задачата, учениците треба да внимаваат на пишување на корените на равенките на посебни случаи и општата форма и на избирање на корените во последната равенка.

Решавање на равенки:

Запишете го најмалиот позитивен корен како одговор.

5. Самостојна работа (10 мин.)

Целта е да се тестираат стекнатите вештини, да се идентификуваат проблемите, грешките и начини за нивно отстранување.

Работата на повеќе нивоа се нуди по избор на студентот.

Опција "3"

1) Најдете ја вредноста на изразот

2) Поедностави го изразот 1 - грев 2 3α - cos 2 3α

3) Реши ја равенката

Опција за „4“

1) Најдете ја вредноста на изразот

2) Реши ја равенката Запишете го најмалиот позитивен корен во вашиот одговор.

Опција "5"

1) Најдете тана ако

2) Најдете го коренот на равенката Запишете го најмалиот позитивен корен како одговор.

6. Резиме на лекцијата (5 мин.)

Наставникот го сумира фактот дека во текот на часот повторувале и зајакнувале тригонометриски формули и решавање на наједноставните тригонометриски равенки.

Домашната работа се доделува (однапред се подготвува на печатена основа) со случајна проверка на следниот час.

Решавање на равенки:

9)

10) Во вашиот одговор наведете го најмалиот позитивен корен.

Лекција 2

Тема: 11 одделение (подготовка за единствен државен испит)

Методи за решавање на тригонометриски равенки. Избор на корен. (2 часа)

Цели:

  • Генерализирање и систематизирање на знаењата за решавање на тригонометриски равенки од различни видови.
  • Да се ​​промовира развојот на математичкото размислување на учениците, способноста за набљудување, споредување, генерализирање и класифицирање.
  • Поттикнете ги учениците да ги надминат тешкотиите во процесот на ментална активност, на самоконтрола и интроспекција на нивните активности.

Опрема за лекцијата: KRMu, лаптопи за секој ученик.

Структура на лекцијата:

  1. Организациски момент
  2. Дискусија за d/z и себе. работа од минатата лекција
  3. Преглед на методи за решавање тригонометриски равенки.
  4. Решавање на тригонометриски равенки
  5. Избор на корени во тригонометриски равенки.
  6. Самостојна работа.
  7. Резиме на лекција. Домашна работа.

1. Организациски момент (2 мин.)

Наставникот ја поздравува публиката, ја објавува темата на часот и планот за работа.

2. а) Анализа на домашна задача (5 мин.)

Целта е да се провери извршувањето. Едно дело се прикажува на екранот со помош на видео камера, а останатите селективно се собираат за проверка на наставниците.

б) Анализа на самостојна работа (3 мин.)

Целта е да се анализираат грешките и да се наведат начини за нивно надминување.

Одговорите и решенијата се на екранот, а на учениците однапред им е дадена работа. Анализата се одвива брзо.

3. Преглед на методи за решавање тригонометриски равенки (5 мин.)

Целта е да се потсетиме на методите за решавање на тригонометриски равенки.

Прашајте ги учениците кои методи за решавање тригонометриски равенки ги знаат. Нагласете дека постојат таканаречени основни (често користени) методи:

  • променлива замена,
  • факторизација,
  • хомогени равенки,

а постојат применети методи:

  • користејќи ги формулите за претворање на збир во производ и производ во збир,
  • според формулите за намалување на степенот,
  • универзална тригонометриска замена
  • воведување на помошен агол,
  • множење со некоја тригонометриска функција.

Исто така, треба да се потсети дека една равенка може да се реши на различни начини.

4. Решавање тригонометриски равенки (30 мин.)

Целта е да се генерализираат и консолидираат знаењата и вештините на оваа тема, да се подготви за решението Ц1 од Единствениот државен испит.

Сметам дека е препорачливо да се решаваат равенките за секој метод заедно со учениците.

Ученикот го диктира решението, наставникот го запишува на таблетот и целиот процес се прикажува на екранот. Ова ќе ви овозможи брзо и ефикасно да се потсетите на претходно опфатениот материјал во вашата меморија.

Решавање на равенки:

1) замена на променливата 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) факторизација 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) хомогени равенки sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) претворање на збирот во производ cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) претворање на производот во збир 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) намалување на степенот sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) универзална тригонометриска замена sinx + 5cosx + 5 = 0.

При решавање на оваа равенка, треба да се забележи дека употребата на овој метод доведува до стеснување на опсегот на дефиниција, бидејќи синусот и косинусот се заменуваат со tg(x/2). Затоа, пред да го напишете одговорот, треба да проверите дали броевите од множеството π + 2πn, n Z се коњи од оваа равенка.

8) воведување на помошен агол √3sinx + cosx - √2 = 0

9) множење со некоја тригонометриска функција cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Избор на корени на тригонометриски равенки (20 мин.)

Бидејќи во услови на жестока конкуренција при влез на универзитетите, само решавањето на првиот дел од испитот не е доволно, повеќето студенти треба да внимаваат на задачите од вториот дел (C1, C2, C3).

Затоа, целта на оваа фаза од часот е да се запамети претходно изучениот материјал и да се подготви за решавање на проблемот Ц1 од Единствениот државен испит 2011 година.

Постојат тригонометриски равенки во кои треба да изберете корени кога го пишувате одговорот. Ова се должи на некои ограничувања, на пример: именителот на дропката не е еднаков на нула, изразот под парниот корен е ненегативен, изразот под знакот логаритам е позитивен итн.

Ваквите равенки се сметаат за равенки со зголемена сложеност и во верзијата за обединет државен испит тие се наоѓаат во вториот дел, имено C1.

Реши ја равенката:

Дропката е еднаква на нула ако тогаш користејќи го единечниот круг ќе ги избереме корените (види слика 1)

Слика 1.

добиваме x = π + 2πn, n Z

Одговор: π + 2πn, n Z

На екранот, изборот на корени е прикажан на круг во слика во боја.

Производот е еднаков на нула кога барем еден од факторите е еднаков на нула, а лакот не го губи своето значење. Потоа

Користејќи го единечниот круг, ги избираме корените (види слика 2)

Слика 2.

5)

Ајде да одиме на системот:

Во првата равенка на системот го правиме дневникот за замена 2 (sinx) = y, потоа ја добиваме равенката , да се вратиме на системот

со помош на единечниот круг ги избираме корените (види Слика 5),

Слика 5.

6. Самостојна работа (15 мин.)

Целта е да се консолидира и да се провери асимилацијата на материјалот, да се идентификуваат грешките и да се наведат начини за нивно коригирање.

Делото е понудено во три верзии, однапред подготвени на печатена основа, за студентите да можат да изберат.

Можете да решавате равенки на кој било начин.

Опција "3"

Решавање на равенки:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Опција за „4“

Решавање на равенки:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Опција "5"

Решавање на равенки:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Резиме на часот, домашна задача (5 мин.)

Наставникот ја сумира лекцијата и уште еднаш го привлекува вниманието на фактот дека тригонометриската равенка може да се реши на неколку начини. Повеќето Најдобриот начинза да се постигне брз резултат, тој е оној што најдобро го учи одреден ученик.

Кога се подготвувате за испитот, треба систематски да ги повторувате формулите и методите за решавање равенки.

Се дистрибуираат домашните задачи (однапред подготвени на печатена основа) и се коментираат методите за решавање на некои равенки.

Решавање на равенки:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) грев 2 x + грев 2 2x - грев 2 3x - грев 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Воронкова Олга Ивановна

МБОУ „Средно училиште“

бр. 18"

Енгелс, регионот Саратов.

Наставник по математика.

„Тригонометриски изрази и нивните трансформации“

Вовед…………………………………………………………………………………….3

Поглавје 1 Класификација на задачи за употреба на трансформации на тригонометриски изрази ………………………………………………………………

1.1. Задачи за пресметка вредности на тригонометриски изрази……….5

1.2.Задачи за поедноставување на тригонометриски изрази.... 7

1.3. Задачи за претворање на нумерички тригонометриски изрази.....7

1.4 Задачи од мешан тип…………………………………………………………………………………..

Поглавје 2. Методолошки аспекти на организирање на конечното повторување на темата „Трансформација на тригонометриски изрази“…………………………………………

2.1 Тематско повторување во 10-то одделение…………………………………………………………………………………………………………….

Тест 1………………………………………………………………………………..12

Тест 2………………………………………………………………………………..13

Тест 3………………………………………………………………………………..14

2.2 Конечно повторување во 11 одделение……………………………………………………………………………………………………………………………

Тест 1………………………………………………………………………………..17

Тест 2………………………………………………………………………………..17

Тест 3………………………………………………………………………………..18

Заклучок………………………………………………………………………………………………….

Список на референци………………………………………………………………..…….20

Вовед.

Во денешни услови, најважното прашање е: „Како можеме да помогнеме да се отстранат некои од недостатоците во знаењето на студентите и да ги предупредиме за можни грешки на Единствениот државен испит? За да се реши ова прашање, неопходно е од учениците да се постигне не формална асимилација на програмскиот материјал, туку негово длабоко и свесно разбирање, развој на брзината на усните пресметки и трансформации, како и развој на вештини за решавање едноставни проблеми „во умот." Потребно е да се убедат учениците дека само доколку имаат активна позиција при изучувањето на математиката, под услов да стекнат практични вештини и способности и нивна употреба, можат да сметаат на вистински успех. Неопходно е да се искористи секоја можност за подготовка за обединет државен испит, вклучително и изборни предмети од 10-11 одделение и да се спроведуваат редовни прегледи тешки задачисо учениците, избирајќи најрационален начин за решавање проблеми на часовите и дополнителната настава.Позитивен резултат вообласти на решавање на стандардни проблеми може да се постигнат доколку наставниците по математика, со креирањедобра основна обука на учениците, барајте нови начини за решавање на проблемите што ни се отворија, активно експериментирајте, применувајте модерни образовни технологии, методи, техники кои создаваат поволни услови за ефективно самореализација и самоопределување на учениците во нови општествени услови.

тригонометрија - компонентаучилишен курс по математика. Доброто знаење и силните вештини во тригонометријата се доказ за доволно ниво на математичка култура, неопходен услов за успешно изучување на математика, физика и голем број технички области на универзитет.дисциплини.

Релевантност на работата. Значителен дел од матурантите покажуваат од година во година многу слаба подготовка во овој важен дел од математиката, за што сведочат резултатите од изминатите години (процент на завршено во 2011 година - 48,41%, 2012 година - 51,05%), од анализата на полагање унифицираниот државен испит покажа дека учениците прават многу грешки при завршувањето на задачите од овој конкретен дел или воопшто не преземаат такви задачи. Во Едно државен испитПрашањата за тригонометрија се наоѓаат во речиси три типа на задачи. Ова вклучува решавање на наједноставните тригонометриски равенки во задачата Б5 и работа со тригонометриски изрази во задачата Б7 и истражување тригонометриски функцииво задачата Б14, како и задачата Б12, во која има формули кои опишуваат физички феномении содржи тригонометриски функции. И ова е само дел од задачите Б! Но, има и омилени тригонометриски равенки со избор на корени C1, и „не толку омилени“ геометриски задачи C2 и C4.

Цел на работата. Анализирај Материјал за унифициран државен испитзадачи Б7, посветени на трансформации на тригонометриски изрази и класифицираат задачи според формата на нивното прикажување во тестови.

Работата се состои од две поглавја, вовед и заклучок. Воведот ја нагласува релевантноста на работата. Првото поглавје дава класификација на задачите за употреба на трансформации на тригонометриски изрази во тест Задачи за унифициран државен испит(2012).

Во второто поглавје се дискутира за организацијата на повторување на темата „Трансформација на тригонометриски изрази“ во 10 и 11 одделение и се изработени тестови на оваа тема.

Списокот на референци вклучува 17 извори.

Поглавје 1. Класификација на задачи со помош на трансформации на тригонометриски изрази.

Во согласност со стандардот на средното (целосно) образование и барањата за степенот на подготвеност на учениците, кодификаторот на барања вклучува задачи за познавање на основите на тригонометријата.

Учењето на основите на тригонометријата ќе биде најефективно кога:

    ќе се обезбеди позитивна мотивација за учениците да го повторат претходно научениот материјал;

    В образовен процесќе се спроведе пристап насочен кон личноста;

    ќе се користи систем на задачи што помага да се прошири, продлабочи и систематизира знаењето на учениците;

    Ќе се користат напредни педагошки технологии.

Откако ја анализиравме литературата и интернет ресурсите за подготовка за обединет државен испит, предложивме една од можните класификации на задачите Б7 (КИМ Унифициран државен испит 2012-тригонометрија): задачи за пресметувањевредности на тригонометриски изрази; задачи законвертирање на нумерички тригонометриски изрази; задачи за претворање на буквални тригонометриски изрази; задачи од мешан тип.

1.1. Задачи за пресметка значења на тригонометриски изрази.

Еден од најчестите типови на едноставни тригонометриски проблеми е пресметување на вредностите на тригонометриските функции од вредноста на една од нив:

а) Употреба на основниот тригонометриски идентитет и неговите последици.

Пример 1 . Најдете дали
И
.

Решение.
,
,

Бидејќи , Тоа
.

Одговори.

Пример 2 . Најдете
, Ако
И .

Решение.
,
,
.

Бидејќи , Тоа
.

Одговори. .

б) Користење на формули со двоен агол.

Пример 3 . Најдете
, Ако
.

Решение. , .

Одговори.
.

Пример 4 . Најдете го значењето на изразот
.

Решение. .

Одговори.
.

1. Најдете , Ако
И
. Одговори. -0,2

2. Најдете , Ако
И
. Одговори. 0,4

3. Најдете
, Ако . Одговори. -12,884. Најдете
, Ако
. Одговори. -0,845. Најдете го значењето на изразот:
. Одговори. 66. Најдете го значењето на изразот
.Одговори. -19

1.2.Задачи за поедноставување на тригонометриски изрази. Формулите за редукција треба добро да ги разберат студентите, бидејќи тие ќе најдат дополнителна примена во геометријата, физиката и другите сродни дисциплини.

Пример 5 . Поедноставување на изразите
.

Решение. .

Одговори.
.

Задачи за независно решение:

1. Поедноставете го изразот
. Одговори. 0,62. Најдете
, Ако
И. Одговори. 10.563. Најдете го значењето на изразот
, Ако
. Одговори. 2

1.3. Задачи за конвертирање на нумерички тригонометриски изрази.

Кога ги практикувате вештините за задачи за конвертирање на нумерички тригонометриски изрази, треба да обрнете внимание на познавање на табелата со вредности на тригонометриските функции, својствата на паритет и периодичноста на тригонометриските функции.

а) Користење на точни вредности на тригонометриските функции за некои агли.

Пример 6 . Пресметај
.

Решение.
.

Одговори.
.

б) Користење на парните својства тригонометриски функции.

Пример 7 . Пресметај
.

Решение. .

Одговори.

V) Користење на својствата на периодичностатригонометриски функции.

Пример 8 . Најдете го значењето на изразот
.

Решение. .

Одговори.
.

Задачи за независно решение:

1. Најдете го значењето на изразот
. Одговори. -40,52. Најдете го значењето на изразот
. Одговори. 17

3. Најдете го значењето на изразот
. Одговори. 6


. Одговори. -24
Одговори. -64

1.4 Задачи од мешан тип.

Формуларот за тестирање за сертификација има многу значајни карактеристики, па затоа е важно да се обрне внимание на задачите поврзани со употребата на неколку тригонометриски формули во исто време.

Пример 9. Најдете
, Ако
.

Решение.
.

Одговори.
.

Пример 10 . Најдете
, Ако
И
.

Решение. .

Бидејќи , Тоа
.

Одговори.
.

Пример 11. Најдете
, Ако .

Решение. , ,
,
,
,
,
.

Одговори.

Пример 12. Пресметај
.

Решение. .

Одговори.
.

Пример 13. Најдете го значењето на изразот
, Ако
.

Решение. .

Одговори.
.

Задачи за независно решение:

1. Најдете
, Ако
. Одговори. -1,75
2. Најдете
, Ако
. Одговори. 33. Најдете
, Ако .Одговори. 0,254. Најдете го значењето на изразот
, Ако
. Одговори. 0.35. Најдете го значењето на изразот
, Ако
. Одговори. 5

Поглавје 2. Методолошки аспекти на организирање на последното повторување на темата „Трансформација на тригонометриски изрази“.

Едно од најважните прашања што придонесува за натамошно унапредување на академските перформанси и постигнување длабоки и трајни знаења кај студентите е прашањето за повторување на претходно опфатениот материјал. Практиката покажува дека во 10-то одделение е поцелисходно да се организира тематско повторување; во 11 одделение – завршно повторување.

2.1. Тематска ревизија во 10 одделение.

Во процес на работа на математички материјалособено големо значењесе стекнува со повторување на секоја завршена тема или цел дел од курсот.

Со тематско повторување знаењата на учениците за некоја тема се систематизираат во завршна фаза од нејзиното завршување или по одреден одмор.

За тематско повторување, се доделуваат специјални лекции, во кои материјалот од една одредена тема е концентриран и генерализиран.

Повторувањето на часот се врши преку разговор со широка вклученост на учениците во овој разговор. По ова, учениците добиваат задача да повторат одредена тема и се предупредуваат дека ќе се изврши тест работа.

Тестот на тема треба да ги содржи сите негови главни прашања. По завршувањето на работата, се анализираат карактеристичните грешки и се организира повторување за нивно отстранување.

За лекции за тематско повторување, нудиме развиени проценка работа во форма на тестовина тема „Трансформација на тригонометриски изрази“.

Тест бр. 1

Тест бр. 2

Тест бр. 3

Табела со одговори

Тест

2.2. Завршен преглед во 11 одделение.

Конечното повторување се врши во последната фаза од проучувањето на главните прашања од курсот по математика и се врши во логична врска со студијата едукативен материјалза овој дел или курсот како целина.

Конечното повторување на едукативниот материјал ги следи следните цели:

1. Активирање на целиот материјал курс за обукада ја разјасни неговата логичка структура и да изгради систем во рамките на предметните и меѓупредметните врски.

2. Продлабочување и, доколку е можно, проширување на знаењата на студентите за главните прашања на курсот во процесот на повторување.

Во контекст на задолжителен испит по математика за сите матуранти, постепеното воведување на Единствениот државен испит ги принудува наставниците да преземат нов пристап во подготовката и изведувањето на часовите, земајќи ја предвид потребата да се осигура дека сите ученици го совладаат образовниот материјал на основен ниво, како и можност за мотивирани студенти заинтересирани за добивање високи оценки за прием на факултет, динамичен напредок во совладување на материјалот на напредно и високо ниво.

За време на завршните лекции за ревизија, можете да ги земете предвид следните задачи:

Пример 1 . Пресметајте ја вредноста на изразот.Решение. =
= =
=
=
=
=0,5. Одговори. 0,5. Пример 2. Наведете ја најголемата цел бројна вредност што изразот може да ја прифати
.

Решение. Бидејќи
може да земе каква било вредност, кои припаѓаат на сегментот[-1; 1], тогаш
зема која било вредност на сегментот [–0,4; 0,4], затоа. Изразот има една цел бројна вредност - бројот 4.

Одговор: 4 Пример 3 . Поедноставете го изразот
.

Решение: Да ја искористиме формулата за факторинг на збирот на коцки: . Ние имаме

Ние имаме:
.

Одговор: 1

Пример 4. Пресметај
.

Решение. .

Одговор: 0,28

За последните лекции за ревизија, нудиме развиени тестови на тема „Трансформација на тригонометриски изрази“.

Внесете го најголемиот цел број што не надминува 1

Заклучок.

Имајќи работено преку соодветните методолошка литературана оваа тема можеме да заклучиме дека способноста и вештините за решавање проблеми поврзани со тригонометриски трансформацииВ училишен курсматематиката е многу важна.

Во текот на извршената работа беше извршена класификација на задачите Б7. Се разгледуваат тригонометриските формули кои најчесто се користат во CMM во 2012 година. Дадени се примери на задачи со решенија. Развиени се диференцирани тестови за да се организира повторување и да се систематизира знаењето во подготовката за обединетиот државен испит.

Препорачливо е да се продолжи со започнатата работа со разгледување решавање на наједноставните тригонометриски равенки во задача Б5, проучување на тригонометриски функции во задача Б14, задачи Б12, кои содржат формули кои опишуваат физички појави и содржат тригонометриски функции.

Како заклучок, би сакал да забележам дека ефективноста полагање на Единствен државен испитво голема мера е определено од тоа колку ефикасно се организира процесот на обука на сите нивоа на образование, со сите категории студенти. И ако успееме да им всадиме на учениците независност, одговорност и подготвеност да продолжат да учат во текот на целиот нивен живот, тогаш не само што ќе ја исполниме наредбата на државата и општеството, туку и ќе ја зголемиме сопствената самодоверба.

Повторувањето на едукативниот материјал бара од наставникот креативна работа. Тој мора да обезбеди јасна врска помеѓу видовите повторувања и да спроведе длабоко обмислен систем на повторување. Совладувањето на уметноста на организирање повторување е задача на наставникот. Силата на знаењето на учениците во голема мера зависи од неговото решение.

Литература.

    Vygodsky Ya.Ya., Прирачник за елементарна математика. -М.: Наука, 1970 година.

    Проблеми на зголемена тежина во алгебра и основна анализа: Учебник за 10-11 одделение средно школо/ Б.М. Ивлев, А.М. Абрамов, Ју.П. Дудницин, С.И. Шварцбурд. - М.: Образование, 1990 година.

    Примена на основни тригонометриски формули за трансформација на изрази (10-то одделение) //Фестивал педагошки идеи. 2012-2013.

    Корјанов А.Г. , Прокофјев А.А. Подготвуваме добри и одлични студенти за обединет државен испит. - М.: Педагошки универзитет„Први септември“, 2012.- 103 стр.

    Кузнецова Е.Н.Поедноставување на тригонометриски изрази. Решавање на тригонометриски равенки со користење на различни методи (подготовка за обединет државен испит). 11 одделение. 2012-2013 година.

    Kulanin E. D. 3000 натпреварувачки проблеми во математиката. 4то издание, точно. и дополнителни - М.: Ролф, 2000 година.

    Мордкович А.Г. Методолошки проблеми на изучување на тригонометријата во средно школо// Математика на училиште. 2002. бр.6.

    Пичурин Л.Ф. За тригонометријата и не само за неа: -М. Просветителство, 1985 година

    Решетников Н.Н. Тригонометрија на училиште: -М. : Педагошки универзитет „Први септември“, 2006 година, лх 1.

    Шабунин М.И., Прокофјев А.А. Математика. Алгебра. Почетоци на математичка анализа Ниво на профил: учебник за 10 одделение - М.: БИНОМ. Лабораторија на знаење, 2007 г.

    Едукативен портал за подготовка за Единствен државен испит.

    Подготовки за обединет државен испит по математика „О, оваа тригонометрија! http://festival.1september.ru/articles/621971/

    Проект "Математика? Лесно!!!" http://www.resolventa.ru/

Видео лекцијата „Поедноставување на тригонометриски изрази“ е дизајнирана да ги развие вештините на учениците за решавање на тригонометриски проблеми користејќи основни тригонометриски идентитети. Во текот на видео лекцијата се дискутираат видови на тригонометриски идентитети и примери за решавање проблеми со нивно користење. Со користење на визуелни помагала, наставникот полесно ги постигнува целите на часот. Живописната презентација на материјалот помага да се запомнат важните точки. Употребата на анимациски ефекти и гласовно пренесување ви овозможува целосно да го замените наставникот во фазата на објаснување на материјалот. Така, со користење на ова визуелно помагало на часовите по математика, наставникот може да ја зголеми ефективноста на наставата.

На почетокот на видео лекцијата е објавена нејзината тема. Потоа се потсетуваме на тригонометриските идентитети проучувани претходно. На екранот се прикажуваат еднаквостите sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, каде t≠π/2+πk за kϵZ, ctg t=cos t/sin t, точно за t≠πk, каде kϵZ, tg t· ctg t=1, за t≠πk/2, каде што kϵZ, наречени основни тригонометриски идентитети. Забележано е дека овие идентитети често се користат при решавање на проблеми каде што е неопходно да се докаже еднаквоста или да се поедностави изразот.

Подолу разгледуваме примери за примена на овие идентитети при решавање на проблеми. Прво, се предлага да се разгледа решавање на проблеми со поедноставување на изразите. Во примерот 1, потребно е да се поедностави изразот cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t. За да го решите примерот, прво извадете го заедничкиот фактор cos 2 t од заградите. Како резултат на оваа трансформација во заграда, се добива изразот 1- cos 2 t, чија вредност од главниот идентитет на тригонометријата е еднаква на sin 2 t. По трансформирањето на изразот, очигледно е дека од заградите може да се извади уште еден вообичаен фактор sin 2 t, по што изразот добива форма sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Од истиот основен идентитет ја изведуваме вредноста на изразот во загради еднаква на 1. Како резултат на поедноставување, добиваме cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Во примерот 2, изразот cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) треба да се поедностави. Бидејќи броителите на двете дропки го содржат изразот цена, тој може да се извади од загради како заеднички фактор. Тогаш дропките во заградите се сведуваат на заеднички именител со множење на (1- sint)(1+ sint). Откако ќе се донесат слични поими, броителот останува 2, а именителот 1 - sin 2 t. На десната страна на екранот се отповикува основниот тригонометриски идентитет sin 2 t+cos 2 t=1. Користејќи го, го наоѓаме именителот на дропката cos 2 t. По намалувањето на дропката, добиваме поедноставен облик на изразот cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

Следно, разгледуваме примери на докази за идентитети кои го користат стекнатото знаење за основните идентитети на тригонометријата. Во примерот 3, потребно е да се докаже идентитетот (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. На десната страна на екранот се прикажуваат три идентитети кои ќе бидат потребни за докажувањето - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t и tg t=sin t/cos t со ограничувања. За докажување на идентитетот, прво се отвораат заградите, по што се формира производ кој го одразува изразот на главниот тригонометриски идентитет tg t·ctg t=1. Потоа, според идентитетот од дефиницијата за котангента, се трансформира ctg 2 t. Како резултат на трансформациите се добива изразот 1-cos 2 t. Користејќи го главниот идентитет, го наоѓаме значењето на изразот. Така, докажано е дека (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Во примерот 4, треба да ја пронајдете вредноста на изразот tg 2 t+ctg 2 t ако tg t+ctg t=6. За да го пресметате изразот, прво на квадрат од десната и левата страна на еднаквоста (tg t+ctg t) 2 =6 2. Скратената формула за множење се повикува на десната страна на екранот. По отворањето на заградите од левата страна на изразот се формира збирот tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, за да се трансформира може да примените еден од тригонометриските идентитети tg t·ctg t=1 , чија форма се потсетува на десната страна на екранот. По трансформацијата се добива еднаквоста tg 2 t+ctg 2 t=34. Левата страна на еднаквоста се совпаѓа со состојбата на проблемот, па одговорот е 34. Проблемот е решен.

Видео лекцијата „Поедноставување на тригонометриски изрази“ се препорачува за употреба на традиционален училишен час по математика. Материјалот ќе биде корисен и за наставникот што го спроведува учење на далечина. Со цел да се развијат вештини за решавање на тригонометриски проблеми.

ДЕКОДИРАЊЕ НА ТЕКСТ:

„Поедноставување на тригонометриските изрази“.

Еднаквости

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (синус квадрат те плус косинус квадрат te е еднаков на еден)

2)tgt =, за t ≠ + πk, kϵZ (тангента te е еднаква на односот на синус te и косинус te со te не еднаков на pi со два плус pi ka, ka припаѓа на zet)

3)ctgt = , за t ≠ πk, kϵZ (котангента te е еднаква на односот на косинус te спрема синус te со te не еднаков на pi ka, ka припаѓа на zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 за t ≠ , kϵZ (производот на тангента te по котангента te е еднаков на еден кога te не е еднаков на врвот ka, поделен со два, ka припаѓа на zet)

се нарекуваат основни тригонометриски идентитети.

Тие често се користат за поедноставување и докажување на тригонометриски изрази.

Ајде да погледнеме примери за користење на овие формули за поедноставување на тригонометриските изрази.

ПРИМЕР 1. Поедностави го изразот: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (израз косинус во квадрат te минус косинус од четврти степен te плус синус од четврти степен te).

Решение. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 т) = грев 2 т 1= грев 2 т

(го вадиме заедничкиот фактор косинус квадрат te, во загради ја добиваме разликата помеѓу единството и квадратот косинус te, што е еднакво на квадратот на синусот te според првиот идентитет. Ја добиваме збирот на четвртата сила sine te на производ косинус квадрат те и синус квадрат те Надвор од заградите го вадиме заедничкиот фактор синус квадрат те, во загради го добиваме збирот на квадратите на косинус и синус кој според основниот тригонометриски идентитет е еднаков на 1 Како резултат на тоа, го добиваме квадратот на синус те).

ПРИМЕР 2. Поедностави го изразот: + .

(изразот е збир на две дропки во броителот на првиот косинус te во именителот еден минус синус te, во броителот на вториот косинус te во именителот на вториот плус синус те).

(Да го извадиме заедничкиот фактор косинус te од загради, а во загради го доведуваме до заеднички именител, кој е производ од еден минус sine te со еден плус sine te.

Во броителот добиваме: еден плус сине те плус еден минус син те, даваме слични, броителот е еднаков на два откако ќе донесеме слични.

Во именителот можете да ја примените скратената формула за множење (разлика на квадрати) и да ја добиете разликата помеѓу единството и квадратот на синус те, што според основниот тригонометриски идентитет

еднаков на квадратот на косинус те. По намалувањето со косинус те го добиваме конечниот одговор: два поделени со косинус те).

Ајде да погледнеме примери за користење на овие формули при докажување на тригонометриски изрази.

ПРИМЕР 3. Докажете го идентитетот (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (производот на разликата помеѓу квадратите на тангента te и sine te по квадратот на котангентата te е еднаков на квадратот на сине те).

Доказ.

Ајде да ја трансформираме левата страна на еднаквоста:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - грев 2 t ∙ ctg 2 t =1 - грев 2 t ∙ = 1 - cos 2 т = грев 2 т

(Да ги отвориме заградите; од претходно добиената релација се знае дека производот на квадратите на тангента те по котангента те е еднаков на еден. Потсетиме дека котангента те еднаков на односоткосинус те по синус те, што значи квадратот на котангенсот е односот на квадратот на косинусот те со квадратот на синусот те.

По намалувањето за синус квадрат te, ја добиваме разликата помеѓу единството и косинусниот квадрат te, што е еднакво на синус квадрат te). Q.E.D.

ПРИМЕР 4. Најдете ја вредноста на изразот tg 2 t + ctg 2 t ако tgt + ctgt = 6.

(збирот на квадратите на тангента те и котангента те, ако збирот на тангента и котангента е шест).

Решение. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Ајде да ги квадратиме двете страни на првобитната еднаквост:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (квадратот од збирот на тангентата te и котангентата te е еднаков на шест квадрат). Да се ​​потсетиме на формулата за скратено множење: Квадратот на збирот на две величини е еднаков на квадратот на првата плус двапати од производот на првата за втората плус квадратот на втората. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Добиваме tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (тангента квадрат te плус двојно од производот на тангента te со котангента te плус котангента квадрат te е еднаква Триесет и шест) .

Бидејќи производот на тангентата te и котангентата te е еднаков на еден, тогаш tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (збирот на квадратите на тангентата te и котангентата te и два е еднаков на триесет и шест),