Нека
(1)
е диференцијабилна функција на променливата x. Прво ќе го разгледаме за множеството вредности на x за кои зема y позитивни вредности: . Во продолжение ќе покажеме дека сите добиени резултати се применливи и за негативни вредности на .

Во некои случаи, за да се најде изводот на функцијата (1), погодно е да се пред-логаритам
,
а потоа пресметај го изводот. Потоа, според правилото за диференцијација на сложена функција,
.
Од тука
(2) .

Изводот на логаритамот на функцијата се нарекува логаритамски извод:
.

Логаритамски извод на функцијата y = f(x) е дериват природен логаритамоваа функција: (ln f(x))′.

Случај на негативни y вредности

Сега разгледајте го случајот кога променливата може да земе и позитивни и негативни вредности. Во овој случај, земете го логаритамот на модулот и пронајдете го неговиот дериват:
.
Од тука
(3) .
Тоа е, во општиот случај, треба да го пронајдете изводот на логаритмот на модулот на функцијата.

Споредувајќи ги (2) и (3) имаме:
.
Односно, формалниот резултат од пресметувањето на логаритамскиот извод не зависи од тоа дали сме го земале модулот или не. Затоа, при пресметувањето на логаритамскиот извод не мора да се грижиме каков знак има функцијата.

Оваа ситуација може да се разјасни со помош на сложени броеви. Нека, за некои вредности на x, се негативни: . Ако само земеме во предвид реални броеви, тогаш функцијата не е дефинирана. Меѓутоа, ако воведеме во предвид сложени броеви, тогаш го добиваме следново:
.
Тоа е, функциите и се разликуваат со сложена константа:
.
Бидејќи дериватот на константата е нула, тогаш
.

Својство на логаритамскиот извод

Од таквото разгледување произлегува дека логаритамскиот извод нема да се промени ако ја помножите функцијата со произволна константа :
.
Навистина, користејќи својства на логаритам, формули изводен збирИ дериват на константа, ние имаме:

.

Примена на логаритамски дериват

Удобно е да се користи логаритамскиот дериват во случаи кога оригиналната функција се состои од производ на моќност или експоненцијални функции. Во овој случај, логаритамската операција го претвора производот на функциите во нивниот збир. Ова ја поедноставува пресметката на дериватот.

Пример 1

Најдете го изводот на функцијата:
.

Решение

Ајде да ја логаритамизираме оригиналната функција:
.

Ајде да разликуваме во однос на променливата x.
Во табелата со деривати наоѓаме:
.
Го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции.
;
;
;
;
(A1.1) .
Помножете се со:

.

Значи, го најдовме логаритамскиот дериват:
.
Од тука го наоѓаме изводот на оригиналната функција:
.

Забелешка

Ако сакаме да користиме само реални броеви, тогаш треба да го земеме логаритамот на модулот на оригиналната функција:
.
Потоа
;
.
И добивме формула (А1.1). Затоа резултатот не е променет.

Одговори

Пример 2

Користејќи го логаритамскиот извод, пронајдете го изводот на функцијата
.

Решение

Да земеме логаритми:
(A2.1) .
Диференцирајте во однос на променливата x:
;
;

;
;
;
.

Помножете се со:
.
Од тука го добиваме логаритамскиот извод:
.

Извод на оригиналната функција:
.

Забелешка

Овде оригиналната функција е ненегативна: . Таа е дефинирана во. Ако не претпоставиме дека логаритмот може да се дефинира за негативните вредности на аргументот, тогаш формулата (A2.1) треба да се напише на следниов начин:
.
Затоа што

И
,
тоа нема да влијае на конечниот резултат.

Одговори

Пример 3

Најдете го изводот
.

Решение

Вршиме диференцијација користејќи го логаритамскиот извод. Да земеме логаритам, имајќи предвид дека:
(A3.1) .

Со диференцирање го добиваме логаритамскиот извод.
;
;
;
(A3.2) .

Од тогаш

.

Забелешка

Дозволете ни да ги извршиме пресметките без да претпоставиме дека логаритамот може да се дефинира за негативните вредности на аргументот. За да го направите ова, земете го логаритамот на модулот на оригиналната функција:
.
Тогаш наместо (A3.1) имаме:
;

.
Во споредба со (А3.2) гледаме дека резултатот не е променет.

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Комплексни деривати. Логаритамски дериват.
Извод на моќно-експоненцијална функција

Продолжуваме да ја подобруваме нашата техника на диференцијација. Во оваа лекција ќе го консолидираме материјалот што го опфативме, ќе разгледаме посложени деривати, а исто така ќе се запознаеме со нови техники и трикови за наоѓање извод, особено со логаритамскиот извод.

Оние читатели кои имаат ниско ниво на подготовка треба да се повикаат на статијата Како да се најде дериватот? Примери на решенија, што ќе ви овозможи да ги подигнете своите вештини речиси од нула. Следно, треба внимателно да ја проучите страницата Извод на сложена функција, разберете и решите Ситепримерите што ги наведов. Оваа лекција логично е трета по ред, а откако ќе ја совладате самоуверено ќе разликувате прилично сложени функции. Непожелно е да се заземе ставот „Каде на друго место? Да, доволно е!“, бидејќи сите примери и решенија се земени од реално тестовиа често се среќаваат во пракса.

Да почнеме со повторување. На лекцијата Извод на сложена функцијаРазгледавме голем број примери со детални коментари. Во текот на изучувањето на диференцијалното сметање и другите гранки на математичката анализа, ќе треба да се разликувате многу често, и не е секогаш погодно (и не секогаш е потребно) да се опишуваат примери детално. Затоа, ќе вежбаме усно да наоѓаме деривати. Најпогодни „кандидати“ за ова се деривати на наједноставните сложени функции, на пример:

Според правилото за диференцијација комплексна функција :

При проучување на други матни теми во иднина, најчесто не е потребен таков детален запис, се претпоставува дека студентот знае како да најде такви деривати на автопилот. Да замислиме дека во 3 часот наутро телефонот заѕвони и пријатен глас праша: „Која е дериватот на тангентата на две X?“ Ова треба да биде проследено со речиси моментален и љубезен одговор: .

Првиот пример ќе биде веднаш наменет за независна одлука.

Пример 1

Најди ги следните изводи усно, во едно дејство, на пример: . За да ја завршите задачата, треба само да ја користите табела на деривати на елементарни функции(ако сè уште не сте се сетиле). Ако имате какви било тешкотии, препорачувам повторно да ја прочитате лекцијата Извод на сложена функција.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Одговори на крајот од лекцијата

Комплексни деривати

По прелиминарната артилериска подготовка, примерите со 3-4-5 гнезда на функции ќе бидат помалку страшни. Следниве два примери можеби некому му изгледаат комплицирани, но ако ги разберете (некој ќе страда), тогаш речиси сè друго во диференцијалното пресметување ќе изгледа како детска шега.

Пример 2

Најдете го изводот на функцијата

Како што веќе беше забележано, при наоѓање на изводот на сложена функција, пред сè, потребно е Во правоРАЗБЕРЕТЕ ги вашите инвестиции. Во случаи кога има сомнежи, ве потсетувам на корисна техника: ја земаме експерименталната вредност на „x“, на пример, и се обидуваме (ментално или во нацрт) да ја замениме оваа вредност со „страшниот израз“.

1) Прво треба да го пресметаме изразот, што значи дека збирот е најдлабокото вградување.

2) Потоа треба да го пресметате логаритамот:

4) Потоа коцкај го косинусот:

5) На петтиот чекор разликата:

6) И, конечно, најнадворешната функција е Квадратен корен:

Формула за диференцијација на сложена функција се применуваат во обратен редослед, од најоддалечената функција до највнатрешната. Ние одлучуваме:

Се чини дека нема грешки...

(1) Земете го дериватот на квадратниот корен.

(2) Го земаме изводот на разликата користејќи го правилото

(3) Изводот на тројка е нула. Во вториот член го земаме изводот на степенот (коцка).

(4) Земете го изводот на косинус.

(5) Земете го изводот на логаритамот.

(6) И конечно, го земаме дериватот на најдлабокото вградување.

Можеби изгледа премногу тешко, но ова не е најбруталниот пример. Земете ја, на пример, колекцијата на Кузнецов и ќе ја цените сета убавина и едноставност на анализираниот дериват. Забележав дека сакаат да даваат слично нешто на испит за да проверат дали студентот разбира како да најде извод на сложена функција или не разбира.

Следниот пример е за вас да го решите сами.

Пример 3

Најдете го изводот на функцијата

Совет: Прво ги применуваме правилата за линеарност и правилото за диференцијација на производот

Целосно решение и одговор на крајот од лекцијата.

Време е да преминете на нешто помало и поубаво.
Не е невообичаено примерот да покаже производ на не две, туку три функции. Како да се најде дериватот на производот од три фактори?

Пример 4

Најдете го изводот на функцијата

Прво гледаме, дали е можно производот од три функции да се претвори во производ на две функции? На пример, ако имаме два полиноми во производот, тогаш би можеле да ги отвориме заградите. Но, во примерот што се разгледува, сите функции се различни: степен, експонент и логаритам.

Во такви случаи тоа е неопходно последователноприменувајте го правилото за диференцијација на производите двапати

Финтата е што со „y“ го означуваме производот на две функции: , а со „ve“ го означуваме логаритамот: . Зошто може да се направи ова? Дали е навистина – ова не е производ на два фактора и правилото не функционира?! Нема ништо комплицирано:

Сега останува да се примени правилото по втор пат во заграда:

Можете исто така да се извртите и да ставите нешто од загради, но во овој случај подобро е да го оставите одговорот токму во оваа форма - ќе биде полесно да се провери.

Разгледаниот пример може да се реши на вториот начин:

Двете решенија се апсолутно еквивалентни.

Пример 5

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за независно решение, во примерокот се решава со помош на првиот метод.

Ајде да погледнеме слични примери со дропки.

Пример 6

Најдете го изводот на функцијата

Постојат неколку начини на кои можете да отидете овде:

Или вака:

Но, решението ќе биде напишано покомпактно ако прво го искористиме правилото за диференцијација на количникот , земајќи го целиот броител:

Во принцип, примерот е решен, и ако се остави како што е, нема да биде грешка. Но, ако имате време, секогаш е препорачливо да проверите на нацрт за да видите дали одговорот може да се поедностави? Да го намалиме изразот на броителот на заеднички именител и да се ослободиме од трикатната дропка:

Недостаток на дополнителните поедноставувања е што постои ризик да се направи грешка не при наоѓање на дериватот, туку при банални училишни трансформации. Од друга страна, наставниците често ја отфрлаат задачата и бараат да го „донесат на ум“ дериватот.

Поедноставен пример за решавање самостојно:

Пример 7

Најдете го изводот на функцијата

Продолжуваме да ги совладуваме методите за наоѓање на дериватот, а сега ќе разгледаме типичен случај кога „страшниот“ логаритам е предложен за диференцијација

Пример 8

Најдете го изводот на функцијата

Овде можете да одите на долг пат, користејќи го правилото за диференцијација на сложена функција:

Но, првиот чекор веднаш ве втурнува во очај - треба да го земете непријатниот дериват од фракциона моќ, а потоа и од дропка.

Затоа предкако да се земе дериватот на „софистицираниот“ логаритам, прво се поедноставува со користење на добро познати училишни својства:

! Ако имате при рака тетратка за вежбање, копирајте ги овие формули директно таму. Ако немате тетратка, препишете ги на парче хартија, бидејќи останатите примери од лекцијата ќе се вртат околу овие формули.

Самото решение може да се напише вака:

Ајде да ја трансформираме функцијата:

Наоѓање на дериватот:

Пред-конвертирањето на самата функција значително го поедностави решението. Така, кога се предлага сличен логаритам за диференцијација, секогаш е препорачливо да се „разложи“.

И сега неколку едноставни примери за да ги решите сами:

Пример 9

Најдете го изводот на функцијата

Пример 10

Најдете го изводот на функцијата

Сите трансформации и одговори се на крајот од лекцијата.

Логаритамски дериват

Ако дериватот на логаритмите е толку слатка музика, тогаш се поставува прашањето: дали е можно во некои случаи вештачки да се организира логаритмот? Може! Па дури и неопходно.

Пример 11

Најдете го изводот на функцијата

Неодамна разгледавме слични примери. Што да се прави? Можете последователно да го примените правилото за диференцијација на количникот, а потоа правилото за диференцијација на производот. Недостаток на овој метод е тоа што на крајот доаѓате со огромна дропка од три ката, со која воопшто не сакате да се справите.

Но, во теоријата и практиката постои таква прекрасна работа како логаритамскиот извод. Логаритмите можат да се организираат вештачки со нивно „закачување“ на двете страни:

Забелешка : затоа што функцијата може да земе негативни вредности, тогаш, општо земено, треба да користите модули: , кој ќе исчезне како резултат на диференцијација. Но, прифатлив е и сегашниот дизајн, каде стандардно се зема предвид комплексзначења. Но, ако е со сета строгост, тогаш и во двата случаи треба да се резервира тоа.

Сега треба да го „распаднете“ логаритмот на десната страна што е можно повеќе (формули пред вашите очи?). Ќе го опишам овој процес во многу детали:

Да почнеме со диференцијација.
Двата дела ги заклучуваме под програмот:

Дериватот на десната страна е прилично едноставен, нема да коментирам за него, бидејќи ако го читате овој текст, треба да можете самоуверено да се справите со него.

Што е со левата страна?

На левата страна имаме комплексна функција. Го предвидувам прашањето: „Зошто, има една буква „Y“ под логаритамот?

Факт е дека оваа „игра со една буква“ - САМО Е ФУНКЦИЈА(ако не е многу јасно, погледнете ја статијата Извод на функција наведен имплицитно). Според тоа, логаритамот е надворешна функција, а „y“ е внатрешна функција. И ние го користиме правилото за диференцијација на сложена функција :

На левата страна, како со магија волшебно стапчеимаме дериват . Следно, според правилото за пропорција, го пренесуваме „y“ од именителот на левата страна на врвот на десната страна:

И сега да се потсетиме за каква функција „играч“ зборувавме за време на диференцијацијата? Да ја погледнеме состојбата:

Конечниот одговор:

Пример 12

Најдете го изводот на функцијата

Ова е пример за да го решите сами. Примерок за дизајн на пример од овој тип е на крајот од лекцијата.

Користејќи го логаритамскиот дериват беше можно да се реши кој било од примерите бр. 4-7, друга работа е што функциите таму се поедноставни и, можеби, употребата на логаритамскиот извод не е многу оправдана.

Извод на моќно-експоненцијална функција

Сè уште не сме ја разгледале оваа функција. Моќно-експоненцијална функција е функција за која и степенот и основата зависат од „x“. Класичен пример што ќе ви биде даден во кој било учебник или предавање:

Како да се најде изводот на моќно-експоненцијална функција?

Неопходно е да се користи техниката штотуку дискутирана - логаритамскиот дериват. Закачуваме логаритми на двете страни:

Како по правило, на десната страна степенот се вади од под логаритамот:

Како резултат на тоа, на десната страна го имаме производот на две функции, кои ќе се разликуваат според стандардната формула .

Го наоѓаме дериватот; за да го направиме ова, ги ставаме двата дела под потези:

Понатамошните активности се едноставни:

Конечно:

Ако било која конверзија не е целосно јасна, ве молиме внимателно да ги препрочитате објаснувањата од Примерот бр. 11.

ВО практични задачиМоќно-експоненцијалната функција секогаш ќе биде посложена од примерот што се дискутираше на предавањето.

Пример 13

Најдете го изводот на функцијата

Го користиме логаритамскиот извод.

На десната страна имаме константа и производ од два фактора - „x“ и „логаритам на логаритам x“ (друг логаритам е вгнезден под логаритамот). Кога се разликуваме, како што се сеќаваме, подобро е веднаш да се помести константата од дериватниот знак за да не се попречи; и, се разбира, го применуваме познатото правило :

Изводот на природниот логаритам на x е еднаков на еден поделен со x:
(1) (ln x)′ =.

Изводот на логаритамот за основата a е еднаков на еден поделен со променливата x помножена со природниот логаритам на a:
(2) (log a x)′ =.

Доказ

Нека има некој позитивен број кој не е еднаков на еден. Размислете за функција во зависност од променливата x, која е логаритам на основата:
.
Оваа функција е дефинирана на. Да го најдеме неговиот извод во однос на променливата x. По дефиниција, изводот е следнава граница:
(3) .

Да го трансформираме овој израз за да го сведеме на познати математички својства и правила. За да го направите ова, треба да ги знаеме следниве факти:
А)Својства на логаритмот. Ќе ни требаат следниве формули:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
Б)Континуитет на логаритмот и својството на граници за континуирана функција:
(7) .
Еве една функција која има граница и оваа граница е позитивна.
ВО)Значењето на втората извонредна граница:
(8) .

Ајде да ги примениме овие факти до нашата граница. Прво го трансформираме алгебарскиот израз
.
За да го направите ова, ги применуваме својствата (4) и (5).

.

Да го искористиме имотот (7) и вториот извонредна граница (8):
.

И, конечно, го применуваме имотот (6):
.
Логаритам до основа дповикани природен логаритам. Тој е назначен на следниов начин:
.
Потоа;
.

Така, ја добивме формулата (2) за изводот на логаритамот.

Извод на природниот логаритам

Уште еднаш ја запишуваме формулата за изводот на логаритмот за да се заснова a:
.
Оваа формула ја има наједноставната форма за природниот логаритам, за кој , . Потоа
(1) .

Поради оваа едноставност, природниот логаритам е многу широко користен во математичката анализа и во другите гранки на математиката поврзани со диференцијалното сметање. Логаритамски функциисо други основи може да се изрази преку природниот логаритам користејќи својство (6):
.

Дериватот на логаритмот во однос на основата може да се најде од формулата (1), ако ја извадите константата од знакот за диференцијација:
.

Други начини за докажување на изводот на логаритам

Овде претпоставуваме дека ја знаеме формулата за изводот на експоненцијалот:
(9) .
Тогаш можеме да ја изведеме формулата за изводот на природниот логаритам, имајќи предвид дека логаритамот е инверзна функција на експоненцијалот.

Да ја докажеме формулата за изводот на природниот логаритам, со примена на формулата за изводот на инверзната функција:
.
Во нашиот случај. Инверзна функцијаекспоненцијалот на природниот логаритам е:
.
Неговиот дериват се одредува со формулата (9). Променливите може да се означат со која било буква. Во формулата (9), заменете ја променливата x со y:
.
Од тогаш
.
Потоа
.
Формулата е докажана.

Сега ја докажуваме формулата за изводот на природниот логаритам користејќи правила за диференцирање на сложени функции. Бидејќи функциите и се инверзни едни на други, тогаш
.
Ајде да ја диференцираме оваа равенка во однос на променливата x:
(10) .
Изводот на x е еднаков на еден:
.
Го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции:
.
Еве . Ајде да замениме во (10):
.
Од тука
.

Пример

Најдете деривати на 2x, 3xИ lnnx.

Решение

Оригиналните функции имаат слична форма. Затоа ќе го најдеме изводот на функцијата y = log nx. Потоа заменуваме n = 2 и n = 3. И, на тој начин, добиваме формули за деривати на 2xИ 3x .

Значи, го бараме изводот на функцијата
y = log nx .
Да ја замислиме оваа функција како сложена функција која се состои од две функции:
1) Функции во зависност од променлива: ;
2) Функции во зависност од променлива: .
Тогаш оригиналната функција е составена од функциите и:
.

Да го најдеме изводот на функцијата во однос на променливата x:
.
Да го најдеме изводот на функцијата во однос на променливата:
.
Ја применуваме формулата за извод на сложена функција.
.
Еве го поставивме.

Така најдовме:
(11) .
Гледаме дека изводот не зависи од n. Овој резултат е сосема природен ако ја трансформираме оригиналната функција користејќи ја формулата за логаритам на производот:
.
- ова е константа. Неговиот дериват е нула. Тогаш, според правилото за диференцијација на збирот, имаме:
.

Одговори

; ; .

Извод на логаритам на модул x

Ајде да го најдеме изводот на друга многу важна функција - природниот логаритам на модулот x:
(12) .

Да го разгледаме случајот. Тогаш функцијата изгледа вака:
.
Неговиот дериват се одредува со формулата (1):
.

Сега да го разгледаме случајот. Тогаш функцијата изгледа вака:
,
Каде.
Но, го најдовме и дериватот на оваа функција во примерот погоре. Тоа не зависи од n и е еднакво на
.
Потоа
.

Ги комбинираме овие два случаи во една формула:
.

Соодветно на тоа, за логаритмот да базира a, имаме:
.

Деривати од повисоките редови на природниот логаритам

Размислете за функцијата
.
Го најдовме неговиот дериват од прв ред:
(13) .

Ајде да го најдеме изводот од втор ред:
.
Ајде да го најдеме изводот од трет ред:
.
Ајде да го најдеме изводот од четврти ред:
.

Можете да забележите дека дериватот од n-ти ред ја има формата:
(14) .
Да го докажеме ова со математичка индукција.

Доказ

Дозволете ни да ја замениме вредноста n = 1 во формулата (14):
.
Бидејќи , тогаш кога n = 1 , формулата (14) е валидна.

Да претпоставиме дека формулата (14) е задоволена за n = k. Да докажеме дека ова имплицира дека формулата е валидна за n = k + 1 .

Навистина, за n = k имаме:
.
Диференцирајте во однос на променливата x:

.
Така добивме:
.
Оваа формула се совпаѓа со формулата (14) за n = k + 1 . Така, од претпоставката дека формулата (14) е валидна за n = k, следува дека формулата (14) е валидна за n = k + 1 .

Според тоа, формулата (14), за изводот од n-ти ред, важи за секој n.

Изводи од повисоките редови на логаритам до основата a

За да го пронајдете изводот од n-ти ред на логаритам за основата a, треба да го изразите во однос на природниот логаритам:
.
Применувајќи ја формулата (14), го наоѓаме n-тиот дериват:
.

Дали се чувствувате како да има уште многу време пред испитот? Дали е ова месец? Двајца? Година? Практиката покажува дека студентот најдобро се справува со испитот ако почне однапред да се подготвува за него. Има многу тешки задачи, кои им стојат на патот на учениците и идните апликанти до највисоки оценки. Треба да научите да ги надминувате овие пречки, а покрај тоа, тоа не е тешко да се направи. Треба да го разберете принципот на работа со различни задачи од билети. Тогаш нема да има проблеми со новите.

Логаритмите на прв поглед изгледаат неверојатно сложени, но со детална анализа ситуацијата станува многу поедноставна. Доколку сакате да го полагате обединетиот државен испит највисока оценка, треба да го разберете концептот за кој станува збор, што е она што предлагаме да го направиме во оваа статија.

Прво, да ги одвоиме овие дефиниции. Што е логаритам (лог)? Ова е показател за моќноста до која треба да се подигне основата за да се добие наведениот број. Ако не е јасно, ајде да погледнеме елементарен пример.

Во овој случај, основата на дното мора да се подигне до втората моќност за да се добие бројот 4.

Сега да го погледнеме вториот концепт. Изводот на функција во која било форма е концепт што ја карактеризира промената на функцијата во дадена точка. Сепак, ова училишна програма, и ако имате проблеми со овие концепти поединечно, вреди да се повтори темата.

Извод на логаритам

ВО Задачи за унифициран државен испитНа оваа тема може да се наведат неколку проблеми како примери. За почеток, наједноставниот логаритамски дериват. Потребно е да се најде изводот на следнава функција.

Треба да го најдеме следниот дериват

Постои посебна формула.

Во овој случај x=u, log3x=v. Вредностите од нашата функција ги заменуваме во формулата.

Изводот на x ќе биде еднаков на еден. Логаритмот е малку потежок. Но, ќе го разберете принципот ако едноставно ги замените вредностите. Потсетиме дека изводот на lg x е изводот децимален логаритам, а изводот ln x е изводот на природниот логаритам (до основата e).

Сега само приклучете ги добиените вредности во формулата. Пробајте сами, па ќе го провериме одговорот.

Што може да биде проблемот овде за некои? Го воведовме концептот на природен логаритам. Ајде да разговараме за тоа, а во исто време да дознаеме како да ги решиме проблемите со него. Нема да видите ништо комплицирано, особено кога го разбирате принципот на неговото функционирање. Треба да се навикнете, бидејќи често се користи во математиката (во повисоко образовните институцииособено).

Извод на природниот логаритам

Во неговото јадро, тој е изводот на логаритмот на основата e (ова е ирационален број, што е приближно 2,7). Всушност, ln е многу едноставен, па затоа често се користи во математиката воопшто. Всушност, и решавањето на проблемот со него нема да биде проблем. Вреди да се запамети дека изводот на природниот логаритам до основата e ќе биде еднаков на еден поделен со x. Решението на следниот пример ќе биде најоткривачко.