Теорема 3.1.Унијата на кој било број на отворени множества е отворено множество.
Нека Г к, каде k О N се отворени множества.
3Изберете која било точка XО ÎG. По дефиниција за унија на множества, точката X o припаѓа на едно од множествата Г к. Бидејќи Гке отворен сет, тогаш постои е-соседството на точка x o, кој целосно лежи во комплетот Гк: У(x o, e)Ì G k Þ U(хо, е)Ì Г.
Добив поента x o ÎG– внатрешно, што значи дека Г– отворен сет. 4
Теорема 3.2 . раскрсница конечен бројотворени непразни сетови – отворени сетови.
Нека Гк (k = 1,2, …,n) се отворени множества.
Да докажеме дека е отворен сет.
3Изберете која било точка XО ÎG. По дефиниција на пресек на множества X o припаѓа на секое од множествата Гк. Од секој сет Гкотворен, потоа во кој било сет Гкпостои e k- соседство на точка XО : У(xо , е к)Ì G k. многу бројки ( д 1 , д 2 ,…, e n) е конечна, значи има број e = мин{д 1 , д 2 ,…,е n). Потоа д- соседство на точка X o е во секој e k- соседството на точката XО : У(xо , д)М У е(xо , е к) Þ У(xо , д)Ì Г.
Го сфатив тоа X o – внатрешна точка на комплетот Г, што значи дека Г– отворен сет. 4
Забелешка 3.1.Пресекот на бесконечен број отворени множества може да не е отворено множество.
Пример 3.1. Пушти во вселената R G k =(2 – 1/k; 4+ 1/k), Каде k= 1,2,…,n,…. G 1 =(1;5), Г 2(1,5;4,5), Сегмент Ì G kи не е отворен сет, точките 2 и 4 не се внатрешни.
Теорема 3.3 . Пресекот на која било збирка затворени непразни множества е затворено множество.
Нека Фк- затворени комплети.
Да докажеме дека комплетот е затворен, т.е. ги содржи сите свои гранични точки.
3 Нека X Ф.Од дефиницијата за пресек на множества произлегува дека во било која д- соседството на точката X o има бесконечно многу точки од секој сет Фк, што значи дека X o – гранична точка на секој сет Фк. Поради затвореноста на гарнитурите Фкточка
XО О F k "k Þ xО Î Ф.Од поентата X Ф, а тоа значи многу Фзатворена. 4
Теорема 3.4.Унијата на конечен број затворени множества е затворено множество.
Нека се постави секој Фкзатворена.
Да докажеме дека комплетот е затворен, т.е., ако X o – гранична точка на множеството Ф, Тоа XО О Ф.
3 Нека X o – која било гранична точка на множеството Ф, потоа на било кој д- соседството на точката X o има бесконечно многу точки од множеството. Од бројот на множества Фкконечно, тогаш X o припаѓа барем на едно од множествата Фк, т.е. X o е граничната точка за ова множество.
Поради изолација Фкточка X o припаѓа Фк, а со тоа и многу. Од поентата X o се избира произволно, тогаш сите гранични точки припаѓаат на множеството Ф, што значи многу Фзатворена. 4
Забелешка 3.2.Унијата на бесконечен број затворени множества може да биде отворено множество.
Пример 3.2 . Во вселената Р: F k =
F 1 =; F 2 = ; …. Интервалот (2;5) е отворен сет.
Да ги прифатиме без доказ теоремите 3.5 и 3.6 поврзани со комплементот на множеството Ена многумина X: C x E=CE.
Теорема 3.5 . Доколку сетот Езатворена, потоа нејзино дополнување SEотворен сет.
Пример 3.3 . Е=, C R E =(- ¥, 2)È (5,+¥ ).
Теорема 3.6 . Доколку сетот Еотворен, потоа негов комплемент SEзатворен сет.
Пример 3.4 . Е=(2,5), C R E =(-¥, 2]È[ 5, +¥ ).
Една од главните задачи на теоријата на множества точки е проучувањето на својствата разни видовимножества на точки. Ајде да се запознаеме со оваа теорија користејќи два примери и да ги проучиме својствата на таканаречените затворени и отворени множества.
Сетот се вика затворена , ако ги содржи сите свои гранични точки. Ако множеството нема единствена гранична точка, тогаш се смета и за затворено. Покрај граничните точки, затворениот сет може да содржи и изолирани точки. Сетот се вика отворени , ако секоја негова точка е внатрешна за неа.
Ајде да дадеме примери на затворени и отворени множества .
Секој сегмент е затворено множество, а секој интервал (a, b) е отворено множество. Неправилни полуинтервали и затворена, и несоодветни интервали и отворени. Целата линија е и затворен и отворен сет. Удобно е да се смета дека празното множество е и затворено и отворено во исто време. Секое конечно множество точки на правата е затворено, бидејќи нема гранични точки.
Комплет составен од точки:
затворена; ова множество има единствена гранична точка x=0, која припаѓа на множеството.
Главната задача е да откриете како е структуриран произволен затворен или отворен сет. За да го направиме тоа, ќе ни требаат голем број на помошни факти, кои ќе ги прифатиме без доказ.
- 1. Пресекот на кој било број затворени множества е затворен.
- 2. Збирот на кој било број отворени множества е отворено множество.
- 3. Ако затвореното множество е ограничено погоре, тогаш го содржи својот врв. Слично на тоа, ако затворен сет е ограничен долу, тогаш тој го содржи својот инфимум.
Нека Е е произволно множество точки на права. Да го наречеме комплементот на множеството E и да го означиме со CE множеството од сите точки на правата што не припаѓаат на множеството E. Јасно е дека ако x е надворешна точка за E, тогаш тоа е внатрешна точка за комплетот CE и обратно.
4. Ако множеството F е затворено, тогаш неговиот комплемент CF е отворен и обратно.
Предлогот 4 покажува дека постои многу тесна врска помеѓу затворените и отворените множества: некои се комплементи на други. Поради ова, доволно е да се изучуваат само затворени или само отворени комплети. Познавањето на својствата на множествата од еден тип ви овозможува веднаш да ги дознаете својствата на множествата од друг тип. На пример, секое отворено множество се добива со отстранување на некое затворено множество од линија.
Да почнеме да ги проучуваме својствата на затворените множества. Ајде да воведеме една дефиниција. Нека F е затворено множество. Интервалот (a, b) кој има својство дека ниту една од неговите точки не припаѓа на множеството F, туку точките a и b припаѓаат на F, се нарекува соседен интервал од множеството F.
Ќе вклучиме и неправилни интервали како соседни интервали, или ако точката a или точката b припаѓа на множеството F, а самите интервали не се сечат со F. Да покажеме дека ако точката x не припаѓа на затворено множество F, тогаш таа припаѓа на еден од неговите соседни интервали.
Да означиме со делот од множеството F што се наоѓа десно од точката x. Бидејќи самата точка x не припаѓа на множеството F, може да се претстави во форма на пресек:
Секој од множествата е F и затворен. Затоа, со предлог 1, множеството е затворено. Ако множеството е празно, тогаш целиот полуинтервал не припаѓа на множеството F. Сега да претпоставиме дека множеството не е празно. Бидејќи овој сет е целосно лоциран на полу-интервал, тој е ограничен подолу. Неговата долна граница да ја означиме со b. Според предлогот 3, што значи. Понатаму, бидејќи b е инфимум на множеството, полуинтервалот (x, b) што лежи лево од точката b не содржи точки од множеството и, според тоа, не содржи точки од множеството F. Значи, конструиравме полуинтервал (x, b) кој не содржи точки од множеството F, и или точката b припаѓа на множеството F. Слично на тоа, полуинтервал (a, x) е конструиран што не содржи точки од множеството F, и или или. Сега е јасно дека интервалот (a, b) ја содржи точката x и е соседен интервал на множеството F. Лесно е да се види дека ако и се два соседни интервали од множеството F, тогаш овие интервали или се совпаѓаат или се не се вкрстуваат.
Од претходното произлегува дека секое затворено множество на права се добива со отстранување на одреден број интервали од правата, имено соседните интервали на множеството F. Бидејќи секој интервал содржи најмалку една рационална точка, а постои и броило множество од сите рационални точки на правата, лесно е да се уверите дека бројот на сите соседни интервали е најмногу изброив. Од тука го добиваме конечниот заклучок. Секое затворено множество на линија се добива со отстранување од линијата најмногу броиво множество од дисјункционирани интервали.
Врз основа на предлогот 4, веднаш следи дека секое отворено множество на линија не е ништо повеќе од пребројлив збир на дисјункционирани интервали. Врз основа на предлозите 1 и 2, исто така е јасно дека секое множество распоредено како што е наведено погоре е навистина затворено (отворено).
Како што може да се види од следниот пример, затворените множества можат да имаат многу сложена структура.
Отворени и затворени комплети
Додаток 1 . Отворени и затворени комплети
Многумина Мна права линија се нарекува отворени, ако секоја негова точка е содржана во ова множество заедно со одреден интервал. Затвореное множество кое ги содржи сите негови гранични точки (т.е. такво што секој интервал што ја содржи оваа точка го пресекува множеството барем во уште една точка). На пример, сегмент е затворено множество, но не е отворено, а интервал, напротив, е отворено множество, но не е затворено. Има комплети кои не се ниту отворени ниту затворени (на пример, полуинтервал). Има два комплети кои се и затворени и отворени - ова е празно и тоа е тоа З(докажи дека нема други). Лесно е да се види дека ако Мотворете, потоа [` М] (или З \ М- додаток на комплет Мдо З) е затворена. Навистина, ако [` М] не е затворена, тогаш не содржи никаква сопствена гранична точка м. Но тогаш мЗА М, и секој интервал содржи м, се вкрстува со множеството [` М], т.е. има поента што не лежи М, а тоа е во спротивност со фактот дека М– отворено. Слично, исто така директно од дефиницијата се докажува дека ако Ме затворена, а потоа [` М] отвори (провери!).
Сега ќе ја докажеме следната важна теорема.
Теорема. Секој отворен сет Мможе да се претстави како заедница на интервали со рационални краеви (односно, со краеви на рационални точки).
Доказ . Размислете за синдикатот Усите интервали со рационални краеви кои се подмножества на нашето множество. Да докажеме дека овој сојуз се совпаѓа со целата гарнитура. Навистина, ако м- некоја точка од М, тогаш има интервал ( м 1 , м 2) М Мкои содржат м(ова произлегува од фактот дека М– отворено). На кој било интервал можете да најдете рационална точка. Нека ( м 1 , м) - Ова м 3, на ( м, м 2) - ова е м 4. Потоа посочете мопфатени со синдикатот У, имено, интервалот ( м 3 , м 4). Така, докажавме дека секоја точка мод Мопфатени со синдикатот У. Притоа, како што очигледно произлегува од конструкцијата У, нема точка која не е содржана во М, не е покриен У. Средства, УИ Мнатпревар.
Важна последица на оваа теорема е фактот дека секое отворено множество е пребројливкомбинирање на интервали.
Никаде густи множества и множества на мерки нула. Кантор сет>
Додаток 2 . Никаде густи множества и множества на мерки нула. Кантор сет
Многумина Аповикани никаде густо, ако за некои различни точки аИ бпостои сегмент [ в, г] М [ а, б], не се вкрстува со А. На пример, множеството точки во низата а n = [ 1/(n)] никаде не е густ, туку збир рационални броеви- Не.
Баирова теорема. Сегментот не може да се претстави како броила заедница од никаде густи множества.
Доказ . Да претпоставиме дека има низа А кникаде густи множества такви што И јас А јас = [а, б]. Да ја конструираме следната низа на отсечки. Нека Јас 1 - некој сегмент вграден во [ а, б] и не се вкрстува со А 1. По дефиниција, никаде густа поставеност на интервал Јас 1 има отсечка која не се вкрстува со множеството А 2. Ајде да му се јавиме Јас 2. Понатаму, на сегментот Јас 2, на сличен начин земете го сегментот Јас 3, не се вкрстуваат со А 3, итн Редоследот Јас квгнездените сегменти имаат заедничка точка (ова е една од главните својства реални броеви). По конструкција, оваа точка не лежи во ниту еден од комплетите А к, што значи дека овие множества не го покриваат целиот сегмент [ а, б].
Ајде да го повикаме комплетот М со мерка нула, ако за кое било позитивно е има низа Јас кинтервали со вкупна должина помала од e, покривање М. Очигледно, секое броило множество има мерка нула. Сепак, постојат и неброени множества кои имаат мерка нула. Ајде да изградиме една, многу позната, наречена Cantor's.
|
|
| Ориз. 11 |
Ајде да земеме сегмент. Да го поделиме на три еднакви делови. Ајде да го исфрлиме средниот сегмент (слика 11, А). Ќе има два сегменти со вкупна должина [2/3]. Ќе ја извршиме токму истата операција со секој од нив (сл. 11, б). Ќе останат четири сегменти со вкупна должина [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Продолжувајќи вака (сл. 11, В–д) до бесконечност, добиваме множество кое има мерка помала од која било однапред одредена позитивна мерка, т.е. мерка нула. Можно е да се воспостави кореспонденција еден-на-еден помеѓу точките од ова множество и бесконечните низи од нули и единици. Ако при првото „исфрлање“ нашата точка падне во десниот сегмент, ќе ставиме 1 на почетокот на низата, ако во лево - 0 (сл. 11, А). Следно, по првото „исфрлање“, добиваме мала копија од големиот сегмент, со која го правиме истото: ако нашата точка по исфрлањето падне во десниот сегмент, ставете 1, ако лево - 0, итн (проверете ја врската еден на еден) , ориз. 11, б, В. Бидејќи множеството низи од нули и единици има кардиналност континуум, множеството Кантор има и кардиналност континуум. Згора на тоа, лесно е да се докаже дека не е густо никаде. Сепак, не е точно дека има строга мерка нула (види ја дефиницијата за строга мерка). Идејата за докажување на овој факт е како што следува: земете ја низата а n, многу брзо се стреми кон нула. На пример, низата а n = [ 1/(2 2 n)]. Тогаш ќе докажеме дека оваа низа не може да го покрие множеството Cantor (направете го тоа!).
Додаток 3 . Задачи
Поставете операции
Сетови АИ Бсе нарекуваат еднакви, ако секој елемент од множеството Априпаѓа на комплетот Б, и обратно. Ознака: А = Б.
Многумина Аповикани подмножествомножества Б, ако секој елемент од множеството Априпаѓа на комплетот Б. Ознака: АМ Б.
1.
За секое две од следните множества, наведете дали едното е подмножество на другото:
|
2. Докажете дека сетот Аако и само ако е подмножество од множеството Б, кога секој елемент не припаѓа на Б, не припаѓа А.
3. Докажете го тоа за произволни множества А, БИ В
А) АМ А; б) ако АМ БИ БМ В, Тоа АМ В;
V) А = Б, ако и само ако АМ БИ БМ А.
Сетот се вика празен, доколку не содржи никакви елементи. Ознака: Ф.
4.
Колку елементи има секое од следниве множества:
|
5. Колку подмножества има множество од три елементи?
6. Дали множеството може да има точно а) 0; б*) 7; в) 16 подмножества?
Здружениетомножества АИ Б x, Што xЗА Аили xЗА Б. Ознака: АИ Б.
Со вкрстувањемножества АИ Бсе нарекува множество составено од такви x, Што xЗА АИ xЗА Б. Ознака: АЗ Б.
По разликамножества АИ Бсе нарекува множество составено од такви x, Што xЗА АИ xП Б. Ознака: А \ Б.
7. Дадени комплети А = {1,3,7,137}, Б = {3,7,23}, В = {0,1,3, 23}, Д= (0,7,23,1998). Најдете ги комплетите:
| А) АИ Б; | б) АЗ Б; | V) ( АЗ Б) И Д; |
| G) В Z ( ДЗ Б); | г) ( АИ Б)З ( ВИ Д); | д) ( АИ ( БЗ В)) З Д; |
| и) ( ВЗ А) И (( АИ ( ВЗ Д)) З Б); | ж) ( АИ Б) \ (ВЗ Д); | И) А \ (Б \ (В \ Д)); |
| до) (( А \ (БИ Д)) \ В) И Б. |
8. Нека Ае множество од парни броеви и Б– множество од броеви деливи со 3. Најдете АЗ Б.
9. Докажете го тоа за сите сетови А, Б, В
А) АИ Б = БИ А, АЗ Б = БЗ А;
б) АИ ( БИ В) = (АИ Б) И В, А Z ( БЗ В) = (АЗ Б) З В;
V) А Z ( БИ В) = (АЗ Б) И ( АЗ В), АИ ( БЗ В) = (АИ Б)З ( АИ В);
G) А \ (БИ В) = (А \ Б)З ( А \ В), А \ (БЗ В) = (А \ Б) И ( А \ В).
10. Дали е вистина тоа за какви било комплети А, Б, В
| А) А Z ZH = F, А I F = А; | б) АИ А = А, АЗ А = А; | V) АЗ Б = А Y АМ Б; |
| Г) ( А \ Б) И Б = А; 7 г) А \ (А \ Б) = АЗ Б; | д) А \ (Б \ В) = (А \ Б) И ( АЗ В); | |
| и) ( А \ Б) И ( Б \ А) = АИ Б? |
Поставете мапирања
Ако секој елемент xмножества Xточно еден елемент се совпаѓа ѓ(x) поставува Y, тогаш велат дека е дадено приказ ѓод многу Xво мноштвото Y. Во исто време, ако ѓ(x) = y, потоа елементот yповикани начинелемент xкога се прикажува ѓ, и елементот xповикани прототипелемент yкога се прикажува ѓ. Ознака: ѓ: X ® Y.
11. Нацртајте ги сите можни пресликувања од множеството (7,8,9) до множеството (0,1).
Нека ѓ: X ® Y, yЗА Y, АМ X, БМ Y. Целосен прототип на елементот y кога се прикажува ѓсе нарекува множество ( xЗА X | ѓ(x) = y). Ознака: ѓ - 1 (y). Во ликот на мноштвото АМ X кога се прикажува ѓсе нарекува множество ( ѓ(x) | xЗА А). Ознака: ѓ(А). Прототипот на комплетот БМ Y се нарекува множество ( xЗА X | ѓ(x) ЗА Б). Ознака: ѓ - 1 (Б).
12. За прикажување ѓ: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), дадено од сликата, најдете ѓ({0,3}), ѓ({1,3,4}), ѓ - 1 (2), ѓ - 1 ({2,5}), ѓ - 1 ({5,18}).
| а) б) в) |
13. Нека ѓ: X ® Y, А 1 , А 2 М X, Б 1 , Б 2 М Y. Дали е тоа секогаш точно
А) ѓ(X) = Y;
б) ѓ - 1 (Y) = X;
V) ѓ(А 1 Јас А 2) = ѓ(А 1) И ѓ(А 2);
G) ѓ(А 1 В А 2) = ѓ(А 1) З ѓ(А 2);
г) ѓ - 1 (Б 1 Јас Б 2) = ѓ - 1 (Б 1) И ѓ - 1 (Б 2);
д) ѓ - 1 (Б 1 В Б 2) = ѓ - 1 (Б 1) З ѓ - 1 (Б 2);
е) ако ѓ(А 1) М ѓ(А 2), тогаш А 1 М А 2 ;
ж) ако ѓ - 1 (Б 1) М ѓ - 1 (Б 2), тогаш Б 1 М Б 2 ?
Составмапирања ѓ: X ® YИ е: Y ® Зсе нарекува пресликување кое поврзува елемент xмножества Xелемент е(ѓ(x)) поставува З. Ознака: е° ѓ.
14. Докажете го тоа за произволни пресликувања ѓ: X ® Y, е: Y ® ЗИ ч: З ® Все прави следново: ч° ( е° ѓ) = (ч° е)° ѓ.
15. Нека ѓ: (1,2,3,5) ® (0,1,2), е: (0,1,2) ® (3,7,37,137), ч: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – мапирања прикажани на сликата:
| ѓ: е: ч: |
Цртајте слики за следните прикази:
А) е° ѓ; б) ч° е; V) ѓ° ч° е; G) е° ч° ѓ.
Приказ ѓ: X ® Yповикани бијективен, ако за секој yЗА Yима точно еден xЗА Xтакви што ѓ(x) = y.
16. Нека ѓ: X ® Y, е: Y ® З. Дали е вистина дека ако ѓИ етогаш се бијективни е° ѓбијективно?
17. Нека ѓ: (1,2,3) ® (1,2,3), е: (1,2,3) ® (1,2,3), – мапирања прикажани на сликата:
18. За секое две од следните множества, дознајте дали има бијекција од првото до второто (под претпоставка дека нулата е природен број):
а) многу природни броеви;
б) множеството парни природни броеви;
в) множеството природни броеви без бројот 3.
Метрички просторнаречен сет Xсо дадена метрички r: X× X ® З
1) " x,yЗА Xр( x,y) i 0, и r ( x,y) = 0 ако и само ако x = y (ненегативност ); 2) " x,yЗА Xр( x,y) = r ( y,x) (симетрија ); 3) " x,y,zЗА Xр( x,y) + r ( y,z) јас сум ( x,z) (неравенство на триаголник ). 19 19. X
А) X = З, р ( x,y) = | x - y| ;
б) X = З 2, r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) X = В[а,ба,б] функции,
Отвори(соодветно, затворена) топка со радиус рво вселената Xцентриран во точка xнаречен сет У р (x) = {yЗА x:r ( x,y) < р) (соодветно, Б р (x) = {yЗА X:r ( x,y) Ј р}).
Внатрешна точкамножества УМ X У
отворени околинатаоваа точка.
Гранична точкамножества ФМ X Ф.
затворена
20. Докажете го тоа
21. Докажете го тоа
б) соединување на множество А краток спој А
Приказ ѓ: X ® Yповикани континуирано
22.
23. Докажете го тоа
Ф (x) = инф yЗА Фр( x,y
Ф.
24. Нека ѓ: X ® Y– . Дали е точно дека неговата инверзна е континуирана?
Континуирано мапирање еден-на-еден ѓ: X ® Y хомеоморфизам. Простори X, Yхомеоморфни.
25.
26. За кои парови? X, Y ѓ: X ® Y, кој не се држи заеднопоени (т.е. ѓ(x) № ѓ(y) во x № y инвестиции)?
27*. локален хомеоморфизам(т.е. во секоја точка xавион и ѓ(x) торус има такви маала УИ В, Што ѓхомеоморфски карти Уна В).
Метрички простори и континуирани мапирања
Метрички просторнаречен сет Xсо дадена метрички r: X× X ® З, задоволувајќи ги следните аксиоми:
1) " x,yЗА Xр( x,y) i 0, и r ( x,y) = 0 ако и само ако x = y (ненегативност ); 2) " x,yЗА Xр( x,y) = r ( y,x) (симетрија ); 3) " x,y,zЗА Xр( x,y) + r ( y,z) јас сум ( x,z) (неравенство на триаголник ). 28. Докажи дека следните парови ( X,r ) се метрички простори:
А) X = З, р ( x,y) = | x - y| ;
б) X = З 2, r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) X = В[а,б] – множество на континуирано на [ а,б] функции,
Отвори(соодветно, затворена) топка со радиус рво вселената Xцентриран во точка xнаречен сет У р (x) = {yЗА x:r ( x,y) < р) (соодветно, Б р (x) = {yЗА X:r ( x,y) Ј р}).
Внатрешна точкамножества УМ Xе точка која е содржана во Узаедно со некоја топка со ненулти радиус.
Се нарекува множество чии точки се внатрешни отворени. Отворен сет кој содржи оваа точка, повикан околинатаоваа точка.
Гранична точкамножества ФМ Xе точка таква што секое соседство содржи бесконечно многу точки од множеството Ф.
Се нарекува множество кое ги содржи сите негови гранични точки затворена(споредете ја оваа дефиниција со онаа дадена во Додаток 1).
29. Докажете го тоа
а) множеството е отворено ако и само ако неговиот комплемент е затворен;
б) конечната унија и броиво пресек на затворени множества е затворена;
в) броивата унија и конечниот пресек на отворените множества се отворени.
30. Докажете го тоа
а) множеството на гранични точки на кое било множество е затворено множество;
б) соединување на множество Аи множеството од неговите гранични точки ( краток спој А) е затворен сет.
Приказ ѓ: X ® Yповикани континуирано, ако обратната слика на секое отворено множество е отворена.
31. Докажете дека оваа дефиниција е конзистентна со дефиницијата за континуитет на функции на линија.
32. Докажете го тоа
а) растојание до поставување r Ф (x) = инф yЗА Фр( x,y) е континуирана функција;
б) множеството нули на функцијата во точка а) се совпаѓа со затворањето Ф.
33. Нека ѓ: X ® Y
Континуирано мапирање еден-на-еден ѓ: X ® Y, чија инверзна е исто така континуирана се нарекува хомеоморфизам. Простори X, Y, за кои постои такво мапирање, се нарекуваат хомеоморфни.
34. За секој пар од следните множества, одреди дали се хомеоморфни:
35. За кои парови? X, Yпростори од претходниот проблем има континуирано мапирање ѓ: X ® Y, кој не се држи заеднопоени (т.е. ѓ(x) № ѓ(y) во x № y– таквите пресликувања се нарекуваат инвестиции)?
36*. Дојдете со континуирано мапирање од авион до торус што би било локален хомеоморфизам(т.е. во секоја точка xавион и ѓ(x) торус има такви маала УИ В, Што ѓхомеоморфски карти Уна В).
Комплетност. Баирова теорема
Нека X– метрички простор. Последователија x nсе нарекуваат неговите елементи фундаментален, Ако
|
37. Докажете дека конвергентната низа е фундаментална. Дали е точно спротивната изјава?
Метричкиот простор се нарекува комплетен, ако секоја фундаментална низа се конвергира во неа.
38. Дали е вистина дека просторот хомеоморфен на целосен е комплетен?
39. Докажете дека затворениот потпростор на целосниот простор сам по себе е целосен; во него е затворен целосниот потпростор на произволен простор.
40. Докажете дека во целосен метрички простор низа од вгнездени затворени топчиња со радиуси склони кон нула има заеднички елемент.
41. Дали е можно во претходниот проблем да се отстрани условот на комплетноста на просторот или тенденцијата на радиусите на топчињата на нула?
Приказ ѓметрички простор Xповикан во себе компресивни, Ако
|
42. Докажете дека картата на контракција е континуирана.
43. а) Докажете дека пресликувањето на контракција на целосен метрички простор во себе има точно една фиксна точка.
б) Поставете карта на Русија во размер 1:20.000.000 на карта на Русија со размер 1:5.000.000 Докажете дека постои точка чии слики на двете карти се совпаѓаат.
44*. Дали има нецелосен метрички простор во кој изјавата за проблемот е вистинита?
Се нарекува подмножество на метрички простор густо насекаде, ако неговото затворање се совпаѓа со целиот простор; никаде густо– ако неговото затворање нема непразни отворени подмножества (споредете ја оваа дефиниција со онаа дадена во Додаток 2).
45. а) Нека а, б, а , б О ЗИ а < a < b < б. Докажете дека сетот континуирани функциина [ а,б], монотон на , никаде густо во просторот на сите континуирани функции на [ а,б] со униформа метрика.
б) Нека а, б, в, е О ЗИ а < б, в> 0, e > 0. Потоа множеството континуирани функции на [ а,б], така што
|
46. (Генерализирана теорема на Баир .) Докажете дека целосниот метрички простор не може да се претстави како заедница на изброен број никаде густи множества.
47. Докажете дека множеството од континуирани, немонотони на кој било непразен интервал и никаде диференцијабилни функции дефинирани на интервалот е насекаде густо во просторот на сите континуирани функции вклучени со униформа метрика.
48*. Нека ѓ– диференцијабилна функција на интервалот. Докажете дека неговиот извод е континуиран на секаде густо множество точки. Ова е дефиницијатаЛебег мери нула. Ако пребројливиот број на интервали се замени со конечен, ја добиваме дефиницијатаЈорданова
мери нула.
Сега да докажеме некои посебни својства на затворени и отворени множества.
Теорема 1. Збирот на конечен или бројлив број отворени множества е отворено множество. Производот на конечен број отворени множества е отворено множество,
Размислете за збирот на конечен или избројлив број отворени множества:
и нека P припаѓа на g. Да докажеме, како погоре, дека некое -соседство на P припаѓа и на г. Бидејќи P припаѓа на g, тогаш P му припаѓа на сите. Бидејќи - се отворени множества, тогаш за било кое постои некое -соседство на точката што припаѓа на . Ако се земе дека бројот е еднаков на најмалиот од кој бројот е конечен, тогаш -соседството на точката P ќе му припадне на сите и, следствено, на g. Имајте на ум дека не можеме да кажеме дека производот од бројлив број отворени множества е отворено множество.
Теорема 2. Множеството CF е отворено, а множеството CO е затворено.
Ајде да ја докажеме првата изјава. Нека P припаѓа на CF. Неопходно е да се докаже дека некое соседство P припаѓа на CF. Ова произлегува од фактот дека доколку постоеле точки F во кое било - соседство на P, точката P, која не припаѓа по услов, би била гранична точка за F и поради затвореноста би требало да припаѓа, што води кон контрадикторност.
Теорема 3. Производот на конечен или бројлив број затворени множества е затворено множество. Збирот на конечен број затворени множества е затворено множество.
Да докажеме, на пример, дека множеството
затворена. Преминувајќи кон дополнителни множества, можеме да пишуваме
По теорема, множествата се отворени, а според теорема 1, множеството е исто така отворено, а со тоа дополнителното множество g е затворено. Имајте на ум дека збирот на бројливиот број затворени множества, исто така, може да испадне дека е отворено множество.
Теорема 4. Множество е отворено множество и затворено множество.
Лесно е да се проверат следните еднаквости:
Од нив, врз основа на претходните теореми, следува теорема 4.
Ќе кажеме дека множеството g е покриено со систем М од одредени множества ако секоја точка g е вклучена барем во едно од множествата на системот М.
Теорема 5 (Борел). Ако затворено ограничено множество F е покриено со бесконечен систем a од отворени множества O, тогаш од овој бесконечен систем може да се извлече конечен број отворени множества кои исто така го покриваат F.
Оваа теорема ја докажуваме инверзно. Да претпоставиме дека ниеден конечен број на отворени множества од системот a не опфаќа и ова го доведуваме до контрадикција. Бидејќи F е ограничено множество, тогаш сите точки на F припаѓаат на некој конечен дводимензионален интервал. Дозволете ни да го поделиме овој затворен интервал на четири еднакви делови, делејќи ги интервалите на половина. Секој од добиените четири интервали ќе го земеме за затворање. Оние точки од F што паѓаат на еден од овие четири затворени интервали, врз основа на теорема 2, претставуваат затворено множество, и барем едно од овие затворени множества не може да биде покриено со конечен број отворени множества од системот a. Земаме еден од четирите затворени интервали наведени погоре каде се јавува оваа околност. Повторно го делиме овој интервал на четири еднакви делови и размислуваме на ист начин како погоре. Така, добиваме систем од вгнездени интервали од кои секој нареден претставува четврти дел од претходниот, а важи следнава околност: множеството точки F што припаѓаат на кое било k не може да биде покриено со конечен број отворени множества од системот. а. Со бесконечно зголемување на k, интервалите бесконечно ќе се намалуваат до одредена точка P, која припаѓа на сите интервали. Бидејќи за кое било k тие содржат бесконечен број точки, точката P е гранична точка за и затоа припаѓа на F, бидејќи F е затворено множество. Така, точката P е покриена со некое отворено множество кое припаѓа на системот a. Некое соседство на точката P исто така ќе припаѓа на отвореното множество O. За доволно големи вредности на k, интервалите D ќе спаѓаат во горното соседство на точката P. Така, тие целосно ќе бидат покриени само со еден отворено множество O од системот a, и тоа е во спротивност со фактот дека точките кои припаѓаат на кое било k не можат да бидат опфатени со конечен број отворени множества кои припаѓаат на a. Така теоремата е докажана.
Теорема 6. Отвореното множество може да се претстави како збир од бројлив број на полуотворени интервали во парови без заеднички точки.
Потсетиме дека полуотворен интервал во рамнина го нарекуваме конечен интервал дефиниран со неравенки на формата.
Дозволете ни да нацртаме на рамнината мрежа од квадрати со страни паралелни на оските и со должина на страна еднаква на една. Множеството од овие квадрати е броиво множество. Од овие квадрати, да ги избереме оние квадрати чиишто точки припаѓаат на дадено отворено множество O. Бројот на таквите квадрати може да биде конечен или изброив, или можеби воопшто нема да има такви квадрати. Секој од преостанатите квадрати од мрежата го делиме на четири идентични квадрати и од новодобиените квадрати повторно ги избираме оние чии точки сите припаѓаат на О. Повторно го делиме секој од преостанатите квадрати на четири еднакви делови и ги избираме оние квадрати чии сите точки припаѓаат на O итн. Да покажеме дека секоја точка P од множеството O ќе падне во еден од избраните квадрати, чиишто точки припаѓаат на O. Навистина, нека d е позитивното растојание од P до границата на O. Кога ќе дојдеме до квадрати чија дијагонала е помала од , тогаш можеме, очигледно, да тврдиме дека точката P веќе паднала во квадрат, чиишто волумени припаѓаат на О. Ако избраните квадрати се сметаат за полуотворени, тогаш тие ќе немаат заеднички точки во парови, а теоремата е докажана. Бројот на избраните квадрати нужно ќе може да се изброи, бидејќи конечниот збир на полуотворени интервали очигледно не е отворено множество. Означувајќи ги со DL оние полуотворени квадрати што ги добивме како резултат на горната конструкција, можеме да напишеме
Доказ.
1) Навистина, ако поентата Априпаѓа на унијата на отворени множества, тогаш припаѓа барем на едно од овие множества, кое, според условите на теоремата, е отворено. Тоа значи дека припаѓа на одредено соседство О(а) на точката А, но тогаш и оваа населба спаѓа во сојузот на сите отворени гарнитури. Затоа, поентата Ае внатрешната синдикална точка. Бидејќи Ае произволна точка на унија, тогаш таа се состои само од внатрешни точки, и затоа, по дефиниција, е отворено множество.
2) Нека сега X– пресек на конечен број отворени множества. Ако Ае поставена точка X, тогаш припаѓа на секое од отворените множества и, според тоа, е внатрешна точка на секое од отворените множества. Со други зборови, постојат интервали кои се целосно содржани во множествата, соодветно. Да означиме со најмалиот од броевите. Тогаш интервалот ќе биде содржан истовремено во сите интервали, т.е. целосно ќе бидат содржани во , и во ,..., и во , т.е. . Од тукаи заклучуваме дека која било точка е внатрешна точка на множеството X, т.е. многу Xе отворена.
Од оваа теорема произлегува дека пресекот на конечен број соседства на точка a е повторно соседство на оваа точка. Забележете дека пресекот на бесконечен број отворени множества не е секогаш отворено множество.
На пример, пресекот на интервали ,... е множество кое се состои од една точка a, која не е отворено множество (зошто?).
Точката a се нарекува гранична точка на множеството X ако во кое било пробиено соседство на оваа точка има барем една точка од множеството X. , Значи, точката е граничната точка на сегментот
бидејќи во секој пробиен интервал на точка има точка што припаѓа на овој сегмент. На пример, точка која ја задоволува нееднаквоста. И очигледно има многу такви точки. 0, 1] Лесно е да се докаже дека секоја точка од сегментот [ екрајна точка на овој сегмент. Со други зборови, сегментот целосно се состои од неговите гранични точки. Слична изјава важи за секој сегмент. Забележете овде дека сите гранични точки од множеството (0, 1 припаѓаат на овој сегмент. Исто така, очигледно е дека сите точки на сегментот ќе бидат гранични точки за интервалот ) (докажете го тоа!). Сепак, веќе има две ограничувачки точки 0 и 1 (0, 1). не припаѓаат на интервалот
Во овие примери го гледаме тоа
граничните точки на множеството може да припаѓаат или не. Може да се докаже дека во кое било пробиено соседство на граничната точка a од множеството X има бесконечно многу точки од множеството X.
Множеството X се нарекува затворено множество ако ги содржи сите негови гранични точки. Значи,. секој сегмент е затворено множество (0, 1) Интервал ) (докажете го тоа!). Сепак, веќе има две ограничувачки точкине е затворено множество, бидејќи неговите две гранични точки не му припаѓаат . Множество од сите рационални броевиП . Множество од сите рационални броевине е затворен, бидејќи не содржи некои од неговите гранични точки. Конкретно, бројот е граничната точка на множеството . Множество од сите рационални броеви.
(докажи!), но РБидејќи секоја точка од сетот е граничната точка на ова множество и му припаѓа, тогаш.
R – затворен сетСекое конечно множество е затворено, Æ бидејќи множеството од неговите гранични точки е празното множество
, кој припаѓа на самиот сет.
