Соодветни изрази кои се превртуваат еден со друг. За да разберете што значи ова, вреди да се погледне конкретен пример. Да речеме дека имаме y = cos(x). Ако го земете косинусот од аргументот, можете да ја најдете вредноста на y. Очигледно, за ова треба да имате X. Но, што ако играта првично беше дадена? Овде доаѓа до суштината на работата. За да го решите проблемот што треба да го користите инверзна функција. Во нашиот случај тоа е аркозин.

По сите трансформации добиваме: x = arccos(y).

Односно, за да се најде функција инверзна на дадена, доволно е едноставно да се изрази аргумент од неа. Но, ова функционира само ако добиениот резултат има единствено значење (повеќе за ова подоцна).

ВО општ погледовој факт можеме да го напишеме вака: f(x) = y, g(y) = x.

Дефиниција

Нека f е функција чиј домен е множеството X и чиј домен е множеството Y. Тогаш, ако постои g чии домени извршуваат спротивни задачи, тогаш f е инвертибилна.

Згора на тоа, во овој случај g е единствен, што значи дека постои точно една функција што го задоволува ова својство (ни повеќе, ни помалку). Тогаш се нарекува инверзна функција, а во пишувањето се означува на следниов начин: g(x) = f -1 (x).

Со други зборови, тие може да се сметаат како бинарна релација. Реверзибилноста се јавува само кога еден елемент од множеството одговара на една вредност од друга.

Инверзната функција не постои секогаш. За да го направите ова, секој елемент y є Y мора да одговара на најмногу еден x є X. Тогаш f се нарекува еден-на-еден или инјекција. Ако f -1 припаѓа на Y, тогаш секој елемент од ова множество мора да одговара на некои x ∈ X. Функциите со ова својство се нарекуваат сурјекции. По дефиниција важи ако Y е слика на f, но тоа не е секогаш случај. За да биде инверзна, функцијата мора да биде и инјекција и шприц. Таквите изрази се нарекуваат биекции.

Пример: функции на квадрат и корен

Функцијата е дефинирана на

E(y) = [-π/2;π/2]

y (-x) = arcsin(-x) = - arcsin x – непарна функција, графикот е симетричен во однос на точката O(0;0).

arcsin x = 0 на x = 0.

arcsin x > 0 на x є (0;1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

    y = arcsin x се зголемува за било кој x є [-1;1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>лаксин x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

лак косинус

Косинусот се намалува на отсечката и ги зема сите вредности од -1 до 1. Затоа, за секој број a таков што |a|1, на отсечката има еден корен во равенката cosx=a. Овој број b се нарекува аркозин на бројот a и се означува со arcos a.

Дефиниција . Косинусот на лакот на бројот a, каде што -1 a 1, е број од отсечката чиј косинус е еднаков на a.

Својства.

  1. E(y) =

    y(-x) = arccos(-x) = π - arccos x – функцијата не е ниту парна ниту непарна.

    arccos x = 0 на x = 1

    arccos x > 0 на x є [-1;1)

arccos x< 0 – нет решений

    y = arccos x се намалува за кој било x є [-1;1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 – се намалува.

Арктангенс

Функцијата тангента се зголемува на сегментот -
Според тоа, според теоремата на коренот, равенката tgx=a, каде што a е кој било реален број, има единствен корен x на интервалот -. Овој корен се нарекува арктангенс на a и се означува arctga.

Дефиниција. Арктангенс на бројот аР овој број се нарекува x , чија тангента е еднаква на a.

Својства.

    E(y) = (-π/2;π/2)

    y(-x) = y = arctg(-x) = - arctg x – функцијата е непарна, графикот е симетричен во однос на точката O(0;0).

    arctg x = 0 на x = 0

    Функцијата се зголемува за било кој x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Аркотангента

Котангентната функција на интервалот (0;) се намалува и ги зема сите вредности од R. Затоа, за кој било број a во интервалот (0;) постои еден корен од равенката cotg x = a. Овој број a се нарекува лактангента на бројот a и се означува со arcctg a.

Дефиниција. Лачниот котангенс на бројот a, каде што R е број од интервалот (0;) , чија котангента е еднаква на a.

Својства.

    E(y) = (0;π)

    y(-x) = arcctg(-x) = π - arcctg x – функцијата не е ниту парна ниту непарна.

    arcctg x = 0– не постои.

    Функција y = arcctg xсе намалува за било кој x є Р

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

    Функцијата е континуирана за кој било x є R.

2.3 Идентични трансформации на изрази кои содржат инверзни тригонометриски функции

Пример 1. Поедноставете го изразот:

А)
Каде

Решение. Да ставиме
. Потоа
И
Да се ​​најде
, да ја искористиме релацијата
Добиваме
Но . На овој сегмент, косинусот зема само позитивни вредности. Така,
т.е
Каде
.

б)

Решение.

V)

Решение. Да ставиме
. Потоа
И
Ајде прво да најдеме, за што ја користиме формулата
, каде
Бидејќи во овој интервал косинус зема само позитивни вредности, тогаш
.

Меѓусебно инверзни функции.

Нека функцијата е строго монотона (зголемување или намалување) и континуирана на доменот на дефиниција, доменот на вредностите на оваа функција, потоа на интервалот се дефинира континуирана строго монотона функција со домен на вредности, која е обратно на .

Со други зборови, има смисла да се зборува за инверзна функција за функција на одреден интервал ако таа или се зголемува или намалува на овој интервал.

Функции ѓ И е се нарекуваат меѓусебно инверзни.

Зошто воопшто да се разгледа концептот на инверзни функции?

Ова е предизвикано од проблемот на решавање равенки. Решенијата се пишуваат со помош на инверзни функции.

Ајде да размислиме неколку примери за наоѓање инверзни функции .

Да почнеме со линеарни меѓусебно инверзни функции.

    Најдете ја инверзната функција за.

Оваа функција е линеарна, нејзиниот график е права линија. Ова значи дека функцијата е монотона во целиот домен на дефиниција. Затоа, ќе ја бараме неговата инверзна функција низ целиот домен на дефиниција.

.

Да се ​​изразиме x преку y (со други зборови, да ја решиме равенката за x ).

- ова е инверзната функција, иако овде y - аргумент, и x е функцијата на овој аргумент. За да не се прекршат навиките во нотација (ова не е од фундаментално значење), преуредување на буквите x И y , ќе напишеме .

Така, и се меѓусебно инверзни функции.

Еве графичка илустрација на заемно инверзни линеарни функции.

Очигледно е дека графиконите се симетрични во однос на права линија (симетрали на првиот и третиот квартал). Ова е едно од својствата на меѓусебните инверзни функции, што ќе се дискутира подолу.

    Најдете ја инверзната функција.

Оваа функција е квадратна графикот е парабола со теме во точка;

.

Функцијата се зголемува во и се намалува во. Ова значи дека можете да ја пребарувате инверзната функција за дадена на еден од двата интервали.

Нека, тогаш, и, заменувајќи ги x и y, ја добиваме инверзната функција на даден интервал: .



    Најдете ја инверзната функција.

Оваа функција е кубна, графикот е кубна парабола со своето теме во точка.

.

Функцијата се зголемува во. Ова значи дека може да се бара инверзна функција за дадена во целиот домен на дефиниција.

, и со замена на x и y, ја добиваме инверзната функција.

Ајде да го илустрираме ова на графикон.


Ајде да наведеме својства на меѓусебно инверзни функции И.

    И.

    Од првото својство е јасно дека доменот на дефиниција на функцијата се совпаѓа со доменот на вредностите на функцијата и обратно.

    Графиконите на взаемно инверзните функции се симетрични во однос на права линија.

    Ако се зголемува, тогаш се зголемува ако се намалува, тогаш се намалува.

    За дадена функцијаНајдете ја инверзната функција:

    За дадена функција, најдете ги инверзните и зацртаните графикони на дадената и инверзната функција: Откријте дали има инверзна функција за дадена функција. Ако да, тогаш аналитички дефинирајте ја инверзната функција, нацртајте график на дадената и инверзна функција: Најдете го доменот и опсегот на функцијата што е инверзна на функцијата ако:

    1. Најдете го опсегот на вредности на секоја од взаемно инверзните функции и, ако се наведени нивните домени на дефиниција:

      Дали функциите се меѓусебно инверзни ако:

    1. Најдете ја инверзната функција на дадената. Конструирај графикони на овие взаемно инверзни функции на еден координатен систем:

      Дали оваа функција е обратна сама по себе: Наведете ја инверзната функција на оваа и нацртајте го нејзиниот график:

Дефиниција на инверзна функција.

Нека функцијата е строго монотона (зголемување или намалување) и континуирана на доменот на дефиниција, опсегот на вредностите на оваа функција, потоа на интервалот се дефинира континуирана строго монотона функција со опсег на вредности, која е обратно на .

Со други зборови, има смисла да се зборува за инверзна функција за функција на одреден интервал ако таа или се зголемува или намалува на овој интервал.

Функциите f и g наречен реципрочен.

Зошто воопшто да се разгледа концептот на инверзни функции?

Ова е предизвикано од проблемот на решавање равенки. Решенијата се пишуваат со помош на инверзни функции.

Примери за пронаоѓање на реципрочни функции.

На пример, треба да ја решите равенката.

Решенијата се точки .

Функциите косинус и аркозин се токму инверзи на доменот на дефиниција.

Ајде да размислиме неколку примери за наоѓање инверзни функции.

Да почнеме со линеарни реципрочни функции.

Пример.

Решение.

Доменот на дефиниција и опсегот на вредности на оваа функција е целиот сет реални броеви. Да го изразиме x во однос на y (со други зборови, да ја решиме равенката за x).

Ова е инверзна функција, иако овде y е аргумент, а x е функција на овој аргумент. За да не ги прекршиме навиките во нотација (ова не е од фундаментално значење), ќе ги преуредиме буквите x и y и ќе напишеме .

Така, и се меѓусебно инверзни функции.

Еве графичка илустрација на заемно инверзни линеарни функции.

Очигледно е дека графиците се симетрични во однос на правата y=x (симетрали на првиот и третиот квадрант). Ова е едно од својствата на меѓусебните инверзни функции, за кое ќе се дискутира подолу.

Сега да погледнеме пример за наоѓање логаритамска функција обратна на дадена експоненцијална функција.

Пример.

Најдете ја инверзната функција за .

Решение.

Доменот на дефиниција на оваа функција е целиот сет на реални броеви, опсегот на вредности е интервалот. Да го изразиме x во однос на y (со други зборови, да ја решиме равенката за x).

Ова е инверзна функција. Преуредувајќи ги буквите x и y, имаме .

Така, и е експоненцијален и логаритамски функцииима взаемно инверзни функции на доменот на дефиниција.

График на меѓусебно инверзни експоненцијални и логаритамски функции.

Својства на меѓусебно инверзни функции.

Ајде да наведеме својства на меѓусебно инверзни функцииИ .

Забелешка за имотот 1).

На пример: И - меѓусебно инверзни функции. Со првиот имот што го имаме . Оваа еднаквост е точно само за позитивно y, логаритамот не е дефиниран. Затоа, не брзајте со записи како , и ако веќе сте го напишале така, тогаш треба да ја додадете фразата „ за позитивно y».

Еднаквоста за возврат е вистинита за секој реален x.

Се надеваме дека ја сфативте оваа суптилна точка.

Треба да бидете особено внимателни со тригонометриските и инверзните тригонометриски функции.

На пример, , бидејќи опсегот на вредности на лаксин не спаѓа во него.

Ќе биде во право

За возврат постои вистинска еднаквост.

Тоа е на и во .

Уште еднаш да нагласиме: ВНИМАТЕЛНО СО ОБЛАСТА НА ДЕФИНИЦИЈА И ОБЛАСТА НА ВРЕДНОСТ!

Графикони на основни елементарни меѓусебно инверзни функции.

Ако ви требаат инверзни функции за гранки на тригонометриски функции различни од главните, тогаш соодветната инверзна тригонометриска функцијаќе биде потребно поместување по оската на ординатите за потребниот број точки.

На пример, ако ви треба инверзна функција за тангента гранка на интервал (оваа гранка се добива од главната гранка со поместување за износ по должината на оската oh), тогаш тоа ќе биде гранката на арктангента поместена по оската о за .

Засега, да завршиме со инверзни функции.

Референци.

  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницин Ју.П. и други Алгебра и почетоците на анализата: Проц. за 10-11 одделение. општообразовните институции.