Знак за паралелизам на две прави низ соодветните агли. Знаци на паралелизам на две прави. Својства на паралелни прави. IV. Консолидирање на нов материјал

Цели на лекцијата: Во оваа лекција ќе се запознаете со концептот на „паралелни линии“, ќе научите како можете да ја потврдите паралелизмот на правите, како и какви својства имаат аглите формирани од паралелни прави и трансверзала.

Паралелни линии

Знаете дека концептот на „права линија“ е еден од таканаречените неопределени концепти на геометријата.

Веќе знаете дека две прави може да се совпаѓаат, односно да ги имаат сите заеднички точки или да се сечат, односно да имаат една заедничка точка. Правите линии се сечат под различни агли, а аголот помеѓу правите линии се смета за најмал од аглите формирани од нив. Посебен случај на пресек може да се смета случајот на перпендикуларност, кога аголот формиран од прави линии е еднаков на 90 0.

Но, две прави линии можеби нема заеднички точки, односно не се вкрстувајте. Таквите линии се нарекуваат паралелно.

Работете со електронски образовен ресурс « ».

За да се запознаете со концептот на „паралелни линии“, работете со материјалите за видео лекција

Така, сега ја знаете дефиницијата за паралелни прави.

Од материјалите во фрагментот од видео лекцијата, научивте за различните типови на агли кои се формираат кога две прави линии се сечат со трета.

Парови на агли 1 и 4; 3 и 2 се нарекуваат внатрешни еднострани агли(лежат помеѓу прави линии аИ б).

Парови на агли 5 и 8; 7 и 6 се нарекуваат надворешни еднострани агли(тие лежат надвор од линиите аИ б).

Парови на агли 1 и 8; 3 и 6; 5 и 4; 7 и 2 се нарекуваат еднострани агли под прав агол аИ би секант в. Како што можете да видите, од пар соодветни агли, еден лежи помеѓу правиот агол аИ б, а другиот е надвор од нив.

Знаци на паралелни линии

Очигледно е дека користејќи ја дефиницијата не може да се заклучи дека две прави се паралелни. Затоа, за да се заклучи дека две прави се паралелни, користете знаци.

Веќе можете да формулирате еден од нив откако ќе се запознаете со материјалите од првиот дел од видео лекцијата:

Теорема 1. Две прави нормални на третата не се сечат, односно се паралелни.

Ќе се запознаете со други знаци на паралелизам на правите засновани на еднаквост на одредени парови агли со работа со материјалите во вториот дел од видео лекцијата"Знаци на паралелни линии."

Така, треба да знаете уште три знаци на паралелни линии.

Теорема 2 (првиот знак на паралелни прави). Ако, кога две прави вкрстено се сечат, вклучените агли се еднакви, тогаш линиите се паралелни.

Ориз. 2. Илустрација за првиот знакпаралелизам на прави

Повторете го првиот знак на паралелни линии уште еднаш со работа со електронскиот образовен ресурс « ».

Така, при докажување на првиот знак за паралелизам на правите, се користи знакот за еднаквост на триаголниците (на две страни и аголот меѓу нив), како и знакот за паралелизам на правите нормални на една права линија.

Вежба 1.

Запишете ја формулацијата на првиот знак на паралелни прави и неговиот доказ во вашите тетратки.

Теорема 3 (втор знак на паралелни прави). Ако, кога две прави се сечат со трансверзала, соодветните агли се еднакви, тогаш правите се паралелни.

Повторете го вториот знак на паралелни линии уште еднаш со работа со електронскиот образовен ресурс « ».

При докажување на вториот знак за паралелизам на правите се користи својството на вертикалните агли и првиот знак за паралелизам на правите.

Задача 2.

Запишете ја формулацијата на вториот критериум за паралелизам на правите и неговото докажување во вашите тетратки.

Теорема 4 (трет знак на паралелни прави). Ако, кога две прави се сечат со трансверзала, збирот на едностраните агли е еднаков на 180 0, тогаш правите се паралелни.

Повторете го третиот знак на паралелни линии уште еднаш со работа со електронскиот образовен ресурс « ».

Така, при докажување на првиот знак за паралелизам на правите, се користи својството на соседните агли и првиот знак за паралелизам на правите.

Задача 3.

Запишете ја формулацијата на третиот критериум за паралелни прави и неговиот доказ во вашите тетратки.

За да вежбате решавање едноставни проблеми, работете со материјалите од електронскиот образовен ресурс « ».

При решавање на проблеми се користат знаци на паралелизам на правите.

Сега погледнете примери за решавање проблеми на знаците на паралелни линии, работејќи со материјалите од видео лекцијата„Решавање проблеми на тема „Знаци на паралелни линии“.

Сега тестирајте се со завршување на задачите на контролниот електронски образовен ресурс « ».

Секој што сака повеќе да работи со решението сложени задачи, може да работи со видео материјали за лекција „Задачи за знаци на паралелизам на правите“.

Својства на паралелни прави

Паралелните линии имаат збир на својства.

Кои се овие својства ќе ги научите работејќи со материјалите за видео упатства „Својства на паралелни прави“.

Значи, важен факт што треба да го знаете е аксиомата за истовременост.

Аксиома на паралелизам. Преку точка што не лежи на дадена права, можно е да се повлече линија паралелна на дадената, а згора на тоа, само една.

Како што научивте од видео туторијалот, врз основа на оваа аксиома, може да се формулираат две последици.

Заклучок 1.Ако правата пресекува една од паралелните прави, тогаш ја пресекува и другата паралелна права.

Заклучок 2.Ако две прави се паралелни на трета, тогаш тие се паралелни една со друга.

Задача 4.

Запишете ја формулацијата на наведените последици и нивните докази во вашите тетратки.

Својствата на аглите формирани од паралелни прави и трансверзала се теореми кои се инверзни на соодветните својства.

Значи, од материјалите за видео лекции го научивте својството на вкрстени агли.

Теорема 5 (теорема обратна на првиот критериум за паралелни прави). Кога две паралелни прави вкрстено се сечат, вклучените агли се еднакви.

Задача 5.

Повторете го првото својство на паралелните прави уште еднаш со работа со електронскиот образовен ресурс « ».

Теорема 6 (теорема обратна на вториот критериум за паралелизам на правите). Кога се сечат две паралелни прави, соодветните агли се еднакви.

Задача 6.

Запишете ја изјавата на оваа теорема и нејзиниот доказ во вашите тетратки.

Повторете го второто својство на паралелните прави уште еднаш со работа со електронскиот образовен ресурс « ».

Теорема 7 (теорема обратна на третиот критериум за паралелизам на правите). Кога се сечат две паралелни прави, збирот на едностраните агли е 180 0.

Задача 7.

Запишете ја изјавата на оваа теорема и нејзиниот доказ во вашите тетратки.

Повторете го третото својство на паралелните прави уште еднаш со работа со електронскиот образовен ресурс « ».

Сите својства на паралелните прави се користат и при решавање проблеми.

Размислете за типични примери за решавање проблеми со работа со материјалите за видео лекција „Паралелни линии и проблеми на аглите меѓу нив и трансверзалата“.

Знаци на паралелизам на две прави

Теорема 1. Ако, кога две прави се сечат со секанта:

вкрстените агли се еднакви, или

соодветните агли се еднакви или

тогаш збирот на едностраните агли е 180°

линиите се паралелни(сл. 1).

Доказ. Се ограничуваме на докажување на случајот 1.

Нека се вкрстуваат правите a и b, а аглите AB се еднакви. На пример, ∠ 4 = ∠ 6. Да докажеме дека a || б.

Да претпоставиме дека правите a и b не се паралелни. Потоа тие се сечат во одредена точка М и, според тоа, еден од аглите 4 или 6 ќе биде надворешниот агол на триаголникот ABM. За точност, нека ∠ 4 е надворешниот агол на триаголникот ABM, а ∠ 6 внатрешниот. Од теоремата за надворешниот агол на триаголникот произлегува дека ∠ 4 е поголемо од ∠ 6, а тоа е во спротивност со условот, што значи дека правите a и 6 не можат да се сечат, па затоа се паралелни.

Заклучок 1. Две различни прави во рамнина нормална на иста права се паралелни(сл. 2).

Коментар. Начинот на кој штотуку го докажавме случајот 1 од теоремата 1 се нарекува метод на докажување со контрадикторност или сведување на апсурд. Овој метод го доби своето прво име затоа што на почетокот на аргументот се прави претпоставка која е спротивна (спротивна) на она што треба да се докаже. Тоа се нарекува доведување до апсурд поради фактот што резонирајќи врз основа на направената претпоставка доаѓаме до апсурден заклучок (до апсурдот). Добивањето на таков заклучок нè принудува да ја отфрлиме претпоставката направена на почетокот и да ја прифатиме онаа што требаше да се докаже.

Задача 1.Конструирај права што минува низ дадена точка М и паралелна на дадена права a, а не поминува низ точката М.

Решение. Повлекуваме права линија p низ точката M нормална на правата а (сл. 3).

Потоа повлекуваме права b низ точката M нормална на правата p. Правата b е паралелна со правата a според заклучокот од теоремата 1.

Од разгледуваниот проблем произлегува важен заклучок:
низ точка која не лежи на дадена права, секогаш е можно да се повлече права паралелна на дадената.

Главното својство на паралелните прави е како што следува.

Аксиома на паралелни прави. Низ дадена точка која не лежи на дадена права, поминува само една права паралелна на дадената.

Да разгледаме некои својства на паралелните прави што следат од оваа аксиома.

1) Ако правата пресекува една од двете паралелни прави, тогаш ја пресекува и другата (сл. 4).

2) Ако две различни прави се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни (сл. 5).

Вистина е и следната теорема.

Теорема 2. Ако две паралелни прави се пресечени со трансверзала, тогаш:

попречните агли се еднакви;

соодветните агли се еднакви;

збирот на едностраните агли е 180°.

Заклучок 2. Ако правата е нормална на една од двете паралелни прави, тогаш таа е и нормална на другата(види Сл. 2).

Коментар. Теоремата 2 се нарекува инверзна на теорема 1. Заклучокот на теоремата 1 е условот на теоремата 2. А условот на теоремата 1 е заклучокот на теоремата 2. Не секоја теорема има инверзна, т.е. оваа теоремае вистина, тогаш конверзна теоремаможе да биде неточна.

Дозволете ни да го објасниме ова користејќи го примерот на теоремата за вертикални агли. Оваа теорема може да се формулира на следниов начин: ако два агли се вертикални, тогаш тие се еднакви. Обратна теорема би била: ако два агли се еднакви, тогаш тие се вертикални. И ова, се разбира, не е точно. Две еднакви агливоопшто не мора да биде вертикална.

Пример 1.Две паралелни линии се вкрстени со една третина. Познато е дека разликата помеѓу два внатрешни еднострани агли е 30°. Најдете ги овие агли.

Решение. Нека Слика 6 го исполнува условот.

Во оваа статија ќе зборуваме за паралелни линии, ќе дадеме дефиниции и ќе ги наведеме знаците и условите на паралелизам. За да го направиме теоретскиот материјал појасен, ќе користиме илустрации и решенија за типични примери.

Дефиниција 1

Паралелни линии на рамнина– две прави линии на рамнина кои немаат заеднички точки.

Дефиниција 2

Паралелни линии во тродимензионален простор– две прави линии во тродимензионален простор, кои лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.

Неопходно е да се забележи дека за одредување паралелни линии во просторот, појаснувањето „лежи во иста рамнина“ е исклучително важно: две линии во тродимензионален простор што немаат заеднички точки и не лежат во иста рамнина не се паралелни. , но се вкрстуваат.

За означување на паралелни линии, вообичаено е да се користи симболот ∥. Односно, ако дадените прави a и b се паралелни, овој услов треба накратко да се запише на следниов начин: a ‖ b. Вербално, паралелизмот на правите се означува на следниов начин: правите a и b се паралелни, или правата a е паралелна на правата b, или правата b е паралелна на правата a.

Дозволете ни да формулираме изјава која игра важна улога во темата што се проучува.

Аксиома

Низ точка што не припаѓа на дадена права, поминува единствената права паралелна на дадената. Ова тврдење не може да се докаже врз основа на познатите аксиоми на планиметријата.

Во случај кога зборуваме за простор, теоремата е вистинита:

Теорема 1

Низ која било точка во просторот што не припаѓа на дадена права, ќе има една права линија паралелна на дадената.

Оваа теорема е лесно да се докаже врз основа на горенаведената аксиома (програма за геометрија за одделение 10 - 11).

Критериумот за паралелизам е доволен услов, чие исполнување гарантира паралелизам на правите. Со други зборови, исполнувањето на овој услов е доволно за да се потврди фактот на паралелизам.

Конкретно, постојат неопходни и доволни услови за паралелизам на линиите на рамнината и во просторот. Да објасниме: неопходно е условот чие исполнување е неопходно за паралелни прави; ако не се исполни, линиите не се паралелни.

Да резимираме, неопходен и доволен услов за паралелизам на правите е услов чиешто почитување е неопходно и доволно за правите да бидат паралелни една со друга. Од една страна, ова е знак на паралелизам, од друга страна, тоа е својство својствено за паралелни линии.

Пред да дадеме точна формулација на неопходен и доволен услов, да се потсетиме на неколку дополнителни концепти.

Дефиниција 3

Пресечна линија– права линија што ја пресекува секоја од двете дадени права кои не се совпаѓаат.

Пресекувајќи две прави линии, трансверзалата формира осум неразвиени агли. За да формулираме неопходен и доволен услов, ќе користиме такви типови на агли како вкрстени, соодветни и еднострани. Ајде да ги демонстрираме во илустрацијата:

Теорема 2

Ако две прави во една рамнина се пресечени со трансверзала, тогаш за дадените прави да бидат паралелни потребно е и доволно аглите што се пресекуваат да бидат еднакви, или соодветните агли да се еднакви или збирот на едностраните агли да биде еднаков на 180 степени.

Дозволете ни графички да го илустрираме потребниот и доволен услов за паралелизам на правите на рамнина:

Доказот за овие состојби е присутен во програмата за геометрија за 7-9 одделение.

Општо земено, овие услови важат и за тродимензионалниот простор, под услов две линии и секанта да припаѓаат на иста рамнина.

Да наведеме уште неколку теореми кои често се користат за да се докаже фактот дека правите се паралелни.

Теорема 3

На рамнина, две прави паралелни на трета се паралелни една со друга. Оваа карактеристика е докажана врз основа на аксиомата за паралелизам наведена погоре.

Теорема 4

Во тродимензионалниот простор, две прави паралелни на трета се паралелни една со друга.

Доказот за знак се изучува во наставната програма по геометрија за 10-то одделение.

Да дадеме илустрација за овие теореми:

Да наведеме уште еден пар теореми кои ја докажуваат паралелизмот на правите.

Теорема 5

На рамнина, две прави нормални на третина се паралелни една на друга.

Дозволете ни да формулираме слична работа за тридимензионален простор.

Теорема 6

Во тродимензионалниот простор, две прави нормални на третина се паралелни една на друга.

Да илустрираме:

Сите горенаведени теореми, знаци и услови овозможуваат погодно да се докаже паралелизмот на линиите користејќи ги методите на геометријата. Односно, за да се докаже паралелизмот на правите, може да се покаже дека соодветните агли се еднакви или да се покаже фактот дека две дадени прави се нормални на третата, итн. Но, забележете дека често е попогодно да се користи методот на координати за да се докаже паралелизмот на линиите на рамнина или во тродимензионален простор.

Паралелизам на правите во правоаголен координатен систем

Во даден правоаголен координатен систем, права линија се одредува со равенката на права линија на рамнина од еден од можните типови. Слично на тоа, права линија дефинирана во правоаголен координатен систем во тродимензионален простор одговара на некои равенки за права линија во просторот.

Да ги запишеме неопходните и доволни услови за паралелизам на правите во правоаголен координатен систем во зависност од видот на равенката што ги опишува дадените прави.

Да почнеме со условот на паралелизам на правите на рамнина. Се заснова на дефинициите за векторот на насоката на правата и нормалниот вектор на правата на рамнината.

Теорема 7

За две прави кои не се совпаѓаат да бидат паралелни на рамнината, потребно е и доволно векторите на правецот на дадените линии да бидат колинеарни, или нормалните вектори на дадените линии се колинеарни или векторот на насоката на една права е нормален на нормалниот вектор на другата права.

Станува очигледно дека условот за паралелизам на правите на рамнина се заснова на условот за колинеарност на вектори или услов за нормалност на два вектори. Односно, ако a → = (a x , a y) и b → = (b x, b y) се вектори на насоката на правите a и b ;

и n b → = (n b x, n b y) се нормални вектори на правите a и b, потоа го запишуваме горенаведениот неопходен и доволен услов на следниов начин: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y или n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y или a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , каде што t е некој реален број. Координатите на водилките или правите вектори се одредуваат со дадените равенки на правите линии. Да ги погледнеме главните примери.

1. Право a во правоаголен координатен систем е дефиниран општа равенкаправа линија: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; права линија b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Тогаш нормалните вектори на дадените линии ќе имаат координати (A 1, B 1) и (A 2, B 2), соодветно. Условот за паралелизам го пишуваме на следниов начин:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Правата a е опишана со равенката на права со наклон од формата y = k 1 x + b 1 . Права b - y = k 2 x + b 2. Тогаш нормалните вектори на дадените прави ќе имаат координати (k 1, - 1) и (k 2, - 1), соодветно, а условот за паралелизам ќе го запишеме на следниов начин:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Така, ако паралелните прави на рамнина во правоаголен координатен систем се дадени со равенки со аголни коефициенти, тогаш аголните коефициенти на дадените прави ќе бидат еднакви. А спротивната изјава е точно: ако несовпаѓачките линии на рамнина во правоаголен координатен систем се определуваат со равенките на права со идентични аголни коефициенти, тогаш овие дадени линии се паралелни.

1. Правилата a и b во правоаголен координатен систем се одредени со канонските равенки на права на рамнина: x - x 1 a x = y - y 1 a y и x - x 2 b x = y - y 2 b y или со параметарски равенки на права на рамнина: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y и x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Тогаш векторите на насоката на дадените прави ќе бидат: a x, a y и b x, b y, соодветно, а условот за паралелизам ќе го запишеме на следниов начин:

a x = t b x a y = t b y

Ајде да погледнеме примери.

Пример 1

Дадени се две линии: 2 x - 3 y + 1 = 0 и x 1 2 + y 5 = 1. Неопходно е да се утврди дали тие се паралелни.

Решение

Да ја напишеме равенката на права линија во отсечки во форма на општа равенка:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Гледаме дека n a → = (2, - 3) е нормалниот вектор на правата 2 x - 3 y + 1 = 0, а n b → = 2, 1 5 е нормалниот вектор на правата x 1 2 + y 5 = 1.

Добиените вектори не се колинеарни, бидејќи не постои таква вредност на tat што еднаквоста ќе биде вистинита:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Така, не е задоволен нужниот и доволен услов за паралелизам на правите на рамнина, што значи дадените прави не се паралелни.

Одговор:дадените прави не се паралелни.

Пример 2

Дадени се правите y = 2 x + 1 и x 1 = y - 4 2. Дали се тие паралелни?

Решение

Да ја трансформираме канонската равенка на права линија x 1 = y - 4 2 во равенката на права линија со наклонот:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Гледаме дека равенките на правите y = 2 x + 1 и y = 2 x + 4 не се исти (ако беше поинаку, линиите би се совпаѓале) и аголните коефициенти на правата се еднакви, што значи дека дадените линии се паралелни.

Ајде да се обидеме да го решиме проблемот поинаку. Прво, да провериме дали дадените линии се совпаѓаат. Ние користиме која било точка на правата y = 2 x + 1, на пример, (0, 1), координатите на оваа точка не одговараат на равенката на правата x 1 = y - 4 2, што значи дека линиите прават не се совпаѓаат.

Следниот чекор е да се утврди дали е исполнет условот за паралелизам на дадените прави.

Нормалниот вектор на правата y = 2 x + 1 е векторот n a → = (2 , - 1) , а векторот на насоката на втората дадена права е b → = (1 , 2) . Скаларниот производ на овие вектори е еднаков на нула:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Така, векторите се нормални: ова ни го покажува исполнувањето на потребниот и доволен услов за паралелизам на оригиналните линии. Оние. дадените прави се паралелни.

Одговор:овие линии се паралелни.

За да се докаже паралелизмот на правите во правоаголен координатен систем на тродимензионален простор, се користи следниот неопходен и доволен услов.

Теорема 8

За две несовпаѓачки прави во тродимензионалниот простор да бидат паралелни, потребно е и доволно векторите на насоката на овие прави да бидат колинеарни.

Оние. со оглед на равенките на правите во тродимензионалниот простор, одговорот на прашањето: дали се паралелни или не, се наоѓа со определување на координатите на векторите на насоката на дадените прави, како и проверка на состојбата на нивната колинеарност. Со други зборови, ако a → = (a x, a y, a z) и b → = (b x, b y, b z) се вектори на насока на правите a и b, соодветно, тогаш за тие да бидат паралелни, постоењето на такви реален број t така што еднаквоста важи:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Пример 3

Дадени се правите x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 и x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Неопходно е да се докаже паралелизмот на овие линии.

Решение

Дадени се условите на проблемот канонски равенкиедна права линија во просторот и параметарски равенкиуште една линија во просторот. Водич вектори а → и b → дадените прави имаат координати: (1, 0, - 3) и (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , потоа a → = 1 2 · b → .

Следствено, задоволен е неопходниот и доволен услов за паралелизам на правите во просторот.

Одговор:се докажува паралелизмот на дадените прави.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

1. Ако две прави се паралелни со трета права, тогаш тие се паралелни:

Ако а||вИ б||в, Тоа а||б.

2. Ако две прави се нормални на третата права, тогаш тие се паралелни:

Ако а⊥вИ б⊥в, Тоа а||б.

Останатите знаци на паралелизам на правите се засноваат на аглите формирани кога две прави линии се сечат со трета.

3. Ако збирот на внатрешните еднострани агли е 180°, тогаш правите се паралелни:

Ако ∠1 + ∠2 = 180°, тогаш а||б.

4. Ако соодветните агли се еднакви, тогаш правите се паралелни:

Ако ∠2 = ∠4, тогаш а||б.

5. Ако внатрешните попречни агли се еднакви, тогаш правите се паралелни:

Ако ∠1 = ∠3, тогаш а||б.

Својства на паралелни прави

Искази спротивни знаципаралелизам на правите се нивните својства. Тие се засноваат на својствата на аглите формирани од пресекот на две паралелни прави со трета линија.

1. Кога две паралелни прави сечат трета права, збирот на внатрешните еднострани агли формирани од нив е еднаков на 180°:

Ако а||б, тогаш ∠1 + ∠2 = 180°.

2. Кога две паралелни прави сечат трета права, соодветните агли формирани од нив се еднакви:

Ако а||б, тогаш ∠2 = ∠4.

3. Кога две паралелни прави сечат трета права, попречните агли што ги формираат се еднакви:

Ако а||б, тогаш ∠1 = ∠3.

Следното својство е посебен случај за секој претходен:

4. Ако правата на рамнината е нормална на една од двете паралелни прави, тогаш таа е нормална и на другата:

Ако а||бИ в⊥а, Тоа в⊥б.

Петтото својство е аксиома на паралелни прави:

5. Низ точка што не лежи на дадена права, може да се повлече само една права паралелна на дадената права.

ГЛАВА III.
ПАРАЛЕЛЕН ДИРЕКТЕН

§ 35. ЗНАЦИ НА ПАРАЛЕЛНИ ДВЕ ЛИНИИ.

Теоремата дека две нормални на една права се паралелни (§ 33) дава знак дека две прави се паралелни. Можете да повлечете повеќе општи знаципаралелизам на две прави.

1. Првиот знак на паралелизам.

Ако, кога две прави се пресекуваат една третина, внатрешните агли што лежат попречно се еднакви, тогаш овие прави се паралелни.

Нека правите AB и CD се сечат со права EF и / 1 = / 2. Земете ја точката O - средината на сегментот KL на секантата EF (сл. 189).

Да ја спуштиме нормалната OM од точката O на правата AB и да ја продолжиме додека не се вкрсти со правата CD, AB_|_MN. Да докажеме дека CD_|_MN.
За да го направите ова, разгледајте два триаголници: MOE и NOK. Овие триаголници се еднакви еден на друг. Навистина: / 1 = / 2 според условите на теоремата; ОК = ОL - по градба;
/ MOL = / NOK, како вертикални агли. Така, страната и двата соседни агли на еден триаголник се соодветно еднакви на страната и двата соседни агли на друг триаголник; оттука, /\ MOL = /\ NOK, и оттука
/ LMO = / КНО, но / LMO е директен, што значи / KNO е исто така прав. Така, правите AB и CD се нормални на иста права MN, затоа, тие се паралелни (§ 33), што требаше да се докаже.

Забелешка. Пресекот на прави линии MO и CD може да се утврди со ротирање на триаголникот MOL околу точката O за 180°.

2. Вториот знак на паралелизам.

Ајде да видиме дали правите AB и CD се паралелни ако, кога ја сечат третата права EF, соодветните агли се еднакви.

Нека некои соодветни агли се еднакви, на пример / 3 = / 2 (цртеж 190);
/ 3 = / 1, бидејќи аглите се вертикални; Средства, / 2 ќе бидат еднакви / 1. Но, аглите 2 и 1 се вкрстени внатрешни агли, и веќе знаеме дека ако две прави ја сечат третата, внатрешните агли што се сечат се еднакви, тогаш овие прави се паралелни. Затоа AB || ЦД.

Ако, кога две прави се сечат со трета, соодветните агли се еднакви, тогаш овие две прави се паралелни.

Конструкцијата на паралелни линии со помош на линијар и триаголник за цртање се заснова на ова својство. Ова е направено на следниов начин.

Ајде да го прикачиме триаголникот на линијарот како што е прикажано на цртежот 191. Ќе го поместиме триаголникот така што едната негова страна ќе се лизга по линијарот и ќе повлечеме неколку прави линии по другата страна на триаголникот. Овие линии ќе бидат паралелни.

3. Третиот знак на паралелизам.

Дозволете ни да знаеме дека кога две прави AB и CD се сечат со трета права, збирот на сите внатрешни еднострани агли е еднаков на 2 г(или 180 °). Дали правите линии AB и CD ќе бидат паралелни во овој случај (сл. 192).

Нека / 1 и / 2 се внатрешни еднострани агли и се собираат до 2 г.
Но / 3 + / 2 = 2гкако соседни агли. Оттука, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Од тука / 1 = / 3, и овие внатрешни агли лежат вкрстено. Затоа AB || ЦД.

Ако, кога две прави се сечат една третина, збирот на внатрешните еднострани агли е еднаков на 2 d, тогаш овие две прави се паралелни.

Вежбајте.

Докажете дека правите се паралелни:
а) ако надворешните попречни агли се еднакви (сл. 193);
б) ако збирот на надворешните еднострани агли е еднаков на 2 г(цртеж 194).