Последната теорема на Ферма Синг Симон

„Дали е докажано Голема теоремаФарма?"

Тоа беше само првиот чекор кон докажување на претпоставката Тањама-Шимура, но стратегијата на Вајлс беше брилијантен математички пробив, резултат кој заслужуваше да биде објавен. Но, поради самонаметнатиот завет за молчење од страна на Вајлс, тој не можеше да му каже на остатокот од светот за неговиот резултат и немаше поим кој друг може да направи подеднакво значаен пробив.

Вајлс се сеќава на својот филозофски став кон кој било потенцијален предизвикувач: „Никој не сака да поминува години докажувајќи нешто и да открие дека некој друг успеал да го најде доказот неколку недели порано. Но, што е доволно чудно, бидејќи се обидував да решам проблем кој во суштина се сметаше за нерешлив, не се плашев многу од ривалите. Едноставно не очекував дека јас или некој друг ќе дојде до идеја што ќе доведе до докажување“.

На 8 март 1988 година, Вајлс бил шокиран кога ги видел напишаните зборови на насловните страници на весниците. голем отпечатокнаслови кои гласат: „Последната теорема на Фермат докажана“. Весниците „Вашингтон пост“ и „ ЊујоркТајмс објави дека триесет и осумгодишниот Јоичи Мијаока од Универзитетот Метрополитен во Токио ја решил најтешката математичка задача на светот. Додека Мијаока сè уште не го објавил својот доказ, општ прегледго претстави својот курс на семинар во Институтот за математика Макс Планк во Бон. Дон Цагир, кој беше присутен на говорот на Мијаока, го изрази оптимизмот на математичката заедница со следните зборови: „Доказот презентиран од Мијаока е исклучително интересен, а некои математичари веруваат дека има голема веројатност да биде точен. Сè уште не сме сосема сигурни, но досега доказите изгледаат многу охрабрувачки“.

Говорејќи на семинар во Бон, Мијаока зборуваше за неговиот пристап кон решавањето на проблемот, кој го сметаше од сосема поинаква, алгебарско-геометриска гледна точка. Во текот на изминатите децении, геометрите постигнаа длабоко и суптилно разбирање на математичките објекти, особено на својствата на површините. Во 70-тите, рускиот математичар С. Аракелов се обиде да воспостави паралели помеѓу проблемите на алгебарската геометрија и проблемите на теоријата на броеви. Ова беше една од насоките на програмата Langlands, а математичарите се надеваа дека нерешените проблеми во теоријата на броеви може да се решат со проучување на соодветните проблеми во геометријата, кои исто така останаа нерешени. Оваа програма беше позната како филозофија на паралелизам. Оние алгебарски геометри кои се обиделе да решаваат проблеми во теоријата на броеви биле наречени „аритметички алгебарски геометри“. Во 1983 година, тие ја најавија својата прва значајна победа кога Герд Фалтингс од Институтот за напредни студии Принстон воведе значаен придонесво разбирањето на теоремата на Ферма. Потсетиме дека, според Фермат, равенката

на nпоголемо од 2 нема решенија во цели броеви. Фолтингс одлучил дека постигнал напредок во докажувањето на последната теорема на Ферма со проучување геометриски површиниповрзани со различни значења n. Површини поврзани со Ферматови равенки за различни вредности n, се разликуваат едни од други, но имаат еден заеднички имот- сите имаат низ дупки, или, едноставно кажано, дупки. Овие површини се четиридимензионални, исто како и графиконите на модуларни форми. Дводимензионални пресеци од две површини се прикажани на сл. 23. Површините поврзани со Ферматовата равенка изгледаат слично. Колку е поголема вредноста nво равенката, толку повеќе дупки има на соодветната површина.

Ориз. 23. Овие две површини се добиваат со користење компјутерска програма„Математика“. Секој од нив го претставува локусот на точки што ја задоволуваат равенката x n + y n = z n(за површината лево n=3, за површината од десната страна n=5). Променливи xИ yовде се сметаат за сложени

Фалтингс можеше да докаже дека бидејќи таквите површини секогаш имаат неколку дупки, Ферматовата равенка поврзана со нив може да има само конечно множестворешенија во цели броеви. Бројот на решенија може да биде се - од нула, како што претпоставуваше Фермат, до милион или милијарда. Така, Фалтингс не ја докажал последната теорема на Ферма, но барем успеал да ја отфрли можноста Ферматовата равенка да има бесконечно многу решенија.

Пет години подоцна, Мијаока извести дека направил чекор понатаму. Тогаш тој беше во раните дваесетти години. Мијаока формулираше хипотеза во врска со некоја нееднаквост. Стана јасно дека докажувањето на неговата геометриска претпоставка би значело докажување дека бројот на решенија на Ферматовата равенка не е само конечен, туку е еднаков на нула. Пристапот на Мијаока беше сличен на оној на Вајлс со тоа што и двајцата се обидоа да ја докажат Последната теорема на Ферма, поврзувајќи ја со фундаментална хипотеза во друга гранка на математиката. За Мијаока тоа беше алгебарска геометрија; за Вајлс, патот до докажувањето лежеше низ елиптични кривини и модуларни форми. На големо негодување на Вајлс, тој сè уште се бореше да ја докаже претпоставката Тањама-Шимура кога Мијаока тврдеше дека има целосен доказ за сопствената претпоставка и, според тоа, за последната теорема на Ферма.

Две недели по неговиот говор во Бон, Мијаока објави пет страници со пресметки кои ја формираа суштината на неговиот доказ и започна темелно испитување. Теоретичарите на броеви и специјалистите за алгебарска геометрија ширум светот студирале, ред по ред, објавувале пресметки. Неколку дена подоцна, математичарите открија една противречност во доказот што не може, а да не предизвика загриженост. Еден дел од работата на Мијаока доведе до изјава од теоријата на броеви, која, кога ќе се преведе на јазикот на алгебарската геометрија, произведе изјава која е во спротивност со резултатот добиен неколку години претходно. Иако ова не мора да го поништи целиот доказ на Мијаока, противречноста што беше откриена не се вклопува во филозофијата на паралелизам помеѓу теоријата на броеви и геометријата.

Уште две недели подоцна, Герд Фалтингс, кој го отвори патот за Мијаоке, објави дека ја открил точната причина за очигледното прекршување на паралелизмот - празнина во расудувањето. Јапонскиот математичар бил геометар и не бил целосно ригорозен кога ги преведувал своите идеи на помалку познатата територија на теоријата на броеви. Армија од теоретичари на броеви направија избезумени напори да ја затворат дупката во доказот на Мијаока, но залудно. Два месеци откако Мијаока тврдеше дека има целосен доказ за Последната теорема на Ферма, математичката заедница дојде до едногласен заклучок: доказот на Мијаока беше осуден да пропадне.

Како и во случајот со претходните неуспешни докази, Мијаока успеа да добие многу интересни резултати. Некои фрагменти од неговиот доказ беа значајни како многу генијални примени на геометријата во теоријата на броеви, а во следните години други математичари ги користеа за да докажат некои теореми, но никој не успеа да ја докаже Ферматовата последна теорема на овој начин.

Бесот околу Последната теорема на Ферма наскоро згасна, а весниците објавија кратки известувања во кои се вели дека загатката стара триста години сè уште останува нерешена. Следниот натпис се појави на ѕидот на метро станицата Осмата улица во Њујорк, без сомнение инспириран од медиумското покривање на Последната теорема на Ферма: „Ред. xn + yn = znнема решенија. Најдов навистина неверојатен доказ за овој факт, но не можам да го запишам овде бидејќи мојот воз пристигна“.

Десетто поглавје ФАРМА НА КРОКОДИЛИ Возеа по живописниот пат во автомобилот на стариот Џон, седејќи на задните седишта. На воланот беше црн возач во светла кошула со бизарно исечена глава. На неговиот избричен череп стоеја грмушки од црна коса како тврда како жица, логика

Подготовка за трката. Алјаска, фармата Идитарод на Линда Плетнер е годишна трка на кучиња со санки во Алјаска. Должината на патеката е 1150 милји (1800 км). Ова е најдолгата трка на кучиња со санки во светот. Почеток (церемонијална) - 4 март 2000 година од Енкориџ. Започнете

Фарма за кози Во селото во лето има многу работа. Кога го посетивме селото Хомутец, таму се береше сено и мирисните бранови од свежо исечените тревки како да навлегуваа во сè наоколу, тревките мора да се искосат на време за да не станат презрели, тогаш се што е вредно и хранливо ќе се зачува. во нив. Ова

Летна фарма Сламка, како рачна молња, стакло во тревата; Друг, откако се потпиша на оградата, запали оган од зелена чаша вода во коритото за коњи. Во синиот самрак Девет патки талкаат, се нишаат, по рутина во духот на паралелните линии. Овде кокошката сама не зјапа во ништо

Уништена фарма Мирното сонце, како темноцрвен цвет, потона на земја, израсна во зајдисонце, Но завесата на ноќта во безделничење го исцрта светот, вознемирен од погледот. На фармата без покрив владееше тишина, Како некој да и ја скинал косата, Се караа за кактусот

Фарма или фарма? На 13 февруари 1958 година, сите централни Москва, а потоа и регионалните весници ја објавија одлуката на Централниот комитет на Комунистичката партија на Украина „За грешка при купувањето крави од колективните фармери во регионот Запорожје“. Не зборувавме ни за целиот регион, туку за две негови области: Приморски

Проблемот на Ферма Во 1963 година, кога имал само десет години, Ендрју Вајлс веќе бил фасциниран од математиката. „На училиште сакав да решавам проблеми, ги носев дома и од секој проблем доаѓав до нови. Но, најдобриот проблем што некогаш сум го сретнал беше кај локалното население

Од Питагоровата теорема до последната теорема на Ферма Питагоровата теорема и бесконечниот број на Питагорова тројки беа дискутирани во книгата на Е.Т. „Големиот проблем“ на Бел - истата библиотечна книга што го привлече вниманието на Ендрју Вајлс. И иако Питагорејците постигнаа речиси целосно

Математиката по докажувањето на последната теорема на Ферма Доволно чудно, самиот Вајлс имаше измешани чувства за неговиот извештај: „Поводот за говорот беше избран многу добро, но самото предавање ми даде измешани чувства. Работејќи на доказот

Поглавје 63 Старата фарма на Мекленон Околу месец и половина по враќањето во Њујорк, една ноемвриска вечер, телефонот заѕвони во станот на Ленонс. Јоко одговори на телефонот. Машки глас со порторикански акцент ја праша Јоко Оно. Преправајќи се

Теорема на Понтријагин Во исто време со Конзерваториумот, татко ми студираше на Московскиот државен универзитет, студирајќи механика и математика. Дипломирал со успех и дури извесно време се двоумел во изборот на професија. Музикологијата победи, како резултат на тоа што имаше корист од неговиот математички начин на размислување.Еден од соучениците на татко ми

Теорема Теоремата за правото на религиозно здружение да избира свештеник бара доказ. Тоа гласи вака: „Православната заедница се создава... под духовно раководство на свештеник избран од заедницата и благословен од епархискиот епископ“.

I. Фарма („Еве, од пилешки измет...“) Еве, од пилешки измет Еден спас е метлата. Љубов - која? - Ме однесе во кокошарник. Пикаат зрно, кокошките кикнат, петлите чекорат важно. И без големина и цензура Песните се составуваат во умот. За едно провансалско попладне

Малку е веројатно дека дури и една година од животот на нашиот уреднички тим помина без да добие десетина докази за теоремата на Ферма. Сега, по „победата“ над неа, протокот стивна, но не пресуши.

Се разбира, не ја објавуваме оваа статија со цел целосно да се исуши. И не во моја одбрана - затоа, велат тие, затоа молчевме, ние самите сè уште не бевме доволно зрели да разговараме за такви сложени проблеми.

Но, ако написот навистина изгледа комплициран, погледнете директно до крај. Ќе мора да почувствувате дека страстите привремено стивнаа, науката не е завршена, а наскоро до уредниците ќе бидат испратени нови докази за нови теореми.

Се чини дека дваесеттиот век не бил залуден. Прво, луѓето создадоа второ Сонце за момент со експлозија на хидрогенска бомба. Потоа одеа на Месечината и конечно ја докажаа познатата теорема на Ферма. Од овие три чуда, првите две се добро познати на сите, бидејќи предизвикаа огромни социјални последици. Напротив, третото чудо изгледа како само уште една научна играчка - на исто ниво со теоријата на релативност, квантната механика и Геделовата теорема за нецелосноста на аритметиката. Сепак, релативноста и квантите ги наведоа физичарите до хидрогенска бомба, а истражувањето на математичарите го исполни нашиот свет со компјутери. Дали оваа низа чуда ќе продолжи и во 21 век? Дали е можно да се следи врската помеѓу најновите научни играчки и револуциите во нашиот секојдневен живот? Дали оваа врска ни дозволува да правиме успешни предвидувања? Ајде да се обидеме да го разбереме ова користејќи ја теоремата на Ферма како пример.

Прво да забележиме дека таа е родена многу подоцна од нејзиниот природен рок. Впрочем, првиот посебен случајТеоремата на Ферма е Питагоровата равенка X 2 + Y 2 = Z 2, која ги поврзува должините на страните на правоаголен триаголник. Откако ја докажа оваа формула пред дваесет и пет века, Питагора веднаш го постави прашањето: дали има многу триаголници во природата во кои двете страни и хипотенузата имаат цела должина? Се чини дека Египќаните знаеле само еден таков триаголник - со страни (3, 4, 5). Но, не е тешко да се најдат други опции: на пример (5, 12, 13), (7, 24, 25) или (8, 15, 17). Во сите овие случаи, должината на хипотенузата има форма (A 2 + B 2), каде што A и B се релативно прости броеви на различни паритети. Во овој случај, должините на нозете се еднакви на (A 2 - B 2) и 2AB.

Забележувајќи ги овие врски, Питагора лесно докажа дека која било тројка од броеви (X = A 2 - B 2, Y = 2AB, Z = A 2 + B 2) е решение на равенката X 2 + Y 2 = Z 2 и дефинира правоаголник со меѓусебни едноставни должини на страните. Исто така, јасно е дека бројот на различни тројки од овој вид е бесконечен. Но, дали сите решенија на Питагоровата равенка ја имаат оваа форма? Питагора не можеше ниту да ја докаже ниту да ја побие таквата хипотеза и го остави овој проблем на своите потомци без да се фокусира на него. Кој сака да ги истакне нивните неуспеси? Се чини дека после ова проблемот со целобројните правоаголни триаголници лежеше во заборав седум века - додека не се појави нов математички гениј по име Диофант во Александрија.

Знаеме малку за него, но јасно е: тој воопшто не беше како Питагора. Се чувствуваше како крал во геометријата, па дури и надвор од неа - било да е тоа во музиката, астрономијата или политиката. Првата аритметичка врска помеѓу должините на страните на еуфонична харфа, првиот модел на Универзумот од концентрични сфери што носат планети и ѕвезди, со Земјата во центарот, и конечно, првата република на научници во италијанскиот град Кротоне. - тоа се личните достигнувања на Питагора. Што може Диофант, скромниот истражувач на големиот музеј, кој одамна престана да биде гордост на градската толпа, да се спротивстави на ваквите успеси?

Само една работа: подобро разбирање антички светброеви, чии закони Питагора, Евклид и Архимед едвај имаа време да ги почувствуваат. Забележете дека Диофант сè уште не го совладал позициониот систем за снимање на големи броеви, но знаел што негативни броевии веројатно поминал многу часови размислувајќи зошто производот од два негативни броја е позитивен. Светот на цели броеви првпат му бил откриен на Диофант како посебен универзум, различен од светот на ѕвездите, сегментите или полиедарите. Главното занимање на научниците во овој свет е да решаваат равенки, вистинскиот мајстор ги наоѓа сите можни решенија и докажува дека нема други решенија. Ова е она што го направи Диофант квадратна равенкаПитагора, а потоа помисли: дали сличната кубна равенка X 3 + Y 3 = Z 3 има барем едно решение?

Диофант не успеа да најде такво решение, а неуспешен беше и неговиот обид да докаже дека нема решенија. Затоа, документирајќи ги резултатите од неговата работа во книгата „Аритметика“ (ова беше првиот учебник во светот за теорија на броеви), Диофант детално ја анализираше питагоровата равенка, но не кажа ниту збор за можни генерализации на оваа равенка. Или би можело: на крајот на краиштата, Диофант бил тој кој прв предложил нотација за силите на цели броеви! Но, за жал: концептот на „проблематична книга“ беше туѓ на хеленската наука и педагогија, а објавувањето списоци со нерешени проблеми се сметаше за непристојна активност (само Сократ постапи поинаку). Ако не можете да го решите проблемот, молчете! Диофант замолкна, и оваа тишина траеше четиринаесет века - до доаѓањето на Новото доба, кога интересот за процесот на човековото размислување беше оживеан.

Кој не фантазирал за ништо на преминот од 16 - 17 век! Неуморниот калкулатор Кеплер се обиде да ја погоди врската помеѓу растојанијата од Сонцето до планетите. Питагора не успеа. Кеплер постигна успех откако научи да интегрира полиноми и други едноставни функции. Напротив, визионерот Декарт не сакал долги пресметки, но тој бил првиот што ги претставил сите точки на рамнината или просторот како збирови од броеви. Овој задебелен модел го намалува секој геометриски проблем за формите на некој алгебарски проблем за равенките - и обратно. На пример, решенијата за цели броеви на Питагоровата равенка одговараат на цели точки на површината на конусот. Површина што одговара кубна равенка X 3 + Y 3 = Z 3, изгледа покомплицирано геометриски својстваТие не му кажаа ништо на Пјер Фермат и тој мораше да направи нови патишта низ џунглата од цели броеви.

Во 1636 година, книгата на Диофант паднала во рацете на еден млад адвокат од Тулуз, штотуку преведена на латински од грчкиот оригинал, која случајно преживеала во некоја византиска архива и била донесена во Италија од еден од римските бегалци во времето на турскиот пустош. Читајќи елегантен аргумент за Питагоровата равенка, Фермат се запрашал: дали е можно да се најде решение кое се состои од три квадратни броеви? Не постојат мали бројки од овој вид: лесно е да се провери со брутална сила. Што е со големите одлуки? Без компјутер, Фермат не можеше да спроведе нумерички експеримент. Но забележал дека за секое „големо“ решение на равенката X 4 + Y 4 = Z 4 е можно да се конструира помало решение. Ова значи дека збирот на четвртите сили на два цели броеви никогаш не е еднаков на иста моќност на третиот број! Што е со збирот на две коцки?

Инспириран од успехот за степен 4, Фермат се обиде да го измени „методот на спуштање“ за степен 3 - и успеа. Се испостави дека е невозможно да се направат две мали коцки од тие единечни коцки во кои е расфрлена голема коцка со цел раб. Триумфалниот Фермат направил кратка белешка на маргините на книгата на Диофант и испратил писмо до Париз со детална порака за неговото откритие. Но, тој не доби одговор - иако вообичаено математичарите од главниот град брзо реагираа на последниот успех на нивниот осамен колега-ривал во Тулуз. Што е проблемот?

Многу е едноставно: до средината на 17 век, аритметиката излезе од мода. Големите успеси на италијанските алгебристи од 16 век (кога беа решени полиномните равенки од степени 3 и 4) не станаа почеток на општа научна револуција, бидејќи не дозволија решавање на нови светли проблеми во соседните области на науката. Сега, ако Кеплер успеал да ги погоди орбитите на планетите користејќи чиста аритметика... Но, за жал, ова бараше математичка анализа. Тоа значи дека мора да се развива - до целосен триумф математички методиво природните науки! Но, анализата расте надвор од геометријата, додека аритметиката останува поле за забава за неработните адвокати и другите љубители на вечната наука за бројките и бројките.

Значи, аритметичките успеси на Ферма се покажаа како ненавремени и останаа неценети. Тој не беше вознемирен од ова: за слава на математичарот, беа доволни фактите за диференцијална пресметка, аналитичка геометрија и теорија на веројатност што му беа откриени за прв пат. Сите овие откритија на Фермат веднаш влегоа во златниот фонд на новата европска наука, додека теоријата на броеви избледе во втор план уште сто години - додека Ојлер не ја оживеа.

Овој „крал на математичарите“ од 18 век беше шампион во сите примени на анализа, но не ја запостави аритметиката, бидејќи новите методи на анализа доведоа до неочекувани факти за бројките. Кој би помислил дека бесконечниот збир на инверзни квадрати (1 + 1/4 + 1/9 + 1/16+...) е еднаков на π 2 /6? Кој Хелен можеше да предвиди дека слична серија ќе овозможи да се докаже ирационалноста на бројот π?

Ваквите успеси го принудија Ојлер внимателно да ги препрочита преживеаните ракописи на Ферма (за среќа, синот на големиот Французин успеа да ги објави). Навистина, доказот за „големата теорема“ за степен 3 не е зачуван, но Ојлер лесно го обнови со само една индикација за „методот на спуштање“ и веднаш се обиде да го пренесе овој метод на следниот едноставен степен - 5.

Не е така! Во расудувањето на Ојлер, се појавија сложени броеви, кои Фермат успеа да ги превиди (ова е вообичаениот број на откривачи). Но, разградувањето на целините сложени броевимножителите се деликатна работа. Дури и Ојлер не го разбра целосно и го остави „проблемот на Фермат“ настрана, брзајќи да ја заврши својата главна работа - учебникот „Основи на анализата“, кој требаше да му помогне на секој талентиран млад човек да застане на исто ниво со Лајбниц и Ојлер. Објавувањето на учебникот е завршено во Санкт Петербург во 1770 година. Но, Ојлер никогаш не се врати на теоремата на Ферма, бидејќи беше сигурен дека сè што ќе допре неговите раце и ум нема да биде заборавено од новата научна младина.

Така и се случи: наследникот на Ојлер во теоријата на броеви беше Французинот Адриен Лежандре. На крајот на 18 век, тој го завршил докажувањето на теоремата на Ферма за моќта 5 - и иако не успеал за големите прости сили, тој составил уште еден учебник за теорија на броеви. Нека неговите млади читатели го надминаа авторот исто како што читателите на „Математичките принципи на природната филозофија“ го надминаа големиот Њутн! Лежандре не му одговараше на Њутн или Ојлер, но меѓу неговите читатели имаше двајца генијалци: Карл Гаус и Еварист Галоа.

Таквата висока концентрација на генијалци беше олеснета од Француската револуција, која го прогласи државниот култ на разумот. После тоа, секој талентиран научник се чувствувал како Колумбо или Александар Велики, способен да открие или освои нов свет. Многумина успеаја во тоа, поради што во 19 век научниот и технолошкиот напредок стана главен двигател на човековата еволуција, а сите разумни владетели (почнувајќи од Наполеон) беа свесни за тоа.

Гаус по карактер бил близок со Колумбо. Но, тој (како Њутн) не знаеше како да ја плени имагинацијата на владетелите или студентите со убави говори, и затоа ги ограничи своите амбиции на сферата на научните концепти. Тука можеше да направи се што сака. На пример, поради некоја причина античкиот проблем на трисекција на агол не може да се реши со помош на компас и линијар. Со помош на сложени броеви што претставуваат точки на рамнината, Гаус го преведува овој проблем на јазикот на алгебрата - и добива општа теорија за изводливоста на одредени геометриски конструкции. Така, во исто време, се појави ригорозен доказ за неможноста да се конструира правилен 7-и 9-аголник со компас и линијар, како и метод за изградба на правилен 17-аголник, кој го имале најмудрите геометри во Хелада. никогаш не сонувал.

Се разбира, таквиот успех не е залуден: мораме да измислиме нови концепти кои ја одразуваат суштината на материјата. Њутн вовел три такви концепти: флуксија (дериват), флуентна (интегрална) и енергетска серија. Тие беа доволни за да се создаде математичка анализа и првиот научен модел физичкиот свет, вклучувајќи механика и астрономија. Гаус воведе и три нови концепти: векторски простор, поле и прстен. Од нив израсна нова алгебра, која ја подреди грчката аритметика и теоријата на нумерички функции создадена од Њутн. Сè уште останува да се подреди логиката создадена од Аристотел на алгебрата: тогаш би било можно, користејќи пресметки, да се докаже уводливоста или неизведливоста на какви било научни изјави од овој сетаксиома! На пример, дали теоремата на Ферма е изведена од аксиомите на аритметиката или Евклидовиот постулат за паралелни прави од други аксиоми на планиметријата?

Гаус немаше време да го реализира овој смел сон - иако напредуваше далеку и ја погоди можноста за постоење на егзотични (некомутативни) алгебри. Само смелиот Русин Николај Лобачевски успеа да ја конструира првата неевклидова геометрија, а првата некомутативна алгебра (Групна теорија) ја изгради Французинот Еварист Галоа. И само долго по смртта на Гаус - во 1872 година - младиот Германец Феликс Клајн сфатил дека разновидноста на можните геометрии може да се доведе во кореспонденција еден на еден со разновидноста на можни алгебри. Едноставно кажано, секоја геометрија е дефинирана со нејзината симетрична група - додека општата алгебра ги проучува сите можни групи и нивните својства.

Но, таквото разбирање на геометријата и алгебрата дојде многу подоцна, а нападот на теоремата на Ферма продолжи за време на животот на Гаус. Тој самиот ја занемари теоремата на Ферма без принцип: не е кралска работа да се решаваат поединечни проблеми кои не се вклопуваат во светлиот научна теорија! Но, учениците на Гаус, вооружени со неговата нова алгебра и класичната анализа на Њутн и Ојлер, размислуваа поинаку. Прво, Питер Дирихле ја докажа Ферматовата теорема за моќта 7 користејќи го прстенот од сложени цели броеви генерирани од корените на оваа моќност на еден. Тогаш Ернст Кумер го прошири методот Дирихле на СЕ главните сили(!) - така му се чинеше во жештината на моментот, и тој триумфираше. Но, наскоро дојде отрезнувачки сознание: доказот е беспрекорен само ако секој елемент од прстенот може уникатно да се разложи на основни фактори! За обичните цели броеви, овој факт му бил познат на Евклид, но само Гаус дал ригорозен доказ за тоа. Што е со сложените цели броеви?

Според „принципот на најголема злоба“, може и ТРЕБА да има двосмислена факторизација! Штом Кумер научил да го пресметува степенот на двосмисленост користејќи ги методите на математичка анализа, тој го открил овој валкан трик во рингот за моќност од 23. Гаус немал време да дознае за оваа верзија на егзотична комутативна алгебра, но учениците на Гаус израсна нова убава Теорија на идеали наместо уште еден валкан трик. Точно, ова не помогна особено да се реши проблемот на Ферма: само неговата природна сложеност стана појасна.

Во текот на 19 век, овој древен идол барал се повеќе жртви од своите обожаватели во форма на нови сложени теории. Не е чудно што на почетокот на дваесеттиот век, верниците се обесхрабрија и се побунија, отфрлајќи го својот поранешен идол. Зборот „ферматист“ стана валкан прекар меѓу професионалните математичари. И иако беше доделена значителна награда за целосен доказ за теоремата на Ферма, апликантите беа претежно самоуверени незнајци. Најмоќните математичари од тоа време - Поенкаре и Хилберт - остро ја избегнуваа оваа тема.

Во 1900 година, Хилберт не ја вклучил теоремата на Ферма во списокот на дваесет и три најважни проблеми со кои се соочува математиката во дваесеттиот век. Точно, тој го вклучи во нивната серија општиот проблем на решливоста на диофантинските равенки. Навестувањето беше јасно: следете го примерот на Гаус и Галоа, создавајте општи теориинови математички објекти! Тогаш еден убав (но не однапред предвидлив) ден стариот трн сам ќе испадне.

Токму така постапил големиот романтичар Анри Поенкаре. Занемарувајќи многу „вечни“ проблеми, цел живот студирал СИМЕТРИИ на одредени предмети од математика или физика: или функции на сложена променлива, или траектории на небесни тела, или алгебарски криви или мазни сорти (ова се повеќедимензионални генерализации на криви линии). Мотивот за неговите постапки бил едноставен: ако два различни објекти имаат слични симетрии, тоа значи дека меѓу нив може да има внатрешна врска, која сè уште не можеме да ја разбереме! На пример, секоја од дводимензионалните геометрии (Евклидов, Лобачевски или Риман) има своја група на симетрии што дејствуваат на рамнината. Но, точките на рамнината се сложени броеви: на овој начин дејството на било кој геометриска групатранспортирани во огромниот свет на сложени функции. Можно е и потребно е да се проучат најсиметричните од овие функции: АВТОМОРФИ (кои се предмет на Евклидовата група) и МОДУЛАРНИ (кои се предмет на групата Лобачевски)!

На авионот има и елиптични кривини. Тие на никаков начин не се поврзани со елипсата, туку се дадени со равенки од формата Y 2 = AX 3 + BX 2 + CX и затоа се сечат со која било права во три бода. Овој факт ни овозможува да воведеме множење меѓу точките на елиптична крива - да го претвориме во група. Алгебарската структура на оваа група ги одразува геометриските својства на кривата; можеби таа е уникатно одредена од нејзината група? Ова прашање вреди да се проучи, бидејќи за некои криви групата што нè интересира излегува дека е модуларна, односно е поврзана со геометријата на Лобачевски...

Така размислувал Поенкаре, заведувајќи ја математичката младина на Европа, но на почетокот на дваесеттиот век овие искушенија не доведоа до светли теореми или хипотези. Се покажа поинаку со повикот на Хилберт: да учиме општи решенијаДиофантински равенки со целобројни коефициенти! Во 1922 година, младиот Американец Луис Мордел го поврзал множеството решенија на таквата равенка (ова е векторски простор со одредена димензија) со геометрискиот род на сложената крива што е дадена со оваа равенка. Мордел дошол до заклучок дека ако степенот на равенката е доволно голем (повеќе од два), тогаш димензијата на просторот на решението се изразува во однос на родот на кривата, и затоа оваа димензија е КОНЕЧНА. Напротив - на сила од 2, Питагоровата равенка има БЕСКОНЕЧНО-ДИМЕНЗИОНАЛНО семејство решенија!

Се разбира, Мордел видел поврзаност помеѓу неговата хипотеза и теоремата на Ферма. Ако се дознае дека за секој степен n > 2 просторот на целобројни решенија на Ферматовата равенка е конечно-димензионален, тоа ќе помогне да се докаже дека воопшто нема такви решенија! Но, Мордел не гледал начин да ја докаже својата хипотеза - и иако живеел долг живот, тој не чекал оваа хипотеза да се трансформира во теорема на Фолтингс. Ова се случи во 1983 година - во сосема поинаква ера, по големите успеси на алгебарската топологија на сорти.

Поанкаре ја создал оваа наука како случајно: сакал да знае што се тродимензионални колектори. На крајот на краиштата, Риман ја сфатил структурата на сите затворени површини и добил многу едноставен одговор! Ако во тродимензионален или повеќедимензионален случај нема таков одговор, треба да излезете со систем на алгебарски непроменливи на сортата што ја одредува нејзината геометриска структура. Најдобро е ако таквите непроменливи се елементи на некои групи - комутативни или некомутативни.

Доволно чудно, овој смел план на Поенкаре беше успешен: тој беше спроведен од 1950 до 1970 година благодарение на напорите на многу геометри и алгебристи. До 1950 година, имаше тивка акумулација на различни методи за класификација на сортите, а по овој датум се чинеше дека се акумулира критична маса на луѓе и идеи и избувна експлозија, споредлива со изумот на математичката анализа во 17 век. Но, аналитичката револуција се протегаше над век и половина, покривајќи креативни биографиичетири генерации математичари - од Њутн и Лајбниц до Фурие и Коши. Напротив, тополошката револуција на дваесеттиот век се случи во рок од дваесет години - благодарение на голем бројнејзините учесници. Во исто време, се формира голема генерација самоуверени млади математичари, кои одеднаш останаа без работа во својата историска татковина.

Во седумдесеттите, тие побрзаа во соседните области на математиката и теоретската физика. Многумина создадоа свои научни училишта во десетици универзитети во Европа и Америка. Денес, многу студенти од различни возрасти и националности, со различни способности и склоности, циркулираат меѓу овие центри и секој сака да стане познат по некое откритие. Токму во овој пандемониум конечно се докажаа претпоставката на Мордел и теоремата на Ферма.

Сепак, првата ластовица, несвесна за својата судбина, порасна во Јапонија во гладните и невработени повоени години. Ластовичката се викаше Јутака Тањама. Во 1955 година, овој херој наполни 28 години и реши (заедно со пријателите Горо Шимура и Такауџи Тамагава) да го оживее математичкото истражување во Јапонија. Каде да се започне? Се разбира, со надминување на изолацијата од странските колеги! Така, во 1955 година, тројца млади Јапонци ја организираа првата меѓународна конференција за алгебра и теорија на броеви во Токио. Очигледно беше полесно да се направи ова во Јапонија, превоспитана од Американците, отколку во Русија, замрзната од Сталин...

Меѓу почесните гости беа и двајца херои од Франција: Андре Вајл и Жан-Пјер Сер. Овде Јапонците имаа многу среќа: Вејл беше признат шеф на француските алгебристи и член на групата на Бурбаки, а младиот Сер имаше слична улога меѓу тополозите. Во жестоките разговори со нив, пукнаа главите на јапонската младина, им се стопи мозокот, но на крајот се искристализираа такви идеи и планови кои тешко можеа да се родат во друга средина.

Еден ден Танијама му пријде на Вајл со прашање за елиптичните криви и модуларните функции. На почетокот Французинот не разбираше ништо: Тањама не беше мајстор да се изразува на англиски јазик. Тогаш суштината на работата стана јасна, но Танијама не можеше да им даде прецизна формулација на своите надежи. Сè што можеше Вајл да му одговори на младиот Јапонец е дека ако има многу среќа во однос на инспирацијата, тогаш нешто корисно ќе произлезе од неговите нејасни хипотези. Но, засега има малку надеж за ова!

Очигледно, Вајл не го забележал небесниот оган во погледот на Тањама. И имаше оган: се чинеше дека за момент Јапонците беа опседнати од нескротливата мисла на покојниот Поенкаре! Танијама се увери дека секоја елиптична крива е генерирана од модуларни функции - поточно, таа е „униформирана со модуларна форма“. За жал, оваа точна формулација се роди многу подоцна - во разговорите помеѓу Тањама и неговиот пријател Шимура. И тогаш Танијама изврши самоубиство во напад на депресија... Неговата хипотеза остана без сопственик: не беше јасно како да се докаже, ниту каде да се тестира, и затоа никој не ја сфати сериозно долго време. Првиот одговор дојде само триесет години подоцна - речиси како во ерата на Ферма!

Мразот се скрши во 1983 година, кога дваесет и седумгодишниот Германец Герд Фалтингс му објави на целиот свет: хипотезата на Мордел е докажана! Математичарите беа претпазливи, но Фалтингс беше вистински Германец: немаше празнини во неговиот долг и сложен доказ. Едноставно дојде време, се акумулираа факти и концепти - и сега еден талентиран алгебрист, потпирајќи се на резултатите на десет други алгебристи, успеа да го реши проблемот што го чекаше својот сопственик шеесет години. Ова не е невообичаено во математиката од дваесеттиот век. Вреди да се потсетиме на прастариот проблем на континуум во теоријата на множества, двете претпоставки на Бурнсајд во теоријата на групи или претпоставката на Поенкаре во топологијата. Конечно, во теоријата на броеви, дојде време да се жнее жетвата на долгогодишните култури... Кој врв ќе биде следниот во низата освоена од математичарите? Дали проблемот на Ојлер, Римановата хипотеза или теоремата на Ферма навистина ќе пропаднат? Добро е да се!

И две години по откривањето на Фолтингс, во Германија се појави уште еден инспириран математичар. Неговото име беше Герхард Фреј, и тој тврдеше нешто чудно: дека теоремата на Ферма потекнува од претпоставката Тањама! За жал, во стилот на изнесување на своите размислувања, Фреј повеќе потсетуваше на несреќната Тањама отколку на неговиот јасен сонародник Фалтингс. Во Германија, никој не го разбираше Фреј, а тој отиде во странство - во славниот град Принстон, каде што, по Ајнштајн, беа навикнати да не се такви посетители. Не за џабе Бери Мазур, сестран тополог и еден од хероите на неодамнешниот напад на мазни колектори, го изгради своето гнездо таму. А студентот, Кен Рибет, израснал покрај Мазур, подеднакво искусен во сложеноста на топологијата и алгебрата, но сè уште не се прославил во ништо.

Кога првпат ги слушна говорите на Фреј, Рибет одлучи дека тоа е глупост и псевдонаучна фантастика (Вајл веројатно реагираше на ист начин на откритијата на Тањама). Но, Рибет не можеше да ја заборави оваа „фантазија“ и одвреме-навреме се навраќаше на неа во својот ум. Шест месеци подоцна, Рибет веруваше дека има нешто корисно во фантазиите на Фреј, а една година подоцна одлучи дека тој самиот речиси може да докаже чудна хипотезаФреја. Но, некои „дупки“ останаа, а Рибет реши да му признае на својот шеф Мазур. Тој внимателно го слушаше ученикот и смирено одговори: „Да, сè направивте! Овде треба да ја примените трансформацијата Ф, тука треба да ги користите лемите B и K и сè ќе добие беспрекорна форма! Така, Рибет направи скок од опскурноста кон бесмртноста, користејќи катапулт во личноста на Фреј и Мазур. За волја на вистината, сите тие - заедно со покојната Тањама - треба да се сметаат за доказ за последната теорема на Ферма.

Но, тука е проблемот: тие ја извлекоа својата изјава од хипотезата на Тањама, која сама по себе не е докажана! Што ако е неверна? Математичарите одамна знаат дека „сè произлегува од лагата“. Ако претпоставката на Тањама е погрешна, тогаш беспрекорното расудување на Рибет е безвредно! Итно треба да ја докажеме (или отфрлиме) претпоставката на Тањама - инаку некој како Фалтингс ќе ја докаже теоремата на Ферма на поинаков начин. Ќе стане херој!

Малку е веројатно дека некогаш ќе знаеме колку млади или искусни алгебристи ја нападнале теоремата на Ферма по успехот на Фолтингс или по победата на Рибет во 1986 година. Сите тие се трудеа да работат во тајност, за во случај на неуспех да не се вбројуваат во заедницата на „кукла“-фарматисти. Познато е дека најсреќниот од сите, Ендрју Вајлс од Кембриџ, само вкусил победа на почетокот на 1993 година. Ова не толку го израдувало Вајлс колку што го исплашило: што ако се открие грешка или празнина во неговиот доказ за претпоставката Тањама? Тогаш згасна неговиот научен углед! Треба внимателно да го запишете доказот (но тоа ќе биде многу десетици страници!) и да го оставите настрана шест месеци или една година, за потоа мирно и педантно да го препрочитате... Но, што ако за време на ова кога некој ќе го објави својот доказ? О, неволја...

Сепак, Вајлс смислил двоен начин брзо да го провери својот доказ. Прво, треба да му верувате на еден од вашите сигурни колеги пријатели и да му ја кажете целата линија на расудување. Однадвор сите грешки се појасни! Второ, паметните студенти и дипломирани студенти треба да прочитаат посебен курс на оваа тема: овие паметни момци нема да пропуштат ниту една грешка од предавачот! Само не им ја кажувајте конечната цел на курсот до последен момент - инаку целиот свет ќе знае за тоа! И секако, треба да барате таква публика подалеку од Кембриџ - подобро не дури во Англија, туку во Америка... Што може да биде подобро од далечниот Принстон?

Вајлс се упатил таму во пролетта 1993 година. Неговиот трпелив пријател Никлас Кац, откако го ислуша долгиот извештај на Вајлс, откри голем број празнини во него, но сите беа лесно поправени. Но, дипломираните студенти на Принстон набрзо побегнаа од специјалниот курс на Вајлс, не сакајќи да ја следат чудната мисла на предавачот, кој ги водеше до Бог знае каде. По таквото (не особено длабоко) испитување на неговата работа, Вајлс одлучил дека е време да му открие големо чудо на светот.

Во јуни 1993 година, во Кембриџ се одржа уште една конференција посветена на „теоријата на Ивасава“, популарна гранка на теоријата на броеви. Вајлс реши да го каже својот доказ за претпоставката на Танијама за тоа, без да објави главен резултатдо крајот. Извештајот траеше долго, но беше успешен; новинарите постепено почнаа да се собираат, чувствувајќи нешто. Конечно, удри гром: теоремата на Ферма е докажана! Општата радост не беше засенета од никакви сомнежи: се чинеше дека сè беше јасно... Но, два месеци подоцна, Кац, откако го прочита последниот текст на Вајлс, забележа уште една дупка во него. Одредена транзиција во расудувањето се засноваше на „системот на Ојлер“ - но она што го изгради Вајлс не беше таков систем!

Wiles проверени тесно грлои сфати дека тука греши. Уште полошо: не е јасно како да се замени погрешното расудување! По ова, започнаа најтемните месеци од животот на Вајлс. Претходно, тој слободно синтетизираше невиден доказ од достапни материјали. Сега тој е врзан за тесна и јасна задача - без доверба дека има решение и дека ќе може да го најде во догледно време. Неодамна, Фреј не можеше да одолее на истата борба - и сега неговото име беше заматено со името на успешниот Рибет, иако претпоставката на Фреј се покажа како точна. Што ќе се случи со Мојата претпоставка и МОЕТО име?

Овој тежок труд траеше точно една година. Во септември 1994 година, Вајлс беше подготвен да го признае поразот и да ја остави хипотезата Тањама на поуспешни наследници. Откако ја донел оваа одлука, тој почнал полека да го препрочитува својот доказ - од почеток до крај, слушајќи го ритамот на расудување, преживувајќи го задоволството од успешните наоди. Откако стигна до „проколнатото“ место, Вајлс, сепак, ментално не слушна лажна белешка. Дали неговата линија на расудување беше навистина беспрекорна, а грешката настана само при ВЕРБАЛНИОТ опис на менталната слика? Ако овде нема „Ојлеров систем“, тогаш што се крие овде?

Одеднаш на ум ми падна едноставна мисла: „Ојлеријанскиот систем“ не функционира таму каде што е применлива теоријата на Ивасава. Зошто да не се примени директно оваа теорија - за среќа, самиот Вајлс е близок и запознаен со неа? И зошто не го проба овој пристап од самиот почеток, туку се занесе од туѓата визија за проблемот? Вајлс повеќе не можеше да се сети на овие детали - и немаше никаква корист. Тој го спроведе неопходното расудување во рамките на теоријата на Ивасава и сè успеа за половина час! Така, со задоцнување од една година се затвори и последната празнина во докажувањето на претпоставката Тањама. Конечниот текст беше оставен да биде искинат на парчиња од група рецензенти од познато математичко списание; една година подоцна тие изјавија дека сега нема грешки. Така, во 1995 година, последната хипотеза на Ферма почина во триста и шеесеттата година од неговиот живот, претворајќи се во докажана теорема која неизбежно ќе биде вклучена во учебниците за теорија на броеви.

Сумирајќи ја тривековната врева околу теоремата на Ферма, мораме да извлечеме чуден заклучок: овој херојски еп можеби и не се случил! Навистина, Питагоровата теорема изразува едноставна и важна врска помеѓу визуелните природни предмети- должини на отсечки. Но, истото не може да се каже за теоремата на Ферма. Тоа повеќе личи на културна надградба на научен супстрат - како да се стигне до Северниот пол на Земјата или да лета до Месечината. Да се ​​потсетиме дека и двата подвизи писателите ги пееле многу пред нивното остварување - уште во античко време, по појавата на Евклидовите елементи, но пред појавата на аритметиката на Диофант. Тоа значи дека тогаш се појавила општествена потреба за интелектуални подвизи од ваков вид - барем имагинарни! Претходно, на Хелените им е доста од песните на Хомер, исто како што на Французите им е доста од религиозни хоби сто години пред Ферма. Но, тогаш верските страсти стивнаа - и науката застана до нив.

Во Русија, ваквите процеси започнаа пред сто и пол години, кога Тургењев го стави Евгениј Базаров на исто ниво со Евгениј Онегин. Навистина, писателот Тургењев слабо ги разбра мотивите за постапките на научникот Базаров и не се осмели да ги пее, но тоа набрзо го направија научникот Иван Сеченов и просветениот новинар Жил Верн. На спонтана научна и технолошка револуција и е потребна културна обвивка за да навлезе во главите на повеќето луѓе, па така прво се појавува научната фантастика, а потоа популарната научна литература (вклучувајќи го и списанието „Знаењето е моќ“).

Притоа, конкретна научна тема воопшто не е важна за пошироката јавност и не е многу важна дури ни за хероите што изведуваат. Така, откако слушна за постигнувањето на Северниот Пол од страна на Пири и Кук, Амундсен веднаш ја промени целта на неговата веќе подготвена експедиција - и наскоро стигна до Јужниот пол, пред Скот за еден месец. Подоцна, успешниот лет на Јуриј Гагарин околу Земјата го принуди претседателот Кенеди да ја промени претходната цел на американската вселенска програма на поскапа, но многу поимпресивна: слетување луѓе на Месечината.

Уште порано, остроумниот Хилберт одговори на наивното прашање на студентите: „Решението на кој научен проблем би било најкорисно сега“? - одговори со шега: „Фати мува на далечната страна на Месечината!“ На збунето прашање: „Зошто е потребно ова?“ - дојде јасен одговор: „ОВА никому не треба! Но, размислете за тие научни методии техничките средства што ќе треба да ги развиеме за да решиме таков проблем - и колку други убави проблеми ќе решиме попатно!

Токму тоа се случи со теоремата на Ферма. Ојлер можеше да го пропушти.

Во овој случај, некој друг проблем би станал идол на математичарите - можеби и од теоријата на броеви. На пример, проблемот на Ератостен: дали постои конечен или бесконечен број двојни прости броеви (како 11 и 13, 17 и 19 и така натаму)? Или Ојлеровиот проблем: дали е што било парен броје збирот на два прости броеви? Или: дали постои алгебарска врска помеѓу броевите π и e? Овие три проблеми сè уште не се решени, иако во дваесеттиот век математичарите значително се приближија до разбирањето на нивната суштина. Но, овој век, исто така, доведе до многу нови, не помалку интересни проблеми, особено на раскрсниците на математиката со физиката и другите гранки на природните науки.

Уште во 1900 година, Хилберт идентификуваше еден од нив: да создаде целосен систем на аксиоми на математичката физика! Сто години подоцна, овој проблем е далеку од решен, само затоа што арсеналот на математички алатки во физиката постојано расте, а не сите од нив имаат строго оправдување. Но, по 1970 година, теоретската физика се подели на две гранки. Едниот (класичен) уште од времето на Њутн се занимава со моделирање и прогнозирање на ОДРЖЛИВИ процеси, другиот (нов) се обидува да ја формализира интеракцијата на НЕСТАБИЛНИТЕ процеси и начини за нивно контролирање. Јасно е дека овие две гранки на физиката мора да се аксиоматизираат посебно.

Со првиот од нив веројатно ќе се решат за дваесет или педесет години...

И што недостасува во втората гранка на физиката - онаа што е задолжена за сите видови еволуција (вклучувајќи чудни фрактали и чудни привлечни фактори, екологијата на биоценозите и теоријата за страст на Гумилјов)? Малку е веројатно дека ова наскоро ќе го разбереме. Но, обожавањето на научниците кон новиот идол веќе стана масовен феномен. Веројатно, овде ќе се расплетува еп, споредлив со тривековната биографија на теоремата на Ферма. Така, на раскрсниците на различните науки се раѓаат нови идоли - слични на религиозните, но посложени и динамични...

Очигледно, човек не може да остане личност без одвреме-навреме да соборува стари идоли и да создава нови - во болка и со радост! Пјер Фермат имаше среќа да се најде во судбоносен момент блиску до жариштето на раѓањето на новиот идол - и тој успеа да остави отпечаток на неговата личност на новороденчето. Човек може да и позавиди на таква судбина, а не е грев да се имитира.

Сергеј Смирнов
"Знаењето е моќ"

Нема многу луѓе во светот кои никогаш не слушнале за Последната теорема на Ферма - можеби ова е единствената математички проблем, која стана толку широко позната и стана вистинска легенда. Се споменува во многу книги и филмови, а главниот контекст на речиси сите споменувања е неможноста да се докаже теоремата.

Да, оваа теорема е многу добро позната и, во извесна смисла, стана „идол“ што го обожаваат аматерски и професионални математичари, но малкумина знаат дека нејзиниот доказ е пронајден, а тоа се случи уште во 1995 година. Но, прво прво.

Значи, последната теорема на Ферма (често наречена последна теорема на Ферма), формулирана во 1637 година од брилијантниот француски математичар Пјер Ферма, е многу едноставна во суштина и разбирлива за секој со средно образование. Таа вели дека формулата a со јачина од n + b со јачина од n = c со јачина од n нема природни (односно, не фракционо) решенија за n > 2. Сè изгледа едноставно и јасно, но најдобрите математичари и обичните аматери се бореа со барање решение повеќе од три и пол века.

Зошто е толку позната? Сега ќе дознаеме...

Дали има многу докажани, недокажани и сè уште недокажани теореми? Поентата овде е дека Последната теорема на Ферма го претставува најголемиот контраст помеѓу едноставноста на формулацијата и сложеноста на доказот. Последната теорема на Ферма е неверојатно тешка задача, а сепак нејзината формулација може да ја разбере секој со ниво на 5-то одделение. средно школо, но доказот не е ни за секој професионален математичар. Ниту во физиката, ниту во хемијата, ниту во биологијата, ниту во математиката, нема ниту еден проблем што би можел да се формулира толку едноставно, но толку долго да остане нерешен. 2. Од што се состои?

Да почнеме со питагорови панталони Формулацијата е навистина едноставна - на прв поглед. Како што знаеме од детството, „Питагоровите панталони се еднакви од сите страни“. Проблемот изгледа толку едноставно затоа што се засноваше на математичка изјава што сите ја знаат - Питагоровата теорема: во која било правоаголен триаголникквадрат изграден на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите изградени на катетите.

Во 5 век п.н.е. Питагора го основал Питагорејското братство. Питагорејците, меѓу другото, проучувале тројки со цели броеви кои ја задоволуваат еднаквоста x²+y²=z². Тие докажаа дека има бесконечно многу Питагорови тројки и добија општи формули за нивно пронаоѓање. Веројатно се обиделе да бараат тројки или повеќе високи степени. Убедени дека тоа не функционира, Питагорејците ги напуштија своите бескорисни обиди. Членовите на братството биле повеќе филозофи и естети отколку математичари.

Односно, лесно е да се избере множество од броеви кои совршено ја задоволуваат еднаквоста x²+y²=z²

Почнувајќи од 3, 4, 5 - навистина, помлад ученик разбира дека 9 + 16 = 25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Одлично.

Значи, испаѓа дека НЕ ​​СЕ. Тука започнува трикот. Едноставноста е очигледна, бидејќи е тешко да се докаже не присуството на нешто, туку, напротив, неговото отсуство. Кога треба да докажете дека постои решение, можете и треба едноставно да го презентирате ова решение.

Потешко е да се докажува отсуството: на пример, некој вели: таква и таква равенка нема решенија. Го стави во локва? лесно: бам - и еве го, решението! (дадете решение). И тоа е тоа, противникот е поразен. Како да се докаже отсуството?

Кажи: „Не најдов такви решенија“? Или можеби не изгледавте добро? Што ако постојат, само многу големи, многу големи, такви што дури и супермоќниот компјутер сè уште нема доволно сила? Ова е она што е тешко.

Ова може визуелно да се прикаже вака: ако земете два квадрати со соодветни големини и ги расклопите на единечни квадрати, тогаш од овој куп единечни квадрати ќе добиете трет квадрат (слика 2):


Но, да го сториме истото со третата димензија (слика 3) - не функционира. Нема доволно коцки или останаа дополнителни:

Но, математичарот од 17 век Французинот Пјер де Ферма ентузијастички истражувал општа равенка x n +y n =z n. И конечно, заклучив: за n>2 нема цели броеви. Доказот на Ферма е неповратно изгубен. Ракописите горат! Останува само неговата забелешка во аритметика на Диофант: „Најдов навистина неверојатен доказ за овој предлог, но маргините овде се премногу тесни за да го содржат“.

Всушност, теорема без доказ се нарекува хипотеза. Но, Фермат има репутација дека никогаш не прави грешки. Дури и ако тој не оставил докази за изјава, таа потоа била потврдена. Покрај тоа, Фермат ја докажа својата теза за n=4. Така, хипотезата на францускиот математичар влезе во историјата како последна теорема на Ферма.

По Ферма, таквите големи умови како Леонхард Ојлер работеле на барање доказ (во 1770 година предложил решение за n = 3),

Адриен Лежандре и Јохан Дирихле (овие научници заеднички го пронајдоа доказот за n = 5 во 1825 година), Габриел Ламе (кој го најде доказот за n = 7) и многу други. До средината на 1980-тите стана јасно дека научниот свете на пат кон конечното решение на последната теорема на Ферма, но дури во 1993 година математичарите видоа и поверуваа дека тривековната епопеја за барање доказ за последната теорема на Ферма е практично завршена.

Лесно се покажува дека е доволно да се докаже теоремата на Ферма само за едноставни n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... За композитното n, доказот останува валиден. Но, има бесконечно многу прости броеви...

Во 1825 година, користејќи го методот на Софи Жермен, женските математичари, Дирихле и Лежандре независно ја докажаа теоремата за n=5. Во 1839 година, користејќи го истиот метод, Французинот Габриел Ламе ја покажал вистинитоста на теоремата за n=7. Постепено теоремата беше докажана за скоро сите n помалку од сто.

Конечно, германскиот математичар Ернст Кумер, во една брилијантна студија, покажа дека теоремата воопшто не може да се докаже со помош на методите на математиката од 19 век. Наградата на Француската академија на науките, основана во 1847 година за докажување на теоремата на Ферма, остана недоделена.

Во 1907 година, богатиот германски индустријалец Пол Волфскел решил да си го одземе животот поради невозвратена љубов. Како вистински Германец, тој го постави датумот и времето на самоубиството: точно на полноќ. Последниот ден направи тестамент и напиша писма до пријателите и роднините. Работите завршија пред полноќ. Мора да се каже дека Павле бил заинтересиран за математика. Немајќи што друго да прави, отиде во библиотеката и почна да ја чита познатата статија на Кумер. Одеднаш му се чинеше дека Кумер направил грешка во расудувањето. Волфскел почна да го анализира овој дел од статијата со молив во рацете. Помина полноќ, дојде утро. Празнината во доказот е пополнета. А самата причина за самоубиството сега изгледаше сосема смешно. Павле ги искинал своите проштални писма и го препишал тестаментот.

Набрзо починал од природна смрт. Наследниците биле прилично изненадени: 100.000 марки (повеќе од 1.000.000 тековни фунти) биле префрлени на сметката на Кралското научно друштво од Гетинген, кое истата година објавило конкурс за наградата Волфскел. 100.000 марки беа доделени на лицето кое ја докажало теоремата на Ферма. Ниту еден фениг не беше доделен за побивање на теоремата...

Повеќето професионални математичари ја сметаа потрагата по доказ за последната теорема на Ферма за безнадежна задача и решително одбија да губат време на таква бескорисна вежба. Но, аматерите имаа експлозија. Неколку недели по објавувањето, лавина „докази“ го погоди Универзитетот во Гетинген. Професорот Е.М. Ландау, чија одговорност беше да ги анализира испратените докази, им подели картички на своите студенти:

Мил. . . . . . . .

Ви благодарам што ми го испративте ракописот со доказ за последната теорема на Ферма. Првата грешка е на страницата ... во редот... . Поради тоа, целиот доказ ја губи својата важност.
Професорот Е. М. Ландау

Во 1963 година, Пол Коен, потпирајќи се на наодите на Гедел, ја докажал нерешливоста на еден од дваесет и трите проблеми на Хилберт - хипотезата за континуум. Што ако и последната теорема на Ферма е нерешлива?! Но, вистинските фанатици на Големата теорема воопшто не беа разочарани. Доаѓањето на компјутерите одеднаш им даде на математичарите нов методдоказ. По Втората светска војна, тимови од програмери и математичари ја докажаа Последната теорема на Ферма за сите вредности од n до 500, потоа до 1.000, а подоцна и до 10.000.

Во 1980-тите, Семјуел Вагстаф ја зголеми границата на 25.000, а во 1990-тите, математичарите изјавија дека последната теорема на Ферма е точна за сите вредности од n до 4 милиони. Но, ако од бесконечноста одземете дури и трилион трилион, тој нема да стане помал. Математичарите не се убедени во статистиката. Да се ​​докаже Големата теорема значело да се докаже за СИТЕ n одење до бесконечност.

Во 1954 година, двајца млади јапонски пријатели математичари почнаа да истражуваат модуларни форми. Овие форми генерираат серии од броеви, секој со своја серија. Случајно, Тањама ги спореди овие серии со серии генерирани од елиптични равенки. Се поклопија! Но, модуларните форми се геометриски објекти, а елиптичните равенки се алгебарски. Никогаш не е пронајдена врска помеѓу толку различни објекти.

Сепак, по внимателно тестирање, пријателите изнесоа хипотеза: секоја елиптична равенка има близнак - модуларна форма, и обратно. Токму оваа хипотеза стана основа на цела насока во математиката, но додека не се докаже хипотезата Тањама-Шимура, целата зграда може да се урне во секој момент.

Во 1984 година, Герхард Фреј покажа дека решението на Ферматовата равенка, доколку постои, може да се вклучи во некоја елиптична равенка. Две години подоцна, професорот Кен Рибет докажа дека оваа хипотетичка равенка не може да има пандан во модуларниот свет. Отсега натаму, последната теорема на Ферма беше нераскинливо поврзана со претпоставката Тањама-Шимура. Откако докажавме дека која било елиптична крива е модуларна, заклучуваме дека не постои елиптична равенка со решение на Ферматовата равенка, а последната теорема на Ферма веднаш би била докажана. Но, триесет години не беше можно да се докаже хипотезата Тањама-Шимура, а надежта за успех имаше се помалку.

Во 1963 година, кога имал само десет години, Ендрју Вајлс веќе бил фасциниран од математиката. Кога дознал за Големата теорема, сфатил дека не може да се откаже од неа. Како ученик, студент и дипломиран студент, тој се подготвил за оваа задача.

Откако дознал за наодите на Кен Рибет, Вајлс напредувал во докажување на хипотезата Тањама-Шимура. Решил да работи во целосна изолација и тајност. „Сфатив дека сè што има врска со Последната теорема на Ферма предизвикува премногу интерес... Премногу гледачи очигледно се мешаат во постигнувањето на целта“. Седум години напорна работа се исплатеше, Вајлс конечно го заврши доказот за претпоставката Тањама-Шимура.

Во 1993 година, англискиот математичар Ендрју Вајлс на светот му го претстави својот доказ за Последната теорема на Ферма (Вајлс го прочита својот сензационален труд на конференција во Институтот Сер Исак Њутн во Кембриџ.), ​​работа на која траеше повеќе од седум години.

Додека возбудата продолжи во печатот, започна сериозна работа на проверка на доказите. Секој доказ мора внимателно да се испита пред доказите да се сметаат за ригорозни и точни. Вајлс помина немирно лето чекајќи повратни информации од рецензентите, надевајќи се дека ќе може да го добие нивното одобрување. На крајот на август, експертите утврдија дека пресудата е недоволно поткрепена.

Се покажа дека оваа одлука содржи груба грешка, иако генерално е точна. Вајлс не се откажа, побара помош од познатиот специјалист за теорија на броеви Ричард Тејлор и веќе во 1994 година објавија поправен и проширен доказ за теоремата. Најневеројатно е што ова дело зазема дури 130 (!) страници во математичкото списание „Annals of Mathematics“. Но, приказната не заврши ниту тука - конечната точка беше постигната дури следната година, 1995 година, кога беше објавена конечната и „идеална“, од математичка гледна точка, верзија на доказот.

„...половина минута по почетокот на празничната вечера по повод нејзиниот роденден, на Надја и го подарив ракописот на целосниот доказ“ (Ендрју Велс). Зарем уште не реков дека математичарите се чудни луѓе?

Овој пат немаше сомнеж за доказите. Два статии беа подложени на највнимателна анализа и беа објавени во мај 1995 година во Annals of Mathematics.

Помина многу време од тој момент, но сè уште постои мислење во општеството дека последната теорема на Ферма е нерешлива. Но, дури и оние кои знаат за пронајдениот доказ продолжуваат да работат во оваа насока - малкумина се задоволни што Големата теорема бара решение од 130 страници!

Затоа, сега напорите на многу математичари (најчесто аматери, а не професионални научници) се фрлаат во потрагата по едноставен и концизен доказ, но овој пат, најверојатно, нема да води никаде...

извор

1

Ивлиев Ју.А.

Статијата е посветена на описот на основната математичка грешка направена во процесот на докажување на последната теорема на Ферма на крајот на дваесеттиот век. Откриената грешка не само што го искривува вистинското значење на теоремата, туку и го попречува развојот на нов аксиоматски пристап за проучување на моќите на броевите и природните серии на броеви.

Во 1995 година, беше објавена статија, слична по големина на книга, и известување за доказот на познатата Голема (последна) теорема на Ферма (WTF) (за историјата на теоремата и обидите да се докаже, видете, на пример, ). По овој настан, се појавија многу научни написи и популарни научни книги кои го промовираа овој доказ, но ниту едно од овие дела не ја откри основната математичка грешка во него, која навлезе дури и по вина на авторот, туку поради некој чуден оптимизам што го зафати умови математичарите кои го проучувале овој проблем и поврзаните прашања. Психолошки аспектиОвој феномен е проучен во. Овде даваме детална анализа на настанатата грешка, која не е од приватна природа, туку е последица на неправилно разбирање на својствата на силите на цели броеви. Како што е прикажано во, проблемот на Ферма е вкоренет во новиот аксиоматски пристап кон проучувањето на овие својства, кој сè уште е во модерната наукане беше применет. Но, погрешен доказ му застана на патот, обезбедувајќи им на специјалистите за теорија на броеви лажни упатства и водечки истражувачи на проблемот на Ферма далеку од неговото директно и соодветно решение. Оваа работа е посветена на елиминирање на оваа пречка.

1. Анатомија на грешка направена за време на WTF доказот

Во процесот на многу долго и досадно расудување, првобитната изјава на Ферма беше преформулирана во смисла на споредба на диофантиновата равенка од pth степен со елиптични криви од трет ред (види теореми 0,4 и 0,5 инчи). Оваа споредба ги принуди авторите на практично колективниот доказ да објават дека нивниот метод и расудување водат до конечно решение на проблемот на Ферма (се потсетиме дека WTF немаше признати докази за случајот на произволни цели броеви на цели броеви до 90-тите години на минатиот век век). Целта на ова размислување е да се утврди математичката неточност на горната споредба и, како резултат на анализата, да се најде фундаментална грешка во доказот претставен во.

а) Каде и која е грешката?

Така, ќе го следиме текстот, каде на стр.448 се вели дека по „духовитата идеја“ на Г. Фреј се отворила можноста за докажување на WTF. Во 1984 година, Г. Фреј предложи и

К. Рибет подоцна докажа дека претпоставената елиптична крива што го претставува хипотетичкото целобројно решение на Ферматовата равенка

y 2 = x(x + u p) (x - vстр) (1)

не може да биде модуларен. Сепак, А. Вајлс и Р. Тејлор докажаа дека секоја полустабилна елиптична крива дефинирана преку полето на рационални броеви е модуларна. Ова доведе до заклучок за неможноста на целобројни решенија на Ферматовата равенка и, следствено, за валидноста на изјавата на Ферма, која во ознаката на А. Вајлс беше напишана како теорема 0,5: нека има еднаквост

u p+ v p+ w p = 0 (2)

Каде ти, v, w - рационални броеви, цел индикатор p ≥ 3; тогаш (2) е задоволен само ако uvw = 0 .

Сега, очигледно, треба да се вратиме назад и критички да размислиме зошто кривата (1) беше априори перципирана како елиптична и каква е нејзината вистинска врска со Ферматовата равенка. Предвидувајќи го ова прашање, А. Вајлс се осврнува на работата на Y. Hellegouarch, во која тој нашол начин да ја поврзе равенката на Ферма (се претпоставува дека е решена во цели броеви) со хипотетичка крива од трет ред. За разлика од G. Frey, I. Elleguarche не ја поврзал својата крива со модуларни форми, меѓутоа, неговиот метод за добивање на равенката (1) бил користен за дополнително унапредување на доказот на A. Wiles.

Ајде внимателно да ја разгледаме работата. Авторот го води своето размислување во однос на проективната геометрија. Поедноставувајќи некои од неговите ознаки и усогласувајќи ги со , откриваме дека Абеловата крива

Y 2 = X(X - β p) (X + γ p) (3)

се споредува диофантинската равенка

x p+ y p+ z p = 0 (4)

Каде x, y, zсе непознати цели броеви, p е целобројниот експонент од (2), а решенијата на диофантинската равенка (4) α p , β p , γ p се користат за запишување на Абеловата крива (3).

Сега, за да се увериме дека ова е елиптична крива од 3 ред, неопходно е да се разгледаат променливите X и Y во (3) во Евклидовата рамнина. За да го направите ова, го користиме добро познатото правило за аритметика на елиптични криви: ако има две рационални точки на кубна алгебарска крива и права што минува низ овие точки ја пресекува оваа крива во друга точка, тогаш втората е исто така рационална точка . Хипотетичката равенка (4) формално го претставува законот за собирање точки на права линија. Ако направиме промена на променливите x p = A, y p = B, z p = C и насочете ја добиената права по должината на оската X во (3), тогаш таа ќе ја пресече кривата од 3 степен во три точки: (X = 0, Y = 0), (X = β p, Y = 0) , (X = - γ p, Y = 0), што се рефлектира во ознаката на Абеловата крива (3) и во слична нотација (1). Меѓутоа, дали кривата (3) или (1) е всушност елипсовидна? Очигледно, не, бидејќи отсечките на Евклидовата права, кога се собираат точки на неа, се земаат на нелинеарна скала.

Враќајќи се на линеарните координатни системи на Евклидовиот простор, наместо (1) и (3) добиваме формули кои се многу различни од формулите за елиптични криви. На пример, (1) може да биде во следнава форма:

η 2p = ξ p (ξ p + u p) (ξ p - vстр) (5)

каде ξ p = x, η p = y, а жалбата до (1) во овој случај да се изведе WTF се чини нелегитимна. И покрај фактот што (1) задоволува некои критериуми за класата на елиптични криви, најважен критериум е да биде равенка од 3 степен во линеарен системне ги задоволува координатите.

б) Класификација на грешки

Значи, уште еднаш да се вратиме на почетокот на разгледувањето и да видиме како се доаѓа до заклучокот за вистината на WTF. Прво, се претпоставува дека има некое решение за Ферматовата равенка во позитивни цели броеви. Второ, ова решение произволно се вметнува во алгебарска форма од позната форма (рамна крива од степен 3) под претпоставка дека така добиените елиптични криви постојат (втората непотврдена претпоставка). Трето, бидејќи други методи докажуваат дека конкретната конструирана крива е немодуларна, тоа значи дека таа не постои. Ова води до заклучок: не постои целобројно решение за Ферматовата равенка и, според тоа, WTF е точен.

Има една слаба алка во овие аргументи, која по детална проверка се покажува дека е грешка. Оваа грешка се јавува во втората фаза од процесот на докажување, кога се претпоставува дека и хипотетичкото решение на Ферматовата равенка е решение алгебарска равенка 3 степен, опишувајќи елиптична крива од познат тип. Самата по себе, таквата претпоставка би била оправдана доколку наведената крива е навистина елиптична. Меѓутоа, како што може да се види од точката 1а), оваа крива е претставена во нелинеарни координати, што ја прави „илузорна“, т.е. навистина не постои во линеарен тополошки простор.

Сега треба јасно да ја класифицираме пронајдената грешка. Тоа лежи во тоа што она што треба да се докаже е претставено како аргумент на доказ. Во класичната логика оваа грешка е позната како „маѓепсан круг“. Во овој случај, целобројното решение на Ферматовата равенка се споредува (очигледно, веројатно единствено) со фиктивна, непостоечка елиптична крива, а потоа целиот патос на понатамошното расудување се троши на докажување дека е добиена специфична елиптична крива од оваа форма. од хипотетички решенија на Ферматовата равенка, не постои.

Како се случи таква елементарна грешка да се пропушти во сериозна математичка работа? Ова веројатно се случило поради фактот што „илузорните“ предмети претходно не биле проучувани во математиката. геометриски фигуриод наведениот тип. Навистина, кој би можел да биде заинтересиран, на пример, за фиктивен круг добиен од равенката на Ферма со замена на променливите x n/2 = A, y n/2 = B, z n/2 = C? На крајот на краиштата, нејзината равенка C 2 = A 2 + B 2 нема целобројни решенија за цел број x, y, z и n ≥ 3. Во нелинеарните координатни оски X и Y, таков круг би бил опишан со равенката, според изгледмногу слична на стандардната форма:

Y 2 = - (X - A)(X + B),

каде што A и B веќе не се променливи, туку специфични броеви утврдени со горната замена. Но, ако на броевите А и Б им се даде нивната оригинална форма, која се состои во нивниот карактер на моќ, тогаш хетерогеноста на ознаката во факторите од десната страна на равенката веднаш го привлекува окото. Оваа карактеристика помага да се разликува илузијата од реалноста и да се премине од нелинеарни кон линеарни координати. Од друга страна, ако ги сметаме броевите како оператори кога ги споредуваме со променливи, како на пример во (1), тогаш и двете мора да бидат хомогени величини, т.е. мора да ги има истите степени.

Ова разбирање на моќта на броевите како оператори, исто така, ни овозможува да видиме дека споредбата на Ферматовата равенка со илузорната елиптична крива не е недвосмислена. Земете, на пример, еден од факторите на десната страна на (5) и разложете го на p линеарни фактори, воведувајќи комплексен број r така што r p = 1 (види на пример):

ξ p + u p = (ξ + u)(ξ + р u)(ξ + r 2 u)...(ξ + r p-1 u) (6)

Тогаш формата (5) може да се претстави како разложување на прости множители на сложени броеви според видот на алгебарскиот идентитет (6), меѓутоа, единственоста на таквото разложување во општиот случај е доведена во прашање, како што еднаш покажа Кумер. .

2. Заклучоци

Од претходната анализа произлегува дека таканаречената аритметика на елиптични криви не е во состојба да фрли светлина на тоа каде да се бара доказ за WTF. По работата, изјавата на Фермат, патем, земена како епиграф на овој напис, почна да се сфаќа како историска шега или измама. Меѓутоа, во реалноста излегува дека не се пошегувал Фермат, туку специјалистите кои се собрале на математичкиот симпозиум во Оберволфах во Германија во 1984 година, на кој Г. Фреј ја изразил својата духовита идеја. Последиците од ваквата невнимателна изјава ја доведоа математиката во целина на работ на губење на довербата во јавноста, што е детално опишано и кое нужно го поставува прашањето за одговорноста на научните институции кон општеството. Споредбата на Ферматовата равенка со кривата на Фреј (1) е „бравата“ на целиот доказ на Вајлс во врска со теоремата на Ферма, и ако не постои кореспонденција помеѓу Ферматовата крива и модуларните елиптични криви, тогаш нема доказ.

Неодамна, се појавија различни извештаи на Интернет дека некои истакнати математичари конечно го сфатиле доказот на Вајлс за теоремата на Ферма, откако дошле до оправдување за тоа во форма на „минимално“ повторно пресметување на цели точки во Евклидовиот простор. Сепак, ниту една иновација не може да ги анулира класичните резултати што човештвото веќе ги има добиено во математиката, особено фактот што иако секој реден број се совпаѓа со неговиот квантитативен аналог, тој не може да биде замена за него во операциите за споредување на броеви меѓу себе, и оттука со неизбежен заклучок следува дека Фрејовата крива (1) не е првично елиптична, т.е. нели по дефиниција.

БИБЛИОГРАФИЈА:

1. Ивлиев Ју.А. Реконструкција на мајчиниот доказ на Фермановата последна теорема - Обединето научно списание (дел „Математика“). Април 2006 Бр. 7 (167) стр. 3-9, видете исто така, огранок Прачи Луганск на Меѓународната академија за информатизација. Министерство за образование и наука на Украина. Skhidnoukransky Националниот универзитет именуван по. В.Дал. 2006 Бр.2 (13) стр.19-25.
2. Ивлиев Ју.А. Најголемата научна измама на 20 век: „доказ“ за последната теорема на Ферма - природна и Техничка наука(дел „Историја и методологија на математиката“). Август 2007 Бр.4 (30) стр.34-48.
3. Едвардс Г. (Едвардс Х.М.) Последната теорема на Ферма. Генетски вовед во теоријата на алгебарски броеви. Пер. од англиски Изменето од Б.Ф.Скубенко. М.: Мир 1980, 484 стр.
4. Hellegouarch Y. Points d´ordre 2p h sur les courbes elliptiques - Acta Arithmetica. 1975 XXVI стр.253-263.
5. Wiles A. Модуларни елиптични криви и Фермаовата последна теорема - Анали на математиката. Мај 1995 г.141 Втора серија бр.3 стр.443-551.

Библиографска врска

Ивлиев Ју.А. ЛАЖЕН ДОКАЗ НА ВИЛС ЗА ПОСЛЕДНАТА ТЕОРЕМА НА ФЕРМА // Основно истражување. – 2008. – бр. 3. – стр. 13-16;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=2763 (датум на пристап: 17.03.2020). Ви ги пренесуваме списанијата што ги издава издавачката куќа „Академија за природни науки“

Судејќи според популарноста на барањето „Ферматова теорема - краток доказ"ова математички проблемнавистина интересира многу луѓе. Оваа теорема првпат ја кажал Пјер де Фермат во 1637 година на работ на копија од Аритметика, каде што тврдел дека имал решение кое е преголемо за да се собере на работ.

Првиот успешен доказ беше објавен во 1995 година, целосен доказ за теоремата на Ферма од Ендрју Вајлс. Тоа беше опишано како „неверојатен напредок“ и доведе до тоа Вајлс да ја добие наградата Абел во 2016 година. Иако е опишан релативно кратко, доказот на теоремата на Ферма исто така докажа голем дел од теоремата за модуларност и отвори нови пристапи кон бројни други проблеми и ефективни методипорастот на модуларноста. Овие достигнувања ја унапредиле математиката за 100 години. Доказот за малата теорема на Ферма не е нешто невообичаено денес.

Нерешениот проблем го поттикна развојот на теоријата на алгебарски броеви во 19 век и потрагата по доказ за теоремата за модуларност во 20 век. Ова е една од најзабележителните теореми во историјата на математиката и пред целосното докажување на последната теорема на Ферма со методот на делење, таа се најде во Гинисовата книга на рекорди како „најтешкиот математички проблем“, една од карактеристиките на што е тоа што го има најголем бројнеуспешни докази.

Историска референца

Питагоровата равенка x 2 + y 2 = z 2 има бесконечен број позитивни цели броеви за x, y и z. Овие решенија се познати како питагорејски тројства. Околу 1637 година, Фермат напишал на работ од книга дека поопштата равенка a n + b n = c n нема решенија во природни броеви, ако n е цел број поголем од 2. Иако самиот Фермат тврдеше дека има решение за неговиот проблем, тој не остави никакви детали за неговото докажување. Елементарниот доказ за теоремата на Ферма, наведен од нејзиниот творец, беше неговиот фалбаџиски изум. Книгата на големиот француски математичар е откриена 30 години по неговата смрт. Оваа равенка, наречена Последната теорема на Ферма, останала нерешена во математиката три и пол века.

Теоремата на крајот стана еден од најзначајните нерешени проблеми во математиката. Обидите да се докаже ова предизвика значаен развој во теоријата на броеви, а со текот на времето, Последната теорема на Ферма стана позната како нерешен проблем во математиката.

Кратка историја на докази

Ако n = 4, како што самиот Ферма докажа, доволно е да се докаже теоремата за индексите n, кои се прости броеви. Во текот на следните два века (1637-1839) претпоставката беше докажана само за простите броеви 3, 5 и 7, иако Софи Жермен го ажурираше и докажа пристапот што се применува на целата класа на прости броеви. Во средината на 19 век, Ернст Кумер го проширил ова и ја докажал теоремата за сите правилни прости броеви, предизвикувајќи неправилните прости броеви да се анализираат поединечно. Надоврзувајќи се на работата на Кумер и користејќи софистицирано компјутерско истражување, другите математичари можеа да го прошират решението на теоремата, со цел да ги опфатат сите главни експоненти до четири милиони, но доказот за сите експоненти сè уште беше недостапен (што значи дека математичарите генерално го разгледуваа решението до теоремата невозможна, исклучително тешка или недостижна со сегашните сознанија).

Дело на Шимура и Тањама

Во 1955 година, јапонските математичари Горо Шимура и Јутака Танијама се посомневале дека постои врска помеѓу елиптичните криви и модуларните форми, две сосема различни области на математиката. Позната во тоа време како претпоставка Тањама-Шимура-Вајл и (на крајот) како теорема за модуларност, таа стоеше сама по себе, без очигледна врска со последната теорема на Ферма. Нашироко се сметаше за важна математичка теорема сама по себе, но се сметаше (како теоремата на Ферма) невозможно да се докаже. Во исто време, доказот на големата теорема на Ферма (со методот на делење и употребата на сложени математички формули) беше спроведен само половина век подоцна.

Во 1984 година, Герхард Фреј забележал очигледна врска помеѓу овие два претходно неповрзани и нерешени проблеми. Целосен доказ дека двете теореми се тесно поврзани беше објавен во 1986 година од Кен Рибет, кој изгради делумен доказ од Жан-Пјер Сер, кој ги докажа сите освен еден дел, познат како „епсилонска претпоставка“. Едноставно кажано, овие дела на Фреј, Серес и Рибе покажаа дека ако теоремата за модуларност може да се докаже барем за полустабилна класа на елиптични криви, тогаш и доказот за последната теорема на Ферма ќе биде откриен порано или подоцна. Секое решение што може да ѝ противречи на последната теорема на Ферма може да се користи и за контрадикторност на теоремата за модуларност. Затоа, ако теоремата за модуларност се покажа како вистинита, тогаш по дефиниција не може да има решение што е во спротивност со последната теорема на Ферма, што значи дека требало да се докаже наскоро.

Иако и двете теореми беа тешки проблеми во математиката, кои се сметаа за нерешливи, работата на двајцата Јапонци беше првиот предлог за тоа како последната теорема на Ферма може да се прошири и докаже за сите броеви, а не само за некои. Важно за истражувачите кои ја избраа темата за истражување беше фактот дека, за разлика од последната теорема на Ферма, теоремата за модуларност беше главна активна област на истражување за која беше развиен доказ, а не само историска необичност, така што времето поминато работењето на него би можело да биде оправдано од професионална гледна точка. Сепак, генералниот консензус беше дека решавањето на претпоставката Тањама-Шимура не е практично.

Последната теорема на Ферма: доказ на Вајлс

Откако дознал дека Рибет ја докажал теоријата на Фреј точна, англискиот математичар Ендрју Вајлс, кој бил заинтересиран за последната теорема на Ферма уште од детството и имал искуство со работа со елиптични криви и сродни полиња, решил да се обиде да ја докаже претпоставката Тањама-Шимура како начин да ја докаже последната теорема на Ферма. Во 1993 година, шест години откако ја објави својата цел, додека тајно работеше на проблемот за решавање на теоремата, Вајлс успеа да докаже поврзана претпоставка, која пак ќе му помогне да ја докаже последната теорема на Ферма. Документот на Вајлс беше огромен по големина и обем.

Недостатокот беше откриен во еден дел од неговиот оригинален труд за време на рецензијата и бараше уште една година соработка со Ричард Тејлор за заеднички да се реши теоремата. Како резултат на тоа, конечниот доказ на Вајлс за последната теорема на Ферма не се чекаше долго. Во 1995 година, тој беше објавен во многу помал обем од претходната математичка работа на Вајлс, јасно покажувајќи дека тој не погрешил во неговите претходни заклучоци за можноста за докажување на теоремата. Достигнувањето на Вајлс беше широко објавено во популарниот печат и популаризирано во книгите и телевизиските програми. Останатите делови од претпоставката Танијама-Шимура-Вајл, кои сега се докажани и се познати како теорема за модуларност, потоа беа докажани од други математичари кои се надоврзаа на работата на Вајлс помеѓу 1996 и 2001 година. За неговото достигнување, Вајлс беше почестен и доби бројни награди, вклучувајќи ја и наградата Абел за 2016 година.

Доказот на Вајлс за последната теорема на Ферма е посебен случај на решение на теоремата за модуларност за елиптични криви. Сепак, ова е најпознатиот случај на математичка операција од толку големи размери. Заедно со решавањето на теоремата на Рибет, британскиот математичар добил и доказ за последната теорема на Ферма. Последната теорема на Ферма и теоремата за модуларност речиси универзално се сметаа за недокажливи модерни математичари, но Ендру Вајлс можеше да докаже сè научниот светдека дури и учените мажи се способни да прават грешки.

Вајлс првпат го објави своето откритие во средата на 23 јуни 1993 година на предавање во Кембриџ насловено „Модуларни форми, елиптични криви и галоа репрезентации“. Меѓутоа, во септември 1993 година беше утврдено дека неговите пресметки содржат грешка. Една година подоцна, на 19 септември 1994 година, во она што тој би го нарекол „најважниот момент од неговиот работен век“, Вајлс налетал на откритието кое му овозможило да го поправи решението на проблемот до точка каде што би можело да го задоволи математичкото заедница.

Карактеристики на работата

Доказот на Ендрју Вајлс за теоремата на Ферма користи многу техники од алгебарската геометрија и теоријата на броеви и има многу разграничувања во овие области на математиката. Тој, исто така, користи стандардни конструкции на модерната алгебарска геометрија, како што се категоријата шеми и теоријата на Ивасава, како и други методи од 20 век кои не биле достапни за Пјер Фермат.

Двата написи што ги содржат доказите се вкупно 129 страници и се напишани во текот на седум години. Џон Коутс го опиша ова откритие како едно од најголемите достигнувања на теоријата на броеви, а Џон Конвеј го нарече главното математичко достигнување на 20 век. Вилс, со цел да ја докаже последната теорема на Ферма со докажување на теоремата за модуларност за специјалниот случај на полустабилни елиптични криви, развил ефективни методиподемот на модуларноста и отвори нови пристапи кон бројни други проблеми. За решавање на последната теорема на Ферма, тој беше прогласен за витез и доби други награди. Кога се објави веста дека Вајлс ја добил наградата Абел, Норвешката академија на науките го опиша неговото достигнување како „восхитувачки и елементарен доказПоследната теорема на Ферма“.

Како беше

Еден од луѓето кои го анализираа оригиналниот ракопис на Вајлс за решението на теоремата беше Ник Кац. За време на неговиот преглед, тој му постави на Британецот низа појаснувачки прашања, што го принуди Вајлс да признае дека неговата работа јасно содржи празнина. Имаше грешка во еден критичен дел од доказот што даде проценка за редоследот на одредена група: Ојлеровиот систем што се користеше за проширување на методот Kolyvagin и Flach беше нецелосен. Грешката, сепак, не ја направи неговата работа бескорисна - секој дел од работата на Вајлс беше многу значаен и иновативен сам по себе, како и многу од случувањата и методите што тој ги создаде во текот на неговата работа и кои влијаеа само на еден дел од ракописот. Сепак, ова оригинално дело, објавено во 1993 година, всушност не обезбеди доказ за последната теорема на Ферма.

Вајлс помина речиси една година обидувајќи се повторно да го открие решението на теоремата, прво сам, а потоа во соработка со неговиот поранешен студент Ричард Тејлор, но се чинеше дека се беше залудно. До крајот на 1993 година, се проширија гласини дека доказот на Вајлс не успеал при тестирањето, но колку е сериозен неуспехот не беше познато. Математичарите почнаа да вршат притисок врз Вајлс да ги открие деталите за неговата работа, без разлика дали е завршена или не, за пошироката заедница на математичари да може да истражува и да го искористи сето она што тој го постигнал. Наместо брзо да ја исправи својата грешка, Вајлс само открил дополнителни сложености во докажувањето на последната теорема на Ферма, и конечно сфатил колку е тешко.

Вајлс наведува дека утрото на 19 септември 1994 година бил на работ да се откаже и да се откаже, и речиси се оставил на фактот дека не успеал. Тој беше подготвен да ја објави својата недовршена работа за да можат другите да се надоврзат на неа и да откријат каде погрешил. Англискиот математичар решил да си даде последна шанса и последен пат ја анализирал теоремата за да се обиде да ги разбере главните причини зошто неговиот пристап не функционирал, кога одеднаш сфатил дека пристапот Kolyvagin-Flac нема да работи додека не вклучи и доказ во процесот на теоријата на Ивасава, што го прави да функционира.

На 6 октомври, Вајлс побара од тројца колеги (вклучувајќи го и Фалтинс) да го прегледаат нова работа, а на 24 октомври 1994 година достави два ракописи - „Модуларни елиптични криви и последната теорема на Ферма“ и „ Теоретски својствапрстени од одредени хекески алгебри“, од кои втората Вајлс ја напиша заедно со Тејлор и докажа дека се исполнети одредени услови неопходни за да се оправда коригираниот чекор во главниот труд.

Овие два труда беа прегледани и конечно објавени како полн текст издание во изданието на Annals of Mathematics од мај 1995 година. Новите пресметки на Ендрју беа широко анализирани и на крајот прифатени од научната заедница. Во овие дела, теоремата на модуларност беше воспоставена за полустабилни елиптични криви - последен чекордо доказ за последната теорема на Ферма, 358 години по нејзиното создавање.

Историја на големиот проблем

Решавањето на оваа теорема се смета за најголем проблем во математиката многу векови. Во 1816 и во 1850 г Француска академијаНауката понуди награда за општ доказ за последната теорема на Ферма. Во 1857 година Академијата доделила 3.000 франци и златен медалКумер за неговото истражување на идеални бројки, иако не се пријавил за наградата. Друга награда му била понудена во 1883 година од Академијата во Брисел.

Волфскел награда

Во 1908 година, германскиот индустријалец и аматерски математичар Пол Волфскел оставил 100.000 златни марки (голема сума за тоа време) на Академијата на науките во Гетинген како награда за целосен доказ за последната теорема на Ферма. На 27 јуни 1908 година, Академијата објави девет правила за доделување награди. Меѓу другото, овие правила бараа објавување на доказите во рецензирано списание. Наградата требаше да биде доделена дури две години по објавувањето. Конкурсот требаше да истече на 13 септември 2007 година - приближно еден век по неговото започнување. На 27 јуни 1997 година, Вајлс ја добил паричната награда на Волфшел, а потоа уште 50.000 долари. Во март 2016 година, тој доби 600.000 евра од норвешката влада како дел од наградата Абел за неговиот „неверојатен доказ за последната теорема на Ферма користејќи ја претпоставката за модуларност за полустабилни елиптични криви, откривајќи нова ераво теоријата на броеви“. Тоа беше светски триумф за скромниот Англичанец.

Пред доказот на Вајлс, теоремата на Ферма, како што беше споменато претходно, се сметаше за апсолутно нерешлива со векови. Илјадници неточни докази во различно времебеа претставени на комитетот на Волфскел, во износ од приближно 10 стапки (3 метри) кореспонденција. Само во првата година од постоењето на наградата (1907-1908), беа поднесени 621 апликација за решавање на теоремата, иако до 1970-тите овој број се намали на приближно 3-4 апликации месечно. Според Ф. Шлихтинг, рецензентот на Волфшел, повеќето докази се засновале на рудиментирани методи кои се предаваат во училиштата и често биле презентирани од „луѓе со техничко искуство, но со неуспешна кариера“. Според историчарот на математиката Хауард Ејвс, последната теорема на Ферма постави еден вид рекорд - тоа е теорема со најмногу неточни докази.

Ферматските ловорики отидоа кај Јапонците

Како што споменавме порано, околу 1955 година, јапонските математичари Горо Шимура и Јутака Тањама открија можна врска помеѓу две навидум сосема различни гранки на математиката - елиптични криви и модуларни форми. Резултирачката теорема за модуларност (тогаш позната како претпоставка Танијама-Шимура) од нивното истражување наведува дека секоја елиптична крива е модуларна, што значи дека може да се поврзе со единствена модуларна форма.

Теоријата првично беше отфрлена како неверојатна или многу шпекулативна, но беше сфатена посериозно кога теоретичарот на броеви Андре Вејл најде докази за поддршка на наодите на Јапонецот. Како резултат на тоа, претпоставката честопати се нарекувала претпоставка Тањама-Шимура-Вајл. Стана дел од програмата Langlands, која е листа на важни хипотези кои бараат доказ во иднина.

Дури и по сериозно внимание, претпоставката беше препознаена од современите математичари како исклучително тешко или можеби невозможно да се докаже. Сега токму оваа теорема го чека Ендрју Вајлс, кој би можел да го изненади целиот свет со своето решение.

Теорема на Ферма: доказ на Перелман

И покрај популарниот мит, рускиот математичар Григориј Перелман, и покрај сета своја генијалност, нема никаква врска со теоремата на Ферма. Што, сепак, никако не ги намалува неговите бројни услуги за научната јавност.