Кога решавате логаритамски равенки и неравенки, користете ги својствата на логаритмите, како и својствата на логаритамската функција

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Домен на дефиниција: x > 0;

2) Опсег: y Р ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) За a>1 функцијата y=log a x се зголемува, за 0< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, т.е.

a >1 и log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2 ,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;

При премин од логаритамски равенки (неравенки) во равенки (неравенки) кои не го содржат знакот на логаритам, треба да се земе предвид опсегот на дозволените вредности (APV) на оригиналната равенка (неравенка).

Задачи и тестови на тема „Логаритамски равенки“

  • Логаритамски равенки

    Часови: 4 Задачи: 25 Тестови: 1

  • Системи на експоненцијални и логаритамски равенки - Експоненцијални и логаритамски функции одделение 11

    Часови: 1 Задачи: 15 Тестови: 1

  • §5.1. Решавање логаритамски равенки

    Часови: 1 Задачи: 38

  • §7 Експоненцијални и логаритамски равенки и неравенки - Дел 5. Експоненцијални и логаритамски функции, одделение 10

    Часови: 1 Задачи: 17

  • Еквивалентност на равенките - Равенки и неравенки 11 одделение

    Часови: 2 Задачи: 9 Тестови: 1

При решавање на логаритамски равенки, во многу случаи е неопходно да се користат својствата на логаритам на производ, количник или степен. Во случаи кога една логаритамска равенка содржи логаритми со различни основи, примената на овие својства е можна само по преминот кон логаритми со еднакви основи.

Дополнително, решавањето на логаритамската равенка треба да започне со наоѓање на опсегот на дозволени вредности (O.D.Z.) дадена равенка, бидејќи За време на процесот на решение, може да се појават надворешни корени. При комплетирање на решението, не заборавајте да ги проверите пронајдените корени за припадност на О.Д.З.

Можете да решавате логаритамски равенки без да користите O.D.Z. Во овој случај, верификацијата е задолжителен елемент на решението.

Примери.

Решавање на равенки:

а) дневник 3 (5x – 1) = 2.

Решение:

ODZ: 5x – 1 > 0; x > 1/5.
дневник 3 (5x– 1) = 2,
дневник 3 (5x – 1) = дневник 3 3 2,
5x - 1 =9,
x = 2.























1 од 22

Опис на презентацијата по поединечни слајдови:

Слајд бр. 1

Научен прирачник за алгебра Тема: „Логаритмски и експоненцијални равенкии нееднаквости“ Заврши: Мануилова Л.Н.- наставник по математика, СОУ МБОУ бр.76, Ижевск, Удмуртија

Слајд бр. 2

Содржина: Поглавје 1. 1.1. Концептот на логаритам 1.2. Својства на логаритмот 1.3. Логаритамски равенки А. Теоретски дел Б. Примери 1.4. Логаритмски неравенки А. Теоретски дел Б. Примери Поглавје 2. 2.1. Моќта на позитивен број е 2,2. Експоненцијална функција 2.3. Експоненцијални равенки А. Теоретски дел Б. Примери 2.4. Експоненцијални неравенки А. Теоретски дел Б. Примери Поглавје 3. 3.1. Тест на тема „Логаритамски равенки и неравенки“ I ниво на сложеност II ниво на сложеност III ниво на сложеност 3.2. Тест на тема „Експоненцијални равенки и неравенки“ I ниво на сложеност II ниво на сложеност III ниво на сложеност

Слајд бр.3

1.1 Концептот на логаритам y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) е број n таков што b = an Логаритмот на позитивен број b на основата a (a > 0,a ≠ 1) се означува на следниов начин: n = лога b Од дефиницијата за логаритам очигледно следува дека за a > 0 , a ≠ 1, b > 0: a лога b = b

Слајд бр.4

Логаритамска функција y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x Функцијата y = лога x се вика логаритамска функција. Својства на функцијата y = лога x, за a > 0: Континуирано и растечко на интервалот (0;+∞); Ако x→+∞, тогаш y→+∞; ако x→0, тогаш y→ -∞. Бидејќи loga1=0, тогаш од својството 1 следува: ако x > 1, тогаш y > 0; ако 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, потоа y< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

Слајд бр.5

Нека a, M и N се позитивни броеви, со a ≠ 1, а k е реален број. Тогаш се точни следните еднаквости: 1. лога (M·N) = лога M + лога N - Логаритмот на производот од позитивните броеви е еднаков на збирот на логаритмите на овие броеви. 2. лога M = лога M – лога N - Логаритмот на количникот на позитивните броеви N е еднаков на разликата помеѓу логаритмите на дивидендата и делителот. 3. лога Mk = k · лога M - Логаритмот на моќноста на позитивен број е еднаков на производот на експонентот и логаритамот на овој број. 4. лога M = logb M → лога b = 1 - Формула за претворање на логаритми од еден logb a logb база во друг. Поединечни случаи: 1. log10 b = log b - Логаритмот од позитивен број b до основата 10 се вика децимален логаритамброеви б. 2. лог b = ln b - Се повикува логаритам на позитивен број b до основата e природен логаритамброеви b 1.2 Својства на логаритмите

Слајд бр.6

1. Нека a е даден позитивен број не еднаков на 1, b е даден реален број. Тогаш равенката лога x = b се нарекува наједноставна логаритамска равенка. На пример, равенките а) log3 x = 3 ; (1) б) log⅓ x = -2; (2) в) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) се наједноставните логаритамски равенки. Според дефиницијата за логаритам, ако бројот x0 ја задоволува нумеричката еднаквост лога x = b, тогаш бројот x0 е ab, а овој број x0 = ab е единствениот. Така, за секој реален број b равенката лога x = b има еден корен x0 = ab. 2. Равенки кои по замена на непознатата се претвораат во наједноставни логаритамски равенки: а) log5 (4x – 3) = 2; (4) б) 2 + 1 = -1; (5) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) 1.3 Равенки (теоретски дел)

Слајд бр.7

1.3 Примери log3 x = 3 Да ја преработиме равенката во форма: log3 x = log3 27 Тогаш е очигледно дека оваа равенка има еден корен x0 = 27. Одговор: 27. б) log1/3 x = -2 Оваа равенка има единечен корен x0 = ( ⅓)-2 =9 Одговор: 9. в) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Сведувајќи ги сите логаритми на иста основа, го препишуваме равенка како: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Бидејќи секој член од збирот заграден во загради е позитивен, збирот не е еднаков на нула. Според тоа, равенката (1), а со тоа и равенката (2), се еквивалентни на равенката log25 x = 0, која има еден корен x0 = 1. Според тоа, равенката (1) има еден корен x0 = 1. Одговор: 1 . a, b – наједноставните равенки; c е равенка која по трансформациите се претвора во наједноставниот лог. равенката

Слајд бр.8

1.3 Примери а) log5 (4x – 3) = 2 (1) Воведувајќи го новото познато t = 4x – 3, ја препишуваме равенката во форма: log5 t = 2. Оваа равенка има еден корен t1 = 52 =25. За да го најдете коренот на равенката (1), треба да ја решите равенката: 4x – 3 = 25. (2) Има еден корен x1 =7. Според тоа, равенката (1) има и единствен корен x1=7. Одговор: 7. б) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0.01 log(3x + 1) Воведување нова непозната t = log (3x + 1) и земајќи го предвид дека log 0.01 = -2, ја препишуваме равенката (1) во форма: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t Откако ја решивме рационалната равенка (2), откриваме дека има два корени t1 = -2 и t2 = 1. За да се најдат сите корени на равенката (1), потребно е да се комбинираат корените на двете равенки log(3x + 1) = -2 и log(3x + 1) = 1. Првата равенка е еквивалентна на равенката 3x + 1 = 10-2, што има еден корен x1 = -0,33. Втората равенка е еквивалентна на равенката 3x + 1 = 10, која исто така има еден корен x2 = 3. Одговор: -0,33 ; 3. a, b – равенки сведени на наједноставните со замена на непознатата

Слајд бр.9

1.4 Неравенки (теоретски дел) Нека a е даден позитивен број не еднаков на 1, b е даден реален број. Потоа неравенките: logа x > b (1) logа x< b (2) являются простейшими логаритамски неравенки. Неравенките (1) и (2) може да се препишат како: лога x > лога x0 (3) лога x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, тогаш функцијата y = лога x се зголемува во целиот нејзин домен на дефиниција, т.е. на интервалот (0;+∞). Затоа, за кој било број x > x0 е точно нумеричка неравенкалога x > лога x0 и за кој било број x од интервалот 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 и секој реален број b, множеството на сите решенија на неравенката (3) е интервалот (x0 ;+ ∞), а множеството на сите решенија на неравенката (4) е интервалот (0; x0). Ако 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 логата на нумеричката неравенка x е точно< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >лога x0. Дополнително, логата за еднаквост x = лога x0 важи само за x = x0. Така, на 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

Слајд бр.10

1.4 Неравенки (Теоретски дел) On координатна рамнина xOy разгледајте ги графиконите на функцијата y = лога x и y = b. Правата y = b го сече графикот на функцијата y = лога x во една точка x0 = ab. Ако a > 1, тогаш за секој x > x0 соодветната точка на графикот на функцијата y = лога x се наоѓа над правата линија y = b, т.е. за секој x > x0 соодветната ордината y = ax е поголема од ординатата ax0, а за секој x од интервалот 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 соодветната точка на графикот на функцијата y = лога x е под правата y = b, а за секој x од интервалите 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = лога x (0< a < 1) х0

Слајд бр.11

1.4 Примери Да ја решиме неравенката log1/3 x > -2. (1) Бидејќи -2 = log⅓ 9, тогаш неравенката (1) може да се препише како log ⅓x > log ⅓ 9 (2) бидејќи ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) Бидејќи ½ = log4 2, тогаш неравенството (3) може да се препише како log4 x > log4 2 (4) Бидејќи 4 > 1, тогаш функцијата y = log4 x се зголемува. Според тоа, множеството на сите решенија на неравенката (4), а со тоа и на неравенката (3), е интервалот (2;+∞). Одговор: (2;+∞). (види слика 1) x y 1 2 3 4 1 -1 0 Сл. 1 y = ½ y = log4 x

Слајд бр.12

1.4 Примери Да ја решиме неравенката log3 x – 3log9 x – log81 x > 1.5. (5) Бидејќи log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), тогаш неравенството (5) може да се препише како: (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1,5 или како log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, тогаш функцијата y = log3 x се зголемува. Според тоа, множеството на сите решенија на неравенката (6), а со тоа и неравенката (5), е интервалот 0< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

Слајд бр.13

2.1 Моќност на позитивен број Моќност од в рационален индикаторНека a е позитивен број, а p/q е рационален број(q ≥ 2). По дефиниција, бројот a до моќта p/q е аритметички корен на моќноста q на a до моќта p, т.е. a p/q = q√ap . ТЕОРЕМА. Нека a е позитивен број, p цел број, k и q цели броеви, q ≥ 2, k ≥ 2. Тогаш се вистинити следните еднаквости: а) ap/q = (a1/p)p ; б) ap/q = a pk /qk ; в) ap = a pq /q; Својства на степен со рационален експонент ТЕОРЕМА 1. Позитивен број a до степен со кој било рационален експонент r е позитивен: ar > 0 ТЕОРЕМА 2. Нека a е позитивен број, а r1, r2 и r се рационални броеви. Тогаш се вистинити следните својства: 1. При множење на моќи со рационални експоненти со ист позитивен број, експонентите се собираат: аr1 ∙ аr2 = аr1 + r2. 2. При делење на моќи со рационални показатели со ист позитивен број, се одземаат експонентите: аr1: аr2 = аr1 – r2. 3. При подигање на моќ со рационален показател на позитивен број на рационална моќност, се множат показателите: (a r1) r2 = a r1∙ r2. ТЕОРЕМА 3. Нека a и b се позитивни броеви, а r рационален број. Тогаш важат следните својства на степен со рационален показател: Степен со рационален експонент на производот на позитивни броеви е еднаков на производот на истите сили на множителите: (ab)r = ar ∙ br . Моќта со рационален експонент на количникот на позитивните броеви е еднаква на количникот на истите сили на дивидендата и делителот: (a / b)r = ar / br. ТЕОРЕМА 4. Нека бројот a > 1, а r е рационален број. Потоа ar > 1 за r > 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1, а рационалните броеви r1 и r2 ја задоволуваат неравенката r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

Слајд бр.14

2.2 Експоненцијална функција Размислете за функцијата y = a (1) , каде што a > 0 и a ≠ 0, на множеството рационални броеви. За секој рационален број r, се дефинира број ar. Вака засега е дефинирана функцијата (1) на множеството рационални броеви. Графикот на оваа функција во координатниот систем x0y е збир на точки (x; ax), каде што x е кој било рационален број. За > 1, овој график е прикажан шематски на слика (1), а за 0< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют експоненцијална функцијасо основа а.

Слајд бр.15

2.3 Експоненцијални равенки (Теоретски дел) 1. Нека a е даден позитивен број не еднаков на 1, b е даден реален број. Тогаш равенката ax = b (1) се нарекува наједноставна експоненцијална равенка. На пример, равенките 2x = 8, (1/3)x = 9, 25x = -25 се наједноставните експоненцијални равенки. Коренот (или решението) на равенката со непозната x е бројот x0, кога се заменува во равенката наместо x, се добива точната нумеричка еднаквост. Решавањето на равенката значи да се најдат сите нејзини корени или да се покаже дека ги нема. Бидејќи ax0 > 0 за кој било реален број x0 за кој би било точно нумеричката еднаквост ax0 = b, единствениот број x0 = лога b задоволува. Така, равенката (1): За b ≤ 0 нема корени; За b > 0, има еден корен x0 = лога b. 2. Равенки кои по замена на непознатата се претвораат во наједноставни експоненцијални равенки.

Слајд бр.16

2.3 Примери Да ја решиме равенката (1/2)x = 2 (2) Бидејќи 2 > 1, оваа равенка има еден корен x0 = log½ 2 = -1. Одговор: -1. Да ја решиме равенката 3x = 5 (3) Бидејќи 5 > 0, оваа равенка има еден корен x0 = log3 5. Одговор: log3 5. Реши ја равенката 25x = -25 Бидејќи -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 оваа равенка често се пишува како ax = aα, каде α = лога b. Тогаш е очигледно дека единствениот корен на оваа равенка, а со тоа и на равенката (1), е бројот α. Бидејќи равенката (2) може да се запише во форма (1/2)x = (1/2)-1, тогаш нејзиниот единствен корен е x0 = -1. Бидејќи равенката (3) може да се запише како 3x = 3log 35, нејзиниот единствен корен е x0 = log3 5.

Слајд бр.17

2.3 Примери Сега да ги погледнеме равенките кои, по едноставни трансформации, се претвораат во едноставни експоненцијални равенки. Да ја решиме равенката 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 (4) Бидејќи 5x+2 = 25 5x, 5x+1 = 5 5x, тогаш равенката (4) може да се препише како 5x ( 25 - 2 – 15) = 200 или во форма 5x = 52 (5) Очигледно е дека равенката (5), а со тоа и равенката (4), имаат еден корен x0 = 2. Одговор: 2. Реши ја равенката 4 3x - 9 2x = 0 (6) Бидејќи 2x ≠ 0 за кој било реален број, тогаш со делење на равенката (6) со 2x, ја добиваме равенката 4 (3/2)x - 9 = 0, (7) еквивалентно на равенката(6). Равенката (7) може да се препише како (3/2)x = (3/2)2. (8) Бидејќи равенката (8) има единечен корен x0 = 2, тогаш еквивалентната равенка (6) има единечен корен x0 = 2. Одговор: 2.

Слајд бр.18

2.3 Примери Да ја решиме равенката 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0. (9) Откако ја препишавме равенката (9) во форма 34x2 – 8x + 3 = 1, воведуваме нова непозната t = 4x2 – 8x + 3. Тогаш равенката (9) може да се препише во форма 3t = 1. (10 ) Бидејќи равенката (10 ) има еден корен t1 = 0, тогаш за да се најдат корените на равенката (9), потребно е да се реши равенката 4x2 – 8x + 3 = 0. Оваа равенка има два корени x1 = 1 /2, x2 = 3/2, па равенката (9) има исти корени. Одговор: 1/2 ; 3/2. Сега размислете за решавање равенки кои, по воведувањето на нова непозната t, се претвораат во квадратни или рационални равенкисо непознати т. Да ја решиме равенката 4x - 3 2x + 2 = 0. (11) Бидејќи 4x = (2x)2, тогаш равенката (11) може да се препише како (2x)2 - 3 2x + 2 = 0. Со воведување нова непозната t = 2x, добиваме квадратна равенка t2 - 3t + 2 = 0, кој има два корени t1 = 1, t2 = 2. Затоа, за да ги најдеме сите корени на равенката (11), треба да ги комбинираме сите корени на двете равенки 2x = 1 и 2x = 2. Откако ги решивме овие едноставни експоненцијални равенки, откриваме дека сите корени на равенката (11) се x1 = 0; x2 = 1. Одговор: 0; 1 .

Слајд бр.19

2.4 Експоненцијални неравенки (теоретски дел) Нека a е даден позитивен број не еднаков на 1, b е даден реален број. Тогаш неравенките ax > b (1) и ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 за кој било реален број x0, тогаш за b ≤ 0 неравенката a x0 > b е точно за секој реален број x0, но не постои ниту еден реален број x0 за кој бројната неравенка a x0 би била вистина< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0, тогаш неравенството (1) и (2) може да се препише како секира > ax0 (1) и секира< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Бидејќи за таков функцијата y = ax се зголемува, тогаш за кој било број x > > ax0, а за кој било број x > x0 нумеричката неравенка ax е точно< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

Слајд бр.20

2.4 Експоненцијални неравенки (теоретски дел) Така, за b > 0 и a > 1, множеството на сите решенија на неравенката (3) е интервалот (x0 ;+∞), а множеството од сите решенија на неравенката (4) е интервалот (-∞; x0) , каде што x0 = лога b. Нека сега е 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 нумеричката неравенка секира е точно< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 и 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b и нема x за кои неравенството се оска< b . При b >0 права линија y = b го пресекува графикот на функцијата y = aх во една точка x0 = лога b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = ax (a > 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

Слајд бр.22

2.4 Примери Решете ја неравенката 2x< 8 . (1) Так как 8 >0, тогаш неравенството (1) може да се препише како 2x< 23. (2) Так как 2 >1, тогаш функцијата y = 2x се зголемува. Според тоа, решенијата на неравенката (2), а со тоа и на неравенката (1), се сите x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0, тогаш оваа неравенка (3) може да се препише како (1/3) x< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >дневник⅓5. Одговор: (лог⅓ 5; +∞). Да разгледаме нееднаквост што, откако ќе го замени непознатото, се претвора во наједноставна експоненцијална нееднаквост. Да ја решиме неравенката 5 3x2 - 2x – 6< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, тогаш сите решенија за оваа нееднаквост се т< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив квадратна нееднаквост(6), ги наоѓаме сите негови решенија: -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

  • обезбеди повторување, генерализација, систематизација на материјалот на темата;
  • создаваат услови за контрола и самоконтрола на стекнатите знаења и вештини;
  • промовирање на формирање на вештини за примена на техники: споредба, генерализација, истакнување на главната работа, пренесување на знаење во нова ситуација, развивање математички поглед;
  • создавање услови за развој на когнитивниот интерес на учениците;
  • да негува одговорност за квалитетот и резултатот на работата извршена на часот, математичката активност, способноста за работа во групи и општа култура.
  • Преглед на теоретски материјал. Обрнете посебно внимание на ODZ на логаритамската функција.
  • Систематизирај методи за решавање на логаритамски равенки.
  • Спроведете дијагностика на знаење.

Тип на лекција: лекција за генерализација и систематизација на знаењето.

Формат на лекција: работилница

Опрема: учебник, наставни материјали, индивидуални картички за самостојна работа, листови за снимање знаења, медиумски проектор.

За време на часовите

1. Организациски момент

Учениците се информираат за темата на часот и целите, а се нагласува и релевантноста од повторување на оваа тема за подготовка за обединет државен испит.

2. Проверка на домашната задача

3. Ажурирање на претходното знаење

Учениците усно работат на вежби претставени на екранот со помош на проектор.

Пресметај

1 опција

2)

Опција 2

2)

3)

5)

4. Формирање на вештини и способности.

Работа во групи проследено со тестирање.

1) Решавање логаритамски равенки со дефинирање на логаритам.


Одговори:

Одговори: 256

2) Равенки решени со потенцирање.

Прво, треба да ја решите равенката на системот и врз основа на нееднаквоста на системот, се избираат корените.


Одговори: 3
Одговори: 3,5

Равенки решени со замена.

Одговор:

Оваа равенка е еквивалентна на равенката

Нека биде тогаш

Одговор:

Равенки решени со логаритам.

.

= Значи Одговори: 0,1; 10..

ОДЗ: х. Да ги земеме логаритмите на двете страни до основата 10.

Каде

Одговор: 1; 4.

Равенки на формата

Оваа равенка е еквивалентна на равенката за

.

DZ се одредува од системот

DZ се одредува од системот

Одговор: ( (0;)

Равенки решени со користење на различни својства на логаритми.

Применувајќи ја формулата, добиваме

Заменувајќи ги овие вредности на x во оригиналната равенка, гледаме дека е коренот на равенката, а 0,1 не е коренот на равенката.

Одговор:

Оние равенки кои предизвикувале потешкотии кај учениците ги решаваат на табла учениците кои ги завршиле.

5. Записник за физичко воспитување

Ги спојуваа рацете во „брава“, ги испружија пред себе, ги подигнаа и добро се истегнаа. Лекарите велат дека во овој момент се ослободува „ензимот на среќата“.

6. Самостојна работа

(Слајд на екранот и картички за секој ученик). Од студентите се бара да ги оценат нивните способности и да изберат ниво на задача А, Б или Ц.

По завршувањето на работата, учениците ја поднесуваат на тестирање. На екранот се прикажуваат одговорите и краткото решение. Учениците се охрабруваат да ја проверат и оценат својата работа со доделување оценка за самостојна работа.

6. Домашна задача

Повторете P.6.2, 6.3. Д.М. C – 21 бр. 2 (б, в), бр. 3 (г, д) опции 3 и 4.

7. Резиме на лекцијата

Значи, денес решивме логаритамски равенки. Сега да резимираме кои методи ги користевме за решавање на равенките:

  • користење дефиниција на логаритам,
  • користејќи го основниот логаритамски идентитет,
  • користејќи го методот на потенцирање,
  • воведување на нова променлива,
  • премин од равенка со од различни причинидо една основа
  • користејќи ги својствата на логаритмот.

Давање оценки врз основа на бројот на „+“ во тетратката, за решението на таблата и на картите. Утврдување на учинокот на учениците.

Нашата лекција дојде до крајот. Дали ги постигнавме нашите цели?

Времето лета незабележано, денес сте десеттоодделенци, а утре сте веќе матуранти. Кога се подготвувате за испит, никогаш не мислете дека нема да се справите со задачата, туку, напротив, ментално насликајте си слика за успехот и тогаш дефинитивно ќе успеете!

Литература:

  1. Николски С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.. Алгебра и почеток на математичка анализа. Одделение 10. Упатство за образовните институции: основни и нивоа на профили. - М., 2009 година
  2. Потапов М.К., Шевкин А.В.. Алгебра и почеток на математичка анализа. Дидактички материјали за 10 одделение. - М., 2009 година.
  3. Шепелева Ју.В.. Алгебра и почеток на математичка анализа. Тематски и завршни тестови за 10 одделение. - М., 2009 година.
  4. Лисенко Ф.Ф.. Единствен државен испит по математика-2009 година. Легија. - М., 2009 година.
  5. Клово А.Г.. Единствен државен испит по математика-2010 - М., 2010 г.
  6. Ерина Т.М. Алгебра. Логаритмски равенки и неравенки - М, 2004 г.

1 опција

    1. Најдете го производот на корените на равенката: log π (x 2 + 0,1) = 0
    1) - 1,21; 2) - 0,9; 3) 0,81; 4) 1,21.
    2. Наведете го интервалот на кој припаѓаат корените на равенката: log 0,5 (x - 9) = 1 + log 0,5 5
    1) (11; 13); 2) (9; 11); 3) (-12; -10); 4) [ -10; -9 ].
    3. Наведете го интервалот на кој припаѓа коренот на равенката log 4 (4 - x) + log 4 x = 1
    1) (-3; -1); 2) (0; 2); 3) [ 2; 3 ]; 4) [ 4; 8 ].
    4. Најдете го збирот на корените на равенката log √3 x 2 = log √3 (9x - 20)
    1) - 13; 2) - 5; 3) 5; 4) 9.
    5. Наведете го интервалот на кој припаѓа коренот на равенката log 1/3 (2x - 3) 5 = 15
    1) [ -3; 2); 2) [ 2; 5); 3) [ 5; 8); 4) [ 8; 11).
    6. . Наведете го интервалот на кој припаѓа коренот на равенката lg (x + 7) - log (x + 5) = 1
    1) (-∞; -7); 2) (-7; -5); 3) (-5; -3); 4) (0; +∞).
    7. Решете го дневникот за неравенки 3 (4 - 2x) >= 1
    1) (-∞; 0,5 ]; 2) (-∞; 2 ]; 3) [ 2; + ∞); 4) [ 0,5; + ∞).
    8. Решете го дневникот на неравенки π (3x + 2)<= log π (х - 1)
    1) (-2/3; + ∞); 2) (-∞; - 2/3 ]; 3) [ -1,5; - 2/3 ]; 4) нема решенија.
    9. Решете го дневникот за неравенки 1/9 (6 - 0,3x) > -1
    1) (-10; +∞); 2) (-∞; -10); 3) (-10; 20); 4) (-0,1; 20).
    10. Најдете го бројот на целобројни негативни решенија на неравенката lg (x + 5)<= 2 - lg 2
    15; 2) 4; 3) 10; 4) ниту еден

Опција 2

    1. Најдете го производот на корените на равенката: lg (x 2 + 1) = 1
    1) - 99; 2) - 9; 3) 33; 4) -33.
    2. Наведете го интервалот на кој припаѓа коренот на равенката log 4 (x - 5) = log 25 5
    1) (-4; -2); 2) (6; 8); 3) (3; 6); 4) [ -8; -6 ].
    3. Наведете го интервалот на кој припаѓа коренот на равенката log 0,4 (5 - 2x) - log 0,4 2 = 1
    1) (-∞; -2); 2) [ -2; 1 ]; 3) [ 1; 2 ]; 4) (2; +∞).
    4. Најдете го збирот на корените на равенката лог (4x - 3) = 2 log x
    1) - 2; 2) 4; 3) -4; 4) 2.
    5. Наведете го интервалот на кој припаѓа коренот на равенката log 2 (64x²) = 6
    1) [ 5; 7]; 2) [ 9; 11 ]; 3) (3; 5); 4) [ 1; 3 ].
    6. . Наведете го интервалот на кој припаѓа коренот на равенката log 2 (x - 1)³ = 6 log 2 3
    1) [ 0; 5); 2) [ 5; 8); 3) [ 8; 11); 4) [ 11; 14).
    7. Решете го дневникот за нееднаквост 0,8 (0,25 - 0,1x) > -1
    1) (-∞; 2,5); 2) (-10; 2,5); 3) (2,5; + ∞); 4) (-10; + ∞).
    8. Решете го дневникот за нееднаквост 1,25 (0,8x + 0,4)<= - l
    1) (-0,5; + ∞); 2) (-∞; - 0,5 ]; 3) (-0,5; 0,5 ]; 4) (-2; 2 ] .
    9. Решете го дневникот за нееднаквост 10/3 (1 - 1,4x)< -1
    1) (0,5; +∞); 2) (-∞; 0,5); 3) (1,4; 2); 4) (0,5; 5/7).
    10. Најдете го бројот на цели броеви на дневникот за неравенки 0,5 (x - 2) >= - 2
    15; 2) 4; 3) бескрајно многу; 4) ниту еден.

Клуч

А1 А2 А3 А4 А5 А6 А7 Б1 Б2 C1
1 опција 2 1 3 4 1 3 1 4 3 2
Опција 2 2 2 4 2 4 3 2 3 4 2