Посебен случај на тангента и котангента. Решавање на тригонометриски равенки. Како да се реши тригонометриска равенка. Два главни методи на решение

Дадени се односите помеѓу основните тригонометриски функции - синус, косинус, тангента и котангента. тригонометриски формули. И бидејќи има доста врски помеѓу тригонометриските функции, ова го објаснува изобилството тригонометриски формули. Некои формули се поврзуваат тригонометриски функцииистиот агол, други - функции на повеќекратен агол, други - ви дозволуваат да го намалите степенот, четврти - да ги изразите сите функции преку тангента на половина агол итн.

Во оваа статија ќе ги наведеме по редослед сите основни тригонометриски формули, кои се доволни за решавање на огромното мнозинство на тригонометриски проблеми. За полесно меморирање и користење, ќе ги групираме по намена и ќе ги внесеме во табели.

Навигација на страницата.

Основни тригонометриски идентитети

Основни тригонометриски идентитети дефинирање на односот помеѓу синус, косинус, тангента и котангента на еден агол. Тие произлегуваат од дефиницијата за синус, косинус, тангента и котангента, како и од концептот на единична кружница. Тие ви дозволуваат да изразите една тригонометриска функција во однос на која било друга.

За детален опис на овие тригонометриски формули, нивното изведување и примери за примена, видете ја статијата.

Формули за намалување

Формули за намалувањеследат од својствата на синус, косинус, тангента и котангента, односно тие го одразуваат својството на периодичност на тригонометриските функции, својството на симетрија, како и својството на поместување за даден агол. Овие тригонометриски формули ви овозможуваат да преминете од работа со произволни агли до работа со агли кои се движат од нула до 90 степени.

Образложението за овие формули, мнемоничко правило за нивно меморирање и примери за нивната примена може да се проучат во статијата.

Формули за додавање

Формули за тригонометриско собирањепокажете како тригонометриските функции од збирот или разликата на два агли се изразуваат во однос на тригонометриските функции на тие агли. Овие формули служат како основа за изведување на следните тригонометриски формули.

Формули за двојни, тројни итн. агол

Формули за двојни, тројни итн. агол (тие се нарекуваат и формули за повеќекратни агли) покажуваат како тригонометриските функции се двојни, тројни итн. аглите () се изразуваат во однос на тригонометриските функции на еден агол. Нивното изведување се заснова на формули за собирање.

Подетални информации се собрани во формулите на написот за двојни, тројни итн. агол

Формули за половина агол

Формули за половина аголпокажете како тригонометриските функции на половина агол се изразуваат во однос на косинус на цел агол. Овие тригонометриски формули следат од формулите со двоен агол.

Нивниот заклучок и примери за примена може да се најдат во статијата.

Формули за намалување на степенот

Тригонометриски формули за намалување на степенисе дизајнирани да го олеснат преминот од природните сили на тригонометриските функции кон синусите и косинусите од прв степен, но повеќекратни агли. Со други зборови, тие ви дозволуваат да ги намалите моќите на тригонометриските функции на првото.

Формули за збир и разлика на тригонометриски функции

Главната цел формули за збир и разлика на тригонометриски функциие да се оди на производ на функции, што е многу корисно при поедноставување тригонометриски изрази. Овие формули се широко користени и при решавање тригонометриски равенки, бидејќи тие ви дозволуваат да ги факторизирате збирот и разликата на синусите и косинусите.

Формули за производ од синуси, косинуси и синус по косинус

Преминот од производ на тригонометриски функции до збир или разлика се врши со користење на формулите за производ на синуси, косинуси и синус по косинус.

Универзална тригонометриска замена

Нашиот преглед на основните формули на тригонометријата го комплетираме со формули кои изразуваат тригонометриски функции во однос на тангента на половина агол. Оваа замена беше повикана универзална тригонометриска замена. Неговата погодност лежи во фактот што сите тригонометриски функции се изразени во однос на тангента на половина агол рационално без корени.

Библиографија.

• Алгебра:Тетратка за 9-то одделение. просечно училиште/Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Ед. С.А. Телјаковски - М.: Образование, 1990. - 272 стр.: лошо. - ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М.И.Алгебра и почетоците на анализата: Учебник. за 10-11 одделение. просечно училиште - 3-то издание. - М .: Образование, 1993. - 351 стр.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи почеток на анализа: Проц. за 10-11 одделение. општо образование институции / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn и други; Ед. А.Н.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (прирачник за оние кои влегуваат во техничките училишта): Проц. додаток.- М.; Повисоко училиште, 1984.-351 стр., ил.

Авторско право од паметни студенти

Сите права се задржани.
Заштитено со закон за авторски права. Ниту еден дел од страницата, вклучувајќи ги внатрешните материјали и изгледот, не смее да се репродуцира во каква било форма или да се користи без претходна писмена дозвола од носителот на авторските права.

Тригонометриски равенки .

Наједноставните тригонометриски равенки .

Методи за решавање на тригонометриски равенки.

Тригонометриски равенки. Равенка која содржи непозната под се нарекува знакот на тригонометриската функција тригонометриски.

Наједноставните тригонометриски равенки.

Методи за решавање на тригонометриски равенки. Решавањето на тригонометриска равенка се состои од две фази: трансформација на равенкатада го сфатите наједноставнотип (види погоре) и решениедобиениот наједноставен тригонометриска равенка.Има седум основни методи за решавање на тригонометриски равенки.

1. Алгебарски метод. Овој метод ни е добро познат од алгебрата.

(метод на замена и замена на променливата).

2. Факторизација. Ајде да го разгледаме овој метод со примери.

Пример 1. Решете ја равенката:грев x+cos x = 1 .

Решение Да ги преместиме сите членови на равенката налево:

Грев x+cos x – 1 = 0 ,

Да го трансформираме и факторизираме изразот во

Левата страна на равенката:

Пример 2. Решете ја равенката: cos 2 x+ грев x cos x = 1.

Решение: cos 2 x+ грев x cos x– грев 2 x– костим 2 x = 0 ,

Грев x cos x– грев 2 x = 0 ,

Грев x· (кос x– грев x ) = 0 ,

Пример 3. Решете ја равенката: cos 2 x-кос 8 x+ цена 6 x = 1.

Решение: cos 2 x+ цена 6 x= 1 + cos 8 x,

2 со 4 x cos 2 x= 2 кос² 4 x ,

Кос 4 x · (кос 2 x– кос 4 x) = 0 ,

Кос 4 x · 2 грев 3 xгрев x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). грев 3 x= 0, 3). грев x = 0 ,

3.

Водејќи до хомогена равенка. Равенката повикани хомогена од во врска со гревИ cos , Ако сето тоа термини од ист степен во однос на гревИ cosистиот агол. За да решите хомогена равенка, потребно е: А) поместете ги сите нејзини членови на левата страна; б) стави ги сите заеднички фактори надвор од загради; В) изедначете ги сите фактори и загради на нула; Г) загради еднакви на нула даваат хомогена равенка од помал степен, која треба да се подели на cos(или грев) во виш степен; г) решете го резултатот алгебарска равенкарелативнотен . ПРИМЕР Решете ја равенката: 3грев 2 x+ 4 грев x cos x+ 5 кос 2 x = 2. Решение: 3 грев 2 x+ 4 грев x cos x+ 5 co 2 x= 2 грев 2 x+ 2 и 2 x , Грев 2 x+ 4 грев x cos x+ 3 со 2 x = 0 , Тен 2 x+ 4 тен x + 3 = 0 , од тука y 2 + 4y +3 = 0 , Корените на оваа равенка се:y 1 = - 1, y 2 = - 3, оттука 1) тен x= –1, 2) тен x = –3,

4. Премин во половина агол. Ајде да го разгледаме овој метод користејќи пример:

ПРИМЕР Решете ја равенката: 3грев x– 5 кос x = 7.

Решение: 6 грев ( x/ 2) cos ( x/ 2) - 5 cos² ( x/ 2) + 5 грев² ( x/ 2) =

7 грев² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 грев² ( x/ 2) – 6 гревови ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

тен²( x/ 2) - 3 тен ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Воведување на помошен агол. Размислете за равенка на формата:

агрев x + б cos x = в ,

Каде а, б, в– коефициенти;x– непознато.

Сега коефициентите на равенката имаат својства на синус и косинус, имено: модул (апсолутна вредност) на секој

Главните методи за решавање на тригонометриските равенки се: намалување на равенките на наједноставни (со користење на тригонометриски формули), воведување нови променливи и факторинг. Ајде да ја разгледаме нивната употреба со примери. Обрнете внимание на форматот на пишување решенија за тригонометриски равенки.

Неопходен услов за успешно решавање на тригонометриските равенки е познавањето на тригонометриските формули (тема 13 од работа 6).

Примери.

1. Равенки сведени на наједноставните.

1) Реши ја равенката

Решение:

Одговор:

2) Најдете ги корените на равенката

(sinx + cosx) 2 = 1 - sinxcosx, кои припаѓаат на сегментот.

Решение:

Одговор:

2. Равенки кои се сведуваат на квадратни.

1) Решете ја равенката 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Решение:Користење на формула за грев 2 x = 1 – cos 2 x, добиваме

Одговор:

2) Решете ја равенката cos 2x = 1 + 4 cosx.

Решение:Користејќи ја формулата cos 2x = 2 cos 2 x – 1, добиваме

Одговор:

3) Решете ја равенката tgx – 2ctgx + 1 = 0

Решение:

Одговор:

3. Хомогени равенки

1) Решете ја равенката 2sinx – 3cosx = 0

Решение: Нека cosx = 0, потоа 2sinx = 0 и sinx = 0 – контрадикција со фактот дека sin 2 x + cos 2 x = 1. Тоа значи cosx ≠ 0 и можеме да ја поделиме равенката со cosx. Добиваме

Одговор:

2) Решете ја равенката 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Решение:

Ги користиме формулите 1 = sin 2 x + cos 2 x и sin 2x = 2 sinxcosx, добиваме

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Нека cosx = 0, потоа sin 2 x = 0 и sinx = 0 - контрадикција со фактот дека sin 2 x + cos 2 x = 1.
Ова значи cosx ≠ 0 и можеме да ја поделиме равенката со cos 2 x . Добиваме

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Да означиме tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
а) tgx = 4, x= арктан4 + 2 к, к
б) tgx = 2, x= арктан2 + 2 к, к .

Одговор: arctg4 + 2 к, арктан2 + 2 к, к

4. Равенки на формата а sinx + б cosx = с, с≠ 0.

1) Реши ја равенката.

Решение:

Одговор:

5. Равенки решени со факторизација.

1) Решете ја равенката sin2x – sinx = 0.

Корен на равенката ѓ (X) = φ ( X) може да послужи само како број 0. Ајде да го провериме ова:

cos 0 = 0 + 1 - еднаквоста е вистина.

Бројот 0 е единствениот корен од оваа равенка.

Одговор: 0.

Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

• Кога поднесувате барање на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

• Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
• Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
• Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
• Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

• Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
• Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Примери:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Како да се решат тригонометриски равенки:

Секоја тригонометриска равенка треба да се сведе на еден од следниве типови:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

каде \(t\) е израз со x, \(a\) е број. Таквите тригонометриски равенки се нарекуваат наједноставниот. Тие можат лесно да се решат користејќи () или специјални формули:

Видете инфографици за решавање едноставни тригонометриски равенки овде:, и.

Пример . Решете ја тригонометриската равенка \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Решение:

Одговор: \(\лево[ \почеток(собрано)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(собрано)\десно.\) \(k,n∈Z\)

Што значи секој симбол во формулата за корените на тригонометриските равенки, видете.

Внимание!Равенките \(\sin⁡x=a\) и \(\cos⁡x=a\) немаат решенија ако \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Бидејќи синусот и косинусот за кој било x се поголеми или еднакви на \(-1\) и помали или еднакви на \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Пример . Решете ја равенката \(\cos⁡x=-1,1\).
Решение: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Одговори : нема решенија.

Пример . Решете ја тригонометриската равенка tg\(⁡x=1\).
Решение:

Ајде да ја решиме равенката со помош на кругот со броеви. За ова: 1) Конструирај круг) 2) Конструирајте ги оските \(x\) и \(y\) и тангентната оска (поминува низ точката \((0;1)\) паралелно со оската \(y\)). 3) На тангентата оска, означете ја точката \(1\). 4) Поврзете ја оваа точка и потеклото на координатите - права линија. 5) Означете ги пресечните точки на оваа права и бројниот круг. 6) Да ги потпишеме вредностите на овие точки: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Запишете ги сите вредности на овие точки. Бидејќи тие се наоѓаат на растојание од точно \(π\) едни од други, сите вредности може да се запишат во една формула:

Одговор: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Пример . Решете ја тригонометриската равенка \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Решение:

Ајде повторно да го користиме кругот со броеви. 1) Конструирај круг, оски \(x\) и \(y\). 2) На косинусната оска (\(x\) оска), означете \(0\). 3) Нацртајте нормална на косинусната оска низ оваа точка. 4) Означете ги пресечните точки на нормалната и кружницата. 5) Да ги потпишеме вредностите на овие точки: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Ја запишуваме целата вредност на овие точки и ги изедначуваме со косинус (на она што е внатре во косинусот). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Како и обично, ќе го изразиме \(x\) во равенки. Не заборавајте да ги третирате броевите со \(π\), како и со \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), итн. Овие се исти бројки како и сите други. Без нумеричка дискриминација! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Одговор: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Намалувањето на тригонометриските равенки на наједноставно е креативна задача; тука треба да ги користите и двете и специјални методи за решавање равенки:
- Метод (најпопуларен во обединетиот државен испит).
- Метод.
- Метод на помошни аргументи.

Да разгледаме пример за решавање на квадратната тригонометриска равенка

Пример . Решете ја тригонометриската равенка \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Решение:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Ајде да ја направиме замената \(t=\cos⁡x\).
	Нашата равенка стана типична. Можете да го решите користејќи.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Ние правиме обратна замена.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Првата равенка ја решаваме со помош на кругот со броеви. Втората равенка нема решенија бидејќи \(\cos⁡x∈[-1;1]\) и не може да биде еднаква на два за кој било x.
	Ајде да ги запишеме сите броеви што лежат на овие точки.

Одговор: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Пример за решавање на тригонометриска равенка со проучување на ОДЗ:

Пример (КОРИСТЕЊЕ) . Решете ја тригонометриската равенка \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Има дропка и има котангента - тоа значи дека треба да го запишеме. Дозволете ми да ве потсетам дека котангенсот е всушност дропка: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Затоа, ODZ за ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Да ги означиме „нерешенијата“ на кругот со броеви.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Ајде да се ослободиме од именителот во равенката со множење со ctg\(x\). Можеме да го направиме ова, бидејќи погоре напишавме дека ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Да ја примениме формулата за двоен агол за синус: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ако вашите раце посегнат да се делат со косинус, повлечете ги назад! Може да се подели со израз со променлива ако дефинитивно не е еднаква на нула (на пример, овие: \(x^2+1,5^x\)). Наместо тоа, да го извадиме \(\cos⁡x\) од загради.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Ајде да ја „поделиме“ равенката на два дела.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Да ја решиме првата равенка користејќи го кругот со броеви. Ајде да ја поделиме втората равенка со \(2\) и да ја преместиме \(\sin⁡x\) на десната страна.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Добиените корени не се вклучени во ОДЗ. Затоа, нема да ги запишеме како одговор. Втората равенка е типична. Ајде да го поделиме со \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) не може да биде решение за равенката бидејќи во овој случај \(\cos⁡x=1\) или \(\cos⁡ x=-1\)).
	Повторно користиме круг.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Овие корени не се исклучени од ОДЗ, па можете да ги напишете во одговорот.

Одговор: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).