Предавање бр.7

Рамнина и линија во вселената

проф. Димков М.П.

1. Параметриска равенка на права

Нека точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) е дадена на права и вектор s = (l ,m ,n ) што лежи на

оваа линија (или паралелна со неа). Се нарекува и векторот s правец вектор директно.

Овие услови уникатно одредуваат права линија во просторот. Ајде да ја најдеме

равенката. Да земеме произволна точка M (x, y, z) на права. Јасно е дека векторите

M 0 M (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) и s се колинеарни.

Според тоа, M 0 M = t s − е векторска равенка на права линија.

Во координатна нотација, последната равенка го има следниов параметарски приказ

x = x0 + t l,

y = y0 + tm,

z = z0 + tn,

−∞ < t < +∞,

каде т – „трча“

интервал (−∞,∞) ,

(бидејќи точката M (x, y, z) мора

"бегај"

целата права линија).

2. Канонска равенка на правата

Елиминирање на параметарот t од претходните равенки, имаме

x − x

y−y

z−z

Т−

канонска равенкадиректно.

3. Агол помеѓу прави линии. Услови "" и "" од два реда

Нека се дадени две прави линии

x−xi

y−yi

z−zi

i = 1,2.

Дефиниција.

Аголот помеѓу прави линии L 1 и L 2

ајде да го наречеме кој било агол од

два агли формирани од две прави линии, соодветно паралелни на дадената и минуваат низ една точка (што може да бара паралелно преведување на една од правите линии).

Од дефиницијата произлегува дека еден од аглите е еднаков на аголот ϕ помеѓу

насочувачки вектори на прави линии

= (l 1 , m 1 , n 1 )

= (l 2 ,m 2 ,n 2 ) , [и вториот агол

тогаш тоа ќе биде еднакво на (π − φ )]. Тогаш аголот се одредува од релацијата

cosφ =

l 1 2 + m 1 2 + n 1 2

l 2 2 + m 2 2 + n 2 2

Линиите се паралелни, ако s и s

колинеарна

Линиите се нормални на s 1 s 2 l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0.

4. Аголот помеѓу права линија и рамнина. Условите "" и "" директно и

рамнина

Нека правата L е дефинирана со нејзината канонска равенка x − l x 0 = y − m y 0 = z − n z 0 ,

и рамнина P – со равенката

Ax + By + Cz + D = 0.

Дефиниција. Агол помеѓу права линија L

и се нарекува рамнината p остар аголпомеѓу правата линија L и нејзината проекција на рамнината.

Од дефиницијата (и сликата) произлегува дека саканиот агол ϕ е комплементарен (до прав агол) до аголот помеѓу нормалниот вектор n (A, B, C) и

вектор на насока s (l ,m ,n ) .

Al + Bm + Cn

−φ

Sin φ =

A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2

(.земено за да се добие остар агол).

Ако L Р, тогаш s n (s,n) = 0

Al + Bm + Cn = 0 −			состојба "".
Ако L Р, тогаш s е колинеарен со n
		C−	состојба "".


5. Точки на пресек на права и рамнина
L: x = x0 + l, t,			y = y0 + m t, z = z0 + n t;
P: Ax + By + Cz + D = 0.
Замена на изразите за x, y, z во равенката на рамнината и трансформирање,
	t = − Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D.
		Al + Bm + Cn

Сега, ако најденото „t“ го замениме во параметарските равенки на правата, ќе ја најдеме саканата пресечна точка

Предавање бр.8-9

Основи на математичка анализа

проф. Димков М.П.

Една од главните операции на математичката анализа е операцијата на премин до граница, која се среќава во текот во различни форми. Ќе започнеме со наједноставната форма на операција на ограничување, врз основа на концептот на граница, т.н броена низа. Ова ќе ни го олесни воведувањето и уште многу важна формаоперации на премин до граница - граница на функција. Последователно, конструкциите на граничните премини ќе се користат во изградбата на диференцијални и интегрални пресметки.



 Бесконечно мали и бесконечно големи низи

 Врска помеѓу бесконечно големи и бесконечно мали низи.

 Наједноставните својства на бесконечно малите низи

 Граница на конзистентност.

 Својства на конвергентни низи

 Аритметички операции на конвергентни низи

 Монотони секвенци

 Критериум за конвергенција на Коши

 Бројот e и неговата економска илустрација.

 Примена на лимити во економските пресметки

§ 1. Секвенци на броеви и едноставни својства

1. Концептот на бројна низа. Аритметички операции на низи

Секвенците на броеви се бесконечни множества од броеви. Примери на секвенци се познати од училиште:

1) низата на сите членови на бесконечна аритметичка и геометриска прогресија;

2) низа правилни периметри n-гони впишани во даден круг;

	3) низа од броеви							приближување на бројот

ќе го наречеме бројна низа (или само низа).

Одделните броеви x 3 , x 5 , x n ќе се нарекуваат елементи или членови на низата (1). Симболот xn се нарекува заеднички или n-ти член на дадена низа. Давајќи ја вредноста n = 1, 2, ... во општиот член x n го добиваме, соодветно, првиот x 1, вториот x 2 итн. членови.

Секвенцата се смета за дадена (види Дефиниција) ако е наведен метод за добивање на некој од неговите елементи. Често низата се дава со формула за заеднички член на низата.

За да се скрати ознаката, низата (1) понекогаш се пишува како

( x n ) . На пример,			значи низа 1,
( x n ) . На пример,			значи низа 1,

( 1+ (− 1)n ) имаме			0, 2, 0, 2, … .

Структурата на општиот поим (неговата формула) може да биде сложена. На пример,


		n Н.
x n =	n-непарно	n Н.

Понекогаш низата е специфицирана со т.н повторливи формули, т.е. формули кои ви дозволуваат да ги пронајдете следните термини од низата користејќи познати претходни.

Пример (фибоначи броеви).Нека x 1 = x 2 = 1 и дадено формула за повторување x n = x n − 1 + x n − 2 за n = 3, 4, … . Потоа ја имаме низата 1, 1,

2, 3, 5, 8, ... (броеви на Леонардо од Пиза, со прекар Фибоначи). Геометриски, бројна низа може да се прикаже на број

оска во форма на низа точки чии координати се еднакви на соодветните

соодветните членови на низата. На пример, ( x n ) = 1 n.

Предавање бр.8-9 Основи на математичка анализа проф. Димков М.П. 66

Да разгледаме, заедно со низата ( x n ), уште една низа ( y n ): y 1, y 2, y,n (2).

Дефиниција. Збирот (разлика, производ, количник) на низата

од ( xn ) и ( yn ) е низата ( zn ) чии членови

едуциран според

z n = x n + y n

X−y

≠ 0

Производот на низа (xn) со број c R е низата (c xn).

Дефиниција. Низата (xn) се нарекува ограничена

од горе (од долу), ако има реален број M (m) таков што секој елемент од оваа низа xn ја задоволува неравенката

xn ≤ M (xn ≥ m) . Низата се нарекува ограничена ако е ограничена и над и под m ≤ xn ≤ M . Се нарекува низата xn

е неограничено ако за позитивен број А (колку што сакате) има баремеден елемент од низата xn, задоволувачки

задоволувајќи ја неравенката xn > A.

( x n ) = ( 1n ) – ограничен, бидејќи 0 ≤ x n ≤ 1.

( x n ) = ( n ) − ограничен подолу со 1, но неограничен.

( x n ) = ( − n ) − ограничен од горе (–1), но и неограничен.

Дефиниција. Се нарекува низата ( x n ). бесконечно мало,

ако за кој било позитивен реален број ε (без разлика колку е мал) има број N, во зависност, општо земено, од ε, (N = N (ε)) таков што за сите n ≥ N важи неравенството x n< ε .

Пример. ( x n ) = 1 n .

Дефиниција. Се нарекува низата (xn). бескрајно болно

добро ако за позитивен реален број A (без разлика колку е голем) има број N (N = N(A)) таков што за сите n ≥ N

се добива неравенката xn > A.

Правата линија и точката се важни елементигеометрија, со чија помош се конструираат многу фигури во просторот и на рамнината. Оваа статија детално ги разгледува параметарските, како и нејзината врска со другите видови равенки за овој геометриски елемент.

Права линија и равенки за да се опише

Правата линија во геометријата е збир на точки кои поврзуваат произволни две точки во просторот со сегмент од најкратката должина. Овој сегмент е дел од права линија. Сите други кривини што поврзуваат две фиксни точки во просторот ќе бидат подолги и затоа не се прави.

Сликата погоре покажува две црни точки. Сината линија што ги поврзува е права, а црвената линија е крива. Очигледно е дека должината на црвената линија помеѓу црните точки е поголема од сината.

Постојат неколку типови линиски равенки кои можат да се користат за опишување на права во тридимензионален простор или во дводимензионален простор. Подолу се имињата на овие равенки:

вектор;
параметарски;
во сегменти;
симетрични или канонски;
општ тип.

Во оваа статија ќе ја разгледаме параметарската равенка на права линија, но ќе ја изведеме од векторска. Ќе ја прикажеме и врската помеѓу параметарските и симетричните или канонските равенки.

Векторска равенка

Јасно е дека сите дадени типови на равенки за геометрискиот елемент што се разгледува се меѓусебно поврзани. Сепак, векторската равенка е основна за сите нив, бидејќи директно произлегува од дефиницијата за права линија. Ајде да размислиме како се воведува во геометријата.

Да претпоставиме дека ни е дадена точка во просторот P(x 0 ; y 0 ; z 0). Познато е дека оваа точка припаѓа на линијата. Колку линии може да се повлечат низ него? Бесконечно мноштво. Затоа, за да се повлече една права линија, неопходно е да се наведе насоката на втората. Насоката, како што е познато, се одредува со векторот. Да го означиме v¯(a; b; c), каде што симболите во заградите се неговите координати. За секоја точка Q(x; y; z), која се наоѓа на линијата што се разгледува, можеме да ја напишеме еднаквоста:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α × (a; b; c)

Овде симболот α е параметар кој зема апсолутно секаква реална вредност (множење на вектор со број може само да ја смени неговата големина или насока кон спротивното). Оваа еднаквост се нарекува векторска равенка за права во тридимензионален простор. Со менување на параметарот α, ги добиваме сите точки (x; y; z) кои ја формираат оваа права.

Векторот v¯(a; b; c) во равенката се нарекува насочувачки вектор. Правата нема специфична насока, а нејзината должина е бесконечна. Овие факти значат дека секој вектор добиен од v¯ со множење со реален број, исто така ќе биде водич за права линија.

Што се однесува до точката P(x 0 ; y 0 ; z 0), тогаш наместо неа во равенката можете да замените произволна точка што лежи на права линија, а втората нема да се промени.

Сликата погоре покажува права линија (сина линија), која е дефинирана во просторот преку вектор на насока (црвена насочена отсечка).

Не е тешко да се добие слична еднаквост за дводимензионалниот случај. Користејќи слично расудување доаѓаме до изразот:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α × (a; b)

Гледаме дека е целосно иста како претходната, се користат само две координати наместо три за да се наведат точки и вектори.

Параметриска равенка

Прво, добиваме параметарска равенка на права линија во просторот. Погоре, кога беше напишана векторската еднаквост, веќе го спомнавме параметарот што е присутен во него. За да се добие параметарска равенка, доволно е да се прошири векторската. Добиваме:

x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b;
z = z 0 + α × c
Множеството од овие три линеарни еднаквости, од кои секоја има една променлива координата и параметар α, обично се нарекува параметарска равенка на права во просторот. Всушност, не направивме ништо ново, туку едноставно експлицитно го снимивме значењето на соодветниот векторски израз. Да забележиме само една точка: бројот α, иако произволен, е ист за сите три еднаквости. На пример, ако α = -1,5 за првата равенка, тогаш истата вредност треба да се замени со втората и третата еднаквост при одредување на координатите на точката.
Параметарската равенка на права на рамнина е слична на онаа за просторниот случај. Тоа е напишано како:

x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b

Така, за да се состави параметарска равенка на права, мора експлицитно да се запише векторската равенка за неа.

Добивање на канонската равенка

Како што е наведено погоре, сите равенки кои дефинираат права во просторот и на рамнината се добиваат една од друга. Ќе покажеме како да се добие канонска права линија од параметарска равенка. За просторниот случај имаме:

x = x 0 + α × a;
y = y 0 + α × b;
z = z 0 + α × c

Да го изразиме параметарот во секоја еднаквост:

α = (x - x 0) / a;
α = (y - y 0) / b;
α = (z - z 0) / в

Бидејќи левите страни се исти, тогаш десните страни на еднаквостите се исто така еднакви една со друга:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b = (z - z 0) / c

Ова е канонската равенка за линија во просторот. Вредноста на именителот во секој израз е соодветната координата. Вредностите во броителот што се одземаат од секоја променлива се координати на точка на таа права.
Соодветната равенка за случајот на рамнина ја има формата:

(x - x 0) / a = (y - y 0) / b

Равенка на права низ 2 точки

Познато е дека две фиксни точки и на рамнината и во просторот уникатно дефинираат права линија. Да претпоставиме дека се дадени следните две точки на рамнината:

Како да се напише равенка на права линија низ нив? Прво треба да го одредите векторот на насоката. Неговите координати ги имаат следните вредности:

PQ¯ (x 2 - x 1; y 2 - y 1)

Сега можете да ја напишете равенката во која било од трите форми што беа дискутирани во параграфите погоре. На пример, параметарската равенка на права линија ја има формата:

x = x 1 + α × (x 2 - x 1);
y = y 1 + α × (y 2 - y 1)

Во канонска форма, можете да го преработите вака:

(x - x 1) / (x 2 - x 1) = (y - y 1) / (y 2 - y 1)

Може да се види дека канонската равенка ги вклучува координатите на двете точки, а овие точки може да се менуваат во броителот. Значи, последната равенка може да се преработи на следниов начин:

(x - x 2) / (x 2 - x 1) = (y - y 2) / (y 2 - y 1)

Сите пишани изрази се нарекуваат равенки на права линија низ 2 точки.

Проблем со три точки

Дадени се координатите на следните три точки:

Неопходно е да се утврди дали овие точки лежат на иста линија или не.
Овој проблем треба да се реши на овој начин: прво, креирајте равенка на права линија за кои било две точки, а потоа заменете ги координатите на третата во неа и проверете дали тие ја задоволуваат добиената еднаквост.
Составуваме равенка во однос на M и N во параметарска форма. За да го направите ова, ја применуваме формулата добиена во параграфот погоре, која ја генерализираме на тродимензионалниот случај. Ние имаме:

x = 5 + α × (-3);
y = 3 + α × (-1);
z = -1 + α × 1

Сега да ги замениме координатите на точката К во овие изрази и да ја најдеме вредноста на параметарот алфа што одговара на нив. Добиваме:

1 = 5 + α × (-3) => α = 4/3;
1 = 3 + α × (-1) => α = 4;
5 = -1 + α × 1 => α = -4

Откривме дека сите три еднаквости ќе важат ако секоја од нив земе различна вредност за параметарот α. Последниот факт е во спротивност со условот на параметарската равенка на права линија, во која α мора да биде еднаква за сите равенки. Тоа значи дека точката К не припаѓа на правата MN, што значи дека сите три точки не лежат на иста права.

Проблем со паралелизам

Дадени се две равенки на прави во параметарска форма. Тие се претставени подолу:

x = -1 + 5 × α;
x = 2 - 6 × λ;
y = 4 - 3,6 × λ

Неопходно е да се утврди дали линиите се паралелни. Најлесен начин да се одреди паралелизмот на две прави е да се користат координатите на векторите на насоката. Осврнувајќи се на општата формула на параметарска равенка во дводимензионален простор, откриваме дека векторите на насоката на секоја права линија ќе ги имаат координатите:

Два вектори се паралелни ако еден од нив може да се добие со множење на другиот со некој број. Ајде да ги поделиме координатите на векторите во парови, добиваме:

Тоа значи дека:

v 2 ¯ = -1,2 × v 1 ¯

Векторските насоки v 2 ¯ и v 1 ¯ се паралелни, што значи дека и линиите во изјавата за проблемот се паралелни.
Ајде да провериме дали се иста линија. За да го направите ова, треба да ги замените координатите на која било точка во равенката со друга. Да ја земеме точката (-1; 3) и да ја замениме во равенката за втората линија:

1 = 2 - 6 × λ => λ = 1/2;
3 = 4 - 3,6 × λ => λ ≈ 0,28

Тоа е, прави линии се различни.

Проблем на нормален однос на правата

Дадени се равенките на две прави:

x = 2 + 6 × λ;
y = -2 - 4 × λ

Дали овие линии се нормални?
Две прави ќе бидат нормални ако скаларниот производ на нивните вектори на насоката е нула. Ајде да ги запишеме овие вектори:

Ајде да го најдеме нивниот скаларен производ:

(v 1 ¯ × v 2 ¯) = 2 × 6 + 3 × (-4) = 12 - 12 = 0

Така, дознавме дека разгледуваните линии се нормални. Тие се прикажани на сликата погоре.

Изедначување на секоја од дропките со одреден параметар во канонските равенки на права линија т:

Добиваме равенки кои ги изразуваат тековните координати на секоја точка на правата преку параметарот т.

Така, параметарските равенки на правата имаат форма:

Равенки на права што минува низ две дадени точки.

Нека се дадени две точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1)и М 2 (x 2, y 2, z 2). Равенките на права линија што минува низ две дадени точки се добиваат на ист начин како и слична равенка на рамнина. Затоа, веднаш ја прикажуваме формата на оваа равенка.

Права линија на пресекот на две рамнини. Општа равенка на права во просторот.

Ако земеме предвид две непаралелни рамнини, тогаш нивното пресекување ќе биде права линија.

Ако нормалните вектори И неколинеарни.

Подолу, кога разгледуваме примери, ќе покажеме начин да се трансформираат таквите линиски равенки во канонски равенки.

5.4 Агол помеѓу две прави линии. Условот на паралелизам и нормалност на две прави.

Агол помеѓу две прави линии во просторот ќе се нарече кој било од аглите формирани од две прави цртани низ произволна точка паралелна со податоците.

Нека две линии се дефинираат со нивните канонски равенки.

Да го земеме аголот помеѓу векторите на насоката како агол помеѓу две прави.

Условот за перпендикуларност на две прави се сведува на условот на нормалност на вектори на нивните правци и , односно на еднаквост на скаларниот производ на нула: или во координатна форма: .

Условот за паралелизам на две прави се сведува на услов за паралелизам на вектори на нивните правци и

5.5 Меѓусебно уредувањедиректно и рамно.

Нека се дадени равенките на права линија:

и авиони. Аголот помеѓу права линија и рамнина ќе се нарече кој било од двата соседни агли формирани од права линија и нејзината проекција на рамнината (слика 5.5).

Сл. 5.5

Ако правата е нормална на рамнината, векторот на насоката на правата и нормалниот вектор на рамнината се колинеарни. Така, условот за перпендикуларност на права линија и рамнина се сведува на условот на колинеарност на вектори

Ако права линија и рамнина се паралелни, нивните горе вектори се меѓусебно нормални. Според тоа, условот на паралелизам на права и рамнина се сведува на услов за перпендикуларност на вектори; тие. нивниот скаларен производ е нула или во координатна форма: .

Подолу се дадени примери за решавање проблеми поврзани со темата од Поглавје 5.

Пример 1:

Напишете равенка за рамнина што минува низ точката А (1,2,4) нормална на правата дадена со равенката:

Решение:

Да ја искористиме равенката на рамнината што минува низ дадена точканормално на даден вектор.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Како точка ја земаме точката А (1,2,4), низ која поминува рамнината според условот.

Знаејќи ги канонските равенки на правата, го знаеме векторот паралелен на правата.

Поради фактот што, по услов, правата линија е нормална на саканата рамнина, векторот на насоката може да се земе како нормален вектор на рамнината.

Така, ја добиваме равенката на рамнината во форма:

2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0

2x+y+4z-16=0

2x+y+4z-20=0

Пример 2:

Најдете во авионот 4х-7у+5з-20=0таква точка P за која ИЛИ прави еднакви агли со координатните оски.

Решение:

Ајде да направиме шематски цртеж. (Сл. 5.6)

на

Слика 5.6

Празната точка P има координати. Бидејќи векторот прави еднакви агли со координатните оски, косинусите на насоката на овој вектор се еднакви една со друга

Да ги најдеме проекциите на векторот:

тогаш лесно може да се најдат косинусите на насоката на овој вектор.

Од еднаквоста на косинусите на насоката следи еднаквоста:

x p =y p =z стр

бидејќи точката P лежи на рамнината, тогаш заменувањето на координатите на оваа точка во равенката на рамнината ја претвора во идентитет.

4x р -7х р +5х р -20=0

2x p = 20

x p = 10

Соодветно: y r=10; z r=10.

Така, саканата точка P има координати P(10;10;10)

Пример 3:

Дадени се две точки А (2,-1,-2) и Б (8,-7,5). Најдете ја равенката на рамнината што минува низ точката B, нормална на отсечката AB.

Решение:

За да го решиме проблемот, ја користиме равенката на рамнина што минува низ дадена точка нормална на даден вектор.

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0

Ја користиме точката B (8,-7,5) како точка, а векторот нормално на рамнината како вектор. Да ги најдеме проекциите на векторот:

тогаш ја добиваме равенката на рамнината во форма:

6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0

6х-48-6у-42+7з-35=0

6x-6y+7z-35=0

6x-6y+7z-125=0

Пример 4:

Најдете ја равенката на рамнина паралелна на оската OY и која минува низ точките K(1,-5,1) и M(3,2,-2).

Решение:

Бидејќи рамнината е паралелна со оската OY, ќе ја користиме нецелосната равенка на рамнината.

Ax+Cz+D=0

Поради фактот што точките К и М лежат на рамнината, добиваме два услови.

Да ги изразиме коефициентите A и C од овие услови во однос на D.

Да ги замениме пронајдените коефициенти во нецелосна равенкарамнина:

бидејќи , тогаш го намалуваме D:

Пример 5:

Најдете ја равенката на рамнина што минува низ три точки M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9)

Решение:

Да ја искористиме равенката на рамнина што минува низ 3 дадени точки.

замена на координати точките М, К, Ркако прво, второ и трето добиваме:

Ајде да ја прошириме детерминантата на 1-виот ред.

Пример 6:

Најдете ја равенката на рамнината што минува низ точките M 1 (8, -3,1); M 2 (4,7,2) и нормално на рамнината 3х+5у-7z-21=0

Решение:

Ајде да направиме шематски цртеж (Слика 5.7)

Слика 5.7

Да ја означиме дадената рамнина P 2 и саканата рамнина P 2. . Од равенството. даден авион P 1 ја одредуваме проекцијата на векторот нормална на рамнината P 1.

Векторот може да се помести во рамнината P2 со паралелно пренесување, бидејќи според условите на проблемот, рамнината P2 е нормална на рамнината P1, што значи дека векторот е паралелен со рамнината P2.

Ајде да ги најдеме проекциите на векторот што лежи во рамнината P2:

сега имаме два вектори и лежи во рамнината P 2. очигледно вектор , еднаков на векторскиот производ на вектори и ќе биде нормално на рамнината P 2, бидејќи е нормална на и, според тоа, неговиот нормален вектор на рамнината P 2.

Векторите и се дефинирани со нивните проекции затоа:

Следно, ја користиме равенката на рамнина што минува низ дадена точка нормална на векторот. Како точка, можете да земете која било од точките M 1 или M 2, на пример M 1 (8,-3,1); Го земаме како нормален вектор на рамнината P2.

74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0

3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0

3x-24+y+3+27-2=0

3x+y+2z-23=0

Пример 7:

Правата линија се дефинира со пресекот на две рамнини. Најдете ги канонските равенки на правата.

Решение:

Равенката ја имаме во форма:

Треба да ја најдеме поентата ( x 0, y 0, z 0), низ која минуваат правата линија и векторот на насоката.

Ајде произволно да избереме една од координатите. На пример, z=1, тогаш добиваме систем од две равенки со две непознати:

Така, најдовме точка што лежи на саканата линија (2,0,1).

Како вектор на насока на саканата права го земаме векторско уметничко деловектори и , кои се нормални вектори бидејќи , а со тоа и паралелно со саканата линија.

Така, векторот на насоката на линијата има проекции. Користејќи ја равенката на права што минува низ дадена точка паралелна на даден вектор:

Значи, потребната канонска равенка има форма:

Пример 8:

Најдете ги координатите на пресечната точка на права и рамнина 2x+3y+3z-8=0

Решение:

Дадената равенка на правата да ја запишеме во параметарска форма.

x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1

секоја точка на линијата одговара на една вредност на параметарот т. За да го пронајдете параметарот тшто одговара на пресечната точка на правата и рамнината, изразот го заменуваме во равенката на рамнината x, y, zпреку параметар т.

2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0

6t-4-3t+6+6t-3-8=0

t=1

потоа координатите на саканата точка

саканата пресечна точка има координати (1;1;1).

Пример 9:

Најдете ја равенката на рамнина што минува низ паралелни прави.

Ајде да направиме шематски цртеж (Слика 5.9)

Сл. 5.9

Од дадени равенкиправи и да ги определи проекциите на векторите на насоката на овие прави. Да ги најдеме проекциите на векторот што лежи во рамнината P и да ги земеме точките од канонските равенки на правите M 1 (1,-1,2) и M 2 (0,1,-2).

Равенката која освен непозната количина содржи и друга дополнителна количина која може да заземе различни вредности од одреден регион се вика параметарски. Оваа дополнителна количина во равенката се нарекува параметар. Всушност, многу равенки можат да се напишат со секоја параметарска равенка. Ќе го разгледаме модулот за параметарски равенки и решавање на едноставни параметарски равенки.

Проблем 1Решавајте равенки во однос на $x$
А) $x + a = 7 $
Б) $2x + 8a = 4$
В) $x + a = 2a – x$
Г) $ax = 5$
Д) $a – x = x + b$
Ѓ) $ax = 3a$

Решение:

А) $x + a = 7 \Десна стрелка x = 7 – a$, односно, најдено е решение за оваа равенка.
За различни вредности на параметрите, решението е $x = 7 – a$

Б) $2x + 8a = 4 \Леводесна стрелка 2x = 4 - 8a \Левадесна стрелка x = 2 – 4a$

В) $x + a = 2a - x \ Леводесна стрелка x + x = 2a - a \Левадесна стрелка 2x = a \Левадесна стрелка x = \frac(a)(2)$

Г) $ax = 5$, кога a е различно од 0 можеме да ги поделиме двете страни со a и да добиеме $x = 5$
Ако $a = 0$, добиваме равенка како што е $0.x = 5$, која нема решение;

Д) $a – x = x + b \Леводесно стрела a – b = x + x \Леводесно стрела 2x = a – b \Леводесно стрелка x = \frac(a-b)(2)$

Ѓ) Кога a = 0 равенката ax = 3a е 0.x = 0
Според тоа, секое x е решение. Ако a е различно од 0 тогаш
$ax = 3a \Леводесна стрелка x = \frac(3a)(a) \Леводесна стрелка x = 3$

Проблем 2Ако a е параметар, решете ја равенката:
А) $(a + 1)x = 2a + 3$
Б) $2a + x = секира + 4$
В) $a^2x – x = a$
Г) $a^2x + x = a$

Решение:

А) Ако $a + 1$ се разликува од 0, тоа е.. $a \neq -1$,
тогаш $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
ако $a + 1 = 0$, т.е. $a = - 1$
равенката станува $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, што нема решение;

Б) $2a + x = секира + 4 \Леводесна стрелка$
$x – секира = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Ако $(1 – a) \neq 0$, тогаш a $\neq 1$; решението ќе биде
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
Ако $a = 1$ равенката станува $0\cdot x = 2(2 - 1) \Леводесно стрелка$
$0\cdot x = 2$, што нема решение

В) $a^2x – x = a \Леводесна стрелка$
$x(a^2 -1) = a\Леводесна стрелка$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Ако $a - 1 \neq 0$ и $a + 1 \neq 0$ тогаш тоа е $a \neq 1, -1$,
решението е $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Ако $a = 1$ или $a = -1$, равенката станува $0\cdot x = \pm 1$, што нема решение

Г) $a^2x + x = a\Леводесна стрелка$
$(a^2 + 1)x = a$
Во овој случај, $a^2 + 1 \neq 0$ за кој било $a$, бидејќи тоа е збир на позитивен број (1) и еден негативен број
$(a^2 \geq 0)$ затоа $x = \frac(a)(a^2 + 1)$

Проблем 3Ако a и b се параметри, решете ги равенките:
А) $ax + b = 0$
Б) $ax + 2b = x$
В) $(b - 1)y = 1 – a$
Г) $(b^2 + 1)y = a + 2$

Решение:

А) $ax + b = 0 \Десна стрелка секира = -b$
Ако $a \neq 0$, тогаш решението е $x = -\frac(b)(a)$.
Ако $a = 0, b\neq 0$, равенката има форма $0\cdot x = -b$ и нема решение.
Ако $a = 0$ и $b = 0$, равенката станува $0\cdot x = 0$ и секој $x$ е решение;

Б) $ax + 2b = x \Леводесна стрелка секира – x = -2b \Леводесна стрелка (a - 1)x = -2b$
Ако $a - 1 \neq 0$, т.е. $a \neq 1$, решението е $x = -\frac(2b)(a-1)$
Ако $a - 1 = 0$, односно $a = 1$ и $b \neq 0$, равенката ја зема формата $0\cdot x = - 2b$ и нема решение

В) Ако $b - 1 \neq 0$, односно, $b \neq 1$,
решението е $y = \frac(1-a)(b-1)$
Ако $b - 1 = 0 $, тоа е, $b = 1 $, но $1 - a \nq 0$,
односно $a \neq 1$, равенката има форма $0\cdot y = 1 – a$ и нема решение.
Ако $b = 1$ и $a = 1$, равенката има форма $0\cdot y = 0$ и секој $y$ е решение

Г) $b^2 + 1 \neq 0$ за било кој $b$ (зошто?), така
$y = \frac(a+2)(b^2)$ е решение на равенката.

Проблем 4$За кои вредности на $x$ следните изрази имаат еднакво значење:
А) $5x + a$ и $3ax + 4$
Б) $2x - 2$ и $4x + 5a$

Решение:

За да ги добиеме истите вредности, мора да најдеме решенија за равенките
$5x + a = 3ax + 4$ и $2x - 2 = 4x + 5a$

А) $5x + a = 3ax + 4 \Леводесна стрелка$
$5x - 3ax = 4 – \Леводесно стрела$
$(5 - 3a)x = 4 – a$
Ако $5 - 3a \neq 0$, т.е. $a \neq \frac(5)(3)$, решенијата се $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Ако $5 - 3a = 0 $, т.е. $a = \frac(5)(3)$, равенката станува $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, што нема решение

Б) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$ -2 - 5a = 4x - 2x \Леводесна стрелка$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$

Решение:

А) $|секира + 2| = 4 \Леводесна стрелка секира + 2 = 4$ или $секира + 2 = -4 \Леводесна стрелка $
$ax = 2$ или $ax = - 6$
Ако $a \neq 0$, равенките имаат форма $x = \frac(2)(a)$ или $x = -\frac(6)(a)$
Ако $a = 0$, равенката нема решение

Б) Ако $a Ако $a > 0$, ова е еквивалентно на $2x + 1 = 3a$
или $2x + 1 = -3a \Леводесно стрелка 2x = 3a - 1 \Леводесно стрелка x = \frac(3a-1)(2)$ или
$2x = -3a - 1 \Десна стрелка x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$

В) $|секира + 2а| = 3 \Десна стрелка секира + 2a = 3$ или $ax + 2a = - 3$,
и наоѓаме $ax = 3 - 2a$ или $ax = -3 - 2a$
Ако a = 0, тогаш нема решенија ако $a \neq 0$
решенијата се: $x = \frac(3-2a)(a)$ и $x = -\frac(3+2a)(a)$

Проблем 6Решете ја равенката $2 – x = 2b – 2ax$, каде што a и b се реални параметри. Најдете за кои вредности на равенката има решение природен број, ако $b = 7$

Решение:

Да ја претставиме оваа равенка во следнава форма: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Можни се следниве опции:
Ако $2a - 1 \neq 0$, т.е. $a \neq \frac(1)(2)$, равенката има единствено решение
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Ако $a = \frac(1)(2)$ и $b = 1$, равенката станува $0\cdot x = 0$ и секој $x$ е решение
Ако $a = \frac(1)(2)$ и $b \neq 1$, добиваме $0\cdot x = 2(b - 1)$, каде што $2(b - 1) \neq 0$
Во овој случај, равенката нема решение.
Ако $b = 7$ и $a \neq \frac(1)(2)$ е единственото решение
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Ако a е цел број, тогаш $2a - 1$ е исто така цел број и решението е
$x = \frac(12)(2a-1)$ е природен број кога
$2a - 1$ е позитивен делител за бројот $12$.
За a да биде цел број, делителот на $12$ мора да биде непарен. Но, само $1$ и $3$ се позитивни непарни броеви кои се деливи со 12
Затоа $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ или $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ или $2a - 1 = 1 \Леводесно стрелка a = 1$

Проблем 7Решете ја равенката $|ax - 2 – a| = 4$, каде што a е параметар. Најдете за кои вредности на a корените на равенката се негативни цели броеви.

Решение:

Од дефиницијата на модулот добиваме
$|секира - 2 – x| = 4 \Десна стрелка секира - 2 – x = 4$ или $ax - 2 – x = - 4$
Од првото равенство добиваме $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Десна стрелка (a - 1)x = 6$
Од второто равенство добиваме $(a - 1)x = -2$
Ако $a - 1 = 0$, т.е. $a = 1$, последната равенка нема решение.
Ако $a \neq 1$ ќе најдеме дека $x = \frac(6)(a-1)$ или $x = -\frac(2)(a-1)$
Така што овие корени се недопрени негативни броеви, мора да се направи следново:
За првото, еднаквоста $a - 1$ мора да биде негативен делител на 6, а за втората, мора да биде позитивен делител на 2
Потоа $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ или $a - 1 = 1; 2 $
Добиваме $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Леводесна стрелка$
$a = -1; a - 1 = -3 \Десна стрелка a = -2; a - 1 = -6 \Десна стрелка a = -5$
или $a - 1 = 1 \Леводесно стрелка a = 2; a - 1 = 2 \Десна стрелка a = 3$
Тогаш $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3 долари се решенија за проблемот.

Проблем 8Реши ја равенката:
А) $3ax – a = 1 – x$, каде што a е параметар;
Б) $2ax + b = 2 + x$, каде што a и b се параметри

Решение:

А) $3ax + x = 1 + a \Десна стрелка (3a + 1)x = 1 + a$.
Ако $3a + 1 \neq 0$, т.е. $a \neq -11 /3 /3$ , има решение
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Ако $a = -\frac(1)(3)$ равенката ја зема формата $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$, што нема решение.

Б) $2ax – x = 2 – b \Десна стрелка (2a - 1)x = 2 – b$
Ако $2a - 1 \nq 0$, т.е. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ е решението.
Ако $a = \frac(1)(2)$ равенката станува $0.x = 2 – b$
Тогаш, ако $b = 2$, секое x е решение, ако $b \neq 2$, равенката нема решение.

Проблем 9Дадена е равенката $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , каде k е цел број. Најдете за кои вредности на k е равенката:
А) има корен $-\frac(4)(3)$
Б) нема решение;
В) има корен како природен број.

Решение:

Ајде да ја преработиме равенката во форма $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftright стрелка kx = 12$

А) Ако $x = -\frac(4)(3)$, за k ја добиваме равенката $-\frac(4)(3k) = 12 \Десна стрелка k = - 9$

Б) Равенката $kx = 12$ нема решение кога $k = 0$

В) Кога $k \neq 0$ е коренот на $x = \frac(12)(k)$ и тој е природен број, ако k е позитивен цел број делив со 12, т.е. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$

Проблем 10Реши ја равенката:
А) $2ax + 1 = x + a$, каде што a е параметар;
Б) $2ax + 1 = x + b$, каде што a и b се параметри.

Решение:

А) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
Ако $2a - 1 \neq 0$, т.е. $a \neq \frac(1)(2)$, единственото решение за равенката е
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Ако $2a - 1 = 0$, т.е. $a = \frac(1)(2)$, равенката има форма
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, што нема решение

Б) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
Ако $2a - 1 \neq 0$, т.е. $a \neq \frac(1)(2)$, решението е
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Ако $a = \frac(1)(2)$, равенките се еквивалентни на $0.x = b - 1$
Ако b = 1 било кое x е решение, ако $b \neq 1$ тогаш нема решение.

Задача 11Дадена е равенката $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, каде параметарот е цел број. Најдете за кои вредности на равенката има корени:
А) $\лево(-\frac(2)(3)\десно)$
Б) цел број
В) природен број

Решение:

А) Ако $x = -\frac(2)(3)$ е решение на равенката, тогаш тоа мора да биде точно
$3\лево + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\десно) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \левадесна стрелка$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \левадесна стрелка \frac(4a-6a)(3) = 8 \левадесна стрелка$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Десна стрелка a = -12$

Б) $3(секира - 4) + 4 = 2ax \Леводесно стрела 3ax - 2ax = 12 - 4 \Леводесно стрелачка секира = 8$
Ако $a \neq 0$ решението е $x = \frac(8)(a)$, тоа е цел број ако a е делител на $8$.
Затоа; $±2; ±4; ± 8 $
Ако $a=0$, равенката нема решение

В) За да се добие природен (позитивен цел број) број за ова решение $x=\frac(8)(a)$ бројот мора да биде еднаков на: $a=1, 2, 4, 8$

Задача 12Дадена е равенката $2 – x = 2b – 2ax$, каде што $a$ и $b$ се параметри. Најдете за кои вредности на равенката има решенија во форма на природен број ако $b = 7$

Решение:

Заменуваме $b = 7$ во равенката и добиваме $2 – x = 2,7 - 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Леводесна стрелка (2a - 1)x = 12$
Ако $2a -1 \nq 0$, т.е. $a \neq \frac(1)(2)$, равенката има форма
$x = \frac(12)(2a-1)$ и ова ќе биде природен број ако именителот $2a - 1$ е позитивна дивиденда од $12$ и, дополнително, за да биде цел број, тоа е неопходно е $2a - 1$ да биде непарен број.
Значи $2a - 1$ може да биде $1$ или $3$
Од $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ и $2a - 1 = 3$
$\Леводесно стрелка 2a = 4 \Леводесно стрелка a = 2$

Задача 13Дадена е функција $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, каде што a е параметар. Најдете за кои вредности на а графикот на функцијата:
А) ја преминува оската x;
Б) ја преминува оската x

Решение:

За графикот на функцијата да ја премине оската x, потребно е тоа
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ имаше решенија и немаше решение за непресекот на оската x.
Од равенката добиваме $(3a - 1)x = 2a - 1$
Ако $3a - 1 \nq 0$, т.е. $a \neq \frac(1)(3)$, равенката има решенија
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, така што графикот на функцијата ја пресекува оската x.
Ако $a = \frac(1)(3)$, добиваме $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, што не имаат решенија.
Затоа, ако $a = \frac(1)(3)$, графикот на функциите не ја пресекува оската x.

Задача 14Решете ја параметарската равенка:
А) $|x -2| =а$
Б) $|секира -1| = 3 долари
В) $|секира - 1| = a - 2 $

Решение:

А) Ако $a 0$ добиваме:
$|x - 2| = a \Десна стрелка x - 2 = a$ или $x - 2 = -a$
Од $x - 2 = a \Десна стрелка x = a + 2$, и од
$x - 2 = -a \Десна стрелка x = 2 – a$
Ако $a = 0$ тогаш $x - 2 = 0$ или $x = 2$

Б) $|секира - 1| = 3 \Секира со лева стрелка - 1 = 3$ или $ax - 1 = -3$
од каде $ax = 4$ или $ax = - 2$
Ако $a \neq 0$ решенија: $x = \frac(4)(a)$ или $x = -\frac(2)(a)$
Ако $a = 0$, тука нема решение

В) Ако $a - 2 Ако $a - 2 > 0$, т.е. $a > 2$ добиваме
$|секира - 1| = a - 2 \Десна стрелка секира - 1 = a - 2$ или $ax - 1 = 2 - a$
Значи добиваме $ax = a - 1$ или $ax = 3 – a$
Затоа што $a > 2, a\neq 0$, затоа
$x = \frac(a-1)(a)$ или $x = \frac(3-a)(a)$.
Ако $a = 2$, равенките се еквивалентни
$2x - 1 = 0 \Леводесна стрелка 2x = 1 \Леводесна стрелка x = \frac(1)(2)$

Задача 15Најдете за кои вредности на параметарот m (а) двете равенки се еквивалентни:
А) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ и $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
Б) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ и $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
В) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ и $ax + 2a = 1 + x$ ако $x > 3$

Решение:

А) Да ја решиме втората равенка. Ајде да го напишеме во форма:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Леводесна стрелка$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \левадесна стрелка$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$2x = 0 \Десна стрелка x = 0$
За првиот добиваме
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \левадесна стрелка x + m = 2 - 2m \левадесна стрелка x = 2 - 3m$
Овие две равенки се еквивалентни ако имаат исти корени, т.е.
$2 - 3m = 0 \левадесна стрелка$ $m = \frac(2)(3)$

Б) За првата равенка решението е $x = 2 - 3m$ и за втората добиваме
$x – m = 3 - 6m \левадесна стрелка$ $x = 3 – 5m$
Имаат исти корени кога
$2 - 3m = 3 - 5m \Левадесна стрелка 5m - 3m = 3 - 2 \Левадесна стрелка 2m = 1 \Левадесна стрелка m = \frac(1)(2)$

В) Бидејќи $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 – x) = x - 3$
Првата равенка ќе изгледа вака: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 - 4x – 0 \левадесна стрелка x(x - 4) = 0 \левадесна стрелка$
$x = 0$ или $x = 4$
Со услов $x > 3$, значи само $x = 4$ е решение. За втората равенка добиваме
$ax – x = 1 - 2a \Леводесна стрелка (a - 1)x = 1 - 2a$
Ако $a - 1 = 0$, нема решение (Зошто?), ако $a - 1 \neq 0$, т.е. $a \neq 1$, решението е
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Овие две равенки ќе бидат еднакви ако $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$4(a - 1) = 1 - 2a \Леводесно стрелка 4a + 2a = 1 + 4 \Леводесно стрелка 6a = 5 \Леводесно стрелка a = \frac(5)(6)$

Една од потточките на темата „Равенка на права на рамнина“ е прашањето за изготвување параметарски равенки на права на рамнина во правоаголен координатен систем. Написот подолу го разгледува принципот на составување на такви равенки со оглед на одредени познати податоци. Ќе покажеме како да преминеме од параметарски равенки до равенки од различен тип; Ајде да погледнеме во решавање на типични проблеми.

Специфична линија може да се дефинира со одредување на точка што припаѓа на оваа права и вектор на насока на правата.

Да речеме дека ни е даден правоаголен координатен систем O x y. И, исто така, дадена е права линија a, што ја означува точката M 1 што лежи на неа (x 1, y 1) и векторот на насоката на дадената права линија a → = (a x, a y) . Да дадеме опис на дадената права а користејќи равенки.

Користиме произволна точка M (x, y) и добиваме вектор M 1 M → ; Да ги пресметаме неговите координати од координатите на почетната и крајната точка: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Ајде да опишеме што добивме: права линија е дефинирана со множество точки M (x, y), поминува низ точката M 1 (x 1, y 1) и има вектор на насока a → = (a x, a y) . Ова множество дефинира права линија само кога векторите M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) и a → = (a x, a y) се колинеарни.

Постои неопходен и доволен услов за колинеарност на вектори, кој во овој случај за векторите M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) и a → = (a x, a y) може да се запише како равенка:

M 1 M → = λ · a → , каде што λ е некој реален број.

Дефиниција 1

Равенката M 1 M → = λ · a → се нарекува векторско-параметриска равенка на правата.

Во координатна форма изгледа вака:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

Равенките на добиениот систем x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ се нарекуваат параметарски равенки на права линија на рамнина во правоаголен координатен систем. Суштината на името е како што следува: координатите на сите точки на права линија може да се одредат со параметарски равенки на рамнина од формата x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ со набројување на сите реални вредности на параметарот λ

Според горенаведеното, параметарските равенки на права линија на рамнината x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ дефинираат права линија, која е дефинирана во правоаголен координатен систем, поминува низ точката М 1 (x 1, y 1) и има водич вектор a → = (a x, a y) . Следствено, ако се дадени координатите на одредена точка на права и координатите на нејзиниот вектор на насока, тогаш е можно веднаш да се запишат параметарските равенки на дадена права.

Пример 1

Потребно е да се состават параметарски равенки на права линија на рамнина во правоаголен координатен систем ако се дадени точката M 1 (2, 3) што му припаѓа и неговиот векторот на насоката. a → = (3 , 1) .

Решение

Врз основа на првичните податоци, добиваме: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Параметарските равенки ќе изгледаат вака:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

Дозволете ни јасно да илустрираме:

Одговор: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Треба да се забележи: ако векторот a → = (a x , a y) служи како вектор на насоката на права линија a, а точките M 1 (x 1, y 1) и M 2 (x 2, y 2) припаѓаат на оваа права, тогаш може да се определи со наведување параметарски равенки од формата: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , како и оваа опција: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .

На пример, ни е даден вектор на насока на права линија a → = (2, - 1), како и точките M 1 (1, - 2) и M 2 (3, - 3) кои припаѓаат на оваа линија. Тогаш правата линија се одредува со параметарските равенки: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ или x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Треба да обрнете внимание и на следниот факт: ако a → = (a x, a y) е векторот на насоката на правата a, тогаш кој било од векторите ќе биде неговиот вектор на насока μ · a → = (μ · a x, μ · a y) , каде што μ ϵ R , μ ≠ 0 .

Така, правата линија a на рамнина во правоаголен координатен систем може да се определи со параметарски равенки: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ за која било вредност на μ различна од нула.

Да речеме правата а е дадена со параметарските равенки x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Потоа a → = (2 , - 5) - векторот на насоката на оваа права линија. И, исто така, кој било од векторите μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 ќе стане водечки вектор за дадена права линија. За јасност, разгледајте специфичен вектор - 2 · a → = (- 4, 10), тој одговара на вредноста μ = - 2. Во овој случај, дадената права линија може да се определи и со параметарските равенки x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.

Премин од параметарски равенки на права на рамнина во други равенки на дадена права и назад

При решавање на некои проблеми, употребата на параметарски равенки не е најоптималната опција, тогаш има потреба да се преведат параметарските равенки на права линија во равенки од права линија од различен тип. Ајде да погледнеме како да го направите ова.

Параметриските равенки на права линија од формата x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ќе одговараат на канонската равенка на права линија на рамнината x - x 1 a x = y - y 1 a y .

Да ја решиме секоја од параметарските равенки во однос на параметарот λ, да ги изедначиме десните страни на добиените еднаквости и да ја добиеме канонската равенка на дадената права линија:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Во овој случај, не треба да биде збунувачки ако x или a y се еднакви на нула.

Пример 2

Потребно е да се направи премин од параметарските равенки на правата линија x = 3 y = - 2 - 4 · λ до канонската равенка.

Решение

Дадените параметарски равенки да ги запишеме во следната форма: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ

Да го изразиме параметарот λ во секоја од равенките: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Да ги изедначиме десните страни на системот на равенки и да ја добиеме потребната канонска равенка на права линија на рамнината:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Одговор: x - 3 0 = y + 2 - 4

Во случај кога е потребно да се напише равенка на права од формата A x + B y + C = 0, а се дадени параметарски равенки на права на рамнина, потребно е прво да се направи премин кон канонската равенка, а потоа и до општата равенка на правата. Ајде да ја запишеме целата низа на дејства:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Пример 3

Мора да се запише општа равенкаправа линија ако се дадени параметарските равенки што ја дефинираат: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

Решение

Прво, да ја направиме транзицијата кон канонската равенка:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Добиената пропорција е идентична со еднаквоста - 3 · (x + 1) = 2 · y. Да ги отвориме заградите и да ја добиеме општата равенка на правата: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Одговор: 3 x + 2 y + 3 = 0

Следејќи ја горната логика на дејства, за да се добие равенка на права со коефициент на агол, равенката на права во отсечки или нормална равенкаправа линија, потребно е да се добие општата равенка на права линија и од неа да се изврши понатамошна транзиција.

Сега разгледајте го обратното дејство: пишување параметарски равенки на права со различна дадена форма на равенките од оваа права.

Наједноставниот премин: од канонската равенка до параметарските. Нека е дадена канонска равенка од формата: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Да земеме дека секоја од односите на оваа еднаквост е еднаква на параметарот λ:

x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y

Да ги решиме добиените равенки за променливите x и y:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ

Пример 4

Потребно е да се запишат параметарските равенки на правата ако е позната канонската равенка на правата на рамнината: x - 2 5 = y - 2 2

Решение

Да ги изедначиме деловите од познатата равенка со параметарот λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Од добиената еднаквост ги добиваме параметарските равенки на правата: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

Одговор: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Кога е неопходно да се направи премин кон параметарски равенки од дадена општа равенка на права, равенка на права со аголен коефициент или равенка на права во отсечки, потребно е првобитната равенка да се доведе до канонската еден, а потоа направете премин кон параметарски равенки.

Пример 5

Потребно е да се запишат параметарските равенки на права со позната општа равенка на оваа права: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Решение

Да ја трансформираме дадената општа равенка во равенка со канонска форма:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Да ги изедначиме двете страни на еднаквоста со параметарот λ и да ги добиеме бараните параметарски равенки на права линија:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Одговор: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Примери и задачи со параметарски равенки на права на рамнина

Да ги разгледаме најчестите типови проблеми користејќи параметарски равенки на права на рамнина во правоаголен координатен систем.

Во задачите од првиот тип се дадени координатите на точките, без разлика дали припаѓаат или не на права опишана со параметарски равенки.

Решението на ваквите проблеми се заснова на следниот факт: броевите (x, y), определени од параметарските равенки x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ за некоја реална вредност λ, се координатите на точка која припаѓа на правата што е опишана овие параметарски равенки.

Пример 6

Потребно е да се одредат координатите на точка што лежи на права одредена со параметарските равенки x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ за λ = 3.

Решение

Да ја замениме познатата вредност λ = 3 во дадените параметарски равенки и да ги пресметаме бараните координати: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Одговор: 1 1 2 , 5

Можна е и следната задача: нека биде дадена точка M 0 (x 0 , y 0) на рамнина во правоаголен координатен систем и треба да одредите дали оваа точка припаѓа на линијата опишана со параметарските равенки x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

За да се реши таков проблем, потребно е да се заменат координатите на дадена точка во познатите параметарски равенки на права линија. Ако се утврди дека е можна вредност на параметарот λ = λ 0 за која се вистинити двете параметарски равенки, тогаш дадената точка припаѓа на дадената права линија.

Пример 7

Дадени се точките M 0 (4, - 2) и N 0 (- 2, 1). Потребно е да се определи дали припаѓаат на линијата дефинирана со параметарските равенки x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .

Решение

Да ги замениме координатите на точката M 0 (4, - 2) во дадените параметарски равенки:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

Заклучуваме дека точката M 0 припаѓа на дадената права, бидејќи одговара на вредноста λ = 2.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Очигледно не постои таков параметар λ на кој ќе одговара точката N 0. Со други зборови, дадената права линија не поминува низ точката N 0 (- 2, 1).

Одговор:точката M 0 припаѓа на дадена права; точката N 0 не припаѓа на дадената права.

Кај проблемите од вториот тип, потребно е да се состават параметарски равенки на права на рамнина во правоаголен координатен систем. Наједноставниот пример за таков проблем (со познати координати на точката на правата и векторот на насока) беше разгледан погоре. Сега да погледнеме примери во кои прво треба да ги најдеме координатите на векторот водич, а потоа да ги запишеме параметарските равенки.

Пример 8

Дадена точка М 1 1 2 , 2 3 . Потребно е да се состават параметарски равенки на права што минува низ оваа точка и паралелна со правата x 2 = y - 3 - 1.

Решение

Според условите на задачата, правата линија по чија равенка треба да се понапредиме, е паралелна со правата x 2 = y - 3 - 1. Потоа, како вектор на насока на права што минува низ дадена точка, можно е да се користи векторот на насоката на правата x 2 = y - 3 - 1, кој го пишуваме во форма: a → = (2, - 1 ) . Сега се познати сите потребни податоци за да се состават потребните параметарски равенки:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ

Одговор: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ.

Пример 9

Дадена е точка М 1 (0, - 7). Потребно е да се запишат параметарските равенки на правата што минува низ оваа точка нормално на правата 3 x – 2 y – 5 = 0.

Решение

Како вектор на насока на правата линија, чија равенка мора да се состави, можно е да се земе нормалниот вектор на правата линија 3 x – 2 y – 5 = 0. Неговите координати се (3, - 2). Да ги запишеме бараните параметарски равенки на права линија:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ

Одговор: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Кај проблемите од третиот тип, потребно е да се направи премин од параметарски равенки на дадена права на други видови равенки што ја одредуваат. Разговаравме за решението на слични примери погоре; ќе дадеме уште еден.

Пример 10

Дадена е права линија на рамнина во правоаголен координатен систем, дефинирана со параметарските равенки x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Неопходно е да се најдат координатите на кој било нормален вектор од оваа права.

Решение

За да ги одредиме потребните координати на нормалниот вектор, ќе направиме премин од параметарски равенки во општата равенка:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

Коефициентите на променливите x и y ни ги даваат бараните координати на нормалниот вектор. Така, нормалниот вектор на правата x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ има координати 1, 3 4.

Одговор: 1 , 3 4 .

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter