Л- раскрсница Мсите потпростори Лкои содржат X .

Линеарна школка исто така се нарекува генериран потпростор X. Обично се означува . Исто така, се вели дека линеарната школка испруженамногу X .

Својства

Видете исто така

Врски


Фондацијата Викимедија.

  • 2010 година.
  • Џангар

Платен биланс

    Погледнете што е „Линеарна школка“ во другите речници:ЛИНЕАРНА ШИЛКА - пресек М на сите потпростори што го содржат множеството Авекторски простор Е. Во исто време, Мназ. исто така потпростор генериран од A. M. I. Voitsekhovsky...

    Математичка енциклопедија

    Математичка енциклопедијаЛинеарни вектори на школка - збир на линеарни комбинации на овие вектори ∑αiаi со сите можни коефициенти (α1, …, αn) …

    Економско-математички речниклинеарни вектори на школка

    - Збир на линеарни комбинации на овие вектори??iai со сите можни коефициенти (?1, ..., ?n). - Теми економија EN линеарен трупот…линеарна алгебра Математичка дисциплина, гранка на алгебрата што ја содржи, особено, теоријата линеарни равенки

    , матрици и детерминанти, како и теорија на векторски (линеарни) простори. Линеарен однос „однос на формата: a1x1 + a2x2 + … +… …Водич за технички преведувач - збир на линеарни комбинации на овие вектори ∑αiаi со сите можни коефициенти (α1, …, αn) …

    Линеарна зависност- „врска на формата: a1x1 + a2x2 + … + anxn = 0, каде што a1, a2, …, an се броеви, од кои барем еден е ненула; x1, x2, ..., xn се одредени математички објекти за кои се дефинирани операции за собирање ... - збир на линеарни комбинации на овие вектори ∑αiаi со сите можни коефициенти (α1, …, αn) …

    , матрици и детерминанти, како и теорија на векторски (линеарни) простори. Линеарен однос „однос на формата: a1x1 + a2x2 + … +… …

    Школка- видете Линеарна обвивка...

    Линеарна комбинација- Линеарниот простор, или векторскиот простор, е главниот предмет на проучување на линеарната алгебра. Содржина 1 Дефиниција 2 Наједноставни својства 3 Поврзани дефиниции и својства ... Википедија Е. Во исто време, Мназ. исто така потпростор генериран од A. M. I. Voitsekhovsky...

Книги

  • ЛИНЕАРНА ГРУПА
  • - група линеарни трансформации на векторски простор V со конечна димензија n над одредено тело K. Изборот на основа во просторот V ја реализира линеарната група како група од недегенерирани квадратни матрици со степен n над телото K. Така, се воспоставува изоморфизам... Линеарна алгебра. Учебник и работилница за образование со отворен код Купи за 1471 UAH (само во Украина)Линеарна алгебра. Учебник и работилница за академска диплома, Kremer N.Sh.. Овој учебник вклучува голем број нови концепти и дополнителни прашања, како што се нормата на матрицата, методот на дополнување на основата, изоморфизмот

Статијата ги опишува основите на линеарната алгебра: линеарен простор, неговите својства, концептот на основата, димензиите на просторот, линеарното тело, врската помеѓу линеарните простори и рангот на матриците.

Линеарен простор

Многумина Лповикани линеарен простор,ако за сите негови елементи операциите на собирање два елементи и множење на елемент со број што задоволува Јасгрупа Вејлови аксиоми. Елементите на линеарниот простор се нарекуваат вектори. Ова е целосна дефиниција; пократко, можеме да кажеме дека линеарен простор е збир на елементи за кои се дефинирани операциите на собирање два елементи и множење на елемент со број.

Вејлови аксиоми.

Херман Веилсугерираше дека во геометријата имаме два вида објекти ( вектори и точки), чии својства се опишани со следните аксиоми, кои ја формираа основата на делот линеарна алгебра. Удобно е да се поделат аксиомите во 3 групи.

Група I

  1. за било кои вектори x и y е задоволена еднаквоста x+y=y+x;
  2. за сите вектори x, y и z еднаквоста x+(y+z)=(x+y)+z е задоволна;
  3. постои вектор o таков што за секој вектор x важи еднаквоста x+o=x;
  4. за кој било вектор Xима вектор (-x) таков што x+(-x)=o;
  5. за кој било вектор Xважи еднаквоста 1x=x;
  6. за било кои вектори XИ наи кој било број λ еднаквоста λ( X+на)=λ X+λ на;
  7. за кој било вектор Xи сите броеви λ и μ важи еднаквоста (λ+μ) X=λ X+μ X;
  8. за кој било вектор Xи сите броеви λ и μ еднаквоста λ(μ X)=(λμ) X;

Група II

Групата I го дефинира концептот линеарна комбинација на вектори, линеарна зависности линеарна независност.Ова ни овозможува да формулираме уште две аксиоми:

  1. постои n линеарно независни вектори;
  2. кои било (n+1) вектори се линеарно зависни.

За планиметрија n=2, за стереометрија n=3.

Група III

Оваа група претпоставува дека постои скаларна операција за множење која доделува пар вектори XИ наброј ( x, y). Во овој случај:

  1. за било кои вектори XИ наважи еднаквоста ( x, y)=(y, x);
  2. за било кои вектори X , наИ zважи еднаквоста ( x+y,z)=(x, z)+(y,z);
  3. за било кои вектори XИ наи секој број λ еднаквоста (λ x, y)=λ( x, y);
  4. за кој било вектор x важи неравенката ( x, x)≥0, и ( x, x)=0 ако и само ако X=0.

Својства на линеарен простор

Повеќето својства на линеарниот простор се засноваат на аксиомите на Вејл:

  1. Вектор Очие постоење го гарантира Аксиома 3, е определено на единствен начин;
  2. Вектор (- X), чие постоење е загарантирано со аксиома 4, е определено на единствен начин;
  3. За кои било два вектори АИ бкои припаѓаат на просторот Л, има само еден вектор X, кои исто така припаѓаат на просторот Л, што е решение на равенката a+x=би се нарекува векторска разлика б-а.

Дефиниција.Подмножество L'линеарен простор Лповикани линеарен потпросторпростор Л, ако самиот тој е линеарен простор во кој збирот на вектори и производот на вектор и број се дефинирани на ист начин како во Л.

Дефиниција. Линеарна школка Л(x1, x2, x3, ..., xk) вектори x1, x2, x3,И xkсе нарекува множество од сите линеарни комбинации на овие вектори. За линеарната обвивка можеме да го кажеме тоа

-линеарниот распон е линеарен потпростор;

– линеарното тело е минималниот линеарен потпростор кој ги содржи векторите x1, x2, x3,И xk.

Дефиниција.Линеарен простор се нарекува n-димензионален ако ја задоволува Групата II од системот за аксиома Вејл. Се повикува бројот n димензијалинеарен простор и пишува dimL=n.

Основа– секој нарачан систем на nлинеарно независни вектори на просторот. Значењето на основата е дека векторите што ја сочинуваат основата може да се користат за опишување на кој било вектор во просторот.

Теорема.Било кои n линеарно независни вектори во просторот L формираат основа.

Изоморфизам.

Дефиниција. Линеарни простори ЛИ L'се нарекуваат изоморфни ако може да се воспостави таква кореспонденција еден на еден меѓу нивните елементи x↔x, Што:

  1. Ако x↔x, y↔y“, Тоа x+y↔x“+y“;
  2. Ако x↔x, тогаш λ x↔λ X'.

Самата оваа кореспонденција се нарекува изоморфизам. Изоморфизмот ни овозможува да ги дадеме следните изјави:

  • ако два простори се изоморфни, тогаш нивните димензии се еднакви;
  • кои било два линеарни простори на исто поле и со иста димензија се изоморфни.

Вектор(или линеарна) простор- математичка структура, која е збир на елементи наречени вектори, за кои се дефинирани операциите собирање меѓу себе и множење со број - скалар. Овие операции се предмет на осум аксиоми. Скаларите можат да бидат елементи на вистинското, сложеното или кое било друго поле за броеви. Посебен случај на таков простор е обичниот тродимензионален Евклидов простор, чии вектори се користат, на пример, за претставување на физички сили. Треба да се забележи дека векторот, како елемент на векторскиот простор, не мора нужно да биде наведен во форма на насочен сегмент. Генерализирањето на концептот „вектор“ на елемент од векторски простор од која било природа не само што не предизвикува конфузија на поимите, туку овозможува и разбирање, па дури и предвидување на голем број резултати што важат за простори од произволна природа.

Векторските простори се предмет на линеарна алгебра. Една од главните карактеристики на векторскиот простор е неговата димензија. Димензијата го претставува максималниот број на линеарно независни елементи на просторот, односно прибегнување кон груба геометриска интерпретација, број на насоки неискажливи едни низ други само преку операциите на собирање и множење со скалар. Векторскиот простор може да биде опремен со дополнителни структури, како што се норма или внатрешен производ. Таквите простори природно се појавуваат во математичката анализа, првенствено во форма на бесконечно-димензионални функционални простори (англиски), каде што функциите се вектори. Многу проблеми со анализата бараат да се открие дали низа вектори конвергира кон овој вектор. Разгледувањето на вакви прашања е можно во векторски простори со дополнителна структура, во повеќето случаи соодветна топологија, која ни овозможува да ги дефинираме концептите на близина и континуитет. Ваквите тополошки векторски простори, особено просторите Банах и Хилберт, овозможуваат подлабоко проучување.

Првите дела кои го предвидуваа воведувањето на концептот на векторски простор датираат од 17 век. Тогаш почна да се развива аналитичката геометрија, доктрината за матрици, системи на линеарни равенки и Евклидови вектори.

Дефиниција

Линеарнаили векторски простор V (F) (\дисплеј стил V\лево(F\десно))над теренот F (\displaystyle F)- ова е нарачана четворка (V , F , + , ⋅) (\стил на приказ (V,F,+,\cdot)), Каде

  • V (\displaystyle V)- непразен сет на елементи од произволна природа, кои се нарекуваат вектори;
  • F (\displaystyle F)- поле чии елементи се повикани скалари;
  • Операција е дефинирана додавањевектори V × V → V (\стил на приказ V\пати V\ до V), кој го поврзува секој пар елементи x , y (\стил на приказ \mathbf (x) ,\mathbf (y))множества V (\displaystyle V) V (\displaystyle V)ги повика износи назначени x + y (\displaystyle \mathbf (x) +\mathbf (y));
  • Операција е дефинирана множење вектори со скалари F × V → V (\стил на приказ F\пати V\ до V), одговарајќи на секој елемент λ (\displaystyle \lambda)полиња F (\displaystyle F)и секој елемент x (\displaystyle \mathbf (x))множества V (\displaystyle V)единствениот елемент на комплетот V (\displaystyle V), означено λ ⋅ x (\приказ стил \ламбда \cdot \mathbf (x) )или λ x (\displaystyle \lambda \mathbf (x));

Векторските простори дефинирани на истото множество елементи, но на различни полиња, ќе бидат различни векторски простори (на пример, збир од парови реални броеви R 2 (\displaystyle \mathbb (R) ^(2))може да биде дводимензионален векторски простор над полето на реални броеви или еднодимензионален - над полето на сложени броеви).

Наједноставните својства

  1. Векторски простор е Абелова група под собирање.
  2. Неутрален елемент 0 ∈ V (\displaystyle \mathbf (0) \in V)
  3. 0 ⋅ x = 0 (\приказ стил 0\cdot \mathbf (x) =\mathbf (0) )за било кој.
  4. За било кој x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V)спротивен елемент − x ∈ V (\displaystyle -\mathbf (x) \in V)е единственото нешто што следува од групните својства.
  5. 1 ⋅ x = x (\приказ стил 1\cdot \mathbf (x) =\mathbf (x) )за било кој x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
  6. (− α) ⋅ x = α ⋅ (− x) = − (α x) (\стил на прикажување (-\алфа)\cdot \mathbf (x) =\алфа \cdot (-\mathbf (x))=-( \алфа \mathbf (x)))за било кој и x ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) \in V).
  7. α ⋅ 0 = 0 (\displaystyle \alpha \cdot \mathbf (0) =\mathbf (0) )за било кој α ∈ F (\стил на приказ \алфа \во F).

Поврзани дефиниции и својства

Потпростор

Алгебарска дефиниција: Линеарен потпросторили векторски потпростор- непразно подмножество K (\displaystyle K)линеарен простор V (\displaystyle V)такви што K (\displaystyle K)е самиот линеарен простор во однос на оние што се дефинирани во V (\displaystyle V)операции на собирање и множење со скалар. Множеството од сите потпростори обично се означува како L a t (V) (\displaystyle \mathrm (лат) (V)). За подмножеството да биде потпростор потребно и доволно е тоа

Последните две изјави се еквивалентни на следново:

За сите вектори x , y ∈ K (\приказ стил \mathbf (x) ,\mathbf (y) \во K)вектор α x + β y (\стил на прикажување \алфа \mathbf (x) +\бета \mathbf (y) )исто така припаѓал K (\displaystyle K)за било кој α , β ∈ F (\displaystyle \alpha,\beta \in F).

Особено, векторскиот простор кој се состои од само еден нула вектор е потпростор на кој било простор; секој простор е потпростор за себе. Се нарекуваат потпростори кои не се совпаѓаат со овие два својили нетривијални.

Својства на потпростори

Линеарни комбинации

Конечниот износ на формуларот

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\прикажувачки стил \алфа _(1)\mathbf (x) _(1)+\алфа _(2)\mathbf (x) _(2)+\ ldots +\алфа _(n)\mathbf (x) _(n))

Линеарната комбинација се нарекува:

Основа. Димензија

Вектори x 1 , x 2 , … , x n (\стил на прикажување \mathbf (x) _(1),\mathbf (x) _(2),\ldots ,\mathbf (x) _(n))се нарекуваат линеарно зависни, ако постои нетривијална линеарна комбинација од нив чија вредност е еднаква на нула; односно

α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n = 0 (\стил на приказ \алфа _(1)\mathbf (x) _(1)+\алфа _(2)\mathbf (x) _(2) +\ldots +\alpha _(n)\mathbf (x) _(n)=\mathbf (0) )

на некои коефициенти α 1 , α 2 , … , α n ∈ F , (\стил на прикажување \алфа _(1),\алфа _(2),\лдоцки ,\алфа _(n)\во F,)и најмалку еден од коефициентите α i (\приказ на стил \алфа _(i))различен од нула.

Во спротивно овие вектори се нарекуваат линеарно независни.

Оваа дефиниција ја овозможува следната генерализација: бесконечно множество вектори од V (\displaystyle V)повикани линеарно зависни, ако некој е линеарно зависен конечнаподмножество од него и линеарно независни, доколку има нешто од тоа конечнаподмножеството е линеарно независно.

Својства на основата:

x = α 1 x 1 + α 2 x 2 + … + α n x n (\стил на прикажување \mathbf (x) =\алфа _(1)\mathbf (x) _(1)+\алфа _(2)\mathbf ( x) _(2)+\лдоцки +\алфа _(n)\mathbf (x) _(n)).

Линеарна школка

Линеарна школкаподмножества X (\displaystyle X)линеарен простор V (\displaystyle V)- вкрстување на сите потпростори V (\displaystyle V)кои содржат X (\displaystyle X).

Линеарниот распон е потпростор V (\displaystyle V).

Линеарна школка исто така се нарекува генериран потпростор X (\displaystyle X). Исто така, се вели дека линеарната школка V (X) (\приказ стил (\mathcal (V))(X))- простор, испруженамногу X (\displaystyle X).

Нека е систем на вектори од . Линеарна школка векторски системие множество од сите линеарни комбинации на вектори на даден систем, т.е.

Својства на линеарна обвивка: Ако , тогаш за и .

Линеарната обвивка има својство да биде затворена во однос на линеарни операции(операции собирање и множење со број).

Подмножество од простор што има својство да биде затворено во однос на операциите собирање и множење со броеви се нарекувалинеарен потпростор на просторот .

Линеарната обвивка на системот на вектори е линеарен потпростор на просторот.

Системот на вектори од се нарекува основа , Ако

Секој вектор може да се изрази како линеарна комбинација на основни вектори:

2. Системот на вектори е линеарно независен.

Лема Векторски коефициенти на проширување според основата се единствено определени.

Вектор , составен од коефициенти на векторски експанзија според основата се нарекува координатен векторвектор во основата .

Означување . Овој запис нагласува дека координатите на векторот зависат од основата.

Линеарни простори

Дефиниции

Нека се даде сет на елементи од произволна природа. Нека се дефинираат две операции за елементите на ова множество: собирање и множење со кое било вистински број: и поставете затворенаво врска со овие операции: . Нека овие операции се покоруваат на аксиомите:

3. Постои нулта вектор со својство за ;

4. за секој има инверзен вектор со својството ;

6. за , ;

7. за , ;

Тогаш се нарекува таков сет линеарен (векторски) простор, неговите елементи се нарекуваат вектори, и - за да се нагласи нивната разлика од броевите од - се нарекуваат вторите скалари 1) . Се нарекува простор кој се состои од само еден нула вектор тривијални .

Ако во аксиомите 6 - 8 дозволиме множење со сложени скалари, тогаш таквиот линеарен простор се нарекува сеопфатен. За да го поедноставиме нашето расудување, во продолжение ќе разгледаме само реални простори.

Линеарен простор е група во однос на операцијата на собирање и Абелова група.

Лесно се докажуваат единственоста на векторот нула и уникатноста на векторот обратен на векторот: , обично се означува .

Подмножество од линеарен простор кој самиот е линеарен простор (односно затворен при собирање вектори и множење со произволен скалар) се нарекува линеарен потпросторпростор. Тривијални потпросториЛинеарен простор се нарекува самиот себе и просторот кој се состои од еден нула вектор.

Пример.Просторот на подредени тројки на реални броеви

операции дефинирани со еднаквостите:

Геометриската интерпретација е очигледна: вектор во просторот, „врзан“ за потеклото, може да биде наведен во координатите на неговиот крај. Сликата покажува и типичен потпростор на просторот: рамнина што минува низ потеклото. Поточно, елементите се вектори кои започнуваат на почетокот и завршуваат на точки во рамнината. Затвореноста на ваквото множество во однос на додавањето вектори и нивното проширување 2) е очигледна.

Врз основа на оваа геометриска интерпретација, вектор на произволен линеарен простор често се зборува како точка во просторот. Понекогаш оваа точка се нарекува „крај на векторот“. Освен практичноста на асоцијативната перцепција, на овие зборови не им се дава никакво формално значење: концептот на „крајот на векторот“ е отсутен во аксиоматиката на линеарниот простор.

Пример.Врз основа на истиот пример, можеме да дадеме различно толкување на векторскиот простор (вграден, патем, во самото потекло на зборот „вектор“ 3)) - тој дефинира збир на „поместувања“ на точки во просторот. Овие поместувања - или паралелни преводи на која било просторна фигура - се избрани да бидат паралелни со рамнината.

Општо земено, со такви толкувања на концептот на вектор, сè не е толку едноставно. Обиди да се жали до него физичко значење- како на предмет што има големинаИ насока- предизвика фер прекор од строги математичари. Дефиницијата на вектор како елемент на векторскиот простор многу потсетува на епизодата со гробницаод познатите фантастична приказнаСтанислав Лем (види ☞ ТУКА). Да не се закачуваме на формализмот, туку да го истражуваме овој нејасен објект во неговите посебни манифестации.

Пример.Природна генерализација е простор: векторски простор на редови или колони . Еден начин да се определи потпростор во е да се определи збир на ограничувања.

Пример.Збир на решенија на систем на линеарна хомогени равенки:

формира линеарен потпростор на просторот. Всушност, ако

Решението на системот, тогаш

Истото решение за било кој. Ако

Друго решение за системот, тогаш

Тоа ќе биде и нејзина одлука.

Зошто има многу решенија за системот? хетерогени равенките не формираат линеарен потпростор?

Пример.Генерализирајќи понатаму, можеме да го разгледаме просторот на „бесконечните“ жици или секвенци , што обично е предмет математичка анализа- кога се разгледуваат низите и сериите. Можете да ги сметате линиите (секвенците) „бесконечни во двете насоки“ - тие се користат во ТЕОРИЈАТА НА СИГНАЛИТЕ.

Пример.Множеството -матрици со реални елементи со операциите матрично собирање и множење со реални броеви формира линеарен простор.

Во просторот на матриците со квадратен ред, може да се разликуваат два потпростори: потпросторот на симетричните матрици и потпросторот на матриците со коси-симетрични. Дополнително, потпросторите го формираат секое од множествата: горните триаголни, долните триаголни идијагонални матрици.

Пример.Множество полиноми од еден променлив степен точно еднаков на коефициентите на (каде е некое од множествата или ) со вообичаените операции на собирање полиноми и множење со број од не се формира линеарен простор. Зошто? - Бидејќи не се затвора при собирање: збирот на полиномите нема да биде полином од ти степен. Но, тука има многу полиноми на степен не повисоко

линеарни просторни форми; само на ова множество мора да додадеме и идентично нула полином 4). Очигледните потпростори се . Дополнително, потпросторите ќе бидат множество парни и множество од непарни полиноми со максимум . Множеството од сите можни полиноми (без ограничувања на степени) исто така формира линеарен простор.

Пример.Генерализација на претходниот случај ќе биде просторот на полиноми од неколку променливи со степен најмногу со коефициенти од . На пример, множеството линеарни полиноми

формира линеарен простор. Множеството хомогени полиноми (форми) со степен (со додавање на идентично нула полином на ова множество) е исто така линеарен простор.

Во однос на горната дефиниција, множеството низи со целобројни компоненти

разгледани во однос на операциите на компонента собирање и множење со цели броеви скаларите не е линеарен простор. Сепак, сите аксиоми 1 - 8 ќе бидат задоволени ако дозволиме множење само со скалари со цели броеви. Во овој дел нема да се фокусираме на овој објект, но тој е доста корисен во дискретната математика, на пример во ☞ ТЕОРИЈА НА КОДИРАЊЕ. Линеарни простори над конечни полиња се разгледуваат ☞ ТУКА.

Променливите се изоморфни на просторот на симетричните матрици од ти ред. Изоморфизмот се утврдува со кореспонденција, која ќе ја илустрираме за случајот:

Концептот на изоморфизам е воведен со цел да се спроведе проучување на предмети што се појавуваат во различни области на алгебрата, но со „слични“ својства на операции, користејќи го примерот на еден примерок, разработувајќи резултати на него кои потоа можат евтино да се реплицираат. Кој линеарен простор треба да го земеме „како примерок“? - Видете го крајот на следниот пасус

Нека е систем на вектори од векторскиот простор Внад теренот П.

Дефиниција 2:Линеарна школка Лсистеми Ае множество од сите линеарни комбинации на вектори на системот А. Означување L(A).

Може да се покаже дека за кои било два системи АИ Б,

Алинеарно изразена преку Бако и само ако . (1)

Аеквивалент Бтогаш и само кога L(A)=L(B). (2)

Доказот произлегува од претходниот имот

3 Линеарниот распон на кој било систем на вектори е потпростор од просторот В.

Доказ

Земете кои било два вектори и од L(A), имајќи ги следните проширувања во вектори од А: . Ајде да ја провериме изводливоста на условите 1) и 2) на критериумот:

Бидејќи е линеарна комбинација на системски вектори А.

Бидејќи и тоа е линеарна комбинација на системски вектори А.

Ајде сега да ја разгледаме матрицата. Линеарен распон на матрични редови Асе нарекува простор на редови на матрицата и се означува Lr(A). Линеарен распон на матрични колони Асе нарекува празно место на колона и се означува Lc(A). Ве молиме имајте предвид дека кога редот и колоната простор на матрицата Асе потпростори на различни аритметички простори P nИ ПМсоодветно. Користејќи ја изјавата (2), можеме да дојдеме до следниот заклучок:

Теорема 3:Ако една матрица се добива од друга со синџир елементарни трансформации, тогаш просторите на редовите на таквите матрици се совпаѓаат.

Збир и пресек на потпростори

Нека ЛИ М- два потпростори на просторот Р.

Износ Л+Мсе нарекува збир на вектори x+y , Каде x ∈ЛИ y ∈М. Очигледно, секоја линеарна комбинација на вектори од L+Mприпаѓа L+M, оттука L+Mе потпростор на просторот Р(може да се совпадне со просторот Р).

Со вкрстување Л∩Мпотпростори ЛИ Ме збир на вектори кои истовремено припаѓаат на потпростори ЛИ М(може да се состои само од нула вектор).

Теорема 6.1. Збир на димензии на произволни потпростори ЛИ Мконечно-димензионален линеарен простор Реднаква на димензијата на збирот на овие потпростори и димензијата на пресекот на овие потпростори:

слабо L+затемнето M=затемнето(L+M)+затемнето(L∩M).

Доказ. Да означиме F=L+MИ G=L∩M. Нека Г г-димензионален потпростор. Дозволете ни да избереме основа во него. Бидејќи Г⊂ЛИ Г⊂М, затоа основа Гможе да се додаде на основата Ли до основата М. Нека основата на потпросторот Ли нека основата на потпросторот М. Да покажеме дека векторите

(6.1) ја сочинуваат основата F=L+M. Со цел векторите (6.1) да ја формираат основата на просторот Фтие мора да бидат линеарно независни и секој вектор на просторот Фможе да се претстави со линеарна комбинација на вектори (6.1).



Да докажеме линеарна независноствектори (6.1). Нека нула вектор на просторот Фе претставена со линеарна комбинација на вектори (6.1) со некои коефициенти:

Левата страна на (6.3) е вектор на потпросторот Л, а десната страна е векторот на потпросторот М. Затоа векторот

(6.4) припаѓа на потпросторот G=L∩M. Од друга страна, векторот v може да се претстави со линеарна комбинација на базни вектори на потпросторот Г:

(6.5) Од равенките (6.4) и (6.5) имаме:

Но, векторите се основата на потпросторот М, затоа тие се линеарно независни и . Потоа (6.2) ќе ја добие формата:

Поради линеарната независност на основата на потпросторот Лимаме:

Бидејќи сите коефициенти во равенката (6.2) се покажаа како нула, тогаш векторите

линеарно независни. Но, секој вектор z од Ф(по дефиниција на збирот на потпростори) може да се претстави со збирот x+y , Каде x ∈ L,y ∈ М. За возврат x е претставена со линеарна комбинација на вектори a y - линеарна комбинација на вектори. Затоа, векторите (6.10) го потекнуваат потпросторот Ф. Откривме дека векторите (6.10) формираат основа F=L+M.

Проучување на подпросторните бази ЛИ Ми подпросторна основа F=L+M(6.10), имаме: затемнети L=g+l, затемнети M=g+m, затемнети (L+M)=g+l+m. Оттука:

затемнето L+затемнето M−dim(L∩M)=темно(L+M). ■

Директен збир на потпростори

Дефиниција 6.2. Простор Фпретставува директен збир на потпростори ЛИ М, ако секој вектор x простор Фможе да се претстави само како збир x=y+z , Каде y ∈L и z ∈М.



Директната сума е наведена Л⊕М. Велат дека ако F=L⊕М, Тоа Фсе разградува во директен збир на неговите потпростори ЛИ М.

Теорема 6.2. Со цел да се n-димензионален простор Рбеше директен збир на потпростори ЛИ М, доволно е за раскрсницата ЛИ Мго содржеше само елементот нула и дека димензијата R е еднаква на збирот на димензиите на потпросторите ЛИ М.

Доказ. Да избереме некоја основа во потпросторот L и некоја основа во потпросторот M. Да го докажеме тоа

(6.11) е основата на просторот Р. Според условите на теоремата, димензијата на просторот Rnеднаков на збирот на потпростори ЛИ М (n=l+m). Доволно е да се докаже линеарната независност на елементите (6.11). Нека нула вектор на просторот Ре претставена со линеарна комбинација на вектори (6.11) со некои коефициенти:

(6.13) Бидејќи левата страна на (6.13) е вектор на потпросторот Л, а десната страна е векторот на потпросторот МИ Л∩М=0 , Тоа

(6.14) Но векторите се основите на потпросторите ЛИ Мсоодветно. Затоа тие се линеарно независни. Потоа

(6.15) Утврдено е дека (6.12) важи само под условот (6.15), што ја докажува линеарната независност на векторите (6.11). Затоа тие формираат основа во Р.

Нека x∈R. Да го прошириме според основата (6.11):

(6.16)Од (6.16) имаме:

(6.18)Од (6.17) и (6.18) следува дека кој било вектор од Рможе да се претстави како збир од вектори x 1 ∈ЛИ x 2 ∈М. Останува да се докаже дека оваа репрезентација е единствена. Нека, покрај застапеноста (6.17), ја има следната репрезентација:

(6.19) Одземање (6.19) од (6.17), добиваме

(6.20) Бидејќи , и Л∩М=0 , потоа и. Затоа и. ■

Теорема 8.4 за димензијата на збирот на потпростори. Ако и се потпростори на конечно-димензионален линеарен простор, тогаш димензијата на збирот на потпросторите е еднаква на збирот на нивните димензии без димензијата на нивното вкрстување ( Формулата на Грасман):

(8.13)

Всушност, нека биде основата на пресекот. Да го дополниме со подредено множество вектори до основата на потпросторот и подредено множество вектори до основата на потпросторот. Таквото собирање е можно со теорема 8.2. Од овие три множества вектори, да создадеме подредено множество вектори. Да покажеме дека овие вектори се генератори на просторот. Навистина, секој вектор од овој простор е претставен како линеарна комбинација на вектори од подредено множество

Оттука,. Да докажеме дека генераторите се линеарно независни и затоа тие се основата на просторот. Навистина, да направиме линеарна комбинација од овие вектори и да ја изедначиме со нултиот вектор: . Сите коефициенти на ова проширување се нула: потпростори на векторски простор со биланеарна форма се множеството од сите вектори ортогонални на секој вектор од . Ова множество е векторски потпростор, кој обично се означува со .