Основни методи за решавање равенки

Кое е решението на равенката?

Идентична трансформација. Основни

видови на идентитетски трансформации.

Странски корен. Губење на коренот.

Решавање на равенката е процес кој се состои главно од замена дадена равенкадруга равенка еквивалентна на неа . Оваа замена се нарекуваидентична трансформација . Основни идентитетски трансформацииследното:

1.

Замена на еден израз со друг што е идентично еднаков на него. На пример, равенката (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 може да се замени со следниов еквивалент:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Пренесување на членовите на равенката од едната на другата страна со обратни знаци. Значи, во претходната равенка можеме да ги пренесеме сите нејзини членови од десната страна налево со знакот „-“: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x - 10 = 0, по што добиваме:9 x 2 – 3 x - 6 = 0 .

3.

Множење или делење на двете страни на равенката со ист израз (број) различен од нула. Ова е многу важно бидејќиновата равенка може да не е еквивалентна на претходната ако изразот со кој множиме или делиме може да биде еднаков на нула.

ПРИМЕР Равенкатаx - 1 = 0 има еден коренx = 1.

Множење на двете страни соx - 3 , ја добиваме равенката

( x - 1)( x - 3) = 0, што има два корени:x = 1 иx = 3.

Последната вредност не е коренот на дадената равенка

x - 1 = 0. Ова е т.ннадворешен корен .

Спротивно на тоа, поделбата може да доведе догубење на коренот . Значи

во нашиот случај, ако (x - 1 )( x - 3 ) = 0 е оригиналот

равенка, па коренотx = 3 ќе биде изгубен во делба

двете страни на равенката наx - 3 .

Во последната равенка (точка 2), можеме да ги поделиме сите нејзини членови со 3 (не нула!) и на крајот да добиеме:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Оваа равенка е еквивалентна на оригиналната:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Можеподигнете ги двете страни на равенката на непарна моќност илиизвлечете го непарниот корен од двете страни на равенката . Треба да се запомни дека:

а) изградба водури и степен може да предизвикадо стекнување на туѓи корени ;

б)погрешно екстракцијадури и корен може да доведе догубење на корените .

ПРИМЕРИ. Равенка 7x = 35 има еден коренx = 5 .

Со квадратирање на двете страни на оваа равенка, добиваме

равенката:

49 x 2 = 1225 .

има два корени:x = 5 Иx = – 5. Последна вредност

е надворешен корен.

Погрешно земајќи го квадратниот корен од двете

делови од равенката 49x 2 = 1225 резултати во 7x = 35,

а ние ги губиме нашите корениx = – 5.

Точно земањето квадратен корен резултира со

равенка: | 7x | = 35, А оттука до два случаи:

1) 7 x = 35, Потоаx = 5 ; 2) – 7 x = 35, Потоаx = – 5 .

Затоа, когаточно вадење квадрат

корени не ги губиме корените на равенката.

Што значиВо право извадете го коренот? Ова е местото каде што се среќаваме

со многу важен концептаритметички корен

(цм. ).

Губење на корени и надворешни корени при решавање равенки

Општинска образовна установа „СОУ бр.2 со длабинска студијапоединечни предмети“ на градот Всеволожск. Истражувачка работаизготвен од ученик од одделение 11Б: Василиј Василиев. Раководител на проектот: Егорова Људмила Алексеевна.

Равенка Прво, ајде да погледнеме различни начини за решавање на оваа равенка sinx+cosx =- 1

Решение бр. 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Одговор: + 2

Решение бр. 2 sinx+cosx = - 1. Одговор: +2 y x 0 1 2 синкос+ - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tan =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Решение бр.3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Одговор:

sinx+cosx =-1 Решение бр. 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Одговор: - + 2 n

Да ги споредиме решенијата Точни решенија Ајде да откриеме во кои случаи може да се појават надворешни корени и зошто бр. 2 Одговор: +2 бр. 3 Одговор: бр. 4 Одговор: + 2 n бр. 1 Одговор: +2

Проверка на решението Дали е потребно да се провери? Дали треба да ги проверам корените за секој случај, за да бидам на безбедна страна? Ова секако е корисно кога е лесно да се замени, но математичарите се рационални луѓе и не прават непотребни работи. Ајде да погледнеме различни случаи и да запомниме кога навистина е потребна верификација.

1. Наједноставни готови формули c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a Во случаите кога корените се наоѓаат со помош на наједноставните, готови формули, проверката не треба да се прави. Меѓутоа, кога користите такви формули, треба да се сеќавате на условите под кои тие можат да се користат. На пример, формулата = може да се користи под услов a 0, -4ac 0 и одговорот x= arccos2+2 за равенката cosx =2 се смета за груба грешка, бидејќи формулата x= arccos a +2 може да биде само се користи за корените на равенката cosx =a, каде што | a | 1

2. Трансформации Почесто, кога решавате равенки, треба да извршите многу трансформации. Ако равенката се замени со нова која ги има сите корени од претходната и се трансформира така што нема губење или стекнување корени, тогаш таквите равенки се нарекуваат еквивалентни. 1. При пренесување на компонентите на равенката од еден во друг дел. 2. Кога се додава ист број на двете страни. 3. Кога двете страни на равенката се множат со ист број што не е нула. 4 . При примена на идентитети кои се вистинити на сетот на сите реални броеви. Сепак, верификацијата не е потребна!

Сепак, не секоја равенка може да се реши со еквивалентни трансформации. Почесто е неопходно да се користи еквивалентни трансформации. Често ваквите трансформации се засноваат на употреба на формули кои не се валидни за сите реални вредности. Во овој случај, особено, се менува доменот на дефинирање на равенката. Оваа грешка се наоѓа во решението бр. 4. Да ја погледнеме грешката, но прво да го погледнеме повторно решението бр.4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Грешката лежи во формулата sin2x= Оваа формула може да се користи, но дополнително треба да проверите дали корените се броеви од формата + за кои не е дефинирано tg. Сега е јасно дека решението е губење на корените. Ајде да видиме до крај.

Решение бр. 4 i y x 0 1 Да ги провериме броевите = + n со замена: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Значи x= +2 n е коренот на равенката Одговор: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Разгледавме еден од начините за губење корени; има многу од нив во математиката, па затоа треба внимателно да ги решите, запомнувајќи ги сите правила. Како што можете да ги изгубите корените на равенката, можете да стекнете и дополнителни во текот на нејзиното решавање. Да го разгледаме решението бр. 3 во кое е направена таква грешка.

Решение #3 I y x 0 1 2 2 и дополнителни корени! Може да се појават надворешни корени кога двете страни на равенката се на квадрат. Во овој случај, потребно е да се провери. За n=2k имаме sin k+cos k=-1; cos k=-1 за k=2m-1, тогаш n=2(2m+1)=4m+2, x= = +2 m, Одговор: +2 За n=2k+1 имаме грев +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 при k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Значи, разгледавме неколку можни случаи, од кои има многу. Обидете се да не губите време и да не правите глупави грешки.

Може да доведе до појава на таканаречени надворешни корени. Во оваа статија, прво детално ќе анализираме што е надворешни корени. Второ, ајде да зборуваме за причините за нивното појавување. И трето, користејќи примери, ќе ги разгледаме главните методи за филтрирање на надворешни корени, односно проверка на корените за присуство на необични меѓу нив за да ги исклучиме од одговорот.

Надворешни корени на равенката, дефиниција, примери

ВО училишни учебнициалгебрата не дава дефиниција за надворешен корен. Таму, идејата за надворешен корен се формира со опишување на следнава ситуација: со помош на некои трансформации на равенката, се врши премин од првобитната равенка во последователната равенка, се наоѓаат корените на добиената последователна равенка. , а пронајдените корени се проверуваат со замена во оригиналната равенка, што покажува дека некои од пронајдените корени не се корени на првобитната равенка, овие корени се нарекуваат надворешни корени за првобитната равенка.

Поаѓајќи од оваа основа, можете сами да ја прифатите следната дефиниција за необичен корен:

Дефиниција

Вонземски корени- ова се корените на последователната равенка добиена како резултат на трансформации, кои не се корени на првобитната равенка.

Да дадеме пример. Да ја разгледаме равенката и последицата од оваа равенка x·(x−1)=0, добиени со замена на изразот со идентично еднаков израз x·(x−1) . Оригиналната равенка има еден корен 1. Равенката добиена како резултат на трансформацијата има два корени 0 и 1. Ова значи дека 0 е необичен корен за првобитната равенка.

Причини за можна појава на странски корени

Ако за да ја добиете последователната равенка не користите никакви „егзотични“ трансформации, туку користите само основни трансформации на равенките, тогаш надворешните корени можат да се појават само од две причини:

  • поради проширувањето на ОДЗ и
  • поради подигање на двете страни на равенката на иста парна моќност.

Овде вреди да се потсетиме дека проширувањето на ОДЗ како резултат на трансформирање на равенката главно се случува

  • Кога се намалуваат фракциите;
  • При замена на производ со еден или повеќе нула фактори со нула;
  • При замена на дропка со нула броител со нула;
  • При користење на некои својства на моќи, корени, логаритми;
  • Кога користите некои тригонометриски формули;
  • Кога двете страни на равенката се множат со ист израз, таа исчезнува со ODZ за таа равенка;
  • При ослободување од логаритамските знаци во процесот на решавање.

Примерот од претходниот пасус на статијата ја илустрира појавата на надворешен корен поради проширувањето на ODZ, што се јавува при движење од равенката во последователната равенка x·(x−1)=0. ODZ за првобитната равенка е множество од сите реални броеви, со исклучок на нула, ODZ за добиената равенка е множеството R, односно ODZ се проширува за бројот нула. Овој број на крајот се покажува како необичен корен.

Ќе дадеме и пример за појава на необичен корен поради подигање на двете страни од равенката на иста парна моќност. Ирационалната равенка има единствен корен 4, а последицата од оваа равенка, добиена од неа со квадратирање на двете страни на равенката, односно равенката , има два корени 1 и 4. Од ова е јасно дека квадратурата на двете страни на равенката доведе до појава на надворешен корен за првобитната равенка.

Забележете дека проширувањето на ODZ и подигањето на двете страни на равенката на иста рамномерна моќност не секогаш доведува до појава на надворешни корени. На пример, кога се движите од равенката во последователната равенка x=2, ODZ се проширува од множеството на сите ненегативни броеви до множеството на сите реални броеви, но не се појавуваат надворешни корени. 2 е единствениот корен и на првата и на втората равенка. Исто така, не се појавуваат надворешни корени кога се движите од равенка во последователна равенка. Единствениот корен и на првата и на втората равенка е x=16. Затоа не зборуваме за причините за појава на надворешни корени, туку за причините за можна појава на надворешни корени.

Што е скрининг на надворешни корени?

Терминот „просејување на туѓи корени“ може само со истегнување да се нарече воспоставен, го нема во сите учебници за алгебра, но е интуитивен, поради што најчесто се користи. Што се подразбира под просејување на надворешни корени, станува јасно од следнава фраза: „... верификацијата е задолжителен чекор во решавањето на равенката, што ќе помогне да се откријат надворешни корени, доколку ги има, и да се отфрлат (обично велат „избриши ”)”

Така,

Дефиниција

Отстранување на надворешни корени- ова е откривање и отфрлање на надворешни корени.

Сега можете да преминете на методите за скрининг на надворешни корени.

Методи за скрининг на надворешни корени

Проверка на замена

Главниот начин за филтрирање на надворешните корени е тест за замена. Тоа ви овозможува да ги отстраните надворешните корени што може да се појават и поради проширувањето на ODZ и поради подигање на двете страни од равенката на иста рамномерна моќност.

Тестот за замена е како што следува: пронајдените корени на последователната равенка се заменуваат за возврат во првобитната равенка или во која било равенка еквивалентна на неа, оние што даваат точна нумеричка еднаквост се корените на првобитната равенка, а оние што ја даваат неточна бројна еднаквост или израз се корените на првобитната равенка.

Дозволете ни да покажеме со пример како да ги филтрираме надворешните корени преку замена во оригиналната равенка.

Во некои случаи, поцелисходно е да се филтрираат надворешните корени користејќи други методи. Ова главно се однесува на оние случаи кога проверката со замена е поврзана со значителни пресметковни тешкотии или кога стандардниот метод за решавање равенки од одреден тип бара друга проверка (на пример, скрининг на надворешни корени кога се решаваат фракционите рационални равенки според услов именителот на дропката да не е еднаков на нула). Ајде да погледнеме алтернативни начини за отстранување на надворешните корени.

Според ДЛ

За разлика од тестирањето со замена, филтрирањето на надворешни корени со помош на ODZ не е секогаш соодветно. Факт е дека овој метод ви овозможува да ги филтрирате само надворешните корени што се појавуваат поради проширувањето на ODZ и не гарантира просејување на надворешни корени што би можеле да произлезат од други причини, на пример, поради подигање на двете страни на равенката на иста парна моќност . Покрај тоа, не е секогаш лесно да се најде OD за равенката што се решава. Сепак, методот на просејување на надворешни корени со помош на ODZ вреди да се задржи во употреба, бидејќи неговата употреба често бара помалку компјутерска работа отколку употребата на други методи.

Отстранувањето на надворешните корени според ODZ се врши на следниов начин: сите пронајдени корени на последователната равенка се проверуваат за да се види дали припаѓаат на опсегот на дозволените вредности на променливата за оригиналната равенка или која било равенка еквивалентна на неа. оние што припаѓаат на ODZ се корени на првобитната равенка, а оние што припаѓаат на ODZ се корени на првобитната равенка, а оние што не припаѓаат на ODZ се надворешни корени за првобитната равенка.

Анализата на дадените информации води до заклучок дека е препорачливо да се просеат надворешните корени користејќи ODZ ако во исто време:

  • лесно е да се најде ODZ за оригиналната равенка,
  • надворешните корени можеа да се појават само поради проширувањето на ОДЗ,
  • Тестирањето за замена е поврзано со значителни пресметковни тешкотии.

Ќе покажеме како во пракса се врши чистење на надворешни корени.

Според условите на ДЛ

Како што рековме во претходниот пасус, ако надворешните корени може да се појават само поради проширувањето на ODZ, тогаш тие може да се елиминираат со користење на ODZ за првобитната равенка. Но, не е секогаш лесно да се најде ОДЗ во форма множество на броеви. Во такви случаи, можно е да се откријат надворешните корени не според ODZ, туку според условите што го одредуваат ODZ. Дозволете ни да објасниме како се врши чистење на надворешни корени во услови на ОДЗ.

Пронајдените корени за возврат се заменуваат со условите што го одредуваат ODZ за првобитната равенка или која било равенка еквивалентна на неа. Оние кои ги задоволуваат сите услови се корените на равенката. А оние од нив што не задоволуваат барем еден услов или даваат израз што нема смисла се туѓи корени за првобитната равенка.

Дозволете ни да дадеме пример за скрининг на надворешни корени според условите на ОДЗ.

Отстранување на надворешните корени кои произлегуваат од подигање на двете страни од равенката до рамномерна моќност

Јасно е дека отстранувањето на надворешните корени кои произлегуваат од подигањето на двете страни на равенката на иста рамномерна моќност може да се направи со замена во првобитната равенка или во која било равенка еквивалентна на неа. Но, таквата проверка може да вклучи значителни пресметковни тешкотии. Во овој случај, вреди да се знае алтернативен метод за просејување на надворешни корени, за кои ќе зборуваме сега.

Испитување на необични корени што може да се појават при подигање на двете страни на ирационални равенки на формата на иста рамномерна моќност , каде што n е некои парен број, може да се изврши според условот g(x)≥0. Ова произлегува од дефиницијата за корен од парен степен: корен од парен степен n е ненегативен број, чија n-та сила е еднаква на радикалниот број, од каде . Така, изразениот пристап е еден вид симбиоза на методот на подигање на двете страни на равенката на иста моќ и методот на решавање на ирационални равенки со одредување на коренот. Тоа е, равенката , каде што n е парен број, се решава со подигање на двете страни на равенката на иста парна моќност, а елиминирањето на надворешните корени се врши според условот g(x)≥0, земен од методот на решавање на ирационални равенки со одредување на коренот.

§ 1. ИЗГУБЕНИ И ИЗГУБЕНИ КОРЕНИ ПРИ РЕШАВАЊЕ НА РАВЕНКИ (СО ПРИМЕРИ)

РЕФЕРЕНТЕН МАТЕРИЈАЛ

1. Во две теореми од § 3 Поглавје VIIсе дискутираше кои дејства на равенките не ја нарушуваат нивната еквивалентност.

2. Сега да разгледаме такви операции на равенки кои можат да доведат до нова равенка која е нееднаква на првобитната равенка. Наместо општи размислувања, ќе се ограничиме на разгледување само конкретни примери.

3. Пример 1. Дадена е равенка Отворете ги заградите во оваа равенка, поместете ги сите членови на левата страна и решете ги квадратна равенка. Нејзините корени се

Ако ги намалите двете страни на равенката за заеднички фактор, ќе добиете равенка која е нееднаква на првобитната, бидејќи има само еден корен

Така, намалувањето на двете страни на равенката со фактор што ја содржи непознатата може да резултира со губење на корените на равенката.

4. Пример 2. Дадена е равенка.Оваа равенка има еден корен.Да ги квадрираме двете страни на оваа равенка и добиваме.Решавајќи ја оваа равенка наоѓаме два корени:

Гледаме дека новата равенка не е еквивалентна на првобитната равенка Коренот е коренот на равенката кој по квадратурата на двете страни води до равенката

5. Може да се појават и надворешни корени кога двете страни на равенката се множат со фактор кој содржи непозната, ако овој фактор исчезне за реални вредности на x.

Пример 3. Ако ги помножиме двете страни на равенката со тогаш добиваме нова равенка која, откако ќе го префрли членот од десната страна на левата и ќе го факторингира, дава равенка од која било

Коренот не задоволува равенка која има само еден корен

Оттука заклучуваме: при квадратура на двете страни на равенката (општо до рамномерна моќност), како и кога се множи со фактор кој содржи непозната и исчезнува при реални вредности на непознатото, може да се појават надворешни корени.

Сите размислувања изразени овде во врска со прашањето за губење и појава на надворешни корени на равенката се применуваат подеднакво за сите равенки (алгебарски, тригонометриски, итн.).

6. Равенката се нарекува алгебарска ако ја задоволува само непознатата алгебарски операции- собирање, одземање, множење, делење, степенување и извлекување корен со природен експонент (а бројот на таквите операции е конечен).

Така, на пример, равенките

се алгебарски, а равенките

Во последната лекција користевме три чекори за решавање на равенките.

Првата фаза е техничка. Користејќи синџир на трансформации од првобитната равенка, доаѓаме до прилично едноставна, која ја решаваме и ги наоѓаме корените.

Втората фаза е анализа на растворот. Ги анализираме трансформациите што ги извршивме и дознаваме дали се еквивалентни.

Третата фаза е верификација. Проверката на сите пронајдени корени со нивна замена во оригиналната равенка е задолжителна кога се вршат трансформации кои можат да доведат до последователна равенка

Дали е секогаш потребно да се разликуваат три фази при решавање на равенка?

Се разбира не. Како, на пример, при решавањето на оваа равенка. ВО Секојдневниот животтие обично не се изолирани. Но, сите овие фази треба да се „имаат на ум“ и да се изведат во една или друга форма. Императив е да се анализира еквивалентноста на трансформациите. А ако анализата покаже дека треба да се изврши проверка, тогаш таа е задолжителна. Во спротивно, равенката не може да се смета за правилно решена.

Дали е секогаш можно да се проверат корените на равенката само со замена?

Ако при решавањето на равенката се користеле еквивалентни трансформации, тогаш не е потребна верификација. При проверка на корените на равенката, многу често се користи ODZ (дозволена вредност опсег), а ако е тешко да се провери со користење на ODZ, тогаш тоа се врши со замена во оригиналната равенка.

Вежба 1

Решете ја равенката Квадратен коренод два x плус три е еднакво на еден плус x.

Решение

ODZ на равенката се определува со систем од две неравенки: два x плус три се поголеми или еднакви на нула и еден плус x е поголем или еднаков на нула. Решението е x поголемо или еднакво на минус еден.

Ајде да ги квадратиме двете страни на равенката, да ги преместиме членовите од едната на другата страна на равенката, да додадеме слични членови и да добиеме квадратна равенка x квадрат е еднакво на два. Нејзините корени се

x прво, второ е еднакво на плус или минус квадратниот корен од два.

Испитување

Вредноста на x прво е еднаква на квадратниот корен од два е коренот на равенката, бидејќи е вклучена во ODZ.
Вредноста на x секунда е еднаква на минус квадратниот корен од два не е коренот на равенката, бидејќи не е вклучен во ДЗ.
Ајде да провериме дека коренот x е еднаков на квадратниот корен од два, заменувајќи го во првобитната еднаквост, добиваме

еднаквоста е точно, што значи дека x е еднаков на квадратен корен од два е коренот на равенката.

Одговор: квадратен корен од два.

Задача 2

Решете ја равенката квадратен корен од x минус осум е еднакво на пет минус x.

Решение

ODZ на ирационална равенка се одредува со систем од две неравенки: x минус осум е поголем или еднаков на нула и пет минус x е поголем или еднаков на нула. Решавајќи го, откриваме дека овој систем нема решенија. Коренот на равенката не може да биде ниту една од вредностите на променливата x.

Одговор: нема корени.

Задача 3

Решете ја равенката квадратен корен на x коцки плус четири x минус еден минус осум квадратни корени x до четвртата сила минус x е еднаква на квадратниот корен од x коцки минус еден плус два квадратни корени од x.

Решение

Да се ​​најде ODZ во оваа равенка е доста тешко.

Ајде да ја извршиме трансформацијата: квадрат од двете страни на оваа равенка,

Да ги преместиме сите членови на левата страна од равенката и да донесеме слични членови, да напишеме два корени под еден, да добиеме слични радикали, да донесеме слични, да го поделиме со коефициентот минус 12 и да го множиме радикалниот израз, ќе добиеме равенка во форма на производ од два фактора еднакви на нула. Откако го решивме, ги наоѓаме корените:

x првиот е еднаков на еден, x вториот е еднаков на нула.

Бидејќи ги подигнавме двете страни на равенката на рамномерна моќност, проверката на корените е задолжителна.

Испитување

Ако x е еднакво на еден, тогаш

ја добиваме точната еднаквост, што значи дека x е еднакво на еден е коренот на равенката.

Ако x е нула, тогаш квадратниот корен од минус еден е недефиниран.

Ова значи дека x еднакво на нула е надворешен корен.

Одговор: еден.

Задача 4

Решете ја равенката логаритам на изразот x во квадрат плус пет x плус две основа два е еднакво на три.

Решение

Да ја најдеме равенката ОДЗ. За да го направите ова, ја решаваме неравенката x на квадрат плус пет x плус два над нула.

Неравенството го решаваме со методот на интервал. За да го направите ова, ја факторизираме неговата лева страна, откако претходно ја решивме квадратната равенка и земајќи го предвид знакот за неравенство, го одредуваме ODZ. ODZ е еднаков на спојувањето на отворените зраци од минус бесконечност до минус дропка пет плус квадратниот корен од седумнаесет поделен со два, и од минус дропка пет минус квадратниот корен од седумнаесет поделен со два до плус бесконечност.

Сега да почнеме да ги наоѓаме корените на равенката. Со оглед на тоа дека три е еднаков на логаритамот од осум до основата два, ја запишуваме равенката на следниов начин: логаритамот на изразот x квадрат плус пет x плус два на основата два е еднаков на логаритамот од осум до основата два. Да ја потенцираме равенката, да добиеме и решиме квадратна равенка.

Дискриминаторката е четириесет и девет.

Пресметајте ги корените:

x првиот е еднаков на минус шест; x секунда е еднаква на една.

Испитување

Минус шест му припаѓа на ODZ, еден припаѓа на ODZ, што значи дека двата броја се корени на равенката.

Одговор: минус шест; еден.

Во последната лекција го разгледавме прашањето за појавата на надворешни корени. Можеме да ги откриеме преку верификација. Дали е можно да се изгубат корените при решавање на равенката и како да се спречи тоа?

При извршување на такви дејства на равенка, како прво, делење на двете страни на равенката со истиот израз ax од x (освен оние случаи кога со сигурност се знае дека секирата од x не е еднаква на нула за кој било x од доменот на дефиниција на равенката) ;

второ, стеснувањето на OD на равенката за време на процесот на решавање може да доведе до губење на корените на равенката.

Запомнете!

Равенката напишана како

ef од x помножено со пепел од x е еднакво на zhe од x помножено со пепел од x се решава на овој начин:

треба да се факторизира со ставање на заедничкиот фактор надвор од загради;

потоа, изедначете го секој фактор на нула, со што се добиваат две равенки.

Ние ги пресметуваме нивните корени.

Вежба 1

Решете ја равенката x коцка е еднаква на x.

Првиот начин

Поделете ги двете страни на оваа равенка со x, добиваме x квадрат е еднакво, имајќи корени x прво еднаква на еден,

x секунда е еднаква на минус еден.

Втор начин

X коцка е еднаква на X. Да го преместиме x на левата страна на равенката, да го извадиме x од заградите и да добиеме: x помножено со x на квадрат минус еден е нула.

Да ги пресметаме неговите корени:

X првиот е еднаков на нула, x вториот е еднаков на еден, x третиот е еднаков на минус еден.

Равенката има три корени.

Кога го решававме првиот метод, изгубивме еден корен - x е еднакво на нула.

Одговор: минус еден; нула; еден.

Запомнете! Намалувањето на двете страни на равенката со фактор што го содржи непознатото може да резултира со изгубени корени.

Задача 2

Решете ја равенката: декадниот логаритам од x квадрат е еднаков на два.

Решение

Првиот начин

Со дефиниција за логаритам, ја добиваме квадратната равенка x квадрат е еднаква на сто.

Неговите корени: x прво е еднакво на десет; X секунда е еднаква на минус десет.

Втор начин

Според својството на логаритми, имаме два децимални логаритми x е еднакво на два.

Неговиот корен - x е еднаков на десет

Со вториот метод, коренот x е еднаков на минус десет беше изгубен. А причината е што примениле погрешна формула, стеснувајќи го опсегот на равенката. Изразот за децимален логаритам од x квадрат е дефиниран за сите x освен x еднакви на нула. Изразот за децимален логаритам на x е за x поголем од нула. Правилна формуладекадниот логаритам x квадрат е еднаков на два децимални логаритмимодул x.

Запомнете! Кога решавате равенка, паметно користете ги достапните формули.