Нека X (\displaystyle X)е или збир на реални броеви R (\displaystyle \mathbb (R)), или сет сложени броеви C (\displaystyle \mathbb (C)). Потоа низата ( x n ) n = 1 ∞ (\приказ стил \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty ))елементи на комплетот X (\displaystyle X)повикани нумеричка низа.
Примери
Операции на секвенци
Стеквенци
Последователија секвенци (x n) (\displaystyle (x_(n)))- ова е низа (x n k) (\стил на приказ (x_(n_(k)))), Каде (n k) (\displaystyle (n_(k)))- зголемена низа на елементи од множеството природни броеви.
Со други зборови, потсеквенца се добива од низа со отстранување на конечен или бројлив број на елементи.
Примери
- Низа од прости броеви е потсеквенца од низа природни броеви.
- Редоследот на природните броеви, множители на , е потсеквенца од низата парни природни броеви.
Својства
Гранична точка на низа е точка во секое соседство од која има бесконечно многу елементи од оваа низа. За конвергентни бројни низи, граничната точка се совпаѓа со границата.
Ограничување на низата
Ограничување на низата - ова е објект кон кој членовите на низата се приближуваат како што бројот се зголемува. Така, во произволен тополошки простор, границата на низата е елемент во кое било соседство на кое лежат сите членови на низата, почнувајќи од одредена точка. Конкретно, за низите на броеви, граница е број во кое било соседство на кое лежат сите членови на низата кои започнуваат од одредена точка.
Фундаментални секвенци
Фундаментална низа (конвергентна низа , Коши низа ) е низа од елементи на метричкиот простор во кој за кој било напред дадено растојаниепостои таков елемент што растојанието од него до кој било од елементите што го следат не го надминува наведеното. За низите на броеви, концептите на фундаментални и конвергентни низи се еквивалентни, но генерално тоа не е случај.
Нумеричка низа е нумеричка функција дефинирана на множеството природни броеви .
Ако функцијата е дефинирана на множеството природни броеви 
, тогаш множеството вредности на функции ќе може да се брои и секој број 
одговара на бројот 
. Во овој случај велат дека е дадено броена низа. Се повикуваат броевите елементиили членови на низа, и бројот 
– општо или 
-ти член на низата. Секој елемент 
има последователен елемент 
. Ова ја објаснува употребата на терминот „секвенца“.
Редоследот обично се одредува или со наведување на неговите елементи или со означување на законот според кој се пресметува елементот со број 
, т.е. укажувајќи на неговата формула 
‑-ти член 
.
Пример.Последователија
може да се даде со формулата:
.
Обично секвенците се означени на следниов начин: итн., каде што формулата за тоа е означена во загради 
ти член.
Пример.Последователија
‑ова е низа
Множество од сите елементи на низата 
означено со 
.
Нека 
И 
- две секвенци.
СО умметсеквенци 
И 
наречена низа 
, Каде 
, т.е.
Р разликаод овие низи се нарекува низа 
, Каде 
, т.е.
Ако 
И
‑
константи, потоа низата
,
повикани линеарна комбинација
секвенци 
И 
, т.е.
Работатасеквенци 
И 
наречена низата со 
-ти член 
, т.е. 
.
Ако 
, тогаш можеме да одредиме приватен
.
Збир, разлика, производ и количник на низи 
И 
тие се нарекуваат алгебарскикомпозиции.
Пример.Размислете за секвенците 
И 
, Каде. Потоа 
, т.е. последователна секвенца 
ги има сите елементи еднакви на нула.
,
, т.е. сите елементи на производот и количникот се еднакви 
.
Ако пречкртате некои елементи од низата 
така што останува бесконечен број на елементи, добиваме уште една наречена низа последователна секвенцасеквенци 
. Ако ги прецртате првите неколку елементи од низата 
, тогаш се нарекува новата низа остатокот.
Последователија 
ограниченпогоре(одоздола), ако сетот 
ограничен од горе (од долу). Низата се нарекува ограничен, ако е ограничен горе и долу. Низата е ограничена ако и само ако некој од нејзините остатоци е ограничен.
Конвергирачки низи
Тие го велат тоа последователна секвенца 
конвергира ако има број 
таква што за било кој 
има такво нешто 
тоа за било кој 
, неравенството важи: 
.
Број 
повикани граница на низата
. Во исто време тие запишуваат 
или 
.
Пример.
.
Да го покажеме тоа 
. Ајде да поставиме кој било број 
. Нееднаквост 
изведена за 
, така што 
, дека дефиницијата за конвергенција се врши за бројот 
. Средства, 
.
Со други зборови 
значи дека сите членови на низата 
со доволно големи броеви малку се разликува од бројот 
, т.е. почнувајќи од некој број 
(ако) елементите на низата се во интервалот 
кој се нарекува 
– соседството на точката 
.
Последователија 
, чија граница е нула ( 
, или 
на 
) се нарекува бесконечно мало.
Во однос на бесконечно малите, следниве изјави се точни:
Збирот на две бесконечно мали е бесконечно мал;
Производот на бесконечно мало и конечно количество е бесконечно мало.
Теорема
.Со цел за низата 
имаше граница, тоа беше неопходно и доволно за 
, Каде 
– константна; 
– бесконечно мало
.
Основни својства на конвергентни низи:
Својствата 3. и 4. се генерализирани во случај на кој било број конвергентни низи.
Забележете дека при пресметување на границата на дропка чиј броител и именител се линеарни комбинации на моќи 
, границата на дропката е еднаква на границата на односот на водечките членови (т.е. членовите што содржат најголеми моќи 
броител и именител).
Последователија 
наречен:
Сите такви низи се нарекуваат монотоно.
Теорема
.
Ако низата 
се зголемува монотоно и се граничи горе, потоа се конвергира и неговата граница е еднаква на горната граница; ако низата се намалува и е ограничена долу, тогаш таа конвергира до својот инфимум.
Математиката е наука која го гради светот. И научникот и обичниот човек - никој не може без него. Прво, малите деца се учат да бројат, потоа да собираат, одземаат, множат и делат, на средно школовлезат во игра ознаки на букви, а во постара возраст не можете без нив.
Но, денес ќе зборуваме за тоа на што се заснова целата позната математика. За заедницата на броеви наречени „ограничувања на низа“.
Што се низи и каде е нивната граница?
Значењето на зборот „секвенца“ не е тешко да се протолкува. Ова е распоред на работи каде што некој или нешто се наоѓа во одреден редослед или редица. На пример, редот за билети за зоолошката градина е низа. И може да има само еден! Ако, на пример, погледнете во редот во продавницата, ова е една низа. И ако едно лице од оваа редица одеднаш замине, тогаш ова е друга редица, различен редослед.
Зборот „граница“ исто така лесно се толкува - тоа е крај на нешто. Меѓутоа, во математиката, границите на низите се оние вредности на бројната линија кон која се стреми низа од броеви. Зошто се стреми и не завршува? Едноставно е, бројната линија нема крај, а повеќето секвенци, како зраците, имаат само почеток и изгледаат вака:
x 1, x 2, x 3,...x n...
Оттука, дефиницијата за низа е функција на природниот аргумент. Повеќе со едноставни зборовие низа членови на одредено множество.
Како е конструирана броевната низа?
Едноставен пример за бројна низа може да изгледа вака: 1, 2, 3, 4, …n…
Во повеќето случаи, за практични цели, секвенците се градат од броеви, а секој следен член на серијата, да го означиме X, има свое име. На пример:
x 1 е првиот член на низата;
x 2 е вториот член од низата;
x 3 е третиот член;
x n е n-тиот член.
Во практичните методи, низата се дава со општа формула во која има одредена променлива. На пример:
X n =3n, тогаш самата серија на броеви ќе изгледа вака:
Вреди да се запамети дека кога пишувате секвенци воопшто, можете да користите какви било латински букви, а не само X. На пример: y, z, k итн.
Аритметичка прогресија како дел од низите
Пред да ги барате границите на низите, препорачливо е да се нурне подлабоко во самиот концепт на таква серија на броеви, со кој секој се сретнал кога биле во средно училиште. Аритметичка прогресија е серија од броеви во кои разликата помеѓу соседните членови е константна.
Задача: „Нека 1 = 15, а чекорот на прогресија на броената серија d = 4. Конструирај ги првите 4 термини од оваа серија“
Решение: a 1 = 15 (по услов) е првиот член од прогресијата (бројна серија).
а 2 = 15+4=19 е вториот член од прогресијата.
а 3 =19+4=23 е третиот член.
а 4 =23+4=27 е четврти член.
Меѓутоа, со користење на овој метод е тешко да се постигнат големи вредности, на пример до 125. . Посебно за такви случаи, изведена е формула погодна за вежбање: a n =a 1 +d(n-1). Во овој случај, 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.
Видови секвенци
Повеќето од секвенците се бесконечни, вреди да се сеќавате до крајот на животот. Постојат два интересни типа на серии на броеви. Првиот е даден со формулата a n =(-1) n. Математичарите често ја нарекуваат оваа низа трепкач. Зошто? Ајде да ја провериме нејзината бројна серија.
1, 1, -1, 1, -1, 1, итн. Со ваков пример, станува јасно дека броевите во низи лесно може да се повторат.
Факториска низа. Лесно е да се погоди - формулата што ја дефинира низата содржи фактор. На пример: a n = (n+1)!
Тогаш низата ќе изгледа вака:
a 2 = 1x2x3 = 6;
и 3 = 1x2x3x4 = 24, итн.
Низата дефинирана со аритметичка прогресија се нарекува бесконечно опаѓачка ако неравенката -1 е задоволена за сите нејзини членови и 3 = - 1/8, итн. Постои дури и низа која се состои од ист број. Значи, n =6 се состои од бесконечен број шестки. Ограничувањата на низата одамна постојат во математиката. Се разбира, тие заслужуваат свој компетентен дизајн. Значи, време е да ја научиме дефиницијата за границите на низата. Прво, да ја разгледаме границата за линеарна функција во детали: Лесно е да се разбере дека дефиницијата на границата на низата може да се формулира на следниов начин: ова е одреден број до кој бесконечно се приближуваат сите членови на низата. Едноставен пример: a x = 4x+1. Тогаш самата низа ќе изгледа вака. 5, 9, 13, 17, 21…x… Така, оваа низа ќе се зголемува бесконечно, што значи дека нејзината граница е еднаква на бесконечноста како x→∞, и треба да се напише вака: Ако земеме слична низа, но x се стреми кон 1, добиваме: А серијата на броеви ќе биде вака: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 итн. Секој пат кога ќе треба да го замените бројот поблиску до еден (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Од оваа серија е јасно дека границата на функцијата е пет. Од овој дел вреди да се потсетиме која е границата на нумеричката низа, дефиницијата и методот за решавање едноставни проблеми. Откако ќе ја испитате границата на броена низа, нејзината дефиниција и примери, можете да продолжите на посложена тема. Апсолутно сите граници на низи може да се формулираат со една формула, која обично се анализира во првиот семестар. Значи, што значи овој сет на букви, модули и знаци за нееднаквост? ∀ е универзален квантификатор, кој ги заменува фразите „за сите“, „за сè“ итн. ∃ е егзистенцијален квантификатор, во овој случај тоа значи дека има некоја вредност N што припаѓа на множеството природни броеви. Долг вертикален стап кој следи N значи дека даденото множество N е „такво“. Во пракса, тоа може да значи „такво тоа“, „таквото“ итн. За да го зајакнете материјалот, прочитајте ја формулата гласно. Методот за наоѓање на границата на секвенците, кој беше дискутиран погоре, иако е едноставен за употреба, не е толку рационален во пракса. Обидете се да ја пронајдете границата за оваа функција: Ако замениме различни вредности на „x“ (се зголемува секој пат: 10, 100, 1000 итн.), тогаш добиваме ∞ во броителот, но и ∞ во именителот. Ова резултира со прилично чудна фракција: Но, дали е ова навистина така? Пресметувањето на границата на бројна низа во овој случај изгледа прилично лесно. Би можело се да се остави како што е, бидејќи одговорот е готов, а е добиен под разумни услови, но има и друг начин конкретно за вакви случаи. Прво, да го најдеме највисокиот степен во броителот на дропката - ова е 1, бидејќи x може да се претстави како x 1. Сега да го најдеме највисокиот степен во именителот. Исто така 1. Да ги поделиме и броителот и именителот со променливата до највисок степен. Во овој случај, поделете ја дропот со x 1. Следно, ќе откриеме кон која вредност има тенденција секој поим што содржи променлива. Во овој случај, се земаат предвид фракциите. Како x→∞, вредноста на секоја дропка се стреми кон нула. Кога ја поднесувате вашата работа во писмена форма, треба да ги направите следните фусноти: Ова резултира со следниов израз: Се разбира, дропките што содржат x не станале нули! Но, нивната вредност е толку мала што е сосема дозволено да не се земе предвид во пресметките. Всушност, x никогаш нема да биде еднаква на 0 во овој случај, бидејќи не можете да делите со нула. Да претпоставиме дека професорот има на располагање сложена низа, дадена, очигледно, со еднакво сложена формула. Професорот го најде одговорот, но дали е во право? На крајот на краиштата, сите луѓе прават грешки. Огист Коши еднаш смисли одличен начин да ги докаже границите на секвенците. Неговиот метод беше наречен манипулација со соседството. Да претпоставиме дека постои одредена точка a, нејзиното соседство во двете насоки на бројната права е еднакво на ε („епсилон“). Бидејќи последната променлива е растојанието, нејзината вредност е секогаш позитивна. Сега да дефинираме некоја низа x n и да претпоставиме дека десеттиот член од низата (x 10) е вклучен во соседството на a. Како можеме да го напишеме овој факт на математички јазик? Да речеме дека x 10 е десно од точката a, а потоа растојанието x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Сега е време да се објасни во пракса формулата дискутирана погоре. Праведно е да се нарече одреден број a крајна точка на низата ако за која било од неговите граници неравенката ε>0 е исполнета, а целото соседство има свој природен број N, така што сите членови на низата со повисоки броеви ќе биде внатре во низата |x n - a|< ε. Со такво знаење лесно е да се решат границите на низата, да се докаже или побие готовиот одговор. Теоремите за границите на низите се важна компонента на теоријата, без која практиката е невозможна. Постојат само четири главни теореми, запомнувањето што може да го олесни решението или докажувањето: Понекогаш треба да решите инверзен проблем, за да докажете дадена граница на нумеричка низа. Ајде да погледнеме на пример. Докажете дека границата на низата дадена со формулата е нула. Според правилото дискутирано погоре, за која било низа неравенката |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Да го изразиме n преку „епсилон“ за да покажеме постоење на одреден број и да докажеме присуство на граница на низата. Во овој момент, важно е да се запамети дека „epsilon“ и „en“ се позитивни броеви и не се еднакви на нула. Сега е можно да се продолжат понатамошните трансформации користејќи ги знаењата за нееднаквостите стекнати во средно училиште. Како излегува дека n > -3 + 1/ε. Бидејќи вреди да се запамети дека зборуваме за природни броеви, резултатот може да се заокружи со ставање во квадратни загради. Така, докажано е дека за која било вредност на соседството „епсилон“ на точката a = 0 е пронајдена вредност таква што почетната неравенка е задоволена. Од тука можеме безбедно да кажеме дека бројот a е граница на дадена низа. Q.E.D. Овој пригоден метод може да се користи за докажување на границата на нумеричка низа, без разлика колку е сложена таа на прв поглед. Главната работа е да не паничите кога ќе ја видите задачата. Постоењето на граница на конзистентност не е неопходно во пракса. Лесно може да наидете на серии на бројки на кои навистина им нема крај. На пример, истото „светло кое трепка“ x n = (-1) n. очигледно е дека низата која се состои од само две цифри, циклично повторувани, не може да има граница. Истата приказна се повторува со низи составени од еден број, фракциони, кои имаат несигурност на кој било ред при пресметките (0/0, ∞/∞, ∞/0, итн.). Сепак, треба да се запомни дека се случуваат и неточни пресметки. Понекогаш двојната проверка на сопственото решение ќе ви помогне да го пронајдете ограничувањето на низата. Неколку примери на секвенци и методи за нивно решавање беа дискутирани погоре, а сега да се обидеме да земеме поконкретен случај и да го наречеме „монотона низа“. Дефиниција: секоја низа со право може да се нарече монотоно растечка ако за неа важи строгата неравенка x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1. Заедно со овие два услови, постојат и слични нестроги нееднаквости. Соодветно на тоа, x n ≤ x n +1 (ненамалувачка низа) и x n ≥ x n +1 (секвенца што не се зголемува). Но, полесно е да се разбере ова со примери. Низата дадена со формулата x n = 2+n ја формира следната серија на броеви: 4, 5, 6, итн. Ова е монотоно растечка низа. И ако земеме x n =1/n, ја добиваме серијата: 1/3, ¼, 1/5, итн. Ова е монотоно опаѓачка низа. Ограничена низа е низа што има граница. Конвергентна низа е низа од броеви кои имаат бесконечно мала граница. Така, границата на ограничена низа е кој било реален или комплексен број. Запомнете дека може да има само една граница. Границата на конвергентна низа е бесконечно мала (реална или сложена) големина. Ако нацртате дијаграм со низа, тогаш во одреден момент ќе изгледа дека се спојува, има тенденција да се претвори во одредена вредност. Оттука и името - конвергентна низа. Може или не може да има ограничување на таквата низа. Прво, корисно е да се разбере кога постои; од тука можете да започнете кога докажувате отсуство на ограничување. Меѓу монотоните низи, се разликуваат конвергентни и дивергентни. Конвергентна е низа која е формирана од множеството x и има реална или сложена граница во ова множество. Дивергентна е низа која нема ограничување во своето множество (ниту реална, ниту сложена). Згора на тоа, низата конвергира ако, во геометриски приказ, нејзините горни и долни граници се спојуваат. Границата на конвергентна низа може да биде нула во многу случаи, бидејќи секоја бесконечно мала низа има позната граница (нула). Без оглед на конвергентната низа што ја земате, сите тие се ограничени, но не се спојуваат сите ограничени низи. Збирот, разликата, производот на две конвергентни низи е исто така конвергентна низа. Меѓутоа, количникот може да биде и конвергентен ако е дефиниран! Ограничувањата на низата се исто толку значајни (во повеќето случаи) како и цифрите и броевите: 1, 2, 15, 24, 362, итн. Излегува дека некои операции може да се изведат со ограничувања. Прво, како и цифрите и броевите, границите на која било низа може да се додаваат и одземаат. Врз основа на третата теорема за границите на низите, важи следната еднаквост: границата на збирот на низите е еднаква на збирот на нивните граници. Второ, врз основа на четвртата теорема за границите на низите, следнава еднаквост е точно: границата на производот од n-тиот број низи е еднаква на производот на нивните граници. Истото важи и за делењето: границата на количникот на две низи е еднаква на количникот на нивните граници, под услов границата да не е нула. На крајот на краиштата, ако границата на низите е еднаква на нула, тогаш ќе резултира поделба со нула, што е невозможно. Се чини дека границата на нумеричката низа е веќе дискутирана во некои детали, но фразите како што се „бесконечно мали“ и „бесконечно големи“ броеви се споменуваат повеќе од еднаш. Очигледно, ако има низа 1/x, каде што x→∞, тогаш таквата дропка е бесконечно мала, а ако истата низа, но границата се стреми кон нула (x→0), тогаш дропот станува бесконечно голема вредност. И таквите количини имаат свои карактеристики. Својствата на границата на низа со какви било мали или големи вредности се како што следува: Всушност, пресметувањето на границата на низата не е толку тешка задача ако знаете едноставен алгоритам. Но, границите на конзистентноста се тема која бара максимално внимание и упорност. Се разбира, доволно е едноставно да се сфати суштината на решението на таквите изрази. Почнувајќи од мали, можете да постигнете големи височини со текот на времето. Ако секој природен број n е поврзан со некој реален број x n, тогаш велиме дека дадениот броена низа x 1 , x 2 , … x n , … Број x 1 се нарекува член на низата со број 1
или првиот член од низата, број x 2 - член на низата со број 2
или вториот член на низата итн. Се повикува бројот x n член на низата со број n. Постојат два начина за одредување низи на броеви - со и со рекурентна формула. Секвенца со користење формули за општиот член на низата– ова е задача во низа x 1 , x 2 , … x n , … користејќи формула која ја изразува зависноста на поимот x n од неговиот број n. Пример 1. Редоследот на броеви 1, 4, 9, … n 2 , … дадени со користење на заедничкиот термин формула x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … Одредување на низа со помош на формула која изразува член на низата x n преку членовите на низата со претходни броеви се нарекува одредување низа со користење рекурентна формула. x 1 , x 2 , … x n , … повикани во зголемена секвенца, повеќепретходен член. Со други зборови, за сите n x n + 1 >x n Пример 3. Низа природни броеви 1, 2, 3, … n, … е растечка низа. Дефиниција 2. Низа на броеви x 1 , x 2 , … x n , … повикани опаѓачка низаако секој член од оваа низа помалкупретходен член. Со други зборови, за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето x n + 1 < x n Пример 4. Последователија дадена со формулата е опаѓачка низа. Пример 5. Редоследот на броеви 1, - 1, 1, - 1, … дадена со формулата x n = (- 1) n , n = 1, 2, 3, … не е ниту се зголемува ниту се намалуваниза. Дефиниција 3. Се нарекуваат низи со зголемување и намалување монотони секвенци. Дефиниција 4. Низа на броеви x 1 , x 2 , … x n , … повикани ограничен одозгора,ако има број M таков што секој член од оваа низа помалкуброеви М. Со други зборови, за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето Дефиниција 5. Низа на броеви x 1 , x 2 , … x n , … повикани ограничени подолу,ако има број m таков што секој член од оваа низа повеќеброеви m. Со други зборови, за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето Дефиниција 6. Низа на броеви x 1 , x 2 , … x n , … се нарекува ограничено ако тоа ограничен и горе и долу. Со други зборови, постојат броеви M и m такви што за сите n= 1, 2, 3, ... неравенството е исполнето м< x n < M Дефиниција 7. Нумерички низи кои не се ограничени, повикан неограничени секвенци. Пример 6. Редоследот на броеви 1, 4, 9, … n 2 , … дадена со формулата x n = n 2 , n = 1, 2, 3, … , ограничени подолу, на пример, бројот 0. Меѓутоа, оваа низа неограничено одозгора. Пример 7. Последователија Вида y= ѓ(x), xЗА Н,
Каде Н– множество природни броеви (или функција од природен аргумент), означени y=ѓ(n)
или y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Вредности y 1 ,y 2 ,y 3 ,…
се нарекуваат соодветно први, втори, трети, ... членови на низата. На пример, за функцијата y= n 2 може да се напише: y 1 = 1 2 = 1; y 2 = 2 2 = 4; y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;… Методи за одредување секвенци.Секвенците можат да се специфицираат на различни начини, меѓу кои три се особено важни: аналитички, описни и повторливи.
1. Аналитички се дава низа ако е дадена нејзината формула nти член: y n=ѓ(n). Пример. y n= 2n - 1 –
низа од непарни броеви: 1, 3, 5, 7, 9,… 2. Описен
Начинот на одредување на нумеричка низа е да се објасни од кои елементи е изградена низата. Пример 1. „Сите членови од низата се еднакви на 1“. Ова значи дека зборуваме за стационарна низа 1, 1, 1, …, 1, …. Пример 2: „Редоследот се состои од сите прости броеви во растечки редослед“. Така, дадената низа е 2, 3, 5, 7, 11, .... Со овој метод на одредување на низата во овој пример, тешко е да се одговори на што е еднаков, да речеме, 1000-тиот елемент од низата. 3. Рекурентниот метод за одредување низа е да наведете правило кое ви овозможува да пресметате n-ти член на низа ако се познати нејзините претходни членови. Името рекурентен метод доаѓа од латинскиот збор повторливи- врати се. Најчесто, во такви случаи, се означува формула која овозможува изразување nти член од низата преку претходните, и наведете 1-2 почетни членови на низата. Пример 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ако n = 2, 3, 4,…. Еве y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; …. Можете да видите дека секвенцата добиена во овој пример може да се специфицира и аналитички: y n= 4n - 1. Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ако n = 3, 4,…. Еве: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8; Редоследот во овој пример е особено проучен во математиката бидејќи има голем број интересни својства и примени. Се нарекува низа Фибоначи, именувана по италијанскиот математичар од 13 век. Многу е лесно да се дефинира низата Фибоначи редовно, но многу тешко аналитички. nБројот на Фибоначи се изразува преку неговиот сериски број со следнава формула. На прв поглед, формулата за nБројот на Фибоначи изгледа неверојатно, бидејќи формулата што ја одредува низата природни броеви содржи само квадратни корени, но можете „рачно“ да ја проверите валидноста на оваа формула за првите неколку n. Нумеричка низа е посебен случај на нумеричка функција, затоа се земаат предвид и голем број својства на функциите за низите. Дефиниција .
последователна ( y n}
се нарекува зголемување ако секој негов член (освен првиот) е поголем од претходниот: y 1 y 2 y 3 y n y n +1 Дефиниција.Секвенца ( y n}
се нарекува опаѓачки ако секој негов член (освен првиот) е помал од претходниот: y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > …
. Зголемувачките и намалувачките низи се комбинираат под заедничкиот термин - монотони секвенци. Пример 1. y 1 = 1; y n= n 2 – растечка низа. Така, следнава теорема е вистинита (карактеристично својство на аритметичка прогресија). Бројната низа е аритметичка ако и само ако секој нејзин член, освен првиот (и последниот во случај на конечна низа), е еднаков на аритметичката средина на претходните и следните членови. Пример. По која вредност xброеви 3 x + 2, 5x- 4 и 11 x+ 12 формираат конечна аритметичка прогресија? Според карактеристичното својство, дадените изрази мора да ја задоволуваат релацијата 5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2. Решавањето на оваа равенка дава x= –5,5.
На оваа вредност xдадени изрази 3 x + 2, 5x- 4 и 11 x+ 12 земаат, соодветно, вредностите -14,5,
–31,5, –48,5.
Ова - аритметичка прогресија, неговата разлика е –17. Нумеричка низа, чии членови се не-нула и секој член, почнувајќи од вториот, се добива од претходниот член со множење со ист број q, повикан геометриска прогресија, и бројот q- именителот на геометриска прогресија. Така, геометриската прогресија е бројна низа ( b n), дефинирано рекурзивно со релациите б 1 = б, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…). (бИ q -дадени бројки, б ≠ 0, q ≠ 0). Пример 1. 2, 6, 18, 54, ... – зголемување на геометриската прогресија б = 2, q = 3. Пример 2. 2, –2, 2, –2, … –
геометриска прогресија б= 2,q= –1. Пример 3. 8, 8, 8, 8, … –
геометриска прогресија б= 8, q= 1. Геометриска прогресија е растечка низа ако б 1 > 0, q> 1, и се намалува ако б 1 > 0, 0 q Едно од очигледните својства на геометриската прогресија е дека ако низата е геометриска прогресија, тогаш е и низата од квадрати, т.е. б 1 2 , б 2 2 , б 3 2 , …, b n 2,... е геометриска прогресија чиј прв член е еднаков на б 1 2 , а именителот е q 2 . Формула n-тиот член на геометриската прогресија има форма b n= б 1 qn- 1 . Може да се добие формула за збир на членови на конечна геометриска прогресија. Нека е дадена конечна геометриска прогресија б 1 ,б 2 ,б 3 , …, b n нека S n -збирот на нејзините членови, т.е. С н= б 1 + б 2 + б 3 + … +b n. Прифатено е дека qброј 1. Да се утврди С нсе користи вештачка техника: се вршат некои геометриски трансформации на изразот S n q. S n q = (б 1 + б 2 + б 3 + … + b n –1 + b n)q = б 2 + б 3 + б 4 + …+ b n+ b n q = С н+ b n q– б 1 . Така, S n q= С н +b n q – b 1 и затоа Ова е формулата со umma n услови на геометриска прогресијаза случајот кога q≠ 1. На q= 1 формулата не треба да се изведува посебно; очигледно е дека во овој случај С н= а 1 n. Прогресијата се нарекува геометриска затоа што секој член во него, освен првиот, е еднаков на геометриската средина на претходните и следните членови. Навистина, бидејќи bn=bn- 1 q; bn = bn+ 1 /q, оттука, b n 2=bn- 1 bn+ 1 и следнава теорема е вистинита (карактеристично својство на геометриска прогресија): бројната низа е геометриска прогресија ако и само ако квадратот на секој негов член, освен првиот (и последниот во случај на конечна низа), е еднаков на производот од претходните и следните членови. Нека има низа ( c n} = {1/n}.
Оваа низа се нарекува хармонична, бидејќи секој нејзин член, почнувајќи од вториот, е хармонична средина помеѓу претходните и следните членови. Просечна геометриски броеви аИ бима број Во спротивно, низата се нарекува дивергентна. Врз основа на оваа дефиниција, може, на пример, да се докаже постоењето на граница А=0за хармоничната низа ( c n} =
{1/n). Нека ε е произволно мал позитивен број. Разликата се разгледува Дали постои такво нешто? Нтоа е за секого n ≥ Нважи неравенството 1 /N ? Ако го земеме како Нбило кој природен број, надминувајќи
1/ε
, тогаш за сите n ≥ Nважи неравенството 1 /n ≤
1/N ε ,
Q.E.D.
Докажувањето на присуство на граница за одредена низа понекогаш може да биде многу тешко. Најчестите секвенци се добро проучени и се наведени во референтни книги. Постојат важни теореми кои ви дозволуваат да заклучите дека дадената низа има граница (па дури и да ја пресметате), врз основа на веќе проучени низи. Теорема 1. Ако низата има граница, тогаш таа е ограничена. Теорема 2. Ако низата е монотона и ограничена, тогаш има граница. Теорема 3. Ако низата ( a n}
има граница А, потоа секвенците ( околу n}, {a n+ в)
и (| a n|}
имаат граници cA, А +в, |А| соодветно (тука в– произволен број). Теорема 4. Ако низите ( a n}
И ( b n) имаат граници еднакви на АИ Б pa n + qbn) има граница pA+ qB. Теорема 5. Ако низите ( a n) И ( b n)имаат граници еднакви на АИ Бсоодветно, тогаш низата ( a n b n) има граница АБ. Теорема 6. Ако низите ( a n}
И ( b n) имаат граници еднакви на АИ Бсоодветно, и, дополнително, b n ≠ 0 и B≠ 0, потоа низата ( a n / b n) има граница A/B. Ана ЧугаиноваОдредување на границата на низата
Општа ознака за граница на низи
Несигурност и сигурност на границата
Што е маало?
Теореми
Доказ за секвенци
Или можеби тој не е таму?
Монотона низа
Граница на конвергентна и ограничена низа
Граница на монотона низа
Различни акции со ограничувања
Својства на низа величини
Ограничени и неограничени секвенци
Својства на низите на броеви.
Геометриска прогресија.
Граница на конзистентност.
