На онлајн калкулаторго пресметува вкрстениот производ на вектори. Со оглед на детално решение. За да го пресметате вкрстениот производ на вектори, внесете ги координатите на векторите во ќелиите и кликнете на копчето „Пресметај“.

×

Предупредување

Да се ​​исчистат сите ќелии?

Затвори Исчисти

Инструкции за внесување податоци.Броевите се внесуваат како цели броеви (примери: 487, 5, -7623, итн.), децимали (пр. 67., 102,54, итн.) или дропки. Дропката мора да се внесе во форма a/b, каде што a и b (b>0) се цели броеви или децимални броеви. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 итн.

Векторски производ на вектори

Пред да преминеме на дефиницијата на векторскиот производ на вектори, да ги разгледаме концептите подредена векторска тројка, лева векторска тројка, десна векторска тројка.

Дефиниција 1. Се повикуваат три вектори нарача тројно(или тројно), ако се означи кој од овие вектори е првиот, кој вториот и кој третиот.

Снимајте CBA- значи - првиот е вектор в, вториот е векторот ба третиот е векторот а.

Дефиниција 2. Тројка на некомпланарни вектори abcсе нарекува десно (лево) ако, кога се сведуваат на заедничко потекло, овие вектори се наоѓаат на ист начин како што се наоѓаат големиот, несвиен показалец и средниот прст на десната (левата) рака, соодветно.

Дефиницијата 2 може да се формулира поинаку.

Дефиниција 2". Тројка на некомпланарни вектори abcсе нарекува десно (лево) ако, кога се сведува на заедничко потекло, векторот все наоѓа на другата страна на рамнината дефинирана со векторите аИ б, од каде е најкраткото вртење аДо бизведена спротивно од стрелките на часовникот (стрелките на часовникот).

Тројката на вектори abc, прикажано на сл. 1 е во право, а три abcприкажано на сл. 2 е левиот.

Ако две тројки вектори се десно или лево, тогаш се вели дека се со иста ориентација. Инаку се вели дека се со спротивна ориентација.

Дефиниција 3. Декартов или афин координатен систем се нарекува десно (лево) ако три основни вектори формираат десна (лева) тројка.

За точност, во следново ќе ги разгледаме само десничарските координатни системи.

Дефиниција 4. Векторски уметнички делавектор адо вектор бнаречен вектор Со, означено со симболот c=[ab] (или c=[а, б], или c=a×b) и ги задоволува следните три барања:

• должина на векторот Соеднаков на производот на векторските должини аИ бпо синусот на аголот φ помеѓу нив:

|в|=|[ab]|=|а||б|sinφ;

(1)

• вектор Соортогонални на секој од векторите аИ б;
• вектор внасочени така што трите abcе во право.

Вкрстениот производ на вектори ги има следните својства:

• [ab]=−[ба] (анти-пермутабилностфактори);
• [(λa)б]=λ [ab] (комбинацијаво однос на нумеричкиот фактор);
• [(a+b)в]=[ав]+[бв] (дистрибутивноставо однос на збирот на вектори);
• [аа]=0 за кој било вектор а.

Геометриски својства на векторскиот производ на вектори

Теорема 1. За два вектори да бидат колинеарни, потребно е и доволно нивниот векторски производ да биде еднаков на нула.

Доказ. Потреба. Нека векторите аИ бколинеарна. Тогаш аголот меѓу нив е 0 или 180° и sinφ=грев180=грев 0=0. Затоа, земајќи го предвид изразот (1), должината на векторот веднаква на нула. Потоа внула вектор.

Адекватност. Нека векторскиот производ на вектори аИ бочигледно нула: [ ab]=0. Да докажеме дека векторите аИ бколинеарна. Ако барем еден од векторите аИ бнула, тогаш овие вектори се колинеарни (бидејќи векторот нула има неодреден правец и може да се смета колинеарен со кој било вектор).

Ако двата вектори аИ бне-нула, тогаш | а|>0, |б|>0. Потоа од [ ab]=0 и од (1) следува дека sinφ=0. Затоа векторите аИ бколинеарна.

Теоремата е докажана.

Теорема 2. Должина (модул) на векторскиот производ [ ab] е еднаква на површина Спаралелограм конструиран на вектори сведени на заедничко потекло аИ б.

Доказ. Како што знаете, плоштината на паралелограм е еднаква на производот на соседните страни на овој паралелограм и синусот на аголот меѓу нив. Оттука:

Тогаш векторскиот производ на овие вектори има форма:

Проширувајќи ја детерминантата над елементите од првиот ред, го добиваме распаѓањето на векторот a×bпо основа јас, ј, к, што е еквивалентно на формулата (3).

Доказ за теоремата 3. Да ги создадеме сите можни парови на базични вектори јас, ј, ки пресметајте го нивниот векторски производ. Треба да се земе предвид дека основните вектори се меѓусебно ортогонални, формираат десна тројка и имаат единечна должина (со други зборови, можеме да претпоставиме дека јас={1, 0, 0}, ј={0, 1, 0}, к=(0, 0, 1)). Тогаш имаме:

Од последната еднаквост и односи (4), добиваме:

Ајде да создадеме матрица 3x3, чиј прв ред се основните вектори јас, ј, к,а останатите линии се полни со векторски елементи аИ б:

Така, резултатот од векторскиот производ на вектори аИ бќе биде вектор:

.

Пример 2. Најдете го векторскиот производ на вектори [ ab], каде е векторот апретставена со две точки. Почетна точка на векторот a: , крајна точка на векторот а: , вектор бизгледа како .

Решение: Поместете го првиот вектор до почетокот. За да го направите ова, одземете ги координатите на почетната точка од соодветните координати на крајната точка:

Да ја пресметаме детерминантата на оваа матрица со нејзино проширување по првиот ред. Резултатот од овие пресметки е векторскиот производ на вектори аИ б.

Векторски уметнички делае псевдовектор нормална на рамнина изградена од два фактора, што е резултат на бинарната операција „векторско множење“ над вектори во тродимензионалниот Евклидов простор. Векторскиот производ нема својства на комутативност и асоцијативност (тој е антикомутативен) и, за разлика од скаларниот производ на вектори, е вектор. Широко се користи во многу инженерски и физички апликации. На пример, аголниот моментум и силата на Лоренц математички се запишуваат како векторски производ. Вкрстениот производ е корисен за „мерење“ на нормалноста на векторите - модулот на вкрстениот производ на два вектори е еднаков на производот на нивните модули ако се нормални, а се намалува на нула ако векторите се паралелни или антипаралелни.

Векторскиот производ може да се дефинира на различни начини, а теоретски, во простор од која било димензија n, можете да го пресметате производот од n-1 вектори, со што ќе добиете единечен вектор, нормално на сите нив. Но, ако производот е ограничен на нетривијални бинарни производи со векторски резултати, тогаш традиционалниот векторски производ е дефиниран само во тридимензионални и седумдимензионални простори. Резултатот од векторски производ, како скаларен производ, зависи од метриката на Евклидовиот простор.

За разлика од формулата за пресметување на вектори на скаларен производ од координати во тридимензионален правоаголен координатен систем, формулата за вкрстениот производ зависи од ориентацијата на правоаголниот координатен систем или, со други зборови, неговата „хиралност“.

Дефиниција:
Векторскиот производ на векторот a и векторот b во просторот R3 е вектор c кој ги задоволува следните барања:
должината на векторот c е еднаква на производот од должините на векторите a и b и синусот на аголот φ меѓу нив:
|в|=|а||б|грев φ;
векторот c е ортогонален на секој од векторите a и b;
векторот c е насочен така што тројката вектори abc е деснак;
во случајот на просторот R7, потребна е асоцијативноста на тројката вектори a, b, c.
Ознака:
c===a × b

Ориз. 1. Плоштината на паралелограм е еднаква на модулот на векторскиот производ

Геометриски својства на вкрстен производ:
Неопходен и доволен услов за колинеарност на два ненулта вектори е нивниот векторски производ да биде еднаков на нула.

Модул за вкрстени производи еднаква површина Спаралелограм конструиран на вектори сведени на заедничко потекло аИ б(види Сл. 1).

Ако д- единичен вектор ортогонален на векторите аИ би избрани така што три а, б, е- нели, и Се плоштината на паралелограмот изграден на нив (сведена на заедничко потекло), тогаш формулата за векторскиот производ е валидна:
= S e

Сл.2. Волумен на паралелепипед со користење на вектор и скаларен производ на вектори; испрекинатите линии ги прикажуваат проекциите на векторот c на a × b и на векторот a на b × c, првиот чекор е да се најдат скаларните производи

Ако в- некој вектор, π - која било рамнина што го содржи овој вектор, д- единечен вектор што лежи во рамнината π и ортогонално на в, г- единичен вектор ортогонален на рамнината π и насочен така што тројката вектори екге во право, тогаш за секое лежење во авионот π вектор аформулата е точна:
=Pr e a |c|g
каде што Pr e a е проекцијата на векторот e на a
|c|-модул на векторот c

Кога користите векторски и скаларни производи, можете да го пресметате волуменот на паралелепипед изграден на вектори сведени на заедничко потекло а, бИ в. Таквиот производ од три вектори се нарекува мешан.
V=|a (b×c)|
Сликата покажува дека овој волумен може да се најде на два начина: геометрискиот резултат се зачувува дури и кога производите „скалар“ и „вектор“ се заменуваат:
V=a×b c=a b×c

Големината на вкрстениот производ зависи од синусот на аголот помеѓу оригиналните вектори, така што вкрстениот производ може да се согледа како степен на „нормалност“ на векторите, исто како што скаларниот производ може да се гледа како степен на „паралелизам “. Векторскиот производ на два единечни вектори е еднаков на 1 (единичен вектор) ако првобитните вектори се нормални, и еднаков на 0 (нула вектор) ако векторите се паралелни или антипаралелни.

Израз за вкрстен производ во Декартови координати
Ако два вектори аИ бдефинирани со нивните правоаголни Декартови координати, или поточно, претставени во ортонормална основа
a=(a x,a y,a z)
b=(b x,b y,b z)
а координатниот систем е десен, тогаш нивниот векторски производ ја има формата
=(a y b z -a z b y,a z b x -a x b z,a x b y -a y b x)
За да ја запомните оваа формула:
i =∑ε ijk a j b k
Каде ε ijk- симбол на Леви-Цивита.

Во оваа лекција ќе разгледаме уште две операции со вектори: векторски производ на векториИ мешан производ на вектори (ведна врска за оние на кои им треба). Во ред е, понекогаш се случува за целосна среќа, покрај скаларен производ на вектори, се бараат се повеќе и повеќе. Ова е векторска зависност. Можеби изгледа дека влегуваме во џунглата на аналитичката геометрија. Ова е погрешно. Во овој дел од вишата математика генерално има малку дрво, освен можеби доволно за Пинокио. Всушност, материјалот е многу вообичаен и едноставен - тешко покомплициран од истиот скаларен производ, ќе има дури и помалку типични задачи. Главната работа во аналитичката геометрија, како што многумина ќе се уверат или веќе биле убедени, е ДА НЕ ПРАВИ ГРЕШКИ ВО ПРЕСМЕТКИТЕ. Повторете како магија и ќе бидете среќни =)

Ако векторите светкаат некаде далеку, како молња на хоризонтот, не е важно, започнете со лекцијата Вектори за куклида се обноват или повторно да се стекнат основните знаења за вектори. Поподготвените читатели можат селективно да се запознаат со информациите, се обидов да соберам најкомплетна збирка примери кои често се наоѓаат во практична работа

Што ќе ве направи среќна веднаш? Кога бев мал, можев да жонглирам со две или дури три топки. Добро успеа. Сега нема да морате воопшто да жонглирате, бидејќи ќе размислиме само просторни вектори , а рамните вектори со две координати ќе бидат изоставени. Зошто? Така се родиле овие дејства - векторот и мешаниот производ на вектори се дефинирани и работат во тродимензионален простор. Веќе е полесно!

Оваа операција, исто како и скаларниот производ, вклучува два вектори. Нека бидат овие непропадливи букви.

Самата акција означено сона следниот начин: . Има и други опции, но јас сум навикнат да го означувам векторскиот производ на вектори на овој начин, во квадратни загради со крст.

И веднаш прашање: ако во скаларен производ на векторивклучени се два вектори, а тука се множат и два вектори, тогаш што е разликата? Очигледната разлика е, пред сè, во РЕЗУЛТАТ:

Резултатот од скаларниот производ на вектори е БРОЈ:

Резултатот од вкрстениот производ на вектори е ВЕКТОР: , односно ги множиме векторите и повторно добиваме вектор. Затворен клуб. Всушност, оттука доаѓа и името на операцијата. Во различни едукативна литератураознаките исто така може да се разликуваат, ќе ја користам буквата .

Дефиниција на вкрстен производ

Прво ќе има дефиниција со слика, па коментари.

Дефиниција: Векторски производ неколинеарнивектори, земен во по овој редослед , наречен ВЕКТОР, должинашто е нумерички еднаква на плоштината на паралелограмот, изграден на овие вектори; вектор ортогонални на вектори, и е насочен така што основата има правилна ориентација:

Ајде да ја разложиме дефиницијата дел по дел, има многу интересни работи овде!

Значи, може да се истакнат следните значајни точки:

1) Оригиналните вектори, означени со црвени стрелки, по дефиниција не колинеарна. Ќе биде соодветно да се разгледа случајот со колинеарни вектори малку подоцна.

2) Се земаат вектори по строго дефиниран редослед: – „а“ се множи со „биди“, не „биди“ со „а“. Резултат на векторско множењее ВЕКТОР, кој е означен со сино. Ако векторите се помножат во обратен редослед, добиваме вектор еднаков по должина и спротивен во насока (боја на малина). Односно, еднаквоста е вистина .

3) Сега да се запознаеме со геометриското значење на векторскиот производ. Ова е многу важна точка! ДОЛЖИНАТА на синиот вектор (и, според тоа, темноцрвениот вектор) е нумерички еднаква на ПЛОШТИНАТА на паралелограмот изграден на векторите. На сликата, овој паралелограм е засенчен во црно.

Забелешка : цртежот е шематски и, природно, номиналната должина на векторскиот производ не е еднаква на областа на паралелограмот.

Да се ​​потсетиме на една од геометриски формули: Површината на паралелограм е еднаква на производот на соседните страни и синусот на аголот меѓу нив. Според тоа, врз основа на горенаведеното, формулата за пресметување на ДОЛЖИНА на векторски производ е валидна:

Нагласувам дека формулата е за ДОЛЖИНАТА на векторот, а не за самиот вектор. Кое е практичното значење? А значењето е дека во проблемите на аналитичката геометрија, областа на паралелограм често се наоѓа преку концептот на векторски производ:

Да ја добиеме втората важна формула. Дијагоналата на паралелограмот (црвена точкаста линија) го дели на два еднаков триаголник. Затоа, областа на триаголник изграден на вектори (црвено засенчување) може да се најде со помош на формулата:

4) Подеднакво важен факт е дека векторот е ортогонален на векторите, т.е . Се разбира, спротивно насочениот вектор (стрелката од малина) е исто така ортогонален на оригиналните вектори.

5) Векторот е насочен така што основаТоа има правоориентација. Во лекцијата за транзиција кон нова основаЗборував доволно детално за ориентација на авион, и сега ќе откриеме што е ориентација во просторот. Ќе ти објаснам на прсти десна рака. Ментално комбинирајте показалецотсо вектор и среден прстсо вектор. Прстен прстен и малиот прстпритиснете го во вашата дланка. Како резултат палецот– векторскиот производ ќе погледне нагоре. Ова е основа ориентирана кон десно (ова е оваа на сликата). Сега сменете ги векторите ( показалецот и средниот прст) на некои места, како резултат на тоа палецот ќе се сврти, а векторскиот производ веќе ќе гледа надолу. Ова е исто така десно ориентирана основа. Можеби имате прашање: која основа ја има левата ориентација? „Доделете“ на истите прсти левата ракавектори, и добијте ја левата основа и левата ориентација на просторот (во овој случај, палецот ќе се наоѓа во насока на долниот вектор). Фигуративно кажано, овие основи се „извртуваат“ или го ориентираат просторот внатре различни страни. И овој концепт не треба да се смета за нешто пресилен или апстрактен - на пример, ориентацијата на просторот се менува со најобичното огледало, и ако го „извлечете рефлектираниот предмет од стаклото“, тогаш во општ случај тоа нема да може да се комбинира со „оригиналот“. Патем, држете три прста до огледалото и анализирајте го одразот ;-)

...колку е добро што сега знаеш десно и лево ориентираниоснови, затоа што изјавите на некои предавачи за промена на ориентацијата се страшни =)

Вкрстен производ на колинеарни вектори

Дефиницијата е детално дискутирана, останува да откриеме што се случува кога векторите се колинеарни. Ако векторите се колинеарни, тогаш тие можат да се постават на една права линија, а нашиот паралелограм исто така се „преклопува“ во една права линија. Областа на такви, како што велат математичарите, дегенерирапаралелограмот е еднаков на нула. Истото следи и од формулата - синусот нула или 180 степени е еднаков на нула, што значи дека површината е нула

Така, ако, тогаш И . Ве молиме имајте предвид дека самиот векторски производ е еднаков на нултиот вектор, но во пракса тоа често се занемарува и се пишува дека е исто така еднаков на нула.

Посебен случај– векторски производ на вектор со самиот себе:

Користејќи го вкрстениот производ, можете да ја проверите колинеарноста на тридимензионалните вектори и оваа задачамеѓу другото ќе анализираме и.

За решенија практични примериможе да се бара тригонометриска табелада се најдат вредностите на синусите од него.

Па, ајде да го запалиме огнот:

Пример 1

а) Најдете ја должината на векторскиот производ на вектори ако

б) Најдете ја плоштината на паралелограм изграден на вектори ако

Решение: Не, ова не е печатна грешка, првичните податоци во клаузулите намерно ги направив исти. Затоа што дизајнот на решенијата ќе биде различен!

а) Според условот, треба да најдете должинавектор (вкрстен производ). Според соодветната формула:

Одговори:

Ако ве прашаа за должина, тогаш во одговорот ја посочуваме димензијата - единици.

б) Според условот, треба да најдете квадратпаралелограм изграден на вектори. Површината на овој паралелограм е нумерички еднаква на должината на векторскиот производ:

Одговори:

Ве молиме имајте предвид дека одговорот воопшто не зборува за векторскиот производ; бевме прашани за тоа областа на фигурата, соодветно, димензијата е квадратни единици.

Секогаш гледаме ШТО треба да најдеме според условот и, врз основа на ова, формулираме јасноодговори. Можеби изгледа како буквално, но има многу буквалисти меѓу наставниците, а задачата има добри шанси да биде вратена на ревизија. Иако ова не е особено пресилен препирка - ако одговорот е неточен, тогаш се добива впечаток дека личноста не разбира едноставни работи и/или не ја разбрала суштината на задачата. Оваа точка мора секогаш да се држи под контрола при решавање на каков било проблем од вишата математика, но и од други предмети.

Каде отиде големата буква „ен“? Во принцип, можеше дополнително да се прикачи на решението, но за да го скратам записот, не го направив ова. Се надевам дека сите го разбираат тоа и е ознака за истото.

Популарен пример за независна одлука:

Пример 2

Најдете ја плоштината на триаголник изграден на вектори ако

Формулата за наоѓање на плоштината на триаголник преку векторскиот производ е дадена во коментарите на дефиницијата. Решението и одговорот се на крајот од лекцијата.

Во пракса, задачата е навистина многу честа; триаголниците генерално можат да ве измачуваат.

За да решиме други проблеми ќе ни требаат:

Својства на векторскиот производ на вектори

Веќе разгледавме некои својства на векторскиот производ, сепак, ќе ги вклучам во оваа листа.

За произволни вектори и произволен број, следниве својства се вистинити:

1) Во други извори на информации, оваа ставка обично не се истакнува во својствата, но е многу важна во практична смисла. Така нека биде.

2) – имотот е исто така дискутиран погоре, понекогаш се нарекува антикомутативност. Со други зборови, редоследот на векторите е важен.

3) – асоцијативен или асоцијативензакони за векторски производи. Константите може лесно да се преместат надвор од векторскиот производ. Навистина, што да прават таму?

4) – дистрибуција или дистрибутивензакони за векторски производи. Нема проблеми ниту со отворањето на заградите.

За да покажеме, да погледнеме краток пример:

Пример 3

Најдете дали

Решение:Состојбата повторно бара наоѓање на должината на векторскиот производ. Ајде да ја насликаме нашата минијатура:

(1) Според асоцијативните закони, константите ги земаме надвор од опсегот на векторскиот производ.

(2) Ја поместуваме константата надвор од модулот, а модулот го „јаде“ знакот минус. Должината не може да биде негативна.

(3) Останатото е јасно.

Одговори:

Време е да додадете повеќе дрва на огнот:

Пример 4

Пресметајте ја плоштината на триаголник изграден на вектори ако

Решение: Најдете ја плоштината на триаголникот со помош на формулата . Забелешката е што векторите „tse“ и „de“ самите се претставени како збирови на вектори. Алгоритмот овде е стандарден и донекаде потсетува на примерите бр. 3 и 4 од лекцијата Точка производ на вектори. За јасност, ќе го поделиме решението во три фази:

1) На првиот чекор, го изразуваме векторскиот производ преку векторскиот производ, всушност, ајде да изразиме вектор во однос на вектор. Сè уште нема информации за должината!

(1) Заменете ги изразите на векторите.

(2) Користејќи дистрибутивни закони, ги отвораме заградите според правилото за множење на полиномите.

(3) Користејќи асоцијативни закони, ги поместуваме сите константи надвор од векторските производи. Со мало искуство, чекорите 2 и 3 можат да се изведуваат истовремено.

(4) Првиот и последниот член се еднакви на нула (нула вектор) поради убавото својство. Во вториот член го користиме својството на антикомутативност на векторски производ:

(5) Ви претставуваме слични термини.

Како резултат на тоа, векторот се покажа дека е изразен преку вектор, што е она што се бараше да се постигне:

2) Во вториот чекор, ја наоѓаме должината на векторскиот производ што ни треба. Оваа акција е слична на Пример 3:

3) Најдете ја областа на потребниот триаголник:

Фазите 2-3 од решението можеа да бидат напишани во еден ред.

Одговори:

Разгледаниот проблем е доста чест кај тестови, еве пример за независно решение:

Пример 5

Најдете дали

Кратко решение и одговор на крајот од часот. Ајде да видиме колку бевте внимателни кога ги проучувавте претходните примери ;-)

Вкрстен производ на вектори во координати

, специфицирано на ортонормална основа, изразено со формулата:

Формулата е навистина едноставна: во горната линија на детерминантата ги запишуваме векторите на координатите, во втората и третата линија ги „ставуваме“ координатите на векторите и ставаме по строг редослед– прво координатите на векторот „ve“, потоа координатите на векторот „double-ve“. Ако векторите треба да се множат по различен редослед, тогаш редовите треба да се заменат:

Пример 10

Проверете дали следните вектори на просторот се колинеарни:
А)
б)

Решение: Проверката се заснова на една од тврдењата во оваа лекција: ако векторите се колинеарни, тогаш нивниот векторски производ е еднаков на нула (нула вектор): .

а) Најдете го векторскиот производ:

Така, векторите не се колинеарни.

б) Најдете го векторскиот производ:

Одговори: а) не колинеарно, б)

Тука, можеби, се сите основни информации за векторскиот производ на вектори.

Овој дел нема да биде многу голем, бидејќи има неколку проблеми каде што се користи мешаниот производ на вектори. Всушност, сè ќе зависи од дефиницијата, геометриско значењеи неколку работни формули.

Мешан производ на вектори е производ од три вектори:

Така тие се наредени како воз и едвај чекаат да бидат идентификувани.

Прво, повторно, дефиниција и слика:

Дефиниција: Мешана работа некомпланарнивектори, земени по овој редослед, повикан паралелепипеден волумен, изградени на овие вектори, опремени со знак „+“ ако основата е во право, и знак „–“ ако основата е лево.

Ајде да го направиме цртежот. Линиите невидливи за нас се нацртани со точки:

Ајде да се нурнеме во дефиницијата:

2) Се земаат вектори по одреден редослед, односно, преуредувањето на векторите во производот, како што може да претпоставите, не се случува без последици.

3) Пред да коментирам за геометриското значење, ќе забележам очигледен факт: мешаниот производ на вектори е БРОЈ: . Во образовната литература, дизајнот може да биде малку поинаков; јас сум навикнат да означувам мешан производ со , а резултатот од пресметките со буквата „пе“.

А-приоритет измешаниот производ е волуменот на паралелепипедот, изградена на вектори (фигурата е нацртана со црвени вектори и црни линии). Односно, бројот е еднаков на волуменот на даден паралелепипед.

Забелешка : Цртежот е шематски.

4) Да не се грижиме повторно за концептот на ориентација на основата и просторот. Значењето на последниот дел е дека може да се додаде знак минус на јачината на звукот. Со едноставни зборови, измешаниот производ може да биде негативен: .

Директно од дефиницијата следи формулата за пресметување на волуменот на паралелепипед изграден на вектори.

7.1. Дефиниција на вкрстен производ

Три некомпланарни вектори a, b и c, земени по наведениот редослед, формираат десна тројка ако, од крајот на третиот вектор c, се гледа најкраткото вртење од првиот вектор a кон вториот вектор b. да биде спротивно од стрелките на часовникот, и левак тројка ако е во насока на стрелките на часовникот (види Сл. 16).

Векторскиот производ на векторот a и векторот b се нарекува вектор c, кој:

1. Нормално на векторите a и b, т.е. c ^ a и c ^ б ;

2. Има должина нумерички еднаква на плоштината на паралелограм изграден на вектори a ибкако на страните (види Сл. 17), т.е.

3. Векторите a, b и c формираат десна тројка.

Вкрстениот производ се означува x b или [a,b]. Следниве односи помеѓу единечните вектори i директно произлегуваат од дефиницијата на векторскиот производ, јИ к(види Сл. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Да го докажеме, на пример, тоа i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, но | јас x j| = |i | |J | грев (90°)=1;

3) вектори i, j и кформирајте десна тројка (види Сл. 16).

7.2. Својства на вкрстен производ

1. При преуредување на факторите, векторскиот производ го менува знакот, т.е. и xb =(b xa) (види Сл. 19).

Векторите a xb и b xa се колинеарни, имаат исти модули (површината на паралелограмот останува непроменета), но се насочени спротивно (тројки a, b, a xb и a, b, b x a со спротивна ориентација). Тоа е axb = -(b xa).

2. Векторскиот производ има комбинирано својство во однос на скаларниот фактор, т.е. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Нека l >0. Векторот l (a xb) е нормален на векторите a и b. Вектор ( ла) x бе исто така нормална на векторите a и б(вектори a, лно лежи во иста рамнина). Тоа значи дека векторите л(a xb) и ( ла) x бколинеарна. Очигледно е дека нивните насоки се совпаѓаат. Имаат иста должина:

Затоа л(a xb)= л xb. На сличен начин се докажува и за л<0.

3. Два вектори не-нула a и бсе колинеарни ако и само ако нивниот векторски производ е еднаков на нултиот вектор, т.е. a ||b<=>и xb =0.

Особено, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторскиот производ има својство на дистрибуција:

(а+б) xc = a xc + б xs.

Ќе прифатиме без доказ.

7.3. Изразување на вкрстениот производ во однос на координати

Ќе ја користиме табела за вкрстени производи на вектори i, ји к:

ако насоката на најкратката патека од првиот вектор до вториот се совпаѓа со насоката на стрелката, тогаш производот е еднаков на третиот вектор; ако не се совпаѓа, третиот вектор се зема со знак минус.

Нека се дадени два вектори a =a x i +a y ј+a z ки b =b x јас+b y ј+b z к. Ајде да го најдеме векторскиот производ на овие вектори со множење како полиноми (според својствата на векторскиот производ):

Добиената формула може да се напише уште пократко:

бидејќи десната страна на еднаквоста (7.1) одговара на проширувањето на детерминантата од трет ред во однос на елементите од првиот ред Равенството (7.2) лесно се памети.

7.4. Некои апликации на крос производ

Воспоставување на колинеарност на вектори

Наоѓање на плоштина на паралелограм и триаголник

Според дефиницијата за векторски производ на вектори Аи б |а xb | =|а | * |b |sin g, т.е. S парови = |a x b |. И, според тоа, D S =1/2|a x b |.

Определување на моментот на сила околу точка

Нека се примени сила во точката А F = ABпушти го ЗА- некоја точка во просторот (види Сл. 20).

Од физиката е познато дека момент на сила Ф во однос на поентата ЗАнаречен вектор М,која минува низ точката ЗАИ:

1) нормално на рамнината што минува низ точките О, А, Б;

2) нумерички еднаков на производот на сила по рака

3) формира десна тројка со вектори OA и A B.

Затоа, M = OA x F.

Наоѓање на линеарна брзина на ротација

Брзина vточка М на круто тело кое ротира со аголна брзина wоколу фиксна оска, се определува со Ојлеровата формула v =w xr, каде што r =OM, каде што O е одредена фиксна точка на оската (види Сл. 21).