Калкулаторот ги решава интегралите со опис на акцијата во детали на руски и бесплатно!

Одлука за неизвесни интеграли

Тоа е онлајн услуга во еден чекор:

Решение на одредени интеграли

Тоа е онлајн услуга во еден чекор:

Внесете го упатството (функцијата за забава)
Внесете ја долната граница за интегралот
Внесете го горната граница за интегралот

Решение на двојни интеграли

Внесете го упатството (функцијата за забава)

Решение за интеграли на имунитет

Внесете го упатството (функцијата за забава)
Внесете ја горната област на интеграција (или + бесконечност)
Внесете ја долната површина на интеграција (или бесконечност)

Решение на трокреветни интеграли

Внесете го упатството (функцијата за забава)
Внесете ги долните и горните граници за првата област на интеграција
Внесете ја долната и горната граница за втората област за интеграција
Внесете ја долната и горната граница за третата област за интеграција

Оваа услуга ви овозможува да го проверите вашиот пресметки На точноста

Карактеристики

Поддршка за сите можни математички функции: синус, косинус, експонент, тангента, катанаентни, квадратни и кубни корен, степен, индикативен и други.
Постојат примери за влез, и за несигурни интеграли и за имунитет и сигурно.
Ги коригира грешките во изразите што ги управувавте и ги нуди своите опции за внесување.
Нумеричко решение за одредени и некомпатибилни интеграли (вклучувајќи двојни и трокреветни интеграли).
Поддршка за сложени броеви, како и разни параметри (можете да наведете во упатството не само со променливата на интеграција, туку и други параметри на варијабли)

Комплексни интеграли

Оваа статија го комплетира предметот на неизвесни интеграли, а во него се вклучени интегралите што ги разгледувам доста комплицирани. Лекцијата беше создадена на повторените барања на посетителите кои ги изразија желбите, така што потешките примери се демонтираат на страницата.

Се претпоставува дека читателот на овој текст е добро подготвен и знае како да ги примени главните техники на интеграција. Чајниците и луѓето кои не се многу сигурно се занимаваа со интегралци треба да бидат упатени до првата лекција - Неизвесен интеграл. Примери на решенијаКаде можете да ја совладате темата со речиси нула. Повеќе искусни ученици можат да се запознаат со техниките и методите на интеграција, кои во моите статии сè уште не се сретнаа.

Кои интеграли ќе бидат разгледани?

Прво, ние ќе ги разгледаме интегралите со корените, за да се реши кој постојано се користи замена на променливата и. интеграција во делови. Тоа е, во еден пример, се комбинираат два приеми. И уште повеќе.

Тогаш ќе се запознаеме со интересни и оригинални метод информации интеграл за себе. Овој метод е решен не толку малку интеграли.

Третиот број на програмата ќе одат интеграли од сложени фракции кои полетаа минати готовински регистри во претходните статии.

Четврто, дополнителни интеграли од тригонометриски функции ќе бидат расклопени. Особено, постојат методи кои ви дозволуваат да го избегнете одземањето време на универзална тригонометриска замена.

(2) Во функцијата интеграција, броителот на именителот.

(3) Користете ја линеарноста на неопределено интеграл. Во последниот составен дел веднаш измешајте ја функцијата под знакот на диференцијалот.

(4) Земете ги преостанатите интеграли. Ве молиме имајте предвид дека во логаритам можете да ги користите загради, а не модул, бидејќи.

(5) Имаме замена, изразувајќи од директна замена "ТЕ":

Мазохиските студенти можат да го индиференцираат одговорот и да ја добијат оригиналната интеграција како што правам. Не, не, јас ја исполнив верификацијата во вистинската смисла \u003d)

Како што можете да видите, за време на одлуката морав да користам дури и повеќе од две одлуки на решението, така што за репресалии со слични интеграли, ви требаат сигурни вештини за интеграција, а не за најмалото искуство.

Во пракса, се разбира, квадратниот корен е почест, тука се три примери за независно решение:

Пример 2.

Најдете неопределено интеграл

Пример 3.

Најдете неопределено интеграл

Пример 4.

Најдете неопределено интеграл

Овие примери од ист тип, така што целото решение на крајот на статијата ќе биде само на пример 2, во примерите 3-4 - еден одговор. Која замена да се примени на почетокот на одлуките, очигледно мислам. Зошто ги земав истиот тип на примери? Често се наоѓаат во вашата улога. Почесто, можеби, само нешто како .

Но, не секогаш, кога под Arctgennes, синус, косинус, експоненцијален, итн карактеристики се коренот на линеарна функција, треба да се применат неколку методи. Во некои случаи, можно е да се "ослободиме", односно веднаш по замена, се добива едноставен составен дел, кој е елементарно. Најлесно од предложените задачи е пример 4, во неа по замена Излегува релативно едноставна интегрална.

Метод информации интеграл за себе

Духовит и убав метод. Веднаш размислете за класиците на жанрот:

Пример 5.

Најдете неопределено интеграл

Под коренот постои квадратен biccoon, и кога се обидува да го интегрира овој пример, котел може да страда со часови. Таквиот составен дел се зема во делови и се сведува на себе. Во принцип, тоа не е тешко. Ако знаете како.

Означува со разгледан интеграл на латинската буква и започнете со растворот:

Ние се интегрираме во делови:

(1) Подготвиме функција за замена за поделбата на почвата.

(2) ја делиме функцијата за замена. Можеби не на сите јасно, јас ќе пишувам подетално:

(3) Користете ја линеарноста на неопределено интеграл.

(4) Земете го последниот составен ("долг" логаритам).

Сега гледаме на самиот почеток на одлуката:

И на крајот:

Што се случи? Како резултат на нашите манипулации, составот го имаше самиот!

Ние го изедначуваме почетокот и завршуваме:

Ние пренесуваме на левата страна со промена на знакот:

И демо демолаза на десната страна. Како резултат:

Постојаната, строго кажано, мораше да се додаде порано, но на крајот му се припише. Силно препорачувам да го прочитате она што е тука за строгост:

Забелешка: Попречна последна фаза од решението изгледа вака:

На овој начин:

Постојаната може повторно да се користи. Зошто можеш да преиздаваш? Бидејќи сеуште е потребно било кој Вредности, а во оваа смисла помеѓу константи и не постои разлика.
Како резултат:

Таков трик со повторна константа е широко користен диференцијални равенки. И таму ќе бидам строг. И тука таква слобода е дозволена од мене само за да не се збуни со излишни работи и да се фокусира на самиот метод на интеграција.

Пример 6.

Најдете неопределено интеграл

Уште еден типичен составен дел за самооценување. Целосно решение и одговор на крајот на лекцијата. Разликата со одговорот на претходниот пример ќе биде!

Ако квадратниот корен е квадратен тројно, тогаш решението во секој случај е сведено на два примери од расклопување.

На пример, разгледајте го составот . Сè што треба да направите е пред- изберете целосен квадрат:
.
Следно, се врши линеарна замена, која чини "без никакви последици":
Како резултат на тоа, се добива интеграл. Нешто познато, нели?

Или таков пример, со квадратни одбиени:
Ние истакнуваме целосен квадрат:
И, по линеарна замена, добиваме составен, кој исто така е решен од страна на алгоритмот што веќе се разгледува.

Размислете за уште два типични примери за приемот на информации интеграл за себе:
- интеграл од изложбито множи со синус;
- Интеграл од излагањето множи со косинус.

Во наведените интеграли во делови ќе мора да бидат интегрирани двапати:

Пример 7.

Најдете неопределено интеграл

Функцијата на интеграктура е изложувач помножен со синус.

Ние двапати се интегрираме во делови и донесуваме интеграл за себе:

Како резултат на двонасочна интеграција во делови, интегралот добил за себе. Ние ги изедначуваме почетните и крајните решенија:

Ние пренесуваме на левата страна со промена на знакот и изразуваме наша интегрална:

Подготвен. Исто така, пожелно е да се бори против десната страна, т.е. Да се \u200b\u200bнаправи експонент за загради, и во загради за да се постават синус со косинус во "прекрасниот" цел.

Сега да се вратиме на почетокот на примерот, или поточно - за интеграција во делови:

Зашто го назначивме изложувачот. Се поставува прашањето, секогаш е неопходно да се однесува на изложувачот? Не е потребно. Всушност, во испитаниот интеграл принцип нема разликаШто да се однесува, беше можно да се оди на друг начин:

Зошто е можно? Бидејќи изложувачот се претвора во себе (и за време на диференцијацијата, и за време на интеграцијата), синусот со косинус се внесува меѓусебно (повторно - и за време на диференцијацијата и за време на интеграцијата).

Тоа е, тригонометриската функција може да се означи. Но, во испитаниот пример, тоа е помалку рационално, бидејќи фракциите ќе се појават. Ако сакате, можете да се обидете да го решите овој пример на вториот начин, одговорите мора да се совпаднат.

Пример 8.

Најдете неопределено интеграл

Ова е пример за независно решение. Пред да одлучите, размислете за тоа е попрофитабилно во овој случај за назначување, експонентна или тригонометриска функција? Целосно решение и одговор на крајот на лекцијата.

И, се разбира, не заборавајте дека повеќето од одговорите на оваа лекција се прилично лесно да се провери диференцијацијата!

Примерите не се сметаа за најтешки. Во пракса, почесто се наоѓаат интегралите, каде што постои константа во експонентниот индикатор и во аргументот на тригонометриска функција, на пример:. Мислев дека во сличен составен дел ќе мора да направи многу, често ме збунуваат. Факт е дека во решавањето на веројатноста за појава на фракции, и е многу едноставно нешто интензивно да се изгуби. Покрај тоа, веројатноста за грешки во знаци е одлична, ве молиме забележете дека во показателот на експоненти постои минус знак, а тоа прави дополнителна тешкотија.

Во завршната фаза, често се добива приближно следното:

Дури и на крајот од одлуката треба да биде исклучително внимателен и компетентно да се справи со фракции:

Интегрирање на сложени фракции

Полека стигнуваме до екваторот за лекција и почнете да ги разгледувате интегралите од фракции. Повторно, не сите од нив се супервит, само од една причина или друг пример беа малку "не на тема" во другите статии.

Продолжуваме темата на корените

Пример 9.

Најдете неопределено интеграл

Во именителот, под коренот има квадратни три-застати плус надвор од коренот "Подобрување" во форма на "ИКСА". Интегралот на овој тип е решен со стандардна замена.

Ние одлучуваме:

Замена тука е едноставна:

Го гледаме животот по замена:

(1) По замена, ние им даваме на вкупните термини за деноминатор под коренот.
(2) Ние издржуваме од коренот.
(3) Бременик и деноминатор Намалување на. Во исто време, под коренот, ги пренасочив компонентите во удобен ред. Со одреден експеримент, чекори (1), (2) може да се прескокнат со изведување на коментирани дејства усно.
(4) резултираат интеграл, како што се сеќавате од лекцијата Интегрирање на некои фракции, одлучува начин на распределба на целосен квадрат. Изберете целосен квадрат.
(5) Интеграција Ние добиваме најголем "долг" логаритам.
(6) спроведува замена. Ако првично, тогаш назад :.
(7) Конечната акција е насочена кон фризурата на резултатот: под коренот, повторно ги донесуваат компонентите на вкупниот именител и издржи од коренот.

Пример 10.

Најдете неопределено интеграл

Ова е пример за независно решение. Тука константата е додадена на осамената "ICSU", а замена е речиси иста:

Единственото нешто што треба дополнително да го направите е експрес "X" од замена:

Целосно решение и одговор на крајот на лекцијата.

Понекогаш во таков составен дел под коренот може да има квадратни bicker, тоа не го менува решението за решавање, тоа ќе биде уште полесно. Почувствувајте ја разликата:

Пример 11.

Најдете неопределено интеграл

Пример 12.

Најдете неопределено интеграл

Кратки одлуки и одговори на крајот на лекцијата. Треба да се напомене дека примерот 11 е точно биномски интеграл, чија одлука беше разгледана во лекцијата Интегли од ирационални функции.

Интеграл од непрокомулиран полином на вториот степен до степен до степен

(Полином во именителот)

Поретки, но, сепак, во практични примери, поглед на интегралот.

Пример 13.

Најдете неопределено интеграл

Но, ајде да се вратиме на пример со среќен број 13 (искрено, не се вклопуваше). Овој составен дел е исто така од категоријата на оние со кои можете да бидете доволно прилично ако не знаете како да ги решите.

Одлуката започнува со вештачка трансформација:

Како да се подели броителот на именителот, мислам дека сè е разбрано.

Како резултат на интеграл се зема во делови:

За приказ интегрален (- природен број) отстранети рекурентен Формула за намалување на степенот:
каде - интегрален степен понизок.

Јас ќе бидам убеден во правдата на оваа формула за пророените интеграл.
Во овој случај,:, ние ја користиме формулата:

Како што можете да видите, одговорите се совпаѓаат.

Пример 14.

Најдете неопределено интеграл

Ова е пример за независно решение. Во примерокот на решението, горенаведената формула беше двапати.

Ако е под степенот се наоѓа независно на мултипликатори Квадратни три пати, тогаш решението се сведува на нагласено со нагласување на комплетен плоштад, на пример:

Што ако сте дополнително во броителот, постои полином? Во овој случај се користи методот на неопределени коефициенти, а интегрираната функција е опишана во износот на фракции. Но, во мојата практика на таков пример Јас не се сретнав, па го пропуштив овој случај во статијата Интегли од фракционална рационална функцијаМи недостига и сега. Ако таков интегрален сеуште се сретнува, видете го учебникот - сè е едноставно таму. Јас не го сметам за целисходно да го вклучи материјалот (дури и едноставно), веројатноста за средба со која таа се стреми кон нула.

Интеграција на сложени тригонометриски функции

Комплексот "комплекс" за повеќето примери е во многу начини условно. Да почнеме со тангенти и kotangenes во високи степени. Од аспект на методите за решавање на тангента и Котангент, речиси истото, па јас ќе зборувам повеќе за тангента, што значи дека демонстрираниот прием на решение на интегралот е фер и за котангент.

На горенаведената лекција, ние сметавме универзална тригонометриска замена За решавање на специфичен тип на интеграли од тригонометриски функции. Недостатокот на универзална тригонометриска замена е дека кога се користи, гломазните интеграли со тешки пресметки често се појавуваат. И во некои случаи на универзална тригонометриска замена може да се избегне!

Размислете за друг канонски пример, составот од единицата поделена на синус:

Пример 17.

Најдете неопределено интеграл

Овде можете да користите универзална тригонометриска замена и да добиете одговор, но постои порационален пат. Јас ќе дадам комплетно решение со коментари за секој чекор:

(1) Користете тригонометриска формула на двојниот агол на синус.
(2) Ние извршуваме вештачка трансформација: во именителот се делиме и се размножуваме.
(3) Според познатата формула во именителот, ние ја претвораме фракцијата во тангентата.
(4) измешајте ја функцијата под знакот на диференцијалот.
(5) Земете интеграл.

Неколку едноставни примери за независно решение:

Пример 18.

Најдете неопределено интеграл

Забелешка: Најнапредната акција треба да се користи со формулата И внимателно спроведете слично на претходниот пример за акција.

Пример 19.

Најдете неопределено интеграл

Па, ова е многу едноставен пример.

Целосни решенија и одговори на крајот на лекцијата.

Мислам дека сега никој нема проблеми со интегралците:
итн.

Која е идејата за методот? Идејата е дека со помош на трансформации, тригонометриски формули за организирање во интегрален само тангенти и тангентен дериват. Тоа е, тоа е за замена: . При примери 17-19, всушност ја применивме оваа замена, но интегралите беа толку едноставни што чини еден еквивалентен ефект - да ја сумира функцијата под знакот на диференцијалот.

Слични аргументи, како што веќе сум предвиден, можете да потрошите за котангент.

Постои формален предуслов за користење на горенаведената замена:

Збирот на степените на косинус и синус е целиот негативен број, на пример:

за интеграл - целиот негативен број.

! Забелешка : Ако функцијата на интегранство содржи само синус или само косинус, тогаш интегралот се зема со негативен непарен степен (наједноставните случаи во примери бр. 11, 18).

Размислете за неколку информативни задачи за ова правило:

Пример 20.

Најдете неопределено интеграл

Збирот на степените на синус и косинус: 2 - 6 \u003d -4 е целиот негативен број, што значи дека интегралот може да се сведе на тангентите и нејзиниот дериват:

(1) го трансформираме деноминаторот.
(2) Според познатата формула, добиваме.
(3) го трансформираме именителот.
(4) ја користиме формулата .
(5) Предавање на функцијата под знакот на диференцијалот.
(6) Ние го заменуваме. Повеќе искусни студенти не можат да бидат заменети, но сепак е подобро да се замени тангентата со една буква - помалку ризик е збунет.

Пример 21.

Најдете неопределено интеграл

Ова е пример за независно решение.

Започнуваат кругови на шампионите \u003d)

Често во функцијата на интеграција е "Солјанка":

Пример 22.

Најдете неопределено интеграл

Во овој составен дел, тангентата првично е присутна, која веднаш се стреми кон веќе познатата мисла:

Вештачка трансформација на самиот почеток и останува преостанатите чекори без коментар, бидејќи сè беше споменато погоре.

Пар креативни примери за независно решение:

Пример 23.

Најдете неопределено интеграл

Пример 24.

Најдете неопределено интеграл

Да, во нив, се разбира, можно е да се намали степенот на синус, косинус, да се користи универзална тригонометриска замена, но одлуката ќе биде многу поефикасна и пократка ако се врши преку тангентите. Целосно решение и одговори на крајот на лекцијата

Најдете неопределен состав (многу примарни или "анти-деривативни") значи враќање на функцијата според познат дериват на оваа функција. Реставрирана мултификација Ф.(x.) + Од За функција ф.(x.) ја зема предвид интегративната константа В.. Со брзината на движење на материјалната точка (дериватив), може да се врати законот за движење на оваа точка (примитивна); Со забрзување на движењето на точката - неговата брзина и законот на движење. Како што може да се види, интеграцијата е широко поле за активностите на Шерлок Холмс од физиката. Да, и во економијата, многу концепти се претставени преку функциите и нивните деривати и затоа, на пример, можно е да се врати волуменот на производот во одредена точка во времето (деривативни) за да се врати количината на производи издадени во соодветно време .

За да се најде неопределено интеграл, потребен е прилично мал број на основни формула за интеграција. Но, процесот на неговата локација е многу потежок од примената на овие формули. Целата сложеност не се однесува на интеграција, туку да го доведе интегрираниот израз на овој вид што овозможува да се најде неопределено интегрално на горенаведените формули споменати погоре. Ова значи дека со цел да се започне со интеграција практиката, треба да го активирате вештините за конверзија на изразување добиени во средно училиште.

Научете како да најдете интеграли што ќе ги користиме својства и табела на несигурни интеграли Од лекцијата за основните концепти на оваа тема (се отвора во нов прозорец).

Постојат неколку методи за изнаоѓање на интеграл, од кои начин на замена на променливата и. метод на интеграција во делови - Задолжителниот господин на сите кои успешно ја поминале највисоката математика. Меѓутоа, за да започне совладување на интеграцијата е покорисна и попријатна со употребата на метод на распаѓање врз основа на следните два теореми на својствата на неопределено интеграл, кои се за леснотија на референца.

Теорема 3.Постојан мултипликатор во интегралниот дел може да се направи за знак на неопределено интеграл, т.е.

Теорема 4.Неопределен состав на алгебарскиот износ на конечниот број на функции е еднаков на алгебарската сума на неопределените интеграли на овие функции, односно.

(2)

Покрај тоа, следново може да биде корисно во интеграцијата: ако изразот на интегралната функција содржи постојан мултипликатор, тогаш изразот на примитивниот е доминиран од бројот, го пренасочи постојаниот фактор, односно

(3)

Бидејќи оваа лекција е воведена во решавање на целите на интеграцијата, важно е да се забележат две работи кои или веќе во првичната фаза, или малку подоцна може да ве изненади. Изненадување поради фактот дека интеграцијата - инверзната операција за диференцијација и неизвесна интегрална може да се нарече "анти-дериватива".

Првото нешто што не треба да биде изненадено од интеграцијата. Во интегралната табела постојат формули кои немаат аналози меѓу формулите на деривативната табела . Ова се следните формули:

Сепак, можно е да бидете сигурни дека дериватите на изразите во вистинските делови на овие формули се совпаѓаат со соодветните интегрирани функции.

Втората работа што не треба да биде изненадена од интеграцијата. Иако дериватот на било која елементарна функција е исто така елементарна функција, недефинираните интеграли од некои елементарни функции веќе не се елементарни функции. . Примери за такви интеграли може да бидат следниве:

За развој на техники за интеграција, ќе се користат следниве вештини: намалување на фракциите, поделба на полиномот во фракциониот броил на едно крило во именителот (за да се добие износот на неопределени интеграли), конверзија на корените до степен , множењето е необјавено на полином, истребување. Овие вештини се потребни за трансформација на интегранството, како резултат на што треба да се добие износот на интегралите присутни во составната табела.

Ние наоѓаме неопределени интеграли заедно

Пример 1.Најдете неизвесно интеграл

Одлука. Гледаме во именителот на интегралниот израз на полиномот во кој X е на плоштадот. Ова е речиси верен знак дека можете да примените табела интеграл 21 (со арктангент како резултат). Ние извршуваме двапати множител од именителот (постои сопственост на интегралот - постојан мултипликатор може да се извади од интегралниот знак, над него беше споменато како Теорема 3). Резултат на сето ова:

Сега во именителот збирот на плоштадите, што значи дека можеме да го примениме споменатиот табеларен интеграл. Конечно го добиете одговорот:

Пример 2.Најдете неизвесно интеграл

Одлука. Ние повторно го применуваме теорема 3 - имотот на составот, врз основа на кои може да се направи постојан мултипликатор за интегралниот знак:

Ние ја користиме формулата 7 од интегралната табела (променлива до степен) на функцијата Интегенд:

Ние ги намалуваме добиените фракции и пред нас крајниот одговор:

Пример 3.Најдете неизвесно интеграл

Одлука. Користење на првиот теорема 4, а потоа теорема 3 на својства, ние ќе го најдеме овој составен дел како збир од три интеграли:

Сите три интегрални добиени - табеларни. Ние користиме формула (7) од интегралната маса на н. = 1/2, н. \u003d 2 I. н. \u003d 1/5, а потоа

ги комбинира сите три произволни константи кои беа воведени кога се наоѓаат три интеграли. Затоа, во слични ситуации треба да се администрира само една произволна постојана (постојана) интеграција.

Пример 4.Најдете неизвесно интеграл

Одлука. Кога во именител на интегрираната фракција - unrochene, можеме да го минимизираме броителот на именителот. Првичниот составен дел стана два интеграли:

За да нанесете составен дел на табелата, ги трансформираме корените до степенот и сега конечниот одговор е:

Ние продолжуваме да наоѓаме неопределени интеграли заедно

Пример 7.Најдете неизвесно интеграл

Одлука. Ако ја трансформираме реактивната функција, подигнувајќи извиткани на квадрат и поделба на броителот на именителот, првичната интегрална ќе стане збир од три интеграли.

Да почнеме да ја учиме темата " Неопределено интеграл, како и детално опишете примери на решенија на наједноставните (и не многу) интеграли. Како и обично, ние сме ограничени на минимална теорија која е во бројни учебници, нашата задача е да научиме да ги решиме интегралите.

Што треба да знаете за успешно го совладате материјалот? Со цел да се справи со интегралниот калкулус, треба да бидете во можност да најдете деривати, барем просечно ниво. Со не повеќе од искуство, ако имате неколку десетици, и подобро - сто независно пронајдени деривати. Во исто време, не треба да се ставите во ќор-сокак на задачата за диференцијација на наједноставните и најчестите функции.

Се чини, каде се дериватите воопшто, ако статијата ќе оди на интегралци?! И тоа е она што. Факт е дека наоѓањето на деривати и наоѓање неизвесни интеграли (диференцијација и интеграција) се две меѓусебно обратно дејство, како што се, на пример, додавање / одземање или множење / поделба. Така, без вештина и секое искуство за наоѓање на деривати, за жал, не се движи понатаму.

Во овој поглед, ние треба следниве методолошки материјали: Табеларни дериватии. Интегли на табелата.

Која е тешкотијата за учење на несигурни интеграли? Ако постојат строго 5 правила за диференцијација, табела на деривати и прилично јасен алгоритам на акции, тогаш во интегралите, сè друго. Постојат десетици начини и техники на интеграција. И ако методот на интеграција првично е подигнат неправилно (т.е., не знаете како да се реши), тогаш составот може да биде "измамник" буквално со денови како вистински Ребус, обидувајќи се да ги извести различните техники и трикови. Некои дури и како.

Патем, честопати мораше да слушнеме од учениците (не хуманитарни специјалитети).. Стоп. Стоп за црниот хумор, одете на овие најизвесни интеграли.

Од начинот на кој постојат многу начини за решавање, тогаш зошто да почне да учени несигурни интеграли на чајник? Во интегралниот калкулус, според наше мислење, три столбови или еден вид "оска", околу кои сè друго ротира. Прво на сите, тоа треба да биде добро се бара во наједноставните интеграли (овој напис).

Потоа треба детално да работите лекцијата. Ова е најважната техника! Можеби дури и најважниот напис од сите статии за интегралите. И, трето, ќе биде потребно да се запознаете со интегрирање во деловиБидејќи е интегриран со широка класа на функции. Ако ги совладате најмалку овие три лекции, тогаш "не два". Можете да "прости" незнаење интегли од тригонометриски функции, интеграли од фракции, интегли од фракциони рационални функции, интегли од ирационални функции (корени), Но ако "седнете во локва" на методот за замена или метод на интеграција во делови - тогаш тоа ќе биде многу и многу лошо.

Значи, започнете со едноставен. Ајде да погледнеме во составната маса. Како и во дериватите, забележуваме неколку правила за интеграција и интегрална табела од некои елементарни функции. Секој табеларен интеграл (и навистина било неопределен интеграл е:

Веднаш ги разбираат симболите и условите:

- Интегрална икона.

- функцијата на интеграција (напишана со буквата "S").

- Диференцијална икона. Што е тоа, ние ќе погледнеме многу наскоро. Главната работа е дека при снимањето на интеграл и, за време на решението, важно е да не ја изгубите оваа икона. Ќе бидат забележливи дефекти.

- Инхибиторно изразување или "полнење" на интегралот.

– печатењефункција.

– . Вие не треба да бидете многу натоварени со термини, тука е најважното нешто што постои константа во секој неизвесен интеграл за да одговори на одговорот.

Решавање на неопределено интеграл - тоа значи да се најде Многу од примитивните функцииод овој интегрален

Да го погледнеме рекордот:

Ајде да погледнеме во составната маса.

Што се случува? Леви делови со нас вклучина други функции :.

Ние ја поедноставуваме нашата дефиниција:

Решавање на неопределено интеграл - тоа значи да го претворите на неопределено (со точност до постојана) функција , користејќи некои правила, техники и табела.

Земете, на пример, табеларен интеграл . Што се случи? Симболичкото снимање стана многу примитивни функции.

Како и во случај на деривати, со цел да научат како да се најдат интегралци, не е неопходно да се биде свесен за тоа што е интегрална, или примитивна функција од теоретска гледна точка. Доволно е едноставно да се трансформира во некои формални правила. Значи, во случај на Не е неопходно да се разбере зошто интегралот се врти токму во. Можете да ги искористите и другите формули како дадени. Секој користи електрична енергија, но малкумина размислуваат дали електроните работат на жици.

Од диференцијација и интеграција - спротивни операции, тогаш за било примитивна, која се наоѓа да се најде, следното е точно:

Со други зборови, ако индиференцирате точен одговор мора да се добие првичната интегрирана функција.

Ајде да се вратиме на истиот табеларен интеграл .

Ние ќе бидеме убедени во правдата на оваа формула. Земете добиени од десната страна:

- Ова е почетниот интегриран.

Значи, патем, стана појасно зошто константата секогаш се припишува на функцијата. Кога диференцирањето на постојана секогаш се претвора во нула.

Решавање на неопределено интеграл- тоа значи да се најде многу ситепрезен, а не некоја единствена функција. Во овој табеларен пример ,, и така натаму. - Сите овие функции се решение на интегралот. Решенијата се бесконечно многу, па пишуваат кратко:

Така, секој неопределен интеграл е лесен за проверка. Ова е некој компензација за голем број на интеграли од различни видови.

Ние се свртиме кон разгледување на конкретни примери. Да почнеме, како и во учењето на деривати, со две правила за интеграција:

- Констанца В. Можете (и ви треба) за да направите интегрален знак.

- Интегралот на сумата (разликата) на две функции е еднаков на износот (разликата) на двата интеграли. Ова правило важи за било кој број на компоненти.

Како што можете да видите, правилата, во принцип, се исти како и за деривати. Понекогаш тие се нарекуваат својства на линеарностинтегрален.

Пример 1.

Најдете неопределено интеграл.

Изведување на проверка.

Одлука: Погодно е да се конвертира како.

(1) Примени го правилото . Заборавете да снимате диференцијална икона dx. Под секој составен дел. Зошто под секој? dx.- Ова е комплетен мултипликатор. Ако ги насликате детално, тогаш првиот чекор треба да биде снимен вака:

(2) според правилото Ние ги издржуваме сите константи за знаците на интеграли. Забележете дека во последниот мандат тГ.5 е константа, исто така, го зема.

Покрај тоа, во овој чекор, ние подготвуваме корени и степени за интеграција. На ист начин, како во диференцијација, корените мора да бидат претставени како . Корени и степени кои се наоѓаат во именителот - Трансфер нагоре.

Забелешка: За разлика од дериватите, корените во интегриран не секогаш доведуваат до умот , и степен да се спроведе.

На пример, - Ова е подготвен табеларен интеграл кој веќе ви размислува, и сите видови кинески трикови како апсолутно не е потребно. Слично на тоа: - Ова е исто така табеларен интеграл, не постои точка во презентирање на дел во форма . Внимателно научете ја табелата!

(3) Сите интеграли имаат табели. Ние ја извршуваме трансформацијата со користење на табела со користење на формули: , I.

за функцијата за енергија - .

Треба да се напомене дека табелата составен дел е посебен случај на формула за функција функција: .

КонстанцаВ. доволно за да додадете еднаш на крајот од изразот

(и не ги става по секој составен дел).

(4) напишете го резултатот добиен во покомпактна форма кога сите степени од типот

ние повторно претставуваат во форма на корени и степени со ресетирање на негативни индикатори назад кон именителот.

Проверете. Со цел да се провери проверката, треба директно да сте го добиениот резултат:

Доби извор интенернд, I.E. Интеграл се најде правилно. Од она што беше танцувано, на тоа и се врати. Па, кога една приказна со интегрален завршува токму на тој начин.

Од време на време има малку поинаков пристап за проверка на неопределено интегрално кога одговорот не е изведен, туку диференцијал:

Како резултат на тоа, ние не добиваме реактивна функција, туку скучен израз.

Не плашете се од концептот на диференцијал.

Диференцијал е дериватиран умно dx..

Сепак, ние не сме важни теоретски суптилностите, но фактот дека со овој диференцијал понатаму да се направи. Диференцијалот е откриен на следниов начин: Икона д. ние отстрануваме, веднаш над заградата, го ставаме баркодот, на крајот од изразот што го припишуваме мултипликаторот dx. :

Добиени оригинал инхибиторно изразувањеТоа е, интегралот се наоѓа правилно.

Како што можете да видите, диференцијалот се сведува на наоѓање на дериватот. Ми се допаѓа вториот начин да проверам помалку, бидејќи мора дополнително да нацртате големи загради и повлечете ја иконата на диференцијалната икона Dx. до крајот на проверката. Иако е точна, или "цврста", или нешто слично.

Всушност, можно е да се научи за вториот начин за проверка. Поентата не е на патот, туку во фактот што научивме да го откриеме диференцијалот. Повторно.

Диференцијалот е откриен на следниов начин:

1) икона д. Ние отстрануваме;

2) на десно над заградата, го ставаме баркодот (деривант на ознака);

3) На крајот од изразот го припишуваме мултипликаторот dx. .

На пример:

Запамети го. Сметаниот прием ќе ни биде потребен наскоро.

Пример 2.

Кога ќе најдеме неопределено интеграл, ние секогаш се обидуваме да проверимеПокрај тоа, постои одлична можност за ова. Не сите видови на задачи во Висока математика се подарок од оваа гледна точка. Не е важно дека често не е потребно во контролните задачи за проверка, никој, и ништо нема да троши на нацртот. Исклучок може да се направи само кога нема доволно време (на пример, на пласман, испит). Лично, јас секогаш ги проверувам интегралите, и сметам дека недостатокот на проверка од страна на Халтурој и слабо извршена задача.

Пример 3.

Најдете неопределено интеграл:

. Изведување на проверка.

Решение: Анализирање на интеграл, гледаме дека имаме работа на две функции под интеграл, па дури и изградбата на целиот израз. За жал, на полето на интегрална битка не Добро и удобно формула за интегрирање на работата и приватниот Како: или .

Затоа, кога работата е дадена или приватна, секогаш има смисла да се погледне, и дали е невозможно да се конвертира реактивна функција во износот? Примерот што се разгледува е случај кога можеш.

Прво даваме комплетно решение, коментарите ќе бидат пониски.

Доби извор интенерндЗначи, составот се наоѓа правилно.

За време на тестот, функцијата е секогаш по можност "спакувана" на почетниот вид, што води, во овој случај, за загради и примена на формулата за скратена мултипликација во спротивна насока :.

Пример 4.

Најдете неопределено интеграл

Изведување на проверка.

Ова е пример за решенија. Одговорот и целосна одлука на крајот на лекцијата.

Пример 5.

Најдете неопределено интеграл

. Изведување на проверка.

Во овој пример, интегралниот е дел. Кога гледаме во оригиналниот израз, прашањето за првата идеја треба да биде прашање: "Дали е можно да се ослободи од оваа фракција, или барем да го поедностави?".

Ние забележуваме дека во именителот постои осамен корен од "X". Едно во полето не е воин, тоа значи дека можете да го поделите броителот на именителот:

Ние не коментираме за фракциони степени со фракциони степени, бидејќи тие постојано разговараа во статии за деривативната функција.

Ако сеуште ставете во ќорсокак, како што е

и во никој случај го извади точниот одговор,

Исто така, забележете дека решението помина еден чекор, имено, примената на правилата , . Обично, со одредено искуство за решавање на интегралите, овие правила се сметаат за очигледен факт и не се во детали.

Пример 6.

Најдете неопределено интеграл. Изведување на проверка.

Ова е пример за решенија. Одговорот и целосна одлука на крајот на лекцијата.

Во принцип, со фракции во интеграли, не е сè толку едноставно, може да се најде дополнителен материјал за интеграција на фракции на некои видови во статијата: Интегрирање на некои фракции. Но, пред да продолжите со горенаведената статија, треба да се запознаете со лекцијата: Метод на замена на неопределено интеграл. Факт е дека поврзувањето на функцијата под диференцијал или метод на замена на променливата е клучен моментво проучувањето на темата, бидејќи се наоѓа не само "во чисти задачи за методот за замена", туку и во многу други сорти на интеграли.

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение:

Пример 4: Решение:

Во овој пример, ја користевме формулата за скратена мултипликација

Пример 6: Решение:

Функција f (x), се нарекува димензија во овој јаз совршен за функцијата F (x), или со интеграл од f (x), ако за било кој x ∈x, еднаквоста е вистина:

F "(x) \u003d f (x). (8.1)

Наоѓање на сите основни за оваа функција се нарекува интеграција. Неизвесна интегрална функцијаf (x) на овој јаз се нарекува збир на сите примитивни функции за функцијата f (x); Ознака -

Ако f (x) е некој вид на функционална функција f (x), тогаш ∫ f (x) dx \u003d f (x) + c, (8.2)

каде што има произволна константа.

Интегли на табелата

Директно од дефиницијата ги добиваме основните својства на неизвесна интегрална и листа на табеларни интеграли:

1) d∫f (x) dx \u003d f (x)

2) ∫df (x) \u003d f (x) + c

3) ∫af (x) dx \u003d a∫f (x) dx (a \u003d const)

4) ∫ (f (x) + g (x)) dx \u003d ∫f (x) dx + ∫g (x) dx

Листа на табеларни интеграли

1. ∫x m dx \u003d x m + 1 / (m + 1) + c; (m ≠ -1)

3.∫a x dx \u003d a x / ln a + c (a\u003e 0, a ≠ 1)

4.∫e x dx \u003d e x + c

5.∫sin x dx \u003d cosx + c

6.∫cos x dx \u003d - Sin x + c

7. \u003d ARCTG X + C

8. \u003d ARCSIN X + C

10. \u003d - CTG X + C

Замена на променливата

За интеграција на многу функции, начинот на замена на променлива или заменитеовозможувајќи им на интегралите во табеларната форма.

Ако функцијата f (z) е континуирана до [α, β], функцијата z \u003d g (x) има континуиран деривативен и α α g (x) ≤ β, тогаш

∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫f (z) dz, (8.3)

покрај тоа, по интеграцијата, замена Z \u003d G (x) треба да се направи во десниот дел.

За да докажете, доволно е да го напишете изворот составен дел во форма:

∫ f (g (x)) g "(x) dx \u003d ∫ f (g (x)) dg (x).

На пример:

Метод на интеграција во делови

Нека u \u003d f (x) и v \u003d g (x) да бидат функции кои се континуирани. Потоа, со работа,

d (UV)) \u003d UDV + VDU или UDV \u003d D (UV) - VDU.

За изразот D (УВ), првиот, очигледно, ќе биде УВ, па формулата е:

∫ UDV \u003d UV - ∫ VDU (8.4.)

Оваа формула го изразува правилото интеграција во делови. Тоа резултира со интеграција на изразот UDV \u003d УВ "DX за интегрирање на изразот VDU \u003d VU" DX.

Дозволете, на пример, треба да најдете ∫xcosx dx. Ставете U \u003d x, dv \u003d cosxdx, така што du \u003d dx, v \u003d sinx. Тогаш

∫xCOSXDX \u003d ∫X D (SIN X) \u003d x SIN X - ∫sin x dx \u003d x Sew x + cosx + c.

Правилото за интеграција во делови има поограничен обем од замена на променливата. Но, постојат цели класи на интеграли, на пример,

∫x K ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax и други кои се пресметуваат со користење на интеграција во делови.

Одредени интеграл

Концептот на специфичен интеграл е подобрен на следниов начин. Нека функцијата F (x) дефинира за сегментот. Ние го скршиме сегментот [a, b] на н. делови точки a \u003d x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i \u003d x i - x i-1. Збирот на формата f (ξ i) δ x се нарекува интегрална сума, и нејзината граница во λ \u003d maxδx i → 0, ако постои и е конечна, повикана Одредени интегралфункции f (x) од a. порано б. И посочи:

F (ξ i) δx i (8.5).

Функција f (x) во овој случај се нарекува интегрира на намалување, броеви А и Б се нарекуваат Долна и горната граница.

За одредена интегрална, следните својства се валидни:

4), (k \u003d const, k∈ cr);

7) f (ξ) (b-a) (ξ∈).

Последниот имот се нарекува Теорест на просечното значење.

Дозволете F (x) да биде континуиран. Потоа, на овој сегмент постои неопределен состанок

∫f (x) dx \u003d f (x) + c

и се одвива формула Newton Labitsa., обврзувајќи специфичен составен дел со неизвесно:

F (б) - f (а). (8.6)

Геометриска интерпретација: Одреден интеграл е област на кривилинеарен трапезиум, ограничена од над кривата y \u003d f (x), директно x \u003d a и x \u003d b и сегментот на оската Вол..

Невалидни интеграли

Се нарекуваат интеграли со бесконечни граници и интеграли од дисконтинуирани (неограничени) функции Некомпатибилен. Некомпатибилни интеграли на мене - Ова се интеграли на бесконечен јаз дефиниран на следниов начин:

Ако оваа граница постои и е конечна, тогаш се нарекува конвергенција нецелосен интеграл од f (x) на интервалот [a, + ∞), и функцијата f (x) се нарекува интегриран во бесконечен интервал[А, + ∞). Инаку за составот велат тој не постои или не се разликува.

На ист начин, неразбирливи интеграли во интервали (-∞, B] и (-∞, + ∞) се одредуваат:

Ние го дефинираме концептот на интеграл од неограничена функција. Ако f (x) е континуирано за сите вредности x. Сече, освен за точката c, во која f (x) има бесконечен јаз, тогаш Некомпатибилен составен II род од f (x) во опсег од А до Б Износот се нарекува:

ако овие граници постојат и се конечни. Ознака:

Примери за пресметка на интегралите

Пример 3.30. Пресметајте ∫dx / (x + 2).

Одлука. Означува со t \u003d x + 2, потоа dx \u003d dt, ∫dx / (x + 2) \u003d ∫dt / t \u003d ln | t | + C \u003d ln | x + 2 | + В.

Пример 3.31.. Најдете ∫ TGXDX.

Одлука.∫ tgxdx \u003d ∫sinx / cosxdx \u003d - ∫dcosx / cosx. Нека t \u003d cosx, потоа ∫ tgxdx \u003d-∫ dt / t \u003d - ln | t | + C \u003d -ln | cosx | + C.

Пример3.32 . Најдете ∫dx / sinx

Одлука.

Пример3.33. Да најде .

Одлука. = .

Пример3.34 . Најдете ∫ARCTGXDX.

Одлука. Ние се интегрираме во делови. Означува u \u003d arctgx, dv \u003d dx. Потоа du \u003d dx / (x 2 +1), v \u003d x, од каде ∫Arctgxdx \u003d xarctgx - ∫ xdx / (x 2 +1) \u003d xarctgx + 1/2 ln (x 2 +1) + c; Како
∫xdx / (x 2 +1) \u003d 1/2 ∫d (x 2 +1) / (x 2 +1) \u003d 1/2 ln (x 2 +1) + c.

Пример3.35 . Пресметајте ∫lnxdx.

Одлука. Користење на формулата за интеграција во делови, добиваме:
u \u003d lnx, dv \u003d dx, du \u003d 1 / x dx, v \u003d x. Потоа ∫lnxdx \u003d xlnx - ∫x 1 / x dx \u003d
\u003d Xlnx - ∫dx + c \u003d xlnx - x + c.

Пример3.36 . Пресметајте ∫e x sinxdx.

Одлука. Означете u \u003d e x, dv \u003d sinxdx, потоа du \u003d e x dx, v \u003d ∫sinxdx \u003d - cosx → ∫ e x sinxdx \u003d - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Интегралската ∫e x cosxdx исто така се интегрира во делови: u \u003d e x, dv \u003d cosxdx, du \u003d e x dx, v \u003d sinx. Ние имаме:
∫ e x cosxdx \u003d e x sinx - ∫ e x sinxdx. Примени ∫e x sinxdx \u003d - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, од каде 2∫e x sinx dx \u003d - e x cosx + e x sinx + s

Пример 3.37. Пресметајте J \u003d ∫COS (LNX) DX / X.

Одлука.Бидејќи DX / X \u003d DLNX, тогаш J \u003d ∫COS (LNX) D (LNX). Замена на LNX преку T, ние доаѓаме до табелата интегрален J \u003d ∫ costbt \u003d sint + c \u003d грев (lnx) + c.

Пример 3.38 . Пресметајте J \u003d.

Одлука. Со оглед на тоа \u003d D (LNX), ние произведуваме замена LNX \u003d T. Тогаш j \u003d. .

Пример 3.39 . Пресметајте го интегралниот J \u003d .

Одлука.Ние имаме: . Затоа \u003d.
=
\u003d. Таа е внесена така sqrt (тен (x / 2)).

И ако кликнете на шоу-чекори во горниот десен агол, а потоа добијте детален раствор.