Квадратна форма f(x 1, x 2,...,x n) од n променливи е збир, чиј член е или квадрат на една од променливите, или производ на две различни променливи, земени со одреден коефициент: f (x 1, x 2, ..., x n) = (a ij =a ji).

Матрицата А составена од овие коефициенти се нарекува матрица со квадратна форма. Секогаш е симетричниматрица (т.е. матрица симетрична во однос на главната дијагонала, a ij =a ji).

Во матричната нотација, квадратната форма е f(X) = X T AX, каде

Навистина

На пример, да ја напишеме квадратната форма во форма на матрица.

За да го направите ова, наоѓаме матрица на квадратна форма. Неговите дијагонални елементи се еднакви на коефициентите на квадратните променливи, а останатите елементи се еднакви на половините од соодветните коефициенти на квадратната форма. Затоа

Нека матрицата-колона на променливите X се добие со недегенерирана линеарна трансформација на матрицата-колона Y, т.е. X = CY, каде што C е несингуларна матрица од n-ти ред. Тогаш квадратната форма f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Така, со недегенерирана линеарна трансформација C, матрицата со квадратна форма добива форма: A * =C T AC.

На пример, да ја најдеме квадратната форма f(y 1, y 2), добиена од квадратната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 со линеарна трансформација.

Квадратната форма се нарекува канонски(Тоа има канонски поглед), ако сите негови коефициенти ij = 0 за i≠j, т.е. f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Неговата матрица е дијагонална.

Теорема(доказот не е даден овде). Секоја квадратна форма може да се сведе на канонска форма користејќи недегенерирана линеарна трансформација.

На пример, да ја доведеме во канонска форма квадратната форма f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

За да го направите ова, прво избираме совршен квадратсо променлива x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Сега избираме целосен квадрат со променливата x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 = = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Тогаш недегенерираната линеарна трансформација y 1 = x 1 + x 2,y 2 = x 2 – (1/10)x 3 и y 3 = x 3 ја доведува оваа квадратна форма во канонската формаf(y 1,y 2, y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Забележете дека канонската форма на квадратна форма се одредува двосмислено (истата квадратна форма може да се сведе на канонска форма на различни начини 1). Сепак, канонските форми добиени со различни методи имаат голем број заеднички својства. Особено, бројот на членови со позитивни (негативни) коефициенти на квадратна форма не зависи од методот на намалување на формата на оваа форма (на пример, во разгледуваниот пример секогаш ќе има два негативни и еден позитивен коефициент). Овој имот се нарекува закон за инерција на квадратни форми.

Дозволете ни да го потврдиме ова со доведување на истата квадратна форма во канонска форма на поинаков начин. Да ја започнеме трансформацијата со променливата x 2:f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = -3(x 2 2 – - 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2 /3) x 1) 2) - 3 ((1/6) x 3 + (2/3) x 1) 2 + 2x 1 2 = = -3 (x 2 - (1/6) x 3 - (2 /3) x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =f(y 1,y 2,y 3) = -3y 1 2 - - 3y 2 2 + 2y 3 2, каде што y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 и y 3 = x 1 . Овде има позитивен коефициент од 2 за y 3 и два негативни коефициенти (-3) за y 1 и y 2 (и со помош на друг метод, добивме позитивен коефициент 2 за y 1 и два негативни - (-5) за y 2 и (-1/20) за y 3 ).

Исто така, треба да се забележи дека рангот на матрица од квадратна форма, наречен ранг на квадратна форма, е еднаков на бројот на ненула коефициенти на канонската форма и не се менува при линеарни трансформации.

Се нарекува квадратната форма f(X). позитивно(негативен)одредени, ако за сите вредности на променливите кои не се истовремено нула, тоа е позитивно, т.е. f(X) > 0 (негативно, т.е. f(X)< 0).

На пример, квадратната форма f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 е позитивно определена, бидејќи е збир од квадрати, а квадратната форма f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 е негативна определена, бидејќи го претставува може да се претстави во формата 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

Во повеќето практични ситуации, нешто потешко е да се утврди определениот знак на квадратна форма, па за ова користиме една од следните теореми (ќе ги формулираме без доказ).

Теорема. Квадратната форма е позитивна (негативна) дефинитивна ако и само ако сите сопствени вредности на нејзината матрица се позитивни (негативни).

Теорема (критериум Силвестер). Квадратната форма е позитивна дефинитивна ако и само ако сите водечки минори од матрицата на оваа форма се позитивни.

Главна (аголна) малаМатриците од k-ти ред од An-тиот ред се нарекуваат детерминанта на матрицата, составена од првите k редови и колони на матрицата A ().

Забележете дека за негативни дефинитивни квадратни форми знаците на главните малолетници се менуваат, а минорот од прв ред мора да биде негативен.

На пример, да ја испитаме квадратната форма f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 за определеноста на знакот.

= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 - 2- 3+ 2) – 4 = 2 - 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17; . Според тоа, квадратната форма е позитивна дефинитивна.

Метод 2. Главен минор од прв ред на матрицата A  1 =a 11 = 2 > 0. Главен минор од втор ред  2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Според тоа, според Силвестеровиот критериум, квадратниот формата е позитивна дефинитивна.

Испитуваме друга квадратна форма за определеност на знакот, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Да конструираме матрица од квадратна форма A = . Карактеристичната равенка ќе ја има формата = (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17 ; . Според тоа, квадратната форма е негативна определена.

Метод 2. Главен минор од првиот ред на матрицата A  1 =a 11 = = -2< 0. Главный минор второго порядка 2 = = 6 – 4 = 2 >0. Според тоа, според критериумот на Силвестер, квадратната форма е негативна определена (знаците на главните малолетни лица се наизменично, почнувајќи од минус).

И како друг пример, ја испитуваме квадратната форма определена со знак f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Метод 1. Да конструираме матрица од квадратна форма A = . Карактеристичната равенка ќе ја има формата = (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 - 2+ 3+ 2) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41; . Еден од овие бројки е негативен, а другиот позитивен. Знаците на сопствените вредности се различни. Следствено, квадратната форма не може да биде ниту негативно ниту позитивно определена, т.е. оваа квадратна форма не е дефинитивна знак (може да земе вредности од кој било знак).

Метод 2. Главен минор од прв ред на матрицата A  1 =a 11 = 2 > 0. Главен минор од втор ред 2 = = -6 – 4 = -10< 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма не является знакоопределенной (знаки главных миноров разные, при этом первый из них – положителен).

1 Разгледаниот метод за намалување на квадратна форма во канонска форма е погоден за употреба кога се среќаваат коефициенти не-нула со квадратите на променливите. Ако ги нема, сè уште е можно да се изврши конверзија, но мора да користите некои други техники. На пример, нека f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 - x 1 2 - x 2 2 =

= (x 1 + x 2) 2 - x 1 2 - x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - (x 1 2 - 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – - (x 1 - x 2) 2 - 2x 1 x 2 ; 4x 1 x 2 = (x 1 + x 2) 2 – (x 1 - x 2) 2 ;f(x 1, x 2) = 2x 1 x 2 = (1/2)* *(x 1 + x 2 ) 2 – (1/2)*(x 1 - x 2) 2 =f(y 1,y 2) = (1/2)y 1 2 – (1/2)y 2 2, каде y 1 = x 1 + x 2, аy 2 = x 1 – x 2.

Вовед……………………………………………………………………………………. ........ .................3

1 Теоретски информацииза квадратните форми……………………………4

1.1 Дефиниција на квадратна форма………………………………………………….…4

1.2 Сведување на квадратна форма во канонска форма………………………6

1.3 Закон за инерција………………………………………………………………..11

1.4 Позитивни определени форми…………………………………………………………………………………….

2 Практична употребаквадратни форми ……………………………22

2.1 Решавање типични проблеми…………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.2 Задачи за самостојно решение…………………………………………………………………………………

2.3 Тест задачи…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Заклучок………………………………………………………………………… 29

Список на користена литература……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ВОВЕД

Првично, теоријата на квадратни форми беше користена за проучување на криви и површини дефинирани со равенки од втор ред кои содржат две или три променливи. Подоцна, оваа теорија најде други примени. Особено, во математичкото моделирање економските процесицелните функции може да содржат квадратни поими. Бројни апликации на квадратни форми бараа изградбата општа теорија, кога бројот на променливи е еднаков на која било

, а коефициентите на квадратната форма не се секогаш реални броеви.

Теоријата на квадратни форми првпат ја развил францускиот математичар Лагранж, кој поседувал многу идеи во оваа теорија; особено, тој го вовел важниот концепт на намалена форма, со чија помош ја докажал конечноста на бројот на класи на бинарни квадратни форми на дадена дискриминаторка. Потоа оваа теорија беше значително проширена од Гаус, кој воведе многу нови концепти, врз основа на кои можеше да добие докази за тешки и длабоки теореми на теоријата на броеви кои им избегаа на неговите претходници во оваа област.

Целта на трудот е да се проучат видовите квадратни форми и начини како квадратните форми да се сведат на канонска форма.

Ова дело ги поставува следните задачи: изберете ја потребната литература, разгледајте ги дефинициите, решите голем број проблеми и подготвите тестови.

1 ТЕОРЕТСКИ ИНФОРМАЦИИ ЗА КВАДРАТИЧНИТЕ ФОРМИ

1.1 ДЕФИНИЦИЈА ЗА КВАДРАТИЧНА ФОРМА

Квадратна форма

на непознати е збир, чиј член е или квадрат на една од овие непознати или производ на две различни непознати. Квадратната форма доаѓа во две форми: реална и сложена, во зависност од тоа дали нејзините коефициенти се реални или сложени броеви.

Означувајќи го коефициентот во

преку , и при производство , преку , квадратната форма може да се претстави како: .

Од коефициентите

можно е да се конструира квадратна матрица од редослед; се нарекува матрица на квадратна форма, а нејзиниот ранг се нарекува ранг на квадратна форма. Ако, особено, каде што, односно, матрицата е недегенерирана, тогаш квадратната форма се нарекува недегенерирана. За која било симетрична матрица од ред, може да се специфицира во целосно дефинирана квадратна форма: (1.1) - непознати, кои имаат матрични елементи со нивните коефициенти.

Сега да означиме со

колона составена од непознати: . е матрица со редови и една колона. Транспонирајќи ја оваа матрица, ја добиваме матрицата: , составена од една линија.

Квадратна форма (1.1) со матрица

сега може да се напише како производ:.

1.2 РЕДУКЦИЈА НА КВАДРАТИЧНА ФОРМА

ДО КАНОНИЧКИ ПОГЛЕД

Да претпоставиме дека квадратната форма

од непознатите е веќе намалена со недегенерирана линеарна трансформација во канонската форма, каде што се новите непознати. Некои од коефициентите може да бидат нула. Да докажеме дека бројот на ненула коефициенти е нужно еднаков на рангот на формата. Матрицата на оваа квадратна форма има дијагонална форма ,

и условот оваа матрица да има ранг

, е еквивалентна на претпоставката дека нејзината главна дијагонала содржи точно ненула елементи.

Теорема.Секоја квадратна форма може да се сведе на канонска форма со некоја недегенерирана линеарна трансформација. Ако се разгледа вистинска квадратна форма, тогаш сите коефициенти на наведената линеарна трансформација може да се сметаат за реални.

Доказ. Оваа теорема е точна за случајот на квадратни форми во една непозната, бидејќи секоја таква форма ја има формата

, што е канонско. Да воведеме доказ по пат на индукција, односно да ја докажеме теоремата за квадратни форми во непознати, имајќи предвид дека таа е веќе докажана за форми со помал број на непознати.

Нека квадратната форма (1.1) на

Квадратна форма Lод nпроменливите е збир, чиј член е или квадрат на една од овие променливи или производ на две различни променливи.

Под претпоставка дека во квадратна форма ЛНамалувањето на сличните поими е веќе направено, да ја воведеме следната ознака за коефициентите на оваа форма: коефициентот за се означува со , а коефициентот во производот за се означува со . Бидејќи , коефициентот на овој производ може да се означи и со , т.е. Ознаката што ја воведовме ја претпоставува валидноста на еднаквоста. Терминот сега може да се напише во форма

и целата квадратна форма Л– во форма на збир на сите можни поими, каде јасИ јвеќе преземаат вредности независно една од друга
од 1 до n:

(6.13)

Коефициентите може да се користат за конструирање на квадратна матрица од редот n; тоа се нарекува матрица од квадратна форма L, а нејзиниот ранг е ранговаа квадратна форма. Ако, особено, т.е. матрицата е недегенерирана, тогаш таа е квадратна форма Лповикани недегенериран. Бидејќи , тогаш елементите на матрицата А, симетрични во однос на главната дијагонала, се еднакви еден на друг, т.е. матрица А - симетрични. Спротивно на тоа, за која било симетрична матрица А nод редот може да се наведе добро дефинирана квадратна форма (6.13) на nпроменливи кои имаат елементи од матрицата А со нивните коефициенти.

Квадратната форма (6.13) може да се претстави во форма на матрица користејќи го множењето на матрицата воведено во Дел 3.2. Да означиме со X колона составена од променливи

X е матрица со n редици и една колона. Транспонирајќи ја оваа матрица, ја добиваме матрицата , составена од една линија. Квадратната форма (6.13) со матрица сега може да се запише како следниов производ:

Навистина:

и се утврдува еквивалентноста на формулите (6.13) и (6.14).

Запишете го во форма на матрица.

○ Да најдеме матрица на квадратна форма. Неговите дијагонални елементи се еднакви на коефициентите на квадратните променливи, т.е. 4, 1, –3 и други елементи – до половините од соодветните коефициенти на квадратната форма. Затоа

. ●

Дозволете ни да дознаеме како се менува квадратната форма при недегенерирана линеарна трансформација на променливите.

Забележете дека ако матриците А и Б се такви што нивниот производ е дефиниран, тогаш важи еднаквоста:

(6.15)

Навистина, ако е дефиниран производот AB, тогаш ќе се дефинира и производот: бројот на колони од матрицата е еднаков на бројот на редови од матрицата. Матричен елемент стои во него јаста линија и јта колона, во матрицата AB се наоѓа во јта линија и јаста колона. Затоа е еднаков на збирот на производите на соодветните елементи ј-ти ред од матрицата А и јаста колона од матрицата Б, т.е. еднаков на збирот на производите на соодветните елементи на линијата јта колона од матрицата и јасри ред од матрицата. Ова ја докажува еднаквоста (6.15).


Нека променливите матрица-колона И се поврзани со линеарната релација X = CY, каде што C = ( c ij) има некоја не-единечна матрица n-ти ред. Потоа квадратната форма

или , Каде.

Матрицата ќе биде симетрична, бидејќи во поглед на еднаквоста (6.15), која очигледно е валидна за кој било број фактори, и еднаквоста , која е еквивалентна на симетријата на матрицата А, имаме:

Значи, со недегенерирана линеарна трансформација X=CY, матрицата на квадратна форма добива форма

Коментар. Рангот на квадратна форма не се менува при изведување на недегенерирана линеарна трансформација.

Пример. Дадена е квадратна форма

Најдете ја квадратната форма добиена од дадената линеарна трансформација

, .

○ Матрица на дадена квадратна форма , и матрицата на линеарна трансформација . Затоа, според (6.16), матрицата на саканата квадратна форма

а квадратната форма ја има формата . ●

Со некои добро избрани линеарни трансформации, формата на квадратната форма може значително да се поедностави.

Квадратна форма повикани канонски(или има канонски поглед), ако сите негови коефициенти се на јас≠ ј:

,

а неговата матрица е дијагонална.

Следната теорема е вистинита.

Теорема 6.1. Секоја квадратна форма може да се сведе на канонска форма користејќи недегенерирана линеарна трансформација на променливи.

Пример. Намалете ја квадратната форма на канонска форма

○ Прво, го избираме целосниот квадрат на променливата, чиј коефициент на квадрат е различен од нула:

.

Сега да го избереме квадратот на променливата чиј квадратен коефициент е различен од нула:

Значи, недегенерирана линеарна трансформација

ја намалува оваа квадратна форма на канонска форма

.●

Канонската форма на квадратна форма не е единствено дефинирана, бидејќи истата квадратна форма може да се сведе на канонска форма на многу начини. Сепак, канонските форми добиени со различни методи имаат голем број на општи својства. Дозволете ни да формулираме едно од овие својства како теорема.

Теорема 6.2.(закон за инерција на квадратни форми).

Бројот на членовите со позитивни (негативни) коефициенти на квадратната форма не зависи од начинот на намалување на формата на оваа форма.

На пример, квадратната форма

што во примерот што се дискутира на страница 131 го доведовме до формата

тоа беше можно со примена на недегенерирана линеарна трансформација

донесе на ум

.

Како што можете да видите, бројот на позитивни и негативни коефициенти (два и еден, соодветно) е зачуван.

Забележете дека рангот на квадратна форма е еднаков на бројот на ненула коефициенти на канонската форма.

Квадратна форма се нарекува позитивно (негативно) определено ако, за сите вредности на променливите, од кои барем една не е нула,

().

При решавање на различни применети проблемиЧестопати треба да ги проучуваме квадратните форми.

Дефиниција.Квадратна форма L(, x 2, ..., x n) од n променливи е збир, чиј член е или квадрат на една од променливите или производ на две различни променливи земени со одреден коефициент:

L( ,x 2 ,...,x n) =

Претпоставуваме дека коефициентите на квадратната форма се реални броеви, и

Матрицата A = () (i, j = 1, 2, ..., n), составена од овие коефициенти, се нарекува матрица со квадратна форма.

Во матричната нотација, квадратната форма ја има формата: L = X"AX, каде што X = (x 1, x 2,..., x n)" - матрица-колона на променливи.

Пример 8.1

Напишете ја квадратната форма L( , x 2 , x 3) = во форма на матрица.

Ајде да најдеме матрица на квадратна форма. Неговите дијагонални елементи се еднакви на коефициентите на квадратните променливи, т.е. 4, 1, -3 и други елементи - до половините од соодветните коефициенти на квадратната форма. Затоа

L=( , x 2 , x 3) .

Со недегенерирана линеарна трансформација X = CY, матрицата со квадратна форма добива форма: A * = C "AC. (*)

Пример 8.2

Дадена е квадратната форма L(x x, x 2) =2x 1 2 +4x 1 x 2 -3. Најдете ја квадратната форма L(y 1 ,y 2) добиена од дадената линеарна трансформација = 2у 1 - 3y 2, x 2 = y 1 + y 2.

Матрицата на дадена квадратна форма е A= , а матрицата на линеарна трансформација е

C = . Затоа, според (*) матрица на потребната квадратна форма

И квадратната форма изгледа како

L(y 1, y 2) = .

Треба да се напомене дека со некои добро избрани линеарни трансформации, формата на квадратната форма може значително да се поедностави.

Дефиниција.Квадратната форма L(,x 2,...,x n) = се нарекува канонска (или има канонска форма) ако сите нејзини коефициенти = 0 за i¹j:

L= , а неговата матрица е дијагонална.

Следната теорема е вистинита.

Теорема.Секоја квадратна форма може да се сведе на канонска форма користејќи недегенерирана линеарна трансформација на променливи.

Пример 8.3

Намалете ја квадратната форма на канонска форма

L( , x 2 , x 3) =

Прво, го избираме целосниот квадрат на променливата, чиј коефициент на квадрат е различен од нула:


Сега го избираме совршениот квадрат за променливата чиј коефициент е различен од нула:

Значи, недегенерирана линеарна трансформација

ја намалува оваа квадратна форма на канонска форма:

Канонската форма на квадратна форма не е единствено дефинирана, бидејќи истата квадратна форма може да се сведе на канонска форма на многу начини. Сепак, канонските форми добиени со различни методи имаат голем број заеднички својства. Дозволете ни да формулираме едно од овие својства како теорема.

Теорема (закон за инерција на квадратни форми).Бројот на членовите со позитивни (негативни) коефициенти на квадратната форма не зависи од начинот на намалување на формата на оваа форма.

Треба да се забележи дека рангот на матрица од квадратна форма е еднаков на бројот на ненула коефициенти на канонската форма и не се менува при линеарни трансформации.

Дефиниција.Квадратната форма L(, x 2, ..., x n) се нарекува позитивна (негативна) дефинитивна ако, за сите вредности на променливите, од кои барем една не е нула,

L( , x 2 , ..., x n) > 0 (L( , x 2 , ..., x n)< 0).

Значи, На пример, квадратна форма е позитивно определена, а формата е негативна определена.

Теорема.За да може квадратната форма L = X"AX да биде позитивна (негативна) дефинитивна, потребно е и доволно сите сопствени вредности на матрицата А да бидат позитивни (негативни).