Линии од втор ред.
Елипса и нејзината канонска равенка. Заокружете
По темелно проучување прави линии во рамнинатаПродолжуваме да ја проучуваме геометријата на дводимензионалниот свет. Влоговите се удвоени и ве поканувам да ја посетите живописната галерија на елипси, хиперболи, параболи, кои се типични репрезентативци линии од втор ред. Екскурзијата веќе започна, и тоа прво кратки информацииза целата изложба на различни катови од музејот:
Концептот на алгебарска линија и нејзиниот редослед
Линија на авион се нарекува алгебарски, ако во афин координатен системнеговата равенка има форма , каде што е полином кој се состои од членови на формата ( – реален број, – ненегативни цели броеви).
Како што можете да видите, равенката на алгебарската линија не содржи синуси, косинуси, логаритми и други функционални Beau Monde. Влегуваат само X и Y ненегативни цели броевистепени.
Линиски редоследеднаква на максималната вредност на поимите вклучени во него.
Според соодветната теорема, концептот на алгебарска линија, како и неговиот редослед, не зависат од изборот афин координатен систем, затоа, за полесно постоење, претпоставуваме дека сите последователни пресметки се одвиваат во Декартови координати.
Општа равенкалинијата од втор ред има форма , каде 
– произволно реални броеви (Вообичаено е да се напише со фактор два), а коефициентите не се еднакви на нула во исто време.
Ако , тогаш равенката се поедноставува на 
, а ако коефициентите не се еднакви на нула во исто време, тогаш тоа е точно општа равенка на „рамна“ линија, што претставува линија од прв ред.
Многумина го разбраа значењето на новите термини, но, сепак, за 100% да го совладаме материјалот, ги ставаме прстите во штекерот. За да го одредите редоследот на линиите, треба да повторите сите термининеговите равенки и најдете за секоја од нив збир на степенидојдовни променливи.
На пример:
терминот содржи „x“ до 1 сила;
терминот содржи „Y“ до 1 сила;
Во поимот нема променливи, така што збирот на нивните моќи е нула.
Сега да откриеме зошто равенката ја дефинира линијата второсо цел:
терминот содржи „x“ до втора сила;
збирот го има збирот на моќите на променливите: 1 + 1 = 2;
терминот содржи „Y“ до втора сила;
сите други термини - помалкустепени.
Максимална вредност: 2
Ако дополнително ја додадеме, да речеме, нашата равенка, тогаш таа веќе ќе определи линија од трет ред. Очигледно е дека општата форма на равенката на линијата од 3 ред содржи „целосен сет“ поими, збирот на моќите на променливите во кој е еднаков на три:
, каде што коефициентите не се еднакви на нула во исто време.
Во случај да додадете еден или повеќе соодветни термини кои содржат 
, тогаш веќе ќе зборуваме за Линии од 4 ред, итн.
Ќе мора да се сретнеме со алгебарски линии од 3, 4 и повисоки редови повеќе од еднаш, особено кога се запознаваме со поларен координатен систем.
Сепак, да се вратиме на општата равенка и да се потсетиме на нејзините наједноставни училишни варијации. Како примери, се појавува парабола, чија равенка може лесно да се сведе на општа форма, и хипербола со еквивалентна равенка. Сепак, не е се така мазно...
Значителен недостаток општа равенкае тоа што речиси секогаш не е јасно која линија ја поставува. Дури и во наједноставниот случај, нема веднаш да сфатите дека ова е хипербола. Таквите распореди се добри само за маскенбал, така што типичен проблем се разгледува во текот на аналитичката геометрија доведување на равенката на линијата од 2 ред во канонска форма.
Која е канонската форма на равенката?
Ова е општо прифатена стандардна форма на равенка, кога за неколку секунди станува јасно каков геометриски објект дефинира. Покрај тоа, канонската форма е многу погодна за решавање на многумина практични задачи. Така, на пример, според канонската равенка „рамно“ директно, прво, веднаш е јасно дека ова е права линија, и второ, точката што и припаѓа и векторот на насока се лесно видливи.
Очигледно е дека било кој Линија од 1 реде права линија. На вториот кат веќе не чека чуварот, туку многу поразновидна дружина од девет статуи:
Класификација на линии од втор ред
Користејќи посебен сет на дејства, секоја равенка на линија од втор ред се сведува на една од следниве форми:
(и се позитивни реални броеви)
1) 
– канонска равенка на елипсата;
2) – канонска равенка на хипербола;
3) 
– канонска равенка на парабола;
4) – имагинаренелипса;
5) – пар линии кои се вкрстуваат;
6) – пар имагинаренлинии кои се пресекуваат (со една валидна точка на пресек на почетокот);
7) – пар паралелни прави;
8) – пар имагинаренпаралелни линии;
9) – пар совпаѓачки линии.
Некои читатели може да имаат впечаток дека списокот е нецелосен. На пример, во точката бр. 7, равенката го одредува парот директно, паралелно со оската и се поставува прашањето: каде е равенката што ги одредува правите паралелни со оската на ординатите? Одговори не се смета за канонски. Правите линии го претставуваат истиот стандарден случај, ротиран за 90 степени, а дополнителниот внес во класификацијата е излишен, бидејќи не носи ништо суштински ново.
Така, постојат девет и само девет различни типови линии од втор ред, но во пракса најчести се елипса, хипербола и парабола.
Ајде прво да ја погледнеме елипсата. Како и обично, се фокусирам на оние точки кои имаат големо значењеда решавате проблеми, а ако ви треба детално изведување на формули, докази за теореми, ве молиме погледнете го, на пример, учебникот на Базилев/Атанасјан или Александров.
Елипса и нејзината канонска равенка
Правопис.
Канонска равенкаелипсата има форма , каде се позитивни реални броеви и . Подоцна ќе ја формулирам самата дефиниција за елипса, но засега е време да се одмориме од продавницата за зборување и да решиме заеднички проблем:
Како да се изгради елипса?
Да, само земете го и само нацртајте го. Задачата се јавува често, а значителен дел од учениците не се справуваат правилно со цртежот:
Пример 1
Конструирај ја елипсата дадена со равенката
Решение: Прво, да ја доведеме равенката во канонска форма: 
Зошто да се донесе? Една од предностите на канонската равенка е тоа што ви овозможува веднаш да одредите темиња на елипсата, кои се наоѓаат на точки. Лесно е да се види дека координатите на секоја од овие точки ја задоволуваат равенката.
Во овој случај : 
Линиски сегментповикани главната оскаелипса;
линиски сегмент – мала оска;
број 
повикани полу-главна осовинаелипса;
број 
– мала оска.
во нашиот пример: .
За брзо да замислите како изгледа одредена елипса, само погледнете ги вредностите на „a“ и „be“ на нејзината канонска равенка.
Сè е во ред, мазно и убаво, но има едно предупредување: го направив цртежот користејќи ја програмата. И можете да го направите цртежот користејќи која било апликација. Меѓутоа, во суровата реалност, на масата има карирано парче хартија, а глувците танцуваат во кругови на нашите раце. Луѓето со уметнички талент, се разбира, можат да се расправаат, но имате и глувци (иако помали). Не залудно човештвото измисли владетел, компас, транспортер и други едноставни уреди за цртање.
Поради оваа причина, веројатно нема да можеме точно да нацртаме елипса знаејќи ги само темињата. Во ред е ако елипсата е мала, на пример, со полуоски. Алтернативно, можете да ја намалите скалата и, соодветно, димензиите на цртежот. Но, генерално, многу е пожелно да се најдат дополнителни поени.
Постојат два пристапи за изградба на елипса - геометриски и алгебарски. Не ми се допаѓа конструкцијата со помош на компас и линијар бидејќи алгоритмот не е најкраток и цртежот е значително натрупан. Во случај на итност, ве молиме погледнете го учебникот, но во реалноста е многу порационално да се користат алатките на алгебрата. Од равенката на елипсата во нацртот брзо изразуваме: 
Равенката потоа се распаѓа на две функции: 
– го дефинира горниот лак на елипсата; 
– го дефинира долниот лак на елипсата.
Елипсата дефинирана со канонската равенка е симетрична во однос на координатните оски, како и во однос на потеклото. И ова е одлично - симетријата е скоро секогаш предвесник на гратис. Очигледно, доволно е да се справиме со првата координатна четвртина, па ни треба функцијата 
. Моли да се најдат дополнителни поени со апсциси 
. Ајде да допреме три СМС пораки на калкулаторот: 
Се разбира, исто така е убаво што ако се направи сериозна грешка во пресметките, веднаш ќе стане јасно за време на изградбата.
Ајде да ги означиме точките на цртежот (црвено), симетричните точки на преостанатите лакови (сини) и внимателно да ја поврземе целата компанија со линија: 
Подобро е да се нацрта почетната скица многу тенко, а дури потоа да се притисне со молив. Резултатот треба да биде сосема пристојна елипса. Патем, дали би сакале да знаете што е оваа крива?
Дефиниција на елипса. Фокуси на елипса и ексцентричност на елипсата
Елипса е посебен случајовална Зборот „овален“ не треба да се разбере во филистинска смисла („детето нацрта овална“ итн.). Ова е математички термин кој има детална формулација. Целта на оваа лекција не е да се разгледа теоријата на овали и нивните различни типови, на кои практично не им се обрнува внимание во стандардниот курс на аналитичката геометрија. И, во согласност со поактуелните потреби, веднаш преминуваме на строгата дефиниција на елипса:
Елипсае множество од сите точки на рамнината, збирот на растојанијата до секоја од две дадени точки, т.н. триковиелипса, е константна големина, нумерички еднаква на должината на главната оска на оваа елипса: .
Во овој случај, растојанијата помеѓу фокусите се помали од оваа вредност: .
Сега сè ќе стане појасно: 
Замислете дека сината точка „патува“ по елипса. Значи, без разлика која точка на елипсата ќе ја земеме, збирот на должините на отсечките секогаш ќе биде ист:
Да се увериме дека во нашиот пример вредноста на збирот е навистина еднаква на осум. Ментално поставете ја точката „um“ на десното теме на елипсата, а потоа: , што треба да се провери.
Друг метод за негово цртање се заснова на дефиницијата за елипса. Високата математика понекогаш е причина за напнатост и стрес, па време е да имате уште една сесија за истовар. Ве молиме земете хартија Whatman или голем лист картон и закачете го на масата со два клинци. Тоа ќе бидат трикови. Заврзете зелена нишка на испакнатите глави на ноктите и повлечете ја до крај со молив. Оводот за молив ќе заврши во одредена точка што припаѓа на елипсата. Сега почнете да го движите моливот по листот хартија, држејќи ја зелената нишка затегната. Продолжете со процесот додека не се вратите на почетната точка... одлично... цртежот може да го проверат докторот и наставникот =)
Како да ги пронајдете фокусите на елипсата?
Во горниот пример, ги прикажав „готовите“ фокусни точки, а сега ќе научиме како да ги извлечеме од длабочините на геометријата.
Ако елипсата е дадена со канонска равенка, тогаш нејзините фокуси имаат координати 
, каде е растојание од секој фокус до центарот на симетријата на елипсата.
Пресметките се поедноставни отколку едноставни: 
! Специфичните координати на фокуси не можат да се идентификуваат со значењето на „це“!Повторувам дека ова е ДИСТЕНЦИЈА од секој фокус до центарот(што во општиот случај не мора да се наоѓа токму на потеклото).
И, според тоа, растојанието помеѓу фокусите, исто така, не може да се поврзе со канонската положба на елипсата. Со други зборови, елипсата може да се премести на друго место и вредноста ќе остане непроменета, додека фокусите природно ќе ги променат своите координати. Ве молам размислете овој моментпри понатамошно проучување на темата.
Ексцентричност на елипсата и нејзиното геометриско значење
Ексцентричноста на елипсата е сооднос што може да земе вредности во опсегот.
Во нашиот случај:
Ајде да дознаеме како обликот на елипсата зависи од нејзината ексцентричност. За ова поправете ги левите и десните темињана разгледуваната елипса, односно вредноста на полуглавната оска ќе остане константна. Тогаш формулата за ексцентричност ќе има форма: .
Да почнеме да ја приближуваме вредноста на ексцентричноста до единството. Ова е можно само доколку. Што значи тоа? ...сетете се на триковите 
. Ова значи дека фокусите на елипсата ќе се „раздвојат“ долж оската на апсцисата до страничните темиња. И, бидејќи „зелените сегменти не се гумени“, елипсата неизбежно ќе почне да се израмнува, претворајќи се во потенок и потенок колбас нанижан на оска.
Така, колку е поблиску вредноста на ексцентричноста на елипсата до единството, толку е поиздолжена елипсата.
Сега да го моделираме спротивниот процес: фокусите на елипсата 
тргнаа еден кон друг, приближувајќи се кон центарот. Ова значи дека вредноста на „ce“ станува сè помала и, соодветно, ексцентричноста се стреми кон нула: .
Во овој случај, „зелените сегменти“, напротив, ќе „станат преполни“ и ќе почнат да ја „туркаат“ линијата на елипсата нагоре и надолу.
Така, Колку е поблиску вредноста на ексцентричноста до нула, толку елипсата е повеќе слична со... погледнете го ограничувачкиот случај кога фокусите успешно се обединуваат на потекло:
Круг е посебен случај на елипса
Навистина, во случај на еднаквост на полуоските, канонската равенка на елипсата ја добива формата , која рефлексно се трансформира во равенката на круг со центар на почетокот на радиусот „а“, добро позната уште од училиште.
Во практиката почесто се користи ознаката со „зборувачка“ буква „ер“: . Радиусот е должината на сегментот, при што секоја точка на кругот е отстранета од центарот за растојание од радиус.
Забележете дека дефиницијата за елипса останува целосно точна: фокусите се совпаѓаат, а збирот на должините на совпаѓачките отсечки за секоја точка на кругот е константа. Бидејќи растојанието помеѓу фокусите е , тогаш ексцентричноста на кој било круг е нула.
Изградбата на круг е лесно и брзо, само користете компас. Сепак, понекогаш е неопходно да се дознаат координатите на некои од неговите точки, во овој случај одиме на познатиот начин - ја доведуваме равенката до веселата форма Матанов:
– функција на горниот полукруг;
– функција на долниот полукруг.
По што наоѓаме потребните вредности, разликуваат, интегрираати прави други добри работи.
Написот, се разбира, е само за референца, но како можете да живеете во светот без љубов? Креативна задача за независна одлука
Пример 2
Составете ја канонската равенка на елипса ако се познати едно од нејзините фокуси и полумала оска (центарот е на почетокот). Најдете темиња, дополнителни точки и повлечете линија на цртежот. Пресметајте ја ексцентричноста.
Решение и цртање на крајот од часот
Ајде да додадеме акција:
Ротирајте и паралелно преведете елипса
Да се вратиме на канонската равенка на елипсата, имено, на состојбата, чија мистерија ги измачува љубопитните умови уште од првото спомнување на оваа крива. Така ја погледнавме елипсата 
, но дали во пракса не е можно да се исполни равенката 
? На крајот на краиштата, и овде, сепак, се чини дека е елипса!
Овој вид на равенка е ретка, но се среќава. И всушност дефинира елипса. Ајде да демистифицираме: 
Како резултат на изградбата, добиена е нашата родна елипса, ротирана за 90 степени. Тоа е, 
- Ова неканонски влезелипса 
. Рекорд!- равенката 
не дефинира друга елипса, бидејќи на оската нема точки (фокуси) кои би ја задоволиле дефиницијата за елипса.
Криви од втор редна рамнина се линии дефинирани со равенки во кои променливата координира xИ yсе содржани во вториот степен. Тие вклучуваат елипса, хипербола и парабола.
Општата форма на равенката на кривата од втор ред е како што следува:
Каде А, Б, Ц, Д, Е, Ф- бројки и најмалку еден од коефициентите А, Б, Цне е еднаква на нула.
При решавање на проблеми со криви од втор ред, најчесто се разгледуваат канонските равенки на елипсата, хиперболата и параболата. Лесно е да се премине на нив од општите равенки; пример 1 за проблеми со елипсови ќе биде посветен на ова.
Елипса дадена со канонската равенка
Дефиниција на елипса.Елипса е множество од сите точки на рамнината за кои збирот на растојанијата до точките наречени фокуси е константна вредност поголема од растојанието помеѓу фокусите.
Фокусите се означени како на сликата подолу.
Канонската равенка на елипса има форма:
Каде аИ б (а > б) - должините на полуоските, т.е., половина од должините на сегментите отсечени со елипсата на координатните оски.
Правата линија што минува низ фокусите на елипсата е нејзината оска на симетрија. Друга оска на симетрија на елипсата е права линија што минува низ средината на отсечка нормална на овој сегмент. Точка ЗАпресекот на овие линии служи како центар на симетрија на елипсата или едноставно центар на елипсата.
Оската на апсцисата на елипсата се сече на точките ( а, ЗА) И (- а, ЗА), а оската на ординатите е во точки ( б, ЗА) И (- б, ЗА). Овие четири точки се нарекуваат темиња на елипсата. Отсечката помеѓу темињата на елипсата на оската x се нарекува нејзина главна оска, а на ординатна оска - нејзината помала оска. Нивните отсечки од врвот до центарот на елипсата се нарекуваат полуоски.
Ако а = б, тогаш равенката на елипсата добива форма . Ова е равенка на круг со радиус а, а круг е посебен случај на елипса. Елипса може да се добие од круг со радиус а, ако го компресирате во а/бпати по оската Ој .
Пример 1.Проверете дали правата дадена со општа равенка е 
, елипса.
Решение. Ја трансформираме општата равенка. Го користиме преносот на слободниот член на десната страна, поделбата по член по член на равенката со ист број и намалувањето на дропките:
Одговори. Равенката добиена како резултат на трансформациите е канонската равенка на елипсата. Затоа, оваа линија е елипса.
Пример 2.Составете ја канонската равенка на елипса ако нејзините полуоски се 5 и 4, соодветно.
Решение. Ја разгледуваме формулата за канонската равенка на елипса и ја заменуваме: полуголемата оска е а= 5, полуминорната оска е б= 4. Ја добиваме канонската равенка на елипсата:
Точки и , означени со зелено на главната оска, каде
се нарекуваат трикови.
повикани ексцентричностелипса.
Став б/аја карактеризира „растеченоста“ на елипсата. Колку е помал овој однос, толку повеќе елипсата е издолжена по главната оска. Сепак, степенот на издолжување на елипсата почесто се изразува преку ексцентричност, формулата за која е дадена погоре. За различни елипси, ексцентричноста варира од 0 до 1, секогаш останувајќи помала од единството.
Пример 3.Составете ја канонската равенка на елипсата ако растојанието помеѓу фокусите е 8 и главната оска е 10.
Решение. Ајде да направиме неколку едноставни заклучоци:
Ако главната оска е еднаква на 10, тогаш нејзината половина, односно полуоската а = 5 ,
Ако растојанието помеѓу фокусите е 8, тогаш бројот вод фокалните координати е еднаква на 4.
Заменуваме и пресметуваме:
Резултатот е канонската равенка на елипсата:
Пример 4.Составете ја канонската равенка на елипса ако нејзината главна оска е 26, а нејзината ексцентричност е .
Решение. Како што следува и од големината на главната оска и од равенката на ексцентричност, полуглавната оска на елипсата а= 13. Од равенката за ексцентричност го изразуваме бројот в, потребна за пресметување на должината на малата полуоска:
.
Го пресметуваме квадратот на должината на малата полуоска:
Ја составуваме канонската равенка на елипсата:
Пример 5.Определи ги фокусите на елипсата дадени со канонската равенка.
Решение. Најдете го бројот в, кој ги одредува првите координати на фокусите на елипсата:
.
Ги добиваме фокусите на елипсата:
Пример 6.Фокусите на елипсата се наоѓаат на оската Волсиметрично за потеклото. Составете ја канонската равенка на елипсата ако:
1) растојанието помеѓу фокусите е 30, а главната оска е 34
2) мала оска 24, а еден од фокусите е во точката (-5; 0)
3) ексцентричност, а едно од фокусите е во точката (6; 0)
Ајде да продолжиме да ги решаваме проблемите со елипсата заедно
Ако е произволна точка на елипсата (означена со зелено во горниот десен дел од елипсата на цртежот) и е растојанието до оваа точка од фокусите, тогаш формулите за растојанијата се како што следува:
За секоја точка што припаѓа на елипсата, збирот на растојанија од фокусите е константна вредност еднаква на 2 а.
Линии дефинирани со равенки
се нарекуваат директоркиелипса (на цртежот има црвени линии по должината на рабовите).
Од двете равенки погоре следува дека за која било точка на елипсата
,
каде и се растојанијата на оваа точка до насоките и .
Пример 7.Дадена е елипса. Напишете равенка за нејзините директори.
Решение. Ја гледаме директската равенка и откриваме дека треба да ја најдеме ексцентричноста на елипсата, т.е. Ги имаме сите податоци за ова. Ние пресметуваме:
.
Ја добиваме равенката на насоките на елипсата:
Пример 8.Составете ја канонската равенка на елипса ако нејзините фокуси се точки, а директорите се прави.
Канонската равенка на елипсата има форма
каде што a е полуглавната оска; б – полумала оска. Се повикуваат точките F1(c,0) и F2(-c,0) − c
а, б - полуоски на елипсата.
Наоѓање на фокуси, ексцентричност, правци на елипса, ако е позната нејзината канонска равенка.
Дефиниција на хипербола. Хиперболни трикови.
Дефиниција. Хипербола е збир на точки на рамнина за кои модулот на разликата во растојанија од две дадени точки, наречени фокуси, е константна вредност помала од растојанието помеѓу фокусите.
По дефиниција |r1 – r2|= 2a. F1, F2 - фокуси на хиперболата. F1F2 = 2c.
Канонската равенка на хипербола. Полуоски на хипербола. Конструирање хипербола ако е позната нејзината канонска равенка.
Канонска равенка:
Полуглавната оска на хиперболата е половина од минималното растојание помеѓу двете гранки на хиперболата, на позитивната и негативната страна на оската (лево и десно во однос на потеклото). За гранка која се наоѓа на од позитивната страна, полуоската ќе биде еднаква на:
Ако го изразиме преку конусен пресеки ексцентричност, тогаш изразот ќе има форма:
Наоѓање на фокуси, ексцентричност, директори на хипербола, ако е позната нејзината канонска равенка.
Хипербола ексцентричност
Дефиниција. Односот се нарекува ексцентричност на хиперболата, каде што c –
половина од растојанието помеѓу фокусите, и е вистинската полуоска.
Имајќи го предвид фактот дека c2 – a2 = b2:
Ако a = b, e = , тогаш хиперболата се нарекува рамностран (рамностран).
Директори на хипербола
Дефиниција. Две прави нормални на вистинската оска на хиперболата и лоцирани симетрично во однос на центарот на растојание a/e од него се нарекуваат директори на хиперболата. Нивните равенки се: .
Теорема. Ако r е растојанието од произволна точка M на хиперболата до кој било фокус, d е растојанието од истата точка до дирекцијата што одговара на овој фокус, тогаш односот r/d е константна вредност еднаква на ексцентричноста.
Дефиниција на парабола. Фокус и насока на параболата.
Парабола. Параболата е локус на точки, од кои секоја е подеднакво оддалечена од одредена фиксна точка и од дадена фиксна линија. Точката наведена во дефиницијата се нарекува фокус на параболата, а правата линија е нејзината насока.
Канонска равенка на парабола. Параметар на парабола. Изградба на парабола.
Канонската равенка на параболата во правоаголен координатен систем: (или, ако оските се заменети).
Конструкцијата на парабола за дадена вредност на параметарот p се изведува по следната низа:
Нацртајте ја оската на симетрија на параболата и нацртајте ја отсечката KF=p на неа;
Директорот DD1 е нацртан низ точката K нормална на оската на симетрија;
Отсечката KF е поделена на половина за да се добие темето 0 на параболата;
Серија произволни точки 1, 2, 3, 5, 6 се мерат од врвот со постепено зголемување на растојанието меѓу нив;
Преку овие точки, нацртајте помошни прави линии нормални на оската на параболата;
На помошни прави линии направете серии со радиус еднакво на растојаниетоод директен до директор;
Добиените точки се поврзани со мазна крива.
Теорема. Во канонскиот координатен систем за елипса, равенката на елипсата има форма:
Доказ. Докажувањето го спроведуваме во две фази. Во првата фаза, ќе докажеме дека координатите на која било точка што лежи на елипсата ја задоволуваат равенката (4). Во втората фаза, ќе докажеме дека секое решение на равенката (4) ги дава координатите на точката што лежи на елипсата. Од ова ќе следи дека равенката (4) ја задоволуваат тие и само тие точки координатна рамнина, кои лежат на елипсата. Од ова и од дефиницијата на равенката на крива ќе следи дека равенката (4) е равенка на елипса.
1) Нека точката M(x, y) е точка на елипсата, т.е. збирот на неговите фокални радиуси е 2а:
Да ја користиме формулата за растојанието помеѓу две точки на координатната рамнина и да ја користиме оваа формула за да ги најдеме фокалните радиуси на дадена точка М:
Од каде го добиваме:
Ајде да поместиме еден корен на десната страна на еднаквоста и да го квадратиме:
Намалувајќи, добиваме:
Ви претставуваме слични, намалуваме за 4 и го отстрануваме радикалот:
.
Квадратирање
Отворете ги заградите и скратете ги за:
каде добиваме:
Користејќи ја еднаквоста (2), добиваме:
.
Поделувајќи го последното равенство со , добиваме еднаквост (4) итн.
2) Нека сега пар броеви (x, y) ја задоволуваат равенката (4) и нека M(x, y) е соодветната точка на координатната рамнина Oxy.
Потоа од (4) следува:
Оваа еднаквост ја заменуваме во изразот за фокусните радиуси на точката М:
.
Овде користевме еднаквост (2) и (3).
Така,. Исто така,.
Сега забележете дека од еднаквоста (4) следува дека
Или итн. , тогаш следи неравенството:
Од тука следува, пак, дека
Од еднаквостите (5) произлегува дека, т.е. точката M(x, y) е точка на елипсата итн.
Теоремата е докажана.
Дефиниција. Равенката (4) се нарекува канонска равенка на елипсата.
Дефиниција. Канонските координатни оски за елипса се нарекуваат главни оски на елипсата.
Дефиниција. Потеклото на канонскиот координатен систем за елипса се нарекува центар на елипсата.
Елипсасе нарекува геометриски локус на точки во рамнина, за секоја од нив збирот на растојанијата до две дадени точки од истата рамнина, наречени фокуси на елипсата, е константна вредност. За елипсата може да се дадат уште неколку еквивалентни дефиниции. Заинтересираните можат да се запознаат со нив во посериозни учебници по аналитичка геометрија. Овде само забележуваме дека елипсата е крива добиена како проекција на рамнината на кругот што лежи во рамнината што се формира остар аголсо авион. За разлика од кругот, не е можно да се запише равенката на елипсата во произволен координатен систем во „погодна“ форма. Затоа, за фиксна елипса, потребно е да се избере координатен систем, така што неговата равенка е прилично едноставна. Нека и биде фокуси на елипсата. Да го поставиме потеклото на координатниот систем на средината на отсечката. Оската е насочена по овој сегмент, оската е насочена нормално на овој сегмент
24)Хипербола
Од училишниот курс по математика знаеме дека кривата дефинирана со равенката , каде што е број, се нарекува хипербола. Сепак, ова е посебен случај на хипербола (рамностран хипербола). Дефиниција 12. 5 Хипербола е место на точки на рамнина, за секоја од нив абсолутна вредностразликата во растојанија до две фиксни точки на иста рамнина, наречени фокуси на хипербола, е константна вредност. Исто како и во случај на елипса, за да се добие равенката на хипербола, избираме соодветен координатен систем. Да го поставиме потеклото на координатите во средината на отсечката помеѓу фокусите, да ја насочиме оската по овој сегмент и да ја насочиме оската на ординатите нормално на неа. Теорема 12. 3 Нека растојанието помеѓу фокусите и хиперболата е еднакво, а апсолутната вредност на разликата во растојанијата од точката на хиперболата до фокусите е еднаква. Тогаш хиперболата во координатниот систем избран погоре ја има равенката (12.8) каде 
(12.9) Доказ. Нека е моменталната точка на хиперболата (сл. 12.9). 
Ориз. 12 . 9 . Бидејќи разликата помеѓу две страни на триаголник е помала од третата страна, тогаш 
, тоа е , . Врз основа на последната неравенка, постои реалниот број дефиниран со формулата (12.9). По конвенција, фокусите се , . Користејќи ја формулата (10.4) за случај на рамнина, добиваме Со дефиниција на хипербола Оваа равенка ја пишуваме во форма Ние ги квадратуваме двете страни: Откако ќе донесеме слични членови и ќе поделиме со 4, доаѓаме до еднаквоста 
Повторно, ги квадратуваме двете страни: Отворајќи ја заградата и внесувајќи слични поими, добиваме Земајќи ја предвид формулата (12.9), равенката добива форма 
Да ги поделиме двете страни на равенката со и да ја добиеме равенката (12.8) Равенката (12.8) се нарекува канонска равенка на хипербола. Предлог 12. 3 Хиперболата има две меѓусебно нормални оски на симетрија, од кои едната ги содржи фокусите на хиперболата и центар на симетрија. Ако хиперболата е дадена со канонска равенка, тогаш нејзините оски на симетрија се
координатни оски и , а потеклото е центар на симетрија на хиперболата. Доказ. Доказот е сличен на предлогот 12.1. Да ја конструираме хиперболата дадена со равенката (12.8). Забележете дека, поради симетријата, доволно е да се конструира кривата само на првиот координатен агол. Да се изразиме од канонската равенка како функција, под услов,
и изгради график на оваа функција. Доменот на дефиниција е интервалот , , функцијата расте монотоно. Дериват 
постои во целиот домен на дефиниција, освен во точката. Затоа, графикот е мазна крива (без агли). Втор дериват 
е негативен во сите точки од интервалот, затоа графикот е конвексен нагоре. Да го провериме графикот за присуство на асимптота на . Нека асимптотата ја има равенката . Потоа, според правилата за математичка анализа 
Го множиме изразот под знакот за граница и го делиме со. Добиваме: Значи, графикот на функцијата има асимптота. Од симетријата на хиперболата произлегува дека и таа е асимптота. Природата на кривата во близина на точката останува нејасна, имено, дали графикот се формира 
а делот од хиперболата што е симетричен кон неа во однос на оската во оваа точка е агол или хипербола во оваа точка - мазна крива (постои тангента). За да го решиме ова прашање, изразуваме од равенката (12.8) преку: 
Очигледно е дека оваа функција има извод во точката , и во точката хиперболата има вертикална тангента. Користејќи ги добиените податоци, цртаме график на функцијата (Сл. 12.10). 
Ориз. 12 . 10. График на функција Конечно, користејќи ја симетријата на хиперболата, ја добиваме кривата на Слика 12.11. 
Ориз. 12 . 11. Дефиниција за хипербола 12. 6 Пресечните точки на хиперболата дефинирани со канонската равенка (12.8) со оската се нарекуваат темиња на хиперболата, отсечката меѓу нив се нарекува реална оска на хиперболата. Сегментот на оската на ординатите помеѓу точките се нарекува имагинарна оска. Броевите и се нарекуваат реални и имагинарни полуоски на хиперболата, соодветно. Потеклото на координатите се нарекува негов центар. Количината се нарекува ексцентричност на хиперболата. Забелешка 12. 3 Од еднаквоста (12.9) следува дека , односно за хиперболата . Ексцентричноста го карактеризира аголот помеѓу асимптотите; колку е поблиску до 1, толку е помал овој агол. Забелешка 12. 4 За разлика од елипсата, во канонската равенка на хипербола, односот помеѓу количините и може да биде произволен. Конкретно, кога ќе добиеме рамностран хипербола, позната од училишниот курс по математика. Нејзината равенка има позната форма ако ги земеме , и оските и ги насочиме по симетралите на четвртиот и првиот координатен агли (сл. 12.12). 
Ориз. 12 . 12. Рамнострана хипербола За да се одразат квалитативните карактеристики на хиперболата на слика, доволно е да се одредат нејзините темиња, да се нацртаат асимптоти и да се нацрта мазна крива што минува низ темињата, приближувајќи се до асимптотите и слична на кривата на слика 12.10. Пример 12. 4 Конструирајте хипербола, пронајдете ги нејзините фокуси и ексцентричност. Решение. Да ги поделиме двете страни на равенката со 4. Ја добиваме канонската равенка , . Цртаме асимптоти и конструираме хипербола (сл. 12.13). 
Ориз. 12 . 13.Хипербола Од формулата (12.9) добиваме. Тогаш триковите се , , . Пример 12. 5 Конструирај хипербола. Најдете ги неговите фокуси и ексцентричност. Решение. Ајде да ја трансформираме равенката во форма Оваа равенка не е канонска равенка на хипербола, бидејќи знаците се пред и спротивни на знаците во канонската равенка. Меѓутоа, ако ги редизајнираме променливите , тогаш во новите променливи ја добиваме канонската равенка. , равенката во оригиналните координати. Вистинската полуоска е еднаква на 5, имагинарната е 2. Во согласност со овие податоци, ја изведуваме конструкцијата (сл. 12.14). Ориз. 12 . 14.Хипербола со равенка Од формулата (12.9) добиваме, , фокусите лежат на реалната оска - , , каде што координатите се означени во оригиналниот координатен систем.
Парабола
ВО училишен курсматематиката ја проучувала параболата доволно детално, која, по дефиниција, била график квадратен трином. Овде ќе дадеме уште една (геометриска) дефиниција за парабола. Дефиниција 12. 7 Парабола е геометриски локус на точки на рамнина, за секоја од нив растојанието до фиксна точка на оваа рамнина, наречена фокус, е еднакво на растојанието до фиксна права линија што лежи во иста рамнина и се нарекува директна на параболата. За да се добие равенката на крива што одговара на оваа дефиниција, воведуваме соодветен координатен систем. За да го направите ова, спуштете ја нормалната од фокусот до дирекцијата. Да го поставиме потеклото на координатите во средината на отсечката и да ја насочиме оската по должината на отсечката така што нејзината насока се совпаѓа со насоката на векторот. Да ја нацртаме оската нормална на оската (сл. 12.15). 
Ориз. 12 . 15 . Теорема 12. 4 Нека растојанието помеѓу фокусот и дирекцијата на параболата е еднакво на . Тогаш во избраниот координатен систем параболата ја има равенката (12.10) Доказ. Во избраниот координатен систем, фокусот на параболата е точката, а дирекцијата ја има равенката (сл. 12.15). Нека е моменталната точка на параболата. Потоа според формулата (10.4) за рамен случајние најдовме 
Растојанието од точка до дирекцијата е должината на нормалната спуштена на дирекцијата од точката. Од слика 12.15 е очигледно дека . Тогаш по дефиниција за парабола, т.е 
Да ги квадратиме двете страни на последната равенка: 
каде 
Откако ќе донесеме слични поими, ја добиваме равенката (12.10). Равенката (12.10) се нарекува канонска равенка на параболата. Предлог 12. 4 Параболата има оска на симетрија. Ако параболата е дадена со канонска равенка, тогаш оската на симетрија се совпаѓа со оската. Доказ. Постапете на ист начин како доказот (Пропозиции 12.1). Точката на пресек на оската на симетрија со параболата се нарекува теме на параболата. Ако ги редизајнираме променливите, тогаш равенката (12.10) може да се напише во форма што се совпаѓа со вообичаената равенка на параболата во училишниот курс по математика. Затоа, ќе нацртаме парабола без дополнително истражување (сл. 12.16). 
Ориз. 12 . 16. Парабола Пример 12. 6 Конструирај парабола. Најдете го нејзиниот фокус и режисер. Решение. Равенката е канонската равенка на параболата, , . Оската на параболата е оската, темето е на почеток, гранките на параболата се насочени долж оската. За да конструираме, ќе најдеме неколку точки на параболата. За да го направите ова, доделуваме вредности на променливата и ги наоѓаме вредностите. Да земеме поени , , . Земајќи ја предвид симетријата околу оската, цртаме крива (сл. 12.17) 
Ориз. 12 . 17. Параболата дадена со равенката Фокус лежи на оската на растојание од темето, односно има координати . Дирекцијата има равенка, односно . Параболата, како елипса, има својство поврзано со рефлексијата на светлината (сл. 12.18). Да го формулираме имотот повторно без доказ. Предлог 12. 5 Нека биде фокусот на параболата, произволна точка на параболата и зрак со неговото потекло во точка паралелна со оската на параболата. Тогаш нормалата на параболата во точката го дели аголот формиран од отсечката и зракот на половина. 
Ориз. 12 . 18. Рефлексија на светлосен зрак од парабола Ова својство значи дека зрак светлина што го напушта фокусот, рефлектирана од параболата, потоа ќе оди паралелно со оската на оваа парабола. И обратно, сите зраци кои доаѓаат од бесконечноста и паралелно со оската на параболата ќе се спојат во нејзиниот фокус. Овој имот е широко користен во технологијата. Рефлектори обично имаат огледало, чија површина се добива со ротирање на парабола околу оската на симетрија (параболично огледало). Изворот на светлина во рефлектори е поставен во фокусот на параболата. Како резултат на тоа, рефлекторите произведуваат зрак од речиси паралелни зраци на светлина. Истото својство се користи при прием на антени за вселенски комуникации и во телескопски огледала, кои собираат прилив на паралелни зраци на радио бранови или прилив на паралелни зраци на светлина и го концентрираат во фокусот на огледалото.
26) Дефиниција на матрица. Матрицата е правоаголна табела со броеви која содржи одреден број m редови и одреден број од n колони.
Основни концепти на матрица: Броевите m и n се нарекуваат редови на матрицата. Ако m=n, матрицата се нарекува квадрат, а бројот m=n е неговиот ред.
Во продолжение, следната нотација ќе се користи за пишување на матрицата:
Иако понекогаш во литературата се појавува ознаката:
Меѓутоа, за накратко означување на матрица, често се користи една голема буква од латинската азбука (на пример, A), или симболот ||a ij ||, а понекогаш и со објаснување: A=||a ij ||= (a ij) (i =1,2,...,m; j=1,2,...n)
Броевите a ij вклучени во оваа матрица се нарекуваат нејзини елементи. Во записот a ij, првиот индекс i значи број на редот, а вториот индекс j значи број на колона.
На пример, матрица
ова е матрица од редот 2×3, нејзините елементи се 11 =1, a 12 =x, a 13 =3, a 21 =-2y, ...
Значи, ја воведовме дефиницијата за матрица. Да ги разгледаме типовите на матрици и да ги дадеме соодветните дефиниции.
Видови матрици
Да го воведеме концептот на матрици: квадрат, дијагонала, единица и нула.
Дефиниција за квадратна матрица: Квадратна матрицаМатрицата од n-ти ред се нарекува матрица n×n.
Во случај на квадратна матрица
Воведен е концептот на главни и секундарни дијагонали. Главна дијагоналана матрицата е дијагоналата што оди од горниот лев агол на матрицата до нејзиниот долен десен агол.
Странична дијагоналаод истата матрица се нарекува дијагонала која оди од долниот лев агол до горниот десен агол.
Концептот на дијагонална матрица: Дијагоналае квадратна матрица во која сите елементи надвор од главната дијагонала се еднакви на нула.
Концептот на матрицата на идентитетот: Слободна(означува E понекогаш и I) се нарекува дијагонална матрица со оние на главната дијагонала.
Концептот на нулта матрица:Нулае матрица чии елементи се сите нула.
За две матрици A и B се вели дека се еднакви (A=B) ако се со иста големина (т.е. имаат ист број на редови и ист број на колони и нивните соодветни елементи се еднакви). Па ако 
тогаш A=B, ако a 11 =b 11, a 12 =b 12, a 21 =b 21, a 22 =b 22
Матрици од посебен тип
Квадратна матрица 
повикани горен триаголен, ако на i>j, И долен триаголен, ако на јас
Општ приказ на триаголни матрици:
Забележете дека меѓу дијагоналните елементи 
може да има елементи еднакви на нула. Матрица 
наречен горен трапезиус ако се исполнети следните три услови:
1. за i>j;
2. Има такво нешто природен број r задоволување на нееднаквостите 
, Што 
.
3. Ако некој дијагонален елемент е , тогаш сите елементи i-та линијаи сите наредни линии се еднакви на нула.
Општ приказ на горните трапезоидни матрици:
на 
.
во .
на r=n
при r=m=n.
Забележете дека кога r=m=n, горната трапезоидна матрица е триаголна матрица со ненулта дијагонални елементи.
27) Дејства со матрици
Додавање на матрица
Може да се наредат матрици со иста големина.
Збирот на две такви матрици A и B се нарекува матрица C, чии елементи се еднакви на збирот на соодветните елементи на матриците A и B. Симболично ќе ја запишеме вака: A+B=C.
Лесно е да се види дека додавањето на матрици ги почитува комутативните и комбинираните закони:
(A+B)+C=A+(B+C).
При собирање на матрици, нултата матрица игра улога на обична нула при собирање броеви: A+0=A.
Одземање на матрици.
Разликата помеѓу две матрици A и B со иста големина е матрица C таква што
Од оваа дефиниција произлегува дека елементите на матрицата C се еднакви на разликата на соодветните елементи на матриците А и Б.
Разликата помеѓу матриците A и B се означува на следниов начин: C=A – B.
3. Множење на матрици
Размислете за правилото за множење на две квадратни матрици од втор ред.
Производот на матрицата A и матрицата B се нарекува матрица C=AB.
Правила за множење правоаголни матрици:
Множењето на матрицата А со матрицата Б има смисла во случај кога бројот на колони од матрицата А се совпаѓа со бројот на редови во матрицата Б.
Како резултат на множење на две правоаголни матрици, се добива матрица која содржи онолку редови колку што имало редови во првата матрица и толку колони колку што имало колони во втората матрица.
4. Множење на матрица со број
Кога матрицата А се множи со бројот , сите броеви што ја сочинуваат матрицата А се множат со бројот . На пример, да ја помножиме матрицата со бројот 2. Добиваме, т.е. При множење на матрица со број, факторот се „воведува“ под знакот на матрицата.
Транспонирање на матрица
Транспонирана матрица е матрица AT добиена од оригиналната матрица А со замена на редовите со колони.
Формално, транспонираната матрица за матрица А со димензии m*n е матрица AT со димензии n*m, дефинирана како AT = A .
На пример,
Својства на транспонирани матрици
2. (А + Б) Т = АТ + БТ
28) Концептот на детерминанта од n-ти ред
Да ни биде дадена квадратна табела која се состои од броеви распоредени во n хоризонтални и n вертикални редови. Користејќи ги овие броеви, според одредени правила, се пресметува одреден број, кој се нарекува детерминанта од n-ти ред и се означува на следниов начин:
(1)
Хоризонталните редови во детерминантата (1) се нарекуваат редови, вертикалните редови се нарекуваат колони, броевите се елементи на детерминантата (првиот индекс значи број на редот, вториот - бројот на колоната на чиј пресек стои елементот i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Редоследот на детерминантата е бројот на нејзините редови и колони.
Имагинарна права линија што ги поврзува елементите на детерминантата за која и двата индекса се исти, т.е. елементи
се нарекува главна дијагонала, другата дијагонала се нарекува секундарна дијагонала.
Детерминанта од n-ти ред е број кој е алгебарски збир од n! термини, од кои секој е производ на n од неговите елементи, земени само по еден од секоја n реда и од секоја n колона од квадратна табела со броеви, при што половина од (одредените) термини земени со нивните знаци, а останатите со спротивни знаци.
Да покажеме како се пресметуваат детерминантите од првите три реда.
Детерминанта од прв ред е самиот елемент, т.е.
Детерминантата од втор ред е бројот добиен на следниов начин:
(2)
Формулата (3) покажува дека термините земени со нивните знаци се производ на елементите на главната дијагонала, како и елементите лоцирани на темињата на два триаголници, чии основи се паралелни со неа; со спротивни - поими што се производи на елементи на страничната дијагонала, како и елементи лоцирани на темињата на два триаголници кои се паралелни со неа.
Пример 2. Пресметај ја детерминантата од трет ред:
Решение. Користејќи го правилото за триаголник, добиваме
Пресметката на детерминантите од четвртиот и последователниот ред може да се сведе на пресметката на детерминантите од вториот и третиот ред. Ова може да се направи со користење на својствата на детерминантите. Сега продолжуваме да ги разгледуваме.
Својства на детерминантата од n-ти ред
Својство 1. При замена на редови со колони (транспозиција), вредноста на детерминантата нема да се промени, т.е.
Својство 2. Ако барем еден ред (ред или колона) се состои од нули, тогаш детерминантата е еднаква на нула. Доказот е очигледен.
Всушност, тогаш во секој член на детерминантата еден од факторите ќе биде нула.
Својство 3. Ако две соседни паралелни редови (редови или колони) се заменети во детерминантата, тогаш детерминантата ќе го промени својот знак во спротивен, т.е.
Својство 4. Ако детерминантата содржи две идентични паралелни серии, тогаш детерминантата е еднаква на нула:
Својство 5. Ако две паралелни серии во детерминантата се пропорционални, тогаш детерминантата е еднаква на нула:
Својство 6. Ако сите елементи на детерминантата што се во ист ред се помножат со ист број, тогаш вредноста на детерминантата ќе се промени за овој број пати:
Последица. Заедничкиот фактор содржан во сите елементи од еден ред може да се извади од знакот за детерминанта, на пример:
Својство 7. Ако во детерминанта сите елементи од една серија се претставени како збир од два члена, тогаш таа е еднаква на збирот на две детерминанти:
Својство 8. Ако производот на соодветните елементи на паралелна серија со константен фактор се додаде на елементите на која било серија, тогаш вредноста на детерминантата нема да се промени:
Својство 9. Ако на елементите од i-тата серија се додаде линеарна комбинација од соодветните елементи од неколку паралелни серии, тогаш вредноста на детерминантата нема да се промени:
може да се конструираат различни минори од прв, втор и трет ред.
