Формула за збир на n-тиот број на аритметичка прогресија. Аритметичка прогресија: што е тоа? Збир на членови на аритметичка прогресија

Ако за секој природен број n одговара на реален број a n , тогаш велат дека е дадено броена низа :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

Значи, низата на броеви е функција на природниот аргумент.

Број а 1 повикани првиот член од низата , број а 2 — вториот член од низата , број а 3 — трето и така натаму. Број a n повикани n-ти мандатсеквенци , и природен број n — неговиот број .

Од двајца соседни членови a n И a n +1 член на низата a n +1 повикани последователните (кон a n ), А a n — претходно (кон a n +1 ).

За да дефинирате низа, треба да наведете метод кој ви овозможува да пронајдете член на низата со кој било број.

Често низата се одредува со користење формули за n-ти член , односно формула која ви овозможува да одредите член на низа по неговиот број.

На пример,

со формулата може да се даде низа од позитивни непарни броеви

a n= 2n- 1,

и редоследот на наизменични 1 И -1 - формула

б n = (-1)n +1 . ◄

Може да се одреди редоследот рекурентна формула, односно формула која изразува кој било член од низата, почнувајќи од некои, преку претходните (еден или повеќе) членови.

На пример,

Ако а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогаш првите седум члена од нумеричката низа се воспоставуваат на следниов начин:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Секвенците можат да бидат конечна И бескрајна .

Низата се нарекува крајна , ако има конечен број членови. Низата се нарекува бескрајна , ако има бесконечно многу членови.

На пример,

низа од двоцифрена природни броеви:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечна.

Низа прости броеви:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бескрајна. ◄

Низата се нарекува се зголемува , ако секој негов член, почнувајќи од вториот, е поголем од претходниот.

Низата се нарекува се намалува , ако секој негов член, почнувајќи од вториот, е помал од претходниот.

На пример,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — зголемена секвенца;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - секвенца на намалување. ◄

Се нарекува низа чии елементи не се намалуваат како што се зголемува бројот или, обратно, не се зголемуваат монотона низа .

Монотони секвенци, особено, се секвенци во пораст и секвенци што се намалуваат.

Аритметичка прогресија

Аритметичка прогресија е низа во која секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, на кој се додава истиот број.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметичка прогресија ако за кој било природен број n е исполнет условот:

a n +1 = a n + г,

Каде г - одреден број.

Така, разликата помеѓу последователните и претходните термини на дадена аритметичка прогресијасекогаш константна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = г.

Број г повикани разлика на аритметичката прогресија.

За да се дефинира аритметичка прогресија, доволно е да се наведат нејзиниот прв член и разлика.

На пример,

Ако а 1 = 3, г = 4 , тогаш ги наоѓаме првите пет члена од низата како што следува:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + г = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + г= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + г= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметичка прогресија со првиот член а 1 и разликата г неа n

a n = а 1 + (n- 1)г.

На пример,

најдете го триесеттиот член од аритметичката прогресија

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, г = 3,

а 30 = а 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

а n-1 = а 1 + (n- 2)г,

a n= а 1 + (n- 1)г,

a n +1 = а 1 + nd,

тогаш очигледно

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Секој член на аритметичка прогресија, почнувајќи од вториот, е еднаков на аритметичката средина на претходните и следните членови.

Броевите a, b и c се последователни членови на некоја аритметичка прогресија ако и само ако еден од нив е еднаков на аритметичката средина на другите два.

На пример,

a n = 2n- 7 , е аритметичка прогресија.

Да ја искористиме горната изјава. Ние имаме:

a n = 2n- 7,

а n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

а n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Оттука,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Забележи го тоа n Терминот на аритметичката прогресија може да се најде не само преку а 1 , но и секој претходен а к

a n = а к + (n- к)г.

На пример,

За а 5 може да се запише

а 5 = а 1 + 4г,

а 5 = а 2 + 3г,

а 5 = а 3 + 2г,

а 5 = а 4 + г. ◄

a n = a n-k + кд,

a n = а n+k - кд,

тогаш очигледно

a n=	а n-k +а n+k
	2

кој било член на аритметичка прогресија, почнувајќи од втората, е еднаков на половина од збирот на еднакво распоредените членови на оваа аритметичка прогресија.

Дополнително, за која било аритметичка прогресија важи следнава еднаквост:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

На пример,

во аритметичка прогресија

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = а 3 + 7г= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (а 7 + а ​​13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, бидејќи

а 2 + а 12= 4 + 34 = 38,

а 5 + а 9 = 13 + 25 = 38. ◄

С н= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

прво n Членовите на аритметичката прогресија се еднакви на производот од половина од збирот на екстремните членови и бројот на членови:

Од тука, особено, произлегува дека ако треба да ги сумирате условите

а к, а к +1 , . . . , a n,

тогаш претходната формула ја задржува својата структура:

На пример,

во аритметичка прогресија 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметичка прогресија, тогаш количините а 1 , a n, г, nИС n поврзани со две формули:

Затоа, ако се дадени вредностите на три од овие количини, тогаш соодветните вредности на другите две количини се одредуваат од овие формули, комбинирани во систем од две равенки со две непознати.

Аритметичката прогресија е монотона низа. При што:

• Ако г > 0 , тогаш се зголемува;
• Ако г < 0 , тогаш се намалува;
• Ако г = 0 , тогаш низата ќе биде стационарна.

Геометриска прогресија

Геометриска прогресија е низа во која секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот помножен со ист број.

б 1 , б 2 , б 3 , . . . , b n, . . .

е геометриска прогресија ако за кој било природен број n е исполнет условот:

b n +1 = b n · q,

Каде q ≠ 0 - одреден број.

Така, односот на последователниот член на дадена геометриска прогресијаима постојан број на претходниот:

б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Број q повикани именител на геометриска прогресија.

За да се дефинира геометриска прогресија, доволно е да се наведат нејзиниот прв член и именител.

На пример,

Ако б 1 = 1, q = -3 , тогаш ги наоѓаме првите пет члена од низата како што следува:

б 1 = 1,

б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,

б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,

б 5 = б 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

б 1 и именител q неа n Терминот може да се најде со помош на формулата:

b n = б 1 · qn -1 .

На пример,

најдете го седмиот член од геометриската прогресија 1, 2, 4, . . .

б 1 = 1, q = 2,

б 7 = б 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = б 1 · qn -2 ,

b n = б 1 · qn -1 ,

b n +1 = б 1 · qn,

тогаш очигледно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

секој член на геометриската прогресија, почнувајќи од вториот, е еднаков на геометриската средина (пропорционална) на претходните и следните членови.

Бидејќи обратното е исто така точно, важи следнава изјава:

Броевите a, b и c се последователни членови на некоја геометриска прогресија ако и само ако квадратот на еден од нив е еднаков на производот на другите два, односно еден од броевите е геометриска средина на другите два.

На пример,

Да докажеме дека низата дадена со формулата b n= -3 2 n , е геометриска прогресија. Да ја искористиме горната изјава. Ние имаме:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Оттука,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

што ја докажува посакуваната изјава. ◄

Забележи го тоа n Терминот на геометриската прогресија може да се најде не само преку б 1 , но и секој претходен член b k , за што е доволно да се користи формулата

b n = b k · qn - к.

На пример,

За б 5 може да се запише

б 5 = б 1 · q 4 ,

б 5 = б 2 · q 3,

б 5 = б 3 · q 2,

б 5 = б 4 · q. ◄

b n = b k · qn - к,

b n = b n - к · q k,

тогаш очигледно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратот на кој било член на геометриска прогресија, почнувајќи од вториот, е еднаков на производот од членовите на оваа прогресија на еднакво оддалеченост од него.

Покрај тоа, за која било геометриска прогресија, еднаквоста е вистинита:

b m· b n= b k· b l,

м+ n= к+ л.

На пример,

во геометриска прогресија

1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;

2) 1024 = б 11 = б 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;

4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , бидејќи

б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,

б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄

С н= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + b n

прво n членови на геометриска прогресија со именител q ≠ 0 пресметано со формулата:

И кога q = 1 - според формулата

С н= nb 1

Забележете дека ако треба да ги сумирате условите

b k, b k +1 , . . . , b n,

тогаш се користи формулата:

С н- С к -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - к +1	.
	1 - q

На пример,

во геометриска прогресија 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометриска прогресија, тогаш количините б 1 , b n, q, nИ С н поврзани со две формули:

Затоа, ако се дадени вредностите на кои било три од овие количини, тогаш соодветните вредности на другите две количини се одредуваат од овие формули, комбинирани во систем од две равенки со две непознати.

За геометриска прогресија со првиот член б 1 и именител q се одвиваат следните својства на монотоност :

• прогресијата се зголемува доколку е исполнет еден од следниве услови:

б 1 > 0 И q> 1;

б 1 < 0 И 0 < q< 1;

• Прогресијата се намалува доколку се исполни еден од следниве услови:

б 1 > 0 И 0 < q< 1;

б 1 < 0 И q> 1.

Ако q< 0 , тогаш геометриската прогресија е наизменично: членовите со непарни броеви имаат ист знак како првиот член, а членовите со парни броеви имаат спротивен знак. Јасно е дека наизменичната геометриска прогресија не е монотона.

Производ на првиот n условите на геометриската прогресија може да се пресметаат со формулата:

P n= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (б 1 · b n) n / 2 .

На пример,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Бесконечно намалена геометриска прогресија

Бесконечно намалена геометриска прогресија наречена бесконечна геометриска прогресија чиј именител модул е ​​помал 1 , тоа е

|q| < 1 .

Забележете дека бесконечно опаѓачката геометриска прогресија може да не е низа што се намалува. Тоа одговара на приликата

1 < q< 0 .

Со таков именител, низата се менува. На пример,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Збирот на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија наведете го бројот до кој збирот на првите се приближува без ограничување n членови на прогресија со неограничено зголемување на бројот n . Овој број е секогаш конечен и се изразува со формулата

С= б 1 + б 2 + б 3 + . . . =	б 1	.
	1 - q

На пример,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Врска помеѓу аритметички и геометриски прогресии

Аритметичките и геометриските прогресии се тесно поврзани. Ајде да погледнеме само два примери.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . г , Тоа

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . б г .

На пример,

1, 3, 5, . . . - аритметичка прогресија со разлика 2 И

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометриска прогресија со именител 7 2 . ◄

б 1 , б 2 , б 3 , . . . - геометриска прогресија со именител q , Тоа

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - аритметичка прогресија со разлика дневник аq .

На пример,

2, 12, 72, . . . - геометриска прогресија со именител 6 И

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметичка прогресија со разлика lg 6 . ◄

При изучување на алгебра во средно школо(9-то одделение) еден од важни темие проучување на низите на броеви, кои вклучуваат прогресии - геометриски и аритметички. Во оваа статија ќе разгледаме аритметичка прогресија и примери со решенија.

Што е аритметичка прогресија?

За да се разбере ова, неопходно е да се дефинира прогресијата за која станува збор, како и да се дадат основните формули кои подоцна ќе се користат при решавање на проблемите.

Аритметичка или алгебарска прогресија е збир на подредени рационални броеви, од кои секој член се разликува од претходниот по одредена константна вредност. Оваа вредност се нарекува разлика. Односно, познавајќи го кој било член на нарачана серија на броеви и разликата, можете да ја вратите целата аритметичка прогресија.

Да дадеме пример. Следната низа од броеви ќе биде аритметичка прогресија: 4, 8, 12, 16, ..., бидејќи разликата во овој случај е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но, множеството од броеви 3, 5, 8, 12, 17 повеќе не може да се припише на видот на прогресијата што се разгледува, бидејќи разликата за тоа не е константна вредност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Сега да ги претставиме основните формули кои ќе бидат потребни за решавање на проблеми со помош на аритметичка прогресија. Да означиме со симболот a n n-ти мандатнизи каде n е цел број. Разликата ја означуваме со латинската буква d. Тогаш важат следните изрази:

1. За да се одреди вредноста на n-тиот член, погодна е следната формула: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. За да се одреди збирот на првите n членови: S n = (a n +a 1)*n/2.

За да се разберат какви било примери на аритметичка прогресија со решенија во 9-то одделение, доволно е да се запаметат овие две формули, бидејќи сите проблеми од типот што се разгледува се засноваат на нивната употреба. Исто така, треба да запомните дека разликата во прогресијата се одредува со формулата: d = a n - a n-1.

Пример #1: наоѓање непознат поим

Да дадеме едноставен пример за аритметичка прогресија и формулите што треба да се користат за да се реши.

Нека биде дадена низата 10, 8, 6, 4, ..., во неа треба да најдете пет члена.

Од условите на проблемот веќе произлегува дека првите 4 поими се познати. Петтиот може да се дефинира на два начина:

1. Ајде прво да ја пресметаме разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. Слично на тоа, можете да земете кои било други други членови кои стојат еден до друг. На пример, d = 4 - 6 = -2. Бидејќи е познато дека d = a n - a n-1, тогаш d = a 5 - a 4, од што добиваме: a 5 = a 4 + d. Ги заменуваме познатите вредности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Вториот метод исто така бара познавање на разликата во односната прогресија, така што прво треба да ја одредите како што е прикажано погоре (d = -2). Знаејќи дека првиот член a 1 = 10, ја користиме формулата за n бројот на низата. Имаме: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Заменувајќи го n = 5 во последниот израз, добиваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Како што можете да видите, двете решенија доведоа до истиот резултат. Забележете дека во овој пример, разликата во прогресијата d е негативна вредност. Ваквите низи се нарекуваат опаѓачки, бидејќи секој следен член е помал од претходниот.

Пример #2: разлика во прогресијата

Сега да ја комплицираме задачата малку, да дадеме пример како

Познато е дека кај некои првиот член е еднаков на 6, а седмиот член е еднаков на 18. Неопходно е да се најде разликата и да се врати оваа низа на 7-ми член.

Да ја користиме формулата за да го одредиме непознатиот член: a n = (n - 1) * d + a 1 . Да ги замениме познатите податоци од условот во него, односно броевите a 1 и a 7, имаме: 18 = 6 + 6 * d. Од овој израз можете лесно да ја пресметате разликата: d = (18 - 6) /6 = 2. Така, го одговоривме првиот дел од задачата.

За да ја вратите низата до седмиот член, треба да ја користите дефиницијата за алгебарска прогресија, односно a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d итн. Како резултат на тоа, ја враќаме целата низа: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Пример бр. 3: изготвување прогресија

Да го искомплицираме проблемот уште повеќе. Сега треба да одговориме на прашањето како да најдеме аритметичка прогресија. Може да се даде следниов пример: дадени се два броја, на пример - 4 и 5. Потребно е да се создаде алгебарска прогресија така што меѓу нив ќе се постават уште три члена.

Пред да започнете да го решавате овој проблем, треба да разберете какво место ќе заземат дадените броеви во идната прогресија. Бидејќи меѓу нив ќе има уште три члена, тогаш 1 = -4 и 5 = 5. Откако го утврдивме ова, преминуваме на проблемот, кој е сличен на претходниот. Повторно, за n-тиот член ја користиме формулата, добиваме: a 5 = a 1 + 4 * d. Од: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Она што го добивме овде не е цел бројна вредност на разликата, но тоа е рационален број, така што формулите за алгебарската прогресија остануваат исти.

Сега да ја додадеме пронајдената разлика на 1 и да ги вратиме термините што недостасуваат од прогресијата. Добиваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, што се совпаѓа со условите на проблемот.

Пример бр. 4: прв рок на прогресија

Да продолжиме да даваме примери за аритметичка прогресија со решенија. Во сите претходни задачи беше познат првиот број на алгебарската прогресија. Сега да разгледаме проблем од различен тип: нека се дадат два броја, каде што е 15 = 50 и 43 = 37. Неопходно е да се најде со кој број започнува оваа низа.

Досега користените формули претпоставуваат познавање на 1 и d. Во изјавата за проблемот, ништо не се знае за овие бројки. Сепак, ќе запишеме изрази за секој поим за кои информации се достапни: a 15 = a 1 + 14 * d и a 43 = a 1 + 42 * d. Добивме две равенки во кои има 2 непознати величини (а 1 и г). Тоа значи дека проблемот се сведува на решавање на систем од линеарни равенки.

Најлесен начин да се реши овој систем е да се изрази 1 во секоја равенка и потоа да се споредат добиените изрази. Првата равенка: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; втора равенка: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Изедначувајќи ги овие изрази, добиваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, од каде разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (дадени се само 3 децимални места).

Знаејќи го d, можете да користите кој било од 2-те изрази погоре за 1. На пример, прво: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ако се сомневате во добиениот резултат, можете да го проверите, на пример, да го одредите 43-от термин на прогресијата, што е наведено во условот. Добиваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Малата грешка се должи на фактот што во пресметките се користело заокружување на илјадити делови.

Пример бр. 5: износ

Сега да погледнеме неколку примери со решенија за збир на аритметичка прогресија.

Нека е дадена нумеричка прогресија од следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Како да се пресмета збирот од 100 од овие броеви?

Благодарение на развојот компјутерска технологијаможете да го решите овој проблем, односно да ги додадете сите броеви последователно, што компјутерот ќе го направи веднаш штом некое лице ќе го притисне копчето Enter. Меѓутоа, проблемот може да се реши ментално ако обрнете внимание дека претставената серија на броеви е алгебарска прогресија, а нејзината разлика е еднаква на 1. Применувајќи ја формулата за збирот, добиваме: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Интересно е да се забележи дека овој проблем е наречен „Гаус“ бидејќи во почетокот на XVIIIвек, познатиот Германец, додека имал уште само 10 години, успеал да го реши тоа во својата глава за неколку секунди. Момчето не ја знаело формулата за збир на алгебарска прогресија, но забележал дека ако ги соберете броевите на краевите на низата во парови, секогаш го добивате истиот резултат, односно 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а бидејќи овие збирови ќе бидат точно 50 (100 / 2), тогаш за да се добие точниот одговор доволно е да се помножи 50 со 101.

Пример бр. 6: збир на членови од n до m

Друг типичен пример за збир на аритметичка прогресија е следниов: дадени се низа броеви: 3, 7, 11, 15, ..., треба да најдете колку ќе биде еднаков збирот на членовите од 8 до 14. .

Проблемот се решава на два начина. Првиот од нив вклучува пронаоѓање непознати поими од 8 до 14, а потоа последователно собирање. Бидејќи има неколку термини, овој метод не е доста трудоинтензивен. Сепак, се предлага да се реши овој проблем со помош на втор метод, кој е поуниверзален.

Идејата е да се добие формула за збирот на алгебарската прогресија помеѓу членовите m и n, каде што n > m се цели броеви. За двата случаи, пишуваме два изрази за збирот:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Бидејќи n > m, очигледно е дека вториот збир го вклучува првиот. Последниот заклучок значи дека ако ја земеме разликата меѓу овие збирови и на неа го додадеме поимот a m (во случај да се земе разликата, таа се одзема од збирот S n), ќе го добиеме потребниот одговор на задачата. Имаме: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Неопходно е да се заменат формулите за n и a m во овој израз. Потоа добиваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Резултирачката формула е донекаде незгодна, сепак, збирот S mn зависи само од n, m, a 1 и d. Во нашиот случај, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Заменувајќи ги овие броеви, добиваме: S mn = 301.

Како што може да се види од горенаведените решенија, сите задачи се засноваат на познавање на изразот за n-тиот член и формулата за збир на множеството од први членови. Пред да започнете да решавате некој од овие проблеми, се препорачува внимателно да ја прочитате состојбата, јасно да разберете што треба да најдете и дури потоа да продолжите со решението.

Друг совет е да се стремите кон едноставност, односно, ако можете да одговорите на прашање без да користите сложени математички пресметки, тогаш треба да го направите токму тоа, бидејќи во овој случај веројатноста да направите грешка е помала. На пример, во примерот на аритметичка прогресија со решение бр. 6, може да се застане на формулата S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, и пауза заедничка задачаво посебни подзадачи (во овој случај, прво најдете ги поимите a n и a m).

Доколку се сомневате во добиениот резултат, се препорачува да го проверите, како што беше направено во некои од дадените примери. Дознавме како да најдеме аритметичка прогресија. Ако го сфатите тоа, не е толку тешко.

Значи, да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:
Можете да напишете какви било броеви, а може да ги има онолку колку што сакате (во нашиот случај, ги има). Колку и да напишеме броеви, секогаш можеме да кажеме кој е прв, кој е втор и така до последниот, односно да ги нумерираме. Ова е пример за броена низа:

Редоследот на броеви
На пример, за нашата низа:

Доделениот број е специфичен за само еден број во низата. Со други зборови, нема три втори броеви во низата. Вториот број (како и ти број) е секогаш ист.
Бројот со број се нарекува ти член од низата.

Обично ја нарекуваме целата низа со некоја буква (на пример,), и секој член од оваа низа е иста буква со индекс еднаков на бројот на овој член: .

Во нашиот случај:

Да речеме дека имаме бројна низа во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.
На пример:

итн.
Оваа бројна низа се нарекува аритметичка прогресија.
Терминот „прогресија“ бил воведен од римскиот автор Боетиј уште во 6 век и бил сфатен во повеќе во широка смисла, како бесконечна броена низа. Името „аритметика“ е пренесено од теоријата на континуирани пропорции, која ја проучувале античките Грци.

Ова е бројна низа, чиј член е еднаков на претходниот додаден на истиот број. Овој број се нарекува разлика на аритметичка прогресија и е означен.

Обидете се да одредите кои низи од броеви се аритметичка прогресија, а кои не се:

а)
б)
в)
г)

Разбрав? Ајде да ги споредиме нашите одговори:
Еаритметичка прогресија - b, c.
не еаритметичка прогресија - a, d.

Да се ​​вратиме на дадената прогресија () и да се обидеме да ја најдеме вредноста на нејзиниот от член. Постои дваначин да го најдете.

1. Метод

Можеме да го додадеме бројот на прогресијата на претходната вредност додека не го достигнеме тиот член на прогресијата. Добро е што немаме многу да резимираме - само три вредности:

Значи, тиот член на опишаната аритметичка прогресија е еднаков на.

2. Метод

Што ако треба да ја најдеме вредноста на тиот член на прогресијата? Збирот би ни одзел повеќе од еден час, а не е факт дека не би грешиле при собирањето броеви.
Се разбира, математичарите дошле до начин на кој не е неопходно да се додаде разликата на аритметичката прогресија на претходната вредност. Погледнете ја подетално нацртаната слика... Сигурно веќе сте забележале одредена шема и тоа:

На пример, да видиме од што се состои вредноста на тиот член на оваа аритметичка прогресија:


Со други зборови:

Обидете се сами да ја пронајдете вредноста на член на дадена аритметичка прогресија на овој начин.

Дали пресметавте? Споредете ги вашите белешки со одговорот:

Ве молиме имајте предвид дека го добивте точно истиот број како и во претходниот метод, кога последователно ги додадовме условите на аритметичката прогресија на претходната вредност.
Ајде да се обидеме да ја „обезличиме“ оваа формула - да ја ставиме во општа форма и да добиеме:

Равенка за аритметичка прогресија.

Аритметичките прогресии може да се зголемуваат или намалуваат.

Зголемување- прогресии во кои секоја следна вредност на поимите е поголема од претходната.
На пример:

Опаѓачки- прогресии во кои секоја следна вредност на поимите е помала од претходната.
На пример:

Изведената формула се користи при пресметување на поими и во зголемување и во намалување на аритметичката прогресија.
Ајде да го провериме ова во пракса.
Дадена ни е аритметичка прогресија која се состои од следните броеви: Ајде да провериме кој ќе биде тиот број на оваа аритметичка прогресија ако ја користиме нашата формула за да ја пресметаме:

Од тогаш:

Така, ние сме убедени дека формулата работи и во намалување и во зголемување на аритметичката прогресија.
Обидете се сами да ги пронајдете тите и членовите на оваа аритметичка прогресија.

Ајде да ги споредиме резултатите:

Својство на аритметичка прогресија

Ајде да го комплицираме проблемот - ќе го изведеме својството на аритметичка прогресија.
Да речеме дека ни е даден следниот услов:
- аритметичка прогресија, најдете ја вредноста.
Лесно, велиш и почнуваш да броиш според формулата што веќе ја знаеш:

Нека, а, тогаш:

Апсолутно во право. Излегува дека прво наоѓаме, потоа го додаваме на првиот број и го добиваме она што го бараме. Ако прогресијата е претставена со мали вредности, тогаш нема ништо комплицирано во тоа, но што ако ни се дадени бројки во условот? Се согласувам, постои можност да се направи грешка во пресметките.
Сега размислете дали е можно да се реши овој проблем во еден чекор користејќи која било формула? Се разбира, да, и тоа е она што ќе се обидеме да го откриеме сега.

Дозволете ни да го означиме потребниот член на аритметичката прогресија како што ни е позната формулата за наоѓање - ова е истата формула што ја изведовме на почетокот:
, Потоа:

• претходниот термин на прогресијата е:
• следниот термин на прогресијата е:

Ајде да ги сумираме претходните и следните услови на прогресијата:

Излегува дека збирот на претходните и следните членови на прогресијата е двојната вредност на членот за прогресија што се наоѓа меѓу нив. Со други зборови, за да ја пронајдете вредноста на терминот за прогресија со познати претходни и последователни вредности, треба да ги соберете и поделите со.

Така е, го добивме истиот број. Да го обезбедиме материјалот. Пресметајте ја вредноста за прогресијата сами, тоа не е воопшто тешко.

Добро сторено! Знаете речиси сè за прогресијата! Останува да дознаеме само една формула, која, според легендата, лесно ја заклучил еден од најголемите математичари на сите времиња, „кралот на математичарите“ - Карл Гаус...

Кога Карл Гаус имал 9 години, еден наставник, зафатен со проверка на работата на учениците во другите класови, ја доделил следната задача на часот: „Пресметај го збирот на сите природни броеви од до (според други извори до) инклузивно“. Замислете го изненадувањето на наставникот кога еден од неговите ученици (ова беше Карл Гаус) една минута подоцна го даде точниот одговор на задачата, додека повеќето од соучениците на храбриот, по долги пресметки, добија погрешен резултат...

Младиот Карл Гаус забележал одредена шема која лесно можете да ја забележите и вие.
Да речеме дека имаме аритметичка прогресија која се состои од -ти членови: Треба да го најдеме збирот на овие членови на аритметичката прогресија. Се разбира, можеме рачно да ги сумираме сите вредности, но што ако задачата бара да се најде збирот на нејзините поими, како што бараше Гаус?

Дозволете ни да ја прикажеме прогресијата што ни е дадена. Погледнете ги подетално истакнатите броеви и обидете се да извршите разни математички операции со нив.


Дали сте го пробале? Што забележавте? Во право! Нивните збирови се еднакви

Сега кажи ми колку такви парови има вкупно во прогресијата што ни е дадена? Се разбира, точно половина од сите бројки, т.е.
Врз основа на фактот дека збирот на два члена на аритметичката прогресија е еднаков, а сличните парови се еднакви, добиваме дека вкупниот збир е еднаков на:
.
Така, формулата за збир на првите членови на која било аритметичка прогресија ќе биде:

Кај некои проблеми не го знаеме поимот, но ја знаеме разликата во прогресијата. Обидете се да ја замените формулата на членот во формулата за сума.
Што доби?

Добро сторено! Сега да се вратиме на проблемот што му беше поставен на Карл Гаус: пресметајте сами колку е еднаков збирот на броеви кои почнуваат од th и збирот на броевите што почнуваат од th.

Колку добивте?
Гаус откри дека збирот на членовите е еднаков, и збирот на членовите. Дали така одлучивте?

Всушност, формулата за збирот на поимите на аритметичката прогресија ја докажал античкиот грчки научник Диофант уште во 3 век, и во текот на ова време, духовитите луѓе целосно ги користеле својствата на аритметичката прогресија.
На пример, замислете Антички Египети најголемиот градежен зафат од тоа време - изградбата на пирамида... На сликата е прикажана едната страна од неа.

Каде е тука прогресијата, велиш? Погледнете внимателно и пронајдете шема во бројот на песочни блокови во секој ред од ѕидот на пирамидата.


Зошто не аритметичка прогресија? Пресметајте колку блокови се потребни за да се изгради еден ѕид ако на основата се поставени блок тули. Се надевам дека нема да броите додека го движите прстот преку мониторот, се сеќавате на последната формула и се што кажавме за аритметичката прогресија?

Во овој случај, прогресијата изгледа вака: .
Разлика во аритметичката прогресија.
Број на членови на аритметичка прогресија.
Ајде да ги замениме нашите податоци во последните формули (да го пресметаме бројот на блокови на 2 начини).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да пресметате на мониторот: споредете ги добиените вредности со бројот на блокови што се во нашата пирамида. Разбрав? Браво, го совладавте збирот на n-ти членови на аритметичка прогресија.
Се разбира, не можете да изградите пирамида од блокови во основата, но од? Обидете се да пресметате колку песочни тули се потребни за да се изгради ѕид со оваа состојба.
Дали се снајде?
Точниот одговор е блокови:

Обука

Задачи:

1. Маша влегува во форма за лето. Секој ден таа го зголемува бројот на сквотови за. Колку пати Маша ќе прави чучњеви во една недела ако направи сквотови на првиот тренинг?
2. Колкав е збирот на сите непарни броеви содржани во.
3. При складирање на дневници, дрвосечачите ги редат на таков начин што секој горен слој содржи еден дневник помалку од претходниот. Колку трупци има во една ѕидарија, ако основата на ѕидањето е трупци?

Одговори:

1. Да ги дефинираме параметрите на аритметичката прогресија. Во овој случај
   (недели = денови).

   Одговор:За две недели, Маша треба да прави сквотови еднаш дневно.

2. Прво чуден број, последен број.
   Разлика во аритметичката прогресија.
   Бројот на непарни броеви во е половина, меѓутоа, ајде да го провериме овој факт користејќи ја формулата за наоѓање на членот на аритметичка прогресија:

   Броевите содржат непарни броеви.
   Ајде да ги замениме достапните податоци во формулата:

   Одговор:Збирот на сите непарни броеви содржани во е еднаков.

3. Да се ​​потсетиме на проблемот со пирамидите. За нашиот случај, a, бидејќи секој горен слој е намален за еден дневник, тогаш вкупно има еден куп слоеви, т.е.
   Да ги замениме податоците во формулата:

   Одговор:Во ѕидарството има трупци.

Ајде да го сумираме

1. - бројна низа во која разликата меѓу соседните броеви е иста и еднаква. Може да се зголемува или намалува.
2. Наоѓање формулаТемиот член на аритметичката прогресија се запишува со формулата - , каде што е бројот на броеви во прогресијата.
3. Својство на членовите на аритметичка прогресија- - каде е бројот на броеви во прогресија.
4. Збирот на членовите на аритметичка прогресијаможе да се најде на два начина:
   
   , каде е бројот на вредности.

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. ПРОСЕЧНО НИВО

Редоследот на броеви

Ајде да седнеме и да почнеме да пишуваме некои бројки. На пример:

Можете да напишете какви било броеви, а може да ги има колку што сакате. Но, секогаш можеме да кажеме кој е прв, кој е втор и така натаму, односно можеме да ги броиме. Ова е пример за бројна низа.

Редоследот на броевие збир на броеви, од кои на секој може да му се додели единствен број.

Со други зборови, секој број може да се поврзе со одреден природен број и единствен. И ние нема да го доделиме овој број на кој било друг број од овој сет.

Бројот со број се нарекува ти член на низата.

Обично ја нарекуваме целата низа со некоја буква (на пример,), и секој член од оваа низа е иста буква со индекс еднаков на бројот на овој член: .

Многу е погодно ако ти член од низата може да се специфицира со некоја формула. На пример, формулата

ја поставува низата:

А формулата е следнава низа:

На пример, аритметичката прогресија е низа (првиот член овде е еднаков, а разликата е). Или (, разлика).

n-ти термин формула

Формулата ја нарекуваме рекурентна во која, за да го дознаете тиот член, треба да ги знаете претходните или неколку претходни:

За да го најдеме, на пример, тиот член на прогресијата користејќи ја оваа формула, ќе треба да ги пресметаме претходните девет. На пример, нека. Потоа:

Па, дали сега е јасно која е формулата?

Во секоја линија што ја додаваме, помножена со некој број. Кое? Многу едноставно: ова е бројот на тековниот член минус:

Сега е многу поудобно, нели? Проверуваме:

Одлучете сами:

Во аритметичка прогресија, најдете ја формулата за n-тиот член и најдете го стотиот член.

Решение:

Првиот член е еднаков. Што е разликата? Еве што:

(Затоа се нарекува разлика затоа што е еднаква на разликата на последователните членови на прогресијата).

Значи, формулата:

Тогаш стотиот член е еднаков на:

Колку изнесува збирот на сите природни броеви од до?

Според легендата, големиот математичар Карл Гаус како 9-годишно момче ја пресметал оваа сума за неколку минути. Забележал дека збирот на првиот и последниот број е еднаков, збирот на вториот и претпоследниот е ист, збирот на третиот и третиот од крајот е ист итн. Колку такви парови има вкупно? Така е, точно половина од бројот на сите броеви, т.е. Значи,

Општата формула за збирот на првите членови на која било аритметичка прогресија ќе биде:

Пример:
Најдете го збирот на сите двоцифрени броеви, множители.

Решение:

Првата таква бројка е оваа. Секој следен број се добива со собирање на претходниот број. Така, броевите за кои нè интересира формираат аритметичка прогресија со првиот член и разликата.

Формула на тиот член за оваа прогресија:

Колку поими има во прогресијата ако сите треба да бидат двоцифрени?

Многу лесно: .

Последниот рок од прогресијата ќе биде еднаков. Потоа збирот:

Одговор:.

Сега одлучете сами:

1. Секој ден спортистот трча повеќе метри од претходниот ден. Колку километри вкупно ќе истрча за една недела ако истрчал km m првиот ден?
2. Велосипедист поминува повеќе километри секој ден од претходниот ден. Првиот ден патувал км. Колку дена треба да патува за да помине еден километар? Колку километри ќе помине во последниот ден од своето патување?
3. Цената на фрижидерот во продавница секоја година се намалува за исто толку. Определете колку се намалувала цената на фрижидерот секоја година ако, ставен на продажба за рубли, шест години подоцна бил продаден за рубли.

Одговори:

1. Овде најважно е да се препознае аритметичката прогресија и да се одредат нејзините параметри. Во овој случај, (недели = денови). Треба да го одредите збирот на првите членови на оваа прогресија:
   .
   Одговор:
2. Тука е дадено: , мора да се најде.
   Очигледно, треба да ја користите истата формула за сума како во претходниот проблем:
   .
   Заменете ги вредностите:

   Коренот очигледно не одговара, па одговорот е.
   Да ја пресметаме патеката помината во текот на последниот ден користејќи ја формулата на тиот член:
   (км).
   Одговор:

3. Дадени:. Најдете:.
   Не може да биде поедноставно:
   (тријте).
   Одговор:

АРИТМЕТИЧКА ПРОГРЕСИЈА. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Ова е бројна низа во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.

Аритметичката прогресија може да се зголемува () и намалува ().

На пример:

Формула за наоѓање на n-ти член на аритметичка прогресија

се пишува со формулата, каде што е бројот на броеви во прогресија.

Својство на членовите на аритметичка прогресија

Тоа ви овозможува лесно да пронајдете член на прогресија ако се познати неговите соседни членови - каде е бројот на броеви во прогресијата.

Збир на членови на аритметичка прогресија

Постојат два начини да ја пронајдете сумата:

Каде е бројот на вредности.

Каде е бројот на вредности.

ОСТАНАТИТЕ 2/3 СТАТИИ СЕ ДОСТАПНИ САМО ЗА YOUCLEVER СТУДЕНТИ!

Станете студент на YouClever,

Подгответе се за обединет државен испит или унифициран државен испит по математика по цена од „шолја кафе месечно“,

И, исто така, добијте неограничен пристап до учебникот „YouClever“, програмата за подготовка „100gia“ (книга за решавање), неограничено пробно унифициран државен испит и унифициран државен испит, 6000 проблеми со анализа на решенија и други услуги на YouClever и 100gia.

Аритметички и геометриски прогресии

Теоретски информации

Теоретски информации

	Аритметичка прогресија	Геометриска прогресија
Дефиниција	Аритметичка прогресија a nе низа во која секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот член додаден на истиот број г (г- разлика во прогресијата)	Геометриска прогресија b nе низа од ненула броеви, од кои секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот член помножен со ист број q (q- именител на прогресија)
Формула за повторување	За секое природно n a n + 1 = a n + d	За секое природно n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ти мандат	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Карактеристично својство
Збир на првите n членови

Примери на задачи со коментари

Вежба 1

Во аритметичка прогресија ( a n) а 1 = -6, а 2

Според формулата на n-тиот член:

а 22 = а 1+ d (22 - 1) = а 1+ 21 г

По услов:

а 1= -6, тогаш а 22= -6 + 21 г.

Неопходно е да се најде разликата во прогресијата:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Одговор: а 22 = -48.

Задача 2

Најдете го петтиот член од геометриската прогресија: -3; 6;....

1-ви метод (со користење на формулата n-термин)

Според формулата за n-ти член на геометриска прогресија:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Бидејќи б 1 = -3,

Вториот метод (со користење рекурентна формула)

Бидејќи именителот на прогресијата е -2 (q = -2), тогаш:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Одговор: б 5 = -48.

Задача 3

Во аритметичка прогресија ( а н) а 74 = 34; а 76= 156. Најдете го седумдесет и петтиот член од оваа прогресија.

За аритметичка прогресија, карактеристичното својство ја има формата .

Затоа:

.

Да ги замениме податоците во формулата:

Одговор: 95.

Задача 4

Во аритметичка прогресија ( a n ) a n= 3n - 4. Најдете го збирот на првите седумнаесет члена.

За да се најде збирот на првите n членови од аритметичката прогресија, се користат две формули:

.

Кој од нив е поудобен за употреба во овој случај?

По услов, формулата за n-тиот член од првичната прогресија е позната ( a n) a n= 3n - 4. Можете да најдете веднаш и а 1, И а 16без да се најде г. Затоа, ќе ја користиме првата формула.

Одговор: 368.

Задача 5

Во аритметичка прогресија ( a n) а 1 = -6; а 2= -8. Најдете го дваесет и вториот член на прогресијата.

Според формулата на n-тиот член:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = а 1+ 21 ден.

По услов, ако а 1= -6, тогаш а 22= -6 + 21г. Неопходно е да се најде разликата во прогресијата:

d = а 2 – а 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Одговор: а 22 = -48.

Задача 6

Запишани се неколку последователни членови на геометриската прогресија:

Најдете го членот на прогресијата означена со x.

При решавањето ќе ја користиме формулата за n-ти член b n = b 1 ∙ q n - 1за геометриски прогресии. Првиот термин на прогресијата. За да го пронајдете именителот на прогресијата q, треба да земете кој било од дадените членови на прогресијата и да го поделите со претходниот. Во нашиот пример, можеме да земеме и да поделиме со. Добиваме дека q = 3. Наместо n, заменуваме 3 во формулата, бидејќи е неопходно да се најде третиот член на дадена геометриска прогресија.

Заменувајќи ги пронајдените вредности во формулата, добиваме:

.

Одговор:.

Задача 7

Од аритметички прогресии, дадена со формулата n-ти член, изберете го оној за кој условот е исполнет а 27 > 9:

Бидејќи дадениот услов мора да биде исполнет за 27 член од прогресијата, заменуваме 27 наместо n во секоја од четирите прогресии. Во 4-та прогресија добиваме:

.

Одговор: 4.

Задача 8

Во аритметичка прогресија а 1= 3, d = -1,5. Наведете највисока вредност n за кои важи неравенката a n > -6.

I. V. Јаковлев | Математички материјали | MathUs.ru

Аритметичка прогресија

Аритметичката прогресија е посебен вид низа. Затоа, пред да ја дефинираме аритметичката (а потоа и геометриската) прогресија, треба накратко да разговараме за важниот концепт на броена низа.

Последователија

Замислете уред на екранот на кој одредени броеви се прикажуваат еден по друг. Да речеме 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ова збир на броеви е токму пример за низа.

Дефиниција. Броевната низа е збир на броеви во кои на секој број може да му се додели единствен број (т.е. поврзан со еден природен број)1. Бројот n се нарекува n-ти член од низата.

Значи, во примерот погоре, првиот број е 2, ова е првиот член на низата, кој може да се означи со a1; број пет има број 6 е петтиот член од низата, кој може да се означи со a5. Општо земено, n-тиот член од низата се означува со an (или bn, cn, итн.).

Многу погодна ситуација е кога n-тиот член од низата може да се специфицира со некоја формула. На пример, формулата an = 2n 3 ја одредува низата: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формулата an = (1)n ја одредува низата: 1; 1; 1; 1; : : :

Не секој збир на броеви е низа. Така, сегментот не е низа; содржи „премногу“ броеви што треба да се пренумерираат. Сетот R на сите реални броевиисто така не е низа. Овие факти се докажани во текот на математичката анализа.

Аритметичка прогресија: основни дефиниции

Сега сме подготвени да дефинираме аритметичка прогресија.

Дефиниција. Аритметичка прогресија е низа во која секој член (почнувајќи од вториот) е еднаков на збирот на претходниот член и некој фиксен број (наречен разлика на аритметичката прогресија).

На пример, низа 2; 5; 8; единаесет; : : : е аритметичка прогресија со прв член 2 и разлика 3. Низа 7; 2; 3; 8; : : : е аритметичка прогресија со прв член 7 и разлика 5. Низа 3; 3; 3; : : : е аритметичка прогресија со разлика еднаква на нула.

Еквивалентна дефиниција: низата an се нарекува аритметичка прогресија ако разликата an+1 an е константна вредност (независна од n).

Аритметичката прогресија се нарекува зголемување ако нејзината разлика е позитивна, а се намалува ако нејзината разлика е негативна.

1 Но, еве една поконцизна дефиниција: низа е функција дефинирана на множеството природни броеви. На пример, низа од реални броеви е функција f: N ! Р.

Стандардно, низите се сметаат за бесконечни, односно содржат бесконечен број броеви. Но, никој не ни пречи да разгледаме конечни низи; всушност, секое конечно множество броеви може да се нарече конечна низа. На пример, завршната низа е 1; 2; 3; 4; 5 се состои од пет броеви.

Формула за n-ти член на аритметичка прогресија

Лесно е да се разбере дека аритметичката прогресија е целосно одредена од два броја: првиот член и разликата. Затоа, се поставува прашањето: како, знаејќи го првиот член и разликата, да се најде произволен член на аритметичка прогресија?

Не е тешко да се добие потребната формула за n-ти член на аритметичка прогресија. Нека ан

аритметичка прогресија со разлика г. Ние имаме:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Конкретно пишуваме:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
и сега станува јасно дека формулата за а е:
an = a1 + (n 1)d:

Задача 1. Во аритметичка прогресија 2; 5; 8; единаесет; : : : најдете ја формулата за n-тиот член и пресметајте го стотиот член.

Решение. Според формулата (1) имаме:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Својство и знак на аритметичка прогресија

Својство на аритметичка прогресија. Во аритметичка прогресија и за било кој

Со други зборови, секој член на аритметичка прогресија (почнувајќи од втората) е аритметичка средина на нејзините соседни членови.

	Доказ. Ние имаме:
	a n 1 + a n+1		(ан г) + (ан + г)

што се бараше.

Поопшто, аритметичката прогресија а ја задоволува еднаквоста

a n = a n k + a n+k

за кое било n > 2 и било кое природно k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Излегува дека формулата (2) служи не само како неопходен туку и како доволен услов за низата да биде аритметичка прогресија.

Знак за аритметичка прогресија. Ако еднаквоста (2) важи за сите n > 2, тогаш низата an е аритметичка прогресија.

Доказ. Ајде да ја преработиме формулата (2) на следниов начин:

a n a n 1 = a n+1 a n:

Од ова можеме да видиме дека разликата an+1 an не зависи од n, а тоа точно значи дека низата an е аритметичка прогресија.

Својството и знакот на аритметичка прогресија може да се формулираат во форма на една изјава; За погодност, ќе го направиме ова за три броја (ова е ситуацијата што често се јавува во проблеми).

Карактеризација на аритметичка прогресија. Три броја a, b, c формираат аритметичка прогресија ако и само ако 2b = a + c.

Задача 2. (МСУ, Економски факултет, 2007) Три броја 8x, 3 x2 и 4 во наведениот редослед формираат аритметичка прогресија што се намалува. Најдете x и означете ја разликата на оваа прогресија.

Решение. Според својството на аритметичка прогресија имаме:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ако x = 1, тогаш добиваме опаѓачка прогресија од 8, 2, 4 со разлика од 6. Ако x = 5, тогаш добиваме растечка прогресија од 40, 22, 4; овој случај не е соодветен.

Одговор: x = 1, разликата е 6.

Збир на првите n членови на аритметичка прогресија

Легендата вели дека еден ден наставникот им рекол на децата да го најдат збирот на броевите од 1 до 100 и тивко седнале да читаат весник. Меѓутоа, за неколку минути едно момче рече дека го решил проблемот. Ова беше 9-годишниот Карл Фридрих Гаус, подоцна еден од најголемите математичари во историјата.

Идејата на малиот Гаус беше следнава. Нека

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Ајде да ја напишеме оваа сума во обратен редослед:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и додадете ги овие две формули:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Секој член во загради е еднаков на 101, а такви члена има вкупно 100. Затоа

2S = 101 100 = 10100;

Ја користиме оваа идеја за да ја изведеме формулата за сума

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Корисна модификација на формулата (3) се добива ако ја замениме формулата од n-тиот член an = a1 + (n 1)d во неа:

		2a1 + (n 1)d

Задача 3. Најдете го збирот на сите позитивни трицифрени броеви деливи со 13.

Решение. Трицифрени броеви, множители на 13, формираат аритметичка прогресија со првиот член 104 и разликата 13; N-тиот член од оваа прогресија има форма:

an = 104 + 13 (n 1) = 91 + 13n:

Ајде да дознаеме колку поими содржи нашата прогресија. За да го направите ова, ја решаваме нееднаквоста:

на 6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Значи, има 69 членови во нашата прогресија. Користејќи ја формулата (4) ја наоѓаме потребната количина:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2