Одржувањето на вашата приватност е важно за нас. Поради оваа причина, развивме Политика за приватност која опишува како ги користиме и складираме вашите информации. Ве молиме прегледајте ги нашите практики за приватност и кажете ни ако имате какви било прашања.

Собирање и користење на лични информации

Личните информации се однесуваат на податоци што може да се користат за идентификување или контактирање на одредена личност.

Може да биде побарано од вас да ги дадете вашите лични податоци во секое време кога ќе не контактирате.

Подолу се дадени неколку примери за типовите на лични информации што можеме да ги собираме и како можеме да ги користиме тие информации.

Кои лични податоци ги собираме:

  • Кога поднесувате апликација на страницата, може да собереме различни информации, вклучувајќи го вашето име, телефонски број, адреса Е-поштаитн.

Како ги користиме вашите лични податоци:

  • Собрани од нас лични податоцини овозможува да ве контактираме и да ве информираме за уникатни понуди, промоции и други настани и претстојни настани.
  • Од време на време, може да ги користиме вашите лични податоци за да испраќаме важни известувања и комуникации.
  • Може да користиме и лични информации за внатрешни цели, како што се спроведување ревизии, анализа на податоци и разни истражувања со цел да ги подобриме услугите што ги обезбедуваме и да ви дадеме препораки во врска со нашите услуги.
  • Ако учествувате во наградно извлекување, натпревар или слична промоција, ние може да ги користиме информациите што ги давате за администрирање на такви програми.

Откривање на информации на трети страни

Ние не ги откриваме информациите добиени од вас на трети страни.

Исклучоци:

  • Доколку е потребно - во согласност со закон, судска постапка, правни постапки и/или врз основа на јавни барања или барања од владини агенциина територијата на Руската Федерација - обелоденете ги вашите лични податоци. Ние, исто така, може да откриеме информации за вас ако утврдиме дека таквото откривање е неопходно или соодветно за безбедност, спроведување на законот или други цели од јавна важност.
  • Во случај на реорганизација, спојување или продажба, можеме да ги пренесеме личните информации што ги собираме на соодветната трета страна наследник.

Заштита на лични информации

Преземаме мерки на претпазливост - вклучувајќи административни, технички и физички - за да ги заштитиме вашите лични информации од губење, кражба и злоупотреба, како и од неовластен пристап, откривање, менување и уништување.

Почитување на вашата приватност на ниво на компанија

За да се осигураме дека вашите лични информации се безбедни, ние ги пренесуваме стандардите за приватност и безбедност на нашите вработени и строго ги спроведуваме практиките за приватност.

Нека
(1)
е диференцијабилна функција на променливата x. Прво ќе го разгледаме за множеството вредности на x за кои зема y позитивни вредности: . Во продолжение ќе покажеме дека сите добиени резултати се применливи и за негативни вредности на .

Во некои случаи, за да се најде изводот на функцијата (1), погодно е да се пред-логаритам
,
а потоа пресметај го изводот. Потоа, според правилото за диференцијација на сложена функција,
.
Од тука
(2) .

Изводот на логаритамот на функцијата се нарекува логаритамски извод:
.

Логаритамски извод на функцијата y = f(x) е дериват природен логаритамоваа функција: (ln f(x))′.

Случај на негативни y вредности

Сега разгледајте го случајот кога променливата може да земе и позитивни и негативни вредности. Во овој случај, земете го логаритамот на модулот и пронајдете го неговиот дериват:
.
Од тука
(3) .
Тоа е, во општиот случај, треба да го пронајдете изводот на логаритмот на модулот на функцијата.

Споредувајќи ги (2) и (3) имаме:
.
Односно, формалниот резултат од пресметувањето на логаритамскиот извод не зависи од тоа дали сме го земале модулот или не. Затоа, при пресметувањето на логаритамскиот извод не мора да се грижиме каков знак има функцијата.

Оваа ситуација може да се разјасни со помош на сложени броеви. Нека, за некои вредности на x, се негативни: . Ако само земеме во предвид реални броеви, тогаш функцијата не е дефинирана. Меѓутоа, ако воведеме во предвид сложени броеви, тогаш го добиваме следново:
.
Тоа е, функциите и се разликуваат со сложена константа:
.
Бидејќи дериватот на константата е нула, тогаш
.

Својство на логаритамскиот извод

Од таквото разгледување произлегува дека логаритамскиот извод нема да се промени ако ја помножите функцијата со произволна константа :
.
Навистина, користејќи својства на логаритам, формули изводен збирИ дериват на константа, ние имаме:

.

Примена на логаритамски дериват

Удобно е да се користи логаритамскиот дериват во случаи кога оригиналната функција се состои од производ на моќност или експоненцијални функции. Во овој случај, логаритамската операција го претвора производот на функциите во нивниот збир. Ова ја поедноставува пресметката на дериватот.

Пример 1

Најдете го изводот на функцијата:
.

Решение

Ајде да ја логаритамизираме оригиналната функција:
.

Ајде да разликуваме во однос на променливата x.
Во табелата со деривати наоѓаме:
.
Го применуваме правилото за диференцијација на сложените функции.
;
;
;
;
(A1.1) .
Помножете се со:

.

Значи, го најдовме логаритамскиот дериват:
.
Од тука го наоѓаме изводот на оригиналната функција:
.

Забелешка

Ако сакаме да користиме само реални броеви, тогаш треба да го земеме логаритамот на модулот на оригиналната функција:
.
Потоа
;
.
И добивме формула (А1.1). Затоа резултатот не е променет.

Одговори

Пример 2

Користејќи го логаритамскиот извод, пронајдете го изводот на функцијата
.

Решение

Да земеме логаритми:
(A2.1) .
Диференцирајте во однос на променливата x:
;
;

;
;
;
.

Помножете се со:
.
Од тука го добиваме логаритамскиот извод:
.

Извод на оригиналната функција:
.

Забелешка

Овде оригиналната функција е ненегативна: . Таа е дефинирана во. Ако не претпоставиме дека логаритмот може да се дефинира за негативните вредности на аргументот, тогаш формулата (A2.1) треба да се напише на следниов начин:
.
Затоа што

И
,
тоа нема да влијае на конечниот резултат.

Одговори

Пример 3

Најдете го изводот
.

Решение

Вршиме диференцијација користејќи го логаритамскиот извод. Да земеме логаритам, имајќи предвид дека:
(A3.1) .

Со диференцирање го добиваме логаритамскиот извод.
;
;
;
(A3.2) .

Од тогаш

.

Забелешка

Дозволете ни да ги извршиме пресметките без да претпоставиме дека логаритамот може да се дефинира за негативните вредности на аргументот. За да го направите ова, земете го логаритамот на модулот на оригиналната функција:
.
Тогаш наместо (A3.1) имаме:
;

.
Во споредба со (А3.2) гледаме дека резултатот не е променет.


При диференцирање тоа е индикативно функција за напојувањеили незгодни фракциони изрази, погодно е да се користи логаритамскиот извод. Во оваа статија ќе разгледаме примери за неговата примена со детални решенија.

Понатамошната презентација претпоставува способност за користење на табела на изводи, правила за диференцијација и познавање на формулата за извод на сложена функција.


Изведување на формулата за логаритамски извод.

Прво, ги земаме логаритмите до основата e, ја поедноставуваме формата на функцијата користејќи ги својствата на логаритмот, а потоа го наоѓаме изводот на имплицитно одредената функција:

На пример, да го најдеме изводот на функцијата експоненцијална моќност x на моќноста x.

Земањето логаритми дава . Според својствата на логаритмот. Разликувањето на двете страни на еднаквоста води до резултат:

Одговор: .

Истиот пример може да се реши без користење на логаритамски извод. Можете да извршите некои трансформации и да преминете од диференцирање на функцијата на експоненцијална моќност до наоѓање на изводот на сложена функција:

Пример.

Најдете го изводот на функцијата .

Решение.

Во овој пример функцијата е дропка и нејзиниот дериват може да се најде користејќи ги правилата за диференцијација. Но, поради гломазноста на изразот, ова ќе бара многу трансформации. Во такви случаи, поразумно е да се користи формулата за логаритамски извод . Зошто? Сега ќе разбереш.

Ајде прво да го најдеме. Во трансформациите ќе ги користиме својствата на логаритмот (логаритмот на дропка е еднаков на разликата на логаритмите, а логаритмот на производот е еднаков на збирот на логаритмите, а степенот на изразот под знакот логаритам може да биде извадено како коефициент пред логаритам):

Овие трансформации не доведоа до доста едноставен израз, чиј дериват лесно може да се најде:

Добиениот резултат го заменуваме во формулата за логаритамски извод и го добиваме одговорот:

За да го консолидираме материјалот, ќе дадеме уште неколку примери без детални објаснувања.


Пример.

Најдете го изводот на функцијата на експоненцијална моќност

Дали се чувствувате како да има уште многу време пред испитот? Дали е ова месец? Двајца? Година? Практиката покажува дека студентот најдобро се справува со испитот ако почне однапред да се подготвува за него. Има многу тешки задачи, кои им стојат на патот на учениците и идните апликанти до највисоки оценки. Треба да научите да ги надминувате овие пречки, а покрај тоа, тоа не е тешко да се направи. Треба да го разберете принципот на работа со различни задачи од билети. Тогаш нема да има проблеми со новите.

Логаритмите на прв поглед изгледаат неверојатно сложени, но со детална анализа ситуацијата станува многу поедноставна. Доколку сакате да го полагате обединетиот државен испит највисока оценка, треба да го разберете концептот за кој станува збор, што е она што предлагаме да го направиме во оваа статија.

Прво, да ги одвоиме овие дефиниции. Што е логаритам (лог)? Ова е показател за моќноста до која треба да се подигне основата за да се добие наведениот број. Ако не е јасно, ајде да погледнеме елементарен пример.

Во овој случај, основата на дното мора да се подигне до втората моќност за да се добие бројот 4.

Сега да го погледнеме вториот концепт. Изводот на функција во која било форма е концепт што ја карактеризира промената на функцијата во дадена точка. Сепак, ова училишна програма, и ако имате проблеми со овие концепти поединечно, вреди да се повтори темата.

Извод на логаритам

ВО Задачи за унифициран државен испитНа оваа тема може да се наведат неколку проблеми како примери. За почеток, наједноставниот логаритамски дериват. Потребно е да се најде изводот на следнава функција.

Треба да го најдеме следниот дериват

Постои посебна формула.

Во овој случај x=u, log3x=v. Вредностите од нашата функција ги заменуваме во формулата.

Изводот на x ќе биде еднаков на еден. Логаритмот е малку потежок. Но, ќе го разберете принципот ако едноставно ги замените вредностите. Потсетиме дека изводот на lg x е изводот децимален логаритам, а изводот ln x е изводот на природниот логаритам (до основата e).

Сега само приклучете ги добиените вредности во формулата. Пробајте сами, па ќе го провериме одговорот.

Што може да биде проблемот овде за некои? Го воведовме концептот на природен логаритам. Ајде да разговараме за тоа, а во исто време да дознаеме како да ги решиме проблемите со него. Нема да видите ништо комплицирано, особено кога го разбирате принципот на неговото функционирање. Треба да се навикнете, бидејќи често се користи во математиката (во повисоко образовните институцииособено).

Извод на природниот логаритам

Во неговото јадро, тој е изводот на логаритмот на основата e (ова е ирационален број, што е приближно 2,7). Всушност, ln е многу едноставен, па затоа често се користи во математиката воопшто. Всушност, и решавањето на проблемот со него нема да биде проблем. Вреди да се запамети дека изводот на природниот логаритам до основата e ќе биде еднаков на еден поделен со x. Решението на следниот пример ќе биде најоткривачко.

Ајде да го замислиме како комплексна функција, кој се состои од две едноставни.

Доволно е да се конвертира

Го бараме изводот на u во однос на x