C 11 сите операции со дропки. Дејства со дропки. Собирање на дропки со различни именители

496. Најдете X, Ако:

497. 1) Ако додадете 10 1/2 на 3/10 од непознат број, ќе добиете 13 1/2. Најдете го непознатиот број.

2) Ако од 7/10 од непознат број одземе 10 1/2, се добива 15 2/5. Најдете го непознатиот број.

498 *. Ако од 3/4 од непознат број одземе 10 и добиената разлика ја помножиш со 5, ќе добиеш 100. Најдете го бројот.

499 *. Ако зголемите непознат број за 2/3 од него, ќе добиете 60. Кој број е ова?

500 *. Ако го додадете истиот износ на непознатиот број, а исто така и 20 1/3, ќе добиете 105 2/5. Најдете го непознатиот број.

501. 1) Приносот на компир со квадратно кластерско садење е во просек 150 центи по хектар, а со конвенционално садење е 3/5 од оваа количина. Колку повеќе компири може да се соберат од површина од 15 хектари ако се садат компири со методот на квадратни кластери?

2) Искусен работник произвел 18 делови за 1 час, а неискусен работник произвел 2/3 од оваа сума. Уште колку делови може да произведе искусен работник за 7-часовен ден?

502. 1) Пионерите собраа 56 кг различни семиња во текот на три дена. Првиот ден се собраа 3/14 од вкупната количина, вториот еден и пол пати повеќе, а третиот остатокот од зрното. Колку килограми семки собраа пионерите на третиот ден?

2) При мелењето на пченицата резултатот бил: брашно 4/5 од вкупната количина на пченица, гриз - 40 пати помалку од брашното, а остатокот трици. Колку брашно, гриз и трици посебно се произведени при мелење 3 тони пченица?

503. 1) Три гаражи можат да сместат 460 автомобили. Бројот на автомобили што се вклопуваат во првата гаража е 3/4 од бројот на автомобили што се вклопуваат во втората, а третата гаража има 1 1/2 пати повеќе автомобили од првата. Колку автомобили има во секоја гаража?

2) Фабрика со три работилници вработува 6.000 работници. Во втората работилница има 1 1/2 пати помалку работници отколку во првата, а бројот на работници во третата работилница е 5/6 од бројот на работници во втората работилница. Колку работници има во секоја работилница?

504. 1) Прво 2/5, потоа 1/3 од вкупниот керозин се истуриле од резервоар со керозин, а потоа во резервоарот останале 8 тони керозин. Колку керозин имаше првично во резервоарот?

2) Велосипедистите се тркаа три дена. Првиот ден поминаа 4/15 од целото патување, вториот - 2/5, а третиот ден преостанатите 100 км. Колку пат поминале велосипедистите за три дена?

505. 1) Мразокршачот три дена се бореше низ леденото поле. Првиот ден пешачеше 1/2 од целото растојание, вториот ден 3/5 од преостанатото растојание и третиот ден преостанатите 24 километри. Најдете ја должината на патеката што ја покрива мразокршачот за три дена.

2) Три групи ученици засадија дрвца за раззеленување на селото. Првиот одред засади 7/20 од сите дрвја, вториот 5/8 од останатите дрвја, а третиот преостанатите 195 дрвја. Колку дрвја вкупно засадија трите тима?

506. 1) Комбајн собра пченица од една парцела за три дена. Првиот ден жнееше од 18/5 од целата површина на парцелата, вториот ден од 13/7 од преостанатата површина, а третиот ден од преостанатата површина од 30 1/2. хектари. Од секој хектар во просек се собирале по 20 центи пченица. Колку пченица е собрана во целата област?

2) Првиот ден учесниците на релито поминаа 3/11 од целата рута, вториот ден 7/20 од преостанатата рута, третиот ден 5/13 од новиот остаток, а четвртиот ден преостанатиот 320 км. Колку е долга рутата на релито?

507. 1) Првиот ден автомобилот помина 3/8 од целото растојание, вториот ден 15/17 од она што го помина првиот, а третиот ден преостанатите 200 км. Колку бензин се потрошил ако автомобилот троши 1 3/5 кг бензин на 10 км?

2) Градот се состои од четири области. И 4/13 од сите жители на градот живеат во првата област, 5/6 од жителите на првата област живеат во втората, 4/11 од жителите на првата живеат во третата; две области заедно, а во четвртиот округ живеат 18 илјади луѓе. Колку леб му е потребно на целото население на градот за 3 дена, ако просечно еден човек консумира 500 гр дневно?

508. 1) Туристот првиот ден пешачел 10/31 од целото патување, вториот 9/10 од она што го одел првиот ден, а третиот остатокот од патот, а третиот ден пешачел 12. км повеќе од вториот ден. Колку километри пешачеше туристот во секој од трите дена?

2) Автомобилот ја помина целата рута од градот А до градот Б за три дена. Првиот ден автомобилот помина 7/20 од целото растојание, вториот 8/13 од преостанатото растојание, а третиот ден автомобилот помина 72 километри помалку од првиот ден. Колку е растојанието помеѓу градовите А и Б?

509. 1) Извршниот комитет им додели земјиште на работниците од три фабрики за градинарски парцели. На првиот погон му беа доделени 9/25 од вкупниот број парцели, на вториот погон 5/9 од бројот на парцелите доделени за првата, а на третиот - на останатите парцели. Колку вкупно парцели биле доделени на работниците од три фабрики, ако на првата фабрика и биле доделени 50 парцели помалку од третата?

2) Авионот испорача смена на зимски работници во поларна станицаод Москва за три дена. Првиот ден прелетал 2/5 од целото растојание, вториот - 5/6 од растојанието што го поминал првиот ден, а третиот ден прелетал 500 километри помалку од вториот ден. Колку летал авионот за три дена?

510. 1) Фабриката имаше три работилници. Бројот на работници во првата работилница е 2/5 од сите работници во фабриката; во втората работилница има 1 1/2 пати помалку работници отколку во првата, а во третата работилница има 100 работници повеќе од втората. Колку работници има во фабриката?

2) Во колективната фарма се вклучени жители од три соседни села. Бројот на семејства во првото село е 3/10 од сите семејства на колективната фарма; во второто село бројот на семејства е 1 1/2 пати поголем од првото, а во третото село бројот на семејства е за 420 помалку од второто. Колку семејства има на колективната фарма?

511. 1) Артел потроши 1/3 од залихите на суровини во првата недела, а 1/3 од остатокот во втората недела. Колку суровина останува во артел ако во првата недела потрошувачката на суровини била 3/5 тони повеќе отколку во втората недела?

2) Од увезениот јаглен, 1/6 од него е потрошено за загревање на куќата во првиот месец, а 3/8 од остатокот во вториот месец. Колку јаглен останува за загревање на куќата ако во вториот месец се потрошиле 1 3/4 повеќе отколку во првиот месец?

512. 3/5 од вкупното земјиште на колективната фарма е наменето за сеидба на жито, 13/36 од остатокот е окупирано со зеленчукови градини и ливади, остатокот од земјиштето е шума, а засеаната површина на колективната фарма е За 217 хектари поголема од шумската површина, 1/3 од земјиштето наменето за сеидба на жито е засеано со 'рж, а остатокот е пченица. Колку хектари земја посеа колективната фарма со пченица, а колку со 'рж?

513. 1) Трамвајската траса е долга 14 3/8 km. По оваа рута, трамвајот прави 18 застанувања, трошејќи во просек до 1 1/6 минута по застанување. Просечната брзина на трамвајот по целата траса е 12 1/2 км на час. Колку време е потребно за трамвај да заврши едно патување?

2) Автобуска линија 16 км. По оваа рута автобусот прави 36 постојки од по 3/4 минути. во просек секој. Просечната брзина на автобусот е 30 километри на час. Колку време трае автобусот за една релација?

514*. 1) Сега е 6 часот. вечери. Кој дел е преостанат дел од денот од минатото и кој дел од денот?

2) Пароброд го поминува растојанието помеѓу два града со струја за 3 дена. и назад истото растојание за 4 дена. Колку дена сплавовите ќе лебдат низводно од еден град во друг?

515. 1) Колку даски ќе се користат за поставување на подот во просторија чија должина е 6 2/3 m, ширина 5 1/4 m, ако должината на секоја табла е 6 2/3 m, а нејзината ширина е 3/ 80 од должината?

2) Правоаголна платформа има должина од 45 1/2 m, а нејзината ширина е 5/13 од нејзината должина. Оваа област се граничи со патека широка 4/5 m. Најдете ја областа на патеката.

516. Најдете го просекот аритметички броеви:

517. 1) Аритметичката средина на два броја е 6 1/6. Еден од броевите е 3 3/4. Најдете друг број.

2) Аритметичката средина на два броја е 14 1/4. Еден од овие броеви е 15 5/6. Најдете друг број.

518. 1) Товарниот воз беше на пат три часа. Во првиот час помина 36 1/2 km, во вториот 40 km и во третиот 39 3/4 km. Најдете ја просечната брзина на возот.

2) Автомобилот помина 81 1/2 km во првите два часа, а 95 km во следните 2 1/2 часа. Колку километри просечно пешачеше на час?

519. 1) Трактористот ја заврши задачата за орање на земјата за три дена. Првиот ден изора 12 1/2 хектари, вториот ден 15 3/4 хектари и третиот ден 14 1/2 хектари. Колку хектари земја во просек орал тракторист дневно?

2) Група ученици, правејќи тридневно туристичко патување, првиот ден беа на пат 6 1/3 часа, вториот 7 часа. а третиот ден - 4 2/3 часа. Колку часа просечно патуваат учениците дневно?

520. 1) Во куќата живеат три семејства. Првото семејство има 3 сијалици за осветлување на станот, второто има 4 и третото има 5 сијалици. Колку треба секое семејство да плати за струја ако сите светилки беа исти, а вкупната сметка за струја (за целата куќа) беше 7 1/5 рубли?

2) Полирач ги полирал подовите во стан во кој живееле три семејства. Првото семејство имало станбена површина од 36 1/2 квадратни метри. м, вториот е 24 1/2 кв. м, а третиот - 43 квадратни. м За целата работа беа платени 2 рубли. 08 коп. Колку платило секое семејство?

521. 1) Во градинарската парцела се собираа компири од 50 грмушки по 1 1/10 кг по грмушка, од 70 грмушки по 4/5 кг по грмушка, од 80 грмушки по 9/10 кг по грмушка. Колку килограми компири во просек се собираат од секоја грмушка?

2) Теренската екипа на површина од 300 хектари доби жетва од 20 1/2 квинтали зимска пченица на 1 хектар, од 80 хектари до 24 квинтали на 1 ха, а од 20 хектари - 28 1/2 квинтали на 1 ха. Колкав е просечниот принос во бригада со 1 хектар?

522. 1) Збирот на два броја е 7 1/2. Еден број е 4 4/5 поголем од другиот. Најдете ги овие бројки.

2) Ако ги собереме броевите што ја изразуваат ширината на Татарскиот и Керченскиот Проток заедно, ќе добиеме 11 7/10 km. Татарскиот теснец е 3 1/10 km поширок од теснецот Керч. Која е ширината на секој теснец?

523. 1) Збирот на три броја е 35 2 / 3. Првиот број е поголем од вториот за 5 1/3 и поголем од третиот за 3 5/6. Најдете ги овие бројки.

2) Острови Нова Земја, Сахалин и Севернаја Землија заедно заземаат површина од 196 7/10 илјади квадратни метри. км. Областа на Новаја Землија е 44 1/10 илјади квадратни метри. км поголема од површината на Севернаја Землија и 5 1/5 илјади квадратни метри. км поголема од областа Сахалин. Која е површината на секој од наведените острови?

524. 1) Станот се состои од три соби. Површината на првата просторија е 24 3/8 кв. м и изнесува 13/36 од целата површина на станот. Површината на втората просторија е 8 1/8 квадратни метри. m повеќе од површината на третиот. Колкава е површината на втората соба?

2) Велосипедист за време на тридневно натпреварување на првиот ден беше на пат 3 1/4 часа, што беше 13/43 од вкупното време на патување. Вториот ден возел 1 1/2 час повеќе отколку третиот ден. Колку часа патувал велосипедистот на вториот ден од натпреварувањето?

525. Три парчиња железо заедно тежат 17 1/4 кг. Ако тежината на првото парче се намали за 1 1/2 кг, тежината на второто за 2 1/4 кг, тогаш сите три парчиња ќе имаат иста тежина. Колку тежело секое парче железо?

526. 1) Збирот на два броја е 15 1/5. Ако првиот број се намали за 3 1/10, а вториот се зголеми за 3 1/10, тогаш овие броеви ќе бидат еднакви. На што е еднаков секој број?

2) Во две кутии имаше 38 1/4 кг житарки. Ако истурете 4 3/4 кг житарки од една кутија во друга, тогаш во двете кутии ќе има еднакви количини житарки. Колку житарки има во секоја кутија?

527 . 1) Збирот на два броја е 17 17 / 30. Ако од првиот број одземете 5 1/2 и го додадете на вториот, тогаш првиот сепак ќе биде поголем од вториот за 2 17/30. Најдете ги двата броја.

2) Во две кутии има 24 1/4 кг јаболка. Ако префрлите 3 1/2 кг од првата кутија во втората, тогаш во првата сепак ќе има 3/5 кг повеќе јаболка отколку во втората. Колку килограми јаболка има во секоја кутија?

528 *. 1) Збирот на два броја е 8 11/14, а нивната разлика е 2 3/7. Најдете ги овие бројки.

2) Бродот се движел по реката со брзина од 15 1/2 км на час, а спротивно на струјата со 8 1/4 км на час. Која е брзината на речниот тек?

529. 1) Во две гаражи има 110 автомобили, а во едната има 1 1/5 пати повеќе отколку во другата. Колку автомобили има во секоја гаража?

2) Станбената површина на стан составен од две соби е 47 1/2 кв. м Површината на едната соба е 8/11 од површината на другата. Најдете ја површината на секоја соба.

530. 1) Легура која се состои од бакар и сребро тежи 330 g Тежината на бакар во оваа легура е 5/28 од тежината на среброто. Колку сребро и колку бакар има во легурата?

2) Збирот на два броја е 6 3/4, а количникот е 3 1/2. Најдете ги овие бројки.

531. Збирот на три броја е 22 1/2. Вториот број е 3 1/2 пати, а третиот е 2 1/4 пати повеќе од првиот. Најдете ги овие бројки.

532. 1) Разликата на два броја е 7; количник на делење повеќеза помалку 5 2/3. Најдете ги овие бројки.

2) Разликата помеѓу два броја е 29 3/8, а нивниот повеќекратен однос е 8 5/6. Најдете ги овие бројки.

533. Во паралелка, бројот на отсутни ученици е 3/13 од бројот на присутни ученици. Колку ученици има во класот според списокот ако има 20 повеќе присутни отколку отсутни?

534. 1) Разликата помеѓу два броја е 3 1/5. Еден број е 5/7 од друг. Најдете ги овие бројки.

2) Татко постар од мојот синза 24 години. Бројот на годините на синот е еднаков на 5/13 од годините на таткото. Колку години има таткото, а колку години синот?

535. Именителот на дропка е за 11 единици поголем од неговиот броител. Која е вредноста на дропка ако нејзиниот именител е 3 3/4 пати поголем од броителот?

бр.536 - 537 усно.

536. 1) Првиот број е 1/2 од вториот. Колку пати вториот број е поголем од првиот?

2) Првиот број е 3/2 од вториот. Кој дел од првиот број е вториот број?

537. 1) 1/2 од првиот број е еднаква на 1/3 од вториот број. Кој дел од првиот број е вториот број?

2) 2/3 од првиот број се еднакви на 3/4 од вториот број. Кој дел од првиот број е вториот број? Кој дел од вториот број е првиот?

538. 1) Збирот на два броја е 16. Најдете ги овие броеви ако 1/3 од вториот број е еднаков на 1/5 од првиот.

2) Збирот на два броја е 38. Најдете ги овие броеви ако 2/3 од првиот број се еднакви на 3/5 од вториот.

539 *. 1) Две момчиња собраа 100 печурки заедно. 3/8 од бројот на печурки собрани од првото момче бројно се еднакви на 1/4 од бројот на печурки собрани од второто момче. Колку печурки собра секое момче?

2) Во институцијата се вработени 27 лица. Колку мажи работат, а колку жени ако 2/5 од сите мажи се еднакви на 3/5 од сите жени?

540 *. Три момчиња купија одбојка. Определете го придонесот на секое момче, знаејќи дека 1/2 од придонесот на првото момче е еднаков на 1/3 од придонесот на второто, или 1/4 од придонесот на третото, и дека придонесот на третото момче е 64 копејки повеќе од придонесот на првиот.

541 *. 1) Еден број е за 6 повеќе од другиот Најди ги овие броеви ако 2/5 од едниот број се еднакви на 2/3 од другиот.

2) Разликата на два броја е 35. Најдете ги овие броеви ако 1/3 од првиот број е еднаква на 3/4 од вториот број.

542. 1) Првиот тим може да заврши некоја работа за 36 дена, а вториот за 45 дена. За колку дена двата тима, работејќи заедно, ќе ја завршат оваа работа?

2) Патнички воз го поминува растојанието меѓу два града за 10 часа, а товарниот воз го поминува ова растојание за 15 часа. И двата воза тргнаа од овие градови во исто време еден кон друг. За колку часа ќе се сретнат?

543. 1) Брзиот воз го поминува растојанието помеѓу два града за 6 1/4 часа, а патничкиот за 7 1/2 часа. Колку часа подоцна овие возови ќе се сретнат ако ги напуштат двата града во исто време еден кон друг? (Заокружете го одговорот до најблискиот 1 час.)

2) Двајца мотоциклисти заминале истовремено од два града еден кон друг. Еден мотоциклист може да го помине целото растојание меѓу овие градови за 6 часа, а друг за 5 часа. Колку часа по поаѓањето ќе се сретнат мотоциклистите? (Заокружете го одговорот до најблискиот 1 час.)

544. 1) Три возила со различна носивост можат да пренесат одреден товар, работејќи одделно: првото за 10 часа, второто за 12 часа. а третата за 15 часа.За колку часа можат да пренесат ист товар, работејќи заедно?

2) Два воза заминуваат од две станици истовремено еден кон друг: првиот воз го поминува растојанието помеѓу овие станици за 12 1/2 часа, а вториот за 18 3/4 часа. Колку часа по заминувањето ќе се сретнат возовите?

545. 1) Две чешми се поврзани со кадата. Преку едната бањата може да се наполни за 12 минути, а преку другата 1 1/2 пати побрзо. Колку минути ќе бидат потребни за да се наполнат 5/6 од целата када ако ги отворите двете чешми одеднаш?

2) Двајца дактилографи мора повторно да го напишат ракописот. Првиот возач може да ја заврши оваа работа за 3 1/3 дена, а вториот 1 1/2 пати побрзо. Колку дена ќе им требаат на двајцата дактилографи да ја завршат работата ако работат истовремено?

546. 1) Базенот се полни со првата цевка за 5 часа, а преку втората цевка може да се испразни за 6 часа.По колку часа ќе се наполни целиот базен ако двете цевки се отворат истовремено?

Забелешка. За еден час, базенот се полни до (1/5 - 1/6 од неговиот капацитет.)

2) Два трактори ја изораа нивата за 6 часа. Првиот трактор, работејќи сам, би можел да го изора ова поле за 15 часа Колку часа ќе му требаат на вториот трактор, кој работи сам, да го изора ова поле?

547 *. Два воза заминуваат од две станици истовремено еден кон друг и се среќаваат по 18 часа. по неговото ослободување. Колку време му е потребно на вториот воз да го помине растојанието помеѓу станиците ако првиот воз го помине ова растојание за 1 ден и 21 час?

548 *. Базенот е исполнет со две цевки. Прво ја отворија првата цевка, а потоа по 3 3/4 часа, кога се наполни половина од базенот, ја отворија втората цевка. По 2 1/2 часа соработкабазенот беше полн. Одредете го капацитетот на базенот ако низ втората цевка се истураат 200 кофи вода на час.

549. 1) Курирски воз тргна од Ленинград за Москва и минува 1 км за 3/4 минути. 1/2 час откако овој воз замина од Москва, брз воз тргна од Москва за Ленинград, чија брзина беше еднаква на 3/4 од брзината на експресниот воз. На која оддалеченост ќе бидат возовите еден од друг 2 1/2 часа по заминувањето на курирскиот воз, ако растојанието помеѓу Москва и Ленинград е 650 км?

2) Од колективната фарма до градот 24 км. Камион ја напушта колективната фарма и минува 1 км за 2 1/2 минути. По 15 мин. Откако овој автомобил го напуштил градот, велосипедист излета до колективната фарма, со брзина половина поголема од брзината на камионот. Колку долго по заминувањето велосипедистот ќе се сретне со камионот?

550. 1) Од едно село излегол пешак. 4 1/2 часа по заминувањето на пешакот, во иста насока возел велосипедист чија брзина била 2 1/2 пати поголема од брзината на пешакот. Колку часа по заминувањето на пешакот ќе го престигне велосипедистот?

2) Брзиот воз минува 187 1/2 km за 3 часа, а товарниот воз патува 288 km за 6 часа. 7 1/4 часа по тргнувањето на товарниот воз, во истиот правец тргнува брза помош. Колку време ќе му треба на брзиот воз за да го стигне товарниот воз?

551. 1) Од две колективни фарми низ кои минува патот до регионалниот центар, двајца колективни фармери во исто време на коњ излегоа во областа. Првиот од нив патувал 8 3/4 км на час, а вториот бил 1 1/7 пати повеќе од првиот. Вториот колективен земјоделец го стигна првиот по 3 4/5 часа. Одреди го растојанието помеѓу колективните фарми.

2) 26 1/3 часа по поаѓањето на возот Москва-Владивосток, чија просечна брзина беше 60 км на час, авион ТУ-104 полета во иста насока, со брзина 14 1/6 пати поголема од брзината на возот. Колку часа по полетувањето авионот ќе го стигне возот?

552. 1) Растојанието помеѓу градовите покрај реката е 264 km. Паробродот го помина ова растојание низводно за 18 часа, поминувајќи 1/12 од ова време застанувајќи. Брзината на реката е 1 1/2 км на час. Колку време би му требало на бродот да помине 87 километри без да застане? стоечка вода?

2) Моторниот чамец патувал 207 km покрај реката за 13 1/2 часа, поминувајќи 1/9 од ова време на застанувања. Брзината на реката е 1 3/4 км на час. Колку километри може да помине овој брод во мирна вода за 2 1/2 часа?

553. Бродот поминал растојание од 52 километри преку акумулацијата без да застане за 3 часа и 15 минути. Понатаму, движејќи се по реката спротивно на струјата, чија брзина е 1 3/4 km на час, овој брод помина 28 1/2 km за 2 1/4 часа, правејќи 3 застанувања со еднакво времетраење. Колку минути чекал бродот на секоја станица?

554. Од Ленинград до Кронштат во 12 часот. Паробродот тргна во попладневните часови и го помина целото растојание меѓу овие градови за 1 1/2 час. На пат тој сретнал друг брод кој тргнал од Кронштат за Ленинград во 12:18 часот. и одење со 1 1/4 пати поголема брзина од првата. Во кое време се сретнале двата брода?

555. Возот морал да помине растојание од 630 километри за 14 часа. Откако помина 2/3 од ова растојание, тој беше задржан 1 час и 10 минути. Со која брзина треба да го продолжи патувањето за без одлагање да стигне до својата дестинација?

556. Во 04:20 часот. Утрото, товарен воз тргна од Киев за Одеса со просечна брзина од 31 1/5 км на час. По некое време, поштенски воз излезе од Одеса за да го пречека, чија брзина беше 1 17/39 пати поголема од брзината на товарниот воз и се сретна со товарниот воз 6 1/2 часа по неговото поаѓање. Во кое време поштенскиот воз тргна од Одеса, ако растојанието помеѓу Киев и Одеса е 663 км?

557*. Часовникот покажува пладне. Колку време ќе биде потребно за да се поклопат стрелките на час и минута?

558. 1) Фабриката има три работилници. Бројот на работници во првата работилница е 9/20 од сите работници на комбинатот, во втората работилница има 1 1/2 пати помалку работници отколку во првата, а во третата работилница има 300 работници помалку отколку во второ. Колку работници има во фабриката?

2) Во градот има три средни училишта. Бројот на ученици во првото училиште е 3/10 од сите ученици во овие три училишта; во второто училиште има 1 1/2 пати повеќе ученици од првото, а во третото 420 ученици помалку од второто. Колку ученици има во трите училишта?

559. 1) Два комбајнери работеа во иста област. Откако едниот комбинатор ожнеал 9/16 од целата парцела, а вториот 3/8 од истата парцела, испаднало дека првиот комбинатор собрал 97 1/2 хектари повеќе од вториот. Во просек, од секој хектар се вртеле 32 1/2 квинтали жито. Колку центи жито млател секој комбинат?

2) Двајца браќа купија камера. Едниот имаше 5/8, а вториот 4/7 од цената на камерата, а првиот имаше 2 рубли. 25 копејки повеќе од вториот. Секој плати половина од цената на уредот. Колку пари им остануваат на сите?

560. 1) Патнички автомобил го напушта градот А за градот Б, растојанието меѓу нив е 215 km, со брзина од 50 km на час. Во исто време, камион тргна од градот Б кон градот А. Колку километри поминал патничкиот автомобил пред да се сретне со камионот, ако брзината на камионот на час била 18/25 од брзината на патничката?

2) Помеѓу градовите А и Б 210 км. Патнички автомобил тргна од градот А кон градот Б. Во исто време, камион тргна од градот Б кон градот А. Колку километри поминал камионот пред да се сретне со патничкиот автомобил, ако патничкиот автомобил се движел со брзина од 48 км на час, а брзината на камионот на час била 3/4 од брзината на патничката?

561. Колективната фарма жнееше пченица и 'рж. Со пченица се посеани 20 хектари повеќе отколку со 'рж. Вкупната жетва на 'рж изнесува 5/6 од вкупната жетва на пченица со принос од 20 c на 1 ha и за пченицата и за 'ржта. Колективната фарма и продаде на државата 7/11 од целата жетва на пченица и 'рж, а остатокот од житото го остави да ги задоволи потребите. Колку патувања требаше да направат камионите од два тона за да го отстранат лебот продаден на државата?

562. Во пекарата биле донесени 'рж и пченично брашно. Тежината на пченичното брашно беше 3/5 од тежината на 'ржаното брашно, а донесено е 4 тони повеќе ржано брашно од пченичното брашно. Колку пченица и колку ржан леб ќе испече пекарата од ова брашно ако печивата сочинува 2/5 од вкупното брашно?

563. Во рок од три дена, тим работници завршија 3/4 од целокупната работа на санирање на автопатот меѓу двете колективни фарми. Првиот ден беа санирани 2 2/5 километри од овој автопат, вториот ден 1 1/2 пати повеќе од првиот, а третиот ден 5/8 од она што беше поправено во првите два дена заедно. Најдете ја должината на автопатот помеѓу колективните фарми.

564. Пополнете ги празните места во табелата, каде што S е плоштината на правоаголникот, А- основата на правоаголникот, а ч-висина (ширина) на правоаголникот.

565. 1) Должината на правоаголна парцела е 120 m, а ширината на парцелата е 2/5 од нејзината должина. Најдете го периметарот и површината на локацијата.

2) Ширината на правоаголниот пресек е 250 m, а неговата должина е 1 1/2 пати поголема од ширината. Најдете го периметарот и површината на локацијата.

566. 1) Периметарот на правоаголникот е 6 1/2 инчи, неговата основа е 1/4 инчи поголема од неговата висина. Најдете ја областа на овој правоаголник.

2) Периметарот на правоаголникот е 18 cm, неговата висина е 2 1/2 cm помала од основата. Најдете ја плоштината на правоаголникот.

567. Пресметајте ги плоштините на фигурите прикажани на слика 30 така што ќе ги делите на правоаголници и ќе ги најдете димензиите на правоаголникот со мерење.

568. 1) Колку листови сув малтер ќе бидат потребни за покривање на таванот на просторија чија должина е 4 1/2 m и ширина 4 m, ако димензиите на гипсениот лист се 2 m x l 1/2 m?

2) Колку даски долги 4 1/2 m и ширина 1/4 m се потребни за да се постави под долг 4 1/2 m и широк 3 1/2 m?

569. 1) Правоаголна парцела долга 560 m и широка 3/4 од нејзината должина е посеана со грав. Колку семиња беа потребни за да се посее парцелата ако се сее 1 центар на 1 хектар?

2) Собрана е жетва на пченица од 25 квинтали по хектар од правоаголна нива. Колку пченица е собрана од целата нива ако должината на нивата е 800 m, а ширината е 3/8 од нејзината должина?

570 . 1) Правоаголна парцела долга 78 3/4 м и ширина 56 4/5 м е изградена така што 4/5 од нејзината површина зафаќаат згради. Одредете ја површината на земјиштето под зградите.

2) На правоаголна парцела, чија должина е 9/20 km и ширина 4/9 од нејзината должина, колективната фарма планира да постави градина. Колку дрвја ќе се засадат во оваа градина ако за секое дрво е потребна просечна површина од 36 кв.м.

571. 1) За нормално дневна светлина на просторијата, неопходно е површината на сите прозорци да биде најмалку 1/5 од површината на подот. Определи дали има доволно светлина во просторија чија должина е 5 1/2 m и ширина 4 m. Дали просторијата има еден прозорец со димензии 1 1/2 m x 2 m?

2) Користејќи ја состојбата од претходниот проблем, дознајте дали има доволно светлина во вашата училница.

572. 1) Амбарот има димензии 5 1/2 m x 4 1/2 m x 2 1/2 m Колку сено (по тежина) ќе собере во оваа штала ако е наполнето до 3/4 од неговата висина и ако 1 куб. . m сено тежи 82 kg?

2) Дрвниот куп има форма на правоаголен паралелепипед чии димензии се 2 1/2 m x 3 1/2 m x 1 1/2 m Колкава е тежината на дрвото ако е 1 кубна. m огревно дрво тежи 600 kg?

573. 1) Правоаголен аквариум се полни со вода до 3/5 од неговата висина. Должината на аквариумот е 1 1/2 м, ширина 4/5 м, висина 3/4 м Колку литри вода се истураат во аквариумот?

2) Базен во форма на правоаголен паралелепипед е долг 6 1/2 m, широк 4 m и висок 2 m. Базенот се полни со вода до 3/4 од висината. Пресметајте ја количината на истурена вода во базенот.

574. Потребно е да се изгради ограда околу правоаголно парче земја, долга 75 метри и широка 45 метри. Колку кубни метри штици треба да влезат во неговата конструкција ако дебелината на таблата е 2 1/2 cm, а висината на оградата треба да биде 2 1/4 m?

575. 1) Кој е аголот помеѓу минута стрелката и часовникот во 13 часот? во 15 часот? во 17 часот? во 21 часот? во 23:30?

2) Колку степени ќе ротира часовникот за 2 часа? 5 часот? 8 часот? 30 мин.?

3) Колку степени содржи лак еднаков на половина круг? 1/4 круг? 1/24 од кругот? 5/24 кругови?

576. 1) Со транспортер нацртај: а) прав агол; б) агол од 30°; в) агол од 60°; г) агол од 150°; д) агол од 55°.

2) Користејќи транспортер, измерете ги аглите на сликата и пронајдете го збирот на сите агли на секоја фигура (сл. 31).

577. Следете ги овие чекори:

578. 1) Полукругот е поделен на два лака, од кои едниот е 100° поголем од другиот. Најдете ја големината на секој лак.

2) Полукругот е поделен на два лака, од кои едниот е за 15 ° помал од другиот. Најдете ја големината на секој лак.

3) Полукругот е поделен на два лака, од кои едниот е двојно поголем од другиот. Најдете ја големината на секој лак.

4) Полукругот е поделен на два лака, од кои едниот е 5 пати помал од другиот. Најдете ја големината на секој лак.

579. 1) Дијаграмот „Писменост на населението во СССР“ (сл. 32) го покажува бројот на писмени луѓе на сто луѓе од населението. Врз основа на податоците од дијаграмот и неговата скала, определете го бројот на писмени мажи и жени за секоја од посочените години.

Напишете ги резултатите во табелата:

2) Користејќи ги податоците од дијаграмот „Советски пратеници во вселената“ (сл. 33), креирајте задачи.

580. 1) Според шемата со пити „Дневна рутина за ученик од петто одделение“ (сл. 34), пополнете ја табелата и одговорете на прашањата: кој дел од денот е наменет за спиење? за домашна работа? на школо?

2) Направете пита шема за вашата дневна рутина.

Дејства со дропки. Во оваа статија ќе разгледаме примери, сè детално со објаснувања. Ќе ги разгледаме обичните дропки. Ќе ги разгледаме децималите подоцна. Препорачувам да ја гледате целата работа и да ја проучувате последователно.

1. Збир на дропки, разлика на дропки.

Правило: кога се собираат дропки со еднакви именители, резултатот е дропка - чиј именител останува ист, а неговиот броител ќе биде еднаков на збирот на броителите на дропките.

Правило: при пресметување на разликата помеѓу дропки со исти именители, добиваме дропка - именителот останува ист, а броителот на вториот се одзема од броителот на првата дропка.

Формална нотација за збирот и разликата на дропки со еднакви именители:

Примери (1):

Јасно е дека кога се дадени обични дропки, тогаш сè е едноставно, но што ако се измешаат? Ништо комплицирано...

Опција 1– можете да ги претворите во обични и потоа да ги пресметате.

Опција 2– може да се „работи“ одделно со цел број и дробни делови.

Примери (2):

Повеќе:

И ако се даде разлика од два мешани фракцииа броителот на првата дропка ќе биде помал од броителот на втората? Можете исто така да дејствувате на два начина.

Примери (3):

*Претворено во обични дропки, пресметана разлика, добиената неправилна дропка ја претвори во мешана дропка.

*Го разделивме на целобројни и фракциони делови, добивме тројка, потоа го претставивме 3 како збир од 2 и 1, со еден претставен како 11/11, потоа ја најдовме разликата помеѓу 11/11 и 7/11 и го пресметавме резултатот . Значењето на горенаведените трансформации е да земеме (одбереме) единица и да ја прикажеме во форма на дропка со именителот што ни треба, а потоа можеме да одземеме друга од оваа дропка.

Друг пример:

Заклучок: постои универзален пристап - за да се пресмета збирот (разликата) на мешаните дропки со еднакви именители, тие секогаш може да се претворат во неправилни, а потоа да се изврши потребното дејство. По ова, ако резултатот е неправилна дропка, ја претвораме во мешана дропка.

Погоре разгледавме примери со дропки кои имаат еднакви именители. Што ако именителот се различни? Во овој случај, дропките се сведуваат на истиот именител и се врши наведеното дејство. За промена (трансформација) на дропка се користи основното својство на дропката.

Ајде да погледнеме едноставни примери:

Во овие примери, веднаш гледаме како една од дропките може да се трансформира за да добие еднакви именители.

Ако назначиме начини за намалување на дропките на ист именител, тогаш ќе го наречеме овој ПРВ МЕТОД.

Тоа е, веднаш кога „оценувате“ дропка, треба да откриете дали овој пристап ќе функционира - проверуваме дали поголемиот именител е делив со помалиот. И ако е делив, тогаш вршиме трансформација - ги множиме броителот и именителот така што именителот на двете дропки стануваат еднакви.

Сега погледнете ги овие примери:

Овој пристап не е применлив за нив. Исто така, постојат начини за намалување на дропките на заеднички именител; ајде да ги разгледаме.

Втор метод.

Бротелот и именителот на првата дропка ги множиме со именителот на втората, а броителот и именителот на втората дропка со именителот на првата:

*Всушност, ги намалуваме дропките за да се формираат кога именителот ќе стане еднаков. Следно, го користиме правилото за собирање дропки со еднакви именители.

Пример:

*Овој метод може да се нарече универзален и секогаш функционира. Единствената лоша страна е што по пресметките може да завршите со дропка што ќе треба дополнително да се намали.

Ајде да погледнеме на пример:

Може да се види дека броителот и именителот се деливи со 5:

Метод ТРЕТ.

Треба да го пронајдете најмалиот заеднички множител (LCM) од именителот. Ова ќе биде заеднички именител. Каков број е ова? Ова е најмалиот природен број што е делив со секој од броевите.

Види, еве два броја: 3 и 4, има многу броеви кои се деливи со нив - ова се 12, 24, 36, ... Најмалиот од нив е 12. Или 6 и 15, тие се деливи со 30, 60, 90 .... Најмалку е 30. Прашањето е - како да се одреди овој најмал заеднички множител?

Постои јасен алгоритам, но често тоа може да се направи веднаш без пресметки. На пример, според горните примери (3 и 4, 6 и 15) не е потребен алгоритам, земавме големи броеви (4 и 15), ги удвоивме и видовме дека се деливи со вториот број, но паровите броеви можат бидете други, на пример 51 и 119.

Алгоритам. За да го одредите најмалиот заеднички множител на неколку броеви, мора:

- разложете го секој број на ЕДНОСТАВНИ фактори

— запишете го разградувањето на ПОГОЛЕМИОТ од нив

- помножете го со факторите што НЕМАШАТ на другите броеви

Ајде да погледнеме примери:

50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

во проширувањето на поголем број еден недостига пет

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

во проширувањето недостасуваат поголем број два и три

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Најмалиот заеднички множител на два прости броеви е нивниот производ

Прашање! Зошто е корисно наоѓањето на најмалиот заеднички множител, бидејќи можете да го користите вториот метод и едноставно да ја намалите добиената дропка? Да, тоа е можно, но не е секогаш погодно. Погледнете го именителот за броевите 48 и 72 ако едноставно ги помножите 48∙72 = 3456. Ќе се согласите дека е попријатно да се работи со помали броеви.

Ајде да погледнеме примери:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

на проширувањето на поголем број му недостасува тројка

=> NOC(51.119) = 3∙7∙17

Сега да го користиме првиот метод:

*Погледнете ја разликата во пресметките, во првиот случај ги има минимум, но во вториот треба да работите одделно на парче хартија, па дури и фракцијата што сте ја добиле треба да се намали. Наоѓањето на LOC значително ја поедноставува работата.

Повеќе примери:

*Во вториот пример јасно е дека најмалиот број што е делив со 40 и 60 е 120.

РЕЗУЛТАТ! ОПШТ АЛГОРИТАМ ЗА ПРЕСМЕТУВАЊЕ!

- редуцирај ги дропките на обични дропки, доколку ги има цел дел.

- ги доведуваме дропките до заеднички именител (прво гледаме дали еден именител е делив со друг; ако е делив, тогаш ги множиме броителот и именителот на оваа друга дропка; ако не е делив, дејствуваме со другите методи наведено погоре).

- Откако примивме дропки со еднакви именители, извршуваме операции (собирање, одземање).

- доколку е потребно, го намалуваме резултатот.

- ако е потребно, тогаш изберете го целиот дел.

2. Производ на дропки.

Правилото е едноставно. При множење на дропки, нивните броител и именители се множат:

Примери:

Оваа статија ги испитува операциите на дропките. Ќе се формираат и оправдаат правила за собирање, одземање, множење, делење или степенување на дропки од формата А Б, каде што А и Б можат да бидат броеви, нумерички изрази или изрази со променливи. Како заклучок, ќе се разгледаат примери на решенија со детални описи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Правила за извршување на операции со општи нумерички дропки

Општите дропки имаат броител и именител кои содржат цели броевиили нумерички изрази. Ако ги земеме предвид дропките како што се 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 (5 - 2), 3 4 + 7 8 2, 3 - 0, 8, 1 2 2, π 1 - 2 3 + π, 2 0, 5 ln 3, тогаш е јасно дека броителот и именителот можат да имаат не само броеви, туку и изрази од различни типови.

Дефиниција 1

Постојат правила според кои се вршат операции со обични фракции. Погоден е и за општи фракции:

• При одземање на дропки со слични именители, се додаваат само броителите, а именителот останува ист, имено: a d ± c d = a ± c d, вредностите a, c и d ≠ 0 се некои броеви или нумерички изрази.
• При собирање или одземање на дропка со различни именители, потребно е да се намали на заеднички именител, а потоа да се соберат или одземат добиените дропки со исти експоненти. Буквално изгледа вака: a b ± c d = a · p ± c · r s, каде што вредностите a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 се реални броевии b · p = d · r = s. Кога p = d и r = b, тогаш a b ± c d = a · d ± c · d b · d.
• При множење на дропки дејството се врши со броители, по што со именители, тогаш добиваме a b · c d = a · c b · d, каде што a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 делуваат како реални броеви.
• Кога делиме дропка со дропка, првата ја множиме со втората инверзна, односно ги заменуваме броителот и именителот: a b: c d = a b · d c.

Образложение за правилата

Дефиниција 2

Постојат следниве математички точки на кои треба да се потпрете при пресметувањето:

• со коса црта се подразбира знакот за поделба;
• делењето со број се третира како множење со неговата реципрочна вредност;
• примена на својството на операции со реални броеви;
• примена на основното својство на дропките и нумеричките неравенки.

Со нивна помош, можете да извршите трансформации на формата:

a d ± c d = a · d - 1 ± c · d - 1 = a ± c · d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a · p b · p ± c · r d · r = a · p s ± c · e s = a · p ± c · r s ; a b · c d = a · d b · d · b · c b · d = a · d · a · d - 1 · b · c · b · d - 1 = = a · d · b · c · b · d - 1 · b · d - 1 = a · d · b · c b · d · b · d - 1 = = (a · c) · (b · d) - 1 = a · c b · d

Примери

Во претходниот став беше кажано за операции со дропки. После ова, дропот треба да се поедностави. Оваа тема беше детално дискутирана во ставот за претворање на дропки.

Прво, да погледнеме пример за собирање и одземање дропки со ист именител.

Пример 1

Со оглед на дропките 8 2, 7 и 1 2, 7, тогаш според правилото потребно е да се додаде броителот и повторно да се запише именителот.

Решение

Потоа добиваме дел од формата 8 + 1 2, 7. По извршувањето на собирањето, добиваме дропка од формата 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Значи, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Одговор: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Има и друго решение. За почеток, одиме на погледот заедничка дропка, по што вршиме поедноставување. Изгледа вака:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Пример 2

Да одземеме од 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 дропка од формата 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 .

Бидејќи се дадени еднакви именители, тоа значи дека пресметуваме дропка со ист именител. Го добиваме тоа

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Има примери за пресметување дропки со различни именители. Важна точка е намалувањето на заеднички именител. Без ова, нема да можеме да вршиме понатамошни операции со фракции.

Процесот нејасно потсетува на намалување на заеднички именител. Односно, се бара најмал заеднички делител во именителот, по што на дропките се додаваат факторите што недостасуваат.

Ако дропките што се додаваат немаат заеднички фактори, тогаш нивниот производ може да стане еден.

Пример 3

Да го погледнеме примерот за собирање дропки 2 3 5 + 1 и 1 2.

Решение

Во овој случај, заедничкиот именител е производ на именителот. Потоа го добиваме тоа 2 · 3 5 + 1. Потоа, при поставување на дополнителни фактори, имаме дека за првата дропка е еднаква на 2, а за втората е 3 5 + 1. По множењето, дропките се сведуваат на формата 4 2 · 3 5 + 1. Општото намалување од 1 2 ќе биде 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Ги додаваме добиените фракциони изрази и го добиваме тоа

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Одговор: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Кога се работи за општи дропки, тогаш обично не зборуваме за најмал заеднички именител. Неисплатливо е да се земе производот на броителите како именител. Прво треба да проверите дали има број што е помал во вредност од нивниот производ.

Пример 4

Да го разгледаме примерот од 1 6 · 2 1 5 и 1 4 · 2 3 5, кога нивниот производ е еднаков на 6 · 2 1 5 · 4 · 2 3 5 = 24 · 2 4 5. Потоа земаме 12 · 2 3 5 како заеднички именител.

Ајде да погледнеме примери за множење општи дропки.

Пример 5

За да го направите ова, треба да помножите 2 + 1 6 и 2 · 5 3 · 2 + 1.

Решение

Следејќи го правилото, потребно е да се препише и да се запише производот на броителите како именител. Добиваме дека 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Откако ќе се помножи дропка, можете да направите намалувања за да ја поедноставите. Потоа 5 · 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 · 3 3 2 + 1 · 9 3 10.

Користејќи го правилото за премин од делење во множење со реципрочна дропка, добиваме дропка која е реципрочна на дадената. За да го направите ова, броителот и именителот се заменети. Ајде да погледнеме на пример:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Потоа тие мора да се множат и да ја поедностават добиената фракција. Доколку е потребно, ослободете се од ирационалноста во именителот. Го добиваме тоа

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Одговор: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Овој став е применлив кога бројот или нумерички изразможе да се прикаже како дропка со именител еднаков на 1, тогаш дејството со таква дропка се смета како посебен став. На пример, изразот 1 6 · 7 4 - 1 · 3 покажува дека коренот на 3 може да се замени со друг израз 3 1. Тогаш овој запис ќе изгледа како множење на две дропки од формата 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Вршење операции на дропки што содржат променливи

Правилата дискутирани во првата статија се применливи за операции со дропки што содржат променливи. Размислете за правилото за одземање кога именителот се исти.

Неопходно е да се докаже дека A, C и D (D не е еднакво на нула) може да бидат какви било изрази, а еднаквоста A D ± C D = A ± C D е еквивалентна на нејзиниот опсег на дозволени вредности.

Неопходно е да се земе множество ODZ променливи. Тогаш A, C, D мора да ги земат соодветните вредности a 0 , c 0 и г 0. Замената на формата A D ± C D резултира со разлика во формата a 0 d 0 ± c 0 d 0 , каде што, користејќи го правилото за собирање, добиваме формула од формата a 0 ± c 0 d 0 . Ако го замениме изразот A ± C D, тогаш ја добиваме истата дропка од формата a 0 ± c 0 d 0. Од тука заклучуваме дека избраната вредност која ги задоволува ODZ, A ± C D и A D ± C D се сметаат за еднакви.

За која било вредност на променливите, овие изрази ќе бидат еднакви, односно се нарекуваат идентично еднакви. Тоа значи дека овој израз се смета за докажлива еднаквост од формата A D ± C D = A ± C D.

Примери за собирање и одземање дропки со променливи

Кога ги имате истите именители, треба само да ги собирате или одземете броителите. Оваа фракција може да се поедностави. Понекогаш треба да работите со дропки кои се идентично еднакви, но на прв поглед тоа не се забележува, бидејќи мора да се направат некои трансформации. На пример, x 2 3 x 1 3 + 1 и x 1 3 + 1 2 или 1 2 sin 2 α и sin a cos a. Најчесто, потребно е поедноставување на оригиналниот израз за да се видат истите именители.

Пример 6

Пресметајте: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Решение

1. За да ја направите пресметката, треба да ги одземете дропките што имаат ист именител. Тогаш добиваме дека x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . После тоа, можете да ги проширите заградите и да додадете слични термини. Добиваме дека x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Бидејќи именителите се исти, останува само да се додадат броителите, оставајќи го именителот: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Дополнувањето е завршено. Се гледа дека е можно да се намали фракцијата. Неговиот броител може да се преклопи со помош на формулата за квадрат од збирот, а потоа добиваме (l g x + 2) 2 од скратените формули за множење. Тогаш го добиваме тоа
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Дадени дропки од формата x - 1 x - 1 + x x + 1 со различни именители. По трансформацијата, можете да преминете на додавање.

Ајде да разгледаме двојно решение.

Првиот метод е дека именителот на првата дропка се факторизира со помош на квадрати, со неговото последователно намалување. Добиваме дел од формата

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Значи x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Во овој случај, неопходно е да се ослободиме од ирационалноста во именителот.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Вториот метод е множење на броителот и именителот на втората дропка со изразот x - 1. Така, се ослободуваме од ирационалноста и преминуваме на собирање дропки со ист именител. Потоа

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Одговор: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x · (l g x + 2) + 4 · l g x x · (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x · x - x x - 1 .

ВО последен примероткривме дека намалувањето на заеднички именител е неизбежно. За да го направите ова, треба да ги поедноставите фракциите. Кога собирате или одземате, секогаш треба да барате заеднички именител, кој изгледа како производ на именителот со дополнителни фактори додадени на броителите.

Пример 7

Пресметајте ги вредностите на дропките: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) (2 x - 4) , 3) ​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Решение

1. Никој сложени пресметкиименителот не е потребен, затоа треба да го изберете нивниот производ од формата 3 x 7 + 2 · 2, потоа изберете x 7 + 2 · 2 за првата дропка како дополнителен фактор и 3 за втората. Кога се множиме, добиваме дропка од формата x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Се гледа дека именителите се претставени во вид на производ, што значи дека дополнителните трансформации се непотребни. За заеднички именител ќе се смета дека е производ од формата x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Оттука x 4 е дополнителен фактор на првата дропка, и ln(x + 1) до вториот. Потоа одземаме и добиваме:
   x + 1 x · ln 2 (x + 1) · 2 x - 4 - sin x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x + 1 · x 4 x 5 · ln 2 (x + 1 ) · 2 x - 4 - грев x · ln x + 1 x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = = x + 1 · x 4 - грев x · ln (x + 1 ) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) = x · x 4 + x 4 - грев x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · ( 2 x - 4)
3. Овој пример има смисла кога се работи со именители на дропки. Неопходно е да се применат формулите за разликата на квадратите и квадратот на збирот, бидејќи тие ќе овозможат да се премине на израз на формата 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) 2. Се гледа дека дропките се сведени на заеднички именител. Добиваме дека cos x - x · cos x + x 2 .

Тогаш го добиваме тоа

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x 2

Одговор:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - грев x x 5 · ln (x + 1) · 2 x - 4 = = x · x 4 + x 4 - грев x · ln (x + 1) x 5 · ln 2 (x + 1) · (2 ​​x - 4) , 3) ​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 · cos x · x + x = 2 · cos x cos x - x · cos x + x 2.

Примери за множење дропки со променливи

При множење на дропки, броителот се множи со броителот, а именителот со именителот. Потоа можете да го примените својството за намалување.

Пример 8

Умножете ги дропките x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1 и 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin 2 · x - x.

Решение

Треба да се направи множење. Го добиваме тоа

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 грев (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 грев (2 x - x)

Бројот 3 се преместува на прво место за практичноста на пресметките, а може да ја намалите фракцијата за x 2, тогаш добиваме израз на формата

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 грев (2 x - x)

Одговор: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 грев (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 · ln x + 1 · грев (2 · x - x) .

Поделба

Поделбата на дропките е слична на множењето, бидејќи првата дропка се множи со втората реципрочна. Ако ја земеме на пример дропката x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 и ја поделиме со 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, тогаш може да се запише како

x + 2 · x x 2 · ln x 2 · ln x + 1: 3 · x 2 1 3 · x + 1 - 2 sin (2 · x - x) , потоа заменете го со производ од формата x + 2 · x x 2 · ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 грев (2 x - x)

Експоненцијација

Ајде да продолжиме со разгледување на операции со општи дропки со степенување. Ако има моќ со природен експонент, тогаш дејството се смета како множење на еднакви дропки. Но, се препорачува да се користи општ пристап заснован на својствата на степените. Сите изрази A и C, каде што C не е идентично еднаков на нула, и секое реално r на ODZ за израз од формата A Cr, еднаквоста A C r = A r C r е валидна. Резултатот е дропка подигната на моќност. На пример, размислете:

x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0, 7 - π · ln 3 x - 2 - 5 2, 5 x + 1 2, 5

Постапка за извршување на операции со дропки

Операциите на фракциите се вршат според одредени правила. Во пракса, забележуваме дека изразот може да содржи неколку дропки или фракциони изрази. Тогаш е неопходно да се извршат сите дејства по строг редослед: подигнете до моќ, множете, делете, потоа собирајте и одземете. Ако има загради, првото дејство се врши во нив.

Пример 9

Пресметај 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Решение

Бидејќи го имаме истиот именител, тогаш 1 - x cos x и 1 c o s x, но одземањето не може да се изврши според правилото; прво се вршат дејствата во загради, потоа множење, а потоа собирање. Тогаш кога пресметуваме го добиваме тоа

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

При замена на изразот во оригиналниот, добиваме дека 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. При множење дропки имаме: 1 cos x · x + 1 x = x + 1 cos x · x. Откако ги направивме сите замени, добиваме 1 - x cos x - x + 1 cos x · x. Сега треба да работите со дропки кои имаат различни именители. Добиваме:

x · 1 - x cos x · x - x + 1 cos x · x = x · 1 - x - 1 + x cos x · x = = x - x - x - 1 cos x · x = - x + 1 cos x x

Одговор: 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x = - x + 1 cos x · x.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Калкулатор за дропкадизајниран за брзо пресметување операции со дропки, ќе ви помогне лесно да собирате, множите, делите или одземате дропки.

Современите ученици почнуваат да учат дропки веќе во 5-то одделение, а вежбите со нив стануваат покомплицирани секоја година. Математичките термини и количини што ги учиме на училиште ретко можат да ни бидат корисни во животот на возрасните. Сепак, дропките, за разлика од логаритмите и силите, се среќаваат доста често во секојдневниот живот (мерење растојанија, мерење на стоки итн.). Нашиот калкулатор е дизајниран за брзи операции со фракции.

Прво, да дефинираме што се дропки и што се тие. Дропките се односот на еден број до друг; тој е број кој се состои од цел број на фракции на единицата.

Видови дропки:

• Обичен
• Децимална
• Измешано

Пример обични фракции:

Горната вредност е броителот, долниот е именителот. Цртичката ни покажува дека горниот број е делив со долниот број. Наместо овој формат на пишување, кога цртичката е хоризонтална, можете да пишувате поинаку. Можете да ставите наклонета линија, на пример:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Децималисе најпопуларниот тип на дропки. Тие се состојат од цел број и фракционо дел, разделени со запирка.

Пример за децимални дропки:

0,2 или 6,71 или 0,125

Се состои од цел број и дробен дел. За да ја дознаете вредноста на оваа дропка, треба да ги соберете цел број и дропка.

Пример за мешани дропки:

Калкулаторот на фракции на нашата веб-локација може брзо да изврши какви било математички операции со дропки онлајн:

• Додаток
• Одземање
• Множење
• Поделба

За да ја извршите пресметката, треба да внесете броеви во полињата и да изберете дејство. За дропки, треба да ги пополните броителот и именителот; целиот број може да не се запише (ако дропката е обична). Не заборавајте да кликнете на копчето „еднакво“.

Удобно е калкулаторот веднаш да обезбеди процес за решавање на пример со дропки, а не само готов одговор. Благодарение на проширеното решение можете да го користите овој материјал при решавање училишни задачии за подобро совладување на опфатениот материјал.

Треба да го извршите примерот на пресметка:

Откако ќе ги внесеме индикаторите во полињата за формулари, добиваме:

За да направите сопствена пресметка, внесете ги податоците во формуларот.

Содржина на лекцијата

Собирање на дропки со слични именители

Постојат два вида на собирање на дропки:

1. Собирање на дропки со слични именители
2. Собирање на дропки со различни именители

Прво, да научиме собирање дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет. На пример, да ги додадеме дропките и . Додадете ги броителите и оставете го именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако додадете пица на пицата, добивате пица:

Пример 2.Додадете дропки и .

Одговорот испадна да биде неправилна дропка. Кога ќе дојде крајот на задачата, вообичаено е да се ослободите од несоодветните фракции. За да се ослободите од несоодветна фракција, треба да го изберете целиот дел од неа. Во нашиот случај, целиот дел лесно се изолира - два поделени со два еднакви:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пица која е поделена на два дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате една цела пица:

Пример 3. Додадете дропки и .

Повторно, ги собираме броителите и го оставаме именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на три дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате пица:

Пример 4.Најдете ја вредноста на изразот

Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Броителите мора да се додадат, а именителот да остане непроменет:

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пици на пица и додадете повеќе пици, ќе добиете 1 цела пица и повеќе пици.

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во собирањето дропки со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:

1. За да додадете дропки со ист именител, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет;

Собирање на дропки со различни именители

Сега да научиме како да собираме дропки со различни именители. При собирање дропки, именителите на дропките мора да бидат исти. Но, тие не се секогаш исти.

На пример, дропките може да се додаваат затоа што имаат исти именители.

Но, дропките не можат веднаш да се соберат, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.

Постојат неколку начини за намалување на дропките на ист именител. Денес ќе разгледаме само еден од нив, бидејќи другите методи може да изгледаат комплицирани за почетник.

Суштината на овој метод е дека прво се пребарува LCM на именители на двете дропки. LCM потоа се дели со именителот на првата дропка за да се добие првиот дополнителен фактор. Истото го прават и со втората дропка - LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор.

Броителите и именителот на дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие дејства, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки.

Пример 1. Да ги собереме дропките и

Како прво, го наоѓаме најмалиот заеднички множител на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 2. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега да се вратиме на дропките и . Прво, поделете го LCM со именителот на првата дропка и добијте го првиот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 6 со 3, добиваме 2.

Добиениот број 2 е првиот дополнителен множител. Го запишуваме до првата дропка. За да го направите ова, направете мала коси линија над дропот и запишете го дополнителниот фактор што се наоѓа над неа:

Истото го правиме и со втората дропка. LCM го делиме со именителот на втората дропка и го добиваме вториот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на втората дропка е бројот 2. Поделете 6 со 2, добиваме 3.

Добиениот број 3 е вториот дополнителен множител. Го запишуваме до втората дропка. Повторно, правиме мала коси линија над втората дропка и го запишуваме дополнителниот фактор пронајден над неа:

Сега имаме сè подготвено за додавање. Останува да се помножат броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни фактори:

Погледнете внимателно до што дојдовме. Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:

Ова го комплетира примерот. Излегува да се додаде .

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пица на пица, добивате една цела пица и уште една шестина од пица:

Намалувањето на дропките на ист (заеднички) именител може да се прикаже и со помош на слика. Намалувајќи ги дропките и на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие две фракции ќе бидат претставени со исти парчиња пица. Единствената разлика ќе биде што овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви акции (сведени на ист именител).

Првиот цртеж претставува дропка (четири парчиња од шест), а вториот цртеж претставува дропка (три дела од шест). Додавајќи ги овие парчиња добиваме (седум парчиња од шест). Оваа дропка е неправилна, па затоа го истакнавме целиот дел од неа. Како резултат на тоа, добивме (една цела пица и друга шеста пица).

Ве молиме имајте предвид дека опишавме овој примерпремногу детално. ВО образовните институцииНе е вообичаено да се пишува толку детално. Треба да можете брзо да го најдете LCM на именителот и дополнителните фактори за нив, како и брзо да ги помножите пронајдените дополнителни фактори со вашите броителите и именители. Ако бевме на училиште, ќе требаше да го напишеме овој пример на следниов начин:

Но, исто така постои задна странамедали. Ако не земате детални белешки во првите фази од изучувањето на математиката, тогаш почнуваат да се појавуваат прашања од тој вид. „Од каде доаѓа тој број?“, „Зошто дропките одеднаш се претвораат во сосема различни дропки? «.

За полесно да додавате дропки со различни именители, можете да ги користите следните чекор-по-чекор инструкции:

1. Најдете LCM на именители на дропки;
2. Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка;
3. Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители;
4. Додадете дропки кои имаат исти именители;
5. Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел;

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот .

Ајде да ги користиме упатствата дадени погоре.

Чекор 1. Најдете го LCM на именителот на дропките

Најдете го LCM на именителот на двете дропки. Именители на дропките се броевите 2, 3 и 4

Чекор 2. Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка

Поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 2. Поделете 12 со 2, добиваме 6. Го добивме првиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над првата дропка:

Сега го делиме LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Го добиваме вториот дополнителен фактор 4. Го запишуваме над втората дропка:

Сега го делиме LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на третата дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Го добиваме третиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над третата дропка:

Чекор 3. Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители

Ги множиме броителите и именителот со нивните дополнителни фактори:

Чекор 4. Додадете дропки со исти именители

Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. Останува само да се додадат овие фракции. Додај го:

Додавањето не одговараше на една линија, па го преместивме преостанатиот израз во следниот ред. Ова е дозволено во математиката. Кога изразот не одговара на една линија, тој се преместува во следниот ред, и потребно е да се стави знак за еднаквост (=) на крајот од првиот ред и на почетокот на новиот ред. Знакот за еднаквост на вториот ред покажува дека ова е продолжение на изразот што беше на првиот ред.

Чекор 5. Ако одговорот се покаже дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел

Нашиот одговор се покажа како неправилна дропка. Мораме да истакнеме цел дел од тоа. Истакнуваме:

Добивме одговор

Одземање на дропки со слични именители

Постојат два вида на одземање на дропки:

1. Одземање на дропки со слични именители
2. Одземање на дропки со различни именители

Прво, да научиме како да одземаме дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка, но именителот да го оставите ист.

На пример, да ја најдеме вредноста на изразот . За да го решите овој пример, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет. Да го направиме ова:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот.

Повторно, од броителот на првата дропка, одземете го броителот на втората дропка и оставете го именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на три дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:

Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот

Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Од броителот на првата дропка треба да ги одземете броителите на останатите дропки:

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во одземањето на дропките со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:

1. За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет;
2. Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш треба да го истакнете целиот дел од него.

Одземање на дропки со различни именители

На пример, може да одземе дропка од дропка бидејќи дропките имаат исти именители. Но, не можете да одземете дропка од дропка, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.

Заедничкиот именител се наоѓа користејќи го истиот принцип што го користевме кога собиравме дропки со различни именители. Најпрво пронајдете го LCM на именителот на двете дропки. Потоа LCM се дели со именителот на првата дропка и се добива првиот дополнителен фактор кој се запишува над првата дропка. Слично, LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор кој е запишан над втората дропка.

Дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие операции, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки.

Пример 1.Најдете го значењето на изразот:

Овие дропки имаат различни именители, затоа треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.

Прво го наоѓаме LCM на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 4. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега да се вратиме на дропки и

Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Запишете четворка над првата дропка:

Истото го правиме и со втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Запишете тројка над втората дропка:

Сега сме подготвени за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:

Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:

Добивме одговор

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако ја исечете пицата од пица, добивате пица

Ова детална верзијарешенија. Да бевме на училиште, овој пример ќе требаше да го решиме пократко. Таквото решение би изгледало вака:

Намалувањето на дропките до заеднички именител може да се прикаже и со помош на слика. Сведувајќи ги овие дропки на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие дропки ќе бидат претставени со исти парчиња пица, но овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви делови (сведени на ист именител):

На првата слика е прикажана дропка (осум парчиња од дванаесет), а на втората слика е прикажана дропка (три парчиња од дванаесет). Со сечење три парчиња од осум парчиња, добиваме пет парчиња од дванаесет. Дропката ги опишува овие пет парчиња.

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот

Овие дропки имаат различни именители, па прво треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.

Да го најдеме LCM на именителот на овие дропки.

Именители на дропките се броевите 10, 3 и 5. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега наоѓаме дополнителни фактори за секоја дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на секоја дропка.

Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на првата дропка е бројот 10. Поделете 30 со 10, го добиваме првиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над првата дропка:

Сега наоѓаме дополнителен фактор за втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 30, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 30 со 3, го добиваме вториот дополнителен фактор 10. Го запишуваме над втората дропка:

Сега наоѓаме дополнителен фактор за третата дропка. Поделете го LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на третата дропка е бројот 5. Поделете 30 со 5, го добиваме третиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над третата дропка:

Сега сè е подготвено за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:

Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го завршиме овој пример.

Продолжението на примерот нема да се вклопи на една линија, па продолжението го преместуваме во следниот ред. Не заборавајте за знакот за еднаквост (=) на новата линија:

Одговорот се покажа како редовна дропка, и се чини дека сè ни одговара, но е премногу гломазен и грд. Треба да го направиме поедноставно. Што може да се направи? Можете да ја скратите оваа фракција.

За да намалите дропка, треба да ги поделите неговиот броител и именителот со (GCD) од броевите 20 и 30.

Значи, го наоѓаме gcd на броевите 20 и 30:

Сега се враќаме на нашиот пример и го делиме броителот и именителот на дропката со пронајдениот gcd, односно со 10

Добивме одговор

Множење на дропка со број

За да помножите дропка со број, треба да го помножите броителот на дропката со тој број и да го оставите именителот непроменет.

Пример 1. Помножете дропка со бројот 1.

Помножете го броителот на дропката со бројот 1

Снимката може да се сфати како да трае половина време. На пример, ако земате пици 1 пат, добивате пици

Од законите за множење знаеме дека ако множителот и факторот се заменат, производот нема да се промени. Ако изразот е напишан како , тогаш производот сепак ќе биде еднаков на . Повторно, правилото за множење цел број и дропка функционира:

Оваа нотација може да се сфати како преземање на половина од еден. На пример, ако има 1 цела пица и земеме половина од неа, тогаш ќе имаме пица:

Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на дропката со 4

Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:

Изразот може да се сфати како преземање две четвртини 4 пати. На пример, ако земете 4 пици, ќе добиете две цели пици

И ако го замениме множителот и множителот, го добиваме изразот . Исто така, ќе биде еднакво на 2. Овој израз може да се сфати како преземање две пици од четири цели пици:

Бројот што се множи со дропката и именителот на дропката се решаваат ако имаат заеднички фактор поголем од еден.

На пример, изразот може да се оцени на два начина.

Првиот начин. Помножете го бројот 4 со броителот на дропката и оставете го именителот на дропката непроменет:

Втор начин. Четирите кои се множат и четирите во именителот на дропката може да се редуцираат. Овие четири може да се намалат за 4, бидејќи најголемиот заеднички делител за две четворки е самата четворка:

Го добивме истиот резултат 3. По намалувањето на четирите, на нивно место се формираат нови броеви: два. Но, множење на еден со три, а потоа делење со еден не менува ништо. Затоа, решението може да се напише накратко:

Намалувањето може да се изврши дури и кога решивме да го користиме првиот метод, но во фазата на множење на бројот 4 и броителот 3 решивме да го користиме намалувањето:

Но, на пример, изразот може да се пресмета само на првиот начин - помножете 7 со именителот на дропката и оставете го именителот непроменет:

Ова се должи на фактот што бројот 7 и именителот на дропката немаат заеднички делител поголем од еден и соодветно не се откажуваат.

Некои ученици погрешно го скратуваат бројот што се множи и броителот на дропката. Не можете да го направите ова. На пример, следниов запис не е точен:

Намалувањето на дропка значи дека и броител и именителќе се подели со ист број. Во ситуацијата со изразот, поделбата се врши само во броителот, бидејќи пишувањето на ова е исто што и пишувањето. Гледаме дека делењето се врши само во броителот, а не се случува делење во именителот.

Множење на дропки

За да множите дропки, треба да ги помножите нивните броители и именители. Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, треба да го истакнете целиот дел од него.

Пример 1.Најдете ја вредноста на изразот.

Добивме одговор. Препорачливо е да се намали оваа фракција. Дропката може да се намали за 2. Тогаш конечното решение ќе ја добие следната форма:

Изразот може да се разбере како да се земе пица од половина пица. Да речеме дека имаме половина пица:

Како да земете две третини од оваа половина? Прво треба да ја поделите оваа половина на три еднакви делови:

И земете две од овие три парчиња:

Ќе направиме пица. Запомнете како изгледа пицата кога е поделена на три дела:

Едно парче од оваа пица и двете парчиња што ги земавме ќе имаат исти димензии:

Со други зборови, зборуваме за пица со иста големина. Затоа вредноста на изразот е

Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:

Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:

Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:

Одговорот се покажа како правилна дропка, но би било добро да се скрати. За да ја намалите оваа дропка, треба да ги поделите броителот и именителот на оваа дропка со најголемиот заеднички делител (GCD) од броевите 105 и 450.

Значи, да го најдеме gcd на броевите 105 и 450:

Сега ги делиме броителот и именителот на нашиот одговор со gcd што сега го најдовме, односно со 15

Претставување цел број како дропка

Секој цел број може да се претстави како дропка. На пример, бројот 5 може да се претстави како . Ова нема да го промени значењето на пет, бидејќи изразот значи „бројот пет поделен со еден“, а ова, како што знаеме, е еднакво на пет:

Реципрочни броеви

Сега ќе се запознаеме со многу интересна темапо математика. Тоа се нарекува „обратни броеви“.

Дефиниција. Обратно на бројота е број кој, кога ќе се помножи соа дава еден.

Ајде да ја замениме оваа дефиниција наместо променливата аброј 5 и обидете се да ја прочитате дефиницијата:

Обратно на бројот 5 е број кој, кога ќе се помножи со 5 дава еден.

Дали е можно да се најде број кој, помножен со 5, дава еден? Излегува дека е можно. Ајде да замислиме пет како дропка:

Потоа помножете ја оваа дропка сама по себе, само заменете ги броителот и именителот. Со други зборови, ајде да ја помножиме дропот сама по себе, само наопаку:

Што ќе се случи како резултат на ова? Ако продолжиме да го решаваме овој пример, ќе добиеме еден:

Ова значи дека инверзната на бројот 5 е бројот, бидејќи кога ќе помножите 5 со ќе добиете еден.

Реципроцитет на број може да се најде и за кој било друг цел број.

Најдете реципрочен бројМожно е и за која било друга фракција. За да го направите ова, само превртете го.

Делење дропка со број

Да речеме дека имаме половина пица:

Ајде да го поделиме подеднакво на две. Колку пица ќе добие секој човек?

Се гледа дека по делењето на половина од пицата се добиени две еднакви парчиња, од кои секое претставува пица. Значи секој добива пица.