Да го продолжиме разговорот за дејствата со матрици. Имено, во текот на изучувањето на ова предавање ќе научите како да ја пронајдете инверзната матрица. Научете. Дури и ако математиката е тешка.

Што е инверзна матрица? Овде можеме да направиме аналогија со реципрочни броеви: Размислете, на пример, оптимистичкиот број 5 и неговиот инверзен број. Производот на овие броеви е еднаков на еден: . Сè е слично со матриците! Производот на матрицата и нејзината инверзна матрица е еднаков на - матрица на идентитетот, што е матричен аналог на нумеричката единица. Сепак, прво - прво да го решиме најважното. практично прашање, имено, ќе научиме како да ја најдеме оваа многу инверзна матрица.

Што треба да знаете и да можете да направите за да ја пронајдете инверзната матрица? Мора да можете да одлучите квалификации. Мора да разберете што е тоа матрицаи да може да изврши некои дејствија со нив.

Постојат два главни методи за наоѓање на инверзна матрица:
со користење на алгебарски дополнувањаИ користејќи елементарни трансформации.

Денес ќе го проучуваме првиот, поедноставен метод.

Да почнеме со најстрашното и најнеразбирливото. Ајде да размислиме квадратматрица. Инверзната матрица може да се најде со помош на следнава формула:

Каде е детерминантата на матрицата, дали е транспонираната матрица на алгебарски комплементи на соодветните елементи на матрицата.

Концептот на инверзна матрица постои само за квадратни матрици, матрици „два по два“, „три по три“ итн.

Ознаки: Како што веќе сте забележале, инверзната матрица се означува со надреден знак

Да почнеме со наједноставниот случај - матрица два-по-два. Најчесто, се разбира, се бара „три по три“, но, сепак, силно препорачувам да проучите поедноставна задача за да совладате општ принципрешенија.

Пример:

Најдете инверзна матрица

Ајде да одлучиме. Удобно е да се разложи редоследот на дејства точка по точка.

1) Прво ја наоѓаме детерминантата на матрицата.

Ако вашето разбирање за оваа акција не е добро, прочитајте го материјалот Како да се пресмета детерминантата?

Важно!Ако детерминантата на матрицата е еднаква на НУЛА– инверзна матрица НЕ ПОСТОИ.

Во примерот што се разгледува, како што се испостави, , што значи дека сè е во ред.

2) Најдете ја матрицата на малолетни лица.

За да го решиме нашиот проблем, не е неопходно да се знае што е малолетник, сепак, препорачливо е да ја прочитате статијата Како да се пресмета детерминантата.

Матрицата на малолетници ги има истите димензии како и матрицата, односно во овој случај.
Единственото нешто што треба да направите е да пронајдете четири броеви и да ги ставите наместо ѕвездички.

Да се ​​вратиме на нашата матрица
Ајде прво да го погледнеме горниот лев елемент:

Како да го најдете малолетник?
И ова се прави вака: МЕНТАЛНО пречкртајте ги редот и колоната во кои се наоѓа овој елемент:

Преостанатиот број е помал од овој елемент, што го пишуваме во нашата матрица на малолетници:

Размислете за следниов елемент на матрицата:

Ментално прецртајте ги редот и колоната во кои се појавува овој елемент:

Она што останува е минор на овој елемент, кој го пишуваме во нашата матрица:

Слично на тоа, ги разгледуваме елементите од вториот ред и ги наоѓаме нивните мали:


Подготвени.

Едноставно е. Во матрицата на малолетници ви треба ПРОМЕНИ ЗНАЦИдва броја:

Ова се бројките што ги заокружив!

– матрица на алгебарски собирања на соодветните елементи на матрицата.

И само...

4) Најдете ја транспонираната матрица на алгебарски собирања.

– транспонирана матрица на алгебарски комплементи на соодветните елементи на матрицата.

5) Одговори.

Да се ​​потсетиме на нашата формула
Сè е пронајдено!

Значи, инверзната матрица е:

Подобро е да се остави одговорот како што е. НЕМА ПОТРЕБАподелете го секој елемент од матрицата со 2, како што ќе добиете дробни броеви. Оваа нијанса е подетално дискутирана во истата статија. Дејства со матрици.

Како да го проверите решението?

Треба да извршите множење на матрицата или

Испитување:

Добиено веќе споменато матрица на идентитетоте матрица со оние од главна дијагоналаи нули на други места.

Така, инверзната матрица е пронајдена правилно.

Ако го извршите дејството, резултатот исто така ќе биде матрица на идентитет. Ова е еден од ретките случаи каде што множењето на матрицата е комутативно, повеќе детали можете да најдете во статијата Својства на операции на матрици. Матрични изрази. Исто така, забележете дека за време на проверката, константата (дропка) се носи напред и се обработува на самиот крај - по множењето на матрицата. Ова е стандардна техника.

Ајде да преминеме на почест случај во пракса - матрицата три-по-три:

Пример:

Најдете инверзна матрица

Алгоритмот е сосема ист како и за случајот „два по два“.

Ја наоѓаме инверзната матрица користејќи ја формулата: , каде е транспонираната матрица на алгебарски комплементи на соодветните елементи на матрицата.

1) Најдете ја детерминантата на матрицата.


Овде се открива детерминантата на првата линија.

Исто така, не заборавајте го тоа, што значи дека сè е во ред - постои инверзна матрица.

2) Најдете ја матрицата на малолетни лица.

Матрицата на малолетници има димензија „три на три“ , и треба да најдеме девет броеви.

Ќе разгледам одблизу неколку малолетници:

Размислете за следниов елемент на матрицата:

МЕНТАЛНО прецртај ги редот и колоната во кои се наоѓа овој елемент:

Преостанатите четири броеви ги запишуваме во детерминантата „два по два“.

Оваа детерминанта два-по-два и е минор на овој елемент. Треба да се пресмета:


Тоа е тоа, малолетникот е пронајден, го пишуваме во нашата матрица на малолетници:

Како што веројатно претпоставувате, треба да пресметате девет детерминанти два по два. Процесот, се разбира, е досаден, но случајот не е најтежок, може да биде и полош.

Па, да се консолидираме - наоѓање на уште еден малолетник на сликите:

Обидете се сами да ги пресметате преостанатите малолетници.

Краен резултат:
– матрица на минори на соодветните елементи на матрицата.

Тоа што сите малолетници се покажаа негативни е чисто несреќен случај.

3) Најдете ја матрицата на алгебарски собирања.

Во матрицата на малолетни лица е потребно ПРОМЕНИ ЗНАЦИстрого за следните елементи:

Во овој случај:

Не размислуваме да ја најдеме инверзната матрица за матрицата „четири на четири“, бидејќи таква задача може да даде само садистички наставник (за ученикот да пресмета една детерминанта „четири на четири“ и 16 детерминанти „три на три“ ). Во мојата пракса, имаше само еден таков случај, и тоа клиентот тест работадоста скапо плати за моите маки =).

Во голем број учебници и прирачници можете да најдете малку поинаков пристап за наоѓање инверзна матрица, но јас препорачувам да го користите алгоритмот за решение наведен погоре. Зошто? Бидејќи веројатноста да се збуните во пресметките и знаците е многу помала.

1. Најдете ја детерминантата на оригиналната матрица. Ако , тогаш матрицата е сингуларна и нема инверзна матрица. Ако, тогаш постои недегенерирана и инверзна матрица.

2. Најдете ја матрицата транспонирана на.

3. Најдете ги алгебарските комплементи на елементите и составете ја од нив придружната матрица.

4. Ја составуваме инверзната матрица користејќи ја формулата.

5. Ја проверуваме точноста на пресметката на инверзната матрица, врз основа на нејзината дефиниција:.

Пример.Најдете ја инверзната матрица на ова: .

Решение.

1) Матрична детерминанта

.

2) Најдете ги алгебарските комплементи на елементите на матрицата и составете ја придружната матрица од нив:

3) Пресметајте ја инверзната матрица:

,

4) Проверете:

№4Ранг на матрица. Линеарна независност на матричните редови

Да се ​​решат и проучат голем број математички и применети проблемиКонцептот на матричен ранг е важен.

Во матрицата со големина, со бришење на сите редови и колони, можете да изолирате квадратни подматрици од ти ред, каде. Детерминантите на таквите подматрици се нарекуваат малолетници од редот на матрицата .

На пример, од матрици можете да добиете подматрици од 1, 2 и 3 ред.

Дефиниција.Рангот на матрицата е највисокиот ред на ненула минори од таа матрица. Ознака: или.

Од дефиницијата следува:

1) Рангот на матрицата не ја надминува помалата од нејзините димензии, т.е.

2) ако и само ако сите елементи на матрицата се еднакви на нула, т.е.

3) За квадратна матрица од n-ти редослед ако и само ако матрицата е неединечна.

Бидејќи директното набројување на сите можни минори на матрицата, почнувајќи од најголемата големина, е тешко (одзема време), тие користат елементарни трансформации на матрицата кои го зачувуваат рангот на матрицата.

Трансформации на елементарни матрици:

1) Отфрлање на нултиот ред (колона).

2) Множење на сите елементи од ред (колона) со број.

3) Промена на редоследот на редови (колони) на матрицата.

4) Додавање на секој елемент од еден ред (колона) соодветните елементи од друг ред (колона), помножени со кој било број.

5) Транспозиција на матрица.

Дефиниција.Матрицата добиена од матрица со помош на елементарни трансформации се нарекува еквивалентна и се означува А ВО.

Теорема.Рангот на матрицата не се менува за време на елементарните матрични трансформации.

Користејќи елементарни трансформации, можете да ја намалите матрицата на таканаречената форма на чекор, кога пресметувањето на нејзиниот ранг не е тешко.

Матрицата се нарекува ешалон ако ја има формата:

Очигледно, рангот на матрицата чекор е еднаков на бројот на редови кои не се нула, бидејќи постои мал ред кој не е еднаков на нула:

.

Пример.Определи го рангот на матрицата користејќи елементарни трансформации.

Рангот на матрицата е еднаков на бројот на редови кои не се нула, т.е. .

№5Линеарна независност на матричните редови

Дадена е матрица за големина

Ајде да ги означиме редовите на матрицата на следниов начин:

Двете линии се нарекуваат еднакви , ако нивните соодветни елементи се еднакви. .

Да ги воведеме операциите на множење на низа со број и додавање низи како операции извршени елемент по елемент:

Дефиниција.Редот се нарекува линеарна комбинација на редови од матрицата ако е еднаква на збирот на производите од овие редови со произволни реални броеви (било кој број):

Дефиниција.Се нарекуваат редовите на матрицата линеарно зависни , ако има броеви кои не се истовремено еднакви на нула, така што линеарната комбинација од редовите на матрицата е еднаква на нултата редица:

Каде. (1.1)

Линеарната зависност на матричните редови значи дека најмалку 1 ред од матрицата е линеарна комбинација од останатите.

Дефиниција.Ако линеарна комбинација на редови (1.1) е еднаква на нула ако и само ако сите коефициенти се , тогаш редовите се нарекуваат линеарно независни .

Теорема за ранг на матрица . Рангот на матрицата е еднаков на максималниот број на нејзините линеарно независни редови или колони преку кои линеарно се изразуваат сите други редови (колони).

Теоремата игра фундаментална улога во анализата на матрицата, особено во проучувањето на системите линеарни равенки.

№6Решавање на систем линеарни равенки со непознати

Системите на линеарни равенки се широко користени во економијата.

Системот на линеарни равенки со променливи има форма:

,

каде што () се повикуваат произволни броеви коефициенти за променливи И слободни термини на равенките , соодветно.

Краток запис: ().

Дефиниција.Решението на системот е таков збир на вредности, по чија замена секоја равенка на системот се претвора во вистинска еднаквост.

1) Системот на равенки се нарекува зглоб , ако има барем едно решение, и незаеднички, ако нема решенија.

2) Симултаниот систем на равенки се нарекува одредени ако таа има единствена одлука, И неизвесна , ако има повеќе од едно решение.

3) Се нарекуваат два системи на равенки еквивалент (еквивалент ) , ако имаат ист сет на решенија (на пример, едно решение).

Слично на инверзното во многу својства.

Енциклопедиски YouTube

    1 / 5

    ✪ Инверзна матрица (2 начини да се најде)

    ✪ Како да се најде инверзна матрица - безботви

    ✪ Инверзна матрица #1

    ✪ Решавање систем на равенки со помош на методот на инверзна матрица - bezbotvy

    ✪ Инверзна матрица

    Преводи

Својства на инверзна матрица

  • det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Каде det (\displaystyle \\det)означува детерминанта.
  • (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))за две квадратни инвертибилни матрици A (\displaystyle A)И B (\displaystyle B).
  • (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Каде (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))означува транспонирана матрица.
  • (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\стил на приказ \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))за кој било коефициент k ≠ 0 (\стил на приказ k\не =0).
  • E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
  • Ако е потребно да се реши систем од линеарни равенки, (b е ненулти вектор) каде x (\displaystyle x)е саканиот вектор, и ако A − 1 (\displaystyle A^(-1))постои, тогаш x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Во спротивно, или димензијата на просторот за решение е поголема од нула, или воопшто нема решенија.

Методи за наоѓање на инверзна матрица

Ако матрицата е инвертибилна, тогаш за да ја пронајдете инверзната матрица можете да користите еден од следниве методи:

Точни (директни) методи

Гаус-Јордан метод

Да земеме две матрици: на Аи сингл Е. Да ја претставиме матрицата Ана идентитетската матрица користејќи го методот Гаус-Јордан, со примена на трансформации долж редовите (може да примените и трансформации по колоните, но не и мешани). Откако ќе ја примените секоја операција на првата матрица, применете ја истата операција на втората. Кога ќе заврши редукцијата на првата матрица во форма на единица, втората матрица ќе биде еднаква на A−1.

Кога се користи Гаусовиот метод, првата матрица ќе се помножи лево со една од елементарните матрици Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(трансвекција или дијагонала матрица со оние на главната дијагонала, освен за една позиција):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Десна стрелка \Ламбда =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\точки &&&\\0&\точки &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\точки &0\\0&\точки &0&1/a_(mm)&0&\точки &0\\0&\точки &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\точки &0\\&&&\точки &&&\\0&\точки &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\точки &1\крај (bматрица))).

Втората матрица по примената на сите операции ќе биде еднаква на Λ (\displaystyle \Lambda), односно ќе биде посакуваниот. Комплексност на алгоритам - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Користење на матрицата на алгебарскиот комплемент

Матрица инверзна на матрицата A (\displaystyle A), може да се претстави во форма

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Каде adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- придружна матрица;

Комплексноста на алгоритмот зависи од сложеноста на алгоритмот за пресметување на детерминантата O det и е еднаква на O(n²)·O det.

Користење на LU/LUP распаѓање

Матрична равенка A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))за инверзната матрица X (\displaystyle X)може да се смета како колекција n (\displaystyle n)системи на формата A x = b (\displaystyle Ax=b). Да означиме i (\displaystyle i)колона од матрицата X (\displaystyle X)преку X i (\displaystyle X_(i)); Потоа A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),затоа што i (\displaystyle i)колона од матрицата I n (\displaystyle I_(n))е единичен вектор e i (\displaystyle e_(i)). со други зборови, наоѓањето на инверзната матрица се сведува на решавање на n равенки со иста матрица и различни десни страни. По извршувањето на LUP разложување (O(n³) време), за решавање на секоја од n равенките е потребно O(n²) време, така што овој дел од работата бара и O(n³) време.

Ако матрицата А е неединечна, тогаш за неа може да се пресмета разградувањето на LUP P A = L U (\displaystyle PA=LU). Нека P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Потоа од својствата на инверзната матрица можеме да напишеме: D = U − 1 L − 1 (\приказ D=U^(-1)L^(-1)). Ако ја помножите оваа еднаквост со U и L, можете да добиете две еднаквости на формата U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))И D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Првата од овие еднаквости е систем од n² линеарни равенки за n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))од кои се познати десните страни (од својствата на триаголните матрици). Вториот исто така претставува систем од n² линеарни равенки за n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))од кои се познати десните страни (исто така и од својствата на триаголните матрици). Заедно тие претставуваат систем на n² еднаквости. Користејќи ги овие еднаквости, можеме рекурзивно да ги одредиме сите n² елементи на матрицата D. Потоа од еднаквоста (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. ја добиваме еднаквоста A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Во случај на користење на распаѓање LU, не е потребна пермутација на колоните од матрицата D, но решението може да се разминува дури и ако матрицата А е несингуларна.

Комплексноста на алгоритмот е O(n³).

Итеративни методи

Шулцови методи

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\приказ (\почеток(случаи)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\збир _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\крај (случаи)))

Проценка на грешка

Избор на првично приближување

Проблемот на избор на почетна апроксимација во процесите на инверзија на итеративна матрица што се разгледуваат овде не ни дозволува да ги третираме како независни универзални методи кои се натпреваруваат со методите на директна инверзија засновани, на пример, на распаѓањето на LU на матриците. Постојат неколку препораки за избор U 0 (\displaystyle U_(0)), обезбедување на исполнување на условот ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (спектралниот радиус на матрицата е помал од единството), што е неопходно и доволно за конвергенција на процесот. Меѓутоа, во овој случај, прво, потребно е да се знае одозгора проценката за спектарот на инвертибилната матрица А или матрицата A A T (\displaystyle AA^(T))(имено, ако A е симетрична позитивна дефинитивна матрица и ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), тогаш можете да земете U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Каде ; ако A е произволна несингуларна матрица и ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), тогаш тие веруваат U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha)A^(T)), каде исто така α ∈ (0 , 2 β) (\стил на прикажување \алфа \во \лево(0,(\frac (2)(\beta ))\десно)); Можете, се разбира, да ја поедноставите ситуацијата и да го искористите фактот дека ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), стави U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Второ, при специфицирање на почетната матрица на овој начин, нема гаранција за тоа ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)ќе биде мал (можеби дури и ќе испадне дека е ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), И висок редбрзината на конвергенција нема да се открие веднаш.

Примери

Матрица 2x2

Не може да се анализира изразот (грешка во синтаксата): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \почеток& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ почеток (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end (bmatrix).)

Инверзија на матрица 2x2 е можна само под услов a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Вообичаено, инверзните операции се користат за да се поедностават сложените алгебарски изрази. На пример, ако проблемот вклучува операција на делење со дропка, можете да ја замените со операцијата на множење со реципроцитет на дропка, што е инверзна операција. Покрај тоа, матриците не можат да се поделат, така што треба да се множите со инверзната матрица. Пресметувањето на инверзната матрица 3x3 е прилично досадно, но треба да можете да го направите тоа рачно. Можете исто така да го најдете реципрочното користејќи добар графички калкулатор.

Чекори

Користење на придружната матрица

Транспонирајте ја оригиналната матрица.Транспозиција е замена на редови со колони во однос на главната дијагонала на матрицата, односно треба да ги замените елементите (i,j) и (j,i). Во овој случај, елементите на главната дијагонала (започнува во горниот лев агол и завршува во долниот десен агол) не се менуваат.

  • За да ги промените редовите во колони, запишете ги елементите од првиот ред во првата колона, елементите од вториот ред во втората колона и елементите од третиот ред во третата колона. Редоследот на промена на положбата на елементите е прикажан на сликата, на која соодветните елементи се заокружени со обоени кругови.

  • Најдете ја дефиницијата за секоја 2x2 матрица.Секој елемент од која било матрица, вклучително и транспонирана, е поврзан со соодветна 2x2 матрица. За да пронајдете матрица 2x2 што одговара на одреден елемент, пречкртајте ги редот и колоната во кои се наоѓа дадениот елемент, односно треба да прецртате пет елементи од оригиналната 3x3 матрица. Четири елементи ќе останат непрекрстени, кои се елементи од соодветната 2x2 матрица.

    • На пример, за да пронајдете матрица 2x2 за елементот што се наоѓа на пресекот на вториот ред и првата колона, пречкртајте ги петте елементи што се во вториот ред и првата колона. Останатите четири елементи се елементи од соодветната 2x2 матрица.
    • Најдете ја детерминантата на секоја матрица 2x2. За да го направите ова, одземете го производот на елементите на секундарната дијагонала од производот на елементите на главната дијагонала (види слика).
    • Детални информации за 2x2 матрици кои одговараат на специфични елементи на матрицата 3x3 може да се најдат на Интернет.

  • Создадете кофакторска матрица.Резултатите добиени претходно запишете ги во форма на нова кофакторска матрица. За да го направите ова, напишете ја пронајдената детерминанта на секоја 2x2 матрица каде што се наоѓа соодветниот елемент на матрицата 3x3. На пример, ако размислувате за матрица 2x2 за елементот (1,1), напишете ја нејзината детерминанта во позиција (1,1). Потоа променете ги знаците на соодветните елементи според одредена шема, која е прикажана на сликата.

    • Шема за промена на знаци: знакот на првиот елемент од првата линија не се менува; знакот на вториот елемент од првата линија е обратен; знакот на третиот елемент од првиот ред не се менува и така ред по ред. Ве молиме имајте предвид дека знаците „+“ и „-“ што се прикажани на дијаграмот (види слика) не покажуваат дека соодветниот елемент ќе биде позитивен или негативен. Во овој случај, знакот „+“ покажува дека знакот на елементот не се менува, а знакот „-“ означува промена во знакот на елементот.
    • Детални информации за кофакторските матрици може да се најдат на Интернет.
    • На овој начин ќе ја пронајдете придружната матрица на оригиналната матрица. Понекогаш се нарекува сложена конјугирана матрица. Таквата матрица е означена како adj(M).

  • Поделете го секој елемент од придружната матрица со нејзината детерминанта.Детерминантата на матрицата M беше пресметана на самиот почеток за да се провери дали постои инверзна матрица. Сега поделете го секој елемент од придружната матрица со оваа детерминанта. Напишете го резултатот од секоја операција на делење каде што се наоѓа соодветниот елемент. На овој начин ќе ја најдете матрицата обратна од оригиналната.

    • Детерминантата на матрицата што е прикажана на сликата е 1. Така, овде придружната матрица е инверзна матрица (бидејќи кога било кој број се дели со 1, тој не се менува).
    • Во некои извори, операцијата за делење се заменува со операцијата множење со 1/det(M). Сепак, конечниот резултат не се менува.

  • Напишете ја инверзната матрица.Напишете ги елементите лоцирани на десната половина од големата матрица како посебна матрица, што е инверзна матрица.

    Користење на калкулатор

      Изберете калкулатор кој работи со матрици.Не е можно да се најде инверзна матрица со помош на едноставни калкулатори, но тоа може да се направи на добар графички калкулатор како што е Texas Instruments TI-83 или TI-86.

      Внесете ја оригиналната матрица во меморијата на калкулаторот.За да го направите ова, кликнете на копчето Матрица, доколку е достапно. За калкулатор Texas Instruments, можеби ќе треба да ги притиснете копчињата 2 и Matrix.

      Изберете го менито Уреди.Направете го тоа користејќи ги копчињата со стрелки или соодветното функциско копче кое се наоѓа на горниот дел од тастатурата на калкулаторот (локацијата на копчето варира во зависност од моделот на калкулаторот).

      Внесете ја матричната нотација.Повеќето графички калкулатори можат да работат со 3-10 матрици, кои може да се назначат буквите А-Ј. Вообичаено, само изберете [A] за да ја означите оригиналната матрица. Потоа притиснете го копчето Enter.

      Внесете ја големината на матрицата.Оваа статија зборува за 3x3 матрици. Но, графичките калкулатори можат да работат со големи матрици. Внесете го бројот на редови, притиснете Enter, потоа внесете го бројот на колони и повторно притиснете Enter.

      Внесете го секој елемент на матрицата.На екранот на калкулаторот ќе се прикаже матрица. Ако претходно сте внеле матрица во калкулаторот, таа ќе се појави на екранот. Покажувачот ќе го означи првиот елемент од матрицата. Внесете ја вредноста за првиот елемент и притиснете Enter. Покажувачот автоматски ќе се премести на следниот елемент на матрицата.

    Нека има квадратна матрица од n-ти ред

    Се нарекува матрицата А -1 инверзна матрицаво однос на матрицата А, ако A*A -1 = E, каде што E е идентитетска матрица од n-ти ред.

    Матрица на идентитет- таква квадратна матрица во која сите елементи долж главната дијагонала, поминувајќи од горниот лев агол до долниот десен агол, се една, а останатите се нули, на пример:

    инверзна матрицаможе да постои само за квадратни матрицитие. за оние матрици во кои бројот на редови и колони се совпаѓаат.

    Теорема за услов за постоење на инверзна матрица

    За да може матрицата да има инверзна матрица, потребно е и доволно таа да биде неединечна.

    Се повикува матрицата A = (A1, A2,...A n). недегенериран, ако векторите на колоните се линеарно независни. Бројот на линеарно независни колони вектори на матрицата се нарекува ранг на матрицата. Според тоа, можеме да кажеме дека за да постои инверзна матрица, потребно е и доволно рангот на матрицата да биде еднаков на нејзината димензија, т.е. r = n.

    Алгоритам за пронаоѓање на инверзна матрица

    1. Запишете ја матрицата А во табелата за решавање системи на равенки со помош на Гаусовиот метод и доделете ја матрицата Е на десната страна (на местото на десните страни на равенките).
    2. Користејќи ги трансформациите на Џордан, сведете ја матрицата А на матрица која се состои од единични колони; во овој случај, потребно е истовремено да се трансформира матрицата Е.
    3. Доколку е потребно, преуредете ги редовите (равенките) од последната табела така што под матрицата А од оригиналната табела ќе ја добиете матрицата за идентитетот Е.
    4. Запишете ја инверзната матрица А -1, која се наоѓа во последната табела под матрицата Е од оригиналната табела.
    Пример 1

    За матрицата А, најдете ја инверзната матрица А -1

    Решение: Ја пишуваме матрицата А и надесно ја доделуваме матрицата на идентитетот E. Користејќи ги трансформациите на Џордан, ја намалуваме матрицата А на матрицата на идентитетот E. Пресметките се дадени во Табела 31.1.

    Да ја провериме исправноста на пресметките со множење на првобитната матрица А и инверзната матрица А -1.

    Како резултат на множење на матрицата, беше добиена матрицата на идентитетот. Затоа, пресметките беа извршени правилно.

    Одговор:

    Решавање матрични равенки

    Матричните равенки може да изгледаат вака:

    AX = B, HA = B, AXB = C,

    каде што A, B, C се наведените матрици, X е саканата матрица.

    Матричните равенки се решаваат со множење на равенката со инверзни матрици.

    На пример, за да ја пронајдете матрицата од равенката, треба да ја помножите оваа равенка со лево.

    Затоа, за да најдете решение за равенката, треба да ја пронајдете инверзната матрица и да ја помножите со матрицата од десната страна на равенката.

    Слично се решаваат и другите равенки.

    Пример 2

    Решете ја равенката AX = B ако

    Решение: Бидејќи инверзната матрица е еднаква на (види пример 1)

    Матричен метод во економската анализа

    Заедно со други, тие исто така се користат матрични методи. Овие методи се засноваат на линеарна и векторско-матрична алгебра. Ваквите методи се користат за анализа на сложени и повеќедимензионални економски појави. Најчесто овие методи се користат кога е потребно да се направи компаративна проценка на функционирањето на организациите и нивните структурни поделби.

    Во процесот на примена на методите на матрична анализа може да се разликуваат неколку фази.

    Во првата фазасе формира систем на економски показатели и врз негова основа се составува матрица на почетни податоци, која е табела во која се прикажани броевите на системот во неговите поединечни редови. (i = 1,2,....,n), а во вертикални колони - броеви на индикатори (j = 1,2,....,m).

    Во втората фазаЗа секоја вертикална колона, се идентификува најголемата од достапните вредности на индикаторот, која се зема како една.

    По ова, сите износи рефлектирани во оваа колона се поделени со највисока вредности се формира матрица од стандардизирани коефициенти.

    Во третата фазасите компоненти на матрицата се на квадрат. Ако тие имаат различно значење, тогаш на секој индикатор на матрицата му се доделува одреден тежински коефициент к. Вредноста на второто се утврдува со стручно мислење.

    На последното, четврта фазапронајдени вредности за оценување Рјсе групирани по нивно зголемување или намалување.

    Треба да се користат наведените методи на матрица, на пример, кога компаративна анализаразлични инвестициски проекти, како и при оценување на други економски показатели на организациите.