Својства на векторската должина во Евклидов простор. Евклидски простори. Линеарна алгебра. И квадратни форми

Соодветно на таков векторски простор. Во оваа статија, првата дефиниција ќе биде земена како почетна точка.

$n$ -димензионалниот Евклидов простор се означува со $\mathbb E^n,$ често се користи и ознаката $\mathbb R^n$ (ако од контекстот е јасно дека просторот има Евклидова структура).

Формална дефиниција

За да се дефинира Евклидов простор, најлесниот начин е да се земе како главен концепт скаларниот производ. Евклидов векторски простор е дефиниран како конечно-димензионален векторски простор над полето на реални броеви, на чии вектори е одредена функција со реална вредност $(\cdot, \cdot),$ ги има следните три својства:

Дволинеарност: за кои било вектори $u, v, w$ и за сите реални броеви $a, b\quad (au+bv, w)=a(u,w)+b(v,w)$ И $(u, av+bw)=a(u,v)+b(u,w);$
Симетрија: за кои било вектори $u,v\quad (u,v)=(v,u);$
Позитивна сигурност: за секого $u\quad (u,u)\geqslant 0,$ и $(u,u) = 0\Десна стрелка u=0.$

Пример за Евклидов простор - координатен простор $\mathbb R^n,$ кој се состои од сите можни множества на реални броеви $(x_1, x_2, \ldots, x_n),$ скаларен производ во кој се определува со формулата $(x,y) = \sum_(i=1)^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n.$

Должини и агли

Скаларниот производ дефиниран на Евклидов простор е доволен за воведување на геометриските концепти на должина и агол. Векторска должина $u$ дефинирана како $\sqrt((u,u))$ и е назначен $|у|.$ Позитивната определеност на скаларниот производ гарантира дека должината на векторот не е нула, а од дволинеарноста следува дека $|ау|=|а||у|,$ односно должините на пропорционалните вектори се пропорционални.

Агол помеѓу вектори $u$ И $v$ определена со формулата $\varphi=\arccos \left(\frac((x,y))(|x||y|)\десно).$ Од косинусовата теорема следува дека за дводимензионален Евклидов простор ( Евклидска рамнина) оваа дефиницијааголот се совпаѓа со вообичаениот. Ортогоналните вектори, како и во тродимензионалниот простор, може да се дефинираат како вектори чиј агол е еднаков на $\frac(\pi)(2).$

Неравенката Коши-Бунјаковски-Шварц и неравенството на триаголникот

Останува една празнина во дефиницијата за агол дадена погоре: со цел да $\arccos \left(\frac((x,y))(|x||y|)\десно)$ е дефинирано, неопходно е нееднаквоста $\left|\frac((x,y))(|x||y|)\десно|\leqslant 1.$ Оваа нееднаквост навистина важи во произволен Евклидов простор и се нарекува неравенка Коши-Бунјаковски-Шварц. Од оваа неравенка, пак, следи неравенството на триаголникот: $|u+v|\leqslant |u|+|v|.$ Нееднаквоста на триаголникот, заедно со својствата на должината наведени погоре, значи дека должината на векторот е норма на Евклидовата векторски простор, и функцијата $d(x,y)=|x-y|$ ја дефинира структурата на метричкиот простор на Евклидов простор (оваа функција се нарекува Евклидова метрика). Особено, растојанието помеѓу елементите (точките) $x$ И $y$ координатен простор $\mathbb R^n$ се дава со формулата $d(\mathbf(x), \mathbf(y)) = \|\mathbf(x) - \mathbf(y)\| = \sqrt(\sum_(i=1)^n (x_i - y_i)^2).$

Алгебарски својства

Ортонормални основи

Коњугирани простори и оператори

Било кој вектор $x$ Евклидовиот простор дефинира линеарна функционалност $x^*$ на овој простор, дефиниран како $x^*(y)=(x,y).$ Оваа споредба е изоморфизам помеѓу Евклидовиот простор и неговиот двоен простор и им овозможува да се идентификуваат без да се компромитираат пресметките. Особено, конјугираните оператори може да се сметаат дека дејствуваат на оригиналниот простор, а не на неговиот двоен, а само-придружните оператори може да се дефинираат како оператори што се совпаѓаат со нивните конјугати. Во ортонормална основа, матрицата на придружниот оператор е транспонирана на матрицата на оригиналниот оператор, а матрицата на само-придружниот оператор е симетрична.

Движења на Евклидов простор

Примери

Илустративни примери на Евклидови простори се следните простори:

$\mathbb E^1$ димензии $1$ (вистинска линија)
$\mathbb Е^2$ димензии $2$ (Евклидска рамнина)
$\mathbb E^3$ димензии $3$ (Евклидов тродимензионален простор)

Повеќе апстрактен пример:

простор на реални полиноми $p(x)$ степен не поголем $n$ , со скаларен производ дефиниран како интеграл на производот преку конечен сегмент (или преку целата линија, но со функција на тежина која брзо се распаѓа, на пример $e^(-x^2)$ ).

Примери на геометриски форми во повеќедимензионалниот Евклидов простор

Правилни повеќедимензионални полиедри (конкретно N-димензионална коцка, N-димензионален октаедар, N-димензионален тетраедар)

Поврзани дефиниции

Под Евклидова метрикаможе да се разбере како метрика опишана погоре, како и соодветна Риманова метрика.

Под локална евклидност обично мислиме дека секој тангентен простор на Риманов колектор е Евклидов простор со сите последователни својства, на пример, способноста (поради мазноста на метриката) да воведе координати во мало соседство на точка во која растојанието се изразува (до одреден ред на големина) ) како што е опишано погоре.

Метричкиот простор се нарекува и локално Евклидов ако е можно на него да се воведат координати во кои метриката ќе биде Евклидова (во смисла на втората дефиниција) насекаде (или барем на конечен домен) - што, на пример, е Риманов колектор со нулта кривина.

Варијации и генерализации

Заменувањето на основното поле од полето на реални броеви во полето на сложените броеви дава дефиниција за унитарен (или хермитиски) простор.
Одбивањето на условот за конечна димензионалност ја дава дефиницијата за предхилбертов простор.
Одбивањето на барањето за позитивна определеност на скаларниот производ доведува до дефиниција на псевдоевклидов простор.

Напишете рецензија за написот „Евклидов простор“

Белешки

Литература

Гелфанд И.М.Предавања за линеарна алгебра. - 5-ти. - М.: Добросвет, МТсНМО, 1998. - 319 стр. - ISBN 5-7913-0015-8.
Кострикин А.И., Манин Ју.И.Линеарна алгебра и геометрија. - М.: Наука, 1986. - 304 стр.

Вектори и матрици

Вектори

Основни концепти

Видови вектори

Операции на вектори

Видови простори

Матрици

Основни концепти

Друго

Извадок што го карактеризира Евклидовиот простор

Соња одеше низ ходникот до бифето со чаша. Наташа погледна во неа, во пукнатината на вратата од оставата, чајната кујна, и ѝ се чинеше дека се сети дека светлината паѓа низ пукнатината од вратата од оставата, и дека Соња помина со чаша. „Да, и беше сосема исто“, помисли Наташа. - Соња, што е ова? – извика Наташа, прстите на дебелата врвка.
- О, ти си тука! - рече Соња, тресејќи се, и дојде и слушаше. - Не знам. Бура? – срамежливо рече таа плашејќи се да не згреши.
„Па, на ист начин таа се згрози, на ист начин кога дојде и срамежливо се насмевна тогаш, кога тоа веќе се случуваше“, помисли Наташа, „и на ист начин... мислев дека нешто недостасува во неа. .“
- Не, ова е хорот од Водоносецот, слушаш ли! – И Наташа заврши со пеење на мелодијата на хорот за да и разјасни на Соња.
-Каде отиде? – праша Наташа.
- Променете ја водата во чашата. Сега ќе ја завршам шемата.
„Вие сте секогаш зафатени, но јас не можам да го направам тоа“, рече Наташа. -Каде е Николај?
- Изгледа дека спие.
„Соња, оди разбуди го“, рече Наташа. - Кажи му дека го викам да пее. „Таа седеше и размислуваше што значи тоа, дека сето тоа се случи, и без да го реши ова прашање и воопшто да не жали за тоа, повторно во нејзината имагинација беше пренесена во времето кога беше со него, а тој погледна со вљубени очи. погледна во неа.
„Ох, би сакал тој да дојде наскоро. Многу се плашам дека ова нема да се случи! И што е најважно: стареам, тоа е што! Тоа што е сега во мене повеќе нема да постои. Или можеби ќе дојде денес, ќе дојде сега. Можеби дојде и седи таму во дневната соба. Можеби тој пристигна вчера, а јас заборавив“. Таа стана, ја спушти гитарата и влезе во дневната соба. Целото домаќинство, учителите, гувернантите и гостите веќе седеа на масата за чај. Луѓето стоеја околу масата, но принцот Андреј го немаше, а животот сè уште беше ист.
„Ох, еве ја“, рече Илја Андрејч, гледајќи ја Наташа како влегува. - Па, седни со мене. „Но, Наташа застана до нејзината мајка, гледајќи наоколу, како да бара нешто.
- Мајко! - таа рече. „Дај ми, дај ми го, мамо, брзо, брзо“, и повторно едвај го задржа липањето.
Таа седна на масата и ги слушаше разговорите на постарите и Николај, кој исто така дојде на масата. „Боже мој, Боже мој, исти лица, исти разговори, тато ја држи чашата на ист начин и дува на ист начин! помисли Наташа, чувствувајќи го со ужас одвратноста што се крева во неа против сите дома, бидејќи тие сè уште беа исти.
После чајот, Николај, Соња и Наташа отидоа на софата, во нивното омилено катче, каде што секогаш започнуваа нивните најинтимни разговори.

„Ти се случува“, му рече Наташа на својот брат кога седнаа на софата, „ти се случува да ти се чини дека ништо нема да се случи - ништо; што беше сето тоа добро? И не само досадно, туку и тажно?
- И како! - тој рече. „Ми се случи сè да биде во ред, сите да бидат весели, но ми падна на ум дека веќе сум уморен од сето ова и дека сите треба да умрат“. Еднаш не отидов на прошетка до полкот, но таму свиреше музика... и така одеднаш ми стана досадно...
- О, го знам тоа. Знам, знам“, ја подигна Наташа. – Уште бев мал, ова ми се случи. Се сеќаваш ли, еднаш бев казнет за сливи и сите игравте, а јас седев во училницата и липав, никогаш нема да заборавам: бев тажен и жалев за сите, и за себе, и ги жалев сите. И што е најважно, не бев моја вина“, рече Наташа, „се сеќаваш ли?
„Се сеќавам“, рече Николај. „Се сеќавам дека дојдов кај вас подоцна и сакав да ве утешам и, знаете, се срамев. Бевме ужасно смешни. Тогаш имав играчка за чепкање и сакав да ти ја дадам. Дали се сеќаваш?
„Се сеќаваш ли“, рече Наташа со внимателна насмевка, колку одамна, одамна, бевме уште многу мали, вујко нè повика во канцеларија, назад во старата куќа, и беше темно - дојдовме и одеднаш таму стоеше таму...
„Арап“, заврши Николај со радосна насмевка, „како да не се сетам? Дури и сега не знам дека тоа било црномурење, или сме го виделе на сон, или ни било кажано.
- Беше сив, запомнете, и имаше бели заби - стоеше и не погледна...
– Се сеќаваш ли, Соња? - праша Николај ...
„Да, да, и јас се сеќавам на нешто“, срамежливо одговори Соња...
„Ги прашав татко ми и мајка ми за овој црномурест“, рече Наташа. - Велат дека немало црн лут. Но ти се сеќаваш!
- О, како сега се сеќавам на неговите заби.
- Колку е чудно, беше како сон. Ми се допаѓа.
- Се сеќавате ли како тркалавме јајца во ходникот и наеднаш две старици почнаа да се вртат на тепихот? Дали беше тоа или не? Се сеќавате ли колку беше добро?
- Да. Се сеќавате ли како тато во сино бунда пукаше со пиштол на тремот? „Се превртеа, насмеани од задоволство, спомени, не тажни стари, туку поетски младешки спомени, оние впечатоци од најдалечното минато, каде соништата се спојуваат со реалноста, и тивко се смееја, радувајќи се на нешто.
Соња, како и секогаш, заостануваше зад нив, иако спомените им беа заеднички.
Соња не се сеќаваше многу на она што го паметеа, а она што го паметеше не го разбуди кај неа поетското чувство што го доживеаја. Таа само уживаше во нивната радост, обидувајќи се да ја имитира.
Таа учествуваше дури кога се сетија на првата посета на Соња. Соња раскажала како се плашела од Николај, бидејќи тој имал конци на јакната, а дадилката и кажала дека и неа ќе ја сошијат на конци.
„И се сеќавам: ми рекоа дека си роден под зелка“, рече Наташа, „и се сеќавам дека тогаш не се осмелив да не верувам, но знаев дека тоа не е вистина и бев толку засрамена. ”
За време на овој разговор, главата на слугинката ѕиркаше од задната врата од собата со софата. „Госпоѓице, го донесоа петелот“, рече девојката со шепот.
„Нема потреба, Полија, кажи ми да го носам“, рече Наташа.
Среде разговорите што се одвиваа на софата, Димлер влезе во собата и се приближи до харфата што стоеше во аголот. Ја соблече ткаенината и харфата испушти лажен звук.
„Едуард Карлих, те молам играј ја мојата сакана Ноктуриен од Monsieur Field“, гласот на старата грофица од дневната соба.
Димлер удри акорд и, свртувајќи се кон Наташа, Николај и Соња, рече: „Млади, колку тивко седат!
„Да, ние филозофираме“, рече Наташа, гледајќи наоколу една минута и продолжувајќи го разговорот. Разговорот сега беше за соништата.
Димер почна да свири. Наташа тивко, на прсти, отиде до масата, ја зеде свеќата, ја извади и, враќајќи се, тивко седна на нејзиното место. Во собата беше темно, особено на софата на која седеа, но низ големите прозорци сребрената светлина на полната месечина паѓаше на подот.
„Знаете, мислам“, рече Наташа со шепот, приближувајќи се до Николај и Соња, кога Димлер веќе заврши и сè уште седеше, слабо ги кубеше конците, очигледно нерешителен да замине или да започне нешто ново, „тоа кога ќе се сетите така, се сеќаваш, се сеќаваш на сè.” , толку многу се сеќаваш што се сеќаваш што се случи пред јас да бидам на светот...
„Ова е Метампсик“, рече Соња, која секогаш добро учеше и се сеќаваше на сè. – Египќаните веруваа дека нашите души се во животните и дека ќе се вратат кај животните.
„Не, знаеш, не верувам, дека бевме животни“, рече Наташа со истиот шепот, иако музиката беше завршена, „но јас сигурно знам дека бевме ангели тука и таму некаде, и затоа. се сеќаваме на сè.”…
- Може ли да ти се придружам? - рече Димлер, кој тивко се приближи и седна до нив.
- Ако сме биле ангели, зошто тогаш паднавме пониско? - рече Николај. - Не, ова не може да биде!
„Не пониско, кој ти кажа толку пониско?... Зошто знам што бев порано“, уверено се спротивстави Наташа. - На крајот на краиштата, душата е бесмртна... затоа, ако живеам вечно, така живеев порано, живеев за цела вечност.
„Да, но тешко ни е да ја замислиме вечноста“, рече Димлер, кој им пријде на младите со кротка, презирна насмевка, но сега зборуваше тивко и сериозно како и тие.
– Зошто е тешко да се замисли вечноста? - рече Наташа. - Денеска ќе биде, утре ќе биде, секогаш ќе биде и вчера беше и вчера беше ...
- Наташа! сега е твој ред. „Пеј ми нешто“, се слушна гласот на грофицата. - Дека сте седнале како заговорници.
- Мајко! „Не сакам да го правам тоа“, рече Наташа, но во исто време стана.
Сите тие, дури и средовечниот Димлер, не сакаа да го прекинат разговорот и да го напуштат аголот на софата, но Наташа стана, а Николај седна на клавикордот. Како и секогаш, стоејќи во средината на салата и избирајќи го најповолното место за резонанца, Наташа почна да го пее омиленото парче на нејзината мајка.
Таа рече дека не сака да пее, но не пеела одамна претходно, а одамна оттогаш, како што пеела таа вечер. Грофот Илја Андрејч, од канцеларијата каде што разговараше со Митинка, ја слушна како пее и како студент брзајќи да оди да игра, завршувајќи ја лекцијата, се збуни во зборовите, давајќи му наредби на менаџерот и на крајот замолче. , а Митинка, исто така слушајќи, немо со насмевка, застана пред грофот. Николај не го тргаше погледот од својата сестра и зеде здив со неа. Соња, слушајќи, размислуваше за тоа каква огромна разлика има меѓу неа и нејзината пријателка и колку е невозможно таа да биде шармантна како нејзината братучетка. Старата грофица седеше со радосна тажна насмевка и солзи во очите, повремено тресејќи ја главата. Таа размислуваше за Наташа и за нејзината младост и за тоа како има нешто неприродно и страшно во претстојниот брак на Наташа со принцот Андреј.
Димлер седна до грофицата и ги затвори очите слушајќи.
„Не, грофице“, рече тој конечно, „ова е европски талент, таа нема што да учи, оваа мекост, нежност, сила...“
- Ах! „Како се плашам за неа, колку се плашам“, рече грофицата, не сеќавајќи се со кого разговараше. Нејзиниот мајчински инстинкт и рекол дека има премногу нешто во Наташа и дека тоа нема да ја направи среќна. Наташа сè уште не беше завршена со пеењето, кога во собата истрча воодушевената четиринаесетгодишна Петја со веста дека дошле мумичарите.
Наташа одеднаш застана.
- Будала! - врескаше по својот брат, истрча до столот, падна на него и толку многу плачеше што не можеше долго да запре.
„Ништо, мамо, навистина ништо, само вака: Петја ме исплаши“, рече таа, обидувајќи се да се насмее, но солзите продолжија да течат и липањето и го гушеше грлото.
Дотерани слуги, мечки, Турци, гостилничари, дами, страшни и смешни, носејќи со себе студенило и забава, на почетокот срамежливо стуткани во ходникот; потоа, криејќи се еден зад друг, беа принудени да влезат во салата; а најпрвин срамежливо, а потоа сè повесело и пријателски почнаа песни, ора, хорски и божиќни игри. Грофицата, препознавајќи ги лицата и смеејќи се на облечените, влезе во дневната соба. Грофот Илја Андрејч седеше во салата со блескава насмевка, одобрувајќи ги играчите. Младоста некаде исчезна.

Евклидов простор

Т.А. Волкова, Т.П. Книш.

И КВАДРАТНИ ФОРМИ

ЕВКЛИДСКИ ПРОСТОР

Санкт Петербург

Рецензент: кандидат техничките науки, вонреден професор Шкадова А.Р.

Евклидов простор и квадратни форми: белешки за предавање. – Санкт Петербург: СПГУВК, 2012 – стр.

Белешките од предавањата се наменети за студенти од втора година на диплома 010400.62 „Применета математика и компјутерски науки“ и студенти од прва година на дипл.

Прирачникот содржи комплетни белешки за предавање за еден од деловите на дисциплината „Геометрија и алгебра“ за насока 010400.62 и дисциплината „Алгебра и геометрија“ за насока 090900.62 Упатствоодговара на програмите за работа на дисциплините, стандардите на наведените специјалности и може да се користи при подготовка за испит од страна на учениците и наставниците.

Универзитет за водни комуникации, 2012 година

Многу својства на предметите пронајдени во геометријата се тесно поврзани со способноста да се измерат должините на сегментите и аголот помеѓу прави линии. Во линеарниот простор сè уште не можеме да направиме такви мерења, како резултат на што опсегот општа теоријалинеарни простори до геометријата и голем број други математички дисциплини е прилично стеснет. Оваа тешкотија, сепак, може да се елиминира со воведување на концептот на скаларен производ на два вектори. Имено, нека биде линеарно-димензионален реален простор. Дозволете ни да го поврземе секој пар вектори со реален број и да го повикаме овој број скаларен производвектори и доколку се исполнети следните барања:

1. (комутативен закон).

3. за секој вистински.

4. за кој било вектор кој не е нула.

Скаларниот производ е посебен случај на концептот нумеричка функција на два векторски аргументи, односно функции чии вредности се броеви. Затоа можеме да го наречеме скаларниот производ таков нумеричка функцијавекторски аргументи, чии вредности се валидни за сите вредности на аргументите од и за кои се задоволени барањата 1-4.

Ќе се повика вистински линеарен простор во кој е дефиниран скаларниот производ Евклидови ќе се означува со .

Забележете дека во Евклидов простор скаларниот производ на нула вектор и кој било вектор е еднаков на нула: . Навистина, и поради барањето 3. Под претпоставка, го добиваме тоа. Оттука, особено,.

1. Нека е вообичаениот тридимензионален простор на геометриските вектори со заедничко потекло во точката . Во аналитичката геометрија, скаларниот производ на два такви вектори е реален број еднаков на , каде и се должините на векторите и , и е аголот помеѓу векторите, , и е докажано дека за овој број сите барања 1 - 4 се задоволни.

Така, концептот на скаларен производ воведен од нас е генерализација на концептот на скаларен производ на геометриски вектори.

2. Размислете за просторот на димензионалните редови со реални координати и доделете реален број на секој пар од такви вектори на редови

Лесно е да се провери дали сите барања 1 − 4 се задоволени за овој број:

и слично. Конечно,

бидејќи барем еден од броевите кај е различен од нула.

Од тука гледаме дека овој број е скаларен производ на стринговите вектори и , и просторот, откако воведовме таков скаларен производ, станува Евклидов.

3. Нека е линеарен реално-димензионален простор и нека биде дел од неговата основа. Дозволете ни да го поврземе секој пар вектори со реален број. Тогаш просторот ќе се претвори во Евклидов, односно бројот ќе биде скаларен производ на векторите и . Навистина:

Можеме дури и да го претвориме нашиот простор во Евклидов простор на други начини, на пример, би можеле да доделиме пар вектори, реален број

и лесно е да се провери дали за таков број сите барања 1 − 4, кои го карактеризираат скаларниот производ, се задоволени. Но, бидејќи овде (со иста основа) имаме дефинирано различна нумеричка функција, тогаш добиваме различен Евклидов простор со различна „дефиниција на мерка“.

4. Конечно, свртувајќи се кон истиот простор, разгледајте ја нумеричката функција, која, за , е дефинирана со еднаквоста . Оваа функција повеќе не е скаларен производ, бидејќи барањето 4 е повредено: кога , векторот е еднаков на , a . Така, тука не може да се добие Евклидов простор.

Користејќи ги барањата 2 и 3 вклучени во дефиницијата за скаларен производ, лесно е да се добие следната формула:

каде , се два произволни системи на вектори. Оттука, особено, излегува за произволна основа и за кој било пар вектори, , дека

Каде. Изразот од десната страна на еднаквоста (1) е полином во и и се нарекува биланеарна формаод и (секој негов член е линеарен, т.е. од прв степен, и во однос на и во однос на ). Билинеарната форма се нарекува симетрични, ако за секој негов коефициент е исполнет условот за симетрија. Така, скаларен производ во произволна основа изразена како биланеарна симетрична форма на векторските координати , со реални шанси. Но, ова сè уште не е доволно. Имено, поставувањето , добиваме од еднаквоста (1) дека

Дури и на училиште, сите ученици се запознаваат со концептот на „Евклидова геометрија“, чиишто главни одредби се фокусирани на неколку аксиоми засновани на такви геометриски елементи како точка, рамнина, права линија и движење. Сите тие заедно го формираат она што долго време е познато како „Евклидов простор“.

Евклидов, кој се заснова на принципот на скаларно множење на вектори, е посебен случај на линеарен (афин) простор кој задоволува голем број барања. Прво, скаларниот производ на вектори е апсолутно симетричен, односно вектор со координати (x;y) е квантитативно идентичен со вектор со координати (y;x), но спротивен во насока.

Второ, ако се изврши скаларниот производ на вектор со себе, тогаш резултатот од ова дејство ќе биде позитивен карактер. Единствен исклучок ќе биде случајот кога почетните и крајните координати на овој вектор се еднакви на нула: во овој случај, неговиот производ со себе исто така ќе биде еднаков на нула.

Трето, скаларниот производ е дистрибутивен, односно можност за разградување на една од неговите координати во збир од две вредности, што нема да повлече никакви промени во крајниот резултат од скаларното множење на вектори. Конечно, четврто, кога се множат вектори со иста работа, нивниот скаларен производ исто така ќе се зголеми за иста количина.

Ако се исполнети сите овие четири услови, можеме со сигурност да кажеме дека ова е Евклидов простор.

Од практична гледна точка, Евклидовиот простор може да се карактеризира со следниве конкретни примери:

Наједноставниот случај е присуството на множество вектори со скаларен производ дефиниран според основните закони на геометријата.
Евклидов простор ќе се добие и ако по вектори разбереме одредено конечно множество реални броевиСо дадена формула, опишувајќи ја нивната скаларна сума или производ.
Посебен случај на Евклидов простор треба да се препознае како таканаречен нула простор, кој се добива ако скаларната должина на двата вектори е еднаква на нула.

Евклидовиот простор има голем број специфични својства. Прво, скаларниот фактор може да се извади од загради и од првиот и од вториот фактор на скаларниот производ, резултатот нема да претрпи никакви промени. Второ, заедно со дистрибутивноста на првиот елемент од скаларниот производ, функционира и дистрибутивноста на вториот елемент. Покрај тоа, покрај скаларниот збир на вектори, дистрибутивноста се јавува и во случај на одземање на вектори. Конечно, трето, при скаларно множење на вектор со нула, резултатот исто така ќе биде еднаков на нула.

Така, Евклидовиот простор е најважен геометриски концепт, се користи при решавање проблеми со релативна положбавектори релативно едни на други, за да се карактеризира кој се користи концепт како што е скаларен производ.

Дефиниција на Евклидов простор

Дефиниција 1. Вистински линеарен простор се нарекува Евклидов, Ако тој дефинира операција која поврзува кои било два вектори xИ yод ова простор број наречен скаларен производ на вектори xИ yи назначени(x,y), за што се исполнети следните услови:

1. (x,y) = (y,x);

2. (x + y,z) = (x,z) + (y,z) , каде z- кој било вектор што припаѓа на даден линеарен простор;

3. (?x,y) = ? (x,y), каде ? - кој било број;

4. (x,x) ? 0 и (x,x) = 0 x = 0.

На пример, во линеарен простор на матрици со една колона, скаларниот производ на вектори

може да се определи со формулата

Евклидов простор за димензија nозначуваат En. забележи, тоа Постојат и конечни-димензионални и бесконечно-димензионални Евклидов простори.

Дефиниција 2. Должина (модул) на векторот x во Евклидов простор En повикани (x,x)и означи го вака: |x| = (x,x). За секој вектор на Евклидов просторима должина, а векторот нула е еднаков на нула.

Множење вектор кој не е нула xпо број , добиваме вектор, должина што е еднакво на еден. Оваа операција се нарекува рационализирање вектор x.

На пример, во просторот на матрици со една колона должината на векторот може да се определи со формулата:

Коши-Бунјаковски нееднаквост

Нека x? En и y? En – кои било два вектори. Да докажеме дека нееднаквоста важи за нив:

(Нееднаквост Коши-Бунјаковски)

Доказ. Нека биде? - кој било реален број. Очигледно е дека (?x ? y,?x ? y) ? 0. Од друга страна, поради својствата на скаларниот производ можемепишуваат

Разбрав

Дискриминантот на овој квадратен трином не може да биде позитивен, т.е. , од што следува:

Нееднаквоста е докажана.

Неравенство на триаголник

Нека xИ y- произволни вектори на Евклидовиот простор En, т.е. x? Ен и y? En.

Да го докажеме тоа . (Неравенство на триаголник).

Доказ. Очигледно е дека На другата страна,. Земајќи ја предвид нееднаквоста Коши-Бунјаковски, добиваме

Неравенството на триаголникот е докажано.

Норма на Евклидов простор

Дефиниција 1 . Линеарен простор ?повикани метрички, доколку ги има два елементи на овој простор xИ yсе совпаѓаат не-негативниброј? (x,y), наречено растојание помеѓу xИ y , (? (x,y)? 0), и се извршуваатуслови (аксиоми):

1) ? (x,y) = 0 x = y

2) ? (x,y) = ? (y, x)(симетрија);

3) за кои било три вектори x, yИ zовој простор? (x,y) ? ? (x,z) + ? (z,y).

Коментар. Елементите на метричкиот простор обично се нарекуваат точки.

Евклидовиот простор En е метрички, и како растојание помеѓу вектори x? En и y? En може да се земе x ? y.

Така, на пример, во просторот на матрици со една колона, каде

оттука

Дефиниција 2 . Линеарен простор?повикани нормализиран, Ако секој вектор xод овој простор е поврзан со не-негатив го повика бројот нормата x. Во овој случај, аксиомите се задоволени:

Лесно е да се види дека нормализираниот простор е метрички простор ством. Всушност, како растојание помеѓу xИ yможе да се земе. Во Евклидпростор En како норма на кој било вектор x? En е неговата должина,тие. .

Значи, Евклидовиот простор En е метрички простор и, згора на тоа, Евклидовиот простор En е нормализиран простор.

Агол помеѓу вектори

Дефиниција 1 . Агол помеѓу вектори кои не се нула аИ бЕвклидов просторквалитет Е nнаведете го бројот за кој

Дефиниција 2 . Вектори xИ yЕвклидов простор Enсе нарекуваат ортогонлен, ако за нив важи еднаквоста (x,y) = 0.

Ако xИ y- се ненула, тогаш од дефиницијата произлегува дека аголот меѓу нив е еднаков

Забележете дека нултиот вектор, по дефиниција, се смета за ортогонален на кој било вектор.

Пример . Во геометриски (координатен) простор?3, што е посебен случај на Евклидов простор, единечни вектори јас, јИ кмеѓусебно ортогонални.

Ортонормална основа

Дефиниција 1 . Основа е1,e2 ,...,en се нарекува Евклидов простор En ортогонлен, ако векторите на оваа основа се парно ортогонални, т.е. Ако

Дефиниција 2 . Ако сите вектори на ортогоналната основа e1, e2 ,...,en се унитарни, т.е. д i = 1 (i = 1,2,...,n) , тогаш се нарекува основата ортонормални, т.е. Заортонормална основа

Теорема. (на конструкција на ортонормална основа)

Во секој Евклидов простор E n постојат ортонормални основи.

Доказ . Да ја докажеме теоремата за случајот n = 3.

Нека Е1, Е2, Е3 се некаква произволна основа на Евклидовиот простор Е3 Ајде да изградиме некоја ортонормална основаво овој простор.Ајде да ставиме каде ? - некој реален број што го избираметака што (e1 ,e2 ) = 0, тогаш добиваме

а што е очигледно? = 0 ако Е1 и Е2 се ортогонални, т.е. во овој случај e2 = E2, и , бидејќи ова е основниот вектор.

Имајќи предвид дека (e1 ,e2 ) = 0, добиваме

Очигледно е дека ако e1 и e2 се ортогонални на векторот E3, т.е. во овој случај треба да земеме e3 = E3. Вектор Е3? 0 затоа што Е1, Е2 и Е3 се линеарно независни,затоа е3 ? 0.

Дополнително, од горенаведеното резонирање произлегува дека e3 не може да се претстави во формата линеарна комбинација на вектори e1 и e2, затоа векторите e1, e2, e3 се линеарно независниsims и се парни ортогонални, затоа, тие можат да се земат како основа за Евклидовпростор Е3. Останува само да се нормализира изградената основа, за што е доволноподелете го секој од конструираните вектори со неговата должина. Потоа добиваме

Така изградивме основа - ортонормална основа. Теоремата е докажана.

Применетиот метод за конструирање на ортонормална основа од произволна основа се нарекува процес на ортогонализација . Забележете дека во процесот на докажувањетеорема, утврдивме дека спарните ортогонални вектори се линеарно независни. Освенако дали е ортонормална основа во En, тогаш за кој било вектор x? Enима само едно распаѓање

каде што x1, x2,..., xn се координатите на векторот x во оваа ортонормална основа.

Бидејќи

потоа скаларно множење на еднаквоста (*) со, добиваме .

Во продолжение ќе ги разгледаме само ортонормалните основи и затоа за полесно пишување, нулите се на врвот на основните векториќе испуштиме.

Евклидски простори
Преносливи Windows апликации на Bodrenko.com

Поглавје 4
ЕВКЛИДАНСКИ ПРОСТОРИ

Од текот на аналитичката геометрија, читателот е запознаен со концептот на скаларен производ на два слободни вектори и со четирите главни својства на наведениот скаларен производ. Во ова поглавје, се проучуваат линеарни простори од која било природа, за чии елементи на некој начин е дефинирано правило (и не е важно што) што ги поврзува кои било два елементи со број наречен скаларен производ на овие елементи. Во овој случај, важно е само ова правило да ги има истите четири својства како правилото за составување на скаларен производ на два слободни вектори. Линеарните простори во кои е дефинирано наведеното правило се нарекуваат Евклидски простори. Ова поглавје ги објаснува основните својства на произволните Евклидови простори.

§ 1. Реален Евклидов простор и неговите наједноставни својства

1. Дефиниција за реален Евклидов простор.Вистински линеарен простор R се нарекува вистински Евклидов простор(или едноставно Евклидов простор) доколку се исполнети следните две барања.
I. Постои правило според кое кои било два елементи од овој простор x и y се поврзуваат со повикан реален број скаларен производод овие елементи и означени со симболот (x, y).
P. Ова правило е предмет на следните четири аксиоми:
1°. (x, y) = (y, x) (комутативно својство или симетрија);
2°. (x 1 + x 2, y) = (x 1, y) + (x 2, y) (својство на дистрибуција);
3°. (λ x, y) = λ (x, y) за кое било реално λ;
4°. (x, x) > 0 ако x е ненулта елемент; (x, x) = 0 ако x е нултиот елемент.
Нагласуваме дека при воведувањето на концептот на Евклидов простор, ние се апстрахираме не само од природата на предметите што се проучуваат, туку и од специфичниот тип правила за формирање на збир на елементи, производ на елемент по број и скаларниот производ на елементите (важно е само овие правила да ги задоволуваат осумте аксиоми на линеарниот простор и четирите аксиоми скаларен производ).
Ако се наведе природата на предметите што се проучуваат и типот на наведените правила, тогаш Евклидовиот простор се нарекува специфичен.
Дозволете ни да дадеме примери на специфични Евклидови простори.
Пример 1. Размислете за линеарниот простор B 3 на сите слободни вектори. Ние го дефинираме скаларниот производ на кои било два вектори како што беше направено во аналитичката геометрија (т.е. како производ на должините на овие вектори и косинусот на аголот меѓу нив). Во текот на аналитичката геометрија, се докажа валидноста на така дефинираниот скаларен производ на аксиомите 1°-4° (види издание „Аналитичка геометрија“, Поглавје 2, §2, точка 3). Според тоа, просторот B 3 со вака дефинираниот скаларен производ е Евклидов простор.
Пример 2. Да го земеме предвид бесконечно-димензионалниот линеарен простор C [a, b] на сите функции x(t), дефинирани и континуирани на отсечката a ≤ t ≤ b. Ние го дефинираме скаларниот производ на две такви функции x(t) и y(t) како интеграл (во опсег од a до b) од производот на овие функции

Валидноста на така дефинираниот скаларен производ на аксиомите 1°-4° се проверува на елементарен начин. Навистина, валидноста на аксиомата 1° е очигледна; валидноста на аксиомите 2° и 3° произлегува од линеарните својства на определениот интеграл; валидноста на аксиомата 4° произлегува од фактот дека интегралот на континуирана ненегативна функција x 2 (t) е ненегативен и исчезнува само кога оваа функција е идентично еднаква на нула на отсечката a ≤ t ≤ b (види прашањето „Основи на математичката анализа“, дел I, својства 1° и 2° од став 1 §6 поглавје 10) (т.е. тоа е нултиот елемент на просторот што се разгледува).
Така, просторот C[a, b] со вака дефинираниот скаларен производ е бесконечно-димензионален Евклидов простор.
Пример 3. Следниот пример за Евклидов простор дава n-димензионален линеарен простор A n од подредени збирки од n реални броеви, скаларен производ на кои било два елементи x = (x 1, x 2,..., x n) и y = (y 1, y 2 ,...,y n) што е дефинирано со еднаквоста

(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + x n y n. (4.2)

Валидноста на аксиомата 1° за таков дефиниран скаларен производ е очигледна; Валидноста на аксиомите 2° и 3° може лесно да се потврди; само запомнете ја дефиницијата за операциите за собирање елементи и нивно множење со броеви:

(x 1 , x 2 ,...,x n) + (y 1 , y 2 ,...,y n) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,...,x n + y n) ,

λ (x 1, x 2,..., x n) = (λ x 1, λ x 2,..., λ x n);

конечно, валидноста на аксиомата 4° произлегува од фактот дека (x, x) = x 1 2 + x 2 2 + ...+ x n 2 е секогаш ненегативен број и исчезнува само под услов x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Евклидовиот простор разгледан во овој пример често се означува со симболот E n.
Пример 4. Во истиот линеарен простор A n, го воведуваме скаларниот производ на кои било два елементи x = (x 1, x 2,..., x n) и y = (y 1, y 2,..., y n ) не релација (4.2), туку на друг, поопшт начин.
За да го направите ова, разгледајте квадратна матрица од редот n

Користејќи ја матрицата (4.3), да составиме хомоген полином од втор ред во однос на n променливи x 1, x 2,..., x n

Гледајќи напред, забележуваме дека таков полином се нарекува квадратна форма(генерирано со матрица (4.3)) (квадратните форми се систематски изучени во Глава 7 од оваа книга).
Квадратната форма (4.4) се нарекува позитивно дефинитивноако таа го зема строго позитивни вредностиза сите вредности на променливите x 1, x 2,..., x n, кои истовремено не се еднакви на нула (во глава 7 од оваа книга неопходен и доволен услов за позитивна определеност на квадратната форма ќе бидат назначени).
Бидејќи за x 1 = x 2 = ... = x n = 0 квадратната форма (4.4) е очигледно еднаква на нула, можеме да кажеме дека позитивно дефинитивно
квадратната форма исчезнува само под условот x 1 = x 2 = ... = x n = 0.
Бараме матрицата (4.3) да задоволува два услови.
1°. Создадена е позитивна определена квадратна форма (4.4).
2°. Беше симетричен (во однос на главната дијагонала), т.е. го исполни условот a ik = a ki за сите i = 1, 2,..., n и k = I, 2,..., n.
Користејќи ја матрицата (4.3), задоволувајќи ги условите 1° и 2°, го дефинираме скаларниот производ на кои било два елементи x = (x 1, x 2,..., x n) и y = (y 1, y 2,.. .,y n) од просторот A n од релацијата

Лесно е да се провери валидноста на така дефинираниот скаларен производ од сите аксиоми 1°-4°. Навистина, аксиомите 2° и 3° се очигледно валидни за целосно произволна матрица (4.3); валидноста на аксиомата 1° произлегува од условот за симетрија на матрицата (4.3), а валидноста на аксиомата 4° произлегува од фактот дека квадратната форма (4.4), која е скаларен производ (x, x), е позитивна дефинитивно.
Така, просторот A n со скаларниот производ дефиниран со еднаквост (4.5), под услов матрицата (4.3) да е симетрична и квадратната форма генерирана од неа да биде позитивна дефинитивна, е Евклидов простор.
Ако ја земеме матрицата на идентитетот како матрица (4.3), тогаш релацијата (4.4) се претвора во (4.2) и го добиваме Евклидовиот простор E n, разгледан во Пример 3.
2. Наједноставните својства на произволен Евклидов простор.Својствата утврдени во овој став се валидни за целосно произволен Евклидов простор со конечни и бесконечни димензии.
Теорема 4.1.За кои било два елементи x и y од произволен Евклидов простор, важи следнава неравенка:

(x, y) 2 ≤ (x, x)(y, y), (4.6)

наречена нееднаквост Коши-Бунјаковски.
Доказ.За секој реален број λ, врз основа на аксиомата 4° од скаларниот производ, неравенството (λ x - y, λ x - y) е точно 0. Врз основа на аксиомите 1°-3°, последната неравенка може да биде препишан како

λ 2 (x, x) - 2 λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

Неопходен и доволен услов за ненегативноста на последниот квадратен трином е непозитивноста на неговата дискриминантна, односно неравенката (во случајот (x, x) = 0 квадратен триномсе дегенерира во линеарна функција, но во овој случај елементот x е нула, така што (x, y) = 0 и неравенството (4.7) е исто така точно)

(x, y ) 2 - (x, x )(y, y ) ≤ 0. (4.7)

Неравенството (4.6) веднаш следи од (4.7). Теоремата е докажана.
Нашата следна задача е да го воведеме концептот норми(или должина) на секој елемент. За да го направите ова, го воведуваме концептот на линеарно нормализиран простор.
Дефиниција.Линеарниот простор R се нарекува нормализиран, доколку се исполнети следните две барања.
I. Постои правило според кое секој елемент x од просторот R се поврзува со повикан реален број нормата(или должина) на наведениот елемент и означен со симболот ||x||.
P. Ова правило е предмет на следните три аксиоми:
1°. ||x|| > 0 ако x е ненулта елемент; ||x|| = 0 ако x е нула елемент;
2°. ||λ x|| = |λ | ||x|| за кој било елемент x и кој било реален број λ;
3°. за кои било два елементи x и y е точно следнава неравенка

||x + y || ≤ ||х|| + ||y ||, (4.8)

наречена неравенка на триаголник (или неравенка на Минковски).
Теорема 4.2. Секој Евклидов простор е нормализиран ако нормата на кој било елемент x во него е дефинирана со еднаквоста

Доказ.Доволно е да се докаже дека за нормата дефинирана со релацијата (4.9) важат аксиомите 1°-3° од дефиницијата за нормиран простор.
Валидноста на нормата на аксиомата 1° веднаш следи од аксиомата 4° на скаларниот производ. Валидноста на нормата на аксиомата 2° следи речиси директно од аксиомите 1° и 3° на скаларниот производ.
Останува да се потврди валидноста на Аксиомата 3° за нормата, т.е. нееднаквоста (4.8). Ќе се потпреме на нееднаквоста Коши-Бунјаковски (4.6), која ќе ја преработиме во форма

Користејќи ја последната нееднаквост, аксиоми 1°-4° од скаларниот производ и дефиницијата на нормата, добиваме

Теоремата е докажана.
Последица.Во секој Евклидов простор со норма на елементи определена со релацијата (4.9), за кои било два елементи x и y важи неравенството на триаголникот (4.8).

Понатаму забележуваме дека во секој реален Евклидов простор можеме да го воведеме концептот на агол помеѓу два произволни елементи x и y од овој простор. Во целосна аналогија со векторската алгебра, повикуваме аголφ помеѓу елементите XИ натој (променлив од 0 до π) агол чиј косинус е определен со релацијата

Нашата дефиниција за аголот е точна, бидејќи поради неравенката Коши-Бунјаковски (4,7"), дропот од десната страна на последното равенство не надминува еден во модул.
Следно, ќе се согласиме да ги наречеме два произволни елементи x и y од евклидовиот простор E ортогонални ако скаларниот производ на овие елементи (x, y) е еднаков на нула (во овој случај, косинус на аголот (φ помеѓу елементите x и y ќе бидат еднакви на нула).
Повторно апелирајќи до векторска алгебра, да го наречеме збирот x + y на два ортогонални елементи x и y хипотенуза правоаголен триаголник, изграден на елементите x и y.
Забележете дека во секој Евклидов простор важи Питагоровата теорема: квадратот на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите на катетите. Всушност, бидејќи x и y се ортогонални и (x, y) = 0, тогаш врз основа на аксиомите и дефиницијата на нормата

||x + y || 2 = ( x+y, x+y ) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = (x,x) + (y, y) =||x|| 2 + ||y || 2.

Овој резултат е генерализиран на n парови ортогонални елементи x 1, x 2,..., x n: ако z = x 1 + x 2 + ...+ x n, тогаш

||x|| 2 = (x 1 + x 2 + ...+ x n, x 1 + x 2 + ...+ x n) = (x 1, x 1) + (x 2, x 2) + .... + ( x n,x n) = ||x 1 || 2 + ||x 1 || 2 +... +||x 1 || 2.

Како заклучок, ја запишуваме нормата, неравенката Коши-Бунјаковски и неравенството на триаголникот во секој од специфичните Евклидови простори разгледани во претходниот пасус.
Во Евклидовиот простор на сите слободни вектори со вообичаената дефиниција на скаларниот производ, нормата на векторот a се совпаѓа со неговата должина |a|, неравенката Коши-Бунјаковски се сведува на формата ((a,b) 2 ≤ | a| 2 |b | 2, а неравенството на триаголникот - во форма |a + b| ≤ |a| + |b | (Ако ги собереме векторите a и b според правилото на триаголникот, тогаш оваа неравенка тривијално се намалува на фактот што едната страна на триаголникот не го надминува збирот на неговите две други страни).
Во Евклидов простор C [a, b] од сите функции x = x(t) континуирани на отсечката a ≤ t ≤ b со скаларен производ (4.1), нормата на елементот x = x(t) е еднаква на, а неравенките Коши-Бунјаковски и триаголникот ја имаат формата

И двете од овие неравенки играат важна улога во различни гранки на математичката анализа.
Во Евклидовиот простор E n од подредени збирки од n реални броеви со скаларен производ (4.2), нормата на кој било елемент x = (x 1 , x 2 ,..., x n) е еднаква

Конечно, во Евклидовиот простор на подредени збирки од n реални броеви со скаларен производ (4.5), нормата на кој било елемент x = (x 1, x 2,..., x n) е еднаква на 0 (ве потсетуваме дека во овој случај матрица (4.3) е симетрична и генерира позитивна дефинитивна квадратна форма (4.4)).

а неравенките Коши-Бунјаковски и триаголникот ја имаат формата