WIELKIE TWIERDZENIE FERMY - stwierdzenie Pierre'a Fermata (francuskiego prawnika i matematyka na pół etatu), że równanie diofantyny X n + Y n = Z n , o wykładniku n>2, gdzie n = liczba całkowita, nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. Tekst autora: „Nie da się rozłożyć sześcianu na dwie sześciany, dwukwadratu na dwa dwukwadraty, ani w ogóle potęgi większej niż dwa na dwie potęgi o tym samym wykładniku”.

„Fermat i jego twierdzenie”, Amadeo Modigliani, 1920

Pierre sformułował to twierdzenie 29 marca 1636 r. A jakieś 29 lat później zmarł. Ale od tego wszystko się zaczęło. Przecież zamożny niemiecki miłośnik matematyki nazwiskiem Wolfskehl zapisał sto tysięcy marek temu, kto przedstawi kompletny dowód twierdzenia Fermata! Ale podekscytowanie wokół twierdzenia wiązało się nie tylko z tym, ale także z zawodową pasją matematyczną. Sam Fermat dał do zrozumienia światu matematycznemu, że zna dowód – na krótko przed śmiercią, w 1665 r., pozostawił na marginesie Arytmetyki Diofantusa z Aleksandrii następującą notatkę: „Mam bardzo uderzający dowód, ale jest on zbyt duży, aby go umieszczone na polach.”

To właśnie ta wskazówka (plus oczywiście premia pieniężna) zmusiła matematyków do spędzenia najlepszych lat na bezskutecznym poszukiwaniu dowodu (według amerykańskich naukowców sami zawodowi matematycy spędzili na tym łącznie 543 lata).

W pewnym momencie (w 1901 r.) prace nad twierdzeniem Fermata zyskały wątpliwą reputację „pracy na wzór poszukiwania Maszyna ruchu wiecznego„(Pojawiło się nawet obraźliwe określenie – „Fermatyści”). I nagle 23 czerwca 1993 roku na konferencji matematycznej poświęconej teorii liczb w Cambridge angielski profesor matematyki z Princeton University (New Jersey, USA) Andrew Wiles ogłosił, że w końcu udowodnił Fermatowi!

Dowód był jednak nie tylko skomplikowany, ale także w sposób oczywisty błędny, jak zauważyli Wiles jego koledzy. Ale profesor Wiles przez całe życie marzył o udowodnieniu twierdzenia, nic więc dziwnego, że w maju 1994 roku przedstawił społeczności naukowej nową, poprawioną wersję dowodu. Nie było w nim harmonii ani piękna, a mimo to było bardzo złożone – fakt, że matematycy spędzili cały rok (!) analizując ten dowód, aby zrozumieć, czy jest on błędny, mówi sam za siebie!

Ostatecznie jednak dowód Wilesa okazał się poprawny. Ale matematycy nie wybaczyli Pierre'owi Fermatowi samej jego podpowiedzi w „Arytmetyce” i faktycznie zaczęli uważać go za kłamcę. Tak naprawdę pierwszą osobą, która zakwestionowała uczciwość moralną Fermata, był sam Andrew Wiles, który zauważył, że „Fermat nie mógł mieć takich dowodów. To dowód XX wieku”. Wówczas wśród innych naukowców utwierdziła się opinia, że ​​Fermat „nie potrafił udowodnić swojego twierdzenia w inny sposób i Fermat nie mógł tego udowodnić w sposób, w jaki przyjął to Wiles z przyczyn obiektywnych”.

W rzeczywistości Fermat mógł to oczywiście udowodnić, a nieco później dowód ten zostanie odtworzony przez analityków New Analytical Encyclopedia. Ale jakie są te „obiektywne powody”?
W rzeczywistości jest tylko jeden taki powód: w czasach, gdy żył Fermat, hipoteza Taniyamy, na której Andrew Wiles oparł swój dowód, nie mogła się pojawić, ponieważ modułowe funkcje, na których opiera się hipoteza Taniyamy, zostały odkryte dopiero w koniec XIX wiek.

Jak sam Wiles udowodnił twierdzenie? Pytanie nie jest bezczynne - jest ważne dla zrozumienia, w jaki sposób sam Fermat mógł udowodnić swoje twierdzenie. Wiles oparł swój dowód na dowodzie hipotezy Taniyamy, wysuniętej w 1955 roku przez 28-letniego japońskiego matematyka Yutakę Taniyamę.

Hipoteza brzmi następująco: „każda krzywa eliptyczna odpowiada pewnej formie modułowej”. Znane od dawna krzywe eliptyczne mają postać dwuwymiarową (umieszczoną na płaszczyźnie), natomiast funkcje modułowe mają postać czterowymiarową. Oznacza to, że hipoteza Taniyamy jest całkowicie powiązana różne koncepcje- proste płaskie krzywizny i niewyobrażalne czterowymiarowe kształty. Sam fakt łączenia w hipotezie liczb różnowymiarowych wydawał się naukowcom absurdalny, dlatego w 1955 r. nie nadano mu żadnego znaczenia.

Jednak jesienią 1984 roku nagle ponownie przypomniano sobie „hipotezę Taniyamy”, i to nie tylko zapamiętaną, ale jej możliwy dowód powiązano z dowodem twierdzenia Fermata! Dokonał tego matematyk z Saarbrücken Gerhard Frey, który poinformował społeczność naukową, że „jeśli komuś uda się udowodnić hipotezę Taniyamy, wówczas udowodnione zostanie również Ostatnie Twierdzenie Fermata”.

Co zrobił Frey? Przekształcił równanie Fermata w sześcienne, po czym zauważył, że krzywa eliptyczna otrzymana poprzez przekształcenie jej w równanie sześcienne Gospodarstwo nie może być modułowe. Jednak hipoteza Taniyamy stwierdzała, że ​​każda krzywa eliptyczna może być modułowa! Zatem nie może istnieć krzywa eliptyczna zbudowana z równania Fermata, co oznacza, że ​​nie może istnieć rozwiązanie całkowite i twierdzenie Fermata, co oznacza, że ​​jest ono prawdziwe. Cóż, w 1993 roku Andrew Wiles po prostu udowodnił hipotezę Taniyamy, a co za tym idzie twierdzenie Fermata.

Twierdzenie Fermata można jednak udowodnić znacznie prościej, opierając się na tej samej wielowymiarowości, na której operowali zarówno Taniyama, jak i Frey.

Na początek zwróćmy uwagę na warunek określony przez samego Pierre'a Fermata - n>2. Dlaczego ten warunek był potrzebny? Tak, tylko dlatego, że przy n=2 szczególnym przypadkiem twierdzenia Fermata staje się zwykłe twierdzenie Pitagorasa X 2 + Y 2 = Z 2, które ma nieskończoną liczbę rozwiązań całkowitych - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 i tak dalej. Zatem twierdzenie Pitagorasa jest wyjątkiem od twierdzenia Fermata.

Ale dlaczego taki wyjątek ma miejsce w przypadku n=2? Wszystko się układa, jeśli dostrzeżemy związek pomiędzy stopniem (n=2) a wymiarem samej figury. Trójkąt pitagorejski jest figurą dwuwymiarową. Nic dziwnego, że Z (czyli przeciwprostokątną) można wyrazić za pomocą nóg (X i Y), które mogą być liczbami całkowitymi. Wielkość kąta (90) pozwala uznać przeciwprostokątną za wektor, a ramiona są wektorami znajdującymi się na osiach i wychodzącymi z początku. W związku z tym możliwe jest wyrażenie dwuwymiarowego wektora, który nie leży na żadnej z osi, za pomocą wektorów leżących na nich.

Jeśli teraz przejdziemy do trzeciego wymiaru, a więc do n=3, aby wyrazić wektor trójwymiarowy, nie będzie wystarczającej informacji o dwóch wektorach, a zatem możliwe będzie wyrażenie Z w równaniu Fermata przez co najmniej trzy człony (trzy wektory leżące odpowiednio na trzech osiach układu współrzędnych).

Jeśli n=4, to powinny być 4 wyrazy, jeśli n=5, to powinno być 5 wyrazów i tak dalej. W takim przypadku całych rozwiązań będzie więcej niż wystarczająco. Na przykład 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 i tak dalej (możesz wybrać inne przykłady dla n=3, n=4 itd.).

Co z tego wszystkiego wynika? Wynika z tego, że twierdzenie Fermata tak naprawdę nie ma rozwiązań całkowitych dla n>2 - ale tylko dlatego, że samo równanie jest błędne! Z takim samym sukcesem można by spróbować wyrazić objętość równoległościanu za pomocą długości jego dwóch krawędzi - oczywiście jest to niemożliwe (nigdy nie znajdzie się całych rozwiązań), ale tylko po to, aby znaleźć objętość równoległościanu musisz znać długości wszystkich trzech jego krawędzi.

Kiedy słynny matematyk David Gilbert zapytany, jaki jest obecnie najważniejszy problem nauki, odpowiedział „złapać muchę na tylna strona Księżyc.” Na rozsądne pytanie: „Komu to jest potrzebne?” odpowiedział: „Nikt tego nie potrzebuje. Ale pomyśl, ile ważnych najbardziej skomplikowane zadania musisz podjąć decyzję, aby to się stało.”

Inaczej mówiąc, Fermat (przede wszystkim prawnik!) zrobił dowcipny żart prawniczy całemu matematycznemu światu, bazując na błędnym sformułowaniu problemu. W istocie sugerował, że matematycy znajdą odpowiedź na pytanie, dlaczego mucha po drugiej stronie Księżyca nie może żyć, a na marginesie „Arytmetyki” chciał napisać jedynie, że na Księżycu po prostu nie ma powietrza, czyli: Nie może być całkowitych rozwiązań jego twierdzenia tylko dla n>2, ponieważ każda wartość n musi odpowiadać pewnej liczbie wyrazów po lewej stronie jego równania.

Ale czy to był tylko żart? Zupełnie nie. Geniusz Fermata polega właśnie na tym, że właściwie jako pierwszy dostrzegł związek pomiędzy stopniem i wymiarem figury matematycznej, czyli, co jest absolutnie równoważne, liczbie wyrazów po lewej stronie równania. Znaczenie jego słynnego twierdzenia polegało właśnie na tym, aby nie tylko pchać matematyczny świat na idei tej zależności, ale także zainicjować dowód na istnienie tej zależności – intuicyjnie zrozumiały, ale jeszcze niepotwierdzony matematycznie.

Fermat jak nikt inny rozumiał, że nawiązywanie relacji między pozornie różnymi przedmiotami jest niezwykle owocne nie tylko w matematyce, ale w każdej nauce. Zależność ta wskazuje na jakąś głęboką zasadę leżącą u podstaw obu obiektów i pozwalającą na ich głębsze zrozumienie.

Na przykład fizycy początkowo postrzegali elektryczność i magnetyzm jako zjawiska całkowicie niezwiązane, ale w XIX wieku teoretycy i eksperymentatorzy zdali sobie sprawę, że elektryczność i magnetyzm są ze sobą ściśle powiązane. W rezultacie osiągnięto lepsze zrozumienie zarówno elektryczności, jak i magnetyzmu. Prądy elektryczne dać podwyżkę pola magnetyczne, a magnesy mogą indukować prąd w przewodnikach znajdujących się w pobliżu magnesów. Doprowadziło to do wynalezienia dynama i silników elektrycznych. W końcu odkryto, że światło jest wynikiem skoordynowanego działania drgania harmoniczne pola magnetyczne i elektryczne.

Matematyka czasów Fermata składała się z wysp wiedzy na morzu ignorancji. Na jednej wyspie żyli geometrzy studiujący kształty, na innej matematycy zajmujący się teorią prawdopodobieństwa badali ryzyko i przypadkowość. Język geometrii bardzo różnił się od języka teorii prawdopodobieństwa, a terminologia algebraiczna była obca tym, którzy mówili wyłącznie o statystyce. Niestety, współczesna matematyka składa się z mniej więcej tych samych wysp.

Fermat jako pierwszy zdał sobie sprawę, że wszystkie te wyspy są ze sobą powiązane. A jego słynne twierdzenie – Ostatnie Twierdzenie Fermata – jest tego doskonałym potwierdzeniem.

Wiele lat temu otrzymałem z Taszkentu list od Walerija Muratowa, sądząc po pismie, mężczyzny w okresie dojrzewania, który wówczas mieszkał na ulicy Kommunistycznej pod numerem 31. Facet był zdeterminowany: „Przejdź od razu do rzeczy. Ile zapłacisz? mnie za udowodnienie twierdzenia Fermata? „Zadowolę się przynajmniej 500 rublami. Innym razem udowodniłbym ci to za darmo, ale teraz potrzebuję pieniędzy…”

Niesamowity paradoks: niewiele osób wie, kim jest Fermat, kiedy żył i czym się zajmował. Więcej mniej ludzi może nawet w większości W ogólnych warunkach opisz jego wielkie twierdzenie. Ale wszyscy wiedzą, że istnieje jakieś twierdzenie Fermata, którego dowód matematycy na całym świecie walczą od ponad 300 lat, ale nie mogą udowodnić!

Ambitnych ludzi jest wielu, a sama świadomość, że jest coś, czego inni nie mogą zrobić, jeszcze bardziej pobudza ich ambicję. Dlatego tysiące (!) dowodów Wielkiego Twierdzenia przybyło i wciąż przybywa do akademii, instytutów naukowych, a nawet redakcji gazet na całym świecie – bezprecedensowy i nigdy nie pobity zapis pseudonaukowej działalności amatorskiej. Istnieje nawet określenie: „Fermatyści”, czyli ludzie mający obsesję na punkcie udowodnienia Wielkiego Twierdzenia, którzy całkowicie dręczyli zawodowych matematyków żądaniami oceny ich pracy. Słynny niemiecki matematyk Edmund Landau przygotował nawet standard, zgodnie z którym odpowiedział: „W Twoim dowodzie twierdzenia Fermata na stronie jest błąd…”, a jego doktoranci zapisali numer strony. A potem, latem 1994 roku, gazety na całym świecie doniosły o czymś zupełnie sensacyjnym: Wielkie Twierdzenie zostało udowodnione!

Kim więc jest Fermat, na czym polega problem i czy rzeczywiście został rozwiązany? Pierre Fermat urodził się w 1601 roku w rodzinie garbarza, człowieka zamożnego i szanowanego – pełnił funkcję drugiego konsula w swoim rodzinnym mieście Beaumont – coś w rodzaju asystenta burmistrza. Pierre studiował najpierw u franciszkanów, następnie na Wydziale Prawa w Tuluzie, gdzie następnie praktykował prawo. Jednak zakres zainteresowań Fermata wykraczał daleko poza orzecznictwo. Szczególnie interesował się filologią klasyczną, znane są jego komentarze do tekstów autorów starożytnych. A moją drugą pasją jest matematyka.

W XVII wieku, podobnie jak przez wiele lat później, nie było takiego zawodu: matematyka. Dlatego wszyscy wielcy matematycy tamtych czasów byli matematykami „na pół etatu”: Rene Descartes służył w wojsku, François Viète był prawnikiem, Francesco Cavalieri był mnichem. Nie było wówczas czasopism naukowych, a klasyk Pierre Fermat nie opublikował za życia ani jednej pracy naukowej. Istniał dość wąski krąg „amatorów”, którzy rozwiązywali różne interesujące ich problemy i pisali do siebie listy na ten temat, czasem się kłócili (jak Fermat i Kartezjusz), ale przeważnie pozostawali podobnie myślący. Stali się założycielami nowej matematyki, siewcami genialnych nasion, z których zaczęło wyrastać, zyskiwać na sile i rozgałęziać się potężne drzewo współczesnej wiedzy matematycznej.

Fermat był więc tym samym „amatorem”. W Tuluzie, gdzie mieszkał przez 34 lata, wszyscy znali go przede wszystkim jako doradcę izby śledczej i doświadczonego prawnika. W wieku 30 lat ożenił się, miał trzech synów i dwie córki, czasami wyjeżdżał w podróże służbowe, a podczas jednej z nich zmarł nagle w wieku 63 lat. Wszystko! Życie tego człowieka, współczesnego Trzem muszkieterom, jest zaskakująco spokojne i pozbawione przygód. Przygody przyszły wraz z jego Wielkim Twierdzeniem. Nie mówmy o całym matematycznym dziedzictwie Fermata, bo trudno o tym mówić popularnie. Wierzcie mi na słowo: to dziedzictwo jest wspaniałe i różnorodne. Twierdzenie, że Wielkie Twierdzenie jest szczytem jego twórczości, jest wysoce kontrowersyjne. Tyle, że losy Wielkiego Twierdzenia są zaskakująco ciekawe, a rozległy świat ludzi niewtajemniczonych w tajemnice matematyki zawsze interesował się nie samym twierdzeniem, ale wszystkim, co go otacza...

Korzeń tej całej historii należy szukać w starożytności, tak ukochanej przez Fermata. Około III wieku w Aleksandrii mieszkał grecki matematyk Diofantos, oryginalny naukowiec, który myślał nieszablonowo i wyrażał swoje myśli nieszablonowo. Z 13 tomów jego Arytmetyki dotarło do nas jedynie 6. Właśnie wtedy, gdy Fermat skończył 20 lat, nowe tłumaczenie jego pisma. Fermat był bardzo zainteresowany Diofantem i prace te były jego podręcznikiem. W swoich polach Fermat zapisał swoje Wielkie Twierdzenie, które w najprostszej formie nowoczesna forma wygląda to tak: równanie Xn + Yn = Zn nie ma rozwiązania w liczbach całkowitych dla n - większego niż 2. (Dla n = 2 rozwiązanie jest oczywiste: 32 + 42 = 52). Tam na marginesie tomu Diofantyńskiego Fermat dodaje: „Odkryłem ten naprawdę wspaniały dowód, ale te marginesy są dla niego za wąskie”.

Na pierwszy rzut oka jest to prosta rzecz, ale kiedy inni matematycy zaczęli udowadniać to „proste” twierdzenie, przez sto lat nikomu się to nie udało. Wreszcie wielki Leonhard Euler udowodnił to dla n = 4, a 20 (!) lat później – dla n = 3. I znowu prace utknęły w martwym punkcie na wiele lat. Kolejne zwycięstwo należało do Niemca Petera Dirichleta (1805-1859) i Francuza Andriena Legendre (1752-1833) - przyznali, że Fermat miał rację dla n = 5. Następnie to samo zrobił Francuz Gabriel Lamé (1795-1870) n = 7. Wreszcie w połowie ubiegłego wieku Niemiec Ernst Kummer (1810-1893) udowodnił Wielkie Twierdzenie dla wszystkich wartości n mniejszych lub równych 100. Co więcej, udowodnił to za pomocą metod, które Fermat nie mógł wiedzieć, co jeszcze bardziej zwiększyło atmosferę tajemniczości wokół Wielkiego Twierdzenia.

Okazało się zatem, że udowodnili twierdzenie Fermata „kawałek po kawałku”, ale nikomu się to nie udało „w całości”. Nowe próby dowodów doprowadziły jedynie do ilościowego wzrostu wartości n. Wszyscy zrozumieli, że przy dużym nakładzie pracy można było udowodnić Wielkie Twierdzenie dla dowolnego duża liczba n, ale Fermat mówił o dowolnej wartości większej niż 2! W tej różnicy między „tyle, ile chcesz” a „dowolnym” skupiał się cały sens problemu.

Należy jednak zaznaczyć, że próby udowodnienia twierdzenia Fermga nie były byle jakim gra matematyczna, rozwiązując złożony rebus. W procesie tych dowodów otwierały się nowe horyzonty matematyczne, pojawiały się i rozwiązywane problemy, stając się nowymi gałęziami drzewa matematycznego. Wielki niemiecki matematyk David Hilbert (1862–1943) przytoczył Wielkie Twierdzenie jako przykład „stymulującego wpływu, jaki szczególny i pozornie nieistotny problem może mieć na naukę”. Ten sam Kummer, pracując nad twierdzeniem Fermata, sam udowodnił twierdzenia, które stanowiły podstawę teorii liczb, algebry i teorii funkcji. Zatem udowodnienie Wielkiego Twierdzenia nie jest sportem, ale prawdziwą nauką.

Czas mijał, a z pomocą fachowym „fsrmatntsts” przyszła elektronika. Elektroniczne mózgi nie potrafiły wymyślić nowych metod, ale zrobiły to szybko. Na początku lat 80-tych twierdzenie Fermata zostało udowodnione za pomocą komputera dla n mniejszego lub równego 5500. Stopniowo liczba ta wzrosła do 100 000, ale wszyscy zrozumieli, że taka „akumulacja” to kwestia czystej technologii, która nic nie daje do umysłu lub serca. Nie mogli zmierzyć się z fortecą Wielkiego Twierdzenia i zaczęli szukać sposobów obejścia tej sytuacji.

W połowie lat 80. młody niematematyk G. Filytings udowodnił tzw. „hipotezę Mordella”, która, nawiasem mówiąc, przez 61 lat „nie wpadła w ręce” żadnego matematyka. Pojawiła się nadzieja, że ​​teraz, że tak powiem, „atakując z flanki”, uda się rozwiązać twierdzenie Fermata. Jednak nic się wtedy nie wydarzyło. W 1986 roku niemiecki matematyk Gerhard Frey zaproponował w Essence nowa metoda dowód. Nie podejmuję się tego wyjaśniać ściśle, ale nie w języku matematycznym, ale w uniwersalnym języku ludzkim, brzmi to mniej więcej tak: jeśli jesteśmy przekonani, że dowód jakiegoś innego twierdzenia jest pośrednim, w jakiś sposób przekształconym dowodem Twierdzenie Fermata zatem udowodnimy Wielkie Twierdzenie. Rok później Amerykanin Kenneth Ribet z Berkeley pokazał, że Frey miał rację i rzeczywiście jeden dowód można sprowadzić do drugiego. Wielu matematyków poszło tą drogą. różne kraje pokój. Wiktor Aleksandrowicz Kolyvanov zrobił wiele, aby udowodnić Wielkie Twierdzenie. Trzystuletnie mury nie do zdobycia twierdzy zaczęły się trząść. Matematycy zdali sobie sprawę, że to nie potrwa długo.

Latem 1993 roku w starożytnym Cambridge, w Instytucie Nauk Matematycznych Isaaca Newtona, 75 najwybitniejszych matematyków świata zebrało się, aby omówić swoje problemy. Wśród nich był amerykański profesor Andrew Wiles z Uniwersytetu Princeton, główny specjalista w dziedzinie teorii liczb. Wszyscy wiedzieli, że przez wiele lat badał Wielkie Twierdzenie. Wiles złożył trzy raporty i na ostatnim - 23 czerwca 1993 - na samym końcu, odwracając się od tablicy, powiedział z uśmiechem:

- Chyba nie będę kontynuować...

Najpierw zapadła martwa cisza, potem rozległy się brawa. Ci, którzy siedzieli na sali, byli na tyle wykwalifikowani, aby zrozumieć: ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione! W każdym razie nikt z obecnych nie stwierdził błędów w przedstawionych dowodach. Zastępca dyrektora Instytutu Newtona Peter Goddard powiedział reporterom:

„Większość ekspertów nie sądziła, że ​​pozna odpowiedź do końca życia”. Jest to jedno z największych osiągnięć matematyki naszego stulecia...

Minęło kilka miesięcy, a nie zgłoszono żadnych komentarzy ani zaprzeczeń. To prawda, że ​​​​Wiles nie opublikował swojego dowodu, a jedynie rozesłał tak zwane wydruki swojej pracy do bardzo wąskiego kręgu swoich kolegów, co oczywiście uniemożliwia matematykom komentowanie tej naukowej sensacji i rozumiem akademika Ludwiga Dmitriewicza Faddeeva, kto powiedział:

„Mogę powiedzieć, że przeżyłem sensację, gdy zobaczyłem dowód na własne oczy”.

Faddeev uważa, że ​​prawdopodobieństwo wygranej Wilesa jest bardzo duże.

„Mój ojciec, znany specjalista w dziedzinie teorii liczb, był na przykład przekonany, że twierdzenie zostanie udowodnione, ale nie w sposób elementarny” – dodał.

Nasz drugi akademik, Wiktor Pawłowicz Masłow, był sceptyczny wobec tych wiadomości i uważa, że ​​dowód Wielkiego Twierdzenia wcale nie jest palącym problemem matematycznym. Według ich własnych zainteresowania naukowe Masłow, przewodniczący Rady Matematyki Stosowanej, daleki jest od bycia „fermatystą” i kiedy twierdzi, że pełne rozwiązanie Wielkiego Twierdzenia ma jedynie znaczenie sportowe, można go zrozumieć. Odważę się jednak zauważyć, że pojęcie istotności w każdej nauce jest wielkością zmienną. 90 lat temu Rutherfordowi prawdopodobnie powiedziano także: „No cóż, OK, cóż, teoria rozpadu radioaktywnego… No i co z tego? Jaki z tego pożytek?…”

Praca nad dowodem Wielkiego Twierdzenia dała już matematyce wiele i możemy mieć nadzieję, że da jeszcze więcej.

„To, co zrobił Wiles, umożliwi matematykom zajęcie się innymi dziedzinami” – powiedział Peter Goddard. — Raczej nie zamyka jednego z kierunków myślenia, ale stawia nowe pytania, które będą wymagały odpowiedzi…

Profesor Moskiewskiego Uniwersytetu Państwowego Michaił Iljicz Zelikin tak wyjaśnił mi obecną sytuację:

Nikt nie widzi błędów w pracy Wilesa. Ale żeby ta praca stała się fakt naukowy, konieczne jest, aby kilku renomowanych matematyków samodzielnie powtórzyło ten dowód i potwierdziło jego poprawność. Jest to niezbędny warunek zrozumienia przez matematyczną publiczność pracy Wilesa...

Jak długo to zajmie?

Zadałem to pytanie jednemu z naszych wiodących ekspertów w dziedzinie teorii liczb, doktorowi nauk fizycznych i matematycznych Aleksiejowi Nikołajewiczowi Parszinowi.

— Andrew Wiles ma jeszcze dużo czasu przed sobą…

Faktem jest, że 13 września 1907 roku niemiecki matematyk P. Wolfskel, który w odróżnieniu od zdecydowanej większości matematyków był człowiekiem bogatym, zapisał 100 tysięcy marek temu, kto przez następne 100 lat udowodni Wielkie Twierdzenie. Na początku stulecia odsetki od przekazanej kwoty trafiały do ​​skarbca słynnego uniwersytetu w Goethengent. Za te pieniądze zapraszano czołowych matematyków na wykłady, Praca naukowa. Przewodniczącym komisji przyznającej nagrodę był wówczas wspomniany już David Gilbert. Naprawdę nie chciał wypłacić premii.

„Na szczęście” – powiedział wielki matematyk – „wydaje się, że oprócz mnie nie mamy matematyka, który byłby w stanie wykonać to zadanie, ale nigdy nie odważę się zabić gęsi znoszącej dla nas złote jajka”.

Do wyznaczonego przez Wolfskehla terminu 2007 pozostało niewiele lat i wydaje mi się, że nad „kurczakiem Hilberta” wisi poważne niebezpieczeństwo. Ale tak naprawdę nie chodzi o premię. To kwestia dociekliwości myślenia i ludzkiej wytrwałości. Walczyli przez ponad trzysta lat, a mimo to udowodnili to!

I dalej. Dla mnie najciekawsze w tej całej historii jest: jak sam Fermat udowodnił swoje Wielkie Twierdzenie? Przecież wszystkie dzisiejsze sztuczki matematyczne były mu nieznane. I czy w ogóle to udowodnił? Przecież istnieje wersja, w której wydawało się, że to udowodnił, ale on sam znalazł błąd i dlatego nie wysłał dowodu innym matematykom, a zapomniał przekreślić zapis na marginesie tomu Diofantosa. Zatem wydaje mi się, że dowód Wielkiego Twierdzenia oczywiście miał miejsce, jednak tajemnica twierdzenia Fermata pozostaje tajemnicą i jest mało prawdopodobne, że kiedykolwiek ją odkryjemy...

Być może Fermat się wtedy mylił, ale nie mylił się, gdy pisał: „Być może potomność będzie mi wdzięczna za pokazanie, że starożytni nie wiedzieli wszystkiego, i to może przeniknie do świadomości tych, którzy przyjdą po mnie, aby przejść przez pochodnię swoim synom…”

Dla liczb całkowitych n większych niż 2 równanie x n + y n = z n nie ma niezerowych rozwiązań w liczbach naturalnych.

Pewnie pamiętasz z czasów szkolnych twierdzenie Pitagorasa: Kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów nóg. Być może pamiętacie także klasykę trójkąt prostokątny z bokami, których długości są w stosunku 3: 4: 5. Dla niego twierdzenie Pitagorasa wygląda następująco:

To jest przykład rozwiązania uogólnionego równania Pitagorasa w niezerowych liczbach całkowitych za pomocą N= 2. Ostatnie twierdzenie Fermata (zwane także „ostatnim twierdzeniem Fermata” i „ostatnim twierdzeniem Fermata”) to stwierdzenie, że dla wartości N> 2 równania postaci x rz + y n = z n nie mają niezerowych rozwiązań w liczbach naturalnych.

Historia Ostatniego Twierdzenia Fermata jest bardzo interesująca i pouczająca nie tylko dla matematyków. Pierre de Fermat przyczynił się do rozwoju różnych dziedzin matematyki, jednak zasadnicza część jego dorobku naukowego została opublikowana dopiero pośmiertnie. Faktem jest, że matematyka była dla Fermata czymś w rodzaju hobby, a nie zajęciem zawodowym. Korespondował z czołowymi matematykami swoich czasów, nie zabiegał jednak o publikację swoich prac. Prace naukowe Gospodarstwo spotykane jest głównie w formie prywatnej korespondencji i fragmentarycznych notatek, często zapisywanych na marginesach różnych ksiąg. Znajduje się na marginesie (drugiego tomu starożytnej greckiej „Arytmetyki” Diofantosa. - Notatka tłumacz) wkrótce po śmierci matematyka potomkowie odkryli sformułowanie słynnego twierdzenia i dopisek:

« Znalazłem na to naprawdę wspaniały dowód, ale te pola są na to za wąskie».

Niestety, najwyraźniej Fermat nigdy nie zadał sobie trudu, aby spisać „cudowny dowód”, który znalazł, a potomkowie bezskutecznie szukali go przez ponad trzy stulecia. Spośród całego rozproszonego dziedzictwa naukowego Fermata, które zawiera wiele zaskakujących stwierdzeń, to właśnie Wielkie Twierdzenie uparcie nie chciało zostać rozwiązane.

Ktokolwiek próbował udowodnić Ostatnie Twierdzenie Fermata, jest na próżno! Inny wielki matematyk francuski, René Descartes (1596–1650), nazwał Fermata „chełpcą”, a matematyk angielski John Wallis (1616–1703) nazwał go „cholernym Francuzem”. Jednak sam Fermat pozostawił po sobie dowód swojego twierdzenia dla tej sprawy N= 4. Z dowodem na N= 3 został rozwiązany przez wielkiego szwajcarsko-rosyjskiego matematyka XVIII w. Leonharda Eulera (1707–83), po czym nie mogąc znaleźć na to dowodów N> 4, żartobliwie zasugerował przeszukanie domu Fermata w celu znalezienia klucza do zaginionego dowodu. W XIX wieku nowe metody teorii liczb umożliwiły udowodnienie twierdzenia dla wielu liczb całkowitych w zakresie 200, ale znowu nie dla wszystkich.

Za rozwiązanie tego problemu w 1908 r. ustanowiono nagrodę w wysokości 100 000 marek niemieckich. Fundusz nagród przekazał w spadku niemiecki przemysłowiec Paul Wolfskehl, który według legendy miał popełnić samobójstwo, ale Ostatnie Twierdzenie Fermata tak go poruszyło, że zmienił zdanie na temat umierania. Wraz z pojawieniem się maszyn dodających, a następnie komputerów, pasek wartości N zaczęła rosnąć coraz wyżej – do 617 na początku II wojny światowej, do 4001 w 1954 r., do 125 000 w 1976 r. Pod koniec XX wieku najpotężniejsze komputery w laboratoriach wojskowych w Los Alamos (Nowy Meksyk, USA) zaprogramowano tak, aby rozwiązywały w tle problem Fermata (podobnie jak tryb wygaszacza ekranu komputera osobistego). Udało się zatem wykazać, że twierdzenie jest prawdziwe dla niewiarygodnie dużych wartości x, y, z I N, ale nie może to służyć jako ścisły dowód, ponieważ dowolna z poniższych wartości N lub trójki liczby naturalne mógłby obalić tę tezę w całości.

Wreszcie w 1994 roku angielski matematyk Andrew John Wiles (ur. 1953), pracujący w Princeton, opublikował dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, który po pewnych modyfikacjach uznano za wyczerpujący. Dowód zajął ponad sto stron czasopism i opierał się na zastosowaniu nowoczesnego aparatu wyższej matematyki, który nie był rozwinięty w epoce Fermata. Co więc Fermat miał na myśli, zostawiając wiadomość na marginesie książki, że znalazł dowód? Większość matematyków, z którymi rozmawiałem na ten temat, zwracała uwagę, że na przestrzeni wieków było aż nadto błędnych dowodów Ostatniego Twierdzenia Fermata i że najprawdopodobniej sam Fermat znalazł podobny dowód, ale nie rozpoznał błędu w tym. Możliwe jest jednak, że istnieje jeszcze jakiś krótki i elegancki dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, którego nikt jeszcze nie znalazł. Tylko jedno można powiedzieć z całą pewnością: dziś wiemy na pewno, że twierdzenie jest prawdziwe. Myślę, że większość matematyków zgodziłaby się bez zastrzeżeń z Andrew Wilesem, który tak skomentował swój dowód: „Teraz w końcu mój umysł jest spokojny”.

Grigorij Perelman. odmawiacz

Wasilij Maksimow

W sierpniu 2006 roku ogłoszono nazwiska najlepszych matematyków na świecie, którzy otrzymali prestiżowy Medal Fieldsa – swego rodzaju odpowiednik Nagrody Nobla, której matematycy, za kaprysem Alfreda Nobla, zostali pozbawieni. Medal Fieldsa – oprócz odznaki honorowej, zwycięzcy otrzymują czek na piętnaście tysięcy dolarów kanadyjskich – przyznawany jest przez Międzynarodowy Kongres Matematyków co cztery lata. Została założona przez kanadyjskiego naukowca Johna Charlesa Fieldsa i została po raz pierwszy nagrodzona w 1936 roku. Od 1950 roku Medal Fieldsa jest regularnie nadawany osobiście przez króla Hiszpanii za jego wkład w rozwój nauk matematycznych. Laureatami nagród może zostać od jednego do czterech naukowców w wieku poniżej czterdziestu lat. Nagrodę otrzymało już czterdziestu czterech matematyków, w tym ośmiu Rosjan.

Grigorij Perelman. Henri Poincaré.

W 2006 roku laureatami zostali Francuz Wendelin Werner, Australijczyk Terence Tao oraz dwóch Rosjan – pracujący w USA Andrey Okunkov i Grigorij Perelman, naukowiec z Petersburga. Jednak w ostatniej chwili okazało się, że Perelman odmówił przyjęcia tej prestiżowej nagrody – jak zapowiadali organizatorzy, „dla zasady”.

Tak ekstrawagancki czyn rosyjskiego matematyka nie był zaskoczeniem dla osób, które go znały. To nie pierwszy raz, kiedy odmawia przyznania nagród matematycznych, tłumacząc swoją decyzję faktem, że nie lubi ceremonialnych wydarzeń i niepotrzebnego szumu wokół jego nazwiska. Dziesięć lat temu, w 1996 roku, Perelman odmówił przyznania nagrody Europejskiego Kongresu Matematycznego, powołując się na nieukończenie prac nad nominowanym do nagrody problemem naukowym i nie był to ostatni przypadek. Wydawało się, że rosyjski matematyk za cel swojego życia postawił sobie zaskakiwanie ludzi, występując przeciwko nim opinia publiczna i społeczność naukowa.

Grigorij Jakowlewicz Perelman urodził się 13 czerwca 1966 roku w Leningradzie. Od najmłodszych lat interesowałem się nauki ścisłe, ukończył z wyróżnieniem słynną 239 Liceum Z dogłębne studium matematyka, zdobyła wiele nagród olimpiady matematyczne: I tak w 1982 roku jako członek zespołu sowieckich uczniów wziął udział w Międzynarodowej Olimpiadzie Matematycznej, która odbyła się w Budapeszcie. Bez egzaminów Perelman został zapisany na Wydział Mechaniki i Matematyki Uniwersytetu w Leningradzie, gdzie studiował z doskonałymi ocenami, nadal wygrywając konkursy matematyczne na wszystkich poziomach. Po ukończeniu studiów z wyróżnieniem rozpoczął studia podyplomowe w petersburskiej filii Instytutu Matematycznego Steklov. Jego opiekun naukowy Był znany matematyk, akademik Aleksandrow. Po obronie pracy doktorskiej Grigorij Perelman pozostał w instytucie, w laboratorium geometrii i topologii. Znana jest jego praca nad teorią przestrzeni Aleksandrowa, udało mu się znaleźć dowody na wiele ważnych przypuszczeń. Pomimo licznych ofert z wiodących zachodnich uniwersytetów Perelman woli pracować w Rosji.

Jego najbardziej znaczącym sukcesem było rozwiązanie w 2002 roku słynnej hipotezy Poincarégo, opublikowanej w 1904 roku i od tego czasu niepotwierdzonej. Perelman pracował nad nim przez osiem lat. Hipotezę Poincarégo uznano za jedną z największych zagadek matematycznych, a jej rozwiązanie uznano za najważniejsze osiągnięcie nauk matematycznych: natychmiastowo przyspieszyło badania nad problemami fizycznych i matematycznych podstaw wszechświata. Najwybitniejsze umysły na świecie przewidziały jego rozwiązanie dopiero kilka dekad później, a Clay Institute of Mathematics w Cambridge w stanie Massachusetts umieścił problem Poincarégo wśród siedmiu najciekawszych nierozwiązanych problemów. problemy matematyczne milenium, za rozwiązanie każdego z nich obiecano milion dolarów nagrody (Problemy z Nagrodą Milenijną).

Hipoteza (czasami nazywana problemem) francuskiego matematyka Henriego Poincarégo (1854–1912) jest sformułowana w następujący sposób: każda zamknięta, prosto połączona przestrzeń trójwymiarowa jest homeomorficzna z trójwymiarową kulą. Aby wyjaśnić, użyj jasnego przykładu: jeśli owiniesz jabłko gumką, to w zasadzie zaciskając taśmę możesz ścisnąć jabłko w punkt. Jeśli owiniesz pączka tą samą taśmą, nie da się go ścisnąć do punktu bez rozerwania pączka lub gumy. W tym kontekście jabłko nazywane jest figurą „po prostu połączoną”, ale pączek nie jest po prostu połączony. Prawie sto lat temu Poincaré ustalił, że dwuwymiarowa kula jest po prostu połączona i zasugerował, że trójwymiarowa kula również jest po prostu połączona. Najlepsi matematycy na świecie nie byli w stanie udowodnić tej hipotezy.

Aby zakwalifikować się do Nagrody Instytutu Claya, Perelman musiał jedynie opublikować swoje rozwiązanie w jednym z czasopism naukowych, a jeśli w ciągu dwóch lat nikt nie znajdzie błędu w jego obliczeniach, wówczas rozwiązanie zostanie uznane za prawidłowe. Jednak Perelman od samego początku odstąpił od zasad, publikując swoją decyzję na stronie preprintu Laboratorium Naukowego Los Alamos. Być może obawiał się, że do jego obliczeń wkradł się błąd – podobna historia wydarzyła się już w matematyce. W 1994 roku angielski matematyk Andrew Wiles zaproponował rozwiązanie słynnego twierdzenia Fermata, a kilka miesięcy później okazało się, że do jego obliczeń wkradł się błąd (choć został on później poprawiony, a sensacja nadal trwała). Nadal nie ma oficjalnej publikacji dowodu hipotezy Poincarégo, ale istnieje autorytatywna opinia najlepszych matematyków na świecie potwierdzająca poprawność obliczeń Perelmana.

Medal Fieldsa został przyznany Grigorijowi Perelmanowi właśnie za rozwiązanie problemu Poincarégo. Ale rosyjski naukowiec odmówił nagrody, na którą niewątpliwie zasługuje. „Gregory powiedział mi, że czuje się odizolowany od międzynarodowej społeczności matematycznej, poza tą społecznością i dlatego nie chce otrzymać nagrody” – powiedział na konferencji prasowej Anglik John Ball, prezes Światowej Unii Matematyków (WUM), Madryt.

Krążą pogłoski, że Grigorij Perelman zamierza całkowicie porzucić naukę: sześć miesięcy temu opuścił rodzinne strony Instytut Matematyczny nazwany na cześć Stekłowa i mówią, że nie będzie już uczył się matematyki. Być może rosyjski naukowiec uważa, że ​​udowadniając słynną hipotezę, zrobił dla nauki wszystko, co mógł. Ale kto podejmie się dyskusji nad tokiem myślenia tak bystrego naukowca i niezwykłej osoby? Perelman odmawia jakichkolwiek komentarzy i powiedział gazecie The Daily Telegraph: „Żadne z tego, co mogę powiedzieć, nie leży w najmniejszym interesie publicznym”. Jednak czołowe publikacje naukowe były jednomyślne w swoich ocenach, gdy donosiły, że „Grigory Perelman, rozwiązując twierdzenie Poincarégo, dorównał największym geniuszom przeszłości i teraźniejszości”.

Miesięcznik i wydawnictwo literacko-dziennikarskie.