Klasa: 10

Prezentacja na lekcję
































Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji: Zbadaj stan równowagi ciał, zapoznaj się z różnymi rodzajami równowagi; dowiedzieć się, w jakich warunkach ciało znajduje się w równowadze.

Cele Lekcji:

  • Edukacyjny: Zbadaj dwa warunki równowagi, rodzaje równowagi (stabilna, niestabilna, obojętna). Dowiedz się, w jakich warunkach ciała są bardziej stabilne.
  • Edukacyjny: Promowanie rozwoju zainteresowań poznawczych fizyką. Rozwój umiejętności porównywania, uogólniania, podkreślania najważniejszych rzeczy, wyciągania wniosków.
  • Edukacyjny: Pielęgnuj uwagę, umiejętność wyrażania swojego punktu widzenia i jego obrony, rozwijaj umiejętności komunikacyjne studenci.

Typ lekcji: lekcja uczenia się nowego materiału przy wsparciu komputera.

Sprzęt:

  1. Płyta „Praca i moc” z „Elektronicznych lekcji i testów.
  2. Tabela „Warunki równowagi”.
  3. Uchylny pryzmat z linią pionu.
  4. Ciała geometryczne: cylinder, sześcian, stożek itp.
  5. Komputer, projektor multimedialny, tablica interaktywna lub ekran.
  6. Prezentacja.

Podczas zajęć

Dziś na lekcji dowiemy się, dlaczego dźwig nie spada, dlaczego zabawka Vanka-Vstanka zawsze wraca do swojego pierwotnego stanu, dlaczego Krzywa Wieża w Pizie nie spada?

I. Powtarzanie i aktualizacja wiedzy.

  1. Podaj pierwsze prawo Newtona. Do jakiego warunku odnosi się prawo?
  2. Na jakie pytanie odpowiada drugie prawo Newtona? Formuła i formułowanie.
  3. Na jakie pytanie odpowiada trzecie prawo Newtona? Formuła i formułowanie.
  4. Jaka jest wypadkowa siła? Jak ona się znajduje?
  5. Z dysku „Ruch i oddziaływanie ciał” wykonaj zadanie nr 9 „Wypadkowa sił o różnych kierunkach” (zasada dodawania wektorów (2, 3 ćwiczenia)).

II. Nauka nowego materiału.

1. Co nazywa się równowagą?

Równowaga to stan spoczynku.

2. Warunki równowagi.(slajd 2)

a) Kiedy ciało znajduje się w spoczynku? Z jakiego prawa to wynika?

Pierwszy warunek równowagi: Ciało jest w równowadze, jeśli jest to suma geometryczna siły zewnętrzne, zastosowany do ciała, jest równy zeru. ∑F = 0

b) Niech dwóch będzie działać na planszy równe siły, jak pokazano na obrazku.

Czy będzie równo? (Nie, ona się odwróci)

Tylko centralny punkt jest w spoczynku, reszta się porusza. Oznacza to, że aby ciało było w równowadze konieczne jest, aby suma wszystkich sił działających na każdy element była równa 0.

Drugi warunek równowagi: Suma momentów sił działających zgodnie z ruchem wskazówek zegara musi być równa sumie momentów sił działających przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

∑ M zgodnie z ruchem wskazówek zegara = ∑ M przeciwnie do ruchu wskazówek zegara

Moment siły: M = F L

L – ramię siły – najkrótsza odległość od punktu podparcia do linii działania siły.

3. Środek ciężkości ciała i jego położenie.(slajd 4)

Środek ciężkości ciała- jest to punkt, przez który przechodzi wypadkowa wszystkich równoległych sił grawitacji działających na poszczególne elementy ciała (dla dowolnego położenia ciała w przestrzeni).

Znajdź środek ciężkości następujących figur:

4. Rodzaje wag.

A) (slajdy 5–8)



Wniosek: Równowaga jest stabilna, jeśli przy niewielkim odchyleniu od położenia równowagi działa siła dążąca do przywrócenia jej do tego położenia.

Pozycja, w której się znajduje energia potencjalna minimalny. (slajd 9)

b) Stateczność ciał znajdujących się w punkcie podparcia lub na linii podparcia.(slajdy 10–17)

Wniosek: Dla stabilności ciała znajdującego się w jednym punkcie lub linii podparcia konieczne jest, aby środek ciężkości znajdował się poniżej punktu (linii) podparcia.

c) Stabilność ciał znajdujących się na płaskiej powierzchni.

(slajd 18)

1) Powierzchnia nośna– nie zawsze jest to powierzchnia stykająca się z ciałem (ale ta, którą ograniczają linie łączące nogi stołu, statywu)

2) Analiza slajdu z „Lekcje i sprawdziany elektroniki”, dysku „Praca i moc”, lekcji „Rodzaje wag”.

Obrazek 1.

  1. Czym różnią się stołki? (Obszar wsparcia)
  2. Który jest stabilniejszy? (Przy większej powierzchni)
  3. Czym różnią się stołki? (Położenie środka ciężkości)
  4. Który jest najbardziej stabilny? (Który środek ciężkości jest niżej)
  5. Dlaczego? (Ponieważ można go przechylić pod większym kątem bez przewrócenia)

3) Poeksperymentuj z pryzmatem odchylającym

  1. Połóżmy na desce pryzmat z pionem i zacznijmy stopniowo podnosić go o jedną krawędź. Co widzimy?
  2. Dopóki pion przecina powierzchnię ograniczoną podporą, równowaga zostaje zachowana. Ale gdy tylko pionowa linia przechodząca przez środek ciężkości zacznie wychodzić poza granice powierzchni nośnej, wszystko się przewróci.

Analiza slajdy 19–22.

Wnioski:

  1. Ciało o największej powierzchni podparcia jest stabilne.
  2. Z dwóch ciał o tej samej powierzchni stabilne jest to, którego środek ciężkości znajduje się niżej, ponieważ można go przechylać bez przewracania się pod dużym kątem.

Analiza slajdy 23–25.

Które statki są najbardziej stabilne? Dlaczego? (W którym ładunek znajduje się w ładowniach, a nie na pokładzie)

Które samochody są najbardziej stabilne? Dlaczego? (Aby zwiększyć stabilność samochodów podczas skręcania, nawierzchnia drogi jest nachylona w kierunku zakrętu.)

Wnioski: Równowaga może być stabilna, niestabilna, obojętna. Im większa powierzchnia podparcia i im niższy środek ciężkości, tym większa stabilność ciał.

III. Zastosowanie wiedzy o stabilności ciał.

  1. W jakich specjalnościach najbardziej potrzebna jest wiedza o równowadze ciała?
  2. Projektanci i konstruktorzy różnorodnych konstrukcji ( wysokie budynki mosty, wieże telewizyjne itp.)
  3. Cyrkowcy.
  4. Kierowcy i inni specjaliści.

(slajdy 28–30)

  1. Dlaczego „Vanka-Vstanka” powraca do pozycji równowagi przy każdym nachyleniu zabawki?
  2. Dlaczego Krzywa Wieża w Pizie stoi pod kątem i nie spada?
  3. Jak rowerzyści i motocykliści utrzymują równowagę?

Wnioski z lekcji:

  1. Istnieją trzy rodzaje równowagi: stabilna, niestabilna, obojętna.
  2. Stabilne położenie ciała, w którym jego energia potencjalna jest minimalna.
  3. Im większa powierzchnia podparcia i niższy środek ciężkości, tym większa stabilność ciał na płaskiej powierzchni.

Praca domowa: § 54 – 56 (G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky)

Źródła i wykorzystana literatura:

  1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fizyka. klasa 10.
  2. Taśma filmowa „Sustainability” 1976 (zeskanowana przeze mnie na skanerze klisz).
  3. Płyta „Ruch i oddziaływanie ciał” z „Elektronicznych lekcji i testów”.
  4. Płyta „Praca i moc” z „Elektronicznych lekcji i testów”.

Główne typy punktów równowagi

Niech dany będzie jednorodny liniowy układ liniowy drugiego rzędu o stałych współczynnikach: \[\left\( \begin(array)(l) \frac((dx))((dt)) = (a_(11))x + (a_ (12 ))y\\ \frac((dy))((dt)) = (a_(21))x + (a_(22))y \end(array) \right..\] Ten układ równań Jest autonomiczny, ponieważ prawa strona równań nie zawiera jawnie zmiennej niezależnej \(t.\)

W postać matrycowa układ równań zapisuje się jako \[ (\mathbf(X") = A\mathbf(X),\;\;\text(gdzie)\;\;\mathbf(X) = \left((\begin( tablica)( *(20)(c)) x\\ y \end(tablica)) \right),)\;\; (A = \left((\begin(array)(*(20)(c) ) (( a_(11)))&((a_(12)))\\ ((a_(21)))&((a_(22))) \end(array)) \right).) \] Położenia równowagi pochodzą z rozwiązania równania stacjonarnego \ To równanie ma unikalne rozwiązanie \(\mathbf(X) = \mathbf(0),\) jeśli macierz \(A\) wynosi niezdegenerowany , tj. pod warunkiem \(\det A \ne 0.\) W przypadku pojedyncza macierz układ ma nieskończoną liczbę punktów równowagi.

Określa się klasyfikację położeń równowagi wartości własne \((\lambda _1),(\lambda _2)\) macierze \(A.\) Z rozwiązania znajdują się liczby \((\lambda _1),(\lambda _2)\) równanie charakterystyczne \[(\lambda ^2) - \left(((a_(11)) + (a_(22))) \right)\lambda + (a_(11))(a_(22)) - (a_(12) ))(a_(21)) = 0.\] W ogólnym przypadku, gdy macierz \(A\) nie jest osobliwa, istnieją \(4\) różne typy punktów równowagi:

Wyznacza się stabilność pozycji równowagi ogólne twierdzenia o stabilności. Zatem, jeśli rzeczywiste wartości własne (lub rzeczywiste części złożonych wartości własnych) są ujemne, wówczas punktem równowagi jest asymptotycznie stabilny . Przykładami takich położeń równowagi są stała ostrość .

Jeśli część rzeczywista co najmniej jednej wartości własnej jest dodatnia, wówczas odpowiada jej pozycja równowagi nietrwały . Na przykład może to być .

Wreszcie, w przypadku pierwiastków czysto urojonych (punkt równowagi wynosi Centrum) mamy do czynienia z klasyką stabilność w sensie Lapunowa .

Naszym dalszym celem jest badanie zachowania rozwiązań w pobliżu położeń równowagi. W przypadku systemów \(2\)-tego rzędu wygodnie jest to zrobić graficznie portret fazowy , czyli zbiór trajektorie fazowe NA płaszczyzna współrzędnych. Strzałki na trajektoriach fazowych pokazują kierunek ruchu punktu (tj. określony stan układu) w czasie.

Rozważmy bardziej szczegółowo każdy typ punktu równowagi i odpowiadające mu portrety fazowe.

Węzeł stabilny i niestabilny

Wartości własne \(((\lambda _1),(\lambda _2))\) punktów typu „węzeł” spełniają warunki: \[(\lambda _1),(\lambda _2) \in \Re, \;\;( \lambda _1) \cdot (\lambda _2) > 0.\] Mogą tu wystąpić następujące szczególne przypadki.

Pierwiastki \(((\lambda _1),(\lambda _2))\) są różne \(\left(((\lambda _1) \ne (\lambda _2)) \right)\) i ujemne \(\ lewy( ((\lambda _1)
Skonstruujmy schematyczny portret fazowy takiego punktu równowagi. Niech dla pewności \(\left| ((\lambda _1)) \right|
Ponieważ obie wartości własne są ujemne, rozwiązaniem \(\mathbf(X) = \mathbf(0)\) jest asymptotycznie stabilny . To położenie równowagi nazywa się stabilny węzeł . W \(t \to \infty\) krzywe fazowe zmierzają do początku \(\mathbf(X) = \mathbf(0).\)

Wyjaśnijmy kierunek trajektorii fazowych. Ponieważ \[ (x\left(t \right) = (C_1)(V_(11))(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(12))(e^((\ lambda _2)t)),)\;\; (y\left(t \right) = (C_1)(V_(21))(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(22))(e^((\lambda _2) t)),) \] wtedy pochodna \(\large\frac((dy))((dx))\normalsize\) jest równa \[\frac((dy))((dx)) = \frac ((( C_1)(V_(21))(\lambda _1)(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(22))(\lambda _2)(e^((\lambda _2)t ))))(((C_1)(V_(11))(\lambda _1)(e^((\lambda _1)t)) + (C_2)(V_(12))(\lambda _2) (e^ ((\lambda _2)t)))).\] Podziel licznik i mianownik przez \(((e^((\lambda _1)t))):\) \[\frac((dy) )((dx )) = \frac(((C_1)(V_(21))(\lambda _1) + (C_2)(V_(22))(\lambda _2)(e^(\left(((\ lambda _2) - (\lambda _1)) \right)t))))(((C_1)(V_(11))(\lambda _1) + (C_2)(V_(12))(\lambda _2)( e^(\ left(((\lambda _2) - (\lambda _1)) \right)t)))).\] W tym przypadku \((\lambda _2) - (\lambda _1)
W przypadku \((C_1) = 0\) pochodna dowolnego \(t\) jest równa \[\frac((dy))((dx)) = \frac(((V_(22) )))((( V_(12)))),\] tj. trajektoria fazowa leży na linii prostej skierowanej wzdłuż wektora własnego \((\mathbf(V)_2).\)

Rozważmy teraz zachowanie trajektorii fazowych dla \(t \to -\infty.\) Oczywiście współrzędne \(x\left(t \right),y\left(t \right)\) dążą do nieskończoności, a pochodna \(\large\frac((dy))((dx))\normalsize\) dla \((C_2) \ne 0\) przyjmuje następującą postać: \[\frac((dy))(( dx)) = \frac (((C_1)(V_(21))(\lambda _1)(e^(\left(((\lambda _1) - (\lambda _2)) \right)t)) + ( C_2)(V_(22 ))(\lambda _2)))(((C_1)(V_(11))(\lambda _1)(e^(\left(((\lambda _1) - (\lambda _2) ) \right)t) ) + (C_2)(V_(12))(\lambda _2))) = \frac(((V_(22))))(((V_(12)))),\] tj. krzywe fazowe w punktach w nieskończoności stają się równoległe do wektora \((\mathbf(V)_2).\)

Odpowiednio, gdy \((C_2) = 0\) pochodna jest równa \[\frac((dy))((dx)) = \frac(((V_(21))))(((V_(11 ))) ).\] W tym przypadku trajektoria fazowa jest określona przez kierunek wektora własnego \((\mathbf(V)_1).\)

Biorąc pod uwagę rozważane właściwości trajektorii fazowych, powstaje portret fazowy stabilny węzeł ma postać pokazaną schematycznie na rysunku \(1.\)

W podobny sposób można badać zachowanie trajektorii fazowych dla innych typów położeń równowagi. Następnie, pomijając szczegółową analizę, przeprowadzimy główne cechy jakościowe pozostałych punktów równowagi.

Pierwiastki \(((\lambda _1),(\lambda _2))\) są różne \(\left(((\lambda _1) \ne (\lambda _2)) \right)\) i dodatnie \(\ lewy( ((\lambda _1) > 0, (\lambda _2)) > 0\prawy).\)
W tym przypadku punkt \(\mathbf(X) = \mathbf(0)\) nazywany jest niestabilny węzeł . Jego portret fazowy pokazano na rysunku \(2.\)

Należy zauważyć, że zarówno w przypadku węzłów stabilnych, jak i niestabilnych trajektorie fazowe są styczne do linii prostej, która jest skierowana wzdłuż wektora własnego odpowiadającego mniejszemu całkowita wartość wartość własna \(\lambda.\)

Węzeł krytyczny

Niech równanie charakterystyczne będzie miało jeden pierwiastek zerowy z krotności \(2,\), tj. rozważmy przypadek \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) \ne 0.\) W tym przypadku układ ma bazę na dwóch wektorach własnych, tj. geometryczna krotność wartości własnej \(\lambda\) jest równa \(2.\) W kategoriach algebra liniowa oznacza to, że wymiar podprzestrzeni własnej macierzy \(A\) jest równy \(2:\) \(\dim \ker A = 2.\) Sytuacja ta jest realizowana w układach postaci \[ (\ frac((dx))(( dt)) = \lambda x,)\;\; (\frac((dy))((dt)) = \lambda y.) \] Kierunek trajektorii fazowych zależy od znaku \(\lambda.\) Możliwe są tutaj dwa następujące przypadki:

Przypadek \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) To położenie równowagi nazywa się stabilny węzeł krytyczny (Rysunek \(3\)).

Przypadek \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) > 0.\) Ta kombinacja wartości własnych odpowiada niestabilny węzeł krytyczny (Rysunek \(4\)).

Węzeł zdegenerowany

Niech wartości własne macierzy \(A\) znów będą takie same: \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) \ne 0.\) W przeciwieństwie do poprzedniego przypadku węzła dykrytycznego , zakładamy, że geometryczna krotność wartości własnych (lub innymi słowy wymiar podprzestrzeni własnej) jest teraz równa \(1.\). Oznacza to, że macierz \(A\) ma tylko jeden wektor własny \ ((\mathbf(V)_1).\) Drugi liniowo niezależny wektor niezbędny do zbudowania bazy jest zdefiniowany jako wektor \((\mathbf(W)_1),\) dołączony do \((\mathbf( V)_1).\)

W przypadku \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) punkt równowagi nazywany jest stabilny zdegenerowany węzeł (Rysunek \(5\)).

Kiedy \((\lambda _1) = (\lambda _2) = (\lambda) > 0\) nazywa się położeniem równowagi niestabilny zdegenerowany węzeł (Rysunek \(6\)).

Pozycja równowagi zachodzi pod warunkami \[(\lambda _1),(\lambda _2) \in \Re,\;\;(\lambda _1) \cdot (\lambda _2) 0.\) Wartości własne \( (\lambda _1)\) i \((\lambda _2)\) są powiązane z odpowiednimi wektorami własnymi \((\mathbf(V)_1)\) i \((\mathbf(V)_2).\) Linie skierowane wzdłuż wektorów własnych nazywane są wektorami \((\mathbf(V)_1),\) \((\mathbf(V)_2),\) separacje . Są one asymptotami dla pozostałych trajektorii fazowych, które mają postać hiperboli. Każdej z separacji można przypisać określony kierunek ruchu. Jeśli separatrix jest powiązana z ujemną wartością własną \((\lambda _1) 0,\) tj. dla separatrix związanej z wektorem \((\mathbf(V)_2),\) ruch jest kierowany od początku. Portret fazowy siodła pokazano schematycznie na rysunku \(7.\)

Stała i niestabilna ostrość

Niech teraz będą wartości własne \((\lambda _1),(\lambda _2)\) Liczby zespolone , których części rzeczywiste nie są równe zeru. Jeśli macierz \(A\) składa się z liczby rzeczywiste, wówczas złożone pierwiastki zostaną przedstawione w formie złożony koniugat liczb: \[(\lambda _(1,2)) = \alpha \pm i\beta .\] Przekonajmy się, jaką formę mają trajektorie fazowe w pobliżu początku układu współrzędnych. Skonstruujmy złożone rozwiązanie \((\mathbf(X)_1)\left(t \right)\) odpowiadające wartości własnej \((\lambda _1) = \alpha + i\beta:\) \[ (( \mathbf(X )_1)\left(t \right) = (e^((\lambda _1)t))(\mathbf(V)_1) ) = ((e^(\left((\alpha + i \beta ) \ prawo)t))\left((\mathbf(U) + i\mathbf(W)) \right),) \] gdzie \((\mathbf(V)_1) = \mathbf(U) + i\mathbf (W)\) jest wektorem własnym o wartościach zespolonych powiązanym z liczbą \((\lambda _1),\) \(\mathbf(U)\) i \(\mathbf(W)\) są rzeczywiste funkcje wektorowe. W wyniku przekształceń otrzymujemy \[ ((\mathbf(X)_1)\left(t \right) = (e^(\alpha t))(e^(i\beta t))\left(( \mathbf(U ) + i\mathbf(W)) \right) ) = ((e^(\alpha t))\left((\cos \beta t + i\sin \beta t) \right)\left ((\mathbf (U) + i\mathbf(W)) \right) ) = ((e^(\alpha t))\left((\mathbf(U)\cos \beta t + i\mathbf(U )\sin \ beta t + i\mathbf(W)\cos \beta t - \mathbf(W)\sin \beta t) \right) ) = ((e^(\alpha t))\left((\ mathbf(U) \cos \beta t + - \mathbf(W)\sin \beta t) \right) ) + (i(e^(\alpha t))\left((\mathbf(U)\sin \ beta t + \ mathbf(W)\cos \beta t) \right).) \] Części rzeczywiste i urojone ostatniego wyrażenia tworzą rozwiązanie ogólne układu, które ma postać: \[ (\mathbf(X )\left(t \right) = ( C_1)\text(Re)\left[ ((\mathbf(X)_1)\left(t \right)) \right] + (C_2)\text(Im)\ lewy[ ((\mathbf(X)_1 )\left(t \right)) \right] ) = ((e^(\alpha t))\left[ ((C_1)\left((\mathbf(U) \cos \beta t - \mathbf(W )\sin \beta t) \right)) \right. ) + (\left. ((C_2)\left((\mathbf(U)\sin \beta t + \ mathbf(W)\cos \beta t) \right)) \right] ) = ((e^(\alpha t))\left[ (\mathbf(U)\left(((C_1)\cos \beta t + (C_2)\sin \beta t) \right)) \right. ) + (\left. (\mathbf(W)\left(((C_2)\cos \beta t - (C_1)\sin \beta t) \right)) \right].) \] Przedstawmy stałe \(( C_1),(C_2)\) w postaci \[(C_1) = C\sin \delta ,\;\;(C_2) = C\cos \delta ,\] gdzie \(\delta\) jest jakiś kąt pomocniczy. Następnie rozwiązanie zapisuje się jako \[ (\mathbf(X)\left(t \right) = C(e^(\alpha t))\left[ (\mathbf(U)\left((\sin \delta \ cos \ beta t + \cos \delta \sin \beta t) \right)) \right. ) + (\left. (\mathbf(W)\left((\cos\delta \cos \beta t - \sin \delta \sin \beta t) \right)) \right] ) = (C(e^(\alpha t))\left[ (\mathbf(U)\sin \left((\beta t + \delta ) \right )) \right + \left (\mathbf(W)\cos \left((\beta t + \delta ) \right)) \right].) \] Zatem rozwiązanie \(\mathbf( X) \left(t \right)\) jest rozwijane w oparciu o bazę określoną przez wektory \(\mathbf(U)\) i \(\mathbf(W):\) \[\mathbf(X)\left( t \right) = \mu \left(t \right)\mathbf(U) + \eta \left(t \right)\mathbf(W),\] gdzie współczynniki rozszerzalności \(\mu \left(t \ Right),\) \ (\eta \left(t \right)\) wyznaczamy za pomocą wzorów: \[ (\mu \left(t \right) = C(e^(\alpha t))\sin \ lewo((\beta t + \delta ) \prawo),)\;\; (\eta \left(t \right) = C(e^(\alpha t))\cos\left((\beta t + \delta ) \right). ) \] Stąd jasne jest, że trajektorie fazowe są spiralami. Kiedy \(\alfa stała ostrość. Odpowiednio dla \(\alfa > 0\) mamy niestabilna ostrość .

Kierunek skręcenia spiral można wyznaczyć poprzez znak współczynnika \((a_(21))\) w macierzy pierwotnej \(A.\). Rzeczywiście, rozważmy pochodną \(\large\frac((dy ))((dt))\normalsize, \) na przykład w punkcie \(\left((1,0) \right):\) \[\frac((dy))((dt))\left ((1,0) \right) = (a_ (21)) \cdot 1 + (a_(22)) \cdot 0 = (a_(21)).\] Dodatni współczynnik \((a_(21)) > 0\) odpowiada skręceniu spiral w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, jak pokazano na rysunku \(8.\) Dla \((a_(21))
Zatem biorąc pod uwagę kierunek skręcenia spiral, istnieje w sumie \(4\) różnych typów skupień. Pokazano je schematycznie na rysunkach \(8-11.\)

Jeśli wartości własne macierzy \(A\) są liczbami urojonymi, wówczas nazywa się to położenie równowagi Centrum. W przypadku macierzy z elementami rzeczywistymi urojone wartości własne będą sprzężeniem zespolonym. W przypadku centrum trajektorie fazowe są formalnie uzyskiwane z równania spiral w \(\alfa = 0\) i reprezentują elipsy, tj. opisują okresowy ruch punktu na płaszczyźnie fazowej. Położenia równowagi typu „centrum” są stabilne Lapunowa.

Możliwe są dwa rodzaje środka, różniące się kierunkiem ruchu punktów (rysunki \(12, 13\)). Podobnie jak w przypadku spiral, kierunek ruchu można wyznaczyć np. znakiem pochodnej \(\large\frac((dy))((dt))\normalsize\) w dowolnym punkcie. Jeśli weźmiemy punkt \(\left((1,0) \right),\) to \[\frac((dy))((dt))\left((1,0) \right) = (a_ (21 )).\] tj. kierunek obrotu wyznacza znak współczynnika \((a_(21)).\)

Więc przyjrzeliśmy się Różne rodzaje punkty równowagi w przypadku macierz nieosobliwa \(A\) \(\left((\det A \ne 0) \right).\) Biorąc pod uwagę kierunek trajektorii fazowych, istnieją \(13\) różne portrety fazowe, pokazane odpowiednio na rysunkach \(1-13.\)

Przejdźmy teraz do sprawy pojedyncza macierz \(A.\)

Macierz pojedyncza

Jeśli macierz jest liczbą pojedynczą, to ma jedną lub obie wartości własne równe zero. Możliwe są następujące szczególne przypadki:

Przypadek \((\lambda _1) \ne 0, (\lambda _2) = 0\).
Tutaj ogólne rozwiązanie jest zapisane jako \[\mathbf(X)\left(t \right) = (C_1)(e^((\lambda _1)t))(\mathbf(V)_1) + (C_2)( \ mathbf(V)_2),\] gdzie \((\mathbf(V)_1) = (\left(((V_(11)),(V_(21))) \right)^T),\) \ ((\mathbf(V)_2) = (\left(((V_(12)),(V_(22))) \right)^T),\) są wektorami własnymi odpowiadającymi liczbom \((\lambda _1 )\) i \((\lambda _2).\) Okazuje się, że w tym przypadku cała prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i skierowana wzdłuż wektora \((\mathbf(V)_2),\) składa się z punkty równowagi (te punkty nie mają specjalnej nazwy). Trajektorie fazowe to promienie równoległe do innego wektora własnego \((\mathbf(V)_1).\) W zależności od znaku \((\lambda _1)\), ruch w \(t \do \infty\) następuje albo w kierunku prostej \((\mathbf(V)_2)\) (ryc.\(14\)), lub od niej (ryc.\(15\)). Przypadek \((\lambda _1) = (\lambda _2) = 0, \dim \ker A = 2.\)
W tym przypadku wymiar podprzestrzeni własnej macierzy jest równy \(2\) i dlatego istnieją dwa wektory własne \((\mathbf(V)_1)\) i \((\mathbf(V )_2).\) Taka sytuacja jest możliwa przy macierz zerowa \(A.\) Wspólna decyzja wyraża się wzorem \[\mathbf(X)\left(t \right) = (C_1)(\mathbf(V)_1) + (C_2)(\mathbf(V)_2).\] Wynika z tego, że dowolna punkt na płaszczyźnie jest położeniem równowagi układu.

Przypadek \((\lambda _1) = (\lambda _2) = 0, \dim \ker A = 1.\)
Ten przypadek pojedynczej macierzy różni się od poprzedniego tym, że istnieje tylko \(1\) wektor własny (Macierz \(A\) w tym przypadku będzie niezerowy). Aby skonstruować bazę, jako drugi liniowo niezależny wektor można przyjąć wektor \((\mathbf(W)_1),\) dołączony do \((\mathbf(V)_1).\) Ogólne rozwiązanie równania system jest zapisywany jako \[\mathbf (X)\left(t \right) = \left(((C_1) + (C_2)t) \right)(\mathbf(V)_1) + (C_2)(\mathbf (W)_1).\] Tutaj wszystkie punkty linii prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i skierowanej wzdłuż wektora własnego \((\mathbf(V)_1),\) są niestabilnymi pozycjami równowagi. Trajektorie fazowe to linie proste równoległe do \((\mathbf(V)_1).\) Kierunek ruchu wzdłuż tych linii prostych w punkcie \(t \do \infty\) zależy od stałej \((C_2):\) w \(( C_2) 0\) - w przeciwnym kierunku (ryc.\(16\)).

Przypomnijmy to po którym następuje macierz jest liczbą równą sumie elementów przekątnych: \[ (A = \left((\begin(array)(*(20)(c)) ((a_(11)))&((a_(12) ))\\ ((a_(21)))&((a_(22))) \end(array)) \right),)\;\; (\text(tr)\,A = (a_(11)) + (a_(22)),)\;\; (\det A = (a_(11))(a_(22)) - (a_(12))(a_(21)).) \] Rzeczywiście, równanie charakterystyczne macierzy ma następującą postać: \[( \lambda ^2 ) - \left(((a_(11)) + (a_(22))) \right)\lambda + (a_(11))(a_(22)) - (a_(12))( a_(21) ) = 0.\] Można to zapisać poprzez wyznacznik i ślad macierzy: \[(\lambda ^2) - \text(tr)\,A \cdot \lambda + \det A = 0 .\] Wyróżnienie tego równanie kwadratowe jest określona przez relację \ Zatem, krzywa bifurkacji , wyznaczająca różne mody stabilności, jest parabolą na płaszczyźnie \(\left((\text(tr)\,A,\det A) \right)\) (Rys.\(17\)): \[\det A = (\left((\frac(\text(tr)\,A)(2)) \right)^2).\] Nad parabolą znajdują się punkty równowagi, takie jak ognisko i środek. Punkty typu „centrum” położone są na dodatniej półosi \(Oy,\) tj. pod warunkiem \(\text(tr)\,A = 0.\) Poniżej paraboli znajdują się punkty typu „węzeł” lub „siodło”. Sama parabola zawiera węzły krytyczne lub zdegenerowane.

Stabilne mody ruchu istnieją w lewej górnej ćwiartce diagramu bifurkacji. Pozostałe trzy ćwiartki odpowiadają niestabilnym położeniom równowagi.

Algorytm konstruowania portretu fazowego

Aby schematycznie skonstruować portret fazowy linii System autonomiczny\(2\)rząd ze stałymi współczynnikami \[ (\mathbf(X") = A\mathbf(X),)\;\; (A = \left((\begin(array)(*(20) ( c)) ((a_(11)))&((a_(12)))\\ ((a_(21)))&((a_(22))) \end(array)) \right), ) \;\; (\mathbf(X) = \left((\begin(array)(*(20)(c)) x\\ y \end(array)) \right)) \] musisz wykonać następujące czynności kroki :

    Znajdź wartości własne macierzy rozwiązując równanie charakterystyczne \[(\lambda ^2) - \left(((a_(11)) + (a_(22))) \right)\lambda + (a_(11) ))(a_( 22)) - (a_(12))(a_(21)) = 0.\]

    Określ rodzaj położenia równowagi i charakter stabilności.

    Uwaga: Rodzaj położenia równowagi można także wyznaczyć na podstawie diagramu bifurkacji (rys.\(17\)), znając ślad i wyznacznik macierzy: \[ (\text(tr)\,A = (a_( 11)) + (a_( 22)),)\;\; (\det A = \left| (\begin(tablica)(*(20)(c)) ((a_(11)))&((a_(12)))\\ ((a_(21))) &((a_(22))) \end(array)) \right| ) = ((a_(11))(a_(22)) - (a_(12))(a_(21)).) \]

    Znajdź równanie izoklina: \[ (\frac((dx))((dt)) = (a_(11))x + (a_(12))y)\;\; (\left(\text(isocline pionowa) \right),) \] \[ (\frac((dy))((dt)) = (a_(21))x + (a_(22))y)\ ;\; (\left(\text(izoklina pozioma) \right).) \]

    Jeżeli położenie równowagi jest węzeł lub , wówczas należy obliczyć wektory własne i narysować asymptoty równoległe do nich przechodzące przez początek układu współrzędnych.

    Narysuj schematycznie portret fazowy.

    Wskaż kierunek ruchu wzdłuż trajektorii fazowych (zależy to od stabilności lub niestabilności punktu równowagi). Gdy centrum należy określić kierunek skręcenia trajektorii. Można to zrobić obliczając wektor prędkości \(\left((\large\frac((dx))((dt))\normalsize,\large\frac((dy))((dt))\normalsize) \ prawo) \)w dowolnym punkcie, np. w punkcie \(\left((1,0) \right).\) W podobny sposób wyznacza się kierunek ruchu, jeśli położenie równowagi jest Centrum .

Opisany algorytm nie jest schematem sztywnym. Podczas badania konkretnego systemu różne odmiany i inne techniki są całkiem dopuszczalne, co ostatecznie umożliwia zobrazowanie portretu fazowego.

Dział mechaniki zajmujący się badaniem warunków równowagi ciał nazywa się statyką. Najłatwiej jest uwzględnić warunki równowagi bezwzględnie solidny, czyli taki korpus, którego wymiary i kształt można uznać za niezmienne. Pojęcie ciała absolutnie sztywnego jest abstrakcją, ponieważ wszystkie ciała rzeczywiste pod wpływem przyłożonych do nich sił ulegają w takim czy innym stopniu odkształceniu, to znaczy zmieniają swój kształt i rozmiar. Wielkość odkształceń zależy zarówno od sił działających na ciało, jak i od właściwości samego ciała – jego kształtu i właściwości materiału, z którego jest wykonane. W wielu praktycznych przypadkach odkształcenia są niewielkie i stosowanie koncepcji ciała absolutnie sztywnego jest uzasadnione.

Model ciała absolutnie sztywnego. Nie zawsze jednak niewielka wielkość odkształceń jest warunkiem wystarczającym, aby ciało można było uznać za całkowicie stałe. Aby to zilustrować, rozważmy następujący przykład. Deskę leżącą na dwóch podporach (ryc. 140a) można uznać za bryłę absolutnie sztywną, mimo że lekko ugina się pod wpływem siły ciężkości. Rzeczywiście w tym przypadku warunki równowagi mechanicznej umożliwiają określenie sił reakcji podpór bez uwzględnienia odkształcenia płyty.

Ale jeśli ta sama deska spoczywa na tych samych podporach (ryc. 1406), wówczas idea absolutnie sztywnego korpusu nie ma zastosowania. W rzeczywistości niech zewnętrzne podpory znajdą się na tej samej poziomej linii, a środkowe nieco niżej. Jeśli deska jest całkowicie solidna, czyli w ogóle się nie ugina, to w ogóle nie wywiera nacisku na podporę środkową.Jeśli deska się wygina, to naciska na podporę środkową i tym większe jest odkształcenie, tym jest silniejszy. Warunki

Równowaga ciała absolutnie sztywnego w tym przypadku nie pozwala nam określić sił reakcji podpór, ponieważ prowadzą one do dwóch równań dla trzech nieznanych wielkości.

Ryż. 140. Siły reakcji działające na deskę leżącą na dwóch (a) i trzech (b) podporach

Układy takie nazywane są statycznie niewyznaczalnymi. Aby je obliczyć, należy wziąć pod uwagę właściwości sprężyste ciał.

Powyższy przykład pokazuje, że o przydatności modelu ciała absolutnie sztywnego w statyce decydują nie tyle właściwości samego ciała, ile warunki, w jakich się ono znajduje. Zatem w rozważanym przykładzie nawet cienką słomkę można uznać za całkowicie solidne ciało, jeśli leży na dwóch podporach. Ale nawet bardzo sztywnej belki nie można uznać za absolutnie sztywny korpus, jeśli opiera się na trzech podporach.

Warunki równowagi. Warunki równowagi dla ciała absolutnie sztywnego to: szczególny przypadek równania dynamiczne, gdy nie ma przyspieszenia, chociaż historycznie statyka powstała z potrzeb sprzętu budowlanego prawie dwa tysiące lat przed dynamiką. W układ inercyjny punktu odniesienia, ciało sztywne znajduje się w równowadze, jeżeli suma wektorowa wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało i suma wektorów momentów tych sił jest równa zeru. Gdy spełniony jest pierwszy warunek, przyspieszenie środka masy ciała wynosi zero. Gdy spełniony jest drugi warunek, nie ma przyspieszenia kątowego obrotu. Dlatego jeśli w początkowej chwili ciało znajdowało się w spoczynku, to pozostanie w spoczynku dalej.

W dalszej części ograniczymy się do badania stosunkowo prostych systemów, w których wszystko siły aktywne leżeć w tej samej płaszczyźnie. W tym przypadku warunek wektorowy

redukuje się do dwóch skalarów:

jeśli ustawimy osie płaszczyzny działania sił. Niektóre siły zewnętrzne działające na ciało zawarte w warunkach równowagi (1) można określić, czyli znane są ich moduły i kierunki. Jeśli chodzi o siły reakcji połączeń lub podpór, które ograniczają możliwy ruch ciała, z reguły nie są one z góry określone i same podlegają określeniu. W przypadku braku tarcia siły reakcji są prostopadłe do powierzchni styku ciał.

Ryż. 141. Wyznaczanie kierunku sił reakcji

Siły reakcji. Czasem pojawiają się wątpliwości przy określeniu kierunku siły reakcji wiązania, jak np. na rys. 141, na którym widać pręt spoczywający w punkcie A na gładkiej wklęsłej powierzchni miseczki i w punkcie B na ostrej krawędzi miseczki.

Aby określić kierunek sił reakcji w tym przypadku, można mentalnie lekko poruszyć prętem, nie zakłócając jego kontaktu z panewką. Siła reakcji będzie skierowana prostopadle do powierzchni, po której przesuwa się punkt styku. Zatem w punkcie A siła reakcji działająca na pręt jest prostopadła do powierzchni kubka, a w punkcie B jest prostopadła do pręta.

Chwila mocy. Moment M siły względem pewnego punktu

nazywa się O produkt wektorowy wektor promienia poprowadzony od O do punktu przyłożenia siły do ​​wektora siły

Wektor M momentu siły jest prostopadły do ​​płaszczyzny, w której leżą wektory

Równanie momentów. Jeżeli na ciało działa kilka sił, wówczas w postaci zapisuje się drugi warunek równowagi związany z momentami sił

W takim przypadku należy wybrać punkt O, z którego zostaną wykreślone wektory promieni, wspólny dla wszystkich działających sił.

W przypadku płaskiego układu sił wektory momentów wszystkich sił są skierowane prostopadle do płaszczyzny, w której leżą te siły, jeśli momenty rozpatrywane są względem punktu leżącego w tej samej płaszczyźnie. Dlatego warunek wektorowy (4) dla momentów sprowadza się do jednego skalarnego: w położeniu równowagi algebraiczna suma momentów wszystkich działających sił zewnętrznych jest równa zeru. Moduł momentu siły względem punktu O jest równy iloczynowi modułu

siły w odległości od punktu O do linii, wzdłuż której działa siła.W tym przypadku momenty zmierzające do obrotu ciała zgodnie z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy tym samym znakiem, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara - znakiem przeciwnym. Wyboru punktu, względem którego uwzględniane są momenty sił, dokonuje się wyłącznie ze względów wygody: równanie momentów będzie prostsze, im więcej sił będzie miało momenty równe zeru.

Przykład równowagi. Aby zilustrować zastosowanie warunków równowagi ciała absolutnie sztywnego, rozważmy następujący przykład. Lekka drabina składa się z dwóch identycznych części, zawiasowych u góry i przewiązanych liną u podstawy (ryc. 142). Ustalmy, jaka jest siła naciągu liny, z jakimi siłami współdziałają połówki drabiny w zawiasie i z jakimi siłami naciskają na podłogę, jeśli na środku jednej z nich stoi osoba o wadze R.

Rozważany układ składa się z dwóch ciał stałych - połówek drabiny, a warunki równowagi można zastosować zarówno do układu jako całości, jak i jego części. Stosując warunki równowagi dla całego układu jako całości, można znaleźć siły reakcji podłogi i (rys. 142). W przypadku braku tarcia siły te skierowane są pionowo w górę i warunek, aby suma wektorów sił zewnętrznych była równa zeru (1) przyjmuje postać

Warunek równowagi momentów sił zewnętrznych względem punktu A zapisuje się następująco:

gdzie jest długość schodów, kąt utworzony przez schody z podłogą. Rozwiązując układ równań (5) i (6), znajdujemy

Ryż. 142. Suma wektorów sił zewnętrznych i suma momentów sił zewnętrznych w równowadze są równe zero

Oczywiście zamiast równania momentów (6) względem punktu A można by napisać równanie momentów względem punktu B (lub dowolnego innego punktu). W rezultacie otrzymalibyśmy układ równań równoważny stosowanemu układowi (5) i (6).

Siła naciągu liny i siła oddziaływania w zawiasie dla rozważanych układ fizyczny są wewnętrzne i dlatego nie można ich określić na podstawie warunków równowagi całego układu jako całości. Aby wyznaczyć te siły należy uwzględnić warunki równowagi poszczególnych części układu. W której

trafnie wybierając punkt, względem którego sporządzane jest równanie momentów sił, można osiągnąć uproszczenie system algebraiczny równania. I tak np. w tym układzie możemy uwzględnić warunek równowagi momentów sił działających na lewą połowę schodów względem punktu C, w którym znajduje się zawias.

Przy takim wyborze punktu C siły działające w zawiasie nie zostaną uwzględnione w tym warunku i od razu znajdziemy siłę naciągu liny T:

gdzie, biorąc pod uwagę, że otrzymujemy

Warunek (7) oznacza, że ​​wypadkowa sił T przechodzi przez punkt C, czyli jest skierowana wzdłuż schodów. Dlatego równowaga tej połowy drabiny jest możliwa tylko wtedy, gdy siła działająca na nią na zawiasie jest skierowana również wzdłuż drabiny (ryc. 143), a jej moduł jest równy modułowi sił wypadkowych T i

Ryż. 143. Linie działania wszystkich trzech sił działających na lewą połowę schodów przechodzą przez jeden punkt

Bezwzględna wartość siły działającej w zawiasie drugiej połowy drabiny, zgodnie z trzecią zasadą Newtona, jest równa, a jej kierunek jest przeciwny do kierunku wektora. Kierunek siły można wyznaczyć bezpośrednio z rys. 143, biorąc pod uwagę, że gdy ciało znajduje się w równowadze pod działaniem trzech sił, linie działania tych sił przecinają się w jednym punkcie. Rzeczywiście, rozważmy punkt przecięcia linii działania dwóch z tych trzech sił i skonstruujmy równanie momentów wokół tego punktu. Momenty dwóch pierwszych sił względem tego punktu są równe zeru; Oznacza to, że moment trzeciej siły również musi być równy zeru, co zgodnie z (3) jest możliwe tylko wtedy, gdy linia jej działania również przechodzi przez ten punkt.

Złota zasada mechaniki. Czasami problem statyki można rozwiązać w ogóle nie uwzględniając warunków równowagi, ale stosując zasadę zachowania energii w odniesieniu do mechanizmów bez tarcia: żaden mechanizm nie daje zysku w pracy. To prawo

zwana złotą zasadą mechaniki. Aby zilustrować to podejście, rozważmy następujący przykład: duży ładunek o masie P jest zawieszony na nieważkim zawiasie z trzema ogniwami (ryc. 144). Jaką siłę rozciągającą musi wytrzymać gwint łączący punkty A i B?

Ryż. 144. Wyznaczenie siły naciągu gwintu w zawiasie trójwahaczowym przenoszącym obciążenie ciężarem P

Spróbujmy za pomocą tego mechanizmu podnieść ładunek P. Po odwiązaniu nitki w punkcie A podciągnij ją do góry tak, aby punkt B powoli uniósł się na pewną odległość. Odległość ta jest ograniczona tym, że siła naciągu nitki T musi pozostać niezmieniona podczas ruchu. W tym przypadku, jak wynika z odpowiedzi, siła T w ogóle nie zależy od tego, jak bardzo zawias jest ściśnięty lub rozciągnięty. Praca skończona. W rezultacie obciążenie P wzrasta do wysokości, która jak wynika z rozważań geometrycznych, jest równa Ponieważ przy braku tarcia nie występują straty energii, można argumentować, że zmiana energii potencjalnej obciążenia jest określona przez pracę wykonaną podczas podnoszenia. Dlatego

Oczywiście dla zawiasu zawierającego dowolną liczbę identycznych ogniw,

Znalezienie siły naciągu gwintu nie jest trudne, a w przypadku konieczności uwzględnienia ciężaru samego zawiasu, pracę wykonaną podczas podnoszenia należy przyrównać do sumy zmian energii potencjalnych obciążenie i zawias. W przypadku zawiasu o identycznych ogniwach jego środek masy wzrasta o Dlatego

Sformułowana zasada („ złota zasada mechanika”) ma zastosowanie również wtedy, gdy w procesie ruchu nie następuje zmiana energii potencjalnej, a mechanizm służy do przekształcania siły. Przekładnie, przekładnie, bramy, układy dźwigni i bloków – we wszystkich tego typu układach siłę przekształconą można wyznaczyć poprzez przyrównanie pracy sił przekształconych i przyłożonych. Innymi słowy, przy braku tarcia, stosunek tych sił zależy jedynie od geometrii urządzenia.

Rozważmy z tego punktu widzenia omówiony powyżej przykład z drabiną. Oczywiście używanie drabiny jako mechanizmu podnoszącego, czyli podnoszenie osoby poprzez zbliżenie do siebie połówek drabiny, jest mało wskazane. Nie przeszkadza to jednak w zastosowaniu opisanej metody do wyznaczania siły naciągu liny. Przyrównanie pracy wykonanej podczas połączenia części drabiny ze zmianą energii potencjalnej osoby na drabinie oraz, z rozważań geometrycznych, powiązanie ruchu dolnego końca drabiny ze zmianą wysokości ładunku (Rys. 145) otrzymujemy, jak można się spodziewać, podany wcześniej wynik:

Jak już wspomniano, ruch należy dobrać tak, aby podczas procesu działającą siłę można było uznać za stałą. Łatwo zauważyć, że w przykładzie z zawiasem warunek ten nie nakłada ograniczeń ruchu, ponieważ siła naciągu nici nie zależy od kąta (ryc. 144). I odwrotnie, w przypadku drabiny schodkowej należy dobrać małe przemieszczenie, ponieważ siła naciągu liny zależy od kąta a.

Stabilność równowagi. Równowaga może być stabilna, niestabilna i obojętna. Równowaga jest stabilna (ryc. 146a), jeśli przy niewielkich ruchach ciała z położenia równowagi działające siły mają tendencję do przywracania go z powrotem, i niestabilna (ryc. 1466), jeśli siły oddalają je od położenia równowagi.

Ryż. 145. Ruchy dolnych końców drabiny i ruch ładunku w przypadku połączenia połówek drabiny

Ryż. 146. Równowagi stabilne (a), niestabilne (b) i obojętne (c).

Jeżeli przy małych przemieszczeniach siły działające na ciało i ich momenty są nadal zrównoważone, wówczas równowaga jest obojętna (ryc. 146c). W równowadze obojętnej równowagą są także sąsiednie pozycje ciała.

Rozważmy przykłady badania stabilności równowagi.

1. Stabilna równowaga odpowiada minimalnej energii potencjalnej ciała w stosunku do jej wartości w sąsiednich pozycjach ciała. Właściwość ta jest często wygodna w użyciu przy znajdowaniu położenia równowagi i badaniu natury równowagi.

Ryż. 147. Stabilność równowagi ciała i położenie środka masy

Pionowa wolnostojąca kolumna znajduje się w stabilnej równowadze, ponieważ przy małych nachyleniach jej środek masy podnosi się. Dzieje się tak do momentu, gdy rzut pionowy środka masy wyjdzie poza powierzchnię podparcia, czyli kąt odchylenia od pionu nie przekroczy określonej wartości maksymalnej. Innymi słowy, obszar stabilności rozciąga się od minimalnej energii potencjalnej (w pozycji pionowej) do najbliższego jej maksimum (ryc. 147). Gdy środek masy znajduje się dokładnie nad granicą obszaru podparcia, kolumna również znajduje się w równowadze, ale jest niestabilna. Kolumna leżąca poziomo odpowiada znacznie szerszemu zakresowi stabilności.

2. Istnieją dwa okrągłe ołówki z promieniami. Jeden z nich jest umieszczony poziomo, drugi jest na nim zrównoważony w pozycji poziomej, tak aby osie ołówków były wzajemnie prostopadłe (ryc. 148a). Przy jakim stosunku promieni równowaga jest stabilna? Pod jakim maksymalnym kątem można odchylić górny ołówek od poziomu? Współczynnik tarcia ołówków o siebie jest równy

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że równowaga górnego ołówka jest ogólnie niestabilna, ponieważ środek masy górnego ołówka leży powyżej osi, wokół której może się obracać. Jednak tutaj położenie osi obrotu nie pozostaje niezmienione, więc ten przypadek wymaga specjalnego zbadania. Ponieważ górny ołówek jest wyważony w pozycji poziomej, środki masy ołówków leżą na tej pionie (ryc.).

Przechylmy górny ołówek pod pewnym kątem od poziomu. W przypadku braku tarcia statycznego natychmiast zsunąłby się w dół. Aby na razie nie myśleć o możliwym poślizgu, założymy, że tarcie jest dość duże. W takim przypadku górny ołówek „przetacza się” po dolnym bez poślizgu. Punkt podparcia z pozycji A przesuwa się do nowej pozycji C, a punkt, w którym górny ołówek spoczywał na dolnym przed odchyleniem

przechodzi do pozycji B. Ponieważ nie ma poślizgu, długość łuku jest równa długości odcinka

Ryż. 148. Górny ołówek balansuje poziomo na dolnym ołówku (a); do badania stabilności równowagi (b)

Środek masy górnego ołówka przesuwa się do pozycji . Jeśli pionowa linia przechodzi na lewo od nowego punktu podparcia C, wówczas grawitacja ma tendencję do przywracania górnego ołówka do pozycji równowagi.

Wyraźmy ten warunek matematycznie. Rysując linię pionową przez punkt B, widzimy, że warunek musi być spełniony

Ponieważ z warunku (8) otrzymujemy

Ponieważ siła grawitacji będzie miała tendencję do przywracania górnego ołówka do pozycji równowagi tylko w Dlatego stabilna równowaga górnego ołówka na dolnym jest możliwa tylko wtedy, gdy jego promień jest mniejszy niż promień dolnego ołówka.

Rola tarcia. Aby odpowiedzieć na drugie pytanie, należy dowiedzieć się, jakie przyczyny ograniczają dopuszczalny kąt odchylenia. Po pierwsze, przy dużych kątach odchylenia pion poprowadzony przez środek masy górnego ołówka może przejść na prawo od punktu podparcia C. Z warunku (9) wynika, że ​​dla danego stosunku promieni ołówków maksymalny kąt odchylenia

Czy warunki równowagi ciała sztywnego są zawsze wystarczające do określenia sił reakcji?

Jak w praktyce określić kierunek sił reakcji przy braku tarcia?

Jak można wykorzystać złotą zasadę mechaniki przy analizie warunków równowagi?

Jeżeli w zawiasie pokazanym na rys. 144, połącz nitką nie punkty A i B, ale punkty A i C, jaka będzie wówczas jego siła naciągu?

Jak stabilność równowagi układu jest powiązana z jego energią potencjalną?

Jakie warunki określają maksymalny kąt odchylenia ciała spoczywającego na płaszczyźnie w trzech punktach, aby nie utracić stateczności?

Aby ocenić zachowanie ciała w warunkach rzeczywistych, nie wystarczy wiedzieć, że znajduje się ono w równowadze. Musimy jeszcze ocenić tę równowagę. Istnieje równowaga stabilna, niestabilna i obojętna.

Równowaga ciała nazywana jest zrównoważony, jeżeli po odchyleniu od niego pojawią się siły, które przywracają ciało do pozycji równowagi (ryc. 1 pozycja 2). W stabilnej równowadze środek ciężkości ciała zajmuje najniższe ze wszystkich pobliskich położeń. Położenie równowagi stabilnej wiąże się z minimalną energią potencjalną w stosunku do wszystkich sąsiadujących ze sobą położeń ciała.

Równowaga ciała nazywana jest nietrwały, jeżeli przy najmniejszym odchyleniu od niej wypadkowa sił działających na ciało powoduje dalsze odchylenie ciała od położenia równowagi (rys. 1, poz. 1). W niestabilnej pozycji równowagi wysokość środka ciężkości jest maksymalna, a energia potencjalna jest maksymalna w stosunku do innych bliskich pozycji ciała.

Równowaga, w której przemieszczenie ciała w dowolnym kierunku nie powoduje zmiany działających na nie sił, a równowaga ciała zostaje zachowana, nazywa się obojętny(Rys. 1 pozycja 3).

Równowaga obojętna związana jest ze stałą energią potencjalną wszystkich stanów bliskich, a wysokość środka ciężkości jest taka sama we wszystkich wystarczająco bliskich pozycjach.

Ciało posiadające oś obrotu (na przykład jednolita linijka, która może obracać się wokół osi przechodzącej przez punkt O, pokazanej na rysunku 2) znajduje się w równowadze, jeśli pionowa linia prosta przechodząca przez środek ciężkości ciała przechodzi przez oś obrotu. Ponadto, jeżeli środek ciężkości C znajduje się wyżej od osi obrotu (rys. 2.1), to przy każdym odchyleniu od położenia równowagi energia potencjalna maleje, a moment ciężkości względem osi O odchyla ciało dalej od położenia równowagi pozycja równowagi. Jest to niestabilna pozycja równowagi. Jeśli środek ciężkości znajduje się poniżej osi obrotu (ryc. 2.2), wówczas równowaga jest stabilna. Jeżeli środek ciężkości i oś obrotu pokrywają się (ryc. 2,3), wówczas położenie równowagi jest obojętne.

Ciało posiadające powierzchnię podparcia znajduje się w równowadze, jeśli linia pionowa przechodząca przez środek ciężkości ciała nie wychodzi poza powierzchnię podparcia tego ciała, tj. poza obrys utworzony przez punkty styku ciała z podporą. Równowaga w tym przypadku zależy nie tylko od odległości środka ciężkości od podpory (czyli od jej energii potencjalnej w polu grawitacyjnym Ziemi), ale także od lokalizacji i wielkości obszaru podparcia tego ciała.

Rysunek 2 przedstawia korpus w kształcie cylindra. Jeśli zostanie pochylone pod małym kątem, powróci do pierwotnej pozycji 1 lub 2. Jeśli zostanie pochylone pod kątem (pozycja 3), korpus się przewróci. Dla danej masy i powierzchni podparcia stabilność ciała jest tym większa, im niżej położony jest jego środek ciężkości, tj. im mniejszy jest kąt pomiędzy prostą łączącą środek ciężkości nadwozia a skrajnym punktem styku powierzchni podparcia z płaszczyzną poziomą.

W statyce ciała absolutnie sztywnego wyróżnia się trzy rodzaje równowagi.

1. Rozważmy piłkę leżącą na wklęsłej powierzchni. W pozycji pokazanej na rys. 88, kula jest w równowadze: siła reakcji podpory równoważy siłę ciężkości .

Jeśli kula zostanie odchylona od położenia równowagi, wówczas suma wektorów sił ciężkości i reakcji podpory nie jest już równa zeru: powstaje siła , co ma tendencję do przywracania piłki do pierwotnej pozycji równowagi (do punktu O).

To jest przykład stabilnej równowagi.

S u t i a n Nazywa się ten rodzaj równowagi, po wyjściu powstają siły lub momenty sił, które mają tendencję do przywracania ciała do pozycji równowagi.

Energia potencjalna kuli w dowolnym punkcie wklęsłej powierzchni jest większa niż energia potencjalna w położeniu równowagi (w punkcie O). Na przykład w punkcie A(Rys. 88) energia potencjalna jest większa niż energia potencjalna w punkcie O według kwoty mi P ( A) - E n(0) = mgh.

W pozycji stabilnej równowagi energia potencjalna ciała ma minimalną wartość w porównaniu z sąsiednimi pozycjami.

2. Kula na wypukłej powierzchni znajduje się w położeniu równowagi w górnym punkcie (rys. 89), gdzie siła ciężkości równoważy się siłą reakcji podpory. Jeśli odbijesz piłkę od punktu O, wówczas pojawia się siła skierowana od położenia równowagi.

Pod wpływem siły piłka odsunie się od punktu O. Jest to przykład niestabilnej równowagi.

Nietrwały Ten rodzaj równowagi nazywany jest, po wyjściu, które powstają siły lub momenty sił, które mają tendencję do jeszcze większego oddalania ciała od pozycji równowagi.

Energia potencjalna kuli na wypukłej powierzchni wynosi najwyższa wartość(maksimum) w punkcie O. W każdym innym punkcie energia potencjalna piłki jest mniejsza. Na przykład w punkcie A(Rys. 89) energia potencjalna jest mniejsza niż w punkcie O, według kwoty mi P ( 0 ) - E p ( A) = mgh.

W niestabilnej pozycji równowagi energia potencjalna ciała ma maksymalną wartość w porównaniu z sąsiednimi pozycjami.

3. Na poziomej powierzchni siły działające na piłkę równoważą się w dowolnym punkcie: (ryc. 90). Jeśli na przykład przesuniesz piłkę z punktu O Dokładnie A, a następnie wypadkowa siła
grawitacja i reakcja gruntu nadal wynoszą zero, tj. w punkcie A piłka również znajduje się w położeniu równowagi.

Jest to przykład równowagi obojętnej.

Obojętny Nazywa się ten rodzaj równowagi, po wyjściu z którego ciało pozostaje w nowej pozycji równowagi.

Energia potencjalna piłki we wszystkich punktach powierzchni poziomej (ryc. 90) jest taka sama.

W pozycjach równowagi obojętnej energia potencjalna jest taka sama.

Czasami w praktyce konieczne jest określenie rodzaju równowagi ciał różne kształty w polu grawitacji. Aby to zrobić, musisz pamiętać następujące zasady:

1. Ciało może znajdować się w położeniu stabilnej równowagi, jeśli punkt przyłożenia siły reakcji podłoża znajduje się powyżej środka ciężkości ciała. Co więcej, punkty te leżą na tej samej pionie (ryc. 91).

Na ryc. 91, B Rolę siły reakcji podpory pełni siła naciągu nici.

2. Jeżeli punkt przyłożenia siły reakcji podłoża znajduje się poniżej środka ciężkości, możliwe są dwa przypadki:

Jeśli podpora ma charakter punktowy (powierzchnia podpory jest niewielka), wówczas równowaga jest niestabilna (ryc. 92). Przy niewielkim odchyleniu od położenia równowagi moment siły ma tendencję do zwiększania odchylenia od położenia początkowego;

Jeżeli podpora nie jest punktowa (powierzchnia podpory jest duża), wówczas położenie równowagi jest stabilne w przypadku, gdy linia działania ciężkości AA" przecina powierzchnię podpory ciała
(ryc. 93). W tym przypadku przy niewielkim odchyleniu ciała od położenia równowagi pojawia się moment siły i, który przywraca ciało do pierwotnego położenia.


??? ODPOWIEDZ NA PYTANIA:

1. Jak zmienia się położenie środka ciężkości ciała, jeśli ciało zostanie wyprowadzone z położenia: a) równowagi stabilnej? b) równowaga niestabilna?

2. Jak zmienia się energia potencjalna ciała, jeśli zmienia się jego położenie w równowadze obojętnej?