Ustawianie układów nierówności w dwóch zmiennych. Podsumowanie lekcji „Rozwiązywanie układów nierówności z dwiema zmiennymi”. Układy zbiorów nierówności z dwiema zmiennymi

Nierówność z dwiema zmiennymix i y nazywamy nierównością postaci:

(lub znak)

gdzie jest wyrażeniem z tymi zmiennymi.

Decyzją nierówności dwóch zmiennych wywołują uporządkowaną parę liczb w taki sposób, że nierówność staje się prawdziwa nierówność liczbowa.

Rozwiąż nierówność- oznacza znalezienie zbioru wszystkich jego rozwiązań. Rozwiązaniem nierówności dwóch zmiennych jest pewien zbiór punktów płaszczyzna współrzędnych.

Główną metodą rozwiązywania tych nierówności jest graficzny metoda. Polega na narysowaniu linii granicznych (jeśli nierówność jest ostra, linia jest rysowana linią przerywaną). Równanie brzegowe otrzymamy, jeśli w danej nierówności znak nierówności zastąpimy znakiem równości. Wszystkie linie razem dzielą płaszczyznę współrzędnych na części. Wymagany zbiór punktów odpowiadający danej nierówności lub układowi nierówności można wyznaczyć poprzez przyjęcie punktu kontrolnego wewnątrz każdego regionu regionu.

Zbiór nierówności z dwiema zmiennymi ma postać

Rozwiązaniem dla populacji jest suma wszystkich rozwiązań nierówności.

Przykład 1. Rozwiąż system

Rozwiązanie. Wbudujmy system Ooo odpowiednie linie (ryc. 19):

Równanie definiuje okrąg o środku w O¢(0; 1) i R = 2.

Równanie definiuje parabolę z wierzchołkiem w O(0; 0).

Znajdźmy rozwiązania każdej z nierówności zawartych w układzie. Pierwsza nierówność dotyczy pola wewnątrz okręgu i samego okręgu (o słuszności tej przekonamy się, jeśli pod nierówność podstawimy współrzędne dowolnego punktu z tego obszaru). Druga nierówność odpowiada obszarowi znajdującemu się pod parabolą.

Rozwiązaniem układu jest przecięcie dwóch wskazanych obszarów (pokazane na rys. 19 poprzez nałożenie dwóch kreskowań).

Zadania

Poziomuję

1.1. Rozwiąż graficznie:

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

Poziom II

2.1. Rozwiąż graficznie:

1) 2)

2.2. Znajdź liczbę rozwiązań całkowitych układu:

1) 2) 3)

2.3. Znajdź wszystkie rozwiązania całkowite układu:

1) 2)

Rozwiązywanie nierówności dwóch zmiennych, a tym bardziej układy nierówności z dwiema zmiennymi, wydaje się być dość trudnym zadaniem. Istnieje jednak prosty algorytm, który pomaga łatwo i bez wysiłku rozwiązać pozornie bardzo złożone zadania tego rodzaju. Spróbujmy to rozgryźć.

Załóżmy nierówność z dwiema zmiennymi jednego z następujących typów:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Aby zobrazować zbiór rozwiązań takiej nierówności na płaszczyźnie współrzędnych, wykonaj następujące czynności:

1. Budujemy wykres funkcji y = f(x), która dzieli płaszczyznę na dwa obszary.

2. Wybieramy dowolny z powstałych obszarów i rozważamy w nim dowolny punkt. Sprawdzamy wykonalność pierwotnej nierówności dla tego punktu. Jeżeli w wyniku testu zostanie wykryta poprawna nierówność liczbowa, to stwierdzamy, że pierwotna nierówność jest spełniona w całym obszarze, do którego należy wybrany punkt. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest obszar, do którego należy wybrany punkt. Jeżeli wynikiem sprawdzenia będzie błędna nierówność liczbowa, wówczas zbiorem rozwiązań nierówności będzie drugi obszar, do którego wybrany punkt nie należy.

3. Jeżeli nierówność jest ścisła, to granice obszaru, czyli punkty wykresu funkcji y = f(x), nie są uwzględniane w zbiorze rozwiązań, a granicę zaznacza się linią przerywaną. Jeżeli nierówność nie jest ścisła, wówczas granice obszaru, czyli punkty wykresu funkcji y = f(x), włącza się do zbioru rozwiązań tej nierówności i w tym przypadku przedstawia się granicę jako linia ciągła.
Przyjrzyjmy się teraz kilku problemom związanym z tym tematem.

Zadanie 1.

Jaki zbiór punktów wynika z nierówności x · y ≤ 4?

Rozwiązanie.

1) Budujemy wykres równania x · y = 4. W tym celu najpierw go przekształcamy. Oczywiście x w tym przypadku nie zmienia się na 0, ponieważ w przeciwnym razie mielibyśmy 0 · y = 4, co jest błędne. Oznacza to, że możemy podzielić nasze równanie przez x. Otrzymujemy: y = 4/x. Wykres tej funkcji jest hiperbolą. Dzieli całą płaszczyznę na dwa obszary: ten pomiędzy dwoma gałęziami hiperboli i ten znajdujący się poza nimi.

2) Wybierzmy dowolny punkt z pierwszego obszaru, niech będzie to punkt (4; 2).
Sprawdźmy nierówność: 4 · 2 ≤ 4 – fałsz.

Oznacza to, że punkty tego obszaru nie spełniają pierwotnej nierówności. Można wówczas stwierdzić, że zbiorem rozwiązań nierówności będzie drugi obszar, do którego wybrany punkt nie należy.

3) Ponieważ nierówność nie jest ścisła, punkty graniczne, czyli punkty wykresu funkcji y = 4/x, rysujemy linią ciągłą.

Pokolorujmy zbiór punktów definiujący pierwotną nierówność, żółty (ryc. 1).

Zadanie 2.

Narysuj obszar zdefiniowany na płaszczyźnie współrzędnych przez układ
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Rozwiązanie.

Na początek budujemy wykresy następujących funkcji (ryc. 2):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – linia prosta

x 2 + y 2 = 9 – okrąg.

1) y > x 2 + 2.

Bierzemy punkt (0; 5), który leży nad wykresem funkcji.
Sprawdźmy nierówność: 5 > 0 2 + 2 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej danej paraboli y = x 2 + 2 spełniają pierwszą nierówność układu. Pomalujmy je na żółto.

2) y + x > 1.

Bierzemy punkt (0; 3), który leży nad wykresem funkcji.
Sprawdźmy nierówność: 3 + 0 > 1 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej prostej y + x = 1 spełniają drugą nierówność układu. Pomalujmy je zielonym cieniowaniem.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Weźmy punkt (0; -4), który leży poza okręgiem x 2 + y 2 = 9.
Sprawdźmy nierówność: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – niepoprawna.

Dlatego wszystkie punkty leżące poza okręgiem x 2 + y 2 = 9, nie spełniają trzeciej nierówności układu. Możemy wtedy stwierdzić, że wszystkie punkty leżące wewnątrz okręgu x 2 + y 2 = 9 spełniają trzecią nierówność układu. Pomalujmy je fioletowym cieniowaniem.

Nie zapominaj, że jeśli nierówność jest ścisła, wówczas odpowiednią linię graniczną należy narysować linią przerywaną. Otrzymujemy następujący obraz (ryc. 3).

(ryc. 4).

Zadanie 3.

Narysuj obszar zdefiniowany na płaszczyźnie współrzędnych przez układ:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Rozwiązanie.

Na początek budujemy wykresy następujących funkcji:

x 2 + y 2 = 16 – okrąg,

x = -y – linia prosta

x 2 + y 2 = 4 – okrąg (ryc. 5).

Przyjrzyjmy się teraz każdej nierówności osobno.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Weźmy punkt (0; 0), który leży wewnątrz okręgu x 2 + y 2 = 16.
Sprawdźmy nierówność: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – prawda.

Zatem wszystkie punkty leżące wewnątrz okręgu x 2 + y 2 = 16 spełniają pierwszą nierówność układu.
Pomalujmy je czerwonym cieniowaniem.

Bierzemy punkt (1; 1), który leży nad wykresem funkcji.
Sprawdźmy nierówność: 1 ≥ -1 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej prostej x = -y spełniają drugą nierówność układu. Pomalujmy je niebieskim cieniowaniem.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Weźmy punkt (0; 5), który leży poza okręgiem x 2 + y 2 = 4.
Sprawdźmy nierówność: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące poza okręgiem x 2 + y 2 = 4 spełniają trzecią nierówność układu. Pomalujmy je na niebiesko.

W tym zadaniu wszystkie nierówności nie są ścisłe, co oznacza, że wszystkie granice rysujemy linią ciągłą. Otrzymujemy następujący obraz (ryc. 6).

Obszar wyszukiwania to obszar, w którym wszystkie trzy kolorowe obszary przecinają się ze sobą (Rysunek 7).

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązać układ nierówności z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Nierówności z dwiema zmiennymi i ich układy Lekcja 1

Nierówności z dwiema zmiennymi Nierówności 3x – 4 lata  0; i są nierównościami z dwiema zmiennymi x i y. Rozwiązaniem nierówności dwóch zmiennych jest para wartości zmiennych, która zamienia ją w prawdziwą nierówność numeryczną. Dla x = 5 i y = 3 nierówność 3x - 4y  0 zamienia się w poprawną nierówność liczbową 3  0. Rozwiązaniem tej nierówności jest para liczb (5;3). Para liczb (3;5) nie jest jej rozwiązaniem.

Czy para liczb (-2; 3) jest rozwiązaniem nierówności: nr 482 (b, c) Nie Jest

Rozwiązaniem nierówności jest para uporządkowana liczby rzeczywiste, co zamienia tę nierówność w prawdziwą nierówność liczbową. Graficznie odpowiada to określeniu punktu na płaszczyźnie współrzędnych. Rozwiązanie nierówności oznacza znalezienie wielu rozwiązań.

Nierówności z dwiema zmiennymi mają postać: Zbiór rozwiązań nierówności to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych spełniających daną nierówność.

Zestawy rozwiązań nierówności F(x,y) ≥ 0 x y F(x,y)≤0 x y

F(x, y)>0 F(x, y)

Reguła punktu próbnego Konstrukcja F(x ; y)=0 Biorąc punkt próbny z dowolnego obszaru, określ, czy jego współrzędne są rozwiązaniem nierówności Wyciągnij wniosek o rozwiązaniu nierówności x y 1 1 2 A(1;2) F (x; y) =0

Nierówności liniowe z dwiema zmiennymi Nierówność liniowa z dwiema zmiennymi nazywa się nierównością postaci ax + bx +c  0 lub ax + bx +c

Znajdź błąd! nr 484 (b) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Rozwiąż graficznie nierówność: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Rysujemy wykresy liniami ciągłymi:

Wyznaczmy znak nierówności w każdym z obszarów -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór punktów z obszarów zawierających znak plus i rozwiązania równania -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +

Rozwiążmy wspólnie nr 485 (b) nr 486 (b, d) nr 1. Ustaw nierówność i narysuj na płaszczyźnie współrzędnych zbiór punktów, dla których: a) odcięta jest większa od rzędnej; b) suma odciętej i rzędnej jest większa niż ich podwójna różnica.

Rozwiążmy wspólnie nr 2. Zdefiniujmy przez nierówność otwartą półpłaszczyznę znajdującą się nad prostą AB przechodzącą przez punkty A(1;4) i B(3;5). Odpowiedź: y  0,5x +3,5 Nie. 3. Dla jakich wartości b zbiór rozwiązań nierówności 3x – b y + 7  0 reprezentuje otwartą półpłaszczyznę umieszczoną nad prostą 3x – b y + 7 = 0. Odpowiedź: b  0.

Zadanie domowe s. 21, nr 483; nr 484(c,d); nr 485(a); nr 486(c).

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Nierówności z dwiema zmiennymi i ich układami Lekcja 2

Układy nierówności z dwiema zmiennymi

Rozwiązaniem układu nierówności z dwiema zmiennymi jest para wartości zmiennych, która zamienia każdą z nierówności układu w prawdziwą nierówność numeryczną. Nr 1. Narysuj zbiór rozwiązań układów nierówności. Nr 496 (ustnie)

a) x y 2 2 x y 2 2 b)

Rozwiążmy wspólnie nr 1. Przy jakich wartościach k układ nierówności definiuje trójkąt na płaszczyźnie współrzędnych? Odpowiedź: 0

Rozwiązujemy razem x y 2 2 2 2 nr 2. Rysunek przedstawia trójkąt o wierzchołkach A(0;5), B(4;0), C(1;-2), D(-4;2). Zdefiniuj ten czworobok za pomocą układu nierówności. A B C D

Rozwiążmy wspólnie nr 3. Dla jakiego k i b jest zbiorem punktów płaszczyzny współrzędnych określonych przez układ nierówności: a) pas; b) kąt; c) zbiór pusty. Odpowiedź: a) k= 2,b  3; b) k ≠ 2, b – dowolna liczba; c) k = 2; B

Rozwiążmy razem liczbę 4. Jaką liczbę podaje równanie? (ustnie) 1) 2) 3) Nie 5. Narysuj na płaszczyźnie współrzędnych zbiór rozwiązań punktów określonych przez nierówność.

Rozwiążmy razem nr 497 (c, d), 498 (c)

Zadanie domowe s. 22 nr 496, nr 497 (a, b), nr 498 (a, b), nr 504.

Zapowiedź:

Aby skorzystać z podglądu prezentacji utwórz konto Google i zaloguj się na nie: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Nierówności z dwiema zmiennymi i ich układami Lekcja 3

Znajdź błąd! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4

Znajdź błąd! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2

Określ nierówność 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Określ nierówność

0 - 3 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 Określ znak nierówności ≤

Rozwiąż graficznie układ nierówności -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1

Nierówności i systemy nierówności wyższe stopnie z dwiema zmiennymi nr 1. Narysuj na płaszczyźnie współrzędnych zbiór punktów określonych układem nierówności

Nierówności i układy nierówności wyższych stopni z dwiema zmiennymi nr 2. Narysuj na płaszczyźnie współrzędnych zbiór punktów określonych przez układ nierówności

Nierówności i układy nierówności wyższych stopni z dwiema zmiennymi nr 3. Narysuj na płaszczyźnie współrzędnych zbiór punktów określonych przez układ nierówności. Pierwszą nierówność układu przekształćmy:

Nierówności i układy nierówności wyższego stopnia z dwiema zmiennymi Otrzymujemy układ równoważny

Nierówności i układy nierówności wyższych stopni z dwiema zmiennymi nr 4. Narysuj na płaszczyźnie współrzędnych zbiór punktów określonych przez układ nierówności

Zdecydujmy wspólnie nr 502 Kolekcja Galitsky'ego. nr 9,66 b) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 lata x - 3 - 2 1 -3 4

. Nr 9.66(c) Rozwiążcie razem 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2

Rozwiązujemy razem nr 9,66(g) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y|

Rozwiąż nierówność: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1

0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Zapisz układ nierówności

11:11 3) Jaką liczbę wyznacza zbiór rozwiązań układu nierówności? Znajdź obszar każdej figury. 6) Ile par liczby naturalne są rozwiązaniami układu nierówności? Oblicz sumę wszystkich takich liczb. Rozwiązanie ćwiczeń szkoleniowych 2) Zapisz układ nierówności z dwiema zmiennymi, którego zbiór rozwiązań pokazano na rysunku 0 2 x y 2 1) Narysuj zbiór rozwiązań układu na płaszczyźnie współrzędnych: 4) Zdefiniuj pierścień pokazany na rysunku jako układ nierówności. 5) Rozwiąż układ nierówności y x 0 5 10 5 10

Rozwiązanie ćwiczeń szkoleniowych 7) Oblicz pole figury podanej przez zbiór rozwiązań układu nierówności i znajdź największą odległość między punktami tej figury 8) Przy jakiej wartości m układ nierówności ma tylko jedno rozwiązanie? 9) Wskaż niektóre wartości k i b, przy których układ nierówności definiuje na płaszczyźnie współrzędnych: a) pasek; b) kąt.

To ciekawe: Angielski matematyk Thomas Harriot (Harriot T., 1560-1621) wprowadził znany znak nierówności, argumentując go w następujący sposób: „Jeśli dwa równoległe odcinki służą jako symbol równości, to przecinające się odcinki muszą być symbolem nierówności .” W 1585 roku królowa Anglii wysłała młodego Harriota na wyprawę odkrywczą do Ameryka północna. Tam zobaczył tatuaż popularny wśród Hindusów w formie.Prawdopodobnie dlatego Harriot zaproponował znak nierówności w dwóch postaciach: „>” jest większe niż... i „

To ciekawe: symbole ≤ i ≥ dla nieścisłego porównania zaproponował Wallis w 1670 roku. Pierwotnie linia znajdowała się nad znakiem porównania, a nie pod nim, jak ma to miejsce obecnie. Symbole te rozpowszechniły się po wsparciu francuskiego matematyka Pierre'a Bouguera (1734), od którego uzyskały nowoczesną formę.

Temat: Równania i nierówności. Układy równań i nierówności

Lekcja:Równania i nierówności z dwiema zmiennymi

Rozważmy ogólnie równanie i nierówność z dwiema zmiennymi.

Równanie z dwiema zmiennymi;

Nierówność z dwiema zmiennymi, znak nierówności może być dowolny;

Tutaj x i y są zmiennymi, p jest wyrażeniem od nich zależnym

Parę liczb () nazywamy częściowym rozwiązaniem takiego równania lub nierówności, jeśli podstawiając tę parę do wyrażenia otrzymamy odpowiednio prawidłowe równanie lub nierówność.

Zadanie polega na znalezieniu lub zobrazowaniu na płaszczyźnie zbioru wszystkich rozwiązań. Czy mogę sparafrazować? to zadanie- znaleźć miejsce geometryczne punktów (GMT), skonstruować wykres równania lub nierówności.

Przykład 1 - rozwiąż równanie i nierówność:

Innymi słowy, zadanie polega na znalezieniu czasu GMT.

Rozważmy rozwiązanie równania. W tym przypadku wartość zmiennej x może być dowolna, więc mamy:

Oczywiście rozwiązaniem równania jest zbiór punktów tworzących linię prostą

Ryż. 1. Przykład wykresu równania 1

Rozwiązaniem danego równania są w szczególności punkty (-1; 0), (0; 1), (x 0, x 0 +1)

Rozwiązaniem danej nierówności jest półpłaszczyzna znajdująca się nad prostą, obejmującą samą linię (patrz rysunek 1). Rzeczywiście, jeśli weźmiemy dowolny punkt x 0 na prostej, wówczas otrzymamy równość . Jeśli weźmiemy punkt w półpłaszczyźnie nad linią, mamy . Jeżeli przyjmiemy punkt w półpłaszczyźnie pod prostą, to nie będzie on spełniał naszej nierówności: .

Rozważmy teraz problem z okręgiem i okręgiem.

Przykład 2 - rozwiąż równanie i nierówność:

Wiemy to dane równanie jest równaniem okręgu o środku w początku i promieniu 1.

Ryż. 2. Przykładowa ilustracja 2

W dowolnym punkcie x 0 równanie ma dwa rozwiązania: (x 0; y 0) i (x 0; -y 0).

Rozwiązaniem danej nierówności jest zbiór punktów znajdujących się wewnątrz okręgu, bez uwzględnienia samego okręgu (patrz rysunek 2).

Rozważmy równanie z modułami.

Przykład 3 - rozwiąż równanie:

W tym przypadku możliwa byłaby rozbudowa modułów, ale rozważymy specyfikę równania. Łatwo zauważyć, że wykres tego równania jest symetryczny względem obu osi. Wtedy jeśli punkt (x 0 ; y 0) jest rozwiązaniem, to punkt (x 0 ; -y 0) również jest rozwiązaniem, punkty (-x 0 ; y 0) i (-x 0 ; -y 0 ) są również rozwiązaniem.

Wystarczy więc znaleźć rozwiązanie, w którym obie zmienne są nieujemne i przyjmują symetrię względem osi:

Ryż. 3. Przykładowa ilustracja 3

Jak więc widzimy, rozwiązaniem równania jest kwadrat.

Przyjrzyjmy się tzw. metodzie obszarowej na konkretnym przykładzie.

Przykład 4 - przedstaw zbiór rozwiązań nierówności:

Zgodnie z metodą dziedzin, w pierwszej kolejności rozważamy funkcję po lewej stronie, jeśli po prawej stronie jest zero. Jest to funkcja dwóch zmiennych:

Podobnie jak w przypadku metody przedziałów, chwilowo odchodzimy od nierówności i badamy cechy i właściwości złożonej funkcji.

ODZ: oznacza to, że oś X jest przebijana.

Teraz wskazujemy, że funkcja jest równa zero, gdy licznik ułamka jest równy zero, mamy:

Budujemy wykres funkcji.

Ryż. 4. Wykres funkcji z uwzględnieniem ODZ

Rozważmy teraz obszary stałego znaku funkcji; są one utworzone przez linię prostą i linię łamaną. wewnątrz linii przerywanej znajduje się obszar D 1. Pomiędzy odcinkiem łamanej a prostą - obszar D 2, poniżej linii - obszar D 3, pomiędzy odcinkiem łamanej a prostą - obszar D 4

W każdym z wybranych obszarów funkcja zachowuje swój znak, co oznacza, że wystarczy sprawdzić dowolny punkt testowy w każdym obszarze.

W obszarze bierzemy punkt (0;1). Mamy:

W okolicy zajmujemy punkt (10;1). Mamy:

Zatem cały region jest ujemny i nie spełnia zadanej nierówności.

W okolicy weź punkt (0;-5). Mamy:

Zatem cały region jest dodatni i spełnia zadaną nierówność.

Rozwiązywanie nierówności dwóch zmiennych, a tym bardziej układy nierówności z dwiema zmiennymi, wydaje się być dość trudnym zadaniem. Istnieje jednak prosty algorytm, który pomaga rozwiązać pozornie bardzo złożone problemy tego rodzaju łatwo i bez większego wysiłku. Spróbujmy to rozgryźć.

Załóżmy nierówność z dwiema zmiennymi jednego z następujących typów:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Aby zobrazować zbiór rozwiązań takiej nierówności na płaszczyźnie współrzędnych, wykonaj następujące czynności:

1. Budujemy wykres funkcji y = f(x), która dzieli płaszczyznę na dwa obszary.

Zadanie 1.

Jaki zbiór punktów wynika z nierówności x · y ≤ 4?

Rozwiązanie.

2) Wybierzmy dowolny punkt z pierwszego obszaru, niech będzie to punkt (4; 2).
Sprawdźmy nierówność: 4 · 2 ≤ 4 – fałsz.

3) Ponieważ nierówność nie jest ścisła, punkty graniczne, czyli punkty wykresu funkcji y = 4/x, rysujemy linią ciągłą.

Pomalujmy na żółto zbiór punktów definiujący pierwotną nierówność (ryc. 1).

Zadanie 2.

Narysuj obszar zdefiniowany na płaszczyźnie współrzędnych przez układ
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Rozwiązanie.

Na początek budujemy wykresy następujących funkcji (ryc. 2):

y = x 2 + 2 – parabola,

y + x = 1 – linia prosta

x 2 + y 2 = 9 – okrąg.

1) y > x 2 + 2.

Bierzemy punkt (0; 5), który leży nad wykresem funkcji.
Sprawdźmy nierówność: 5 > 0 2 + 2 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej danej paraboli y = x 2 + 2 spełniają pierwszą nierówność układu. Pomalujmy je na żółto.

2) y + x > 1.

Bierzemy punkt (0; 3), który leży nad wykresem funkcji.
Sprawdźmy nierówność: 3 + 0 > 1 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej prostej y + x = 1 spełniają drugą nierówność układu. Pomalujmy je zielonym cieniowaniem.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Weźmy punkt (0; -4), który leży poza okręgiem x 2 + y 2 = 9.
Sprawdźmy nierówność: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – niepoprawna.

Nie zapominaj, że jeśli nierówność jest ścisła, wówczas odpowiednią linię graniczną należy narysować linią przerywaną. Otrzymujemy następujący obraz (ryc. 3).

(ryc. 4).

Zadanie 3.

Narysuj obszar zdefiniowany na płaszczyźnie współrzędnych przez układ:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Rozwiązanie.

Na początek budujemy wykresy następujących funkcji:

x 2 + y 2 = 16 – okrąg,

x = -y – linia prosta

x 2 + y 2 = 4 – okrąg (ryc. 5).

Przyjrzyjmy się teraz każdej nierówności osobno.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Weźmy punkt (0; 0), który leży wewnątrz okręgu x 2 + y 2 = 16.
Sprawdźmy nierówność: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – prawda.

Zatem wszystkie punkty leżące wewnątrz okręgu x 2 + y 2 = 16 spełniają pierwszą nierówność układu.
Pomalujmy je czerwonym cieniowaniem.

Bierzemy punkt (1; 1), który leży nad wykresem funkcji.
Sprawdźmy nierówność: 1 ≥ -1 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące powyżej prostej x = -y spełniają drugą nierówność układu. Pomalujmy je niebieskim cieniowaniem.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Weźmy punkt (0; 5), który leży poza okręgiem x 2 + y 2 = 4.
Sprawdźmy nierówność: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – prawda.

W konsekwencji wszystkie punkty leżące poza okręgiem x 2 + y 2 = 4 spełniają trzecią nierówność układu. Pomalujmy je na niebiesko.

W tym zadaniu wszystkie nierówności nie są ścisłe, co oznacza, że wszystkie granice rysujemy linią ciągłą. Otrzymujemy następujący obraz (ryc. 6).

Obszar wyszukiwania to obszar, w którym wszystkie trzy kolorowe obszary przecinają się ze sobą (Rysunek 7).

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązać układ nierówności z dwiema zmiennymi?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.