Dowód twierdzenia Fermata jest elementarny, prosty i zrozumiały. Dla kogo pola nie naciskają Kiedy udowodniono twierdzenie Fermata

Nie ma wielu ludzi na świecie, którzy nigdy o nim nie słyszeli Ostatnie twierdzenie Fermata- być może to ten jedyny problem matematyczny, który stał się tak powszechnie znany i stał się prawdziwą legendą. Wspomina się o nim w wielu książkach i filmach, a głównym kontekstem prawie wszystkich odniesień jest niemożność udowodnienia twierdzenia.

Tak, to twierdzenie jest bardzo dobrze znane i w pewnym sensie stało się „idolem” czczonym przez matematyków amatorów i zawodowych, ale niewiele osób wie, że znaleziono jego dowód, a stało się to jeszcze w 1995 roku. Ale najpierw najważniejsze.

Zatem Ostatnie Twierdzenie Fermata (często nazywane ostatnim twierdzeniem Fermata), sformułowane w 1637 roku przez genialnego francuskiego matematyka Pierre’a Fermata, jest w swej istocie bardzo prosty i zrozumiały dla każdej osoby z wykształceniem średnim. Mówi, że wzór a n + b n = c n nie ma naturalnych (czyli nie ułamkowych) rozwiązań dla n > 2. Wszystko wydaje się proste i jasne, ale najlepsi matematycy i zwykli amatorzy borykają się ze znalezieniem rozwiązania od ponad trzy i pół wieku.

Sam Fermat twierdził, że uzyskał bardzo prosty i zwięzły dowód swojej teorii, jednak nie znaleziono dotychczas żadnych dokumentów potwierdzających ten fakt. Dlatego obecnie uważa się, że Fermatowi nigdy nie udało się znaleźć ogólnego rozwiązania swojego twierdzenia, chociaż konkretny dowód na n = 4 pochodzi od jego pióra.

Po Fermacie powstały takie wielkie umysły jak Leonarda Eulera(w 1770 zaproponował rozwiązanie dla n = 3), Adriena Legendre’a i Johanna Dirichleta(naukowcy ci wspólnie znaleźli dowód na n = 5 w 1825 r.), Gabriel Lam(który znalazł dowód na n = 7) i wiele innych. W połowie lat 80. stało się to jasne świat naukowy jest na drodze do ostatecznego rozwiązania

Jednakże Ostatnie Twierdzenie Fermata dopiero w 1993 roku matematycy dostrzegli i uwierzyli, że trwająca trzy stulecia epopeja znalezienia dowodu ostatniego twierdzenia Fermata praktycznie dobiegła końca.

W 1993 roku matematyk angielski Andrzej Wiles przedstawił światu swoje dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata, nad którym prace trwały ponad siedem lat. Okazało się jednak, że decyzja ta zawiera rażący błąd, choć w sumie jest słuszna. Wiles nie poddał się, zwrócił się o pomoc do słynnego specjalisty w dziedzinie teorii liczb Richarda Taylora i już w 1994 roku opublikowali poprawiony i rozszerzony dowód twierdzenia. Najbardziej zdumiewające jest to, że praca ta zajęła aż 130 (!) stron w czasopiśmie matematycznym „Annals of Mathematics”. Ale na tym historia się nie skończyła – punkt kulminacyjny nastąpił dopiero w następnym roku, 1995, kiedy opublikowano ostateczną i „idealną” z matematycznego punktu widzenia wersję dowodu.

Od tego momentu minęło już sporo czasu, a w społeczeństwie wciąż panuje opinia, że Ostatnie Twierdzenie Fermata jest nierozwiązywalne. Ale nawet ci, którzy wiedzą o znalezionym dowodzie, nadal pracują w tym kierunku - niewielu jest zadowolonych, że Wielkie Twierdzenie wymaga rozwiązania 130 stron! Dlatego teraz wysiłki wielu matematyków (głównie amatorów, a nie zawodowych naukowców) rzucane są na poszukiwanie prostego i zwięzłego dowodu, ale ta droga najprawdopodobniej donikąd nie doprowadzi…

Niewielu jest na świecie ludzi, którzy nigdy nie słyszeli o Ostatnim Twierdzeniu Fermata – być może jest to jedyne zadanie matematyczne, które stało się tak powszechnie znane i stało się prawdziwą legendą. Wspomina się o tym w wielu książkach i filmach, a głównym kontekstem niemal wszystkich wzmianek jest niemożność udowodnienia twierdzenia.

Zatem Ostatnie Twierdzenie Fermata (często nazywane ostatnim twierdzeniem Fermata), sformułowane w 1637 roku przez genialnego francuskiego matematyka Pierre'a Fermata, jest w istocie bardzo proste i zrozumiałe dla każdego, kto ma wykształcenie średnie. Mówi ona, że wzór a do potęgi n + b do potęgi n = c do potęgi n nie ma naturalnych (czyli nie ułamkowych) rozwiązań dla n > 2. Wszystko wydaje się proste i jasne, ale najlepsi matematycy i zwykli amatorzy zmagali się z poszukiwaniem rozwiązania przez ponad trzy i pół wieku.

Dlaczego jest taka sławna? Teraz się dowiemy...

Czy istnieje wiele sprawdzonych, niepotwierdzonych i jeszcze nieudowodnionych twierdzeń? Rzecz w tym, że Ostatnie Twierdzenie Fermata stanowi największy kontrast pomiędzy prostotą sformułowania a złożonością dowodu. Ostatnie twierdzenie Fermata jest niezwykle trudnym zadaniem, a jednak jego sformułowanie może zrozumieć każdy na poziomie piątej klasy. Liceum, ale dowód nie jest nawet dla każdego zawodowego matematyka. Ani w fizyce, ani w chemii, ani w biologii, ani w matematyce nie ma ani jednego problemu, który można by tak prosto sformułować, a który pozostawałby tak długo nierozwiązany. 2. Z czego się składa?

Zacznijmy od spodni pitagorejskich.Słowo jest naprawdę proste – na pierwszy rzut oka. Jak wiemy z dzieciństwa, „spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron”. Problem wygląda na tak prosty, bo opierał się na znanym każdemu stwierdzeniu matematycznym – twierdzeniu Pitagorasa: w dowolnym trójkąt prostokątny kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów zbudowanych na nogach.

W V wieku p.n.e. Pitagoras założył bractwo pitagorejskie. Pitagorejczycy badali między innymi trojaczki całkowite spełniające równość x²+y²=z². Udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele trójek pitagorejskich i uzyskali ogólne wzory na ich znajdowanie. Prawdopodobnie próbowali szukać trójek lub więcej wysokie stopnie. Przekonani, że to nie zadziała, pitagorejczycy porzucili swoje bezużyteczne próby. Członkowie bractwa byli raczej filozofami i estetami niż matematykami.

Oznacza to, że łatwo jest wybrać zbiór liczb, który doskonale spełnia równość x²+y²=z²

Zaczynając od 3, 4, 5 - rzeczywiście młodszy uczeń rozumie, że 9 + 16 = 25.

Lub 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Świetnie.

Okazuje się więc, że NIE. Tutaj zaczyna się cała sztuczka. Prostota jest pozorna, bo trudno udowodnić nie obecność czegoś, a wręcz przeciwnie – jego brak. Kiedy chcesz udowodnić, że istnieje rozwiązanie, możesz i powinieneś po prostu je przedstawić.

Trudniej jest udowodnić nieobecność: ktoś na przykład powie: takie a takie równanie nie ma rozwiązań. Wsadzić go do kałuży? proste: bam – i oto jest rozwiązanie! (podaj rozwiązanie). I tyle, przeciwnik zostaje pokonany. Jak udowodnić nieobecność?

Powiedz: „Nie znalazłem takich rozwiązań”? A może nie wyglądałeś dobrze? A co jeśli istnieją, tylko bardzo duże, bardzo duże, tak że nawet super-potężny komputer wciąż nie ma wystarczającej siły? To właśnie jest trudne.

Można to pokazać wizualnie w ten sposób: jeśli weźmiesz dwa kwadraty o odpowiednich rozmiarach i rozłożysz je na kwadraty jednostkowe, to z tej grupy kwadratów jednostkowych otrzymasz trzeci kwadrat (ryc. 2):

Ale zróbmy to samo z trzecim wymiarem (ryc. 3) – to nie działa. Nie ma wystarczającej liczby kostek lub zostały dodatkowe:

Ale XVII-wieczny matematyk, Francuz Pierre de Fermat, entuzjastycznie badał tę kwestię równanie ogólne x n + y n = z n . I w końcu doszedłem do wniosku: dla n>2 nie ma rozwiązań całkowitych. Dowód Fermata został bezpowrotnie utracony. Rękopisy płoną! Pozostaje tylko jego uwaga w Arytmetyce Diofantusa: „Znalazłem naprawdę zdumiewający dowód tego twierdzenia, ale marginesy są tu zbyt wąskie, aby je pomieścić”.

W rzeczywistości twierdzenie bez dowodu nazywa się hipotezą. Ale Fermat ma reputację osoby, która nigdy nie popełnia błędów. Nawet jeśli nie pozostawił dowodu na oświadczenie, zostało ono następnie potwierdzone. Ponadto Fermat udowodnił swoją tezę dla n=4. Tym samym hipoteza francuskiego matematyka przeszła do historii jako Ostatnie Twierdzenie Fermata.

Po Fermacie nad poszukiwaniem dowodu pracowały takie wielkie umysły, jak Leonhard Euler (w 1770 r. zaproponował rozwiązanie dla n = 3),

Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ci naukowcy wspólnie znaleźli dowód na n = 5 w 1825 r.), Gabriel Lamé (który znalazł dowód na n = 7) i wielu innych. Już w połowie lat 80. ubiegłego wieku stało się jasne, że świat naukowy jest na dobrej drodze do ostatecznego rozwiązania Ostatniego Twierdzenia Fermata, jednak dopiero w 1993 roku matematycy dostrzegli i uwierzyli, że trwająca trzy stulecia epopeja poszukiwania dowodu Ostatnie twierdzenie Fermata praktycznie się skończyło.

Łatwo wykazać, że wystarczy udowodnić twierdzenie Fermata tylko dla prostych n: 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Dla złożonego n dowód pozostaje ważny. Ale liczb pierwszych jest nieskończenie wiele...

W 1825 roku, stosując metodę Sophie Germain, matematyczki Dirichlet i Legendre niezależnie udowodniły twierdzenie dla n=5. W 1839 roku tą samą metodą Francuz Gabriel Lame wykazał prawdziwość twierdzenia dla n=7. Stopniowo twierdzenie zostało udowodnione dla prawie wszystkich n mniejszych niż sto.

Wreszcie niemiecki matematyk Ernst Kummer w genialnym badaniu wykazał, że twierdzenia w ogóle nie da się udowodnić metodami matematyki XIX wieku. Nagroda Akademia Francuska Nauka, założona w 1847 roku w celu udowodnienia twierdzenia Fermata, pozostała nienagrodzona.

W 1907 roku zamożny niemiecki przemysłowiec Paul Wolfskehl zdecydował się odebrać sobie życie z powodu nieodwzajemnionej miłości. Jak prawdziwy Niemiec wyznaczył datę i godzinę samobójstwa: dokładnie o północy. Ostatniego dnia sporządził testament i napisał listy do przyjaciół i krewnych. Sprawy zakończyły się przed północą. Trzeba powiedzieć, że Paweł interesował się matematyką. Nie mając nic innego do roboty, poszedł do biblioteki i zaczął czytać słynny artykuł Kummera. Nagle wydało mu się, że Kummer pomylił się w swoim rozumowaniu. Wolfskel zaczął analizować tę część artykułu z ołówkiem w dłoniach. Minęła północ, nastał poranek. Luka w dowodzie została wypełniona. A sam powód samobójstwa wyglądał teraz zupełnie absurdalnie. Paweł podarł listy pożegnalne i spisał na nowo swój testament.

Wkrótce zmarł śmiercią naturalną. Spadkobiercy byli niemile zaskoczeni: 100 000 marek (obecnie ponad 1 000 000 funtów szterlingów) wpłynęło na konto Królewskiego Towarzystwa Naukowego w Getyndze, które w tym samym roku ogłosiło konkurs o Nagrodę Wolfskehla. Za udowodnienie twierdzenia Fermata przyznano 100 000 punktów. Za obalenie twierdzenia nie przyznano ani fenigów…

Większość zawodowych matematyków uważała poszukiwanie dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata za zadanie beznadziejne i zdecydowanie nie chciała tracić czasu na tak bezużyteczne ćwiczenie. Ale amatorzy mieli niezłą zabawę. Kilka tygodni po ogłoszeniu na Uniwersytet w Getyndze spadła lawina „dowodów”. Profesor E.M. Landau, którego zadaniem była analiza nadesłanego materiału dowodowego, rozdał swoim studentom kartki:

Droga. . . . . . . .

Dziękuję za przesłanie mi manuskryptu z dowodem Ostatniego Twierdzenia Fermata. Pierwszy błąd jest na stronie...w linii... . Przez to cały dowód traci ważność.
Profesor E. M. Landau

W latach 80. Samuel Wagstaff podniósł tę granicę do 25 000, a w latach 90. matematycy oświadczyli, że Ostatnie Twierdzenie Fermata jest prawdziwe dla wszystkich wartości od n do 4 milionów. Ale jeśli od nieskończoności odejmiemy nawet bilion bilionów, nie zmniejszy się ona. Matematyków nie przekonują statystyki. Udowodnienie Wielkiego Twierdzenia oznaczało udowodnienie go dla WSZYSTKICH n zmierzających do nieskończoności.

Jednak po dokładnych testach przyjaciele wysunęli hipotezę: każde równanie eliptyczne ma bliźniaczą formę - modułową i odwrotnie. To właśnie ta hipoteza stała się podstawą całego kierunku w matematyce, ale dopóki hipoteza Taniyamy-Shimury nie została udowodniona, cały budynek mógł w każdej chwili się zawalić.

W 1984 roku Gerhard Frey wykazał, że rozwiązanie równania Fermata, jeśli istnieje, można ująć w jakimś równaniu eliptycznym. Dwa lata później profesor Ken Ribet udowodnił, że to hipotetyczne równanie nie może mieć odpowiednika w świecie modułowym. Odtąd Ostatnie Twierdzenie Fermata zostało nierozerwalnie powiązane z hipotezą Taniyamy-Shimury. Po udowodnieniu, że każda krzywa eliptyczna jest modułowa, dochodzimy do wniosku, że nie ma równania eliptycznego z rozwiązaniem równania Fermata, a Ostatnie Twierdzenie Fermata zostałoby natychmiast udowodnione. Jednak przez trzydzieści lat nie udało się udowodnić hipotezy Taniyamy-Shimury i nadzieja na sukces była coraz mniejsza.

W 1963 roku, mając zaledwie dziesięć lat, Andrew Wiles był już zafascynowany matematyką. Kiedy dowiedział się o Wielkim Twierdzeniu, zdał sobie sprawę, że nie może z niego zrezygnować. Jako uczeń, student i doktorant przygotowywał się do tego zadania.

Dowiedziawszy się o odkryciach Kena Ribeta, Wiles rzucił się na całość w udowadnianie hipotezy Taniyamy-Shimury. Postanowił pracować w całkowitej izolacji i tajemnicy. „Zdałem sobie sprawę, że wszystko, co ma związek z Ostatnim Twierdzeniem Fermata, budzi zbyt duże zainteresowanie… Zbyt duża liczba widzów wyraźnie przeszkadza w osiągnięciu celu.” Siedem lat ciężkiej pracy opłaciło się i Wiles w końcu ukończył dowód hipotezy Taniyamy-Shimury.

W 1993 roku angielski matematyk Andrew Wiles przedstawił światu swój dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata (Wiles przeczytał jego sensacyjny artykuł na konferencji w Instytucie Sir Isaaca Newtona w Cambridge.), nad którym prace trwały ponad siedem lat.

Okazało się, że decyzja ta zawiera rażący błąd, choć w sumie jest słuszna. Wiles nie poddał się, zwrócił się o pomoc do słynnego specjalisty w dziedzinie teorii liczb Richarda Taylora i już w 1994 roku opublikowali poprawiony i rozszerzony dowód twierdzenia. Najbardziej zdumiewające jest to, że praca ta zajęła aż 130 (!) stron w czasopiśmie matematycznym „Annals of Mathematics”. Ale na tym historia się nie skończyła – punkt kulminacyjny nastąpił dopiero w następnym roku, 1995, kiedy opublikowano ostateczną i „idealną” z matematycznego punktu widzenia wersję dowodu.

„...pół minuty po rozpoczęciu uroczystej kolacji z okazji jej urodzin sprezentowałem Nadii rękopis kompletnego dowodu” (Andrew Wales). Czy nie mówiłem już, że matematycy to dziwni ludzie?

Tym razem nie było wątpliwości co do dowodów. Najbardziej wnikliwej analizie poddano dwa artykuły, które ukazały się w maju 1995 roku w Annals of Mathematics.

Dlatego teraz wysiłki wielu matematyków (głównie amatorów, a nie zawodowych naukowców) rzucane są na poszukiwanie prostego i zwięzłego dowodu, ale ta droga najprawdopodobniej donikąd nie doprowadzi…

źródło

AKTUALNOŚCI NAUKI I TECHNOLOGII

UDC 51:37;517.958

AV Konovko, dr.

Akademia Państwowej Straży Pożarnej Ministerstwa Sytuacji Nadzwyczajnych Rosji WIELKIE TWIERDZENIE FERMY ZOSTAŁO UDOWODNIONE. ALBO NIE?

Przez kilka stuleci nie udało się wykazać, że równanie xn+yn=zn dla n>2 jest nierozwiązywalne w liczbach wymiernych, a więc i całkowitych. Problem ten narodził się pod autorstwa francuskiego prawnika Pierre'a Fermata, który jednocześnie zajmował się zawodowo matematyką. Jej decyzję przypisuje się amerykańskiemu nauczycielowi matematyki Andrew Wilesowi. Uznanie to trwało od 1993 do 1995 roku.

TWIERDZENIE WIELKIEGO FERMY ZOSTAŁO DOWODZONE CZY NIE?

Rozważana jest dramatyczna historia ostatniego udowodnienia twierdzenia Fermata. Zajęło to prawie czterysta lat. Pierre Fermat niewiele pisał. Pisał w skompresowanym stylu. Poza tym nie publikował swoich badań. Stwierdzenie, że równanie xn+yn=zn jest nierozwiązalne na zbiorach liczb wymiernych i całkowitych, jeśli n>2, towarzyszył komentarz Fermata, który uznał za rzeczywiście niezwykły dowód na poparcie tego twierdzenia. Dowód ten nie dotarł do potomków. Później to stwierdzenie nazwano ostatnim twierdzeniem Fermata. Najlepsi matematycy świata bezskutecznie przerwali dyskusję nad tym twierdzeniem. W latach siedemdziesiątych francuski matematyk, członek Paryskiej Akademii Nauk, Andre Veil, przedstawił nowe podejście do rozwiązania. 23 czerwca w 1993 roku na konferencji poświęconej teorii liczb w Cambridge matematyk z Uniwersytetu Princeton, Andrew Whiles, ogłosił, że dowodzenie ostatniego twierdzenia Fermata zostało zakończone. Było jednak wcześnie na triumf.

W 1621 roku francuski pisarz i miłośnik matematyki Claude Gaspard Bachet de Meziriak opublikował grecki traktat „Arytmetyka” Diofantosa z łacińskim tłumaczeniem i komentarzem. Luksusowa „Arytmetyka” z niezwykle szerokimi marginesami wpadła w ręce dwudziestoletniego Fermata i na wiele lat stała się jego podręcznikiem. Na jej marginesach pozostawił 48 notatek zawierających odkryte fakty na temat właściwości liczb. Tutaj, na marginesie „Arytmetyki”, sformułowano wielkie twierdzenie Fermata: „Nie da się rozłożyć sześcianu na dwa sześciany ani dwukwadratu na dwa dwukwadraty, ani w ogóle potęgi większej niż dwa na dwie potęgi o tym samym wykładniku; Znalazłem na to naprawdę wspaniały dowód, który z braku miejsca nie mieści się w tych polach.” Swoją drogą po łacinie wygląda to tak: „Cubum autem in duos cubos, aut quadrato-quadratum in duos quadrato-quadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duas ejusdem nominis fas est splitre; cujus rei demonstracja mirabilem sane detexi. Hanc marginalis exiguitas non caperet.”

Wielki francuski matematyk Pierre Fermat (1601-1665) opracował metodę wyznaczania pól i objętości oraz stworzył nową metodę stycznych i ekstremów. Wraz z Kartezjuszem stał się twórcą geometrii analitycznej, wraz z Pascalem stał u początków teorii prawdopodobieństwa, w zakresie metody nieskończenie małej główna zasada różniczkowanie i ogólnie udowodnił zasadę całkowania funkcja zasilania... Ale co najważniejsze, z tą nazwą wiąże się jedna z najbardziej tajemniczych i dramatycznych historii, jakie kiedykolwiek wstrząsnęły matematyką - historia dowodu świetne twierdzenie Gospodarstwo rolne. Teraz twierdzenie to wyraża się w postaci prostego stwierdzenia: równanie xn + yn = zn dla n>2 jest nierozwiązywalne w liczbach wymiernych, a zatem w liczbach całkowitych. Nawiasem mówiąc, dla przypadku n = 3 środkowoazjatycki matematyk Al-Khojandi próbował udowodnić to twierdzenie w X wieku, ale jego dowód nie przetrwał.

Pochodzący z południa Francji Pierre Fermat zdobył wykształcenie prawnicze i od 1631 roku pełnił funkcję doradcy parlamentu miasta Tuluzy (czyli sądu najwyższego). Po dniu pracy w murach parlamentu zajął się matematyką i od razu zanurzył się w zupełnie inny świat. Pieniądze, prestiż, uznanie społeczne – to wszystko nie miało dla niego znaczenia. Nauka nigdy nie stała się dla niego źródłem utrzymania, nie zamieniła się w rzemiosło, pozostając zawsze jedynie ekscytującą grą umysłu, zrozumiałą tylko dla nielicznych. Prowadził z nimi korespondencję.

Fermat nigdy nie pisał artykułów naukowych w naszym zwykłym tego słowa znaczeniu. A w jego korespondencji z przyjaciółmi zawsze jest jakieś wyzwanie, wręcz prowokacja, a nie akademickie przedstawienie problemu i jego rozwiązania. Dlatego wiele jego listów zaczęto później nazywać wyzwaniem.

Być może właśnie dlatego nigdy nie uświadomił sobie zamiaru napisania specjalnego eseju na temat teorii liczb. Tymczasem był to jego ulubiony obszar matematyki. To jej Fermat poświęcił najbardziej natchnione wersety swoich listów. „Arytmetyka” – pisał – „ma swoją własną dziedzinę, teorię liczb całkowitych. Teoria ta została tylko nieznacznie poruszona przez Euklidesa i nie została dostatecznie rozwinięta przez jego zwolenników (chyba że była zawarta w dziełach Diofantosa, które spustoszyły pozbawił nas czas). Dlatego arytmetycy muszą to rozwijać i odnawiać.

Dlaczego sam Fermat nie bał się niszczycielskiego działania czasu? Pisał niewiele i zawsze bardzo zwięźle. Ale co najważniejsze, nie opublikował swojej pracy. Za jego życia krążyły one jedynie w rękopisach. Nic więc dziwnego, że wyniki Fermata dotyczące teorii liczb dotarły do nas w rozproszonej formie. Ale Bułhakow prawdopodobnie miał rację: wielkie rękopisy nie płoną! Pozostaje dzieło Fermata. Pozostali w jego listach do przyjaciół: nauczyciel matematyki z Lyonu Jacques de Billy, pracownik mennicy Bernard Freniquel de Bessy, Marcenny, Kartezjusz, Blaise Pascal... Pozostała tylko „Arytmetyka” Diofantusa z jego komentarzami na marginesach, która po Śmierć Fermata została włączona wraz z komentarzami Bacheta do nowego wydania Diofantusa, wydanego przez jego najstarszego syna Samuela w 1670 roku. Nie zachował się jedynie sam dowód.

Dwa lata przed śmiercią Fermat wysłał swojemu przyjacielowi Carcaviemu list testamentowy, który przeszedł do historii matematyki pod tytułem „Podsumowanie nowych wyników w nauce liczb”. W tym liście Fermat udowodnił swoje słynne twierdzenie dla przypadku n = 4. Ale wtedy najprawdopodobniej nie interesowało go samo twierdzenie, ale odkryta przez niego metoda dowodu, którą sam Fermat nazwał zejściem nieskończonym lub nieokreślonym.

Rękopisy nie płoną. Ale gdyby nie poświęcenie Samuela, który po śmierci ojca zebrał wszystkie jego szkice matematyczne i drobne traktaty, a następnie opublikował je w 1679 roku pod tytułem „Różne dzieła matematyczne”, uczeni matematycy musieliby wiele odkryć i odkryć na nowo . Ale nawet po ich publikacji problemy postawione przez wielkiego matematyka pozostawały bez ruchu przez ponad siedemdziesiąt lat. I nie jest to zaskakujące. Wyniki teorii liczb P. Fermata w formie, w jakiej ukazały się drukiem, ukazały się specjalistom w postaci poważnych problemów, nie zawsze jasnych dla współczesnych, niemal bez dowodów i wskazań na wewnętrzne powiązania logiczne między nimi. Być może przy braku spójnej, przemyślanej teorii kryje się odpowiedź na pytanie, dlaczego sam Fermat nigdy nie zdecydował się na publikację książki o teorii liczb. Siedemdziesiąt lat później tymi dziełami zainteresował się L. Euler i były to właściwie ich drugie narodziny...

Matematyka drogo zapłaciła za osobliwy sposób przedstawiania wyników przez Fermata, jakby celowo pomijał ich dowody. Ale jeśli Fermat twierdził, że udowodnił to czy tamto twierdzenie, to twierdzenie to zostało później udowodnione. Jednakże z wielkim twierdzeniem był pewien problem.

Tajemnica zawsze pobudza wyobraźnię. Tajemniczy uśmiech Giocondy podbił całe kontynenty; Najpopularniejsza stała się teoria względności, jako klucz do zagadki powiązań czasoprzestrzennych teoria fizyczna wiek. I śmiało możemy powiedzieć, że nie było drugiego takiego problem matematyczny, które byłyby równie popularne jak były__93

Naukowe i edukacyjne problemy ochrony ludności

Co to jest twierdzenie Fermata? Próby jej udowodnienia doprowadziły do powstania rozbudowanej gałęzi matematyki - teorii liczb algebraicznych, ale (niestety!) samo twierdzenie pozostało niepotwierdzone. W 1908 roku niemiecki matematyk Wolfskehl zapisał 100 000 marek każdemu, kto udowodni twierdzenie Fermata. To była ogromna kwota jak na tamte czasy! W jednej chwili możesz stać się nie tylko sławny, ale i bajecznie bogaty! Nic więc dziwnego, że licealiści nawet w Rosji, daleko od Niemiec, rywalizując ze sobą, spieszyli się, aby udowodnić to wielkie twierdzenie. Co możemy powiedzieć o zawodowych matematykach! Ale... na próżno! Po I wojnie światowej pieniądze stały się bezwartościowe, a napływ listów z pseudodowodami zaczął wysychać, choć oczywiście nie ustał. Mówią, że słynny niemiecki matematyk Edmund Landau przygotował drukowane formularze, aby wysłać je autorom dowodów twierdzenia Fermata: „Na stronie…, w linii…” jest błąd…. (Zadanie znalezienia błędu otrzymał adiunkt.) Było tak wiele osobliwości i anegdot związanych z dowodem tego twierdzenia, że można by z nich napisać książkę. Najnowszą anegdotą jest kryminał A. Marininy „Zbieg okoliczności”, nakręcony i pokazany na ekranach telewizji krajowej w styczniu 2000 roku. Nasz rodak udowadnia w nim twierdzenie niepotwierdzone przez wszystkich jego wielkich poprzedników i twierdzi na jego rzecz nagroda Nobla. Jak wiadomo, wynalazca dynamitu pominął w swoim testamencie matematyków, zatem autor dowodu mógł jedynie rościć sobie prawo do Fieldsa złoty medal- najwyższa międzynarodowa nagroda, zatwierdzona przez samych matematyków w 1936 roku.

W klasycznej pracy wybitnego rosyjskiego matematyka A.Ya. Khinchin, poświęcony wielkiemu twierdzeniu Fermata, podaje informacje na temat historii tego problemu i zwraca uwagę na metodę, jaką Fermat mógł zastosować do udowodnienia swojego twierdzenia. Podano dowód dla przypadku n = 4 i krótki przegląd innych ważnych wyników.

Jednak do czasu napisania kryminału, a zwłaszcza do czasu jego kręcenia, znaleziono już ogólny dowód twierdzenia. 23 czerwca 1993 roku na konferencji poświęconej teorii liczb w Cambridge matematyk z Princeton, Andrew Wiles, ogłosił, że ostatnie twierdzenie Fermata zostało udowodnione. Ale wcale nie tak, jak „obiecywał” sam Fermat. Droga, którą obrał Andrew Wiles, nie opierała się na metodach matematyki elementarnej. Studiował tzw. teorię krzywych eliptycznych.

Aby zorientować się w krzywych eliptycznych, należy wziąć pod uwagę krzywą płaską zdefiniowaną przez równanie trzeciego stopnia

Y(x,y) = a30X + a21x2y+ ... + a1x+ a2y + a0 = 0. (1)

Wszystkie takie krzywe są podzielone na dwie klasy. Do pierwszej klasy zalicza się te krzywe, które posiadają punkty zaostrzenia (np. parabola półsześcienna y2 = a2-X z punktem ostrzenia (0; 0)), punkty samoprzecięcia (jak arkusz kartezjański x3+y3-3axy = 0 , w punkcie (0; 0)), a także krzywe, dla których wielomian Dx,y) jest przedstawiony w postaci

f(x^y)=:fl(x^y)■:f2(x,y),

gdzie ^(x,y) i ^(x,y) są wielomianami niższego stopnia. Krzywe tej klasy nazywane są krzywymi zdegenerowanymi trzeciego stopnia. Drugą klasę krzywych tworzą krzywe niezdegenerowane; nazwiemy je eliptycznymi. Mogą one obejmować na przykład Agnesi Curl (x2 + a2)y - a3 = 0). Jeżeli współczynniki wielomianu (1) są liczbami wymiernymi, to krzywą eliptyczną można przekształcić do tzw. postaci kanonicznej

y2= x3 + topór + b. (2)

W 1955 roku japońskiemu matematykowi Y. Taniyamie (1927-1958) w ramach teorii krzywych eliptycznych udało się sformułować hipotezę, która otworzyła drogę do dowodu twierdzenia Fermata. Ale ani sam Taniyama, ani jego koledzy nie podejrzewali tego wówczas. Przez prawie dwadzieścia lat hipoteza ta nie cieszyła się poważnym zainteresowaniem i stała się popularna dopiero w połowie lat 70. Zgodnie z hipotezą Taniyamy, każda eliptyczna

krzywa c racjonalne współczynniki jest modułowy. Jednak jak dotąd sformułowanie hipotezy niewiele mówi skrupulatnemu czytelnikowi. Dlatego potrzebne są pewne definicje.

Każdą krzywą eliptyczną można powiązać z ważną cechą liczbową – jej wyróżnikiem. Dla krzywej podanej w postaci kanonicznej (2) dyskryminator A wyznacza się ze wzoru

A = -(4a + 27b2).

Niech E będzie jakąś krzywą eliptyczną, dane równaniem(2), gdzie aib są liczbami całkowitymi.

Dla liczby pierwszej p rozważmy porównanie

y2 = x3 + topór + b(mod p), (3)

gdzie aib to reszty z dzielenia liczb całkowitych aib przez p i oznaczmy przez np liczbę rozwiązań tego porównania. Liczby pr są bardzo przydatne w badaniu rozwiązywalności równań postaci (2) w liczbach całkowitych: jeśli jakieś pr jest równe zero, to równanie (2) nie ma rozwiązań całkowitych. Obliczanie liczb jest jednak możliwe tylko w najrzadszych przypadkach. (Jednocześnie wiadomo, że р-п|< 2Vp (теоремаХассе)).

Rozważmy liczby pierwsze p, które dzielą dyskryminator A krzywej eliptycznej (2). Można udowodnić, że dla takiego p wielomian x3 + ax + b można zapisać na jeden z dwóch sposobów:

x3 + topór + b = (x + a)2 (x + ß)(mod P)

x3 + topór + b = (x + y)3 (mod p),

gdzie a, ß, y to reszty z dzielenia przez p. Jeżeli dla wszystkich liczb pierwszych p dzielących dyskryminator krzywej zostanie zrealizowana pierwsza z dwóch wskazanych możliwości, wówczas krzywą eliptyczną nazywamy półstabilną.

Liczby pierwsze dzielące dyskryminator można połączyć w tak zwany przyrząd do krzywej eliptycznej. Jeżeli E jest krzywą półstabilną, to jej przewodnik N jest określony wzorem

gdzie dla wszystkich liczb pierwszych p > 5 dzielących A wykładnik eP jest równy 1. Potęgi 82 i 83 obliczane są za pomocą specjalnego algorytmu.

W zasadzie to wszystko, co jest potrzebne do zrozumienia istoty dowodu. Hipoteza Taniyamy zawiera jednak złożoną i w naszym przypadku kluczową koncepcję modułowości. Zapomnijmy zatem na chwilę o krzywych eliptycznych i rozważmy funkcję analityczną f (czyli funkcję, którą można przedstawić za pomocą szeregu potęgowego) złożonego argumentu z, danej w górnej półpłaszczyźnie.

Oznaczamy przez H górną zespoloną półpłaszczyznę. Niech N będzie liczbą naturalną, a k liczbą całkowitą. Modularna paraboliczna postać ciężaru k poziomu N jest funkcją analityczną f(z), określoną w górnej półpłaszczyźnie i spełniającą zależność

f = (cz + d)kf (z) (5)

dla dowolnych liczb całkowitych a, b, c, d takich, że ae - bc = 1 i c jest podzielne przez N. Dodatkowo zakłada się, że

lim f (r + it) = 0,

gdzie r - Liczba wymierna, Więc co

Przestrzeń modułowych form parabolicznych o ciężarze k poziomu N oznaczamy przez Sk(N). Można wykazać, że ma on skończony wymiar.

W dalszej części będziemy szczególnie zainteresowani modułowymi postaciami parabolicznymi ciężaru 2. Dla małego N wymiar przestrzeni S2(N) przedstawiono w tabeli. 1. W szczególności

Wymiary przestrzeni S2(N)

Tabela 1

N<10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 2

Z warunku (5) wynika, że % + 1) = dla każdej postaci f e S2(N). Dlatego f jest funkcją okresową. Funkcję taką można przedstawić jako

Modularną postać paraboliczną A^) w S2(N) nazwiemy właściwą, jeśli jej współczynniki są liczbami całkowitymi spełniającymi zależności:

a g ─ a = a g+1 ─ p ─ c ─_1 dla prostego p, które nie dzieli liczby N; (8)

(ap) dla liczby pierwszej p dzielącej liczbę N;

atn = w an, if (t,n) = 1.

Sformułujmy teraz definicję, która odgrywa kluczową rolę w dowodzie twierdzenia Fermata. Krzywa eliptyczna o wymiernych współczynnikach i przewodniku N nazywana jest modułową, jeśli istnieje taka postać własna

f (z) = ^anq" g S2(N),

że ap = p - pr dla prawie wszystkich liczb pierwszych p. Tutaj n jest liczbą rozwiązań porównawczych (3).

Trudno uwierzyć w istnienie choćby jednej takiej krzywej. Dość trudno sobie wyobrazić, że istniałaby funkcja A(r) spełniająca wymienione ścisłe ograniczenia (5) i (8), która zostałaby rozwinięta w szeregi (7), których współczynniki wiązałyby się z praktycznie nieobliczalnymi liczby Pr. Jednak odważna hipoteza Taniyamy wcale nie poddawała w wątpliwość faktu ich istnienia, a zgromadzony z biegiem czasu materiał empiryczny znakomicie potwierdził jej słuszność. Po dwóch dekadach niemal całkowitego zapomnienia hipoteza Taniyamy zyskała swego rodzaju drugi oddech w pracach francuskiego matematyka, członka paryskiej Akademii Nauk Andre Weila.

Urodzony w 1906 r. A. Weil stał się ostatecznie jednym z założycieli grupy matematyków działających pod pseudonimem N. Bourbaki. Od 1958 r. A. Weil został profesorem w Princeton Institute for Advanced Study. Z tego samego okresu datuje się pojawienie się jego zainteresowania abstrakcyjną geometrią algebraiczną. W latach siedemdziesiątych zajął się funkcjami eliptycznymi i hipotezą Taniyamy. Monografia o funkcjach eliptycznych została przetłumaczona tutaj, w Rosji. Nie jest sam w swoim hobby. W 1985 roku niemiecki matematyk Gerhard Frey zaproponował, że jeśli twierdzenie Fermata jest fałszywe, to znaczy, jeśli istnieje potrójna liczba całkowita a, b, c taka, że a" + bn = c" (n > 3), to krzywa eliptyczna

y2 = x (x - a")-(x - cn)

nie może być modułowy, co jest sprzeczne z przypuszczeniami Taniyamy. Sam Frey nie udowodnił tego twierdzenia, ale wkrótce dowód uzyskał amerykański matematyk Kenneth Ribet. Innymi słowy, Ribet pokazał, że twierdzenie Fermata jest konsekwencją hipotezy Taniyamy.

Sformułował i udowodnił następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1 (Ribeta). Niech E będzie krzywą eliptyczną o wymiernych współczynnikach i posiadającą dyskryminator

i dyrygent

Załóżmy, że E jest modułowe i niech

/ (r) = q + 2 aAn e ^ (N)

jest odpowiednią formą właściwą poziomu N. Ustalamy liczbę pierwszą £, i

р:еР =1;- " 8 р

Potem jest taka paraboliczna forma

/(g) = 2 dnqn mi N)

ze współczynnikami całkowitymi takimi, że różnice i - dn są podzielne przez I dla wszystkich 1< п<ад.

Jest oczywiste, że jeśli udowodni się to twierdzenie dla pewnego wykładnika, to zostanie ono tym samym udowodnione dla wszystkich wykładników podzielnych przez n. Ponieważ każda liczba całkowita n > 2 jest podzielna albo przez 4, albo przez nieparzystą liczbę pierwszą, możemy zatem ograniczyć się do przypadek, gdy wykładnikiem jest albo 4, albo nieparzysta liczba pierwsza. Dla n = 4 elementarny dowód twierdzenia Fermata uzyskał najpierw sam Fermat, a następnie Euler. Zatem wystarczy przestudiować równanie

a1 + b1 = c1, (12)

w którym wykładnik I jest nieparzystą liczbą pierwszą.

Teraz twierdzenie Fermata można otrzymać za pomocą prostych obliczeń (2).

Twierdzenie 2. Ostatnie twierdzenie Fermata wynika z hipotezy Taniyamy o półstabilnych krzywych eliptycznych.

Dowód. Załóżmy, że twierdzenie Fermata jest fałszywe i niech istnieje odpowiedni kontrprzykład (jak wyżej, tutaj I jest liczbą pierwszą nieparzystą). Zastosujmy Twierdzenie 1 do krzywej eliptycznej

y2 = x (x - ae) (x - c1).

Proste obliczenia pokazują, że przewodnik tej krzywej jest określony wzorem

Porównując wzory (11) i (13) widzimy, że N = 2. Zatem na mocy Twierdzenia 1 istnieje postać paraboliczna

leżącego w przestrzeni 82(2). Ale na mocy relacji (6) przestrzeń ta wynosi zero. Zatem dn = 0 dla wszystkich n. Jednocześnie a^ = 1. Zatem różnica ag - dl = 1 nie jest podzielna przez I i dochodzimy do sprzeczności. W ten sposób twierdzenie zostało udowodnione.

Twierdzenie to dostarczyło klucza do dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata. A jednak sama hipoteza nadal pozostała niepotwierdzona.

Po ogłoszeniu 23 czerwca 1993 dowodu hipotezy Taniyamy o półstabilnych krzywych eliptycznych, do których zaliczają się krzywe postaci (8), Andrew Wiles spieszył się. Było zbyt wcześnie, aby matematycy świętowali swoje zwycięstwo.

Ciepłe lato szybko się skończyło, deszczowa jesień minęła i nadeszła zima. Wiles napisał i przepisał ostateczną wersję swojego dowodu, ale skrupulatni koledzy znajdowali w jego pracy coraz więcej nieścisłości. I tak na początku grudnia 1993 roku, kilka dni przed oddaniem rękopisu Wilesa do druku, ponownie odkryto poważne luki w jego zeznaniach. I wtedy Wiles zdał sobie sprawę, że nie da się niczego naprawić w dzień czy dwa. Wymagało to poważnej poprawy. Publikację dzieła trzeba było przełożyć. Wiles zwrócił się o pomoc do Taylora. „Praca nad błędami” trwała ponad rok. Ostateczna wersja dowodu hipotezy Taniyamy, napisana przez Wilesa we współpracy z Taylorem, została opublikowana dopiero latem 1995 roku.

W przeciwieństwie do bohatera A. Marininy, Wiles nie ubiegał się o Nagrodę Nobla, a mimo to... jakąś nagrodę powinien otrzymać. Ale który? Wiles miał już wtedy pięćdziesiątkę, a złote medale Fieldsa przyznawane są wyłącznie do czterdziestego roku życia, kiedy szczyt aktywności twórczej jeszcze nie minął. A potem postanowiono ustanowić dla Wilesa nagrodę specjalną - srebrną odznakę Komitetu Fieldsa. Odznakę tę wręczono mu na kolejnym kongresie matematycznym w Berlinie.

Ze wszystkich problemów, które z większym lub mniejszym prawdopodobieństwem mogą zastąpić ostatnie twierdzenie Fermata, największe szanse ma problem najbliższego upakowania kulek. Problem najgęstszego upakowania kulek można sformułować jako problem najbardziej ekonomicznego złożenia pomarańczy w piramidę. Młodzi matematycy odziedziczyli to zadanie po Johannesie Keplerze. Problem pojawił się w 1611 roku, kiedy Kepler napisał krótki esej „O sześciokątnych płatkach śniegu”. Zainteresowanie Keplera układem i samoorganizacją cząstek materii skłoniło go do omówienia innego zagadnienia – najgęstszego upakowania cząstek, w którym zajmują one najmniejszą objętość. Jeśli założymy, że cząstki mają kształt kulek, to jasne jest, że niezależnie od tego, jak zostaną rozmieszczone w przestrzeni, nieuchronnie pozostaną między nimi szczeliny, a pytanie brzmi, jak zmniejszyć objętość szczelin do minimum. W pracy np. stwierdzono (lecz nie udowodniono), że taki kształt jest czworościanem, którego osie współrzędnych wewnątrz wyznaczają podstawowy kąt ortogonalności 109°28", a nie 90°. Problem ten ma ogromne znaczenie dla fizyki cząstek elementarnych, krystalografii i innych dziedzin nauk przyrodniczych.

Literatura

1. Weil A. Funkcje eliptyczne według Eisensteina i Kroneckera. - M., 1978.

2. Sołowiew Yu.P. Hipoteza Taniyamy i ostatnie twierdzenie Fermata // Dziennik edukacyjny Sorosa. - nr 2. - 1998. - s. 78-95.

3. Ostatnie twierdzenie Singha S. Fermata. Historia tajemnicy, która od 358 lat zaprząta największe umysły świata. z angielskiego Yu.A. Daniłowa. M.: MTsNMO. 2000. - 260 s.

4. Mirmovich E.G., Usacheva T.V. Algebra kwaternionów i rotacje trójwymiarowe // To czasopismo nr 1(1), 2008. - s. 75-80.

WIELKIE TWIERDZENIE FERMY - stwierdzenie Pierre'a Fermata (francuskiego prawnika i matematyka na pół etatu), że równanie diofantyny X n + Y n = Z n , o wykładniku n>2, gdzie n = liczba całkowita, nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich. Tekst autora: „Nie da się rozłożyć sześcianu na dwie sześciany, dwukwadratu na dwa dwukwadraty, ani w ogóle potęgi większej niż dwa na dwie potęgi o tym samym wykładniku”.

„Fermat i jego twierdzenie”, Amadeo Modigliani, 1920

Pierre sformułował to twierdzenie 29 marca 1636 r. A jakieś 29 lat później zmarł. Ale od tego wszystko się zaczęło. Przecież zamożny niemiecki miłośnik matematyki nazwiskiem Wolfskehl zapisał sto tysięcy marek temu, kto przedstawi kompletny dowód twierdzenia Fermata! Ale podekscytowanie wokół twierdzenia wiązało się nie tylko z tym, ale także z zawodową pasją matematyczną. Sam Fermat dał do zrozumienia światu matematycznemu, że zna dowód – na krótko przed śmiercią, w 1665 r., pozostawił na marginesie Arytmetyki Diofantusa z Aleksandrii następującą notatkę: „Mam bardzo uderzający dowód, ale jest on zbyt duży, aby go umieszczone na polach.”

To właśnie ta wskazówka (plus oczywiście premia pieniężna) zmusiła matematyków do spędzenia najlepszych lat na bezskutecznym poszukiwaniu dowodu (według amerykańskich naukowców sami zawodowi matematycy spędzili na tym łącznie 543 lata).

W pewnym momencie (w 1901 r.) prace nad twierdzeniem Fermata zyskały wątpliwą reputację „pracy na wzór poszukiwania Maszyna ruchu wiecznego„(Pojawiło się nawet obraźliwe określenie – „Fermatyści”). I nagle 23 czerwca 1993 roku na konferencji matematycznej poświęconej teorii liczb w Cambridge angielski profesor matematyki z Princeton University (New Jersey, USA) Andrew Wiles ogłosił, że w końcu udowodnił Fermatowi!

Dowód był jednak nie tylko skomplikowany, ale także w sposób oczywisty błędny, jak zauważyli Wiles jego koledzy. Ale profesor Wiles przez całe życie marzył o udowodnieniu twierdzenia, nic więc dziwnego, że w maju 1994 roku przedstawił społeczności naukowej nową, poprawioną wersję dowodu. Nie było w nim harmonii ani piękna, a mimo to było bardzo złożone – fakt, że matematycy spędzili cały rok (!) analizując ten dowód, aby zrozumieć, czy jest on błędny, mówi sam za siebie!

Ostatecznie jednak dowód Wilesa okazał się poprawny. Ale matematycy nie wybaczyli Pierre'owi Fermatowi samej jego podpowiedzi w „Arytmetyce” i faktycznie zaczęli uważać go za kłamcę. Tak naprawdę pierwszą osobą, która zakwestionowała uczciwość moralną Fermata, był sam Andrew Wiles, który zauważył, że „Fermat nie mógł mieć takich dowodów. To dowód XX wieku”. Wówczas wśród innych naukowców utwierdziła się opinia, że Fermat „nie potrafił udowodnić swojego twierdzenia w inny sposób i Fermat nie mógł tego udowodnić w sposób, w jaki przyjął to Wiles z przyczyn obiektywnych”.

W rzeczywistości Fermat mógł to oczywiście udowodnić, a nieco później dowód ten zostanie odtworzony przez analityków New Analytical Encyclopedia. Ale jakie są te „obiektywne powody”?
W rzeczywistości jest tylko jeden taki powód: w czasach, gdy żył Fermat, hipoteza Taniyamy, na której Andrew Wiles oparł swój dowód, nie mogła się pojawić, ponieważ modułowe funkcje, z którymi operuje hipoteza Taniyamy, zostały odkryte dopiero w koniec XIX wiek.

Jak sam Wiles udowodnił twierdzenie? Pytanie nie jest bezczynne - jest ważne dla zrozumienia, w jaki sposób sam Fermat mógł udowodnić swoje twierdzenie. Wiles oparł swój dowód na dowodzie hipotezy Taniyamy, wysuniętej w 1955 roku przez 28-letniego japońskiego matematyka Yutakę Taniyamę.

Hipoteza brzmi następująco: „każda krzywa eliptyczna odpowiada pewnej formie modułowej”. Znane od dawna krzywe eliptyczne mają postać dwuwymiarową (umieszczoną na płaszczyźnie), natomiast funkcje modułowe mają postać czterowymiarową. Oznacza to, że hipoteza Taniyamy jest całkowicie powiązana różne koncepcje- proste płaskie krzywizny i niewyobrażalne czterowymiarowe kształty. Sam fakt łączenia w hipotezie liczb różnowymiarowych wydawał się naukowcom absurdalny, dlatego w 1955 r. nie nadano mu żadnego znaczenia.

Jednak jesienią 1984 roku nagle ponownie przypomniano sobie „hipotezę Taniyamy”, i to nie tylko zapamiętaną, ale jej możliwy dowód powiązano z dowodem twierdzenia Fermata! Dokonał tego matematyk z Saarbrücken Gerhard Frey, który poinformował społeczność naukową, że „jeśli komuś uda się udowodnić hipotezę Taniyamy, wówczas udowodnione zostanie również Ostatnie Twierdzenie Fermata”.

Co zrobił Frey? Przekształcił równanie Fermata w sześcienne, po czym zauważył, że krzywa eliptyczna otrzymana poprzez przekształcenie jej w równanie sześcienne Gospodarstwo nie może być modułowe. Jednak hipoteza Taniyamy stwierdzała, że każda krzywa eliptyczna może być modułowa! Zatem nie może istnieć krzywa eliptyczna zbudowana z równania Fermata, co oznacza, że nie może istnieć rozwiązanie całkowite i twierdzenie Fermata, co oznacza, że jest ono prawdziwe. Cóż, w 1993 roku Andrew Wiles po prostu udowodnił hipotezę Taniyamy, a co za tym idzie twierdzenie Fermata.

Twierdzenie Fermata można jednak udowodnić znacznie prościej, opierając się na tej samej wielowymiarowości, na której operowali zarówno Taniyama, jak i Frey.

Na początek zwróćmy uwagę na warunek określony przez samego Pierre'a Fermata - n>2. Dlaczego ten warunek był potrzebny? Tak, tylko dlatego, że przy n=2 szczególnym przypadkiem twierdzenia Fermata staje się zwykłe twierdzenie Pitagorasa X 2 + Y 2 = Z 2, które ma nieskończoną liczbę rozwiązań całkowitych - 3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 12,16,20; 51 140 149 i tak dalej. Zatem twierdzenie Pitagorasa jest wyjątkiem od twierdzenia Fermata.

Ale dlaczego taki wyjątek ma miejsce w przypadku n=2? Wszystko się układa, jeśli dostrzeżemy związek pomiędzy stopniem (n=2) a wymiarem samej figury. Trójkąt pitagorejski jest figurą dwuwymiarową. Nic dziwnego, że Z (czyli przeciwprostokątną) można wyrazić za pomocą nóg (X i Y), które mogą być liczbami całkowitymi. Wielkość kąta (90) pozwala uznać przeciwprostokątną za wektor, a ramiona są wektorami znajdującymi się na osiach i wychodzącymi z początku. W związku z tym możliwe jest wyrażenie dwuwymiarowego wektora, który nie leży na żadnej z osi, za pomocą wektorów leżących na nich.

Jeśli teraz przejdziemy do trzeciego wymiaru, a więc do n=3, aby wyrazić wektor trójwymiarowy, nie będzie wystarczającej informacji o dwóch wektorach, a zatem możliwe będzie wyrażenie Z w równaniu Fermata przez co najmniej trzy człony (trzy wektory leżące odpowiednio na trzech osiach układu współrzędnych).

Jeśli n=4, to powinny być 4 wyrazy, jeśli n=5, to powinno być 5 wyrazów i tak dalej. W takim przypadku rozwiązań będzie więcej niż wystarczająco. Na przykład 3 3 +4 3 +5 3 =6 3 i tak dalej (możesz wybrać inne przykłady dla n=3, n=4 itd.).

Co z tego wszystkiego wynika? Wynika z tego, że twierdzenie Fermata tak naprawdę nie ma rozwiązań całkowitych dla n>2 - ale tylko dlatego, że samo równanie jest błędne! Z takim samym sukcesem można by spróbować wyrazić objętość równoległościanu za pomocą długości jego dwóch krawędzi - oczywiście jest to niemożliwe (nigdy nie znajdzie się całych rozwiązań), ale tylko po to, aby znaleźć objętość równoległościanu musisz znać długości wszystkich trzech jego krawędzi.

Kiedy słynny matematyk David Gilbert zapytany, jaki jest obecnie najważniejszy problem nauki, odpowiedział „złapać muchę na tylna strona Księżyc.” Na rozsądne pytanie: „Komu to jest potrzebne?” odpowiedział: „Nikt tego nie potrzebuje. Ale pomyśl, ile ważnych najbardziej skomplikowane zadania musisz podjąć decyzję, aby to się stało.”

Inaczej mówiąc, Fermat (przede wszystkim prawnik!) zrobił dowcipny żart prawniczy całemu matematycznemu światu, bazując na błędnym sformułowaniu problemu. W istocie sugerował, że matematycy znajdą odpowiedź na pytanie, dlaczego mucha po drugiej stronie Księżyca nie może żyć, a na marginesie „Arytmetyki” chciał napisać jedynie, że na Księżycu po prostu nie ma powietrza, czyli: Nie może być całkowitych rozwiązań jego twierdzenia tylko dla n>2, ponieważ każda wartość n musi odpowiadać pewnej liczbie wyrazów po lewej stronie jego równania.

Ale czy to był tylko żart? Zupełnie nie. Geniusz Fermata polega właśnie na tym, że właściwie jako pierwszy dostrzegł związek pomiędzy stopniem i wymiarem figury matematycznej, czyli, co jest absolutnie równoważne, liczbie wyrazów po lewej stronie równania. Znaczenie jego słynnego twierdzenia polegało właśnie na tym, aby nie tylko pchać matematyczny świat na idei tej zależności, ale także zainicjować dowód na istnienie tej zależności – intuicyjnie zrozumiały, ale jeszcze niepotwierdzony matematycznie.

Fermat jak nikt inny rozumiał, że nawiązywanie relacji między pozornie różnymi przedmiotami jest niezwykle owocne nie tylko w matematyce, ale w każdej nauce. Zależność ta wskazuje na jakąś głęboką zasadę leżącą u podstaw obu obiektów i pozwalającą na ich głębsze zrozumienie.

Na przykład fizycy początkowo postrzegali elektryczność i magnetyzm jako zjawiska całkowicie niezwiązane, ale w XIX wieku teoretycy i eksperymentatorzy zdali sobie sprawę, że elektryczność i magnetyzm są ze sobą ściśle powiązane. W rezultacie osiągnięto lepsze zrozumienie zarówno elektryczności, jak i magnetyzmu. Prądy elektryczne dać podwyżkę pola magnetyczne, a magnesy mogą indukować prąd w przewodnikach znajdujących się w pobliżu magnesów. Doprowadziło to do wynalezienia dynama i silników elektrycznych. W końcu odkryto, że światło jest wynikiem skoordynowanego działania drgania harmoniczne pola magnetyczne i elektryczne.

Matematyka czasów Fermata składała się z wysp wiedzy na morzu ignorancji. Na jednej wyspie żyli geometrzy studiujący kształty, na innej matematycy zajmujący się teorią prawdopodobieństwa badali ryzyko i przypadkowość. Język geometrii bardzo różnił się od języka teorii prawdopodobieństwa, a terminologia algebraiczna była obca tym, którzy mówili wyłącznie o statystyce. Niestety, współczesna matematyka składa się z mniej więcej tych samych wysp.

Fermat jako pierwszy zdał sobie sprawę, że wszystkie te wyspy są ze sobą powiązane. A jego słynne twierdzenie – Ostatnie Twierdzenie Fermata – jest tego doskonałym potwierdzeniem.

Zatem Ostatnie Twierdzenie Fermata (często nazywane ostatnim twierdzeniem Fermata), sformułowane w 1637 roku przez genialnego francuskiego matematyka Pierre'a Fermata, jest bardzo proste i zrozumiałe dla każdego, kto ma wykształcenie średnie. Mówi ona, że wzór a do potęgi n + b do potęgi n = c do potęgi n nie ma naturalnych (czyli nie ułamkowych) rozwiązań dla n > 2. Wszystko wydaje się proste i jasne, ale najlepsi matematycy i zwykli amatorzy zmagali się z poszukiwaniem rozwiązania przez ponad trzy i pół wieku.

Dlaczego jest taka sławna? Teraz się dowiemy...

Czy istnieje wiele sprawdzonych, niepotwierdzonych i jeszcze nieudowodnionych twierdzeń? Rzecz w tym, że Ostatnie Twierdzenie Fermata stanowi największy kontrast pomiędzy prostotą sformułowania a złożonością dowodu. Ostatnie twierdzenie Fermata jest niezwykle trudnym problemem, a mimo to jego sformułowanie może zrozumieć każdy, kto ukończył piątą klasę szkoły średniej, ale nawet zawodowy matematyk nie jest w stanie zrozumieć dowodu. Ani w fizyce, ani w chemii, ani w biologii, ani w matematyce nie ma ani jednego problemu, który można by tak prosto sformułować, a który pozostawałby tak długo nierozwiązany. 2. Z czego się składa?

Zacznijmy od spodni pitagorejskich.Słowo jest naprawdę proste – na pierwszy rzut oka. Jak wiemy z dzieciństwa, „spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron”. Problem wygląda na tak prosty, bo opierał się na znanym wszystkim twierdzeniu matematycznym - twierdzeniu Pitagorasa: w dowolnym trójkącie prostokątnym kwadrat zbudowany na przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów zbudowanych na nogach.

W V wieku p.n.e. Pitagoras założył bractwo pitagorejskie. Pitagorejczycy badali między innymi trojaczki całkowite spełniające równość x²+y²=z². Udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele trójek pitagorejskich i uzyskali ogólne wzory na ich znajdowanie. Prawdopodobnie próbowali szukać C i wyższych stopni. Przekonani, że to nie zadziała, pitagorejczycy porzucili swoje bezużyteczne próby. Członkowie bractwa byli raczej filozofami i estetami niż matematykami.

Oznacza to, że łatwo jest wybrać zbiór liczb, który doskonale spełnia równość x²+y²=z²

Zaczynając od 3, 4, 5 - rzeczywiście młodszy uczeń rozumie, że 9 + 16 = 25.

Lub 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Świetnie.

I tak dalej. A co jeśli weźmiemy podobne równanie x³+y³=z³? Może też są takie liczby?

I tak dalej (ryc. 1).

Okazuje się więc, że NIE. Tutaj zaczyna się cała sztuczka. Prostota jest pozorna, bo trudno udowodnić nie obecność czegoś, a wręcz przeciwnie – jego brak. Kiedy chcesz udowodnić, że istnieje rozwiązanie, możesz i powinieneś po prostu je przedstawić.

Trudniej jest udowodnić nieobecność: ktoś na przykład powie: takie a takie równanie nie ma rozwiązań. Wsadzić go do kałuży? proste: bam – i oto jest rozwiązanie! (podaj rozwiązanie). I tyle, przeciwnik zostaje pokonany. Jak udowodnić nieobecność?

Powiedz: „Nie znalazłem takich rozwiązań”? A może nie wyglądałeś dobrze? A co jeśli istnieją, tylko bardzo duże, bardzo duże, tak że nawet super-potężny komputer wciąż nie ma wystarczającej siły? To właśnie jest trudne.

Można to pokazać wizualnie w ten sposób: jeśli weźmiesz dwa kwadraty o odpowiednich rozmiarach i rozłożysz je na kwadraty jednostkowe, to z tej grupy kwadratów jednostkowych otrzymasz trzeci kwadrat (ryc. 2):

Ale zróbmy to samo z trzecim wymiarem (ryc. 3) – to nie działa. Nie ma wystarczającej liczby kostek lub zostały dodatkowe:

Jednak XVII-wieczny francuski matematyk Pierre de Fermat z entuzjazmem studiował ogólne równanie x n +y n =z n . I w końcu doszedłem do wniosku: dla n>2 nie ma rozwiązań całkowitych. Dowód Fermata został bezpowrotnie utracony. Rękopisy płoną! Pozostaje tylko jego uwaga w Arytmetyce Diofantusa: „Znalazłem naprawdę zdumiewający dowód tego twierdzenia, ale marginesy są tu zbyt wąskie, aby je pomieścić”.

W rzeczywistości twierdzenie bez dowodu nazywa się hipotezą. Ale Fermat ma reputację osoby, która nigdy nie popełnia błędów. Nawet jeśli nie pozostawił dowodu na oświadczenie, zostało ono następnie potwierdzone. Ponadto Fermat udowodnił swoją tezę dla n=4. Tym samym hipoteza francuskiego matematyka przeszła do historii jako Ostatnie Twierdzenie Fermata.

Po Fermacie nad poszukiwaniem dowodu pracowały takie wielkie umysły, jak Leonhard Euler (w 1770 r. zaproponował rozwiązanie dla n = 3),

Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ci naukowcy wspólnie znaleźli dowód na n = 5 w 1825 r.), Gabriel Lamé (który znalazł dowód na n = 7) i wielu innych. W połowie lat 80. ubiegłego wieku stało się jasne, że świat naukowy jest na dobrej drodze do ostatecznego rozwiązania Ostatniego Twierdzenia Fermata, jednak dopiero w 1993 roku matematycy dostrzegli i uwierzyli, że trwająca trzy stulecia epopeja poszukiwania dowodu ostatniego twierdzenia Fermata praktycznie dobiegło końca.

Łatwo wykazać, że wystarczy udowodnić twierdzenie Fermata tylko dla prostych n: 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Dla złożonego n dowód pozostaje ważny. Ale liczb pierwszych jest nieskończenie wiele...

W 1825 roku, stosując metodę Sophie Germain, matematyczki Dirichlet i Legendre niezależnie udowodniły twierdzenie dla n=5. W 1839 roku tą samą metodą Francuz Gabriel Lame wykazał prawdziwość twierdzenia dla n=7. Stopniowo twierdzenie zostało udowodnione dla prawie wszystkich n mniejszych niż sto.

Wreszcie niemiecki matematyk Ernst Kummer w genialnym badaniu wykazał, że twierdzenia w ogóle nie da się udowodnić metodami matematyki XIX wieku. Nagroda Francuskiej Akademii Nauk, ustanowiona w 1847 r. za dowód twierdzenia Fermata, pozostała nieprzyznana.

W 1907 roku zamożny niemiecki przemysłowiec Paul Wolfskehl zdecydował się odebrać sobie życie z powodu nieodwzajemnionej miłości. Jak prawdziwy Niemiec wyznaczył datę i godzinę samobójstwa: dokładnie o północy. Ostatniego dnia sporządził testament i napisał listy do przyjaciół i krewnych. Sprawy zakończyły się przed północą. Trzeba powiedzieć, że Paweł interesował się matematyką. Nie mając nic innego do roboty, poszedł do biblioteki i zaczął czytać słynny artykuł Kummera. Nagle wydało mu się, że Kummer pomylił się w swoim rozumowaniu. Wolfskel zaczął analizować tę część artykułu z ołówkiem w dłoniach. Minęła północ, nastał poranek. Luka w dowodzie została wypełniona. A sam powód samobójstwa wyglądał teraz zupełnie absurdalnie. Paweł podarł listy pożegnalne i spisał na nowo swój testament.

Wkrótce zmarł śmiercią naturalną. Spadkobiercy byli niemile zaskoczeni: 100 000 marek (obecnie ponad 1 000 000 funtów szterlingów) wpłynęło na konto Królewskiego Towarzystwa Naukowego w Getyndze, które w tym samym roku ogłosiło konkurs o Nagrodę Wolfskehla. Za udowodnienie twierdzenia Fermata przyznano 100 000 punktów. Za obalenie twierdzenia nie przyznano ani fenigów…

Większość zawodowych matematyków uważała poszukiwanie dowodu Ostatniego Twierdzenia Fermata za zadanie beznadziejne i zdecydowanie nie chciała tracić czasu na tak bezużyteczne ćwiczenie. Ale amatorzy mieli niezłą zabawę. Kilka tygodni po ogłoszeniu na Uniwersytet w Getyndze spadła lawina „dowodów”. Profesor E.M. Landau, którego zadaniem była analiza nadesłanego materiału dowodowego, rozdał swoim studentom kartki:

Droga. . . . . . . .

Dziękuję za przesłanie mi manuskryptu z dowodem Ostatniego Twierdzenia Fermata. Pierwszy błąd jest na stronie...w linii... . Przez to cały dowód traci ważność.
Profesor E. M. Landau

W 1963 roku Paul Cohen, opierając się na ustaleniach Gödla, udowodnił nierozwiązywalność jednego z dwudziestu trzech problemów Hilberta – hipotezy kontinuum. A co jeśli Ostatnie Twierdzenie Fermata jest również nierozstrzygalne?! Ale prawdziwi fanatycy Wielkiego Twierdzenia wcale nie byli zawiedzeni. Pojawienie się komputerów nagle dało matematykom nową metodę dowodu. Po II wojnie światowej zespoły programistów i matematyków udowodniły Ostatnie Twierdzenie Fermata dla wszystkich wartości n do 500, następnie do 1000, a później do 10 000.

W latach 80. Samuel Wagstaff podniósł tę granicę do 25 000, a w latach 90. matematycy oświadczyli, że Ostatnie Twierdzenie Fermata jest prawdziwe dla wszystkich wartości od n do 4 milionów. Ale jeśli od nieskończoności odejmiemy nawet bilion bilionów, nie zmniejszy się ona. Matematyków nie przekonują statystyki. Udowodnienie Wielkiego Twierdzenia oznaczało udowodnienie go dla WSZYSTKICH n zmierzających do nieskończoności.

W 1954 roku dwóch młodych japońskich przyjaciół matematyków rozpoczęło badania nad formami modułowymi. Formy te generują serie liczb, każda z własną serią. Przez przypadek Taniyama porównał te szeregi z szeregami generowanymi przez równania eliptyczne. Pasowali! Ale formy modułowe są obiektami geometrycznymi, a równania eliptyczne są algebraiczne. Nigdy nie znaleziono żadnego związku pomiędzy tak różnymi obiektami.

Jednak po dokładnych testach przyjaciele wysunęli hipotezę: każde równanie eliptyczne ma bliźniaczą formę - modułową i odwrotnie. To właśnie ta hipoteza stała się podstawą całego kierunku w matematyce, ale dopóki hipoteza Taniyamy-Shimury nie została udowodniona, cały budynek mógł w każdej chwili się zawalić.

W 1984 roku Gerhard Frey wykazał, że rozwiązanie równania Fermata, jeśli istnieje, można ująć w jakimś równaniu eliptycznym. Dwa lata później profesor Ken Ribet udowodnił, że to hipotetyczne równanie nie może mieć odpowiednika w świecie modułowym. Odtąd Ostatnie Twierdzenie Fermata było nierozerwalnie powiązane z hipotezą Taniyamy – Shimury. Po udowodnieniu, że każda krzywa eliptyczna jest modułowa, dochodzimy do wniosku, że nie ma równania eliptycznego z rozwiązaniem równania Fermata, a Ostatnie Twierdzenie Fermata zostałoby natychmiast udowodnione. Jednak przez trzydzieści lat nie udało się udowodnić hipotezy Taniyamy-Shimury i nadzieja na sukces była coraz mniejsza.

W 1963 roku, mając zaledwie dziesięć lat, Andrew Wiles był już zafascynowany matematyką. Kiedy dowiedział się o Wielkim Twierdzeniu, zdał sobie sprawę, że nie może z niego zrezygnować. Jako uczeń, student i doktorant przygotowywał się do tego zadania.

Dowiedziawszy się o odkryciach Kena Ribeta, Wiles pogrążył się bez reszty w udowadnianiu hipotezy Taniyamy-Shimury. Postanowił pracować w całkowitej izolacji i tajemnicy. „Zdałem sobie sprawę, że wszystko, co ma związek z Ostatnim Twierdzeniem Fermata, budzi zbyt duże zainteresowanie… Zbyt duża liczba widzów wyraźnie przeszkadza w osiągnięciu celu.” Siedem lat ciężkiej pracy opłaciło się; Wiles w końcu zakończył dowód hipotezy Taniyamy – Shimury.

W 1993 roku angielski matematyk Andrew Wiles przedstawił światu swój dowód Ostatniego Twierdzenia Fermata (Wiles przeczytał jego sensacyjny artykuł na konferencji w Instytucie Sir Isaaca Newtona w Cambridge.), nad którym prace trwały ponad siedem lat.

Podczas gdy w prasie trwał szum, rozpoczęto poważne prace nad weryfikacją dowodów. Każdy dowód należy dokładnie zbadać, zanim będzie można go uznać za rygorystyczny i dokładny. Wiles spędził niespokojne lato, czekając na opinie recenzentów, mając nadzieję, że uda mu się zdobyć ich aprobatę. Pod koniec sierpnia biegli uznali wyrok za niewystarczająco uzasadniony.

Okazało się, że decyzja ta zawiera rażący błąd, choć w sumie jest słuszna. Wiles nie poddał się, zwrócił się o pomoc do słynnego specjalisty w dziedzinie teorii liczb Richarda Taylora i już w 1994 roku opublikowali poprawiony i rozszerzony dowód twierdzenia. Najbardziej zdumiewające jest to, że praca ta zajęła aż 130 (!) stron w czasopiśmie matematycznym „Annals of Mathematics”. Ale na tym historia się nie skończyła – punkt kulminacyjny nastąpił dopiero w następnym roku, 1995, kiedy opublikowano ostateczną i „idealną” z matematycznego punktu widzenia wersję dowodu.

„...pół minuty po rozpoczęciu uroczystej kolacji z okazji jej urodzin sprezentowałem Nadii rękopis kompletnego dowodu” (Andrew Wales). Czy nie mówiłem już, że matematycy to dziwni ludzie?

Tym razem nie było wątpliwości co do dowodów. Najbardziej wnikliwej analizie poddano dwa artykuły, które ukazały się w maju 1995 roku w Annals of Mathematics.

Od tego momentu minęło już sporo czasu, a w społeczeństwie wciąż panuje opinia, że Ostatnie Twierdzenie Fermata jest nierozwiązywalne. Ale nawet ci, którzy wiedzą o znalezionym dowodzie, nadal pracują w tym kierunku - niewielu jest zadowolonych, że Wielkie Twierdzenie wymaga rozwiązania 130 stron!

Dlatego teraz wysiłki wielu matematyków (głównie amatorów, a nie zawodowych naukowców) rzucane są na poszukiwanie prostego i zwięzłego dowodu, ale ta droga najprawdopodobniej donikąd nie doprowadzi…