W kurs szkolny W stereometrii jedną z najprostszych figur, która ma niezerowe wymiary wzdłuż trzech osi przestrzennych, jest czworokątny pryzmat. Zastanówmy się w artykule, jaki to rodzaj figury, z jakich elementów się składa, a także jak obliczyć jej powierzchnię i objętość.
Pojęcie pryzmatu
W geometrii pryzmat jest figurą przestrzenną utworzoną przez dwa na tej samej podstawie oraz powierzchnie boczne łączące boki tych podstaw. Należy pamiętać, że obie zasady są przenoszone między sobą za pomocą operacji przeniesienia równoległego do określonego wektora. Ta definicja pryzmatu prowadzi do tego, że wszystkie jego boki są zawsze równoległobokami.
Liczba boków podstawy może być dowolna, zaczynając od trzech. Ponieważ liczba ta zmierza do nieskończoności, pryzmat płynnie zamienia się w cylinder, ponieważ jego podstawa staje się kołem, a łączące się równoległoboki boczne tworzą cylindryczną powierzchnię.
Jak każdy wielościan, pryzmat charakteryzuje się bokami (płaszczyznami ograniczającymi figurę), krawędziami (odcinkami, wzdłuż których przecinają się dowolne dwa boki) i wierzchołkami (punktami spotkania trzech boków, w przypadku pryzmatu dwa z nich są boczne, a trzeci to baza). Ilości trzech nazwanych elementów figury są ze sobą powiązane następującym wyrażeniem:
Tutaj P, C i B to odpowiednio liczba krawędzi, boków i wierzchołków. Wyrażenie to jest matematyczną reprezentacją twierdzenia Eulera.
Powyżej znajduje się zdjęcie przedstawiające dwa pryzmaty. U podstawy jednego z nich (A) leży sześciokąt foremny, a boki boczne są prostopadłe do podstaw. Rysunek B przedstawia inny pryzmat. Jego boki nie są już prostopadłe do podstaw, a podstawa jest zwykły pięciokąt.
czworokątny?
Jak wynika z powyższego opisu, o rodzaju pryzmatu decyduje przede wszystkim rodzaj wielokąta tworzącego podstawę (obie podstawy są takie same, więc możemy mówić o jednej z nich). Jeśli ten wielokąt jest równoległobokiem, wówczas otrzymujemy czworokątny pryzmat. Zatem wszystkie boki tego są równoległobokami. Pryzmat czworokątny ma swoją nazwę - równoległościan.
Liczba boków równoległościanu wynosi sześć, a na każdym boku znajduje się równoległościan podobny do niego. Ponieważ podstawy równoległościanu to dwa boki, pozostałe cztery są boczne.
Liczba wierzchołków równoległościanu wynosi osiem, co łatwo sprawdzić, pamiętając, że wierzchołki pryzmatu powstają tylko na wierzchołkach wielokątów przy podstawie (4x2=8). Stosując twierdzenie Eulera otrzymujemy liczbę krawędzi:
P = do + b - 2 = 6 + 8 - 2 = 12
Z 12 żeber tylko 4 są utworzone niezależnie przez boki. Pozostałych 8 leży w płaszczyznach podstaw figury.
Rodzaje równoległościanów
Pierwszy rodzaj klasyfikacji opiera się na cechach równoległoboku leżącego u podstawy. Może to wyglądać tak:
- zwykły, którego kąty nie są równe 90 o;
- prostokąt;
- kwadrat jest regularnym czworokątem.
Drugi rodzaj klasyfikacji to kąt, pod jakim bok przecina podstawę. Możliwe są tutaj dwa różne przypadki:
- ten kąt nie jest prawidłowy, wtedy pryzmat nazywa się ukośnym lub nachylonym;
- kąt wynosi 90 o, wtedy taki pryzmat jest prostokątny lub po prostu prosty.
Trzeci rodzaj klasyfikacji związany jest z wysokością pryzmatu. Jeśli pryzmat jest prostokątny i ma u podstawy kwadrat lub prostokąt, wówczas nazywa się go prostopadłościanem. Jeśli u podstawy znajduje się kwadrat, pryzmat jest prostokątny, a jego wysokość jest równa długości boku kwadratu, to otrzymujemy dobrze znaną figurę sześcianu.
Powierzchnia i powierzchnia pryzmatu
Zbiór wszystkich punktów leżących na dwóch podstawach pryzmatu (równoległoboki) i na jego bokach (cztery równoległoboki) tworzy powierzchnię figury. Pole tej powierzchni można obliczyć obliczając pole podstawy i tę wartość dla powierzchni bocznej. Wtedy ich suma da pożądaną wartość. Matematycznie jest to zapisane w ten sposób:
Tutaj S o i S b są odpowiednio obszarem podstawy i powierzchni bocznej. Liczba 2 przed So pojawia się, ponieważ istnieją dwie podstawy.
Należy pamiętać, że zapisany wzór obowiązuje dla dowolnego pryzmatu, a nie tylko dla obszaru czworokątnego pryzmatu.
Warto przypomnieć, że obszar równoległoboku S p oblicza się według wzoru:
Gdzie symbole a i h oznaczają odpowiednio długość jednego z jego boków i wysokość narysowaną na ten bok.
Pole prostopadłościanu o podstawie kwadratowej
Podstawą jest kwadrat. Dla pewności oznaczmy jego bok literą a. Aby obliczyć powierzchnię regularnego czworokątnego pryzmatu, musisz znać jego wysokość. Zgodnie z definicją tej wartości jest ona równa długości prostopadłej spuszczonej z jednej podstawy na drugą, czyli równej odległości między nimi. Oznaczmy to literą h. Ponieważ wszystkie ściany boczne są prostopadłe do podstaw rozważanego rodzaju pryzmatu, wysokość regularnego czworokątnego pryzmatu będzie równa długości jego bocznej krawędzi.
Ogólny wzór na powierzchnię pryzmatu ma dwa człony. Pole podstawy w tym przypadku jest łatwe do obliczenia, jest równe:
Aby obliczyć pole powierzchni bocznej, rozumujemy w następujący sposób: powierzchnię tę tworzą 4 identyczne prostokąty. Co więcej, boki każdego z nich są równe a i h. Oznacza to, że pole S b będzie równe:
Zauważ, że iloczyn 4*a jest obwodem kwadratowej podstawy. Jeśli uogólnimy to wyrażenie na przypadek dowolnej podstawy, to dla prostopadłościanu powierzchnię boczną można obliczyć w następujący sposób:
Gdzie P o jest obwodem podstawy.
Wracając do problemu obliczania pola kwadratowego pryzmatu foremnego, możemy napisać ostateczny wzór:
S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)
Obszar ukośnego równoległościanu
Jest to nieco trudniejsze do obliczenia niż w przypadku prostokąta. W tym przypadku pole podstawy czworokątnego pryzmatu oblicza się przy użyciu tego samego wzoru, co w przypadku równoległoboku. Zmiany dotyczą sposobu wyznaczania pola powierzchni bocznej.
Aby to zrobić, użyj tego samego wzoru na obwodzie, jak podano w powyższym akapicie. Tylko teraz będzie miał nieco inne mnożniki. Ogólny wzór na Sb w przypadku ukośnego pryzmatu jest następujący:
Tutaj c jest długością bocznej krawędzi figury. Wartość P sr jest obwodem prostokątnego cięcia. Środowisko to jest zbudowane w następujący sposób: konieczne jest przecięcie wszystkich ścian bocznych płaszczyzną tak, aby była do nich wszystkich prostopadła. Powstały prostokąt będzie pożądanym cięciem.
Powyższy rysunek przedstawia przykład równoległościanu ukośnego. Jego zacieniona część z bokami tworzy kąty proste. Obwód sekcji to P sr. Tworzą go cztery wysokości bocznych równoległoboków. W przypadku tego czworokątnego pryzmatu pole powierzchni bocznej oblicza się za pomocą powyższego wzoru.
Długość przekątnej równoległościanu prostokątnego
Przekątna równoległościanu to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie mają wspólnych boków je tworzących. Każdy czworokątny pryzmat ma tylko cztery przekątne. W przypadku równoległościanu prostokątnego z prostokątem u podstawy długości wszystkich przekątnych są sobie równe.
Poniższy rysunek przedstawia odpowiedni rysunek. Czerwony segment to jego przekątna.
re = √(A 2 + B 2 + C 2)
Tutaj D jest długością przekątnej. Pozostałe symbole to długości boków równoległościanu.
Wiele osób myli przekątną równoległościanu z przekątnymi jego boków. Poniżej znajduje się rysunek, na którym przekątne boków figury przedstawiono w kolorowych segmentach.
Długość każdego z nich jest również określona przez twierdzenie Pitagorasa i jest równa pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów odpowiednich długości boków.
Objętość pryzmatu
Oprócz obszaru zwykłego czworokątnego pryzmatu lub innych typów pryzmatów, aby rozwiązać niektóre problemy geometryczne powinieneś także znać ich objętość. Wartość tę dla absolutnie dowolnego pryzmatu oblicza się za pomocą następującego wzoru:
Jeśli pryzmat jest prostokątny, wystarczy obliczyć pole jego podstawy i pomnożyć je przez długość bocznej krawędzi, aby uzyskać objętość figury.
Jeśli pryzmat jest regularny czworokątny, wówczas jego objętość będzie równa:
Łatwo zauważyć, że wzór ten przekształca się w wyrażenie na objętość sześcianu, jeżeli długość krawędzi bocznej h jest równa długości boku podstawy a.
Problem z równoległościanem prostokątnym
Aby skonsolidować badany materiał, rozwiążemy następujący problem: istnieje prostokątny równoległościan, którego boki wynoszą 3 cm, 4 cm i 5 cm, należy obliczyć jego pole powierzchni, długość przekątnej i objętość.
S = 2*S o + S b = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 cm 2
Aby określić długość przekątnej i objętość figury, możesz bezpośrednio użyć powyższych wyrażeń:
re = √(3 2 +4 2 +5 2) = 7,071 cm;
V = 3*4*5 = 60 cm3.
Problem z równoległościanem skośnym
Poniższy rysunek przedstawia ukośny pryzmat. Jego boki są równe: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 12 cm Konieczne jest znalezienie pola powierzchni tej figury.
Najpierw określmy obszar podstawy. Z rysunku wynika, że ostry róg równa 50 o. Wtedy jego pole jest równe:
S o = h*a = sin(50 o)*b*a
Aby określić pole powierzchni bocznej, znajdź obwód zacieniowanego prostokąta. Boki tego prostokąta to a*sin(45 o) i b*sin(60 o). Zatem obwód tego prostokąta wynosi:
P sr = 2*(a*sin(45 o)+b*sin(60 o))
Całkowita powierzchnia tego równoległościanu wynosi:
S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))
Podstawiamy dane z warunków problemowych na długości boków figury i otrzymujemy odpowiedź:
Z rozwiązania tego problemu wynika, że funkcje trygonometryczne służą do wyznaczania obszarów figur ukośnych.
W program nauczania Na kursie stereometrii badanie figur trójwymiarowych zwykle rozpoczyna się od prostego ciała geometrycznego - wielościanu pryzmatu. Rolę jego podstaw pełni 2 równy wielokąt, leżące w równoległych płaszczyznach. Szczególnym przypadkiem jest regularny pryzmat czworokątny. Jego podstawą są 2 jednakowe regularne czworokąty, do których boki są prostopadłe, mające kształt równoległoboków (lub prostokątów, jeśli pryzmat nie jest nachylony).
Jak wygląda pryzmat?
Regularny czworokątny pryzmat to sześciokąt, którego podstawy to 2 kwadraty, a ściany boczne są reprezentowane przez prostokąty. Inna nazwa tego figura geometryczna- prosty równoległościan.
Poniżej pokazano rysunek przedstawiający czworokątny pryzmat.
Widać też na zdjęciu niezbędne elementy, z którego się składa geometryczne ciało . Obejmują one:
Czasem w zadaniach z geometrii można spotkać się z pojęciem przekroju. Definicja będzie brzmieć następująco: przekrój to wszystkie punkty bryły wolumetrycznej należące do płaszczyzny cięcia. Przekrój może być prostopadły (przecina krawędzie figury pod kątem 90 stopni). W przypadku pryzmatu prostokątnego uwzględnia się również przekrój przekątny (maksymalna liczba przekrojów, jakie można zbudować to 2), przechodzący przez 2 krawędzie i przekątne podstawy.
Jeśli przekrój zostanie narysowany w taki sposób, że płaszczyzna cięcia nie jest równoległa ani do podstaw, ani do ścian bocznych, efektem będzie ścięty pryzmat.
Aby znaleźć zredukowane elementy pryzmatyczne, stosuje się różne relacje i wzory. Część z nich znana jest z zajęć z planimetrii (np. aby obliczyć pole podstawy pryzmatu wystarczy przypomnieć sobie wzór na pole kwadratu).
Powierzchnia i objętość
Aby określić objętość pryzmatu za pomocą wzoru, musisz znać obszar jego podstawy i wysokość:
V = Sbas h
Ponieważ podstawą foremnego graniastosłupa czworościennego jest kwadrat o boku A, Możesz napisać formułę w bardziej szczegółowej formie:
V = a²·h
Jeśli mówimy o sześcianie - regularnym pryzmacie o równej długości, szerokości i wysokości, objętość oblicza się w następujący sposób:
Aby zrozumieć, jak znaleźć powierzchnię boczną pryzmatu, musisz wyobrazić sobie jego rozwój.
Z rysunku widać, że powierzchnia boczna składa się z 4 równych prostokątów. Jego pole oblicza się jako iloczyn obwodu podstawy i wysokości figury:
Strona = Poz. godz
Biorąc pod uwagę, że obwód kwadratu jest równy P = 4a, formuła przyjmuje postać:
Strona = 4a godz
Dla kostki:
Bok = 4a²
Aby obliczyć całkowitą powierzchnię pryzmatu, należy dodać 2 obszary podstawowe do obszaru bocznego:
Sfull = Bok + 2Smain
W odniesieniu do czworokątnego pryzmatu foremnego wzór wygląda następująco:
Stotal = 4a godz. + 2a²
Dla powierzchni sześcianu:
Pełny = 6a²
Znając objętość lub pole powierzchni, można obliczyć poszczególne elementy bryły geometrycznej.
Znajdowanie elementów pryzmatycznych
Często pojawiają się problemy, w których podana jest objętość lub znana jest wartość pola powierzchni bocznej, gdzie konieczne jest określenie długości boku podstawy lub wysokości. W takich przypadkach można wyprowadzić wzory:
- długość boku podstawy: a = bok / 4h = √(V / h);
- wysokość lub długość bocznych żeber: h = bok / 4a = V / a²;
- powierzchnia podstawy: Sbas = V/h;
- powierzchnia powierzchni bocznej: Strona gr = bok / 4.
Aby określić, ile powierzchni ma przekrój przekątny, musisz znać długość przekątnej i wysokość figury. Na kwadrat d = a√2. Dlatego:
Sdiag = ah√2
Aby obliczyć przekątną pryzmatu, skorzystaj ze wzoru:
dnagroda = √(2a² + h²)
Aby zrozumieć, jak zastosować podane zależności, możesz przećwiczyć i rozwiązać kilka prostych zadań.
Przykłady problemów z rozwiązaniami
Oto kilka zadań, które można znaleźć na państwowych egzaminach końcowych z matematyki.
Ćwiczenie 1.
Piasek wsypuje się do pudełka w kształcie zwykłego czworokątnego pryzmatu. Wysokość jego poziomu wynosi 10 cm.Jaki będzie poziom piasku, jeśli przeniesiemy go do pojemnika o tym samym kształcie, ale z dwukrotnie dłuższą podstawą?
Należy to uzasadnić w następujący sposób. Ilość piasku w pierwszym i drugim pojemniku nie uległa zmianie, tj. jego objętość w nich jest taka sama. Możesz oznaczyć długość podstawy przez A. W tym przypadku dla pierwszego pudełka objętość substancji będzie wynosić:
V₁ = ha² = 10a²
W przypadku drugiego pudełka długość podstawy wynosi 2a, ale wysokość poziomu piasku nie jest znana:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Ponieważ V₁ = V₂, możemy przyrównać wyrażenia:
10a² = 4ha²
Po zmniejszeniu obu stron równania przez a² otrzymujemy:
W efekcie powstanie nowy poziom piasku h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Zadanie 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ jest pryzmatem poprawnym. Wiadomo, że BD = AB₁ = 6√2. Znajdź całkowitą powierzchnię ciała.
Aby ułatwić zrozumienie, które elementy są znane, możesz narysować figurę.
Ponieważ mówimy o pryzmacie foremnym, możemy stwierdzić, że u podstawy znajduje się kwadrat o przekątnej 6√2. Przekątna ściany bocznej ma tę samą wielkość, dlatego też ściana boczna ma kształt kwadratu równego podstawie. Okazuje się, że wszystkie trzy wymiary - długość, szerokość i wysokość - są równe. Możemy stwierdzić, że ABCDA₁B₁C₁D₁ jest sześcianem.
Długość dowolnej krawędzi określa się za pomocą znanej przekątnej:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Powierzchnię całkowitą oblicza się ze wzoru na sześcian:
Pełny = 6a² = 6 6² = 216
Zadanie 3.
Pokój jest w trakcie remontu. Wiadomo, że jego podłoga ma kształt kwadratu o powierzchni 9 m². Wysokość pokoju wynosi 2,5 m. Jaki jest najniższy koszt tapetowania pokoju, jeśli 1 m² kosztuje 50 rubli?
Ponieważ podłoga i sufit mają kształt kwadratów, czyli regularnych czworokątów, a jej ściany są prostopadłe do powierzchni poziomych, możemy stwierdzić, że jest to graniastosłup foremny. Konieczne jest określenie obszaru jego powierzchni bocznej.
Długość pokoju wynosi za = √9 = 3 M.
Powierzchnia zostanie pokryta tapetą Bok = 4 3 2,5 = 30 m².
Najniższy koszt tapety dla tego pokoju będzie 50,30 = 1500 ruble
Zatem, aby rozwiązać problemy z pryzmatem prostokątnym, wystarczy umieć obliczyć pole i obwód kwadratu i prostokąta, a także znać wzory na znalezienie objętości i pola powierzchni.
Jak znaleźć obszar sześcianu
Pryzmat to geometryczna trójwymiarowa figura, której cechy i właściwości są badane w szkołach średnich. Z reguły przy badaniu bierze się pod uwagę takie wielkości, jak objętość i powierzchnia. W tym artykule poruszymy nieco inne pytanie: przedstawimy metodę wyznaczania długości przekątnych pryzmatu na przykładzie figury czworokątnej.
Jaki kształt nazywa się pryzmatem?
W geometrii podaje się następującą definicję pryzmatu: jest to trójwymiarowa figura ograniczona dwoma wielokątnymi identycznymi bokami, które są do siebie równoległe i pewną liczbą równoległoboków. Poniższy rysunek pokazuje przykład pryzmatu odpowiadającego tę definicję.
Widzimy, że dwa czerwone pięciokąty są sobie równe i leżą w dwóch równoległych płaszczyznach. Pięć różowych równoległoboków łączy te pięciokąty w solidny obiekt - pryzmat. Dwa pięciokąty nazywane są podstawami figury, a jej równoległoboki to ściany boczne.
Pryzmaty mogą być proste lub ukośne, zwane także prostokątnymi lub ukośnymi. Różnica między nimi polega na kątach między podstawą a krawędziami bocznymi. W przypadku prostopadłościanu wszystkie te kąty są równe 90 o.
Opierając się na liczbie boków lub wierzchołków wielokąta u podstawy, mówią o pryzmatach trójkątnych, pięciokątnych, czworokątnych i tak dalej. Co więcej, jeśli ten wielokąt jest regularny, a sam pryzmat jest prosty, wówczas taką figurę nazywa się regularną.
Pryzmat pokazany na poprzednim rysunku jest nachylony w kształcie pięciokąta. Poniżej znajduje się pięciokątny prawy pryzmat, który jest regularny.
Wygodne jest wykonanie wszystkich obliczeń, w tym metody wyznaczania przekątnych pryzmatu, szczególnie dla prawidłowych figur.
Jakie elementy charakteryzują pryzmat?
Elementy figury to elementy, które ją tworzą. Specjalnie dla pryzmatu można wyróżnić trzy główne typy elementów:
- najfatalniejszy;
- krawędzie lub boki;
- żeberka
Ściany są uważane za podstawy i płaszczyzny boczne, reprezentujące w ogólnym przypadku równoległoboki. W pryzmacie każdy bok jest zawsze jednym z dwóch typów: albo jest to wielokąt, albo równoległobok.
Krawędzie pryzmatu to te segmenty, które ograniczają każdą stronę figury. Podobnie jak ściany, krawędzie również występują w dwóch rodzajach: te należące do podstawy i powierzchni bocznej lub te należące tylko do powierzchni bocznej. Tych pierwszych jest zawsze dwa razy więcej niż tych drugich, niezależnie od rodzaju pryzmatu.
Wierzchołki są punktami przecięcia trzech krawędzi pryzmatu, z których dwie leżą w płaszczyźnie podstawy, a trzecia należy do dwóch ścian bocznych. Wszystkie wierzchołki pryzmatu leżą w płaszczyznach podstaw figury.
Liczby opisanych elementów łączy się w jedną równość, która ma następującą postać:
P = B + C - 2.
Tutaj P jest liczbą krawędzi, B - wierzchołkami, C - bokami. Ta równość nazywa się twierdzeniem Eulera dla wielościanu.
Rysunek przedstawia trójkątny pryzmat foremny. Każdy może policzyć, że ma 6 wierzchołków, 5 boków i 9 krawędzi. Liczby te są zgodne z twierdzeniem Eulera.
Przekątne pryzmatu
Po właściwościach takich jak objętość i pole powierzchni, w zadaniach geometrycznych często spotykamy informację o długości konkretnej przekątnej danej figury, która jest albo dana, albo należy ją znaleźć za pomocą innych znanych parametrów. Zastanówmy się, jakie przekątne ma pryzmat.
Wszystkie przekątne można podzielić na dwa typy:
- Leżenie w płaszczyźnie twarzy. Łączą nieprzylegające wierzchołki wielokąta u podstawy pryzmatu lub równoległoboku na powierzchni bocznej. Wartość długości takich przekątnych określa się na podstawie znajomości długości odpowiednich krawędzi i kątów między nimi. Aby określić przekątne równoległoboków, zawsze stosuje się właściwości trójkątów.
- Pryzmaty leżące wewnątrz objętości. Te przekątne łączą różne wierzchołki dwóch podstaw. Te przekątne znajdują się całkowicie wewnątrz figury. Ich długości są nieco trudniejsze do obliczenia niż w przypadku poprzedniego typu. Metoda obliczeń polega na uwzględnieniu długości żeber i podstawy oraz równoległoboków. Dla pryzmatów prostych i regularnych obliczenia są stosunkowo proste, gdyż przeprowadza się je wykorzystując twierdzenie Pitagorasa i własności funkcji trygonometrycznych.
Przekątne boków czworokątnego prawego pryzmatu
Powyższy rysunek przedstawia cztery identyczne proste pryzmaty oraz podane są parametry ich krawędzi. Na pryzmatach Diagonal A, Diagonal B i Diagonal C czerwona przerywana linia pokazuje przekątne trzech różnych ścian. Ponieważ pryzmat jest linią prostą o wysokości 5 cm, a jego podstawę reprezentuje prostokąt o bokach 3 cm i 2 cm, znalezienie zaznaczonych przekątnych nie jest trudne. Aby to zrobić, musisz skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.
Długość przekątnej podstawy pryzmatu (przekątna A) jest równa:
re ZA = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.
W przypadku bocznej powierzchni pryzmatu przekątna jest równa (patrz przekątna B):
re b = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.
Wreszcie długość innej przekątnej bocznej wynosi (patrz przekątna C):
re do = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.
Wewnętrzna długość przekątnej
Teraz obliczmy długość przekątnej czworokątnego pryzmatu, co pokazano na poprzednim rysunku (przekątna D). Nie jest to takie trudne, jeśli zauważysz, że jest to przeciwprostokątna trójkąta, którego ramiona będą miały wysokość pryzmatu (5 cm) i przekątną D A pokazaną na rysunku w lewym górnym rogu (przekątna A). Następnie otrzymujemy:
re re = √(re za 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.
Regularny pryzmat czworokątny
Przekątną graniastosłupa foremnego, którego podstawą jest kwadrat, oblicza się w taki sam sposób, jak w powyższym przykładzie. Odpowiedni wzór to:
re = √(2*a 2 + c 2).
Gdzie a i c są odpowiednio długościami boku podstawy i krawędzi bocznej.
Należy pamiętać, że w obliczeniach wykorzystaliśmy wyłącznie twierdzenie Pitagorasa. Aby określić długości przekątnych regularnych pryzmatów za pomocą duża liczba wierzchołki (pięciokątne, sześciokątne itd.) konieczne jest już zastosowanie funkcji trygonometrycznych.
Stereometria jest ważną częścią kurs ogólny geometria, która bada cechy figur przestrzennych. Jedną z takich figur jest czworokątny pryzmat. W tym artykule omówimy bardziej szczegółowo kwestię obliczenia objętości czworokątnego pryzmatu.
Co to jest pryzmat czworokątny?
Oczywiście przed podaniem wzoru na objętość czworokątnego pryzmatu należy podać jasną definicję tej figury geometrycznej. Przez taki pryzmat rozumiemy trójwymiarowy wielościan, który jest ograniczony przez dwa dowolne identyczne czworokąty leżące w równoległych płaszczyznach i cztery równoległoboki.
Zaznaczone czworokąty równoległe do siebie nazywane są podstawami figury, a cztery równoległoboki to boki. Należy tutaj wyjaśnić, że równoległoboki są również czworokątami, ale podstawy nie zawsze są równoległobokami. Przykład nieregularnego czworoboku, który może być podstawą pryzmatu, pokazano na poniższym rysunku.
Każdy czworokątny pryzmat składa się z 6 boków, 8 wierzchołków i 12 krawędzi. Istnieją czworokątne pryzmaty różne rodzaje. Na przykład figura może być ukośna lub prosta, nieregularna i regularna. W dalszej części artykułu pokażemy, jak obliczyć objętość czworokątnego pryzmatu, biorąc pod uwagę jego typ.
Pochylony pryzmat z nieprawidłową podstawą
Jest to najbardziej asymetryczny rodzaj czworokątnego pryzmatu, więc obliczenie jego objętości będzie stosunkowo trudne. Poniższe wyrażenie pozwala określić objętość figury:
Symbol Więc tutaj oznacza obszar podstawy. Jeśli tą podstawą jest romb, równoległobok lub prostokąt, to obliczenie wartości So jest łatwe. Zatem dla rombu i równoległoboku obowiązuje wzór:
gdzie a to bok podstawy, ha to długość wysokości obniżonej na tę stronę od szczytu podstawy.
Jeżeli podstawą jest nieregularny wielokąt (patrz wyżej), to jego pole należy podzielić na prostsze kształty (na przykład trójkąty), obliczyć ich pola i znaleźć ich sumę.
We wzorze na objętość symbol h oznacza wysokość pryzmatu. Reprezentuje długość odcinka prostopadłego między dwiema podstawami. Ponieważ pryzmat jest nachylony, wysokość h należy obliczyć na podstawie długości krawędzi bocznej b i kątów dwuściennych pomiędzy bokami a podstawą.
Prawidłowa liczba i jej objętość
Jeśli podstawa czworokątnego pryzmatu jest kwadratem, a sama figura jest prosta, wówczas nazywa się ją regularną. Należy wyjaśnić, że prosty pryzmat nazywa się, gdy wszystkie jego boki są prostokątami i każdy z nich jest prostopadły do podstaw. Poniżej pokazano prawidłowy rysunek.
Objętość regularnego czworokątnego pryzmatu można obliczyć za pomocą tego samego wzoru, co objętość figury nieregularnej. Ponieważ podstawą jest kwadrat, jego pole oblicza się w prosty sposób:
Wysokość pryzmatu h jest równa długości krawędzi bocznej b (boku prostokąta). Następnie objętość regularnego czworokątnego pryzmatu można obliczyć za pomocą następującego wzoru:
Regularny graniastosłup o podstawie kwadratowej nazywany jest równoległościanem prostokątnym. Jeśli boki a i b są równe, ten równoległościan staje się sześcianem. Objętość tego ostatniego oblicza się w następujący sposób:
Z zapisanych wzorów na objętość V wynika, że im większa symetria figury, tym mniej parametrów liniowych potrzeba do obliczenia tej wartości. Zatem w przypadku zwykłego pryzmatu wymagana liczba parametrów wynosi dwa, a w przypadku sześcianu - jeden.
Problem z poprawną figurą
Po rozważeniu zagadnienia wyznaczania objętości czworokątnego pryzmatu z teoretycznego punktu widzenia, zdobytą wiedzę zastosujemy w praktyce.
Wiadomo, że regularny równoległościan ma podstawę o długości przekątnej 12 cm, długość przekątnej boku wynosi 20 cm, należy obliczyć objętość równoległościanu.
Oznaczmy przekątną podstawy symbolem da, a przekątną ściany bocznej symbolem db. Dla przekątnej da obowiązują następujące wyrażenia:
Jeśli chodzi o wartość db, jest to przekątna prostokąta o bokach a i b. Możemy dla niego napisać następujące równości:
db2 = a2 + b2 =>
b = √(db2 - a2)
Podstawiając znalezione wyrażenie za a do ostatniej równości, otrzymujemy:
b = √(db2 - da2/2)
Teraz możesz zastąpić powstałe formuły wyrażeniem objętości figury regularnej:
V = a2*b = da2/2*√(db2 - da2/2)
Zastępując da i db liczbami ze sformułowania problemu, otrzymujemy odpowiedź: V ≈ 1304 cm3.
Różne pryzmaty różnią się od siebie. Jednocześnie mają ze sobą wiele wspólnego. Aby znaleźć obszar podstawy pryzmatu, musisz zrozumieć, jaki ma on typ.
Ogólna teoria
Pryzmat to dowolny wielościan, którego boki mają kształt równoległoboku. Co więcej, jego podstawą może być dowolny wielościan - od trójkąta do n-gonu. Co więcej, podstawy pryzmatu są zawsze sobie równe. To, co nie dotyczy ścian bocznych, to to, że mogą one znacznie różnić się rozmiarem.
Podczas rozwiązywania problemów napotykany jest nie tylko obszar podstawy pryzmatu. Może to wymagać znajomości powierzchni bocznej, czyli wszystkich ścian, które nie są podstawami. Pełna powierzchnia będzie już połączenie wszystkich twarzy tworzących pryzmat.
Czasami problemy dotyczą wzrostu. Jest prostopadły do podstaw. Przekątna wielościanu to odcinek łączący parami dowolne dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.
Należy zauważyć, że powierzchnia podstawy prostego lub nachylonego pryzmatu nie zależy od kąta między nimi a powierzchniami bocznymi. Jeśli mają te same figury na górnej i dolnej powierzchni, wówczas ich pola będą równe.
Trójkątny pryzmat
Ma u podstawy figurę o trzech wierzchołkach, czyli trójkąt. Jak wiadomo, może być różnie. Jeśli tak, wystarczy pamiętać, że jego powierzchnię wyznacza połowa iloczynu nóg.
Zapis matematyczny wygląda następująco: S = ½ av.
Aby ogólnie dowiedzieć się o obszarze podstawy, przydatne są wzory: Czapla i ta, w której połowę boku zajmuje narysowana do niej wysokość.
Pierwszą formułę należy zapisać następująco: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Zapis ten zawiera półobwód (p), czyli sumę trzech boków podzieloną przez dwa.
Po drugie: S = ½ n a * a.
Jeśli chcesz poznać obszar podstawy trójkątnego pryzmatu, który jest regularny, wówczas trójkąt okazuje się równoboczny. Jest na to wzór: S = ¼ a 2 * √3.
Pryzmat czworokątny
Jego podstawą jest dowolny ze znanych czworokątów. Może to być prostokąt lub kwadrat, równoległościan lub romb. W każdym przypadku, aby obliczyć pole podstawy pryzmatu, będziesz potrzebować własnego wzoru.
Jeżeli podstawą jest prostokąt, to jego pole wyznacza się w następujący sposób: S = ab, gdzie a, b to boki prostokąta.
Jeśli chodzi o pryzmat czworokątny, pole podstawy pryzmatu foremnego oblicza się ze wzoru na kwadrat. Ponieważ to on leży u fundamentu. S = a 2.
W przypadku, gdy podstawa jest równoległościanem, potrzebna będzie następująca równość: S = a * n a. Zdarza się, że dany jest bok równoległościanu i jeden z kątów. Następnie, aby obliczyć wysokość, należy skorzystać z dodatkowego wzoru: n a = b * sin A. Ponadto kąt A sąsiaduje z bokiem „b”, a wysokość n jest przeciwna do tego kąta.
Jeśli u podstawy pryzmatu znajduje się romb, to do określenia jego pola potrzebny będzie ten sam wzór, co w przypadku równoległoboku (ponieważ jest to jego szczególny przypadek). Ale możesz też użyć tego: S = ½ d 1 d 2. Tutaj d 1 i d 2 to dwie przekątne rombu.
Regularny pryzmat pięciokątny
Ten przypadek polega na podzieleniu wielokąta na trójkąty, których pola łatwiej jest znaleźć. Chociaż zdarza się, że figury mogą mieć różną liczbę wierzchołków.
Ponieważ podstawą pryzmatu jest pięciokąt foremny, można go podzielić na pięć trójkątów równobocznych. Następnie pole podstawy pryzmatu jest równe polu jednego takiego trójkąta (wzór widać powyżej), pomnożonemu przez pięć.
Regularny sześciokątny pryzmat
Stosując zasadę opisaną dla pryzmatu pięciokątnego, można podzielić sześciokąt podstawy na 6 trójkątów równobocznych. Wzór na powierzchnię podstawy takiego pryzmatu jest podobny do poprzedniego. Tylko należy to pomnożyć przez sześć.
Wzór będzie wyglądał następująco: S = 3/2 a 2 * √3.
Zadania
Nr 1. Biorąc pod uwagę regularną linię prostą, jej przekątna wynosi 22 cm, wysokość wielościanu wynosi 14 cm Oblicz pole podstawy pryzmatu i całą powierzchnię.
Rozwiązanie. Podstawą pryzmatu jest kwadrat, ale jego bok jest nieznany. Jego wartość można znaleźć na podstawie przekątnej kwadratu (x), która jest powiązana z przekątną pryzmatu (d) i jego wysokością (h). x 2 = re 2 - n 2. Z drugiej strony ten odcinek „x” jest przeciwprostokątną trójkąta, którego ramiona są równe bokom kwadratu. Oznacza to, że x 2 = a 2 + a 2. Okazuje się zatem, że a 2 = (d 2 - n 2)/2.
Zastąp liczbę 22 zamiast d i zamień „n” na jej wartość - 14, okazuje się, że bok kwadratu wynosi 12 cm, teraz tylko znajdź pole podstawy: 12 * 12 = 144 cm 2.
Aby obliczyć pole całej powierzchni, należy dodać dwukrotnie powierzchnię bazową i czterokrotnie zwiększyć powierzchnię boczną. To drugie można łatwo znaleźć korzystając ze wzoru na prostokąt: pomnóż wysokość wielościanu przez bok podstawy. Oznacza to, że 14 i 12 liczba ta będzie równa 168 cm2. Całkowita powierzchnia Powierzchnia pryzmatu wynosi 960 cm2.
Odpowiedź. Pole podstawy pryzmatu wynosi 144 cm2. Całkowita powierzchnia wynosi 960 cm 2.
Nr 2. Dane U podstawy znajduje się trójkąt o boku 6 cm, w tym przypadku przekątna ściany bocznej wynosi 10 cm.Oblicz pola: podstawę i powierzchnię boczną.
Rozwiązanie. Ponieważ pryzmat jest regularny, jego podstawa również trójkąt równoboczny. Dlatego jego powierzchnia wynosi 6 do kwadratu, pomnożone przez ¼ i pierwiastek kwadratowy z 3. Proste obliczenia prowadzą do wyniku: 9√3 cm 2. Jest to obszar jednej podstawy pryzmatu.
Wszystkie ściany boczne są takie same i są prostokątami o bokach 6 i 10 cm. Aby obliczyć ich pola, wystarczy pomnożyć te liczby. Następnie pomnóż je przez trzy, ponieważ pryzmat ma dokładnie tyle ścian bocznych. Następnie powierzchnia bocznej powierzchni rany wynosi 180 cm2.
Odpowiedź. Powierzchnie: podstawa - 9√3 cm 2, powierzchnia boczna pryzmatu - 180 cm 2.
