Test najprostszych równań logarytmicznych. Test z matematyki na temat „Równania i nierówności logarytmiczne

Rozwiązując równania i nierówności logarytmiczne, wykorzystuj właściwości logarytmów, a także właściwości funkcji logarytmicznej

y=log a x, a > 0, a 1:

1) Dziedzina definicji: x > 0;

2) Zasięg: tak R ;

3) log a x 1 =log a x 2 x 1 =x 2 ;

4) Dla a>1 funkcja y=log a x wzrasta, dla 0< a < 1 функция y=log a x убывает при всех x >0, tj.

a >1 i log a x 1 >log a x 2 x 1 >x 2 ,
0 log a x 2 x 1< x 2 ;

Przechodząc od równań logarytmicznych (nierówności) do równań (nierówności) niezawierających znaku logarytmu, należy wziąć pod uwagę zakres wartości dopuszczalnych (APV) równania pierwotnego (nierówność).

Zadania i testy na temat „Równania logarytmiczne”

Równania logarytmiczne
Lekcje: 4 Zadania: 25 Testy: 1
Układy równań wykładniczych i logarytmicznych - Funkcje wykładnicze i logarytmiczne klasa 11
Lekcje: 1 Zadania: 15 Testy: 1
§5.1. Rozwiązywanie równań logarytmicznych
Lekcje: 1 Zadania: 38
§7 Równania i nierówności wykładnicze, logarytmiczne - Część 5. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne, ocena 10
Lekcje: 1 Zadania: 17
Równoważność równań - Równania i nierówności 11 klasa
Lekcje: 2 Zadania: 9 Testy: 1

Rozwiązując równania logarytmiczne, w wielu przypadkach konieczne jest wykorzystanie właściwości logarytmu iloczynu, ilorazu lub stopnia. W przypadkach, gdy jedno równanie logarytmiczne zawiera logarytmy o różnych podstawach, zastosowanie tych własności jest możliwe dopiero po przejściu na logarytmy o równych podstawach.

Ponadto rozwiązywanie równania logarytmicznego należy rozpocząć od znalezienia zakresu dopuszczalnych wartości (O.D.Z.) dane równanie, ponieważ Podczas procesu rozwiązania mogą pojawić się obce korzenie. Podczas rozwiązywania rozwiązania nie zapomnij sprawdzić znalezionych korzeni pod kątem przynależności do O.D.Z.

Równania logarytmiczne można rozwiązywać bez użycia O.D.Z. W tym przypadku weryfikacja jest obowiązkowym elementem rozwiązania.

Przykłady.

Rozwiąż równania:

a) log 3 (5x – 1) = 2.

Rozwiązanie:

ODZ: 5x – 1 > 0; x > 1/5.
log 3 (5x– 1) = 2,
log 3 (5x – 1) = log 3 3 2,
5x - 1 = 9,
x = 2.

1 z 22

Opis prezentacji według poszczególnych slajdów:

Slajd nr 1

Podręcznik naukowy na temat algebry Temat: „Logarytmika i równania wykładnicze i nierówności” Wypełniła: Manuilova L.N. – nauczycielka matematyki, Liceum MBOU nr 76, Iżewsk, Udmurtia

Slajd nr 2

Spis treści: Rozdział 1. 1.1. Pojęcie logarytmu 1.2. Własności logarytmu 1.3. Równania logarytmiczne A. Część teoretyczna B. Przykłady 1.4. Nierówności logarytmiczne A. Część teoretyczna B. Przykłady Rozdział 2. 2.1. Potęga liczby dodatniej wynosi 2,2. Funkcja wykładnicza 2.3. Równania wykładnicze A. Część teoretyczna B. Przykłady 2.4. Nierówności wykładnicze A. Część teoretyczna B. Przykłady Rozdział 3. 3.1. Kolokwium z tematu „Równania i nierówności logarytmiczne” I stopień złożoności II stopień złożoności III stopień złożoności 3.2. Test na temat „Równania wykładnicze i nierówności” I poziom złożoności II poziom złożoności III poziom złożoności

Slajd nr 3

1.1 Pojęcie logarytmu y x y = b b M 1 0 n y = ax (a > 1) x y = ax (0< a < 1) y= b M 1 0 b у Для любого положительного числа b существует, и притом только одно, число n, такое, что b = an . Это число называют логарифмом числа b по основанию a. n Логарифмом положительного числа b по основанию a (a >0, a ≠ 0) jest liczbą n taką, że b = an Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a (a > 0,a ≠ 1) oznacza się następująco: n = loga b Z definicji logarytmu wynika oczywiście wynika, że dla a > 0 , a ≠ 1, b > 0: a loga b = b

Slajd nr 4

Funkcja logarytmiczna y y x x 1 2 2 1 1 1 -1 -1 2 2 -2 -2 3 0 0 y = log2 x y = log3 x y = log⅓x y = log½x Funkcja y = loga x nazywa się funkcja logarytmiczna. Własności funkcji y = loga x, dla a > 0: Ciągłe i rosnące na przedziale (0;+∞); Jeśli x →+∞, to y →+∞; jeśli x → 0, to y → -∞. Ponieważ loga1=0, to z własności 1 wynika: jeśli x > 1, to y > 0; jeśli 0< х < 1 ,то у < 0. Свойства функции y = loga x, при 0 < a < 1: Непрерывна и убывает на промежутке (0;+∞); Если х→ +∞, то у→ -∞; если х→0, то у→+∞. Так как loga1=0, то из свойства 1 следует: если х >1, następnie y< 0; если 0 < х < 1 ,то у >0.

Slajd nr 5

Niech a, M i N będą liczbami dodatnimi, gdzie a ≠ 1, a k jest liczbą rzeczywistą. Wtedy prawdziwe są następujące równości: 1. loga (M·N) = loga M + loga N - Logarytm iloczynu liczb dodatnich jest równy sumie logarytmów tych liczb. 2. loga M = loga M – loga N - Logarytm ilorazu liczb dodatnich N jest równy różnicy między logarytmami dzielnej i dzielnika. 3. loga Mk = k · loga M - Logarytm potęgi liczby dodatniej jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu tej liczby. 4. loga M = logb M → loga b = 1 - Wzór na przeliczenie logarytmów z jednego logarytmu o podstawie logb na inny. Poszczególne przypadki: 1. log10 b = log b - Nazywa się logarytm liczby dodatniej b o podstawie 10 logarytm dziesiętny liczby B. 2. loge b = ln b - Nazywa się logarytm liczby dodatniej b o podstawie e naturalny logarytm liczby b 1.2 Własności logarytmów

Slajd nr 6

1. Niech a będzie daną liczbą dodatnią różną od 1, b będzie daną liczbą rzeczywistą. Wtedy równanie loga x = b nazywa się najprostszym równaniem logarytmicznym. Na przykład równania a) log3 x = 3 ; (1) b) log⅓ x = -2 ; (2) c) log25 x + 5·log4 x·log3 x + 7·log22 x = 0 ; (3) są najprostszymi równaniami logarytmicznymi. Z definicji logarytmu, jeśli liczba x0 spełnia loga równości numerycznej loga x = b, to liczba x0 jest ab i ta liczba x0 = ab jest jedyna. Zatem dla każdego prawdziwy numer b równanie loga x = b ma pojedynczy pierwiastek x0 = ab . 2. Równania, które po zastąpieniu niewiadomej zamieniają się w najprostsze równania logarytmiczne: a) log5 (4x – 3) = 2; (4) b) 2 + 1 = -1 ; (5) log(3x + 1) + log0,01 log(3x + 1) 1.3 Równania (Część teoretyczna)

Slajd nr 7

1.3 Przykłady log3 x = 3 Przepiszmy równanie do postaci: log3 x = log3 27 Zatem jest oczywiste, że to równanie ma jeden pierwiastek x0 = 27. Odpowiedź: 27. b) log1/3 x = -2 To równanie ma pojedynczy pierwiastek x0 = ( ⅓)-2 =9 Odpowiedź: 9. c) log25 x + 5 · log4 x · log3 x + 7 · log22 x = 0 (1) Sprowadzając wszystkie logarytmy do tej samej podstawy, przepisujemy równanie w postaci: 1 + 5 + 7 = 0 (2) log25 x · log5 4 · log5 3 log25 2 Ponieważ każdy wyraz sumy zawartej w nawiasach jest dodatni, suma nie jest równa zeru. Zatem równanie (1), a co za tym idzie równanie (2), są równoważne równaniu log25 x = 0, które ma pojedynczy pierwiastek x0 = 1. Zatem równanie (1) ma pojedynczy pierwiastek x0 = 1. Odpowiedź: 1 . a, b – najprostsze równania; c jest równaniem, które po przekształceniach zamienia się w najprostszy log. równanie

Slajd nr 8

1.3 Przykłady a) log5 (4x – 3) = 2 (1) Wprowadzając nowe znane t = 4x – 3, przepisujemy równanie w postaci: log5 t = 2. Równanie to ma pojedynczy pierwiastek t1 = 52 =25. Aby znaleźć pierwiastek równania (1), należy rozwiązać równanie: 4x – 3 = 25. (2) Ma ono pojedynczy pierwiastek x1 =7. Zatem równanie (1) również ma pojedynczy pierwiastek x1=7. Odpowiedź: 7. b) 2 + 1 = -1 (1) log(3x + 1) + log0,01 log(3x + 1) Wprowadzenie nowej niewiadomej t = log (3x + 1) i uwzględnienie log 0,01 = -2, przepisujemy równanie (1) do postaci: 2 + 1 = -1 (2) t - 2 t Po rozwiązaniu równania wymiernego (2) stwierdzamy, że ma ono dwa pierwiastki t1 = -2 i t2 = 1. Aby znaleźć wszystkie pierwiastki równania (1), należy połączyć pierwiastki obu równań log(3x + 1) = -2 i log(3x + 1) = 1. Pierwsze równanie jest równoważne równaniu 3x + 1 = 10-2, co ma pojedynczy pierwiastek x1 = -0,33. Drugie równanie jest równoważne równaniu 3x + 1 = 10, które również ma pojedynczy pierwiastek x2 = 3. Odpowiedź: -0,33 ; 3. a, b – równania zredukowane do najprostszych poprzez zastąpienie niewiadomych

Slajd nr 9

1.4 Nierówności (część teoretyczna) Niech a będzie daną liczbą dodatnią, różną od 1, b będzie daną liczbą rzeczywistą. Następnie nierówności: loga x > b (1) loga x< b (2) являются простейшими nierówności logarytmiczne. Nierówności (1) i (2) można zapisać jako: loga x > loga x0 (3) loga x< loga x0 (4) , где x0 = ab . Если a >1, to funkcja y = loga x rośnie w całym obszarze definicji, tj. na przedziale (0;+∞). Zatem dla dowolnej liczby x > x0 jest to prawdą nierówność liczbowa loga x > loga x0 oraz dla dowolnej liczby x z przedziału 0< x < x0 справедливо числовое неравенство logа x < logа x0 . Кроме того, равенство logа x = logа x0 справедливо лишь при х = х0 . Таким образом, при а >1 i dowolną liczbę rzeczywistą b, zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (3) jest przedziałem (x0 ;+ ∞), a zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (4) jest przedziałem (0; x0). Jeśli 0< a < 1, то функция y = loga х убывает. Поэтому для любого числа x >x0 nierówność liczbowa loga x jest prawdziwa< loga x0 , а для любого числа х из промежутка 0 < x < x0 справедливо числовое неравенство loga x >log x0 . Ponadto loga równości x = loga x0 obowiązuje tylko dla x = x0. Zatem w godzinie 0< a < 1 и любом действительном числе b множество всех решений неравенства (3) есть интервал (0; х0) , а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (х0 ;+∞).

Slajd nr 10

1.4 Nierówności (część teoretyczna) Wł płaszczyzna współrzędnych xOy rozważmy wykresy funkcji y = loga x i y = b. Linia prosta y = b przecina wykres funkcji y = loga x w jednym punkcie x0 = ab. Jeżeli a > 1, to dla każdego x > x0 odpowiedni punkt na wykresie funkcji y = loga x leży nad prostą y = b, tj. dla każdego x > x0 odpowiednia rzędna y = ax jest większa od rzędnej ax0, a dla każdego x z przedziału 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится ниже прямой y = b. Если же 0 < a <1, то, наоборот, для каждого x >x0 odpowiedni punkt na wykresie funkcji y = loga x znajduje się poniżej prostej y = b, a dla każdego x przedziału 0< x < x0 соответствующая точка графика функции y = loga x находится выше прямой y = b. у у х х 1 1 1 1 х0 0 0 y = b y = loga x (a >1) y = b y = loga x (0< a < 1) х0

Slajd nr 11

1.4 Przykłady Rozwiążmy nierówność log1/3 x > -2. (1) Ponieważ -2 = log⅓ 9, to nierówność (1) można zapisać jako log ⅓x > log ⅓ 9 (2) Ponieważ ⅓< 1, то функция y = log⅓ x убывающая. Поэтому множество всех решений неравенства (2), а значит и неравенства (1), есть интервал 0 < x <9. Ответ: (0;9). 2. Решим неравенство log4 x >½. (3) Ponieważ ½ = log4 2, to nierówność (3) można zapisać jako log4 x > log4 2 (4) Ponieważ 4 > 1, to funkcja y = log4 x rośnie. Zatem zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (4), a co za tym idzie nierówności (3), jest przedziałem (2;+∞). Odpowiedź: (2;+∞). (patrz rys. 1) x y 1 2 3 4 1 -1 0 rys. 1 y = ½ y = log4 x

Slajd nr 12

1.4 Przykłady Rozwiążmy nierówność log3 x – 3log9 x – log81 x > 1,5. (5) Ponieważ log9 x = (log3 x) / (log3 9) = (log3 x) / 2 = ½ (log3 x), log81 x = (log3 x) / (log3 81) = (log3 x) / 4 = ¼ (log3 x), to nierówność (5) można zapisać jako: (1 – 1,5 – ¼) log3 x > 1,5 lub jako log3 x< log3 1/9. (6) Так как 3 >1, to funkcja y = log3 x rośnie. Zatem zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (6), a co za tym idzie nierówności (5), jest przedziałem 0< x < 1/9 (рис.2) Ответ: (0 ; 1/9). y x 1 2 0 -1 y = log3 x y = -2 (рис.2) 1/9

Slajd nr 13

2.1 Potęga liczby dodatniej Potęga c racjonalny wskaźnik Niech a będzie liczbą dodatnią, a p/q będzie Liczba wymierna(q ≥ 2). Z definicji liczba a do potęgi p/q jest pierwiastkiem arytmetycznym potęgi q a do potęgi p, tj. a p/q = q√ap. TWIERDZENIE. Niech a będzie liczbą dodatnią, p liczbą całkowitą, k i q liczby całkowite, q ≥ 2, k ≥ 2. Wtedy prawdziwe są następujące równości: a) ap/q = (a1/p)p ; b) ap/q = a pk /qk; c) ap = a pq /q; Własności stopnia z wykładnikiem wymiernym TWIERDZENIE 1. Liczba dodatnia a do stopnia z dowolnym wykładnikiem wymiernym r jest dodatnia: ar > 0 TWIERDZENIE 2. Niech a będzie liczbą dodatnią, a r1, r2 i r są liczbami wymiernymi. Wtedy prawdziwe są następujące własności: 1. Przy mnożeniu potęg przez wykładniki wymierne o tej samej liczbie dodatniej wykładniki dodają: аr1 ∙ аr2 = аr1 + r2. 2. Dzieląc potęgi o wykładnikach wymiernych o tej samej liczbie dodatniej, wykładniki odejmuje się: аr1: аr2 = аr1 – r2. 3. Podnosząc potęgę z wykładnikiem wymiernym liczby dodatniej do potęgi wymiernej, wykładniki mnoży się: (a r1) r2 = a r1∙ r2. TWIERDZENIE 3. Niech a i b będą liczbami dodatnimi, a r liczbą wymierną. Obowiązują wówczas następujące własności stopnia z wykładnikiem wymiernym: Stopień z wykładnikiem wymiernym iloczynu liczb dodatnich jest równy iloczynowi tych samych potęg czynników: (ab)r = ar ∙ br . Potęga z wymiernym wykładnikiem ilorazu liczb dodatnich jest równa ilorazowi tych samych potęg dzielnej i dzielnika: (a / b)r = ar / br. TWIERDZENIE 4. Niech liczba a > 1 i r będzie liczbą wymierną. Wtedy ar > 1 dla r > 0 0< ar < 1 при r < 0 ТЕОРЕМА 5. Пусть число a >1, a liczby wymierne r1 i r2 spełniają nierówność r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 . ТЕОРЕМА 6. Пусть число a принадлежит интервалу (0;1), а рациональные числа r1 и r2 удовлетворяют неравенству r1< r2 . Тогда a r1 < a r2 .

Slajd nr 14

2.2 Funkcja wykładnicza Rozważmy funkcję y = a (1) , gdzie a > 0 i a ≠ 0, na zbiorze liczb wymiernych. Dla każdej liczby wymiernej r zdefiniowana jest liczba ar. Tak na razie definiuje się funkcję (1) na zbiorze liczb wymiernych. Wykres tej funkcji w układzie współrzędnych x0y jest zbiorem punktów (x; ax), gdzie x jest dowolną liczbą wymierną. Dla > 1 wykres ten pokazano schematycznie na rysunku (1), a dla 0< a < 1 – на рисунке (2). у у x x 1 2 1 2 3 -2 -1 -2 -1 0 1 1 2 2 Рис. 1 Рис. 2 Её называют funkcja wykładnicza z podstawą A.

Slajd nr 15

2.3 Równania wykładnicze (część teoretyczna) 1. Niech a będzie daną liczbą dodatnią, różną od 1, b będzie daną liczbą rzeczywistą. Wtedy równanie ax = b (1) nazywa się najprostszym równaniem wykładniczym. Na przykład równania 2x = 8, (1/3)x = 9, 25x = -25 są najprostszymi równaniami wykładniczymi. Pierwiastkiem (lub rozwiązaniem) równania z niewiadomą x jest liczba x0, podstawiając ją do równania zamiast x, otrzymuje się poprawną równość liczbową. Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub wykazanie, że ich nie ma. Ponieważ ax0 > 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej x0, dla której równość liczbowa ax0 = b byłaby prawdziwa, unikalna liczba x0 = loga b jest spełniona. Zatem równanie (1): Dla b ≤ 0 nie ma pierwiastków; Dla b > 0 ma pojedynczy pierwiastek x0 = loga b. 2. Równania, które po zastąpieniu niewiadomego zamieniają się w najprostsze równania wykładnicze.

Slajd nr 16

2.3 Przykłady Rozwiążmy równanie (1/2)x = 2 (2) Ponieważ 2 > 1, równanie to ma pojedynczy pierwiastek x0 = log½ 2 = -1. Odpowiedź 1. Rozwiążmy równanie 3x = 5 (3) Ponieważ 5 > 0, to równanie ma jeden pierwiastek x0 = log3 5. Odpowiedź: log3 5. Rozwiąż równanie 25x = -25 Ponieważ -25< 0, то это уравнение не имеет корней. Ответ: нет корней. Для отыскания корня уравнения ax = b (1) при b >0 to równanie jest często zapisywane jako ax = aα, gdzie α = loga b. Wtedy jest oczywiste, że jedynym pierwiastkiem tego równania, a co za tym idzie równania (1), jest liczba α. Ponieważ równanie (2) można zapisać w postaci (1/2)x = (1/2)-1, to jego jedynym pierwiastkiem jest x0 = -1. Ponieważ równanie (3) można zapisać jako 3x = 3log 35, jego jedynym pierwiastkiem jest x0 = log3 5.

Slajd nr 17

2.3 Przykłady Przyjrzyjmy się teraz równaniom, które po prostych przekształceniach zamieniają się w proste równania wykładnicze. Rozwiążmy równanie 5x+2 - 2 5x - 3 5x+1 = 200 (4) Ponieważ 5x+2 = 25 5x, 5x+1 = 5 5x, to równanie (4) można przepisać jako 5x ( 25 - 2 – 15) = 200 lub w postaci 5x = 52 (5) Jest oczywiste, że równanie (5), a co za tym idzie równanie (4), ma jeden pierwiastek x0 = 2. Odpowiedź: 2. Rozwiąż równanie 4 3x - 9 2x = 0 (6) Ponieważ 2x ≠ 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej, to dzieląc równanie (6) przez 2x otrzymujemy równanie 4 (3/2)x - 9 = 0, (7) równoważne równaniu(6). Równanie (7) można przepisać jako (3/2)x = (3/2)2. (8) Ponieważ równanie (8) ma pojedynczy pierwiastek x0 = 2, to równoważne równanie (6) ma jeden pierwiastek x0 = 2. Odpowiedź: 2.

Slajd nr 18

2.3 Przykłady Rozwiążmy równanie 9 2x2-4x + 2 - 2 · 34x2 – 8x + 3 -1 = 0. (9) Przepisując równanie (9) w postaci 34x2 – 8x + 3 = 1, wprowadzamy nową niewiadomą t = 4x2 – 8x + 3. Następnie równanie (9) można zapisać w postaci 3t = 1. (10 ) Ponieważ równanie (10 ) ma jeden pierwiastek t1 = 0, to aby znaleźć pierwiastki równania (9) należy rozwiązać równanie 4x2 – 8x + 3 = 0. Równanie to ma dwa pierwiastki x1 = 1 /2, x2 = 3/2, więc równanie (9) ma te same pierwiastki. Odpowiedź: 1/2; 3/2. Rozważ teraz rozwiązanie równań, które po wprowadzeniu nowej niewiadomej t zamieniają się w kwadratowe lub równania racjonalne z nieznanym t. Rozwiążmy równanie 4x - 3 2x + 2 = 0. (11) Skoro 4x = (2x)2, to równanie (11) można przepisać jako (2x)2 - 3 2x + 2 = 0. Wprowadzając nową niewiadomą t = 2x, otrzymujemy równanie kwadratowe t2 - 3t + 2 = 0, co ma dwa pierwiastki t1 = 1, t2 = 2. Dlatego, aby znaleźć wszystkie pierwiastki równania (11), musimy połączyć wszystkie pierwiastki obu równań 2x = 1 i 2x = 2. Po rozwiązaniu prostych równań wykładniczych stwierdzamy, że wszystkie pierwiastki równania (11) wynoszą x1 = 0; x2 = 1. Odpowiedź: 0; 1.

Slajd nr 19

2.4 Nierówności wykładnicze (Część teoretyczna) Niech a będzie daną liczbą dodatnią, różną od 1, b będzie daną liczbą rzeczywistą. Następnie nierówności ax > b (1) i ax< b (2) называют простейшими показательными неравенствами. Например, неравенства: 2x < 3 , (1/3)x >4√3, 25x< -25 являются простейшими показательными неравенствами. Решением неравенства с неизвестным х называют число х0 , при подстановке которого в неравенство вместо х получается верное числовое неравенство. Решить неравенство - значит найти все его решения или показать, что их нет. Поскольку a x0 >0 dla dowolnej liczby rzeczywistej x0, to dla b ≤ 0 nierówność a x0 > b jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej x0, ale nie ma ani jednej liczby rzeczywistej x0, dla której nierówność liczbowa a x0 byłaby prawdziwa< b . Таким образом, если b ≤ 0 , то множество всех решений неравенства (1) есть интервал (-∞;+∞), а неравенство (2) решений не имеет. Если же b >0, to nierówność (1) i (2) można zapisać jako ax > ax0 (1) i ax< ax0 , (2) , где х0 = loga b. Рассмотрим решение неравенств (3) и (4) сначала при а >1. Ponieważ dla takiej funkcja y = ax jest rosnąca, to dla dowolnej liczby x > > ax0 i dla dowolnej liczby x > x0 prawdziwa jest nierówność liczbowa< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 .

Slajd nr 20

2.4 Nierówności wykładnicze (część teoretyczna) Zatem dla b > 0 i a > 1 zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (3) jest przedział (x0 ;+∞), a zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności (4) jest przedział (-∞; x0) , gdzie x0 = loga b. Niech teraz 0< a < 1. Так как для такого а функция y = aх является убывающей, то для любого числа х >x0 oś nierówności numerycznej jest prawdziwa< ax0 . Кроме того, равенство ax = ax0 справедливо лишь при х = x0 . Таким образом, при b >0 i 0< a < 1 множество всех решений неравенства (3) есть интервал (-∞; x0), а множество всех решений неравенства (4) есть интервал (x0 ;+∞), где x0 = loga b. Приведенное выше решение простейших показательных неравенств можно дополнить графической иллюстрацией. Рассмотрим графики функций y = aх и y = b. Ясно, что при b ≤ 0 прямая y = b не пересекает график функции y = aх, так как расположена под кривой y = aх (а, б). Поэтому для любых х выполняется неравенство ax >b i nie ma x, dla których oś nierówności< b . При b >0 prosta y = b przecina wykres funkcji y = aх w jednym punkcie x0 = loga b. 1 y y x x y = 0 y = 0 y = topór (a > 1) 0 1 y = b (b< 0) y = b (b < 0) 1 0 1 y = ax (0 < a < 1) a) б)

Slajd nr 22

2.4 Przykłady Rozwiąż nierówność 2x< 8 . (1) Так как 8 >0, to nierówność (1) można zapisać jako 2x< 23. (2) Так как 2 >1, to funkcja y = 2x rośnie. Zatem wszystkie rozwiązania nierówności (2), a co za tym idzie nierówności (1), to x< 3. Ответ: (-∞; 3). Решим неравенство (1/3)х < 5 . (3) Так как 5 >0, to tę nierówność (3) można przepisać jako (1/3) x< (1/3) log⅓ 5 . (4) Так как 0 < 1/3 < 1, то функция y = (1/3)x убывающая. Поэтому решениями неравенства (4), а значит и неравенства (3), являются все х >log⅓5. Odpowiedź: (log⅓ 5; +∞). Rozważmy nierówność, która po zastąpieniu niewiadomej zamienia się w najprostszą nierówność wykładnicza. Rozwiążmy nierówność 5 3x2 - 2x – 6< 1/5 . (5) Введя новое неизвестное t = 3x2 - 2x – 6, перепишем неравенство (5) в виде 5t < 5-1 . Так как 5 >1, to wszystkie rozwiązania tej nierówności są t< -1. следовательно, все решения неравенства (5) есть решения неравенства 3x2 - 2x – 6 < -1. (6) Решив nierówność kwadratowa(6), znajdujemy wszystkie jego rozwiązania: -1< x < 5/3 . Они являются решениями неравенства (5). Ответ: (-1 ; 5/3).

zapewnić powtórzenie, uogólnienie, usystematyzowanie materiału na dany temat;
stwarzać warunki kontroli i samokontroli nabytej wiedzy i umiejętności;
promować kształtowanie umiejętności stosowania technik: porównywanie, uogólnianie, podkreślanie najważniejszej rzeczy, przenoszenie wiedzy do nowej sytuacji, rozwijanie poglądów matematycznych;
stwarzać warunki do rozwoju zainteresowań poznawczych uczniów;
kultywowanie odpowiedzialności za jakość i wynik pracy wykonanej na lekcji, aktywność matematyczną, umiejętność pracy w grupie i ogólną kulturę.

Przejrzyj materiał teoretyczny. Zwróć szczególną uwagę na ODZ funkcji logarytmicznej.
Usystematyzować metody rozwiązywania równań logarytmicznych.
Przeprowadź diagnostykę wiedzy.

Typ lekcji: lekcja uogólniania i systematyzacji wiedzy.

Forma zajęć: warsztat

Wyposażenie: podręcznik, materiały dydaktyczne, indywidualne karty do samodzielnej pracy, karty zapisu wiedzy, rzutnik multimedialny.

Podczas zajęć

1. Moment organizacyjny

Uczniowie są informowani o temacie lekcji i jej celach, podkreśla się także znaczenie powtarzania tego tematu w przygotowaniu do egzaminu Unified State Exam.

2. Sprawdzanie pracy domowej

3. Aktualizacja dotychczasowej wiedzy

Studenci pracują ustnie nad ćwiczeniami wyświetlanymi na ekranie za pomocą projektora.

Oblicz

1 opcja
2)
Opcja 2
2)

3)

5)

4. Kształtowanie umiejętności i zdolności.

Praca w grupach, a następnie testowanie.

1) Rozwiązywanie równań logarytmicznych poprzez zdefiniowanie logarytmu.

Odpowiedź:

Odpowiedź: 256

2) Równania rozwiązane przez wzmocnienie.

Najpierw musisz rozwiązać równanie układu i na podstawie nierówności układu wybiera się pierwiastki.

Odpowiedź: 3
Odpowiedź: 3,5

Równania rozwiązywane przez podstawienie.

Odpowiedź:

To równanie jest równoważne równaniu

Niech tak będzie

Odpowiedź:

Równania rozwiązywane za pomocą logarytmu.

.
=Więc Odpowiedź: 0,1; 10..
OZ: x. Podnieś logarytmy obu stron do podstawy 10.
Gdzie
Odpowiedź 1; 4.

Równania postaci

To równanie jest równoważne równaniu dla

.
DZ jest określane przez system

DZ jest określane przez system

Odpowiedź: ( (0;)

Równania rozwiązywane przy użyciu różnych własności logarytmów.

Stosując wzór, otrzymujemy

Podstawiając te wartości x do pierwotnego równania, widzimy, że jest to pierwiastek równania, a 0,1 nie jest pierwiastkiem równania.

Odpowiedź:

Równania, które sprawiły uczniom trudność, rozwiązują na tablicy uczniowie, którzy je rozwiązali.

5. Minuta wychowania fizycznego

Splotli dłonie w „zamek”, wyciągnęli je przed siebie, podnieśli do góry i dobrze się przeciągnęli. Lekarze twierdzą, że w tym momencie uwalnia się „enzym szczęścia”.

6. Samodzielna praca

(Przesuń na ekranie i karty dla każdego ucznia). Uczniowie proszeni są o ocenę swoich możliwości i wybranie poziomu zadań A, B lub C.

Po wykonaniu pracy uczniowie przesyłają ją do sprawdzenia. Odpowiedzi i krótkie rozwiązanie zostaną wyświetlone na ekranie. Studenci są zachęcani do sprawdzania i oceniania swojej pracy poprzez wystawienie oceny za samodzielną pracę.

6. Praca domowa

Powtórz P.6.2, 6.3. DM C – 21 nr 2 (b, c), nr 3 (d, e) opcje 3 i 4.

7. Podsumowanie lekcji

Więc dzisiaj rozwiązaliśmy równania logarytmiczne. Podsumujmy teraz, jakich metod użyliśmy do rozwiązywania równań:
za pomocą definicja logarytmu,

korzystając z podstawowej tożsamości logarytmicznej,

stosując metodę wzmacniania,

wprowadzenie nowej zmiennej,

przejście z równania z Z różnych powodów do jednej bazy

korzystając z własności logarytmu.

Wystawianie ocen na podstawie liczby „+” w zeszycie, za rozwiązanie na tablicy i na kartkach. Określanie osiągnięć uczniów.

Nasza lekcja dobiegła końca. Czy osiągnęliśmy nasze cele?

Czas płynie niezauważony, dziś jesteście dziesiątymi klasami, a jutro już absolwentami. Przygotowując się do egzaminu, nigdy nie myśl, że nie poradzisz sobie z zadaniem, a wręcz przeciwnie, namaluj w myślach obraz sukcesu, a wtedy na pewno Ci się uda!

Literatura:
Nikolsky S.M., Potapow M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V.. Algebra i początki analizy matematycznej. klasa 10. Poradnik dla instytucje edukacyjne: podstawowe i poziomy profilu. – M., 2009

Potapow M.K., Shevkin A.V.. Algebra i początki analizy matematycznej. Materiały dydaktyczne dla klasy 10. – M., 2009.

Shepeleva Yu.V.. Algebra i początki analizy matematycznej. Testy tematyczne i końcowe dla klasy 10. – M., 2009.

Łysenko F.F.. Ujednolicony egzamin państwowy z matematyki – 2009. Legion. – M., 2009.

Klovo A.G.. Egzamin państwowy z matematyki ujednolicony-2010 - M., 2010.

Erina T.M. Algebra. Równania i nierówności logarytmiczne - M, 2004.

1 opcja

Opcja 2

Klucz

	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	B1	B2	C1
1 opcja	2	1	3	4	1	3	1	4	3	2
Opcja 2	2	2	4	2	4	3	2	3	4	2