Sekcje: Matematyka

Klasa: 11

Lekcja 1

Temat: 11 klasa (przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego)

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

Najprostsze rozwiązanie równania trygonometryczne. (2 godziny)

Cele:

  • Systematyzuje, uogólnia, poszerza wiedzę i umiejętności uczniów w zakresie stosowania wzorów trygonometrycznych i rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych.

Sprzęt do lekcji:

Struktura lekcji:

  1. Moment organizacyjny
  2. Testowanie na laptopach. Dyskusja wyników.
  3. Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
  4. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych
  5. Niezależna praca.
  6. Podsumowanie lekcji. Wyjaśnienie zadania domowego.

1. Moment organizacyjny. (2 minuty.)

Nauczyciel wita słuchaczy, ogłasza temat lekcji, przypomina, że ​​otrzymali wcześniej zadanie polegające na powtórzeniu wzorów trygonometrycznych i przygotowuje uczniów do sprawdzianu.

2. Testowanie. (15 min + 3 min dyskusja)

Celem jest sprawdzenie wiedzy wzory trygonometryczne i umiejętność ich stosowania. Każdy student ma na biurku laptopa z wersją testu.

Opcji może być wiele, podam przykład jednej z nich:

mam opcję.

Uprość wyrażenia:

a) podstawowe tożsamości trygonometryczne

1. grzech 2 3 lata + cos 2 3 lata + 1;

b) wzory na dodawanie

3. grzech5x - grzech3x;

c) zamiana iloczynu na sumę

6. 2sin8y cos3y;

d) wzory na kąt podwójny

7. 2sin5x cos5x;

e) wzory na półkąty

f) wzory na potrójny kąt

g) substytucja uniwersalna

h) obniżenie stopnia

16. cos 2 (3x/7);

Uczniowie widzą swoje odpowiedzi na laptopie obok każdej formuły.

Praca jest natychmiast sprawdzana przez komputer. Wyniki są wyświetlane na dużym ekranie i każdy może je zobaczyć.

Ponadto, po zakończeniu pracy, na laptopach uczniów wyświetlane są prawidłowe odpowiedzi. Każdy uczeń widzi, gdzie został popełniony błąd i jakie formuły musi powtórzyć.

3. Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych. (25 minut)

Celem jest powtórzenie, przećwiczenie i utrwalenie stosowania podstawowych wzorów trygonometrycznych. Rozwiązywanie zadań B7 z egzaminu Unified State Exam.

Na tym etapie wskazane jest podzielenie klasy na grupy uczniów mocnych (pracujących samodzielnie przy kolejnych testach) i uczniów słabych, współpracujących z nauczycielem.

Zadanie dla zdolnych uczniów (przygotowane wcześniej w formie drukowanej). Główny nacisk położony jest na wzory redukcji i podwójnego kąta, zgodnie z Unified State Exam 2011.

Uprość wyrażenia (dla silnych uczniów):

Jednocześnie nauczyciel pracuje ze słabszymi uczniami, omawiając i rozwiązując zadania na ekranie pod ich dyktando.

Oblicz:

5) grzech(270° - α) + cos (270° + α)

6)

Uproszczać:

Nadszedł czas na omówienie wyników pracy silnej grupy.

Na ekranie pojawiają się odpowiedzi, a także, za pomocą kamery wideo, praca 5 różni uczniowie(po jednym zadaniu dla każdego).

Grupa słaba widzi warunek i sposób rozwiązania. Trwają dyskusje i analizy. Przy zastosowaniu środków technicznych dzieje się to szybko.

4. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych. (30 minut.)

Celem jest powtórzenie, usystematyzowanie i uogólnienie rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych oraz zapisanie ich pierwiastków. Rozwiązanie problemu B3.

Każde równanie trygonometryczne, niezależnie od tego, jak je rozwiążemy, prowadzi do najprostszego.

Podczas wykonywania zadania uczniowie powinni zwrócić uwagę na zapisanie pierwiastków równań przypadków specjalnych oraz ogólna perspektywa oraz o wyborze pierwiastków w ostatnim równaniu.

Rozwiąż równania:

Zapisz najmniejszy pierwiastek dodatni jako odpowiedź.

5. Samodzielna praca (10 min.)

Celem jest sprawdzenie nabytych umiejętności, identyfikacja problemów, błędów i sposobów ich eliminacji.

Praca wielopoziomowa oferowana jest według wyboru studenta.

Opcja „3”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Uprość wyrażenie 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rozwiąż równanie

Opcja dla „4”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Rozwiąż równanie Zapisz najmniejszy pierwiastek dodatni w swojej odpowiedzi.

Opcja „5”

1) Znajdź tanα jeśli

2) Znajdź pierwiastek równania Zapisz najmniejszy pierwiastek dodatni jako odpowiedź.

6. Podsumowanie lekcji (5 min.)

Nauczyciel podsumowuje fakt, że podczas lekcji powtarzali i utrwalali wzory trygonometryczne oraz rozwiązywali najprostsze równania trygonometryczne.

Praca domowa jest zadawana (przygotowana wcześniej na podstawie wydruku) z wyrywkowym sprawdzeniem na następnej lekcji.

Rozwiąż równania:

9)

10) W swojej odpowiedzi wskaż najmniejszy pierwiastek dodatni.

Lekcja 2

Temat: 11 klasa (przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego)

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Wybór korzenia. (2 godziny)

Cele:

  • Uogólnić i usystematyzować wiedzę na temat rozwiązywania równań trygonometrycznych różnych typów.
  • Promuj rozwój myślenie matematyczne uczniów, umiejętność obserwacji, porównywania, uogólniania, klasyfikowania.
  • Zachęcaj uczniów do pokonywania trudności w procesie aktywności umysłowej, do samokontroli i introspekcji swoich działań.

Sprzęt do lekcji: KRMu, laptopy dla każdego ucznia.

Struktura lekcji:

  1. Moment organizacyjny
  2. Dyskusja na temat d/z i siebie. praca z ostatniej lekcji
  3. Przegląd metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
  4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
  5. Dobór pierwiastków w równaniach trygonometrycznych.
  6. Niezależna praca.
  7. Podsumowanie lekcji. Praca domowa.

1. Chwila organizacyjna (2 min.)

Nauczyciel wita się z publicznością, ogłasza temat lekcji i plan pracy.

2. a) Analiza Praca domowa(5 minut.)

Celem jest sprawdzenie wykonania. Jedna praca jest wyświetlana na ekranie za pomocą kamery wideo, pozostałe są zbierane selektywnie do sprawdzenia przez nauczyciela.

b) Analiza niezależna praca(3 minuty)

Celem jest analiza błędów i wskazanie sposobów ich przezwyciężenia.

Odpowiedzi i rozwiązania są wyświetlane na ekranie, a prace uczniów są z góry rozdawane. Analiza przebiega szybko.

3. Przegląd metod rozwiązywania równań trygonometrycznych (5 min.)

Celem jest przypomnienie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Zapytaj uczniów, jakie metody rozwiązywania równań trygonometrycznych znają. Podkreśl, że istnieją tzw. metody podstawowe (często stosowane):

i istnieją stosowane metody:

  • korzystanie ze wzorów na przeliczenie sumy na iloczyn i iloczynu na sumę,
  • zgodnie ze wzorami na zmniejszanie stopnia,
  • uniwersalne podstawienie trygonometryczne
  • wprowadzenie kąta pomocniczego,
  • mnożenie przez jakąś funkcję trygonometryczną.

Należy również pamiętać, że jedno równanie można rozwiązać na różne sposoby.

4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych (30 min.)

Celem jest uogólnienie i utrwalenie wiedzy i umiejętności na ten temat, aby przygotować się do rozwiązania C1 z egzaminu Unified State Exam.

Uważam, że wskazane jest wspólne rozwiązywanie równań dla poszczególnych metod.

Uczeń dyktuje rozwiązanie, nauczyciel zapisuje je na tablecie, a cały proces wyświetla się na ekranie. Dzięki temu szybko i efektywnie przywołasz w pamięci przerobiony materiał.

Rozwiąż równania:

1) zastępując zmienną 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) rozkład na czynniki 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) jednorodny równania grzechu 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) przeliczenie sumy na iloczyn cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) przeliczenie iloczynu na sumę 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) redukcja stopnia sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) uniwersalne podstawienie trygonometryczne sinx + 5cosx + 5 = 0.

Rozwiązując to równanie, należy zauważyć, że przy użyciu Ta metoda prowadzi do zawężenia zakresu definicji, gdyż sinus i cosinus zastępuje się przez tg(x/2). Dlatego przed zapisaniem odpowiedzi należy sprawdzić, czy liczby ze zbioru π + 2πn, n Z są końmi tego równania.

8) wprowadzenie kąta pomocniczego √3sinx + cosx - √2 = 0

9) mnożenie przez jakąś funkcję trygonometryczną cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Wybór pierwiastków równań trygonometrycznych (20 min.)

Ponieważ w warunkach ostrej konkurencji przy wejściu na uniwersytet samo rozwiązanie pierwszej części egzaminu nie wystarczy, większość studentów powinna zwrócić uwagę na zadania z drugiej części (C1, C2, C3).

Dlatego celem tego etapu lekcji jest przypomnienie sobie przestudiowanego materiału i przygotowanie się do rozwiązania zadania C1 z egzaminu Unified State Exam 2011.

Istnieją równania trygonometryczne, w których podczas zapisywania odpowiedzi należy wybrać pierwiastki. Wynika to z pewnych ograniczeń, na przykład: mianownik ułamka nie jest równy zero, wyrażenie pod pierwiastkiem parzystym jest nieujemne, wyrażenie pod znakiem logarytmu jest dodatnie itp.

Takie równania są uważane za równania o zwiększonej złożoności i in wersja ujednoliconego egzaminu państwowego znajdują się w drugiej części, a mianowicie C1.

Rozwiązać równanie:

Jeśli wtedy ułamek jest równy zero używając okrąg jednostkowy wybierzmy korzenie (patrz rysunek 1)

Obrazek 1.

otrzymujemy x = π + 2πn, n Z

Odpowiedź: π + 2πn, n Z

Na ekranie wybór korzeni jest pokazany w okręgu na kolorowym obrazie.

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero, a łuk nie traci na znaczeniu. Następnie

Za pomocą okręgu jednostkowego wybieramy pierwiastki (patrz rysunek 2)

Rysunek 2.

5)

Przejdźmy do systemu:

W pierwszym równaniu układu wykonujemy log zastępczy 2 (sinx) = y, następnie otrzymujemy równanie , wróćmy do systemu

za pomocą okręgu jednostkowego wybieramy pierwiastki (patrz rysunek 5),

Rysunek 5.

6. Samodzielna praca (15 min.)

Celem jest skonsolidowanie i sprawdzenie przyswojenia materiału, identyfikacja błędów i nakreślenie sposobów ich poprawienia.

Praca oferowana jest w trzech wersjach, przygotowanych wcześniej na podstawie druku, do wyboru przez studentów.

Równania można rozwiązywać w dowolny sposób.

Opcja „3”

Rozwiąż równania:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Opcja dla „4”

Rozwiąż równania:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Opcja „5”

Rozwiąż równania:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Podsumowanie lekcji, praca domowa (5 min.)

Nauczyciel podsumowuje lekcję i po raz kolejny zwraca uwagę na fakt, że równanie trygonometryczne można rozwiązać na kilka sposobów. Bardzo Najlepszym sposobem aby osiągnąć szybki rezultat, jest to ten, którego najlepiej uczy się dany uczeń.

Przygotowując się do egzaminu, należy systematycznie powtarzać wzory i metody rozwiązywania równań.

Rozdawane są prace domowe (przygotowane wcześniej w formie drukowanej) i komentowane są sposoby rozwiązywania niektórych równań.

Rozwiąż równania:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) grzech 2 x + grzech 2 2x - grzech 2 3x - grzech 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

W przemiany tożsamości wyrażenia trygonometryczne Można zastosować następujące techniki algebraiczne: dodawanie i odejmowanie identycznych wyrazów; wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów; mnożenie i dzielenie przez tę samą wielkość; stosowanie skróconych wzorów na mnożenie; przydział pełny kwadrat; rozkład trójmian kwadratowy przez mnożniki; wprowadzenie nowych zmiennych w celu uproszczenia przekształceń.

Konwertując wyrażenia trygonometryczne zawierające ułamki, możesz skorzystać z właściwości proporcji, redukując ułamki lub sprowadzając ułamki do wspólnego mianownika. Dodatkowo można zastosować wyodrębnienie całej części ułamka, mnożąc licznik i mianownik ułamka przez ten sam rozmiar, a także, jeśli to możliwe, wziąć pod uwagę jednorodność licznika lub mianownika. Jeśli to konieczne, możesz przedstawić ułamek jako sumę lub różnicę kilku prostszych ułamków.

Ponadto, stosując wszystkie niezbędne metody konwersji wyrażeń trygonometrycznych, należy stale brać pod uwagę zakres dopuszczalnych wartości konwertowanych wyrażeń.

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1.

Oblicz A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ grzech (3π/2 – x) grzech (2x –5π/2)) 2

Rozwiązanie.

Ze wzorów redukcyjnych wynika:

grzech (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

grzech (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = grzech x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

grzech (3π/2 – x) = -cos x; grzech (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Skąd, na podstawie wzorów dodawania argumentów i głównej tożsamości trygonometrycznej, otrzymujemy

A = (grzech 2x cos x + cos 2x grzech x) 2 + (-sin x grzech 2x + cos x cos 2x) 2 = grzech 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= grzech 2 3x + sałata 2 3x = 1

Odpowiedź 1.

Przykład 2.

Przekształć wyrażenie M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ na iloczyn.

Rozwiązanie.

Ze wzorów na dodawanie argumentów i wzorów na przeliczanie sum funkcje trygonometryczne do produktu po odpowiednim pogrupowaniu, jakim dysponujemy

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Odpowiedź: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Przykład 3.

Pokaż, że wyrażenie A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) przyjmuje jeden dla wszystkich x z R i to samo znaczenie. Znajdź tę wartość.

Rozwiązanie.

Oto dwa sposoby rozwiązania tego problemu. Stosując pierwszą metodę, wyodrębniając cały kwadrat i korzystając z odpowiednich podstawowych wzorów trygonometrycznych, otrzymujemy

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Grzech 2 x + 1/2 · sałata 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · sałata 2x + 1/4 = 3/4.

Rozwiązując problem w drugi sposób, rozważ A jako funkcję x od R i oblicz jego pochodną. Po przekształceniach otrzymujemy

А´ = -2cos (x + π/6) grzech (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) grzech (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Grzech 2(x + π/6) + grzech ((x + π/6) + (x – π/6)) – grzech 2(x – π/6) =

Grzech 2x – (grzech (2x + π/3) + grzech (2x – π/3)) =

Grzech 2x – 2sin 2x · cos π/3 = grzech 2x – grzech 2x ≡ 0.

Stąd na podstawie kryterium stałości funkcji różniczkowalnej na przedziale wnioskujemy, że

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Odpowiedź: A = 3/4 dla x € R.

Główne techniki dowodzenia tożsamości trygonometrycznych to:

A) zredukowanie lewej strony tożsamości do prawej poprzez odpowiednie przekształcenia;
B) zmniejszenie prawej strony tożsamości do lewej;
V) zredukowanie prawej i lewej strony tożsamości do tej samej formy;
G) zmniejszając do zera różnicę między lewą i prawą stroną udowadnianej tożsamości.

Przykład 4.

Sprawdź, że cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Rozwiązanie.

Przekształcając prawą stronę tej tożsamości za pomocą odpowiednich wzorów trygonometrycznych, mamy

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Prawa strona tożsamości jest zredukowana do lewej.

Przykład 5.

Udowodnić, że sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, jeśli α, β, γ są kątami wewnętrznymi pewnego trójkąta.

Rozwiązanie.

Biorąc pod uwagę, że α, β, γ są kątami wewnętrznymi pewnego trójkąta, otrzymujemy to

α + β + γ = π, a zatem γ = π – α – β.

grzech 2 α + grzech 2 β + grzech 2 γ – 2cos α · sałata β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + grzech 2 β + grzech 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + grzech 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Udowodniono pierwotną równość.

Przykład 6.

Udowodnij, że aby jeden z kątów α, β, γ trójkąta był równy 60°, konieczne i wystarczające jest, aby sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Rozwiązanie.

Warunek tego problemu polega na udowodnieniu zarówno konieczności, jak i wystarczalności.

Najpierw udowodnijmy konieczność.

Można to wykazać

grzech 3α + grzech 3β + grzech 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Zatem biorąc pod uwagę, że cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, otrzymujemy, że jeśli jeden z kątów α, β lub γ jest równy 60°, to

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, a zatem sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Udowodnijmy teraz adekwatność określony warunek.

Jeżeli sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, to cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, a zatem

albo cos (3α/2) = 0, albo cos (3β/2) = 0, albo cos (3γ/2) = 0.

Stąd,

lub 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3,

lub 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,

lub 3γ/2 = π/2 + πk,

te. γ = π/3 + 2πk/3, gdzie k ϵ Z.

Z faktu, że α, β, γ są kątami trójkąta, mamy

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Zatem dla α = π/3 + 2πk/3 lub β = π/3 + 2πk/3 lub

γ = π/3 + 2πk/3 ze wszystkich kϵZ odpowiednie jest tylko k = 0.

Wynika z tego, że albo α = π/3 = 60°, albo β = π/3 = 60°, albo γ = π/3 = 60°.

Stwierdzenie zostało udowodnione.

Nadal masz pytania? Nie wiesz, jak uprościć wyrażenia trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Sekcje: Matematyka

Klasa: 11

Lekcja 1

Temat: 11 klasa (przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego)

Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych.

Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych. (2 godziny)

Cele:

  • Systematyzuje, uogólnia, poszerza wiedzę i umiejętności uczniów w zakresie stosowania wzorów trygonometrycznych i rozwiązywania prostych równań trygonometrycznych.

Sprzęt do lekcji:

Struktura lekcji:

  1. Moment organizacyjny
  2. Testowanie na laptopach. Dyskusja wyników.
  3. Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych
  4. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych
  5. Niezależna praca.
  6. Podsumowanie lekcji. Wyjaśnienie zadania domowego.

1. Moment organizacyjny. (2 minuty.)

Nauczyciel wita słuchaczy, ogłasza temat lekcji, przypomina, że ​​otrzymali wcześniej zadanie polegające na powtórzeniu wzorów trygonometrycznych i przygotowuje uczniów do sprawdzianu.

2. Testowanie. (15 min + 3 min dyskusja)

Celem jest sprawdzenie znajomości wzorów trygonometrycznych i umiejętności ich zastosowania. Każdy student ma na biurku laptopa z wersją testu.

Opcji może być wiele, podam przykład jednej z nich:

mam opcję.

Uprość wyrażenia:

a) podstawowe tożsamości trygonometryczne

1. grzech 2 3 lata + cos 2 3 lata + 1;

b) wzory na dodawanie

3. grzech5x - grzech3x;

c) zamiana iloczynu na sumę

6. 2sin8y cos3y;

d) wzory na kąt podwójny

7. 2sin5x cos5x;

e) wzory na półkąty

f) wzory na potrójny kąt

g) substytucja uniwersalna

h) obniżenie stopnia

16. cos 2 (3x/7);

Uczniowie widzą swoje odpowiedzi na laptopie obok każdej formuły.

Praca jest natychmiast sprawdzana przez komputer. Wyniki są wyświetlane na dużym ekranie i każdy może je zobaczyć.

Ponadto, po zakończeniu pracy, na laptopach uczniów wyświetlane są prawidłowe odpowiedzi. Każdy uczeń widzi, gdzie został popełniony błąd i jakie formuły musi powtórzyć.

3. Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych. (25 minut)

Celem jest powtórzenie, przećwiczenie i utrwalenie stosowania podstawowych wzorów trygonometrycznych. Rozwiązywanie zadań B7 z egzaminu Unified State Exam.

Na tym etapie wskazane jest podzielenie klasy na grupy uczniów mocnych (pracujących samodzielnie przy kolejnych testach) i uczniów słabych, współpracujących z nauczycielem.

Zadanie dla zdolnych uczniów (przygotowane wcześniej w formie drukowanej). Główny nacisk położony jest na wzory redukcji i podwójnego kąta, zgodnie z Unified State Exam 2011.

Uprość wyrażenia (dla silnych uczniów):

Jednocześnie nauczyciel pracuje ze słabszymi uczniami, omawiając i rozwiązując zadania na ekranie pod ich dyktando.

Oblicz:

5) grzech(270° - α) + cos (270° + α)

6)

Uproszczać:

Nadszedł czas na omówienie wyników pracy silnej grupy.

Odpowiedzi pojawiają się na ekranie, a także za pomocą kamery wideo wyświetlana jest praca 5 różnych uczniów (po jednym zadaniu dla każdego).

Grupa słaba widzi warunek i sposób rozwiązania. Trwają dyskusje i analizy. Przy zastosowaniu środków technicznych dzieje się to szybko.

4. Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych. (30 minut.)

Celem jest powtórzenie, usystematyzowanie i uogólnienie rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych oraz zapisanie ich pierwiastków. Rozwiązanie problemu B3.

Każde równanie trygonometryczne, niezależnie od tego, jak je rozwiążemy, prowadzi do najprostszego.

Podczas wykonywania zadania uczniowie powinni zwrócić uwagę na zapisanie pierwiastków równań przypadków specjalnych i postaci ogólnej oraz na wybranie pierwiastków w ostatnim równaniu.

Rozwiąż równania:

Zapisz najmniejszy pierwiastek dodatni jako odpowiedź.

5. Samodzielna praca (10 min.)

Celem jest sprawdzenie nabytych umiejętności, identyfikacja problemów, błędów i sposobów ich eliminacji.

Praca wielopoziomowa oferowana jest według wyboru studenta.

Opcja „3”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Uprość wyrażenie 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rozwiąż równanie

Opcja dla „4”

1) Znajdź wartość wyrażenia

2) Rozwiąż równanie Zapisz najmniejszy pierwiastek dodatni w swojej odpowiedzi.

Opcja „5”

1) Znajdź tanα jeśli

2) Znajdź pierwiastek równania Zapisz najmniejszy pierwiastek dodatni jako odpowiedź.

6. Podsumowanie lekcji (5 min.)

Nauczyciel podsumowuje fakt, że podczas lekcji powtarzali i utrwalali wzory trygonometryczne oraz rozwiązywali najprostsze równania trygonometryczne.

Praca domowa jest zadawana (przygotowana wcześniej na podstawie wydruku) z wyrywkowym sprawdzeniem na następnej lekcji.

Rozwiąż równania:

9)

10) W swojej odpowiedzi wskaż najmniejszy pierwiastek dodatni.

Lekcja 2

Temat: 11 klasa (przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego)

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Wybór korzenia. (2 godziny)

Cele:

  • Uogólnić i usystematyzować wiedzę na temat rozwiązywania równań trygonometrycznych różnych typów.
  • Promowanie rozwoju myślenia matematycznego uczniów, umiejętności obserwacji, porównywania, uogólniania i klasyfikowania.
  • Zachęcaj uczniów do pokonywania trudności w procesie aktywności umysłowej, do samokontroli i introspekcji swoich działań.

Sprzęt do lekcji: KRMu, laptopy dla każdego ucznia.

Struktura lekcji:

  1. Moment organizacyjny
  2. Dyskusja na temat d/z i siebie. praca z ostatniej lekcji
  3. Przegląd metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.
  4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych
  5. Dobór pierwiastków w równaniach trygonometrycznych.
  6. Niezależna praca.
  7. Podsumowanie lekcji. Praca domowa.

1. Chwila organizacyjna (2 min.)

Nauczyciel wita się z publicznością, ogłasza temat lekcji i plan pracy.

2. a) Analiza pracy domowej (5 min.)

Celem jest sprawdzenie wykonania. Jedna praca jest wyświetlana na ekranie za pomocą kamery wideo, pozostałe są zbierane selektywnie do sprawdzenia przez nauczyciela.

b) Analiza pracy samodzielnej (3 min.)

Celem jest analiza błędów i wskazanie sposobów ich przezwyciężenia.

Odpowiedzi i rozwiązania są wyświetlane na ekranie, a prace uczniów są z góry rozdawane. Analiza przebiega szybko.

3. Przegląd metod rozwiązywania równań trygonometrycznych (5 min.)

Celem jest przypomnienie metod rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Zapytaj uczniów, jakie metody rozwiązywania równań trygonometrycznych znają. Podkreśl, że istnieją tzw. metody podstawowe (często stosowane):

  • wymiana zmienna,
  • faktoryzacja,
  • równania jednorodne,

i istnieją stosowane metody:

  • korzystanie ze wzorów na przeliczenie sumy na iloczyn i iloczynu na sumę,
  • zgodnie ze wzorami na zmniejszanie stopnia,
  • uniwersalne podstawienie trygonometryczne
  • wprowadzenie kąta pomocniczego,
  • mnożenie przez jakąś funkcję trygonometryczną.

Należy również pamiętać, że jedno równanie można rozwiązać na różne sposoby.

4. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych (30 min.)

Celem jest uogólnienie i utrwalenie wiedzy i umiejętności na ten temat, aby przygotować się do rozwiązania C1 z egzaminu Unified State Exam.

Uważam, że wskazane jest wspólne rozwiązywanie równań dla poszczególnych metod.

Uczeń dyktuje rozwiązanie, nauczyciel zapisuje je na tablecie, a cały proces wyświetla się na ekranie. Dzięki temu szybko i efektywnie przywołasz w pamięci przerobiony materiał.

Rozwiąż równania:

1) zastępując zmienną 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) rozkład na czynniki 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) równania jednorodne sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) przeliczenie sumy na iloczyn cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) przeliczenie iloczynu na sumę 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) redukcja stopnia sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) uniwersalne podstawienie trygonometryczne sinx + 5cosx + 5 = 0.

Rozwiązując to równanie należy zauważyć, że zastosowanie tej metody prowadzi do zawężenia zakresu definicji, gdyż sinus i cosinus zastępuje się przez tg(x/2). Dlatego przed zapisaniem odpowiedzi należy sprawdzić, czy liczby ze zbioru π + 2πn, n Z są końmi tego równania.

8) wprowadzenie kąta pomocniczego √3sinx + cosx - √2 = 0

9) mnożenie przez jakąś funkcję trygonometryczną cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Wybór pierwiastków równań trygonometrycznych (20 min.)

Ponieważ w warunkach ostrej konkurencji przy wejściu na uniwersytet samo rozwiązanie pierwszej części egzaminu nie wystarczy, większość studentów powinna zwrócić uwagę na zadania z drugiej części (C1, C2, C3).

Dlatego celem tego etapu lekcji jest przypomnienie sobie przestudiowanego materiału i przygotowanie się do rozwiązania zadania C1 z egzaminu Unified State Exam 2011.

Istnieją równania trygonometryczne, w których podczas zapisywania odpowiedzi należy wybrać pierwiastki. Wynika to z pewnych ograniczeń, na przykład: mianownik ułamka nie jest równy zero, wyrażenie pod pierwiastkiem parzystym jest nieujemne, wyrażenie pod znakiem logarytmu jest dodatnie itp.

Równania takie uważane są za równania o zwiększonej złożoności i w wersji Unified State Exam znajdują się w drugiej części, czyli C1.

Rozwiązać równanie:

Jeśli wtedy ułamek jest równy zero za pomocą okręgu jednostkowego wybierzemy pierwiastki (patrz rysunek 1)

Obrazek 1.

otrzymujemy x = π + 2πn, n Z

Odpowiedź: π + 2πn, n Z

Na ekranie wybór korzeni jest pokazany w okręgu na kolorowym obrazie.

Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero, a łuk nie traci na znaczeniu. Następnie

Za pomocą okręgu jednostkowego wybieramy pierwiastki (patrz rysunek 2)

Woronkowa Olga Iwanowna

MBOU „Szkoła średnia”

nr 18"

Engelsa, obwód Saratowski.

Nauczyciel matematyki.

« Wyrażenia trygonometryczne i ich przemiany”

Wprowadzenie…………………………………………………………………………………......3

Rozdział 1 Klasyfikacja zadań z zastosowania przekształceń wyrażeń trygonometrycznych ………………………….…………………...5

1.1. Zadania obliczeniowe wartości wyrażeń trygonometrycznych……….5

1.2.Zadania dotyczące upraszczania wyrażeń trygonometrycznych.... 7

1.3. Zadania do przeliczania numerycznych wyrażeń trygonometrycznych.....7

1.4 Zadania typu mieszanego………………………………………………….....9

Rozdział 2. Metodologiczne aspekty organizacji końcowego powtórzenia tematu „Przekształcenie wyrażeń trygonometrycznych”……………………………11

2.1 Powtórzenie tematu w 10 klasie………………………………………………………...11

Próba 1…………………………………………………………………………..12

Próba 2……………………………………………………………………………..13

Próba 3…………………………………………………………………………..14

2.2 Ostatnia powtórka w 11 klasie………………………………………………………...15

Próba 1…………………………………………………………………………..17

Próba 2……………………………………………………………………………..17

Próba 3…………………………………………………………………………..18

Zakończenie.………………………………………………………………………………......19

Lista referencji………………………………………………………..…….20

Wstęp.

W dzisiejszych warunkach najważniejszym pytaniem jest: „Jak możemy pomóc wyeliminować część luk w wiedzy uczniów i ostrzec ich przed możliwymi błędami na egzaminie Unified State Exam?” Aby rozwiązać ten problem, konieczne jest osiągnięcie od uczniów nie formalnego przyswojenia materiału programowego, ale jego głębokie i świadome zrozumienie, rozwój szybkości ustnych obliczeń i przekształceń, a także rozwój umiejętności rozwiązywania prostych problemów „w umysł." Należy przekonać uczniów, że tylko mając aktywną postawę podczas studiowania matematyki, pod warunkiem zdobycia praktycznych umiejętności i zdolności oraz ich wykorzystania, mogą liczyć na prawdziwy sukces. Należy wykorzystywać każdą okazję do przygotowania się do Jednolitego Egzaminu Państwowego, w tym przedmiotów fakultatywnych w klasach 10-11, i przeprowadzać regularne przeglądy trudne zadania z uczniami, wybierając najbardziej racjonalny sposób rozwiązywania problemów na lekcjach i zajęciach dodatkowych.Pozytywny wynik wobszary rozwiązywania standardowych problemów można osiągnąć, jeśli nauczyciele matematyki, poprzez tworzeniedobre podstawowe szkolenie uczniów, szukaj nowych sposobów rozwiązywania problemów, które się przed nami otworzyły, aktywnie eksperymentuj, stosuj nowoczesność technologie edukacyjne, metody, techniki tworzące sprzyjające warunki dla skutecznej samorealizacji i samostanowienia uczniów w nowych warunkach społecznych.

Trygonometria – część szkolny kurs matematyki. Dobra wiedza i wysokie umiejętności z zakresu trygonometrii świadczą o wystarczającym poziomie kultury matematycznej, niezbędnej do pomyślnego studiowania matematyki, fizyki i szeregu kierunków technicznych na uniwersytecie. dyscypliny.

Znaczenie pracy. Znacząca część absolwentów szkół wykazuje z roku na rok bardzo słabe przygotowanie w tym ważnym dziale matematyki, o czym świadczą wyniki z lat ubiegłych (procent ukończenia szkół w 2011 r. – 48,41%, 2012 r. – 51,05%), gdyż analiza zaliczeń ujednolicony egzamin państwowy pokazał, że uczniowie popełniają wiele błędów przy wykonywaniu zadań z tej konkretnej części lub w ogóle ich nie podejmują. W jednym Egzamin państwowy Pytania z trygonometrii można znaleźć w prawie trzech typach zadań. Obejmuje to rozwiązanie najprostszych równań trygonometrycznych w zadaniu B5 i pracę z wyrażeniami trygonometrycznymi w zadaniu B7 oraz badanie funkcji trygonometrycznych w zadaniu B14 i zadaniu B12, w którym znajdują się wzory opisujące zjawiska fizyczne i zawierające funkcje trygonometryczne. A to tylko część zadań B! Ale są też ulubione równania trygonometryczne z wyborem pierwiastków C1 i „niezbyt ulubione” zadania geometryczne C2 i C4.

Cel pracy. Analizować Materiał do egzaminu ujednoliconego stanu zadania B7, poświęcone przekształceniom wyrażeń trygonometrycznych oraz klasyfikują zadania ze względu na formę ich prezentacji w testach.

Praca składa się z dwóch rozdziałów, wstępu i zakończenia. We wstępie podkreślono wagę pracy. W pierwszym rozdziale dokonano klasyfikacji zadań związanych z wykorzystaniem przekształceń wyrażeń trygonometrycznych na zadania testowe Ujednolicony egzamin państwowy (2012).

W drugim rozdziale omówiono organizację powtarzania tematu „Przekształcenie wyrażeń trygonometrycznych” w klasach 10 i 11 oraz opracowano testy z tego tematu.

Spis literatury obejmuje 17 źródeł.

Rozdział 1. Klasyfikacja zadań z wykorzystaniem przekształceń wyrażeń trygonometrycznych.

Zgodnie ze standardem kształcenia średniego (pełnego) oraz wymaganiami dotyczącymi poziomu przygotowania uczniów, kodyfikator wymagań obejmuje zadania z zakresu znajomości podstaw trygonometrii.

Nauka podstaw trygonometrii będzie najskuteczniejsza, gdy:

    zapewniona zostanie pozytywna motywacja dla uczniów do powtarzania wcześniej poznanego materiału;

    V proces edukacyjny wdrożone zostanie podejście skoncentrowane na osobie;

    zastosowany zostanie system zadań pozwalający na poszerzenie, pogłębienie i usystematyzowanie wiedzy uczniów;

    Wykorzystane zostaną zaawansowane technologie pedagogiczne.

Po przeanalizowaniu literatury i zasobów internetowych dotyczących przygotowania do egzaminu Unified State Exam zaproponowaliśmy jedną z możliwych klasyfikacji zadań B7 (KIM Unified State Exam 2012-trygonometria): zadania obliczeniowewartości wyrażeń trygonometrycznych; zadania dlakonwertowanie numerycznych wyrażeń trygonometrycznych; zadania polegające na przeliczeniu dosłownych wyrażeń trygonometrycznych; zadania typu mieszanego.

1.1. Zadania obliczeniowe Znaczenia wyrażeń trygonometrycznych.

Jednym z najczęstszych typów prostych problemów trygonometrycznych jest obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych z wartości jednego z nich:

a) Zastosowanie podstawowej tożsamości trygonometrycznej i jej konsekwencje.

Przykład 1 . Znajdź jeśli
I
.

Rozwiązanie.
,
,

Ponieważ , To
.

Odpowiedź.

Przykład 2 . Znajdować
, Jeśli
I .

Rozwiązanie.
,
,
.

Ponieważ , To
.

Odpowiedź. .

b) Stosowanie wzorów na kąt podwójny.

Przykład 3 . Znajdować
, Jeśli
.

Rozwiązanie. , .

Odpowiedź.
.

Przykład 4 . Znajdź znaczenie wyrażenia
.

Rozwiązanie. .

Odpowiedź.
.

1. Znajdować , Jeśli
I
. Odpowiedź. -0,2

2. Znajdować , Jeśli
I
. Odpowiedź. 0,4

3. Znajdować
, Jeśli . Odpowiedź. -12.884. Znajdować
, Jeśli
. Odpowiedź. -0,845. Znajdź znaczenie wyrażenia:
. Odpowiedź. 66. Znajdź znaczenie wyrażenia
.Odpowiedź. -19

1.2.Zadania dotyczące upraszczania wyrażeń trygonometrycznych. Wzory redukcyjne powinny być dobrze zrozumiałe dla studentów, ponieważ znajdą dalsze zastosowanie w geometrii, fizyce i innych dyscyplinach pokrewnych.

Przykład 5 . Uprość wyrażenia
.

Rozwiązanie. .

Odpowiedź.
.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

1. Uprość wyrażenie
. Odpowiedź. 0,62. Znajdować
, Jeśli
I. Odpowiedź. 10.563. Znajdź znaczenie wyrażenia
, Jeśli
. Odpowiedź. 2

1.3. Zadania do konwersji liczbowych wyrażeń trygonometrycznych.

Ćwicząc umiejętność wykonywania zadań z przeliczania numerycznych wyrażeń trygonometrycznych należy zwrócić uwagę na znajomość tabeli wartości funkcji trygonometrycznych, własności parzystości oraz okresowości funkcji trygonometrycznych.

a) Używając dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych kątów.

Przykład 6 . Oblicz
.

Rozwiązanie.
.

Odpowiedź.
.

b) Korzystanie z właściwości parzystości funkcje trygonometryczne.

Przykład 7 . Oblicz
.

Rozwiązanie. .

Odpowiedź.

V) Korzystanie z właściwości okresowościfunkcje trygonometryczne.

Przykład 8 . Znajdź znaczenie wyrażenia
.

Rozwiązanie. .

Odpowiedź.
.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

1. Znajdź znaczenie wyrażenia
. Odpowiedź. -40,52. Znajdź znaczenie wyrażenia
. Odpowiedź. 17

3. Znajdź znaczenie wyrażenia
. Odpowiedź. 6


. Odpowiedź. -24
Odpowiedź. -64

1.4 Zadania typu mieszanego.

Formularz testu certyfikacyjnego ma bardzo istotne cechy, dlatego ważne jest, aby zwracać uwagę na zadania związane z wykorzystaniem kilku wzorów trygonometrycznych jednocześnie.

Przykład 9. Znajdować
, Jeśli
.

Rozwiązanie.
.

Odpowiedź.
.

Przykład 10 . Znajdować
, Jeśli
I
.

Rozwiązanie. .

Ponieważ , To
.

Odpowiedź.
.

Przykład 11. Znajdować
, Jeśli .

Rozwiązanie. , ,
,
,
,
,
.

Odpowiedź.

Przykład 12. Oblicz
.

Rozwiązanie. .

Odpowiedź.
.

Przykład 13. Znajdź znaczenie wyrażenia
, Jeśli
.

Rozwiązanie. .

Odpowiedź.
.

Zadania do samodzielnego rozwiązania:

1. Znajdować
, Jeśli
. Odpowiedź. -1,75
2. Znajdować
, Jeśli
. Odpowiedź. 33. Znajdź
, Jeśli .Odpowiedź. 0,254. Znajdź znaczenie wyrażenia
, Jeśli
. Odpowiedź. 0,35. Znajdź znaczenie wyrażenia
, Jeśli
. Odpowiedź. 5

Rozdział 2. Metodologiczne aspekty organizacji końcowego powtórzenia tematu „Przekształcenie wyrażeń trygonometrycznych”.

Jedną z najważniejszych kwestii przyczyniających się do dalszej poprawy wyników w nauce oraz osiągnięcia wśród studentów głębokiej i trwałej wiedzy jest kwestia powtarzania przerobionego wcześniej materiału. Praktyka pokazuje, że w 10. klasie bardziej wskazane jest organizowanie powtórek tematycznych; w 11 klasie - powtórka końcowa.

2.1. Powtórka tematyczna w klasie 10.

W trakcie pracy nad materiał matematyczny zwłaszcza bardzo ważne nabywa powtarzalność każdego ukończonego tematu lub całej części kursu.

Dzięki powtarzaniu tematycznym wiedza uczniów na dany temat zostaje usystematyzowana na ostatnim etapie jego ukończenia lub po określonej przerwie.

W przypadku powtarzania tematycznego przydzielane są specjalne lekcje, w których materiał z jednego konkretnego tematu jest skoncentrowany i uogólniony.

Powtarzanie lekcji odbywa się poprzez rozmowę przy dużym zaangażowaniu uczniów w tę rozmowę. Następnie uczniowie otrzymują zadanie powtórzenia określonego tematu i są ostrzegani, że zostaną przeprowadzone prace testowe.

Test na dany temat powinien zawierać wszystkie jego główne pytania. Po zakończeniu pracy analizowane są charakterystyczne błędy i organizowane są powtórzenia w celu ich wyeliminowania.

W przypadku lekcji powtarzania tematycznego oferujemy opracowane prace oceniające w formie testów na temat „Transformacja wyrażeń trygonometrycznych”.

Próba nr 1

Próba nr 2

Próba nr 3

Tabela odpowiedzi

Test

2.2. Ostatnia recenzja w 11 klasie.

Powtarzanie końcowe odbywa się na ostatnim etapie studiowania głównych zagadnień kursu matematyki i odbywa się w logicznym powiązaniu z nauką materiał edukacyjny dla tej części lub kursu jako całości.

Ostateczne powtórzenie materiału edukacyjnego ma następujące cele:

1. Aktywacja całego materiału kurs treningowy doprecyzować jego logiczną strukturę i zbudować system w ramach powiązań podmiotowych i międzyprzedmiotowych.

2. Pogłębianie i w miarę możliwości poszerzanie wiedzy studentów na temat głównych zagadnień przedmiotu w procesie powtarzania.

W kontekście obowiązkowego egzaminu z matematyki dla wszystkich absolwentów stopniowe wprowadzanie Jednolitego Egzaminu Państwowego wymusza na nauczycielach przyjęcie nowego podejścia do przygotowywania i prowadzenia lekcji, biorąc pod uwagę potrzebę zapewnienia wszystkim uczniom opanowania materiału edukacyjnego na poziomie podstawowym poziomie, a także możliwość dla zmotywowanych studentów zainteresowanych uzyskaniem wysokich punktów przy przyjęciu na studia, dynamiczny postęp w opanowaniu materiału na poziomie zaawansowanym i wysokim.

Podczas końcowych lekcji powtórkowych możesz rozważyć następujące zadania:

Przykład 1 . Oblicz wartość wyrażenia.Rozwiązanie. =
= =
=
=
=
=0,5. Odpowiedź. 0,5. Przykład 2. Określ największą wartość całkowitą, jaką może zaakceptować wyrażenie
.

Rozwiązanie. Ponieważ
może przyjąć dowolną wartość, należący do segmentu[-1; 1], zatem
przyjmuje dowolną wartość segmentu [–0,4; 0,4], zatem . Wyrażenie ma jedną wartość całkowitą – liczbę 4.

Odpowiedź: 4 Przykład 3 . Uprość wyrażenie
.

Rozwiązanie: Skorzystajmy ze wzoru na rozkład sumy kostek na czynniki: . Mamy

Mamy:
.

Odpowiedź 1

Przykład 4. Oblicz
.

Rozwiązanie. .

Odpowiedź: 0,28

Na końcowe lekcje powtórkowe oferujemy opracowane testy na temat „Przekształcenie wyrażeń trygonometrycznych”.

Wpisz największą liczbę całkowitą nieprzekraczającą 1

Wniosek.

Po przepracowaniu odpowiednich literatura metodologiczna na ten temat możemy stwierdzić, że zdolność i umiejętności rozwiązywania problemów z tym związanych przekształcenia trygonometryczne V kurs szkolny matematyka jest bardzo ważna.

W trakcie prowadzonych prac przeprowadzono klasyfikację zadań B7. Rozważono wzory trygonometryczne najczęściej stosowane we współrzędnościowych maszynach współrzędnościowych w 2012 roku. Podano przykłady zadań wraz z rozwiązaniami. Opracowano zróżnicowane testy w celu uporządkowania powtórzeń i usystematyzowania wiedzy w ramach przygotowań do ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wskazane jest kontynuowanie pracy rozpoczętej przez rozważenie rozwiązywanie najprostszych równań trygonometrycznych w zadaniu B5, badanie funkcji trygonometrycznych w zadaniu B14, zadania B12, które zawierają wzory opisujące zjawiska fizyczne i zawierają funkcje trygonometryczne.

Podsumowując, chciałbym zauważyć, że skuteczność zdanie jednolitego egzaminu państwowego zależy w dużej mierze od tego, jak skutecznie zorganizowany jest proces szkolenia na wszystkich poziomach edukacji, ze wszystkimi kategoriami uczniów. A jeśli uda nam się zaszczepić w uczniach samodzielność, odpowiedzialność i gotowość do kontynuowania nauki przez całe życie, to nie tylko wypełnimy porządek państwa i społeczeństwa, ale także zwiększymy swoją samoocenę.

Powtarzanie materiału edukacyjnego wymaga od nauczyciela kreatywna praca. Musi zapewnić jasne powiązanie pomiędzy rodzajami powtórek i wdrożyć głęboko przemyślany system powtórek. Opanowanie sztuki organizowania powtórek jest zadaniem nauczyciela. Siła wiedzy uczniów w dużej mierze zależy od jej rozwiązania.

Literatura.

    Wygodski Ya.Ya., Podręcznik matematyki elementarnej. -M.: Nauka, 1970.

    Zagadnienia zwiększonej trudności z algebry i analizy podstawowej: Podręcznik dla klas 10-11 Liceum/ B.M. Ivlev, A.M. Abramow, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwartzburd. – M.: Edukacja, 1990.

    Zastosowanie podstawowych wzorów trygonometrycznych do przekształcenia wyrażeń (klasa 10) //Festiwal pomysły pedagogiczne. 2012-2013.

    Koryanov A.G. , Prokofiew A.A. Przygotowujemy dobrych i znakomitych uczniów do egzaminu Unified State Exam. - M.: Uniwersytet Pedagogiczny„Pierwszy września”, 2012.- 103 s.

    Kuznetsova E.N. Upraszczanie wyrażeń trygonometrycznych. Rozwiązywanie równań trygonometrycznych różnymi metodami (przygotowanie do egzaminu Unified State Exam). 11 Klasa. 2012-2013.

    Kulanin E. D. 3000 problemów konkurencyjnych w matematyce. Wydanie czwarte, zgadza się. i dodatkowe – M.: Rolf, 2000.

    Mordkovich A.G. Metodologiczne problemy badania trygonometrii w Szkoła średnia//Matematyka w szkole. 2002. nr 6.

    Pichurin L.F. O trygonometrii i nie tylko: -M. Oświecenie, 1985

    Reshetnikov N.N. Trygonometria w szkole: -M. : Uniwersytet Pedagogiczny „Pierwszy września”, 2006, lx 1.

    Shabunin M.I., Prokofiew A.A. Matematyka. Algebra. Początki analizy matematycznej Poziom profilu: podręcznik dla klasy 10 - M.: BINOM. Laboratorium Wiedzy, 2007.

    Portal edukacyjny przygotowujący do egzaminu Unified State Exam.

    Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki „Och, ta trygonometria! http://festival.1september.ru/articles/621971/

    Projekt „Matematyka? Łatwe!!!” http://www.resolventa.ru/

Lekcja wideo „Uproszczanie wyrażeń trygonometrycznych” ma na celu rozwinięcie umiejętności uczniów w rozwiązywaniu problemów trygonometrycznych przy użyciu podstawowych tożsamości trygonometrycznych. Podczas lekcji wideo omawiane są rodzaje tożsamości trygonometrycznych oraz przykłady rozwiązywania problemów z ich wykorzystaniem. Dzięki wykorzystaniu pomocy wizualnych nauczycielowi łatwiej jest osiągnąć cele lekcji. Żywa prezentacja materiału pomaga zapamiętać ważne punkty. Zastosowanie efektów animacji oraz lektora pozwala całkowicie zastąpić lektora na etapie wyjaśniania materiału. Tym samym, wykorzystując tę ​​pomoc wizualną na lekcjach matematyki, nauczyciel może zwiększyć efektywność nauczania.

Na początku lekcji wideo ogłaszany jest jej temat. Następnie przypominamy sobie badane wcześniej tożsamości trygonometryczne. Na ekranie wyświetlane są równości sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdzie t≠π/2+πk dla kϵZ, ctg t=cos t/sin t, poprawne dla t≠πk, gdzie kϵZ, tg t· ctg t=1, dla t≠πk/2, gdzie kϵZ, nazywane podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi. Należy zauważyć, że tożsamości te są często używane przy rozwiązywaniu problemów, gdy konieczne jest udowodnienie równości lub uproszczenie wyrażenia.

Poniżej rozważamy przykłady zastosowania tych tożsamości w rozwiązywaniu problemów. W pierwszej kolejności proponuje się rozważyć rozwiązanie problemów upraszczania wyrażeń. W przykładzie 1 konieczne jest uproszczenie wyrażenia cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Aby rozwiązać przykład, najpierw usuń z nawiasów wspólny współczynnik cos 2 t. W wyniku tej transformacji w nawiasach otrzymuje się wyrażenie 1- cos 2 t, którego wartość z głównej tożsamości trygonometrii jest równa sin 2 t. Po przekształceniu wyrażenia oczywiste jest, że z nawiasów można wyjąć jeszcze jeden wspólny czynnik sin 2 t, po czym wyrażenie przyjmuje postać sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Z tej samej podstawowej tożsamości wyprowadzamy wartość wyrażenia w nawiasie równą 1. W wyniku uproszczenia otrzymujemy cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

W przykładzie 2 wyrażenie koszt/(1- sint)+ koszt/(1+ sint) wymaga uproszczenia. Ponieważ liczniki obu ułamków zawierają koszt wyrażenia, można go wyjąć z nawiasów jako wspólny współczynnik. Następnie ułamki w nawiasach sprowadzamy do wspólnego mianownika poprzez pomnożenie (1- sint)(1+ sint). Po wprowadzeniu podobnych terminów licznik pozostaje 2, a mianownik 1 - grzech 2 t. Po prawej stronie ekranu przywołana jest podstawowa tożsamość trygonometryczna sin 2 t+cos 2 t=1. Korzystając z niego, znajdujemy mianownik ułamka cos 2 t. Po skróceniu ułamka otrzymujemy uproszczoną postać wyrażenia koszt/(1-sint)+ koszt/(1+ sint)=2/koszt.

Następnie rozważymy przykłady dowodów tożsamości wykorzystujących zdobytą wiedzę na temat podstawowych tożsamości trygonometrii. W przykładzie 3 należy udowodnić tożsamość (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Po prawej stronie ekranu wyświetlane są trzy tożsamości, które będą potrzebne do dowodu - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t i tg t=sin t/cos t z ograniczeniami. Aby udowodnić identyczność, najpierw otwiera się nawiasy, po czym tworzy się iloczyn odzwierciedlający wyrażenie głównej tożsamości trygonometrycznej tg t·ctg t=1. Następnie, zgodnie z tożsamością z definicji cotangensu, przekształca się ctg 2 t. W wyniku przekształceń otrzymuje się wyrażenie 1-cos 2 t. Korzystając z tożsamości głównej, znajdujemy znaczenie wyrażenia. Tym samym udowodniono, że (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

W przykładzie 4 musisz znaleźć wartość wyrażenia tg 2 t+ctg 2 t jeśli tg t+ctg t=6. Aby obliczyć wyrażenie, najpierw podnieś prawą i lewą stronę równości (tg t+ctg t) 2 =6 2. Skrócona formuła mnożenia zostanie przywołana po prawej stronie ekranu. Po otwarciu nawiasów po lewej stronie wyrażenia powstaje suma tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, do przekształcenia której można zastosować jedną z tożsamości trygonometrycznych tg t·ctg t=1 , którego forma jest przywoływana po prawej stronie ekranu. Po przekształceniu otrzymuje się równość tg 2 t+ctg 2 t=34. Lewa strona równości pokrywa się z warunkiem zadania, więc odpowiedź brzmi 34. Problem został rozwiązany.

Lekcję wideo „Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych” zaleca się do wykorzystania podczas tradycyjnych lekcji matematyki w szkole. Materiał będzie przydatny także dla nauczyciela wdrażającego nauka na odległość. W celu rozwinięcia umiejętności rozwiązywania problemów trygonometrycznych.

DEKODOWANIE TEKSTU:

„Uproszczenie wyrażeń trygonometrycznych”.

Równości

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kwadrat te plus cosinus kwadrat te równa się jeden)

2)tgt =, dla t ≠ + πk, kϵZ (styczna te jest równa stosunkowi sinusa te do cosinusa te gdzie te nie jest równe pi przez dwa plus pi ka, ka należy do zet)

3)ctgt = , dla t ≠ πk, kϵZ (cotangens te jest równy stosunkowi cosinusa te do sinusa te przy czym te nie jest równe pi ka, ka należy do zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 dla t ≠ , kϵZ (iloczyn stycznej te przez cotangens te jest równy jeden, gdy te nie jest równe pikowi ka, podzielonemu przez dwa, ka należy do zet)

nazywane są podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi.

Są często używane do upraszczania i dowodzenia wyrażeń trygonometrycznych.

Przyjrzyjmy się przykładom użycia tych wzorów do uproszczenia wyrażeń trygonometrycznych.

PRZYKŁAD 1. Uprość wyrażenie: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (wyrażenie cosinus kwadrat te minus cosinus czwartego stopnia te plus sinus czwartego stopnia te).

Rozwiązanie. cos 2 t - cos 4 t + grzech 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + grzech 4 t =cos 2 t ∙ grzech 2 t + grzech 4 t = grzech 2 t (cos 2 t + grzech 2 t) = grzech 2 t 1 = grzech 2 t

(wyciągamy wspólny czynnik cosinus kwadrat te, w nawiasach otrzymujemy różnicę między jednością a kwadratem cosinus te, który jest równy kwadratowi sinus te przez pierwszą tożsamość. Otrzymujemy sumę czwartej potęgi sinus te iloczyn cosinus kwadrat te i sinus kwadrat te Poza nawiasami wyciągamy wspólny czynnik sinus kwadrat te, w nawiasach otrzymujemy sumę kwadratów cosinusa i sinusa, co w zasadzie wynosi tożsamość trygonometryczna równa się jeden. W rezultacie otrzymujemy kwadrat sinusa te).

PRZYKŁAD 2. Uprość wyrażenie: + .

(wyrażenie będzie sumą dwóch ułamków w liczniku pierwszego cosinusa te w mianowniku jeden minus sinus te, w liczniku drugiego cosinus te w mianowniku drugiego plus sinus te).

(Wyjmijmy z nawiasów wspólny czynnik cosinus te i w nawiasach sprowadźmy go do wspólnego mianownika, który jest iloczynem jeden minus sinus te przez jeden plus sinus te.

W liczniku otrzymujemy: jeden plus sinus te plus jeden minus sinus te, podajemy podobne, licznik równa się dwa po doprowadzeniu podobnych.

W mianowniku można zastosować skrócony wzór na mnożenie (różnicę kwadratów) i otrzymać różnicę między jednością a kwadratem sinusa te, co zgodnie z podstawową tożsamością trygonometryczną

równy kwadratowi cosinusa te. Po redukcji przez cosinus te otrzymujemy ostateczną odpowiedź: dwa podzielone przez cosinus te).

Przyjrzyjmy się przykładom użycia tych wzorów podczas dowodzenia wyrażeń trygonometrycznych.

PRZYKŁAD 3. Udowodnij tożsamość (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (iloczyn różnicy kwadratów stycznej te i sinus te przez kwadrat cotangens te jest równy kwadratowi sinus te).

Dowód.

Przekształćmy lewą stronę równości:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = grzech 2 t

(Otwórzmy nawiasy; z wcześniej otrzymanej zależności wiadomo, że iloczyn kwadratów stycznej te przez kottangens te jest równy jeden. Przypomnijmy, że cotangens te równy stosunkowi cosinus te przez sinus te, co oznacza, że ​​kwadrat cotangens jest stosunkiem kwadratu cosinus te do kwadratu sinus te.

Po redukcji przez sinus kwadrat te otrzymujemy różnicę między jednością a cosinusem kwadratem te, który jest równy sinusowi kwadratowi te). co było do okazania

PRZYKŁAD 4. Znajdź wartość wyrażenia tg 2 t + ctg 2 t jeśli tgt + ctgt = 6.

(suma kwadratów stycznej te i cotangensu te, jeśli suma stycznej i cotangensu wynosi sześć).

Rozwiązanie. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Podstawmy obie strony pierwotnej równości:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kwadrat sumy stycznej te i cotangens te jest równy sześciu kwadratom). Przypomnijmy sobie wzór na skrócone mnożenie: Kwadrat sumy dwóch wielkości jest równy kwadratowi pierwszej plus dwukrotność iloczynu pierwszej przez drugą plus kwadrat drugiej. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Otrzymujemy tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (styczna do kwadratu te plus podwójna iloczyn stycznej te przez kotangens te plus cotangens do kwadratu te równa się trzydzieści sześć) .

Ponieważ iloczyn stycznej te i cotangens te jest równy jeden, to tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (suma kwadratów stycznej te i cotangens te i dwa wynosi trzydzieści sześć),