Wstęp

1. Całkowita wartość w liceum

1.1 Definicje i główne twierdzenia

1.2 Geometryczna interpretacja pojęcia |a|

2. Metody rozwiązywania równań i nierówności

2.1 Rozwiązywanie równań i nierówności z wykorzystaniem definicji wartości bezwzględnej (modułu)

2.2 Metoda rozwiązania wykorzystująca zależności pomiędzy liczbami a i b, ich modułami oraz kwadratami tych liczb

2.3 Metoda interwałowa

2.4 Metoda graficzna

2.5 Sposób sekwencyjnej rozbudowy modułu

2.6 Rodzaje równań i nierówności oraz ich rozwiązanie

3. Dodatkowe sposoby rozwiązywania równań i nierówności

3.1 rozwiązywanie równań i nierówności zawierających moduł za pomocą tożsamości

3.2 Rozwiązywanie równań zawierających moduły wyrażeń nieujemnych

3.3 Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem interpretacji geometrycznej

3.4 Rozwiązywanie równań poprzez przejście do konsekwencji

3.5 Typowe problemy zawierające zmienną pod znakiem modułu

3.6 Rady nauczycieli dotyczące kolejności studiowania równań i nierówności z modułem na szkolnym kursie matematyki

4. Równania i nierówności z modułem w Unified National Testing (UNT)

Wniosek

Wykaz używanej literatury

Wstęp

Trafność tematu ze względu na fakt, że moduł jest szeroko stosowany w różnych sekcjach kurs szkolny matematyka, fizyka i nauki techniczne Oh. Na przykład w teorii obliczeń przybliżonych stosuje się pojęcia błędów bezwzględnych i względnych liczby przybliżonej, w geometrii i mechanice stosuje się pojęcie wektora i jego długości (modułu wektora), w analizie matematycznej pojęcie modułu zawarta jest w definicjach granic, jest to funkcja ograniczona. Uważam, że temat ten wymaga bardziej pogłębionych badań, gdyż widać to w różnych zadaniach o większym stopniu złożoności, jakie oferują studentom autorzy materiałów dydaktycznych, w problematyce olimpiad matematycznych, zadaniach UNT i egzaminach wstępnych na uniwersytety.

W praktyce nauczania matematyki w szkołach średnich wielokrotnie spotyka się pojęcie wartości bezwzględnej liczby (modułu).

W klasie 6 w temacie obliczeń przybliżonych powstaje pojęcie wartości bezwzględnej liczby, rozumiejąc błąd bezwzględny liczby przybliżonej.

W drugiej połowie szóstej klasy wprowadza się definicję wartości bezwzględnej liczby (modułu) i za pomocą tego pojęcia formułuje się zasady działań na liczbach wymiernych.

W klasie 8, rozważając właściwości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego, pojęcie wartości bezwzględnej liczby znajduje nowe zastosowanie:

; , gdzie inni.

W klasie 9., badając granicę ciągu, uczniowie spotykają się z wyrażeniami w postaci:

Pojęcie wartości bezwzględnej liczby rozwija się dalej w 10. klasie podczas badania granicy funkcji, badania funkcji pod kątem ograniczenia, badania Liczby zespolone.

W klasie 11 temat „Wykładnik z wykładnikiem wymiernym” bada właściwości pierwiastków N stopień, w którym stosuje się również pojęcie wielkości bezwzględnej liczby; Na przykład,

=

Zatem we wszystkich klasach, zgodnie z program, należy uwzględnić i rozważyć ćwiczenia zawierające znak wartości bezwzględnej liczby.

W szóstej klasie potrafisz rozwiązywać równania w postaci:

W klasie 7 istnieje możliwość sprawdzenia rozwiązań równań postaci: itp., układów równań postaci:

Oprócz konstruowania wykresów funkcji: ; ; itd.

W klasie 8 pojęcia wartości bezwzględnej obejmują równania kwadratowe, wykres trójmianu kwadratowego itp. Możesz rozwiązywać równania w postaci: ; ;

Nowość Praca dyplomowa : rozwiązał wszystkie równania i nierówności za pomocą kretów znalezionych w zadaniach testowych UNT oraz zbadał główne błędy popełniane przez uczniów przy ich rozwiązywaniu.

Cel realizacji naszych badań - przeanalizować materiał edukacyjny i metodologiczny, zidentyfikować wszystkie metody rozwiązywania równań i nierówności za pomocą modułu i połączyć je w tej pracy.

Aby osiągnąć cel, należy rozwiązać następujące kwestie zadania:

    Przestudiuj główne twierdzenia i definicje;

    Opisać podstawowe metody rozwiązywania równań i nierówności o module;

    Identyfikacja niestandardowych metod rozwiązywania równań i nierówności o module.

Przedmiot badań: proces nauczania równań i nierówności w szkole.

Przedmiot badań: metody rozwiązywania równań i nierówności zawierających znak modułu na szkolnych zajęciach z matematyki.

Praktyczne znaczenie teza jest taka, że ​​w niniejszej pracy przedstawiono wszystkie metody i techniki rozwiązywania równań i nierówności, które można wykorzystać na szkolnych zajęciach z matematyki.

Główne metody badawcze w mojej pracy magisterskiej są:

    analityczny,

    porównawczy,

    studiowanie publikacji i artykułów monograficznych,

    beton historyczny,

    metoda generalizacji.

Dyplom ten opiera się na następujących pracach: „Wartość absolutna” Gaidukov I.I., „Równania i nierówności wraz z modułami i metodami ich rozwiązywania” Sevryukov P.F., Smolyakov A.N., „Algebra i zasady analizy. Równania i nierówności 10 - 11kl" Olehnik, Potapow, Pasichenko.

W pierwszym rozdziale omówiono teoretyczną stronę problemu, główne twierdzenia i koncepcje niezbędne do dalszych badań na ten temat. równanie, problem, nierówność

W drugim rozdziale pracy połączyliśmy metody rozwiązywania równań i nierówności z modułem, który jest zawarty w szkolnym programie nauczania.

W rozdziale trzecim zaprezentowaliśmy niestandardowe techniki rozwiązywania równań i nierówności zawierające moduł, przerabiany na zajęciach dodatkowych i wykorzystywany przy rozwiązywaniu zadań olimpiadowych. Omówiono także tutaj typowe zadania rozwiązywać równania i nierówności oraz przypisywać opcje testów do Unified National Testing (UNT).

Rozwiązując równania zawierające znak wartości bezwzględnej, będziemy opierać się na definicji modułu liczby i własnościach wartości bezwzględnej liczby.

1. Wartość bezwzględna w trakcie Liceum

1.1 Definicje i główne twierdzenia

Rozważmy pojęcie wielkości bezwzględnej liczby lub, co jest tym samym, modułem liczby liczby rzeczywiste.

Definicja 1.1.1 Wartość bezwzględna (moduł) liczby rzeczywistej a jest liczbą nieujemną wziętą z dwóch liczb a Lub - A.

Wartość bezwzględna liczby a oznaczać | A| i przeczytaj „wartość bezwzględną liczby a”, lub „moduł liczby a”.

Z definicji wynika:

Z definicji wynika, że ​​dla dowolnej liczby rzeczywistej a, ≥0.

Przykłady 1.1.1:

;

Twierdzenie 1.1.1 Liczby przeciwne mają równe wartości bezwzględne, tj. = .

W rzeczywistości, z definicji wartości bezwzględnej, mamy:

=

=

Stąd,

1.2 Geometryczna interpretacja pojęcia

Wiadomo, że każdą liczbę rzeczywistą można powiązać z punktem na osi liczbowej, wówczas punkt ten będzie obrazem geometrycznym tej liczby rzeczywistej. Każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada jego odległość od początku odniesienia oraz długość odcinka, którego początek znajduje się w początku odniesienia, a koniec w danym punkcie. Odległość ta, czyli długość segmentu, zawsze uważa się za wartość nieujemną.

Jednocześnie każdy punkt na osi liczbowej można powiązać z skierowanym odcinkiem (wektorem), który charakteryzuje się długością i kierunkiem.

Zbiór liczb rzeczywistych odpowiada zbiorowi punktów na linii zorientowanej, tj. taka linia prosta, na której oprócz początku i skali ustalony jest dodatni kierunek.

Wtedy możemy założyć, że interpretacją geometryczną liczby rzeczywistej jest wektor wychodzący z początku i kończący się w punkcie przedstawiającym podany numer. Długość tego wektora będzie interpretacją geometryczną wartości bezwzględnej danej liczby rzeczywistej.

Geometryczna interpretacja znaczenia wyraźnie potwierdza, że ​​=.

Przykłady 1.2.1:

Jeśli = 5, to A 1 = 5 i A 2 = -5 lub a =±5.

Dlatego tę równość spełniają dwie liczby odpowiadające dwóm punktom na osi liczbowej.

Jeśli ˃10, to

Gdzie A˃10 i A˂ -10 lub

W konsekwencji nierówność tę spełnia zbiór liczb dwóch przedziałów: (-∞;-10) i (10;∞), a na osi liczbowej - dwa przedziały odpowiadające tym przedziałom.

Tłumaczenie problemu algebraicznego na język geometryczny jest wygodną i skuteczną metodą rozwiązywania problemów. Jako kolejny przykład spójrzmy na blok zadań olimpijskich:

Przykład 1.2.2:

Podana funkcja: .

Rozwiązanie: Zbudujmy wykres funkcji. Aby to zrobić, należy pamiętać, że , a następnie możemy najpierw zbudować wykres funkcji, a następnie odzwierciedlić go względem osi współrzędnych. Przekształćmy wyrażenie definiujące funkcję:

Ponieważ system ten definiuje górny półokrąg o promieniu 2 ze środkiem w punkcie , wykres pierwotnej funkcji jest sumą półokręgów pokazanych na rysunku.

Teraz rozwiązywanie problemów nie jest trudne:

Z) Na nie ma rozwiązań, przy równaniu ma trzy rozwiązania, w - cztery rozwiązania, w - dwa rozwiązania.

B) Nierówność zachodzi dla całego odcinka .

A) pierwiastkiem równania jest odcięta punktu przecięcia prostej z wykresem funkcji. Znajdźmy to geometrycznie: prawy trójkąt zacieniony na rysunku to równoramienny (współczynnik kątowy linii wynosi -1), jego przeciwprostokątna to promień okręgu, jego długość wynosi 2. Następnie długość nogi leżącej na odciętej jest , a wymagana odcięta jest równa .

Geomet R logiczne znaczenie modułu R różnica ilości jest odległość między nimi. Na przykład, znaczenie geometryczne wyrażenia |x– A| - długość odcinka osi współrzędnych łączącego punkty z odciętymi a i x. Przełożenie problemu algebraicznego na język geometryczny często pozwala uniknąć uciążliwych rozwiązań.

Przykład 1.2.3: Rozwiążmy równanie |x–1|+|x–2|=1 korzystając z interpretacji geometrycznej modułu.

Będziemy rozumować w następujący sposób: na podstawie interpretacji geometrycznej modułu lewa strona równania jest sumą odległości od jakiegoś punktu odciętych x do dwóch punktów stałych o odciętych 1 i 2. Wtedy jest oczywiste, że wszystkie punkty o odciętych z odcinka posiadają wymaganą właściwość, a punkty znajdujące się poza tym odcinkiem – nie. Stąd odpowiedź: zbiorem rozwiązań równania jest odcinek.

Odpowiedź: x 

Przykład 1.2.4: Rozwiążmy równanie |x – 1| - |x – 2|=1 1 korzystając z interpretacji geometrycznej modułu.

Będziemy rozumować podobnie jak w poprzednim przykładzie i stwierdzimy, że różnica odległości do punktów o odciętych 1 i 2 jest równa jedności tylko dla punktów znajdujących się na osi współrzędnych na prawo od cyfry 2. Zatem rozwiązanie równaniem tym nie będzie odcinek zawarty pomiędzy punktami 1 i 2, a półprosta wychodząca z punktu 2 i skierowana w kierunku dodatnim osi OX.

Odpowiedź: x.

  • 2) Załóżmy, że x 2 - 2
  • 2 - x 2 + x

Przecięcie zbioru rozwiązań tej nierówności i nierówności x 2 - 2

Odpowiedź: x(-2; -1).

W przeciwieństwie do równań, nierówności nie można bezpośrednio zweryfikować. Jednak w większości przypadków można zweryfikować poprawność uzyskanych wyników. graficznie. Rzeczywiście, napiszmy nierówność przykładu w postaci

Skonstruujmy funkcje y 1 = x 2 - 2 i y 2 = -x zawarte po lewej i prawej stronie rozważanej nierówności i znajdź te wartości argumentu, dla których y 1

Na ryc. 3, zacieniony obszar osi x zawiera pożądane wartości x. Rozwiązanie nierówności zawierających znak wartości bezwzględnej można czasami znacznie skrócić, stosując równość x 2 = x 2.


Rysunek 3

Przykład: Rozwiąż nierówność

Rozwiązanie: Oryginalna nierówność dla wszystkich x -2 jest równoważna nierówności

x - 1> x + 2. (**)

Podnosząc obie strony nierówności do kwadratu (**), po sprowadzeniu podobnych wyrazów, otrzymujemy nierówność

Biorąc pod uwagę zbiór dopuszczalnych wartości pierwotnej nierówności określony przez warunek x -2, ostatecznie otrzymujemy, że nierówność (*) jest spełniona dla wszystkich x(-; -2)(-2; -1/2) .

Odpowiedź: (-; -2)(-2; -1/2).

Przykład: Znajdź najmniejszą liczbę całkowitą x spełniającą nierówność:

Rozwiązanie: Ponieważ x +1 0 i, pod warunkiem, x +1 0, ta nierówność jest równoważna następującej nierówności: 2x + 5 > x +1. Ten ostatni z kolei jest równoważny układowi nierówności -(2x + 5)

  • -(2x + 5)
  • 2x + 5 > x +1,

Najmniejsza liczba całkowita x spełniająca ten system nierówności to 0. Zauważ, że x wynosi -1, w przeciwnym razie wyrażenie po lewej stronie tej nierówności nie miałoby sensu.

Przykład: Rozwiąż nierówność:

Odpowiedź 1; 1].

Przykład: Rozwiąż nierówność

x2 - 3x + 2+ 2x + 1 5.

Rozwiązanie. x 2 - 3x + 2 jest ujemne przy 1

  • 2. -? X? 1. Mamy nierówność x2 - x - 2? 0. Jego rozwiązaniem jest -1? X? 2. Zatem cały odcinek -S? X? 1 spełnia nierówność.
  • 4. x? 2. Nierówność jest taka sama jak w przypadku 2. Odpowiednie jest tylko x = 2.

Odpowiedź: 5 - 41 2 ? X? 2.

Przykład: Rozwiąż nierówność.

x 3 + x - 3- 5 x 3 - x + 8.

Rozwiązanie. Rozwiążmy tę nierówność w niestandardowy sposób.

x 3 + x - 3 - 5 x 3 - x + 8,

x 3 + x - 3 - 5 x 3 + x - 8

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3

x 3 + x - 3 x 3 - x + 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 13,

x 3 + x - 3 - x 3 + x - 3,

x 3 + x - 3 x 3 - x + 3

Kemerowo

Miejska placówka oświatowa „Szkoła Średnia nr 37”

Kurs do wyboru opcjonalnie

dla uczniów klas 10-11

Równania, nierówności i układy,

Opracowany przez:

Kaplunova Zoya Nikolaevna

nauczyciel matematyki

    Nota wyjaśniająca………………………………………..strona 2

    Program nauczania i plan tematyczny…………………………………..str. 6

    Lista słów kluczowych…………………………………………………...strona 7

    Literatura dla nauczycieli………………………………………..str. 8

    Literatura dla studentów…………………………………str.8

Notatka wyjaśniająca.

Głównym zadaniem nauczania matematyki w szkole jest zapewnienie uczniom silnego i świadomego opanowania systemu wiedzy i umiejętności matematycznych niezbędnych każdemu członkowi współczesnego społeczeństwa w codziennym życiu i pracy, wystarczających do studiowania pokrewnych dyscyplin i kształcenia ustawicznego.

Bardziej dogłębne studiowanie matematyki, oprócz rozwiązania głównego problemu, wiąże się z kształtowaniem wśród uczniów trwałego zainteresowania przedmiotem, identyfikacją i rozwojem ich zdolności matematycznych, orientacją w zawodach znacząco związanych z matematyką oraz przygotowaniem do studiów na studiach uniwersytety.

Istotne pozostaje pytanie o zróżnicowanie nauczania matematyki, pozwalające z jednej strony na zapewnienie podstawowego kształcenia matematycznego, z drugiej zaś na zaspokojenie potrzeb wszystkich zainteresowanych tym przedmiotem.

Program tego kursu „Równania, nierówności i układy zawierające znak wartości bezwzględnej” oferuje naukę zagadnień, które nie są w całości uwzględnione w kursie matematyki w szkole podstawowej, ale są niezbędne do jego dalszej nauki.

Pojęcie wartości bezwzględnej (modułu) jest jedną z najważniejszych cech liczby, zarówno w dziedzinie liczb rzeczywistych, jak i w dziedzinie liczb zespolonych. Pojęcie to jest szeroko stosowane nie tylko w różnych częściach programu szkolnego, ale także na kierunkach matematyki wyższej, fizyki i nauk technicznych studiowanych na uniwersytetach. Na przykład w teorii obliczeń przybliżonych stosuje się pojęcia błędów bezwzględnych i względnych liczby przybliżonej. W mechanice i geometrii badane są pojęcia wektora i jego długości (modułu wektora). W analizie matematycznej pojęcie wartości bezwzględnej liczby zawarte jest w definicjach takich podstawowych pojęć, jak granica, funkcja ograniczona itp. Problemy związane z wartościami bezwzględnymi często spotykane są na olimpiadach matematycznych, egzaminy wstępne na uniwersytetach oraz na jednolitym egzaminie państwowym.

Program nauczania matematyki w szkole nie przewiduje uogólniania i systematyzacji wiedzy o modułach i ich właściwościach, zdobywanej przez uczniów przez cały okres studiów.

Dlatego też niniejszy kurs Równania, nierówności i układy zawierające znak wartości bezwzględnej ma na celu poszerzenie podstawowego kursu algebry i analizy wprowadzającej oraz umożliwienie studentom zapoznania się z podstawowymi technikami i metodami wykonywania zadań związanych z modułami . Rozbudza zainteresowanie badawcze tą problematyką, rozwija logiczne myślenie i przyczynia się do zdobycia doświadczenia w pracy z zadaniem o wyższym stopniu złożoności niż wymagany.

Kurs „Równania, nierówności i układy zawierające znak wartości bezwzględnej” przeznaczony jest do kształcenia specjalistycznego uczniów klas 10-11 i trwa 34 godziny (1 godzina tygodniowo).

W procesie nauczania tego kursu proponuje się stosowanie różnych metod aktywizacji aktywność poznawcza studenci, a także różne formy organizowanie ich niezależna praca.

Podczas studiów na tym kierunku studenci opanowują materiał teoretyczny i wykonują zadania praktyczne. Efektem opanowania programu kursu jest prezentacja dzieła twórcze na ostatniej lekcji

Podczas studiowania kursu zapewniona jest kontrola testowa.

Cele kursu:

*uogólnienie i systematyzacja, poszerzenie i pogłębienie wiedzy na temat „Wartość absolutna”;

*zdobycie praktycznych umiejętności realizacji zadań z modułu;

*podniesienie poziomu przygotowania matematycznego uczniów.

Cele kursu

* wyposażyć uczniów w system wiedzy na temat „Wartość absolutna”

*rozwijać umiejętności stosowania zdobytej wiedzy przy rozwiązywaniu problemów o różnym stopniu złożoności;

*przygotować uczniów do egzaminu Unified State Exam;

*rozwijanie umiejętności pracy samodzielnej i pracy w grupie;

*rozwijanie umiejętności pracy z literaturą przedmiotu;

Wymagania dotyczące poziomu opanowania materiału edukacyjnego

W wyniku przestudiowania programu kursu studenci otrzymują taką możliwość

wiedzieć i rozumieć:

*definicje, pojęcia i podstawowe algorytmy rozwiązywania równań nierówności i układów o module;

*zasady konstruowania wykresów funkcji zawierających znak wartości bezwzględnej;

Być w stanie:

*zastosować definicję, własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej do rozwiązania liczby rzeczywistej do rozwiązania konkretnych problemów;

*rozwiązywać równania, nierówności, układy równań i nierówności zawierające zmienną pod znakiem modułu;

*być w stanie samodzielnie przeprowadzić małe badania.

1.Wprowadzenie 1 godzina

Cele i zadania kursu. Zagadnienia poruszane w kursie i jego struktura. Znajomość literatury, tematów twórczości.

24 godziny)

Wyznaczanie wartości bezwzględnej. Geometryczna interpretacja pojęcia modułu. Operacje na wartościach bezwzględnych. . Zastosowanie właściwości modułu przy rozwiązywaniu problemów.

3. Wykresy funkcji zawierające znak wartości bezwzględnej (8 godz.)

Zasady i algorytmy konstruowania wykresów funkcji. Definicja nawet funkcjonować. Transformacje geometryczne wykresów funkcji zawierających znak modułu. Podstawowa konstrukcja wykresów na przykładach najprostszych funkcji. Wykresy równań: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),gdzie f(x)≥0; |y|=|f(x)|

4.Równania zawierające wartości bezwzględne.(10 godz.)

Ujawnienie modułu z definicji, przejście od równania pierwotnego do układu równoważnego, podniesienie obu stron równania do kwadratu, metoda przedziałowa, metoda graficzna, wykorzystanie własności wartości bezwzględnych. Równania postaci: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

Metoda zastępowania zmiennych przy rozwiązywaniu równań zawierających wartości bezwzględne. Metoda przedziałowa rozwiązywania równań zawierających wartości bezwzględne. Równania postaci:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Graficzne rozwiązanie równań zawierających wartości bezwzględne.

5. Nierówności zawierające wartości bezwzględne (10 godz.)

Nierówności z jedną niewiadomą. Podstawowe metody rozwiązywania nierówności

z modułem |f(x)|>a. Nierówności postaci a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.

6.Lekcja końcowa (1 godzina)

Prezentacja prac twórczych.

Sekcja III. Plan edukacyjno-tematyczny

Tytuły sekcji i tematów

Ćwiczyć

Forma postępowania

forma kontroli

Wstęp

Aukcja wiedzy

Kwestionariusz, zapisy

Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Wykład, warsztaty

Podstawowe notatki, rozwiązywanie problemów

Upraszczanie wyrażeń zawierających zmienną pod znakiem modułu

warsztat

Rozwiązywanie problemów

Wykresy równań zawierających znak modułu

Zasady i algorytmy tworzenia wykresów

Warsztat

Notatka z zasadami i algorytmami konstrukcji

Definicja funkcji parzystej. Przekształcenia geometryczne grafów

Seminarium - warsztat

Podstawowe podsumowanie, rozwiązanie zadania

Wykresy równań: y=f|x|; y=f(-|x|); y=|f(x)|; y=|f|x||; |y|=f(x),gdzie f(x)≥0; |y|=|f(x)|

Sprawdzanie postępu kreślenia

Równania zawierające wartości bezwzględne

Podstawowe metody rozwiązywania równań o module

Notatki, algorytmy

Równania postaci: |f(x)|=0; f|x|=o; |f(x)|=g(x); |f(x)|=|g(x)|;

warsztat

Sprawdzanie rozwiązanych zadań

Metoda przedziałowa rozwiązywania równań zawierających znak modułu. Równania postaci:|f(x)|±|f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=0; |f(x)|±|)f(x)|±|f(x)|±…±|f(x)|=g(x).

Warsztat

Podstawowe notatki, sprawdzanie rozwiązanych zadań

Metoda sekwencyjnego odkrywania modułu przy rozwiązywaniu równań zawierających „moduł w module”

warsztat

Streszczenie, notatka, sprawdzanie zadań

Graficzne rozwiązanie równań zawierających wartości bezwzględne.

Warsztat

Test wykresu

Nierówności zawierające wartości bezwzględne

Nierówności z jedną niewiadomą.

abstrakcyjny

Podstawowe metody rozwiązywania nierówności modułowych

warsztat

Streszczenie, weryfikacja rozwiązania

Nierówności postaci a|f(x)|>g(x); |f(x)|>|g(x)|.

warsztat

Metoda przedziałowa rozwiązywania nierówności zawierających znak modułu.

warsztat

Kontrola testów

Ostatnia lekcja

konferencja

streszczenia

Sekcja IV. Lista słów kluczowych.

Algorytm, równanie, nierówność, moduł, wykres, osie współrzędnych, przesunięcie równoległe, symetrie centralne i osiowe, metoda przedziałów, trójmian kwadratowy, wielomian, faktoryzacja wielomianu, skrócone wzory na mnożenie, równania symetryczne, równania odwrotności, własności wartości bezwzględnej, dziedzina definicji, zakres dopuszczalnych wartości.

Dział V. Literatura dla nauczycieli.

1. Bashmakov M.I. Równania i nierówności. (Tekst)/ M.I. Bashmakov.-M.: VZMSH

na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym, 1983.-138p.

2.Vilenkin N.Ya i inni Algebra i analiza matematyczna, klasa 11. (Tekst)/N.Ya.

Vilenkin-M.: Edukacja, 2007.-280 s.

3. Gajdukow I.I. Całkowita wartość. (Tekst)/ Gaidukov I.I. –M.: Edukacja, 1968.-96 s.

4. Gelfand I. M. i wsp. Funkcje i wykresy (Tekst) / I. M. Gelfand - M.: MTsNMO,

5. Goldich V.A. Zlotin S.E.t 3000 problemów z algebry (Tekst)/V.A. Goldich SE-M.:

Eksmo, 2009.-350 s.

6. Kolesnikova S.I. Matematyka. Intensywny kurs przygotowawczy do Jedynki

Egzamin państwowy. (Tekst)/ Kolesnikova S.I. - M.: Iris-press 2004.-299 s.

7. Nikolskaya I.L. Opcjonalny kurs matematyki. (Tekst)/I.L. Nikolska-

M.: Edukacja, 1995.-80 s.

8.Olechnik S.N. i inne Równania i nierówności. Niestandardowe metody rozwiązań.

(Tekst)/ .Olekhnik S.N.-M.: Drop, 2002.-219 s.

Sekcja VI. Literatura dla studentów

1. Goldich V.A. Zlotin S.E.t 3000 problemów z algebry (Tekst)/V.A. Goldich SE-M.:

Eksmo, 2009.-350 s.

2. Kolesnikova S.I. Matematyka. Intensywny kurs przygotowawczy do Jedynki

Dokument

... Dlawybór taki czy inny przedmiot akademicki(w ramach programu nauczania, sekcja: „ Obieralnykursy") W 10 -11 zajęcia...a także w system dodatkowa edukacja. Dla te kategorie studenci opracowane i wdrożone szkolenia sieciowe kursyPrzez wszyscy...

  • Działanie N 4 51-1 „Doskonalenie metod nauczania w szkołach średnich w oparciu o utworzenie modułów przedmiotowych z co najmniej 18 przedmiotów w oparciu o wdrożenie technologii informatycznych; rozwój bazy naukowo-dydaktycznej

    Raport

    ... studenci. Niniejsze badanie przedstawia obieralnyDobrzePrzez matematyka „Zasady analizy matematycznej i ich zastosowania” Dla10 - 11 profil zajęcia... zależności i relacje (funkcje, równania, nierówności itp.). Zwykle najpierw ustala się...

    • Treść dania głównego

    Wartość bezwzględna liczby. Podstawowe właściwości (1 godzina).

    Wyznaczanie wartości bezwzględnej liczby lub modułu. Analityczny zapis definicji. Znaczenie geometryczne. Podstawowe właściwości. Odniesienie historyczne.

    Głównym celem jest usystematyzowanie i uogólnienie wiedzy uczniów na temat „Wartość absolutna”, zdobytej przez nich w klasach 6 i 8; rozważyć geometryczne znaczenie wartości bezwzględnej i podstawowych właściwości; podać informacje historyczne dotyczące wprowadzenia terminów „moduł” i „znak modułu”; rozważ przykłady, których rozwiązanie opiera się na definicji modułu.

    Rozwiązywanie równań z modułów (3 godz.).

    Rozwiązanie liniowe równania kwadratowe z modułami, a także równania zawierające wartości bezwzględne z parametrami.

    główny cel– interpretacja geometryczna wyrażenia i jej zastosowanie do rozwiązywania równań postaci; rozważyć rozwiązanie równań liniowych w oparciu o definicję modułu; rozwiązywanie równań kwadratowych zawierających znak wartości bezwzględnej, a także rozwiązanie graficzne równania zawierające wartość bezwzględną z parametrami.

    Rozwiązywanie nierówności za pomocą modułów (3 godz.).

    Rozwiązanie liniowe nierówności kwadratowe z modułami, a także nierówności zawierające wartości bezwzględne z parametrami.

    główny cel- rozwijać umiejętności podejmowania decyzji nierówności liniowe z modułem na różne sposoby (stosując znaczenie geometryczne, podnosząc nierówność do kwadratu, wykorzystując podwójną nierówność); nierówności kwadratowe zawierające znak wartości bezwzględnej na podstawie schematycznego szkicu wykresu funkcja kwadratowa, a także metoda interwałowa; dać pomysł rozwiązywania nierówności obejmujących wartości bezwzględne za pomocą parametrów.

    Metoda interwałowa (2 godziny).

    Rozwiązywanie równań i nierówności o wartościach bezwzględnych metodą przedziałową.

    główny cel – uczyć dzieci w wieku szkolnym rozwiązywania równań i nierówności zawierających wartości bezwzględne metodą przedziałów; sformułować twierdzenie, na którym opiera się poszukiwanie przedziałów znaku stałego; znajdowanie zer modułu.

    Nierówności postaci rozwiązywane za pomocą przejść równoważnych (2 godz.).

    Rozwiązywanie nierówności postaci poprzez przejścia równoważne do zbioru nierówności, a nierówności - do układu nierówności.

    główny cel– utrwalić koncepcję równoważności znaną uczniom klasy VIII; sformułować (i udowodnić w klasie „silnej”) właściwość równoważnego przejścia od nierówności do zbioru i od nierówności do układu.

    Zastosowanie własności wielkości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności (1 godzina).

    Rozwiązywanie równań i nierówności (liniowych, kwadratowych, stopni wyższych niż dwa) oraz układów równań i nierówności z wykorzystaniem własności wartości bezwzględnych.

    główny cel– w razie potrzeby powtórzyć podstawowe właściwości modułu; uczyć studentów rozwiązywania równań i nierówności (liniowych, kwadratowych, stopni powyżej dwóch) oraz układów równań i nierówności z wykorzystaniem właściwości wielkości bezwzględnej; pokaż techniki graficzne podczas pisania odpowiedzi; rozszerzyć klasę równań o moduł (rozważ równanie z dwiema zmiennymi).

    Rozwiązywanie równań i nierówności o wartości bezwzględnej na osi współrzędnych (1 godz.).

    Rozwiązanie równania liniowe oraz nierówności z modułem na linii współrzędnych.

    główny cel– powtórz wzór na odległość pomiędzy dwoma punktami A( x 1) oraz b( x 2) linia współrzędnych; uczyć uczniów rozwiązywania równań i nierówności za pomocą modułu na linii współrzędnych.

    Moduł i transformacja pierwiastków (1 godz.).

    Zastosowanie koncepcji modułu przy operowaniu na pierwiastkach arytmetycznych. Transformacja wyrażeń niewymiernych, których rozwiązanie wykorzystuje moduł.

    główny cel– rozwinąć umiejętność wykonywania przekształceń wyrażeń zawierających pierwiastek kwadratowy, w których moduł jest wykorzystywany.

    Równania modułowe i niewymierne (2 godz.).

    Rozwiązywanie równań niewymiernych metodą izolowania kwadratu doskonałego lub wprowadzania nowej zmiennej.

    główny cel– powtórzyć definicję równań niewymiernych znaną uczniom ósmej klasy; pokaż na przykładach rozwiązanie równań niewymiernych związanych z koniecznością wykorzystania modułu.

    Plan edukacyjno-tematyczny

    NIE. Temat Liczba godzin Forma prowadzenia zajęć forma kontroli Nazwa produktu edukacyjnego
    1 Wartość bezwzględna liczby. Podstawowe właściwości. 1 wykład - -
    2 Rozwiązywanie równań za pomocą modułów:

    Liniowy;

    Kwadrat;

    Z parametrami.

    		 1 warsztat

    warsztat

    nauka nowego materiału

    		 rozwiązanie zadania testowe

    rozwiązywanie zadań testowych

    sprawdzanie skoroszytów

    		 -
    5 Rozwiązywanie nierówności za pomocą modułów:

    Liniowy;

    Kwadrat;

    Z parametrami.

    		 1 warsztat

    nauka nowego materiału

    		 badanie Praca domowa

    odpowiedzi na pytania

    sprawdzanie skoroszytów

    		 -
    8 Metoda interwałowa. 1 lekcja łączona

    lekcja-konkurs

    		 odpowiedzi na pytania

    lekcja wzajemnej oceny

    		 -
    10 Rozwiązywanie nierówności postaci rozwiązywanych poprzez przejścia równoważne. 1 nauka nowego materiału

    utrwalenie poznanego materiału

    		 sprawdzanie notatek

    dyktando matematyczne

    		 -
    12 Zastosowanie własności wielkości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności. 1 ankieta ustna -
    13 Rozwiązywanie równań i nierówności o wartości bezwzględnej na osi współrzędnych. 1 uogólnianie i systematyzacja wiedzy niezależna praca -
    14 Moduł i transformacja pierwiastków. 1 warsztat Praca grupowa -
    15 Równania modułowe i niewymierne. 1 sprawdzanie i poprawianie pamięci

    konsultacja

    		 próba domowa

    odpowiedzi na pytania

    		 -
    17 Przechodzić. 1 test lub test - przygotowanie notatek wprowadzających

    Wykaz literatury dla nauczycieli

    • Gołubiew V.I. Wartość bezwzględna liczby egzaminów konkursowych z matematyki (na podstawie materiałów z wiodących uczelni w kraju) – Lwów: Quantor, 1991.
    • Gołubiew W. Skuteczne metody rozwiązywanie problemów na temat „Wartość absolutna” - M.: Chistye Prudy, 2006.
    • Dankova I.N., Bondarenko T.E., Emelina L.L., Pletneva O.K. Przygotowanie przedprofilowe uczniów klas IX z matematyki - M.: 5 z wiedzy, 2006.
    • Rurukin A.N. Podręcznik intensywnego przygotowania do egzaminu z matematyki „Graduacja, wejście, ujednolicony egzamin państwowy dla 5+” - M.: VAKO, 2006.
    • Smykalova E.V. Matematyka (moduły, parametry, wielomiany), przygotowanie profilu wstępnego, klasy 8-9 - St. Petersburg: SMIO-Press, 2006.

    Wykaz literatury dla studentów

    • Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka. Materiały referencyjne - M.: Edukacja, 1988.
    • Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Podręcznik matematyki dla rozpoczynających naukę na uniwersytetach – M.: Nauka, 1973.
    • Zorin V.V. Podręcznik matematyki dla rozpoczynających naukę na uniwersytetach - M.: Szkoła Wyższa, 1974.
    • Ivlev B.M., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P., Shvartsburd S.I. Zagadnienia zwiększonej złożoności w algebrze i zasady analizy - M.: Edukacja, 1990.
    • Kalnin R.A. Algebra i funkcje elementarne, wydawnictwo „Nauka”, redakcja główna literatury fizycznej i matematycznej – M.: Nauka, 1975.
    • Krulikovsky N.N. Problemy matematyczne dla kandydatów - Tomsk: wyd. Uniwersytet Tomski, 1973.
    • Nesterenko Yu.V., Olehnik S.N., Potapov M.K. Cele egzaminów wstępnych z matematyki - M.: Nauka, 1986.
    • Sharygin I.F. Matematyka dla uczniów szkół średnich, Moskwa, „Drofa”, 1995.

    Materiały metodyczne

    Lekcja nr 1: Wyznaczanie wartości bezwzględnej liczby (modułu liczby), jej znaczenia geometrycznego i podstawowych własności.

    Wartość bezwzględna (lub moduł) liczby rzeczywistej a to sama liczba, jeśli jest ona nieujemna, a liczba ta traktowana jest z przeciwnym znakiem, jeśli jest ujemna.

    Moduł liczby oznacza się w następujący sposób: Ustalając związek między modułem liczby a samą liczbą, otrzymujemy analityczny zapis definicji:

    =

    Moduł liczby to także odległość od początku układu współrzędnych do punktu reprezentującego tę liczbę. To jest znaczenie geometryczne moduł. To. Używane są terminy „moduł”, „wartość bezwzględna” lub „wartość bezwzględna” liczby. Zgodnie z powyższą definicją = 5, = 3, =0. Moduł liczby można również zdefiniować jako największą z liczb a i – a.

    Informacje historyczne: termin „moduł” (od łacińskiego moduł – miara) wprowadził angielski matematyk R. Cotes (1682-1716), a znak modułu niemiecki matematyk K. Weierstrass (1815-1897), w 1841.

    Główne właściwości modułu:

    Przyjrzyjmy się przykładom, których rozwiązanie opiera się na definicji modułu.

    Nr 1. Rozwiąż równanie =4.

    Według definicji modułu; X=4 lub X=-4.

    Nr 2. Rozwiąż równanie: =3.

    Równanie jest równoważne kombinacji dwóch równań:

    Gdzie: x 1=2 i x 2=-1.

    Nr 3. Rozwiąż równanie: =-2.

    Zgodnie z własnością 1: moduł dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, wnioskujemy, że nie ma rozwiązania.

    Nr 4. Rozwiąż równanie: = X–5.

    Dla tej samej właściwości 1: X–50, X 5.

    Nr 5. Rozwiąż równanie: + X=0.

    =- x, X 0.

    Nr 6. Rozwiąż równanie: = X+2.

    W przeciwieństwie do poprzedniego przykładu, prawa strona tego równania zawiera wyrażenie ze zmienną. Zatem równanie ma rozwiązanie pod warunkiem, że X+20, tj. x-2. Następnie mamy:

    2x+1= x +2 lub

    2x+1 = - x – 2.

    To. Na x -2, mamy:

    Rozwiąż równania:

    Lekcja nr 2. Rozwiązywanie równań liniowych z modułami.

    Przy rozwiązywaniu równań liniowych stosuje się geometryczne znaczenie modułu liczby lub ujawnienie znaku modułu. Spójrzmy na przykład: rozwiąż równanie

    a) Używamy geometrycznego znaczenia modułu liczby. Zapiszmy równanie w postaci: +=7. Następnie d=x–5- odległość od punktu X do punktu 5 na osi liczbowej, f =x–(-2)- odległość od punktu X do punktu (-2) Zgodnie z warunkami zadania suma tych odległości d+f=7. Narysujmy punkty 5 i -2 na osi liczbowej. Łatwo sprawdzić, że dla dowolnej liczby z przedziału [-2;5] suma odległości d+f równa długości odcinka AB, tj. 7. Łatwo jest także ustawić, co będzie za punkty x lub x>5 suma odległości d+f>7. Dlatego rozwiązaniem równania jest przedział.

    b) Rozwińmy znak modułu. Aby to zrobić, nanieś punkty -2 i 5 na oś liczbową. Punkty te dzielą go na trzy przedziały. Rozważmy znaki modułów w każdym z przedziałów.

    W przedziale 1 (x otrzymujemy: -(x–5)–(x+2)=7 Lub –x+5–x–2=7 Lub - 2x+3=7, skąd otrzymujemy: x=-2. Ale ten punkt nie jest uwzględniony w rozważanym przedziale. Dlatego x=-2 nie jest rozwiązaniem.

    W przedziale 2: X otrzymujemy: -(x–5)+(x+2)=7 Lub 7=7. Ponieważ równość jest poprawna, każdy punkt w tym przedziale jest rozwiązaniem tego równania.

    W przerwie 3 (x>5) otrzymujemy: (x-5)+(x+2)=7 Lub 2x-3=7, Gdzie x=5. Kropka x=5 nie wchodzi w zakres rozpatrywanego przedziału i nie jest rozwiązaniem równania.

    Zatem rozwiązaniem tego równania jest: -2x5.

    Rozwiąż równania:

    Lekcja nr 3. Rozwiązywanie równań kwadratowych z modułem.

    Rozważmy rozwiązanie równań kwadratowych za pomocą modułów na przykładach:

    nr 1. Rozwiązać równanie

    Przedstawmy zamiennik = y, następnie o godz y 0 równanie przyjmuje postać:

    y 2 –6у+8=0, skąd y 1 = 2 i y 2 = 4. a x= 2 lub -2; 4 lub -4.

    Nr 2. Rozwiązać równanie:

    Równanie jest równoważne układowi: Skąd X=1.

    Nr 3. Rozwiązać równanie:

    2X – 1.

    Równanie ma rozwiązanie pod warunkiem, że 2 X–10, a równość jest możliwa pod warunkiem: znaczenia wyrażeń x 2 + x–1 i 2 X–1 są takie same lub przeciwne. To. mamy: x0,5. Ułóżmy równania: x 2 + x–1=2X–1 lub x 2+X–1=-(2X-1); rozwiązując które, otrzymujemy

    Nr 4. Znajdź pierwiastki równania: .

    Przedstawmy to równanie w postaci: = X 2 – 1, skąd:

    x – 1 = x 2 – 1,

    lub x – 1 = - (x 2 – 1).

    x 2 – 1 o godz x - 1 I x 1.Rozwiązując równania, z pierwszego otrzymujemy: x=0 I x=1, od drugiego: x=-2 I x=1.

    Odpowiedź: x=1; x=-2.

    Nr 5. Znajdź całe pierwiastki równania: = .

    Korzystając z definicji modułu, dochodzimy do wniosku, że równość jest możliwa, jeśli wartości wyrażeń x–x 2 –1 I 2x+3–x 2 równe lub przeciwne, tj. równanie to jest równoważne kombinacji dwóch równań:

    Rozwiązując zbiór, otrzymujemy pierwiastki tego równania: x=-4;-0,5;2. Wśród nich liczby całkowite: -4 i 2.

    Numer 6. Rozwiązać równanie: =2x2 –3x+1.

    Oznaczmy wyrażenie 3x-1-2x 2 list A. Wtedy to równanie przyjmie postać: =-a. Na podstawie analitycznego zapisu definicji modułu możemy stwierdzić, że równanie to jest równoważne nierówności: 3x–1-2x 2 0, rozwiązując które, otrzymujemy odpowiedź: x0,5 I x1.

    Ćwiczenia do samodzielnej pracy.

    Rozwiązać równanie:

    Nr 1.=x 2 + x–20.

    Nr 2. + 3x -5=0,

    Nr 3. =(x–1)(x+1),

    Nr 4. x 2 –6+5=0,

    Nr 5. x2 +8=9,

    nr 6.=x 2 –6x+6,

    nr 7. x = -8.

    Lekcja nr 4. Rozwiązywanie równań zawierających wartość bezwzględną z parametrami.

    Rozważmy przykład: rozwiąż równanie z parametrem

    Zbudujmy wykresy funkcji y=3–x I y=. Harmonogram y=3–x jest stała i niezależna od parametru. Harmonogram y= otrzymane z wykresu funkcji y=, zależy od parametru A. Rozważmy zatem 3 przypadki:

    W tym przypadku, jak widać na rysunku, będzie to miało miejsce A. Wykresy tych funkcji przecinają się w jednym punkcie B. Rozważmy trójkąt ABC, w którym kąt A równy kątowi B i jest równa 45 0, narysujmy wysokość VD w tym trójkącie. Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienny, wówczas BD jest także środkową tego trójkąta. Zatem odcięta punktu D X=(a + 3)/2.

    Ten przypadek ma miejsce, gdy A=3. Wówczas wykresy funkcji pokrywają się na odcinku AB i odcięta dowolnego punktu na tej półprostej jest rozwiązaniem tego równania, tj. X

    W tym przypadku A>3. Można zauważyć, że wykresy funkcji nie przecinają się, tj. nie mają punktów wspólnych. Zatem równanie nie ma rozwiązania.

    Ćwiczenia do samodzielnej pracy:

    Rozwiąż równania:

    Nr 3. (a–2)=a–2,

    Nr 4. za 2 x 2 + za = 0.

    Lekcja nr 5. Rozwiązywanie nierówności liniowych za pomocą modułów.

    Nierówności zawierające zmienną pod znakiem modułu rozwiązuje się na różne sposoby; Spójrzmy na dość prosty przykład:

    Nr 1. Rozwiąż nierówność:

    Pierwsza metoda: Mamy: >4,

    Geometrycznie wyrażenie oznacza odległość na linii współrzędnych między punktami X i 2,5. Oznacza to, że musimy znaleźć wszystkie takie punkty X, które są oddalone o więcej niż 2 od punktu 2.5, są punktami z przedziałów x i x>4,5.

    Metoda druga: Ponieważ obie strony danej nierówności są nieujemne, podstawiamy do kwadratu obie strony nierówności: 2 >4 2.

    (2x–5) 2 >4 2 ,

    (2x–5) 2 –16>0,

    (2x–5–4)(2x–5+4)>0,

    2(x–4,5) 2(x–0,5)>0,

    (x–4,5)(x–0,5)>0.

    Stosując metodę przedziałową otrzymujemy: x.5 i x>4,5.

    Trzeci sposób: ekspresja 2x–5 może być nieujemna lub ujemna. Te. mamy kombinację dwóch systemów:

    Gdzie: x i x>4,5.

    Spójrzmy na jeszcze kilka przykładów.

    Przykład nr 2. Rozwiąż nierówność:

    Ta nierówność jest równoważna kombinacji dwóch systemów:

    Z pierwszego systemu, który otrzymujemy 2x, od drugiego -1-1

    Przykład nr 3. Rozwiąż nierówność: 3 x+3.

    Ta nierówność jest równoważna nierówności podwójnej -x-33x–3x+3 lub systemu

    Mamy : 0x3.

    Ćwiczenia do samodzielnej pracy:

    Rozwiąż nierówności:

    №3. ->-2.

    Lekcja nr 6. Rozwiązywanie nierówności kwadratowych za pomocą modułów.

    Spójrzmy na przykład nr 1. Rozwiąż nierówność: +x–2.

    Nierówność tę można rozwiązać metodą przedziałową. Rozważmy inne rozwiązanie w oparciu o następujące stwierdzenie: dla dowolnej wartości a nierówność jest równoważna układowi nierówności: ,i nierównośćjest równoważny zbiorowi nierówności.

    Zatem nasza nierówność jest równoważna systemowi nierówności: rozwiązując które, otrzymujemy:

    Zapiszmy odpowiedź: (1-;2-).

    Przykład nr 2. Znajdź rozwiązania całkowite nierówności: 2x–x 2. Problem sprowadza się do rozwiązania zbioru dwóch systemów nierówności:

    Rozwiążmy pierwszy układ: z pierwszej nierówności mamy: x1; x2.

    od drugiego: 2x 2 –5x+20, Lub 0,5x2.

    Po zanotowaniu znalezionych rozwiązań pierwszej i drugiej nierówności pierwszego układu na linii współrzędnych znajdujemy przecięcie rozwiązań.

    To. 0,5x1 I x=2. To jest rozwiązanie pierwszego układu.

    Rozwiążmy drugi układ: z pierwszej nierówności mamy: 1-(x 2 -3x+2)2x–x 2, Lub – x 2 +3x–2–2x+ x 2 0, Lub x2.

    Notując znalezione rozwiązania pierwszej i drugiej nierówności drugiego układu na osi współrzędnych otrzymujemy: 1

    Łączenie znalezionych rozwiązań układów nierówności 0,5x1; x=2; 1 0,5x2 itp. będą całe rozwiązania x=1 I x=2.

    Ćwiczenia do samodzielnej pracy:

    Rozwiąż nierówności:

    Nr 4. x 2 -3+2>0,

    Numer 6. x 2 -6x+7-

    nr 7. 3+x 2 –7>0,

    №8. >.

    Lekcja nr 7. Rozwiązywanie nierówności zawierających wartość bezwzględną z parametrami.

    Przykład. Przy jakich wartościach A nierówność jest prawdziwa: ach 2 +4+a+3?

    Na x0 mamy ach 2 +4x+a+3. Starszy współczynnik A musi być ujemna, dyskryminator musi być mniejszy od zera.

    a 16-4a(a+3) 0; AI a>1;

    odcięta wierzchołka paraboli x 0 = -b/2a=- 4/2a=-2/a 0, Gdzie A.

    Na x mamy ach 2 –4x+a+3. Argumentując podobnie, otrzymujemy: A.

    Odpowiedź: kiedy i ta nierówność dotyczy wszystkich rzeczywistych wartości x.

    Ćwiczenia do samodzielnej pracy:

    Rozwiązuj nierówności za pomocą parametrów:

    Nr 3. Czy istnieją wartości a, dla których występuje nierówność aha 2 >2+5 nie ma rozwiązań?

    Lekcje nr 8 - 9. Przedziałowa metoda rozwiązywania równań i nierówności zawierających moduł.

    Rozważmy metodę przedziałową na przykładzie rozwiązania równania

    -+3-2=x+2.

    Aby rozwiązać tę nierówność, konieczne jest rozwinięcie modułów. W tym celu wybieramy przedziały, w każdym z których wyrażenia pod znakiem modułu przyjmują tylko wartości dodatnie lub ujemne. Znalezienie takich przedziałów opiera się na twierdzeniu: jeżeli na przedziale (a; b) funkcja f jest ciągła i nie zanika, to zachowuje na tym przedziale znak stały.

    Aby podkreślić przedziały znaku stałego, znajdujemy punkty, w których wyrażenia zapisane pod modułem stają się zerem:

    x+1=0, x=-1; x=0; x–1=0, x=1; x–2=0, x=2.

    Powstałe punkty podzielą linię na wymagane odstępy. Zdefiniujmy znaki wyrażeń

    x+1, x, x–1, x–2 w tych przedziałach:

    Biorąc pod uwagę znaki, będziemy rozbudowywać moduły. W rezultacie otrzymujemy zbiór układów równoważnych temu równaniu:

    Ostatni zbiór sprowadza się do postaci:

    Rozwiązanie zbioru układów i tego równania: -2; X 2.

    Zastosowana technika nazywa się metoda interwałowa. Używa się go również do rozwiązywania nierówności.

    Rozwiąż nierówność: +x–2

    1) Znajdź zera wyrażenia: x 2 -3x.

    x 1 = 0, x 2 = 3.

    2) Podzielmy oś współrzędnych na przedziały i ustawmy znak wyrażenia x 2 -3x w każdym przedziale:

    3) Rozwińmy moduł:

    Rozwiązanie pierwszego układu: , rozwiązanie drugiego. Rozwiązanie tej nierówności: .

    Ćwiczenia do samodzielnej pracy:

    №3

    Lekcja nr 10 - 11. Rozwiązywanie nierówności postaci , poprzez równoważne przejścia.

    Rozważmy nierówności formy i. Przyjmijmy następujące twierdzenie bez dowodu: dla dowolnej wartości nierównościjest równoważny układowi nierówności i nierównościjest równoważny zbiorowi nierówności

    Spójrzmy na przykład: rozwiąż nierówność: >x+2.

    Korzystając ze sformułowanego twierdzenia przejdźmy do zbioru nierówności:

    System i nierówność 0x>2 nie mają rozwiązań. Zatem rozwiązaniem populacji (i tej nierówności) jest: X.

    Ćwiczenia do samodzielnej pracy:

    Lekcja nr 12. Zastosowanie własności wielkości bezwzględnej do rozwiązywania równań i nierówności.

    Przy rozwiązywaniu niektórych zadań wykorzystywane są właściwości modułu. (Jeśli to konieczne, powtórz je, patrz lekcja nr 1).

    Notatka wyjaśniająca

    Matematyka jest językiem, którym mówi nie tylko nauka i technologia, matematyka jest językiem ludzkiej cywilizacji. Przeniknęła praktycznie do wszystkich sfer życia człowieka. Nowoczesna produkcja, informatyzacja społeczeństwa, wprowadzenie nowoczesności Technologie informacyjne wymaga umiejętności matematycznych.

    Edukacja matematyczna przyczynia się do kształtowania ogólnej kultury człowieka. Studiowanie matematyki pomaga edukacja estetyczna ludzkie zrozumienie piękna i wdzięku rozumowania matematycznego.

    Przedmiot fakultatywny „Równania i nierówności zawierające znak wartości bezwzględnej” został stworzony do realizacji w 9 klasach.

    Celem przedmiotu jest poszerzenie wiedzy i umiejętności studentów w zakresie zagadnień związanych z pojęciem wartości bezwzględnej liczby, rysowaniem funkcji oraz graficznym rozwiązywaniem równań i nierówności zawierających znak wartości bezwzględnej.

    Pojęcie wartości bezwzględnej (modułu) jest jedną z najważniejszych cech liczby, zarówno w dziedzinie liczb rzeczywistych, jak i zespolonych. Pojęcie to jest szeroko stosowane nie tylko w różnych sekcjach szkolnego kursu matematyki, ale także na kierunkach matematyki wyższej, fizyki i nauk technicznych studiowanych na uniwersytetach. Na przykład w teorii obliczeń przybliżonych stosuje się pojęcia błędów bezwzględnych i względnych liczby przybliżonej. W mechanice i geometrii badane są pojęcia wektora i jego długości (modułu wektora). W analizie matematycznej pojęcie wartości bezwzględnej liczby zawarte jest w definicjach takich podstawowych pojęć, jak granica, funkcja ograniczona itp. Problemy związane z wartościami bezwzględnymi często spotykane są na olimpiadach matematycznych, egzaminach wstępnych na uniwersytety i w Unified Egzamin państwowy.

    Kurs pomoże nauczycielowi jak najlepiej przygotować uczniów do zajęć Olimpiady Matematyczne, mijając OGE, Jednolity egzamin państwowy i egzaminy wstępne na uniwersytety.

    Program zajęć fakultatywnych obejmuje zapoznanie się z teorią i praktyką omawianej problematyki i obejmuje 34 godziny: 7,5 godziny wykładów i 26,5 godzin zajęć praktycznych.

    Treść kursu składa się z ośmiu części, obejmujących wprowadzenie i lekcję podsumowującą. Nauczyciel, w zależności od poziomu przygotowania uczniów, stopnia złożoności studiowanego materiału i jego postrzegania przez uczniów, może nie podejmować wszystkich tematów do nauki, zwiększając jednocześnie liczbę godzin na naukę pozostałych. Prowadzący może także zmienić poziom trudności prezentowanego materiału.

    Program zawiera tematykę prac twórczych oraz spis literatury dotyczącej proponowanych tematów.

    W trakcie studiowania tego kursu zakłada się, że będą stosowane różne metody wzmacniania aktywności poznawczej uczniów, a także różne formy organizacji ich samodzielnej pracy.

    Efektem opanowania programu zajęć jest prezentacja przez studentów osobowości twórczej i Praca grupowa na ostatniej lekcji.

    Cele kursu:

    • rozwijanie trwałego zainteresowania matematyką wśród uczniów;
    • opanowanie określonej wiedzy matematycznej niezbędnej do zastosowania w działaniach praktycznych;
    • przygotowanie do świadomego opanowania systematycznego kursu algebry i geometrii;
    • uogólnienie i systematyzacja, poszerzenie i pogłębienie wiedzy na temat „Wartość absolutna”; nabycie praktycznych umiejętności realizacji zadań z modułu; podniesienie poziomu przygotowania matematycznego uczniów.

    Cele kursu:

    • wykształcenie u studentów umiejętności konstruowania wykresów funkcji zawierających znak wartości bezwzględnej metodą przekształceń geometrycznych, rozwiązywania równań i nierówności modułami;
    • rozwijać umiejętności stosowania tej wiedzy przy rozwiązywaniu różnorodnych problemów o różnym stopniu złożoności;
    • przygotować uczniów do jednolitego egzaminu państwowego;
    • rozwijać umiejętności samodzielnej pracy i pracy w małych grupach;
    • rozwijać umiejętności pracy z podręcznikami i komputerem;
    • rozwijać umiejętności i zdolności do pracy badawczej;
    • promowanie rozwoju myślenia algorytmicznego uczniów;
    • promować kształtowanie zainteresowania poznawczego matematyką.

    (1 godzina tygodniowo, łącznie 34 godziny)

    1. Wprowadzenie (1 godzina)

    Cele i zadania zajęć fakultatywnych. Zagadnienia poruszane w kursie i jego struktura. Znajomość literatury, tematów twórczości. Wymagania wobec uczestników kursu. Aukcja „Co wiem o wartości bezwzględnej?”

    2. Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a (4 godziny)

    Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a. Moduły liczby przeciwne. Interpretacja geometryczna pojęcia modułu a. Moduł sumaryczny i moduł różnicowy skończoną liczbą liczby rzeczywiste. Moduł różnicy między modułami dwóch liczb. Moduł produktu i moduł ilorazowy. Operacje na wartościach bezwzględnych. Uproszczenie wyrażeń zawierających zmienną pod znakiem modułu. Zastosowanie właściwości modułu przy rozwiązywaniu zadań olimpijskich.

    3. Wykresy równań (w tym funkcji), których wyrażenie analityczne zawiera znak wartości bezwzględnej (5 godz.)

    Aplikacja program komputerowy„Zaawansowany Grapher” przy konstruowaniu wykresów funkcji, których wyrażenie analityczne zawiera znak modułu. Zasady i algorytmy konstruowania wykresów równań, których wyrażenie analityczne zawiera znak modułu. Wykresy równań

    Wykresy niektórych najprostszych funkcji, określonych jawnie i implicytnie, których wyrażenie analityczne zawiera znak modułu. Wykresy równań (w tym funkcji), których wyrażenie analityczne zawiera znak wartości bezwzględnej w zadaniach olimpijskich.

    4. Równania zawierające wartości bezwzględne (11 godz.)

    Podstawowe metody rozwiązywania równań o module. Ujawnienie modułu z definicji, przejście od równania pierwotnego do układu równoważnego, podniesienie obu stron równania do kwadratu, metoda przedziałowa, metoda graficzna, wykorzystanie własności wartości bezwzględnych. Równania postaci

    Metoda zastępowania zmiennych przy rozwiązywaniu równań zawierających wartości bezwzględne. Metoda przedziałowa rozwiązywania równań zawierających wartości bezwzględne. Równania postaci

    Metoda sekwencyjnego ujawniania modułu przy rozwiązywaniu równań zawierających „moduł w module”. Graficzne rozwiązanie równań zawierających wartości bezwzględne. Wykorzystanie własności wartości bezwzględnej przy rozwiązywaniu równań. Równania z parametrami zawierającymi wartości bezwzględne. Obrona rozwiązanych zadań olimpijskich.

    5. Nierówności zawierające wartości bezwzględne (7 godz.)

    Nierówności formy

    Nierówności formy

    Metoda przedziałowa rozwiązywania nierówności zawierających znak modułu. Nierówności z parametrami zawierającymi wartości bezwzględne. Nierówności z dwiema zmiennymi.

    Układy równań i nierówności zawierające wartości bezwzględne.

    Inne pytania, w których używane jest pojęcie wartości bezwzględnej.

    6. Lekcja końcowa (1 godzina)

    Kalendarz i planowanie tematyczne

    Nazwa

    sekcje i tematy

    Liczba godzin

    Wstęp

    Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a (4 godziny)

    Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej a. Podstawowe twierdzenia

    Operacje na wartościach bezwzględnych

    Upraszczanie wyrażeń zawierających zmienną pod znakiem modułu

    Zastosowanie właściwości modułu przy rozwiązywaniu zadań olimpijskich

    Tworzenie wykresów równań, których wyrażenie analityczne zawiera znak wartości bezwzględnej (5 godz.)

    Zastosowanie programu komputerowego „Advanced Grapher” do konstruowania wykresów funkcji, których wyrażenie analityczne zawiera znak modułu

    Zasady i algorytmy konstruowania grafów (w tym funkcji), których wyrażenie analityczne zawiera znak modułu

    Wykresy równań

    Wykresy niektórych prostych funkcji, określonych jawnie i implicytnie, których wyrażenie analityczne zawiera znak modułu

    Wykresy równań, których wyrażenie analityczne zawiera znak wartości bezwzględnej w zadaniach olimpijskich

    Równania zawierające wartości bezwzględne (11 godzin)

    Podstawowe metody rozwiązywania równań o module

    Równania postaci

    Metoda zastępowania zmiennych przy rozwiązywaniu równań zawierających wartości bezwzględne

    Metoda przedziałowa rozwiązywania równań zawierających wartości bezwzględne. Równania postaci

    Metoda sekwencyjnego odkrywania modułu przy rozwiązywaniu równań zawierających „moduł w module”

    Graficzne rozwiązanie równań zawierających wartości bezwzględne

    Używanie właściwości wartości bezwzględnej do rozwiązywania równań

    Równania z parametrami zawierającymi wartości bezwzględne

    Ochrona rozwiązanych zadań olimpijskich

    Nierówności zawierające wartości bezwzględne (13 godz.)

    Nierówności z jedną niewiadomą. Podstawowe metody rozwiązywania nierówności modułowych

    Podstawowe metody rozwiązywania nierówności modułowych

    Nierówności formy

    Nierówności z dwiema zmiennymi

    Układy równań i nierówności zawierające wartości bezwzględne

    Inne pytania, w których używane jest pojęcie wartości bezwzględnej

    Ostatnia lekcja

    Wykaz materiałów dydaktycznych i metodycznych

    1. Bashmakov M.I. Równania i nierówności. – M.: VZMSH na Moskiewskim Uniwersytecie Państwowym, 1983.

    2. Vilenkin N.Ya. i inne Algebra i analiza matematyczna. 11 Klasa – M.: Edukacja, 1993.

    3. Gajdukow I.I. Całkowita wartość. – M.: Edukacja, 1968.

    4. Galitsky M.L. i inne Zbiór zadań z algebry 8 – 9 klas. – M.: Edukacja, 1995.

    5. Govorov V.M. i inne Zbiór problemów konkurencyjnych w matematyce – M.: Prosveshchenie, 1983.

    6. Gornshtein P.I. i inne Problemy z parametrami. – M.: Ilexa, Charków: Gimnazjum, 2003.

    7. Kolesnikova S.I. Matematyka. Intensywny kurs przygotowawczy do Zjednoczonego Państwa

    Egzamin. M.: Iris-press, 2004.

    8. Merzlyak A.G. i inne Symulator algebraiczny. – M.: Ilexa, 2001.

    9. Mordkovich A.G. Algebra. 8 klasa – M.: Mnemosyne, 2000.

    10. Neshkov K.I. i inne Zestawy. Relacja. Liczby. Wielkie ilości. – M.: Edukacja, 1978.

    11. Nikolskaya I.L. Opcjonalny kurs matematyki. – M.: Edukacja, 1995.

    12. Olehnik S.N. i inne Równania i nierówności. Niestandardowe metody rozwiązań. 10 – 11 klas –

    M.: Drop, 1995.

    13. Sharygin I.F. Fakultatywny kurs matematyki 10 – 11 klas. – M.: Edukacja, 1989.

    14. Podręcznik elektroniczny „Algebra 7 – 11”.

    15. Yastrebinetsky G.A. Problemy z parametrami. – M.: Edukacja, 1986.

    Tematyka prac twórczych

    1. Zastosowanie modułu w mechanice i algebrze wektorowej.
    2. Moduł w definicji granicy.
    3. Błędy.
    4. Projekt notatki dotyczącej zasad i algorytmów konstruowania wykresów równań (w tym funkcji), których wyrażenie analityczne zawiera znak modułu.
    5. Wykonanie gry „Matematyczne Lotto” na temat „Wykresy równań, których wyrażenie analityczne zawiera znak modułu”.
    6. Projekt sygnałów odniesienia na metody rozwiązywania równań i nierówności modułowych.
    7. Najprostsze funkcje, określone jawnie i implicytnie, których wyrażenie analityczne zawiera znak modułu i ich wykresy.

    Zadania polegające na budowie wykresów funkcji „modułu” oraz problemy z parametrami to tradycyjnie jedne z najtrudniejszych tematów matematyki, dlatego zawsze zaliczane są do zajęć zaawansowanych i wysoki poziom GIA i ujednolicony egzamin państwowy.

    Pojęcie „modułu” uczy się w szkole od szóstej klasy i to na poziomie samych definicji i obliczeń, mimo że jest szeroko stosowane w wielu sekcjach szkolnego kursu matematyki, na przykład w badaniu liczb bezwzględnych i błędy względne o przybliżonej liczbie; w geometrii i fizyce badane będą pojęcia wektora i jego długości (modułu wektora). Koncepcje modułu wykorzystywane są na zajęciach z matematyki wyższej, fizyki i nauk technicznych prowadzonych w szkołach wyższych.

    Absolwenci stają przed problemem pozytywnego zdania Egzaminu Państwowego w klasie IX, a następnie Jednolitego Egzaminu Państwowego.

    W tym roku na lekcjach matematyki zapoznaliśmy się z tym pojęciem funkcja liniowa i nauczyłem się budować harmonogram. Pokazano, że ten jej wykres stanowi podstawę do skonstruowania funkcji „modułu”. Ponadto nauczyciel powiedział, że równania mają jeden i kilka modułów. Postanowiłem głębiej przestudiować ten temat, zwłaszcza że przyda mi się on przy zdawaniu egzaminów.

    Temat „Graficzna metoda rozwiązywania równań zawierających wartość bezwzględną”

    Cel pracy: badanie możliwości racjonalnej konstrukcji grafów z modułami do rozwiązywania równań zawierających moduł i parametr

      Przestudiuj teorię rozwiązywania równań o module.

      Naucz się rozwiązywać równania pierwszego stopnia zawierające znak wartości bezwzględnej.

      Klasyfikuj graficzne metody rozwiązywania równań.

      Przeanalizuj zalety i wady różnych metod sporządzania wykresów funkcji modułu.

      Dowiedz się, co to jest parametr

      Stosuj racjonalne metody rozwiązywania równań z parametrem

    Przedmiot – metody rozwiązywania równań o module

    Temat: graficzna metoda rozwiązywania równań

    Metody badawcze: teoretyczne i praktyczne:

    teoretyczne - jest to studiowanie literatury na temat badań; Informacje internetowe;

    praktyczny - jest to analiza informacji uzyskanych ze studiowania literatury, wyników uzyskanych przy rozwiązywaniu równań o module na różne sposoby;

    porównanie metod rozwiązywania równań jest przedmiotem racjonalności ich stosowania przy rozwiązywaniu różnych równań o module.

    Pojęcia i definicje

    1.1 Pojęcie „modułu” jest szeroko stosowane w wielu sekcjach szkolnego kursu matematyki, na przykład przy badaniu błędów bezwzględnych i względnych liczby przybliżonej; w geometrii i fizyce badane są pojęcia wektora i jego długości (modułu wektora). Koncepcje modułu wykorzystywane są na zajęciach z matematyki wyższej, fizyki i nauk technicznych prowadzonych w szkołach wyższych.

    Słowo „moduł” pochodzi od łacińskiego słowa „modulus”, co oznacza „mierzyć”. Słowo to ma wiele znaczeń i jest używane nie tylko w matematyce, fizyce i technologii, ale także w architekturze, programowaniu i innych naukach ścisłych. Uważa się, że termin ten został zasugerowany przez Cotesa, ucznia Newtona. Znak modułu został wprowadzony w XIX wieku przez Weierstrassa.

    W architekturze moduł jest początkową jednostką miary ustalaną dla danego obiektu architektonicznego. W technologii jest to termin używany w różnych dziedzinach techniki, służący do oznaczania różnych współczynników i wielkości, np. modułu sprężystości, modułu sprzęgającego. W matematyce , moduł ma kilka znaczeń, ale będę go traktował jako wartość bezwzględną liczby.

    Definicja : Moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej A sama ta liczba nazywa się if A≥0 lub liczba przeciwna – A, Jeśli a moduł zerowy wynosi zero.

    Moduł to odległość na linii współrzędnych od zera do punktu.

    1.2. Równanie z modułem to równanie zawierające zmienną pod znakiem wartości bezwzględnej (pod znakiem modułu). Rozwiązanie równania oznacza znalezienie wszystkich jego pierwiastków lub udowodnienie, że pierwiastków nie ma. Metody rozwiązywania równań o module:

    1. Z definicji modułu - „usunięcie modułu”. Decyzja następuje na podstawie definicji.

    2.Analityczny metoda-rozwiązanie równania wykorzystujące przekształcenia wyrażeń zawartych w równaniu i właściwościach modułu.

    3.Metoda przedziałów: rozwinięcie modułu na przedziały i półprzedziały utworzone przez „zera” modułów.

    4. Metoda graficzna. Istotą tej metody jest zbudowanie wykresów tych funkcji przedstawiających lewą i prawą stronę równania. Jeżeli wykresy się przecinają, to odcięte punktów przecięcia tych wykresów będą pierwiastkami tego równania.

    1.3.Metody wykreślania funkcji z modułem

    1.3.1. A-przeorat. Konstruowane są dwie linie y=khx+b, gdzie x>0, y=-khx+b, gdzie x

    1.3.2 Metoda symetrii. Rysuje się wykres y=kx+b, dla x>0. Część linii prostej w punkcie x

    1.3.3.Konwersja funkcji:

    a) y=|x |+n wykres przesuwa się w górę wzdłuż osi rzędnych o jednostki

    b) y=|x |-n wykres przesuwa się w dół wzdłuż rzędnej

    c) y=|x +n | wykres przesuwa się w lewo wzdłuż osi odciętych

    d)у=|x -n | wykres przesuwa się w prawo wzdłuż osi odciętych

    1.3.4. Metoda interwałowa. Linia współrzędnych jest podzielona na przedziały i półprzedziały przez zera modułów. Następnie, korzystając z definicji modułu, dla każdego ze znalezionych obszarów otrzymujemy równanie, które należy rozwiązać na zadanym przedziale i uzyskać funkcję.

    1.3.5. Metoda rozszerzania obszarów zerowych. W przypadku kilku modułów wygodniej jest nie rozszerzać modułów, lecz skorzystać ze wzoru: suma algebraiczna modułów N wyrażenia liniowe to odcinkowa funkcja liniowa, z której składa się wykres N+1 proste segmenty.

    Następnie wykres można skonstruować wg N+2 punkty, N z których reprezentują pierwiastki wyrażeń wewnątrzmodularnych, inny to dowolny punkt o odciętej mniejszej niż mniejszy z tych pierwiastków, a ostatni o odciętej większej niż większy z pierwiastków.

    1.4. Mamy równanie topór+b=c. W tym równaniu X- nieznany, ABC– współczynniki, które mogą przyjmować różne wartości liczbowe. Określone w ten sposób współczynniki nazywane są parametrami. Jedno równanie z parametrami definiuje wiele równań (dla wszystkich możliwych wartości parametrów).

    są to wszystkie równania określone przez równanie z parametrami topór+b=c.

    Rozwiązanie równania z parametrami oznacza:

      Wskaż, przy jakich wartościach parametrów równanie ma pierwiastki i ile ich jest różne znaczenia parametry.

      Znajdź wszystkie wyrażenia dla pierwiastków i wskaż dla każdego z nich wartości parametrów, przy których to wyrażenie określa pierwiastek równania.

    1.5.Wnioski:

    Istnieją zatem różne metody konstruowania grafów z modułem, które należy zbadać pod kątem możliwości ich racjonalnego wykorzystania.

    Analiza metod konstruowania wykresów funkcji zawierających moduł i aplikację

    3. Metoda interwałowa

    4.Analityczny

    3.Zagnieżdżone moduły

    |||x n| m||= a

    1. Według definicji modułu

    2.Grafika

    Wniosek: Zatem daje nam klasyfikacja równań metody ogólne rozwiązywanie wszelkiego rodzaju równań jest z definicji modułem i metodą graficzną.

    2.2.Analiza graficzna.

    2.2.1. Typ 1. Konstrukcja y=|x |

    2.2.1.1.A-przeorat.

    1. Skonstruuj prostą y=x

    2. Wybierz część linii w punkcie x 0

    3.Skonstruuj prostą y=-x

    4. Wybierz część linii w punkcie x

    2.2.1.2. Metoda symetrii

    1. Skonstruuj prostą y=x

    2. Budujemy symetrię wokół osi odciętych w punkcie x

    5. Zaznacz fragmenty linii na interwałach

    2.2.2.2.Metoda rozszerzania obszaru zerowego

    1.Zera: 3 i 1; obszar rozszerzony: 2,4,0

    2. Obliczamy wartości w: 3,1,2,4,0 są to: -2, -2, -2, 0, 0

    3. Umieść punkty wraz z ich współrzędnymi i połącz

    Wniosek: Metoda poszerzania obszaru zer jest bardziej racjonalna

    2.2.3. Typ 3. Moduły zagnieżdżone - „matrioszka”

    I Przyjrzyjmy się konstrukcji y=||x|-1|

    2.2.3.1.Według definicji modułu

    Z definicji modułu głównego mamy:

    1) x>0 y=|x|-1

    2. „Usuń” następujący moduł:

    Moduł: y=x-1, x>0 i y=-x+1 x

    y=-x+1 x>0 y=x-1 x

    3. Budujemy wykresy

    2.2.3.2.Metoda symetrii

    1. y=|x|-1

    y=x-1, symetria

    2. Symetria względem osi odciętych części wykresu, gdzie x-1

    Wniosek: metoda symetrii jest bardziej racjonalna.

    2.2.4. Podsumujmy analizę wyników w tabeli:

    Wiedza i umiejętności

    Wady

    A-przeorat

      Definicja modułu

      Wiedzieć: jak wyznaczane są współrzędne punktów na liniach prostych

      Potrafi wskazać część prostej korzystając z nierówności

    Rozwiązania wielkogabarytowe

    Zastosowanie dużej ilości wiedzy

    Podczas „usuwania” modułu można popełnić błąd

    Metoda symetrii

      Zna i potrafi zastosować transformację funkcji

      Konstruuj symetrię wokół osi odciętych

    Metoda interwałowa

      Znajdź zera modułów

      Zdefiniuj interwały i półinterwały

      Rozwiń moduły

      Oblicz moduły

      Podaj podobne określenia

      Buduj linie proste

    Rozwiązania wielkogabarytowe

    Dużo obliczeń i przekształceń przy usuwaniu zer

    Poświęć dużo czasu

    Prawidłowa definicja interwałów i półinterwałów

    Metoda ekspansji obszaru zerowego

      Znajdź zera modułów

      Być w stanie rozszerzyć obszar zer

      Potrafić obliczyć moduły w tych punktach

      Potrafi konstruować punkty na podstawie ich współrzędnych

    Dopuszczanie błędów w obliczeniach

    Metoda transformacji funkcji

      Poznaj algorytm konwersji

      Potrafi konstruować punkty na podstawie ich współrzędnych

      Potrafi obliczyć współrzędne punktów

      Potrafić zastosować algorytm konwersji

    Znajomość algorytmów konwersji grafów

    Wniosek: analizując tabelę, dochodzimy do wniosku, że metoda symetrii i rozwinięcie obszaru zerowego jest najbardziej racjonalna, ponieważ zawierają najmniejszą liczbę etapów budowy, co oznacza oszczędność czasu.

    2.3.Zastosowanie racjonalnych metod graficznych do rozwiązywania równań o module i parametrze

    2.3.1. Rozwiązać równanie:

    Budujemy y=

    i y = 0,5

    2.Rozszerzony obszar: -1.2

    3.(0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

    4.Narysuj odcinki i półproste

    2.3.2. Ujednolicony egzamin państwowy 2009 Znajdź wszystkie wartości a, dla każdego z nich równanie

    , ma dokładnie 1 pierwiastek.a =7. W trakcie wykonanej pracy mogliśmy przestudiować i przeanalizować różne metody konstruowania grafów. W wyniku analizy i porównania metod graficznych uzyskano następujące wnioski:

    Tłumaczenie problemu algebraicznego na język G Rafikov pozwala uniknąć uciążliwych decyzji;

    Przy rozwiązywaniu równań zawierających moduł i parametr metoda graficzna jest bardziej wizualna i stosunkowo prostsza;

    Przy konstruowaniu grafów zawierających 2 moduły i „matrioszkę” bardziej praktyczna jest metoda symetrii;

    Chociaż graficzna metoda rozwiązywania równań jest przybliżona, ponieważ dokładność zależy od wybranego segmentu jednostkowego, grubości ołówka, kątów przecięcia linii itp., ale ta metoda pozwala oszacować liczbę pierwiastków równań do rozwiązywania równań z parametrem.

    Biorąc pod uwagę, że niektóre z najpopularniejszych zadań w ramach Unified State Examination i State Examination to równania z modułem, moim głównym wynikiem jest to, że potrafię graficznie rozwiązywać równania z modułem i parametrem.

    Bibliografia

    1.Dankova I. „Przygotowanie wstępne do profilu matematycznego”, Moskwa, 2006.

    2. Zajęcia dodatkowe matematyka. Alkhova Z.N., Makeeva A.V., Saratów: Liceum, 2003.

    3.Matematyka. Instruktaż pod redakcją Anta L.Ya., Moskiewski Most, 1994.

    4. Matematyka. Klasy 8-9: zbiór przedmiotów do wyboru. Wydanie 2. Autor-kompilator: M.E. Kozina, Wołgograd: Nauczyciel, 2007

    5. Yastrebinetsky G.A. Problemy z parametrami. M., 2006

    Obecnie w egzaminach maturalnych na kursy w szkołach średnich oraz w egzaminach wstępnych na różne placówki oświatowe zaproponowano równania z modułem i parametrami, których rozwiązanie często sprawia studentom trudności. Rozważmy rozwiązanie różnego rodzaju równań, których cechą jednoczącą jest jedynie obecność znaku wartości bezwzględnej.

    Pobierać:


    Zapowiedź:

    Rozwiązywanie równań zawierających znak modułu (wartość bezwzględna)

    Obecnie na egzaminach maturalnych i egzaminach wstępnych do różnych placówek edukacyjnych podawane są równania z modułem i parametrami, których rozwiązanie często sprawia uczniom trudności. Rozważmy rozwiązanie różnego rodzaju równań, których cechą jednoczącą jest jedynie obecność znaku wartości bezwzględnej.

    Z definicji moduł (wartość bezwzględna) liczby rzeczywistej a (oznaczone |a|) sama ta liczba nazywa się if a≥0 i liczba przeciwna-a, jeśli a

    , dla a≥0 i , dla a

    Geometrycznie |a| oznacza odległość na linii współrzędnych od punktu reprezentującego liczbę A , przed rozpoczęciem odliczania. Moduł zerowy wynosi zero, a jeśli a≠0 , to na linii współrzędnych znajdują się dwa punkty a i –a , w równej odległości od zera, którego moduły są równe|a|=|-a|.

    Zanim zaczniesz studiować metody rozwiązywania równań zawierających znak wartości bezwzględnej, musisz dobrze zrozumieć wpływ tego znaku na liczby. Zasadniczo definicja modułu wprowadza nową operację jednoargumentową na zbiorze liczb rzeczywistych, tj. operacja wykonywana na pojedynczej liczbie, w przeciwieństwie do bardziej znanych operacji binarnych, takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Rozumienie znaku modułu możesz sprawdzić, korzystając z poniższych ćwiczeń.

    1. Jaka jest różnica??

    2. Jaka jest kwota??

    3. Czym jest ułamek równy??

    4. Czy stwierdzenie jest prawdziwe: jeżeli, to a=b?

    5. Czy stwierdzenie jest prawdziwe: jeżeli a=b, zatem?

    6. Przy jakich wartościach X równość jest prawdziwa:

    A). x = |x|; B). –x = |-x|; V). –x = |x|?

    7. Czy równanie ma pierwiastki i jeśli tak, to ile:

    A). |x|=0 ; B). |x|=1; V). |x|=-3; G ). |-x|=2; D). |x|=1,2?

    8. Zapisz wyrażenie bez znaku wartości bezwzględnej:

    A). |x+2|; B). |x+2|+x; V). -2|x+2|-x; G). |2-x|;

    D). -2|2-x|+2-x; mi). |x-|x||; I). |x+2|x||+2x.

    Zadanie 3.1, Czy równość może być prawdziwa?

    A jeśli tak, to kiedy?

    Często spotyka się następującą odpowiedź: „Ta równość jest prawdziwa w przypadku, gdy liczby a i b mają różne znaki”. Odpowiedź nie jest pełna, ponieważ nie mówi nic o przypadku, gdy jedna z tych liczb stanie się zerem. Popełniono tu powszechny błąd, jakim jest niekompletność klasyfikacji. W takim przypadku należy wziąć pod uwagę, że oprócz pozytywnych i liczby ujemne, jest też zero.Poprawna odpowiedź: Na .

    Rozważmy kilka szczególnych przypadków równań z modułem.

    1. Rozwiązanie równania.

    Z definicji wartości bezwzględnej równanie to dzieli się na zbiór dwóch układów mieszanych:

    F(x)=a f(-x)=a

    Ponieważ funkcja jest parzysta, to jej pierwiastki będą istnieć w parach liczb przeciwnych, tj. jeśli α jest pierwiastkiem równania, to –α będzie również pierwiastkiem tego równania. Dlatego wystarczy rozwiązać tylko jeden z tych dwóch układów.

    Przykład 1 . Rozwiązać równanie 2|x|-4,5-0,5|x|=7,5.

    Równanie to jest dość proste i na razie nie ma sensu zapisywać go w postaci dwóch układów, można jednak po prostu podać podobne i przestawić je: 1,5|x|=12 → |x|=8 → x 1 =-8, x 2 =8.

    Przykład 2 . Rozwiązać równanie x 2 -|x|=6.

    Jak wspomniano powyżej, równanie dzieli się na dwa układy, ale ze względu na parzystość funkcji można rozwiązać tylko jeden układ, nie zapominając o dodaniu wartości przeciwnych znaków do uzyskanych rozwiązań.

    X 2 -x-6=0, x 1 =-2, x 2 =3

    X≥0x≥0

    Rozwiązaniem układu będzie wartość x=3 , a rozwiązanie tego równania ma dwie wartości: x 1 =-3, x 2 =3.

    Aby rozwiązać takie równanie graficznie, dla wartości nieujemnych X wykres funkcji y 1 = f(x) , odzwierciedlić go symetrycznie względem osi Jednostka organizacyjna do obszaru wartości ujemnych X a następnie wykreśl funkcję y 2 = a . Rozwiązaniem będzie odcięta punktów przecięcia wykresów o 1 i o 2.

    2. Rozwiązanie równania postaci.

    Rozwiązanie takiego równania rozkłada się na zbiór dwóch układów mieszanych:

    F(x)=φ(x) f(x)= - φ(x)

    φ(x) φ(x)

    3. Rozwiązywanie równań postaci.

    Pierwiastki dwumianów znajdujemy pod znakiem wartości bezwzględnej:…

    Niech x 1 2 tys . Równanie to rozwiązuje się sekwencyjnie na przedziałach:(-∞, x 1 ], , …, Równanie staje się-x 2 +5x-6=5x-x 2 -6 a po przekształceniach nie zależy od x: -6=-6. Więc x może być dowolnym z rozważanych przedziałów.

    Ostateczne rozwiązanie równania X .

    Przykład 3 . Rozwiązać równanie|x 2 -1|=-|x|+1

    Moduł pierwszy podaje dwa charakterystyczne punkty x 1 = -1, x 2 = 1 , drugi punkt modułu x=0 . Zakres dopuszczalnych wartości podzielony jest na cztery przedziały(-∞; -1) [-1; 0] (0; 1] (1;+ ∞) , w każdym z nich otwierając moduły, musimy uważnie przyjrzeć się znakowi stojących wyrażeń.

    A). x (-∞; -1): x 2 -1=x+1, x 2 -x-2=0 . Pierwiastki tego równania x 1 =-1, x 2 =2 nie wpadają w wybraną otwartą lukę. Należy tu poczynić ważną uwagę. Dzieląc zakres dopuszczalnych wartości na przedziały, punkty charakterystyczne są włączane do przedziałów według własnego uznania; każdy punkt charakterystyczny można uwzględnić w obu przedziałach, których granicę stanowi, lub tylko w jednym z nich. Nie spowoduje to błędu.

    B). x [-1; 0] : -x 2 +1=x+1, x 2 +x=0, x 1 =-1, x 2 =0. Obydwa pierwiastki wchodzą w zakres rozpatrywanego przedziału i dlatego są rozwiązaniami pierwotnego równania.

    V). x (0; 1] : -x 2 +1=-x+1, x 2 -x=0, x 1 =0, x 2 =1 . Drugi korzeń wpada w szczelinę.

    G). x (1;+ ∞): x 2 -1=-x+1, x 2 +x-2=0, x 1 =-2, x 2 =1 . Obydwa pierwiastki nie są uwzględniane w przedziale.

    Ostateczne rozwiązanie tego równania zawiera trzy pierwiastki: x 1 =-1, x 2 =0, x 3 =1.

    We wszystkich pokazanych przykładach równań z modułami możliwe było rozwiązanie graficzne, czasem nawet szybsze niż długie przeszukiwanie wszystkich przedziałów, na które podzielony jest zakres dopuszczalnych wartości punktami charakterystycznymi.

    Ćwiczenia szkoleniowe.

    1. | x+5| = |10+x|
    1. |3x+1|+x=9
    2. |x-3|+2|x+1|=4