Mówiąc o matematyce, nie można nie pamiętać o ułamkach zwykłych. Ich studiom poświęca się dużo uwagi i czasu. Pamiętaj, ile przykładów musiałeś rozwiązać, aby poznać pewne zasady pracy z ułamkami, jak zapamiętałeś i zastosowałeś podstawową właściwość ułamka. Ile nerwów włożono w szukanie wspólnego mianownika, zwłaszcza jeśli przykłady zawierały więcej niż dwa wyrazy!

Przypomnijmy sobie o co chodzi i trochę odświeżymy podstawowe informacje i zasady pracy z ułamkami zwykłymi.

Definicja ułamków

Zacznijmy może od najważniejszej rzeczy – definicji. Ułamek to liczba składająca się z jednej lub większej liczby części jednostki. Liczbę ułamkową zapisuje się jako dwie liczby oddzielone poziomą lub ukośnikiem. W tym przypadku góra (lub pierwsza) nazywana jest licznikiem, a dolna (druga) nazywana jest mianownikiem.

Warto zauważyć, że mianownik pokazuje, na ile części podzielona jest jednostka, a licznik pokazuje liczbę pobranych udziałów lub części. Często ułamki, jeśli są właściwe, są mniejsze niż jeden.

Przyjrzyjmy się teraz właściwościom tych liczb i podstawowym zasadom stosowanym podczas pracy z nimi. Zanim jednak przeanalizujemy takie pojęcie jak „właściwość podstawowa ułamek racjonalny”, porozmawiajmy o rodzajach ułamków i ich cechach.

Co to są ułamki?

Istnieje kilka rodzajów takich liczb. Przede wszystkim są to zwykłe i dziesiętne. Pierwsze reprezentują typ nagrania, który już wskazaliśmy za pomocą poziomej lub ukośnej kreski. Drugi rodzaj ułamków zwykłych oznacza się za pomocą tzw. zapisu pozycyjnego, gdy najpierw podaje się część całkowitą liczby, a następnie po przecinku część ułamkową.

Warto tutaj zauważyć, że w matematyce w równym stopniu stosuje się ułamki dziesiętne i zwykłe. Główna właściwość ułamka obowiązuje tylko dla drugiej opcji. Ponadto ułamki zwykłe dzielą się na liczby regularne i niewłaściwe. W pierwszym przypadku licznik jest zawsze mniejszy od mianownika. Zauważ też, że taki ułamek jest mniejszy niż jeden. Przeciwnie, w ułamku niewłaściwym licznik jest większy niż mianownik, a sam ułamek jest większy niż jeden. W takim przypadku można z niego wyodrębnić liczbę całkowitą. W tym artykule rozważymy tylko zwykłe ułamki zwykłe.

Właściwości frakcji

Każde zjawisko, chemiczne, fizyczne lub matematyczne, ma swoje własne cechy i właściwości. Liczby ułamkowe nie były wyjątkiem. Mają jedną ważną cechę, za pomocą której można na nich wykonywać określone operacje. Jaka jest główna właściwość ułamka? Reguła stanowi, że jeśli jego licznik i mianownik zostaną pomnożone lub podzielone przez to samo Liczba wymierna, otrzymamy nowy ułamek, którego wartość będzie równa wartości pierwotnego. Oznacza to, że mnożąc dwie części liczby ułamkowej 3/6 przez 2, otrzymamy nowy ułamek 6/12 i będą one równe.

W oparciu o tę właściwość możesz redukować ułamki, a także wybierać wspólne mianowniki dla określonej pary liczb.

Operacje

Chociaż ułamki zwykłe wydają się bardziej złożone, można ich również używać do wykonywania podstawowych operacji matematycznych, takich jak dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie. Ponadto istnieje tak specyficzne działanie, jak redukcja ułamków. Oczywiście każda z tych czynności wykonywana jest według pewnych zasad. Znajomość tych praw sprawia, że ​​praca z ułamkami staje się łatwiejsza, łatwiejsza i bardziej interesująca. Dlatego następnie rozważymy podstawowe zasady i algorytm działania podczas pracy z takimi liczbami.

Zanim jednak porozmawiamy o operacjach matematycznych, takich jak dodawanie i odejmowanie, przyjrzyjmy się operacji takiej jak redukcja do wspólnego mianownika. Tutaj przydaje się wiedza o tym, jakie podstawowe właściwości ułamka istnieją.

Wspólny mianownik

Aby sprowadzić liczbę do wspólnego mianownika, należy najpierw znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność obu mianowników. Oznacza to najmniejszą liczbę, która jest jednocześnie podzielna przez oba mianowniki bez reszty. Najprostszym sposobem znalezienia LCM (najmniejszej wspólnej wielokrotności) jest zapisanie w linii jednego, potem drugiego mianownika i znalezienie wśród nich pasującej liczby. Jeśli LCM nie zostanie znaleziony, to znaczy, że liczby te nie mają wspólnej wielokrotności, należy je pomnożyć, a otrzymaną wartość uważa się za LCM.

Znaleźliśmy więc LCM, teraz musimy znaleźć dodatkowy czynnik. Aby to zrobić, musisz naprzemiennie podzielić LCM na mianowniki ułamków i zapisać wynikową liczbę nad każdym z nich. Następnie należy pomnożyć licznik i mianownik przez uzyskany dodatkowy współczynnik i zapisać wyniki jako nowy ułamek. Jeśli masz wątpliwości, czy otrzymana liczba jest równa poprzedniej, pamiętaj o podstawowej własności ułamka.

Dodatek

Przejdźmy teraz bezpośrednio do operacji matematycznych na liczbach ułamkowych. Zacznijmy od najprostszego. Istnieje kilka opcji dodawania ułamków. W pierwszym przypadku obie liczby mają ten sam mianownik. W tym przypadku pozostaje tylko dodać liczniki do siebie. Ale mianownik się nie zmienia. Na przykład 1/5 + 3/5 = 4/5.

Jeżeli ułamki różne mianowniki, należy doprowadzić je do wspólnej wartości i dopiero wtedy wykonać dodawanie. Omówiliśmy, jak to zrobić nieco wyżej. W tej sytuacji przyda się podstawowa własność ułamka. Reguła pozwoli Ci sprowadzić liczby do wspólnego mianownika. Wartość nie ulegnie żadnej zmianie.

Alternatywnie może się zdarzyć, że frakcja zostanie wymieszana. Następnie należy najpierw dodać do siebie całe części, a następnie ułamkowe.

Mnożenie

Nie wymaga to żadnych sztuczek, a aby wykonać tę czynność, nie jest konieczna znajomość podstawowej własności ułamka. Wystarczy najpierw pomnożyć przez siebie liczniki i mianowniki. W takim przypadku iloczyn liczników stanie się nowym licznikiem, a mianowniki staną się nowym mianownikiem. Jak widać nic skomplikowanego.

Jedyne, czego się od ciebie wymaga, to znajomość tabliczki mnożenia i uważność. Ponadto po otrzymaniu wyniku zdecydowanie należy sprawdzić, czy możliwa jest redukcja podany numer albo nie. O tym, jak zmniejszać ułamki, porozmawiamy nieco później.

Odejmowanie

Podczas wykonywania należy kierować się tymi samymi zasadami, co przy dodawaniu. Zatem w liczbach o tym samym mianowniku wystarczy odjąć licznik odejmowania od licznika odjemnika. Jeżeli ułamki mają różne mianowniki należy je sprowadzić do wspólnego mianownika i następnie wykonać powyższą operację. Podobnie jak przy dodawaniu, będziesz musiał posługiwać się podstawowymi właściwościami ułamków algebraicznych, a także umiejętnością znajdowania LCM i wspólnych czynników ułamków.

Dział

Ostatnią, najciekawszą operacją podczas pracy z takimi liczbami jest dzielenie. Jest to dość proste i nie sprawia żadnych szczególnych trudności nawet tym, którzy nie rozumieją, jak pracować z ułamkami, zwłaszcza dodawaniem i odejmowaniem. Podczas dzielenia obowiązuje ta sama zasada, co przy mnożeniu przez ułamek odwrotny. Główna właściwość ułamka, podobnie jak w przypadku mnożenia, nie będzie wykorzystywana w tej operacji. Przyjrzyjmy się bliżej.

Przy dzieleniu liczb dywidenda pozostaje niezmieniona. Ułamek dzielnika zamienia się w odwrotność, to znaczy licznik i mianownik zamieniają się miejscami. Następnie liczby są mnożone przez siebie.

Zmniejszenie

Przeanalizowaliśmy już definicję i strukturę ułamków, ich rodzaje, zasady działania na tych liczbach i odkryliśmy główną właściwość ułamka algebraicznego. Porozmawiajmy teraz o takiej operacji jak redukcja. Redukcja ułamka polega na jego przekształceniu – podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę. W ten sposób frakcja ulega redukcji bez zmiany jej właściwości.

Zwykle podczas wykonywania operacji matematycznej należy uważnie przyjrzeć się wynikowemu wynikowi i dowiedzieć się, czy możliwe jest zmniejszenie powstałego ułamka, czy nie. Pamiętaj, że wynik końcowy zawsze zawiera liczbę ułamkową, która nie wymaga redukcji.

Inne operacje

Na koniec zauważamy, że nie wymieniliśmy wszystkich operacji na liczbach ułamkowych, wymieniając tylko te najbardziej znane i konieczne. Ułamki zwykłe można także porównywać, zamieniać na ułamki dziesiętne i odwrotnie. Ale w tym artykule nie rozważaliśmy tych operacji, ponieważ w matematyce są one wykonywane znacznie rzadziej niż te, które przedstawiliśmy powyżej.

wnioski

Rozmawialiśmy o liczby ułamkowe i operacji z nimi. Zbadaliśmy także główną własność, ale zauważmy, że wszystkie te kwestie zostały przez nas rozważone mimochodem. Podaliśmy tylko te najbardziej znane i stosowane zasady oraz najważniejsze, naszym zdaniem, porady.

Ten artykuł ma na celu odświeżenie informacji o ułamkach, o których zapomniałeś, zamiast je podawać Nowa informacja i wypełnij swoją głowę niekończącymi się zasadami i formułami, które najprawdopodobniej nigdy Ci się nie przydadzą.

Mamy nadzieję, że materiał przedstawiony w artykule w prosty i zwięzły sposób był dla Ciebie przydatny.

Badając ułamki zwykłe, natrafiamy na pojęcia podstawowych właściwości ułamka. Aby rozwiązać przykłady ze zwykłymi ułamkami, konieczne jest uproszczone sformułowanie. Artykuł ten polega na rozważeniu ułamków algebraicznych i zastosowaniu do nich podstawowej właściwości, która zostanie sformułowana wraz z przykładami zakresu jej zastosowania.

Formułowanie i uzasadnienie

Główna właściwość ułamka ma postać:

Definicja 1

Gdy licznik i mianownik zostaną jednocześnie pomnożone lub podzielone przez tę samą liczbę, wartość ułamka pozostaje niezmieniona.

Oznacza to, że otrzymujemy, że a · m b · m = a b i a: m b: m = a b są równoważne, gdzie a b = a · m b · m i a b = a: m b: m są uważane za uczciwe. Wartości a, b, m są liczbami naturalnymi.

Dzielenie licznika i mianownika przez liczbę można przedstawić jako a · m b · m = a b . Jest to podobne do rozwiązania przykładu 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3. Podczas dzielenia stosuje się równość postaci a: m b: m = a b, wtedy 8 12 = 2 · 4 2 · 4 = 2 3. Można to również przedstawić w postaci a · m b · m = a b, czyli 8 12 = 2 · 4 3 · 4 = 2 3.

Oznacza to, że główna właściwość ułamka a · m b · m = a b i a b = a · m b · m zostanie szczegółowo rozważona w przeciwieństwie do a: m b: m = a b i a b = a: m b: m.

Jeśli licznik i mianownik zawierają liczby rzeczywiste, to właściwość ma zastosowanie. Najpierw musisz udowodnić ważność zapisanej nierówności dla wszystkich liczb. Oznacza to, że udowodnij istnienie a · m b · m = a b dla wszystkich rzeczywistych a , b , m , gdzie b i m są wartościami niezerowymi, aby uniknąć dzielenia przez zero.

Dowód 1

Niech ułamek postaci a b zostanie uznany za część rekordu z, czyli a b = z, wówczas należy udowodnić, że a · m b · m odpowiada z, czyli udowodnić a · m b · m = z . Wtedy pozwoli nam to udowodnić istnienie równości a · m b · m = a b .

Linia ułamkowa reprezentuje znak dzielenia. Stosując połączenie z mnożeniem i dzieleniem stwierdzamy, że z a b = z po przekształceniu otrzymujemy a = b · z. Według właściwości nierówności numeryczne Obie strony nierówności należy pomnożyć przez liczbę różną od zera. Następnie mnożymy przez liczbę m i otrzymujemy, że a · m = (b · z) · m. Ze względu na właściwość mamy prawo zapisać wyrażenie w postaci a · m = (b · m) · z. Oznacza to, że z definicji wynika, że ​​a b = z. To już cały dowód wyrażenia a · m b · m = a b .

Równości postaci a · m b · m = a b i a b = a · m b · m mają sens wtedy, gdy zamiast a , b , m istnieją wielomiany, a zamiast b i m są one niezerowe.

Główna właściwość ułamka algebraicznego: gdy jednocześnie pomnożymy licznik i mianownik przez tę samą liczbę, otrzymamy wyrażenie identyczne z pierwotnym.

Właściwość uważa się za ważną, ponieważ działania z wielomianami odpowiadają działaniom z liczbami.

Przykład 1

Spójrzmy na przykład ułamka 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3. Można dokonać konwersji do postaci 3 · x · (x 2 + 2 · x · y) (x 2 - x y + 4 · y 3) · (x 2 + 2 · x · y).

Dokonano mnożenia przez wielomian x 2 + 2 · x · y. W ten sam sposób główna właściwość pomaga pozbyć się x 2, obecnego w danym ułamku postaci 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) do postaci 5 x + 5 x 3 + 3. Nazywa się to uproszczeniem.

Główną właściwość można zapisać jako wyrażenia a · m b · m = a b i a b = a · m b · m, gdy a, b, m są wielomianami lub zwykłymi zmiennymi, a b i m muszą być niezerowe.

Obszary zastosowań podstawowej własności ułamka algebraicznego

Zastosowanie głównej właściwości jest istotne przy redukcji do nowego mianownika lub przy redukcji ułamka.

Definicja 2

Sprowadzenie do wspólnego mianownika polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez podobny wielomian w celu uzyskania nowego. Powstały ułamek jest równy pierwotnemu.

Oznacza to, że ułamek postaci x + y · x 2 + 1 (x + 1) · x 2 + 1 pomnożony przez x 2 + 1 i sprowadzony do wspólnego mianownika (x + 1) · (x 2 + 1 ) otrzyma postać x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Po wykonaniu operacji na wielomianach stwierdzamy, że ułamek algebraiczny przekształca się na x 3 + x + x 2 · y + y x 3 + x + x 2 + 1.

Redukcję do wspólnego mianownika przeprowadza się również podczas dodawania lub odejmowania ułamków. Jeśli podane są współczynniki ułamkowe, to najpierw należy dokonać uproszczenia, które uprości wygląd i samo określenie wspólnego mianownika. Na przykład 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Zastosowanie właściwości przy redukcji ułamków odbywa się w 2 etapach: rozkład licznika i mianownika na czynniki w celu znalezienia wspólnego m, a następnie przejście do rodzaju ułamka a b, w oparciu o równość postaci a · m b · m = a b.

Jeżeli ułamek postaci 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 po rozwinięciu przekształcimy na x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, to oczywiste jest, że ogólny mnożnik będzie będzie wielomianem 4 x 2 - y. Wtedy możliwe będzie zmniejszenie ułamka zgodnie z jego główną właściwością. Rozumiemy to

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Ułamek jest uproszczony, wtedy przy zastępowaniu wartości konieczne będzie wiele wykonania mniej akcji niż przy zastąpieniu oryginału.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Ułamki

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

W szkole średniej ułamki nie są zbyt uciążliwe. Obecnie. Dopóki nie napotkasz stopni z racjonalne wskaźniki tak, logarytmy. I tam... Naciskasz i naciskasz kalkulator, a pojawia się pełny wyświetlacz niektórych liczb. Trzeba myśleć głową jak w trzeciej klasie.

W końcu wymyślmy ułamki! No, ile można się w nich pogubić!? Co więcej, wszystko jest proste i logiczne. Więc, jakie są rodzaje ułamków?

Rodzaje ułamków. Transformacje.

Istnieją trzy rodzaje ułamków.

1. Ułamki zwykłe , Na przykład:

Czasami zamiast poziomej linii wstawia się ukośnik: 1/2, 3/4, 19/5, cóż, i tak dalej. Tutaj często będziemy używać tej pisowni. Wybierany jest najwyższy numer licznik ułamka, niżej - mianownik. Jeżeli ciągle mylicie te nazwy (zdarza się...), powiedzcie sobie zdanie: „ Zzzzz Pamiętać! Zzzzz mianownik - spójrz zzzzz uh!” Słuchaj, wszystko zostanie zzzz zapamiętane.)

Kreska, pozioma lub nachylona, ​​oznacza dział od góry (licznik) do dołu (mianownik). To wszystko! Zamiast myślnika całkiem możliwe jest umieszczenie znaku podziału - dwóch kropek.

Jeżeli możliwy jest całkowity podział, należy tego dokonać. Zatem zamiast ułamka „32/8” znacznie przyjemniej jest napisać liczbę „4”. Te. 32 dzieli się po prostu przez 8.

32/8 = 32: 8 = 4

O ułamku „4/1” nawet nie mówię. Co również jest po prostu „4”. A jeśli nie jest to całkowicie podzielne, zostawiamy to jako ułamek. Czasami trzeba wykonać operację odwrotną. Zamień liczbę całkowitą na ułamek. Ale o tym później.

2. Dziesiętne , Na przykład:

W tej formie będziesz musiał zapisać odpowiedzi na zadania „B”.

3. Liczby mieszane , Na przykład:

Liczby mieszane praktycznie nie są używane w szkole średniej. Aby z nimi pracować, należy je przekształcić w zwykłe ułamki. Ale na pewno musisz to umieć! Inaczej natkniesz się na taki numer w problemie i zamarzniesz... Znikąd. Ale będziemy pamiętać tę procedurę! Trochę niżej.

Najbardziej wszechstronny ułamki zwykłe. Zacznijmy od nich. Nawiasem mówiąc, jeśli ułamek zawiera wszelkiego rodzaju logarytmy, sinusy i inne litery, niczego to nie zmienia. W tym sensie, że wszystko działania z wyrażeniami ułamkowymi nie różnią się od działań ze zwykłymi ułamkami!

Główna właściwość ułamka.

Więc chodźmy! Na początek cię zaskoczę. Cała gama przekształceń ułamkowych zapewniana jest przez jedną właściwość! Tak to się nazywa główna właściwość ułamka. Pamiętać: Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone (podzielone) przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. Te:

Oczywiste jest, że możesz pisać dalej, aż zrobi ci się smutno na twarzy. Nie pozwól, aby sinusy i logarytmy Cię zmyliły, zajmiemy się nimi dalej. Najważniejsze jest, aby zrozumieć, że wszystkie te różne wyrażenia są ten sam ułamek . 2/3.

Czy tego potrzebujemy, tych wszystkich przemian? I jak! Teraz przekonasz się sam. Na początek skorzystajmy z podstawowej właściwości ułamka dla ułamki redukujące. Wydawałoby się, że to elementarna rzecz. Podziel licznik i mianownik przez tę samą liczbę i gotowe! Nie da się popełnić błędu! Ale... człowiek jest istotą twórczą. Wszędzie możesz popełnić błąd! Zwłaszcza jeśli musisz zmniejszyć nie ułamek taki jak 5/10, ale wyrażenie ułamkowe z różnymi rodzajami liter.

Jak poprawnie i szybko redukować ułamki bez wykonywania dodatkowej pracy, można przeczytać w specjalnym rozdziale 555.

Zwykły uczeń nie zawraca sobie głowy dzieleniem licznika i mianownika przez tę samą liczbę (lub wyrażenie)! Po prostu przekreśla wszystko, co jest takie samo powyżej i poniżej! To tutaj się czai typowy błąd, wpadka, jeśli wolisz.

Na przykład musisz uprościć wyrażenie:

Tu nie ma o czym myśleć, przekreśl literę „a” na górze i dwie na dole! Otrzymujemy:

Wszystko jest poprawne. Ale tak naprawdę podzieliliście się Wszystko licznik i Wszystko mianownikiem jest „a”. Jeśli jesteś przyzwyczajony do po prostu przekreślania, możesz w pośpiechu skreślić „a” w wyrażeniu

i zdobądź to jeszcze raz

Co byłoby kategoryczną nieprawdą. Ponieważ tutaj Wszystko licznik na „a” już jest nie udostępniony! Ułamka tego nie można zmniejszyć. Swoją drogą taka obniżka to... hmm... poważne wyzwanie dla nauczyciela. Tego się nie wybacza! Pamiętasz? Redukując, musisz dzielić Wszystko licznik i Wszystko mianownik!

Zmniejszanie ułamków znacznie ułatwia życie. Dostaniesz gdzieś ułamek, na przykład 375/1000. Jak mogę teraz kontynuować z nią współpracę? Bez kalkulatora? Pomnóż, powiedz, dodaj, podnieś do kwadratu!? A jeśli nie jesteś zbyt leniwy, to ostrożnie skróć go o pięć, a potem o kolejne pięć, a nawet… krótko mówiąc, w trakcie skracania. Zdobądźmy 3/8! Dużo ładniej, prawda?

Główna właściwość ułamka pozwala na konwersję zwykłych ułamków zwykłych na dziesiętne i odwrotnie bez kalkulatora! To ważne dla ujednoliconego egzaminu państwowego, prawda?

Jak zamienić ułamki jednego typu na inny.

W przypadku ułamków dziesiętnych wszystko jest proste. Jak się słyszy, tak jest napisane! Powiedzmy 0,25. To jest zero przecinek dwadzieścia pięć setnych. Piszemy więc: 25/100. Zmniejszamy (dzielimy licznik i mianownik przez 25), otrzymujemy zwykły ułamek: 1/4. Wszystko. To się zdarza i nic nie zostaje zredukowane. Jak 0,3. To trzy dziesiąte, tj. 3/10.

A co jeśli liczby całkowite nie są zerem? W porządku. Zapisujemy cały ułamek bez przecinków w liczniku i mianowniku - co słychać. Na przykład: 3.17. To jest trzy przecinek siedemnaście setnych. W liczniku piszemy 317, a w mianowniku 100. Otrzymujemy 317/100. Nic nie jest redukowane, to znaczy wszystko. To jest odpowiedź. Podstawowy Watsonie! Z tego wszystkiego, co zostało powiedziane, użyteczny wniosek: każdy ułamek dziesiętny można zamienić na ułamek zwykły .

Ale niektórzy ludzie nie mogą dokonać odwrotnej konwersji ze zwykłego na dziesiętny bez kalkulatora. I jest to konieczne! Jak zapiszesz odpowiedź na egzaminie Unified State Exam!? Przeczytaj uważnie i opanuj ten proces.

Jaka jest cecha ułamka dziesiętnego? Jej mianownik to Zawsze kosztuje 10, 100, 1000 lub 10000 i tak dalej. Jeśli twój ułamek zwykły ma taki mianownik, nie ma problemu. Na przykład 4/10 = 0,4. Lub 7/100 = 0,07. Lub 12/10 = 1,2. A co by było, gdyby odpowiedź na zadanie z sekcji „B” okazała się 1/2? Co napiszemy w odpowiedzi? Wymagane są ułamki dziesiętne...

Zapamiętajmy główna właściwość ułamka ! Matematyka korzystnie pozwala pomnożyć licznik i mianownik przez tę samą liczbę. Swoją drogą, cokolwiek! Oprócz zera, oczywiście. Wykorzystajmy więc tę właściwość na naszą korzyść! Przez co można pomnożyć mianownik, tj. 2, aby uzyskać liczbę 10, 100 lub 1000 (oczywiście im mniej, tym lepiej...)? Oczywiście o 5. Możesz pomnożyć mianownik (tzn nas konieczne) przez 5. Ale wtedy licznik należy również pomnożyć przez 5. To już jest matematykażąda! Otrzymujemy 1/2 = 1x5/2x5 = 5/10 = 0,5. To wszystko.

Jednak spotykają się różne mianowniki. Spotkasz się na przykład z ułamkiem 3/16. Spróbuj dowiedzieć się, przez co pomnożyć 16, aby otrzymać 100 lub 1000... Czy to nie działa? Wtedy wystarczy po prostu podzielić 3 przez 16. W przypadku braku kalkulatora trzeba będzie dzielić narożnikiem na kartce papieru, jak uczono w szkole podstawowej. Otrzymujemy 0,1875.

Są też bardzo złe mianowniki. Na przykład nie ma możliwości zamiany ułamka 1/3 na dobry ułamek dziesiętny. Zarówno na kalkulatorze, jak i na kartce papieru otrzymujemy 0,3333333... Oznacza to, że 1/3 to dokładny ułamek dziesiętny nie tłumaczy. To samo co 1/7, 5/6 i tak dalej. Jest ich wiele, nieprzetłumaczalnych. To prowadzi nas do kolejnego przydatnego wniosku. Nie każdy ułamek zwykły można zamienić na ułamek dziesiętny !

Swoją drogą, to pomocna informacja do samodzielnego testu. W części „B” należy wpisać ułamek dziesiętny w swojej odpowiedzi. I masz na przykład 4/3. Ułamek ten nie jest konwertowany na ułamek dziesiętny. Oznacza to, że gdzieś po drodze popełniłeś błąd! Wróć i sprawdź rozwiązanie.

Więc wymyśliliśmy ułamki zwykłe i dziesiętne. Pozostaje tylko zająć się liczbami mieszanymi. Aby z nimi pracować, należy je przekształcić w zwykłe ułamki. Jak to zrobić? Możesz złapać szóstoklasistę i go zapytać. Ale szóstoklasista nie zawsze będzie pod ręką... Musisz to zrobić sam. To nie jest trudne. Musisz pomnożyć mianownik części ułamkowej przez część całkowitą i dodać licznik części ułamkowej. Będzie to licznik ułamka zwykłego. A co z mianownikiem? Mianownik pozostanie taki sam. Brzmi skomplikowanie, ale w rzeczywistości wszystko jest proste. Spójrzmy na przykład.

Załóżmy, że przestraszyłeś się, widząc liczbę związaną z problemem:

Myślimy, że spokojnie, bez paniki. Cała część to 1. Jednostka. Część ułamkowa to 3/7. Dlatego mianownik części ułamkowej wynosi 7. Mianownik ten będzie mianownikiem ułamka zwykłego. Liczymy licznik. 7 pomnożone przez 1 ( cała część) i dodaj 3 (licznik części ułamkowej). Otrzymujemy 10. Będzie to licznik ułamka zwykłego. To wszystko. W zapisie matematycznym wygląda to jeszcze prościej:

Czy to jasne? Zatem zapewnij sobie sukces! Zamień na ułamki zwykłe. Powinieneś dostać 10/7, 7/2, 23/10 i 21/4.

W szkole średniej rzadko wymagana jest operacja odwrotna – zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną. Cóż, jeśli tak... A jeśli nie jesteś w szkole średniej, możesz zapoznać się ze specjalną sekcją 555. Nawiasem mówiąc, około ułamki niewłaściwe Dowiesz się.

No cóż, to praktycznie wszystko. Zapamiętałeś rodzaje ułamków i zrozumiałeś Jak przenieść je z jednego typu na drugi. Pozostaje pytanie: Po co Zrób to? Gdzie i kiedy zastosować tę głęboką wiedzę?

Odpowiadam. Każdy przykład sam w sobie sugeruje niezbędne działania. Jeśli w przykładzie zmieszamy ułamki zwykłe, dziesiętne, a nawet liczby mieszane, wszystko zamienimy na ułamki zwykłe. Zawsze można to zrobić. Cóż, jeśli jest napisane coś w rodzaju 0,8 + 0,3, to liczymy to w ten sposób, bez żadnego tłumaczenia. Dlaczego potrzebujemy dodatkowej pracy? Wybieramy rozwiązanie, które jest wygodne nas !

Jeśli zadanie jest całkowicie miejsca dziesiętne, ale hm... jakieś złe, idź do zwykłych, spróbuj! Słuchaj, wszystko się ułoży. Na przykład będziesz musiał podnieść do kwadratu liczbę 0,125. To nie jest takie proste, jeśli nie przyzwyczaiłeś się do korzystania z kalkulatora! Nie tylko musisz pomnożyć liczby w kolumnie, ale także pomyśleć o tym, gdzie wstawić przecinek! Na pewno nie będzie to działać w Twojej głowie! A co jeśli przejdziemy do ułamka zwykłego?

0,125 = 125/1000. Zmniejszamy go o 5 (to na początek). Dostajemy 25/200. Znowu o 5. Dostajemy 5/40. Och, wciąż się kurczy! Powrót do 5! Dostajemy 1/8. Z łatwością poddajemy to kwadratowi (w naszych umysłach!) i otrzymujemy 1/64. Wszystko!

Podsumujmy tę lekcję.

1. Istnieją trzy rodzaje ułamków. Liczby zwykłe, dziesiętne i mieszane.

2. Liczby dziesiętne i mieszane Zawsze można zamienić na ułamki zwykłe. Przeniesienie zwrotne nie zawsze dostępny.

3. Wybór rodzaju ułamków do pracy z zadaniem zależy od samego zadania. W obecności różne rodzaje ułamki w jednym zadaniu, najbardziej niezawodne jest przejście do ułamków zwykłych.

Teraz możesz ćwiczyć. Najpierw zamień te ułamki dziesiętne na ułamki zwykłe:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Powinieneś otrzymać takie odpowiedzi (w bałaganie!):

Skończmy tutaj. Podczas tej lekcji odświeżyliśmy naszą pamięć o kluczowych kwestiach dotyczących ułamków zwykłych. Zdarza się jednak, że nie ma nic specjalnego do odświeżenia...) Jeśli ktoś zupełnie o tym zapomniał, albo jeszcze tego nie opanował... Wtedy można przejść do specjalnego Sekcji 555. Wszystkie podstawy są tam szczegółowo omówione. Wielu nagle rozumieć wszystko zaczynają się. I rozwiązują ułamki na bieżąco).

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Frakcja- forma reprezentacji liczby w matematyce. Kreska ułamkowa oznacza operację dzielenia. Licznik ułamka ułamek nazywany jest dywidendą, oraz mianownik- rozdzielacz. Na przykład w ułamku licznik wynosi 5, a mianownik wynosi 7.

Prawidłowy Nazywa się ułamek, w którym moduł licznika jest większy niż moduł mianownika. Jeśli ułamek jest właściwy, to moduł jego wartości jest zawsze mniejszy niż 1. Wszystkie pozostałe ułamki są zło.

Ułamek nazywa się mieszany, jeśli jest zapisana jako liczba całkowita i ułamek. Jest to to samo, co suma tej liczby i ułamka:

Główna właściwość ułamka

Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę, wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie, czyli np.

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Aby sprowadzić dwa ułamki do wspólnego mianownika, potrzebujesz:

1. Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka
2. Pomnóż licznik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego
3. Zamień mianowniki obu ułamków na ich iloczyn

Operacje na ułamkach

Dodatek. Aby dodać dwie frakcje, których potrzebujesz

1. Dodaj nowe liczniki obu ułamków, a mianownik pozostaw bez zmian

Przykład:

Odejmowanie. Aby odjąć jedną ułamek od drugiej, potrzebujesz

1. Sprowadź ułamki do wspólnego mianownika
2. Od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostaw bez zmian

Przykład:

Mnożenie. Aby pomnożyć ułamek przez drugi, należy pomnożyć jego liczniki i mianowniki.

Temat ten jest dość ważny, cała dalsza matematyka i algebra opierają się na podstawowych właściwościach ułamków zwykłych. Właściwości rozważanych ułamków, pomimo ich znaczenia, są bardzo proste.

Rozumieć podstawowe własności ułamków Rozważmy okrąg.

Na okręgu widać 4 części lub są zacienione spośród ośmiu możliwych. Zapiszmy powstały ułamek \(\frac(4)(8)\)

W następnym okręgu widać, że jedna z dwóch możliwych części jest zacieniona. Zapiszmy powstały ułamek \(\frac(1)(2)\)

Jeśli przyjrzymy się uważnie, zobaczymy, że w pierwszym przypadku, że w drugim przypadku mamy zacieniowaną połowę koła, więc powstałe ułamki są równe \(\frac(4)(8) = \frac(1)( 2)\), czyli jest to ta sama liczba.

Jak to udowodnić matematycznie? To bardzo proste, zapamiętaj tabliczkę mnożenia i zapisz pierwszy ułamek na czynniki.

\(\frac(4)(8) = \frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4)) = \frac(1)(2) \cdot \color(czerwony) (\frac(4)(4)) =\frac(1)(2) \cdot \color(red)(1) = \frac(1)(2)\)

Co my zrobiliśmy? Rozłożyliśmy licznik i mianownik \(\frac(1 \cdot \color(red) (4))(2 \cdot \color(red) (4))\), a następnie podzieliliśmy ułamki \(\frac(1 ) (2) \cdot \color(red) (\frac(4)(4))\). Cztery podzielone przez cztery daje 1, a jeden pomnożony przez dowolną liczbę jest samą liczbą. To, co zrobiliśmy w powyższym przykładzie, nazywa się ułamki redukujące.

Spójrzmy na inny przykład i zmniejsz ułamek.

\(\frac(6)(10) = \frac(3 \cdot \color(red) (2))(5 \cdot \color(red) (2)) = \frac(3)(5) \cdot \color(czerwony) (\frac(2)(2)) =\frac(3)(5) \cdot \color(red)(1) = \frac(3)(5)\)

Ponownie rozłożyliśmy licznik i mianownik na czynniki i zredukowaliśmy te same liczby do liczników i mianowników. Oznacza to, że dwa podzielone przez dwa daje jeden, a jeden pomnożony przez dowolną liczbę daje tę samą liczbę.

Główna właściwość ułamka.

Oznacza to główną właściwość ułamka:

Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n)\)

Można także podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę jednocześnie.
Spójrzmy na przykład:

\(\frac(6)(8) = \frac(6 \div \color(red) (2))(8 \div \color(red) (2)) = \frac(3)(4)\)

Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wówczas wartość ułamka nie ulegnie zmianie.

\(\bf \frac(a)(b) = \frac(a \div n)(b \div n)\)

Ułamki, które mają wspólne czynniki pierwsze w licznikach i mianownikach, nazywane są ułamkami zwykłymi frakcje redukowalne.

Przykład ułamka redukowalnego: \(\frac(2)(4), \frac(6)(10), \frac(9)(15), \frac(10)(5), …\)

Jest również frakcje nieredukowalne.

Ułamek nieredukowalny to ułamek, który nie ma wspólnych czynników pierwszych w licznikach i mianownikach.

Przykład ułamka nieredukowalnego: \(\frac(1)(2), \frac(3)(5), \frac(5)(7), \frac(13)(5), …\)

Każdą liczbę można wyrazić w postaci ułamka zwykłego, ponieważ każda liczba jest podzielna przez jeden. Na przykład:

\(7 = \frac(7)(1)\)

Pytania do tematu:
Czy uważasz, że jakikolwiek ułamek można skrócić, czy nie?
Odpowiedź: nie, istnieją ułamki redukowalne i nieredukowalne.

Sprawdź, czy równość jest prawdziwa: \(\frac(7)(11) = \frac(14)(22)\)?
Odpowiedź: napisz ułamek \(\frac(14)(22) = \frac(7 \cdot 2)(11 \cdot 2) = \frac(7)(11)\), tak, to sprawiedliwe.

Przykład 1:
a) Znajdź ułamek o mianowniku 15 równym ułamkowi \(\frac(2)(3)\).
b) Znajdź ułamek o liczniku 8, który jest równy temu ułamkowi \(\frac(1)(5)\).

Rozwiązanie:
a) W mianowniku potrzebujemy liczby 15. Teraz w mianowniku jest liczba 3. Przez jaką liczbę powinniśmy pomnożyć liczbę 3, aby otrzymać 15? Pamiętajmy o tabliczce mnożenia 3⋅5. Musimy skorzystać z podstawowej własności ułamków zwykłych i pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik ułamka \(\frac(2)(3)\) do 5.

\(\frac(2)(3) = \frac(2 \cdot 5)(3 \cdot 5) = \frac(10)(15)\)

b) W liczniku musi znajdować się liczba 8. Teraz w liczniku znajduje się liczba 1. Przez jaką liczbę powinniśmy pomnożyć liczbę 1, aby otrzymać 8? Oczywiście 1⋅8. Musimy skorzystać z podstawowej własności ułamków zwykłych i pomnożyć zarówno licznik, jak i mianownik ułamka \(\frac(1)(5)\) do 8. Otrzymujemy:

\(\frac(1)(5) = \frac(1 \cdot 8)(5 \cdot 8) = \frac(8)(40)\)

Przykład nr 2:
Znajdź nieredukowalny ułamek równy ułamkowi: a) \(\frac(16)(36)\), B) \(\frac(10)(25)\).

Rozwiązanie:
A) \(\frac(16)(36) = \frac(4 \cdot 4)(9 \cdot 4) = \frac(4)(9)\)

B) \(\frac(10)(25) = \frac(2 \cdot 5)(5 \cdot 5) = \frac(2)(5)\)

Przykład nr 3:
Zapisz liczbę w postaci ułamka zwykłego: a) 13 b)123

Rozwiązanie:
A) \(13 = \frac(13) (1)\)

B) \(123 = \frac(123) (1)\)