I de fall där diagrammet Mz 1 (eller Mz) är begränsad till raka linjer. Detta är i huvudsak en teknik för grafiskt analytisk beräkning av en bestämd integral av produkten av två funktioner f(x) Och φ (x), varav en till exempel φ (x), linjär, d.v.s. har formen
Låt oss betrakta en sektion av en balk inom vilken diagrammet över böjmoment från en enhetslast är begränsat till en rät linje Mz 1 = kx+ b, och böjmomentet från en given last ändras enligt någon godtycklig lag Mz. Sen inom detta område
Den andra integralen representerar området ω diagram Mz i det aktuella området, och det första är det statiska momentet för detta område i förhållande till axeln y och därför lika med produkten av arean ω till koordinaten för dess tyngdpunkt xc. Således,
.
Här kxc+ b- ordinera yc diagram Mz 1 under områdets tyngdpunkt ω . Därav,
|
|
.Arbete ω yc kommer att vara positivt när ω Och yc placerade på ena sidan av diagramaxeln och negativa om de är på motsatta sidor av denna axel.
Så enligt Vereshchagins metod integrationsoperationen ersätts av areamultiplikation ω en tomt per ordinata yc andra (nödvändigtvis linjära) diagram taget under områdets tyngdpunkt ω .
Det är viktigt att alltid komma ihåg att sådan "multiplikation" av diagram endast är möjlig i det område som begränsas av en rät linje i diagrammet från vilket ordinatan tas yc. Därför, vid beräkning av förskjutningar av balksektioner med hjälp av Vereshchagin-metoden, måste Mohr-integralen över balkens hela längd ersättas med summan av integraler över sektioner inom vilka diagrammet över moment från en enhetslast inte har kinks. Sedan
|
|
.För att framgångsrikt tillämpa Vereshchagins metod är det nödvändigt att ha formler med vilka områden kan beräknas ω och koordinater xc deras tyngdpunkter. Givet i tabell. 8.1 data motsvarar endast de enklaste fallen av strålbelastning. Men mer komplexa diagram av böjmoment kan delas upp i enkla figurer, områden ω i och koordinater yci som är kända, och sedan hitta verket ω yc för ett så komplext diagram genom att summera produkterna av områden ω i dess delar till deras motsvarande koordinater yci. Detta förklaras av det faktum att uppdelningen av det multiplicerbara diagrammet i delar är ekvivalent med representationen av funktionen Mz(x) i integralen (8.46) som summan av integraler. I vissa fall förenklar konstruktionen av skiktade diagram, det vill säga från var och en av de yttre krafterna och paren separat, beräkningarna.
Om båda diagrammen Mz Och Mz 1 linjärt, det slutliga resultatet av deras multiplikation beror inte på om arean av det första diagrammet multipliceras med ordinatan för det andra eller omvänt, området för det andra med ordinatan för det första.
För att praktiskt beräkna förskjutningar med Vereshchagins metod måste du:
1) konstruera ett diagram över böjmoment från en given last (huvuddiagram);
3) konstruera ett diagram över böjmoment från en enhetslast (enhetsdiagram);
4) dela upp diagram över givna laster i separata områden ω i och beräkna ordinaterna yCi ett enda diagram under dessa områdens tyngdpunkter;
5) komponera ett verk ω iyCi och summera dem.
Tabell 8.1.
| Typ av diagram Mz | Fyrkant ω | Tyngdpunktskoordinat xc |
 |
||
 |
||
 |
||
 |
||
 |
||
(*) - Dessa formler är inte giltiga för detta laddningsfall  |
||
EE "BSUIR"
Institutionen för teknisk grafik
ABSTRAKT
på ämnet:
”FASTSTÄLLNING AV FÖRVÄRVNINGAR MED MOR-METODEN. VERESHCHAGINS REGEL"
MINSK, 2008
Låt oss nu överväga en allmän metod för att bestämma förskjutningar, lämplig för alla linjärt deformerbara system under vilken belastning som helst. Denna metod föreslogs av den framstående tyska vetenskapsmannen O. Mohr.
Låt dig till exempel bestämma den vertikala förskjutningen av punkt A för strålen som visas i fig. 7.13, a. Vi betecknar det givna (last) tillståndet med bokstaven k. Låt oss välja ett hjälptillstånd för samma balk med enhet
kraft som verkar vid punkt A och i riktning mot önskad förskjutning. Vi betecknar hjälptillståndet med bokstaven i (fig. 7.13,6).
Låt oss beräkna arbetet med externa och inre krafter i hjälptillståndet på förskjutningarna som orsakas av verkan av krafterna i lasttillståndet.
De yttre krafternas arbete kommer att vara lika med produkten av en enhetskraft och den önskade förskjutningen ya
och de inre krafternas arbete i absolut värde är lika med integralen
(1)
Formel (7.33) är Mohrs formel (Mohrs integral), som gör det möjligt att bestämma förskjutningen vid vilken punkt som helst av ett linjärt deformerbart system.
I denna formel är integranden för MiMk positiv om båda böjmomenten har samma tecken, och negativ om Mi och Mk har olika tecken.
Om vi skulle bestämma vinkelförskjutningen i punkt A, så skulle vi i tillstånd i behöva tillämpa ett moment lika med ett (utan dimension) i punkt A.
Genom att beteckna med bokstaven Δ vilken rörelse som helst (linjär eller vinkel), skriver vi Mohrs formel (integral) i formen
(2)
I det allmänna fallet kan det analytiska uttrycket Mi och Mk vara olika i olika sektioner av en balk eller ett elastiskt system i allmänhet. Därför bör man istället för formel (2) använda den mer allmänna formeln
(3)
Om systemets stavar inte fungerar i böjning, utan i spänning (kompression), som till exempel i takstolar, har Mohrs formel formen
(4)
I denna formel är produkten NiNK positiv om båda krafterna är dragkrafter eller båda är kompressiva. Om stängerna samtidigt arbetar i böjning och spänning (kompression), kan i vanliga fall, som jämförande beräkningar visar, förskjutningar bestämmas med hänsyn till endast böjmoment, eftersom inverkan av längsgående krafter är mycket liten.
Av samma skäl, som tidigare noterats, kan i vanliga fall påverkan av skjuvkrafter ignoreras.
Istället för att direkt beräkna Mohr-integralen kan du använda den grafoanalytiska tekniken "metoden för att multiplicera diagram" eller Vereshchagins regel.
Låt oss betrakta två diagram av böjmoment, varav en Mk har en godtycklig kontur och den andra Mi är rätlinjig (fig. 7.14, a och b).
(5)
Värdet MKdz är den elementära arean dωk i Mk-diagrammet (skuggat i figuren). Således,
(6)
därav,
(8)
Men representerar det statiska momentet för arean av diagrammet Mk i förhållande till någon axel y som passerar genom punkten O, lika med ωkzc, där ωk är arean av momentdiagrammet; zc är avståndet från y-axeln till tyngdpunkten i Mk-diagrammet. Av ritningen framgår det tydligt
där Msi är ordinatan för diagrammet Mi, beläget under tyngdpunkten för diagrammet Mk (under punkt C). Därav,
(10)
d.v.s. den erforderliga integralen är lika med produkten av arean av diagrammet Mk (valfri form) med ordinatan för det rätlinjiga diagrammet Msi beläget under dess tyngdpunkt. Värdet på ωкМсi anses positivt om båda diagrammen är placerade på samma sida av stången, och negativt om de är placerade på olika sidor. Ett positivt resultat av att multiplicera diagram betyder att rörelseriktningen sammanfaller med riktningen för en enhetskraft (eller moment).
Man måste komma ihåg att ordinatan Msi måste tas i ett rätlinjediagram. I det speciella fallet när båda diagrammen är rätlinjiga kan du multiplicera arean för någon av dem med motsvarande ordinata för den andra.
För staplar med variabelt tvärsnitt är Vereshchagins regel för att multiplicera diagram inte tillämplig, eftersom det i detta fall inte längre är möjligt att ta bort värdet EJ under heltecknet. I det här fallet bör EJ uttryckas som en funktion av sektionens abskiss och sedan ska Mohr-integralen (1) beräknas.
Vid ändring av styvheten på en stav stegvis utförs integration (eller multiplikation av diagram) för varje sektion separat (med sitt eget EJ-värde) och sedan summeras resultaten.
I tabell 1 visar områdena för några enkla diagram och koordinaterna för deras tyngdpunkt.
bord 1
| Typ av diagram | Arean av diagrammet | Avstånd till tyngdpunkten |
|
||
|
||
|
||
|
För att påskynda beräkningarna kan du använda färdiga diagrammultiplikationstabeller (tabell 2).
I den här tabellen, i cellerna i skärningspunkten mellan motsvarande elementära diagram, ges resultaten av att multiplicera dessa diagram.
När du bryter ner ett komplext diagram i elementära diagram, presenterat i tabell. 1 och 7.2, bör man komma ihåg att paraboldiagrammen erhölls från verkan av endast en fördelad last.
I de fall där krökta sektioner i ett komplext diagram erhålls från den samtidiga verkan av koncentrerade moment, krafter och en likformigt fördelad last, för att undvika fel, bör det komplexa diagrammet först "skiktas", d.v.s. delas upp i ett antal oberoende diagram: från verkan av koncentrerade moment, krafter och från verkan av en jämnt fördelad last.
Du kan också använda en annan teknik som inte kräver stratifiering av diagrammen, utan bara kräver valet av den kurvlinjära delen av diagrammet längs ackordet som förbinder dess extrempunkter.
Vi kommer att demonstrera båda metoderna med ett specifikt exempel.
Låt dig till exempel bestämma den vertikala förskjutningen av den vänstra änden av balken (Fig. 7.15).
Det totala diagrammet över lasten presenteras i fig. 7.15, a.
Tabell 7.2
|
|
|
|
||||||
 |
 |
||||||||
 |
 |
 |
|||||||
 |
 |
 |
|||||||
 |
 |
 |
 |
 |
|||||
|
 |
 |
 |
||||||
|
|
 |
 |
||||||
 |
 |
 |
|||||||
|
 |
 |
|||||||
Diagrammet över verkan av en enhetskraft vid punkt A visas i fig. 7.15, stad
För att bestämma den vertikala förskjutningen i punkt A är det nödvändigt att multiplicera lastdiagrammet med enhetskraftdiagrammet. Vi noterar dock att i sektionen BC av det totala diagrammet erhålls det kurvlinjära diagrammet inte bara från verkan av en likformigt fördelad last, utan också från verkan av en koncentrerad kraft P. Som ett resultat, i sektionen BC finns det kommer inte längre att vara ett elementärt paraboliskt diagram som anges i tabellerna 7.1 och 7.2, utan enligt i huvudsak ett komplext diagram för vilket uppgifterna i dessa tabeller är ogiltiga.
Därför är det nödvändigt att stratifiera det komplexa diagrammet enligt fig. 7.15, och till de elementära diagrammen som presenteras i fig. 7.15, b och 7.15, c.
Diagram enligt fig. 7.15, b erhölls endast från koncentrerad kraft, diagram enligt fig. 7.15, c - endast från verkan av en jämnt fördelad last.
Nu kan du multiplicera diagrammen med hjälp av tabellen. 1 eller 2.
För att göra detta måste du multiplicera det triangulära diagrammet enligt fig. 7.15, b till triangeldiagrammet enligt fig. 7.15, d och lägg till detta resultatet av att multiplicera paraboldiagrammet i fig. 7.15, i trapetsdiagrammet för BC-sektionen enligt fig. 7.15, d, eftersom i sektion AB diagrammets ordinata enligt fig. 7,15, i är lika med noll.
Låt oss nu visa den andra metoden att multiplicera diagram. Låt oss titta igen på diagrammet i fig. 7.15, a. Låt oss ta referensursprunget i avsnitt B. Vi visar att inom gränserna för LMN-kurvan kan böjmoment erhållas som den algebraiska summan av böjmomenten som motsvarar den räta linjen LN, och böjmomenten i paraboldiagrammet LNML, samma som för en enkel balk med längden a, belastad med en jämnt fördelad last q:
Den största ordinatan i mitten kommer att vara lika med .
För att bevisa detta, låt oss skriva det faktiska uttrycket för böjmomentet i sektionen på ett avstånd z från punkt B
(A)
Låt oss nu skriva uttrycket för böjmomentet i samma sektion, erhållet som den algebraiska summan av ordinaterna på den räta linjen LN och parabeln LNML.
Ekvation för linje LN
där k är tangenten för denna linjes lutningsvinkel
Följaktligen har ekvationen för böjningsmoment erhållen som den algebraiska summan av ekvationen för den räta linjen LN och parabeln LNMN formen
som sammanfaller med uttryck (A).
När man multiplicerar diagram enligt Vereshchagins regel ska man multiplicera trapetsen BLNC med trapetsen från enhetsdiagrammet i avsnittet BC (se fig. 7.15, d) och subtrahera resultatet av att multiplicera paraboldiagrammet LNML (area) med samma trapets. från enhetsdiagrammet. Denna metod för skiktning av diagram är särskilt fördelaktig när den krökta sektionen av diagrammet är placerad i en av mittsektionerna av balken.
Exempel 7.7. Bestäm vertikal- och vinkelförskjutningarna av den fribärande balken vid den punkt där belastningen appliceras (Fig. 7.16).
Lösning. Vi konstruerar ett diagram över böjmoment för belastningstillståndet (Fig. 7.16, a).
För att bestämma den vertikala förskjutningen väljer vi balkens hjälptillstånd med en enhetskraft vid belastningspunkten.
Vi konstruerar ett diagram över böjmoment från denna kraft (fig. 7.16, b). Bestämning av vertikal förskjutning med Mohrs metod
Böjmomentvärde på grund av belastning
Värdet på böjmomentet från en enhetskraft
Vi ersätter dessa värden för МР och Mi med integraltecknet och integrerar
Samma resultat erhölls tidigare med en annan metod.
Ett positivt avböjningsvärde indikerar att anbringningspunkten för lasten P rör sig nedåt (i enhetskraftens riktning). Om vi riktade en enhetskraft från botten till toppen skulle vi ha Mi = 1z och som ett resultat av integrationen skulle vi få en avböjning med ett minustecken. Minustecknet skulle indikera att rörelsen inte är upp, utan ner, som den är i verkligheten.
Låt oss nu beräkna Mohr-integralen genom att multiplicera diagrammen enligt Vereshchagins regel.
Eftersom båda diagrammen är rätlinjiga spelar det ingen roll vilket diagram man ska ta området från och vilket man ska ta ordinatan från.
Arean av lastdiagrammet är lika med
Tyngdpunkten för detta diagram är placerad på ett avstånd av 1/3l från inbäddningen. Vi bestämmer ordinatan för diagrammet över moment från en enhetskraft, belägen under
tyngdpunkten för lastdiagrammet. Det är lätt att verifiera att det är lika med 1/3l.
Därav.
Samma resultat erhålls från tabellen över integraler. Resultatet av att multiplicera diagram är positivt, eftersom båda diagrammen är placerade längst ner på staven. Följaktligen skiftar belastningspunkten nedåt, dvs längs den accepterade riktningen för enhetskraften.
För att bestämma vinkelförskjutningen (rotationsvinkeln) väljer vi ett hjälptillstånd för strålen där ett koncentrerat moment lika med enhet verkar i slutet av strålen.
Vi konstruerar ett diagram över böjmoment för detta fall (Fig. 7.16, c). Vi bestämmer vinkelförskjutningen genom att multiplicera diagrammen. Lastdiagramområde
Diagrammets ordinata från ett enda ögonblick är lika med enhet överallt. Därför är den önskade rotationsvinkeln för sektionen lika med
Eftersom båda diagrammen finns nedan är resultatet av att multiplicera diagrammen positivt. Sålunda roterar balkens ändsektion medurs (i enhetsmomentets riktning).
Exempel: Använd Mohr-Vereshchagin-metoden och bestäm avböjningen vid punkt D för strålen som visas i fig. 7.17..
Lösning. Vi bygger ett skiktat diagram av moment från lasten, det vill säga vi bygger separata diagram från verkan av varje last. I det här fallet, för bekvämligheten med att multiplicera diagram, är det tillrådligt att konstruera stratifierade (elementära) diagram i förhållande till sektionen, vars avböjning bestäms i detta fall i förhållande till sektion D.
I fig. 7.17, a visar ett diagram över böjmoment från reaktion A (sektion AD) och från last P = 4 T (sektion DC). Diagram är byggda på komprimerad fiber.
I fig. 7.17, b visar diagram över moment från reaktion B (sektion BD), från vänster jämnt fördelad last (sektion AD) och från en jämnt fördelad last som verkar på sektion BC. Detta diagram visas i fig. 7.17, b i området DC nedanför.
Därefter väljer vi strålens hjälptillstånd, för vilket vi applicerar en enhetskraft vid punkt D, där avböjningen bestäms (fig. 7.17, c). Diagrammet över moment från en enhetskraft visas i fig. 7.17, d. Låt oss nu multiplicera diagram 1 till 7 med diagram 8 och 9, med hjälp av diagrammultiplikationstabeller, med hänsyn till tecknen.
I det här fallet multipliceras diagram placerade på ena sidan av balken med ett plustecken, och diagram placerade på motsatta sidor av balken multipliceras med ett minustecken.
När vi multiplicerar diagram 1 och diagram 8 får vi
Multiplicera plot 5 med plot 8, vi får
Att multiplicera diagram 2 och 9 ger
Multiplicera diagram 4 och 9
Multiplicera diagram 6 och 9
När vi summerar resultaten av att multiplicera diagram, får vi
Minustecknet visar att punkt D inte rör sig nedåt, eftersom enhetskraften är riktad, utan uppåt.
Samma resultat erhölls tidigare med den universella ekvationen.
Naturligtvis var det i det här exemplet möjligt att stratifiera diagrammet endast i sektion AD, eftersom det totala diagrammet i sektion DB är rätlinjigt och det finns inget behov av att stratifiera det. I BC-sektionen krävs inte delaminering, eftersom från en enhetskraft i detta avsnitt är diagrammet lika med noll. Skiktningen av diagrammet i sektionen BC är nödvändig för att bestämma avböjningen i punkt C.
Exempel. Bestäm de vertikala, horisontella och vinkelförskjutningar av sektion A av den trasiga stången som visas i fig. 7.18, a. Tvärsektionsstyvheten för den vertikala sektionen av stången är EJ1; tvärsnittsstyvheten för den horisontella sektionen är EJ2.
Lösning. Vi konstruerar ett diagram över böjmoment på grund av belastning. Det visas i fig. 7.18, b (se exempel 6.9). För att bestämma den vertikala förskjutningen av sektion A väljer vi hjälptillståndet för systemet som visas i fig. 7,18, c. Vid punkt A appliceras en vertikal enhetskraft, riktad nedåt.
Diagrammet över böjmoment för detta tillstånd visas i fig. 7,18, c.
Vi bestämmer vertikal förskjutning med Mohrs metod, med metoden att multiplicera diagram. Eftersom det inte finns något diagram M1 på den vertikala stången i hjälptillståndet multiplicerar vi endast diagram relaterade till den horisontella stången. Vi tar diagrammets area från belastningstillståndet och ordinatan från hjälptillståndet. Den vertikala förskjutningen är
Eftersom båda diagrammen finns nedan tar vi resultatet av multiplikationen med ett plustecken. Följaktligen rör sig punkt A nedåt, dvs i riktning mot enhetens vertikala kraft.
För att bestämma den horisontella rörelsen av punkt A väljer vi ett hjälptillstånd med en horisontell enhetskraft riktad åt vänster (fig. 7.18, d). Momentdiagrammet för detta fall presenteras där.
Vi multiplicerar MP- och M2-diagrammen och får
Resultatet av att multiplicera diagram är positivt, eftersom de multiplicerade diagrammen är placerade på samma sida av stavarna.
För att bestämma vinkelförskjutningen väljer vi systemets hjälptillstånd enligt fig. 7.18.5 och konstruera ett diagram över böjmoment för detta tillstånd (i samma figur). Vi multiplicerar diagram MP och M3:
Resultatet av multiplikation är positivt, eftersom de multiplicerade diagrammen är placerade på ena sidan.
Följaktligen roterar sektion A medurs
Samma resultat skulle erhållas med tabeller
multiplicera diagram.
Vyn av den deformerade stången visas i fig. 7.18, e, medan förskjutningarna är kraftigt ökade.
LITTERATUR
Feodosiev V.I. Materialets styrka. 1986
Belyaev N.M. Materialets styrka. 1976
Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Beräkning och design av instrumentmekanismer och datorsystem. 1991
Rabotnov Yu.N. Mekanik för deformerbara fasta ämnen. 1988
Stepin P.A. Materialets styrka. 1990
Föreläsning 13 (fortsättning). Exempel på lösningar för att beräkna förskjutningar med Mohr-Vereshchagin-metoden och problem för oberoende lösning
Definiera förskjutningar i balkar
Exempel 1.
Bestäm rörelsen för en punkt TILL balkar (se figur) med Mohr-integralen.
Lösning.
1) Vi komponerar en ekvation för böjmomentet från en yttre kraft M F .
2) Applicera vid punkten TILL enhetsstyrka F = 1.
3) Vi skriver ner ekvationen för böjmoment från en enhetskraft.
4) Bestäm rörelser
Exempel 2.
Bestäm rörelsen för en punkt TILL balkar enligt Vereshchagins metod.
Lösning.
1) Vi bygger ett lastdiagram.
2) Vi applicerar en enhetskraft vid punkt K.
3) Vi bygger ett enda diagram.
4) Bestäm nedböjningen
Exempel 3.
Bestäm rotationsvinklarna på stöden A Och I
Lösning.
Vi konstruerar diagram från en given last och från individuella moment tillämpade i sektioner A Och I(se bild). Vi bestämmer de nödvändiga förskjutningarna med hjälp av Mohr-integraler
,
, som vi beräknar med hjälp av Vereshchagins regel.
Att hitta plotparametrarna
C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,
och sedan rotationsvinklarna på stöden A Och I
Exempel 4.
Bestäm sektionens rotationsvinkel MED för en given stråle (se figur).
Lösning.
Fastställande av stödreaktioner R A =R B ,
, , R A = R B = qa.
Vi konstruerar diagram över böjmomentet från en given last och från ett enstaka moment applicerat i sektionen MED, där rotationsvinkeln söks. Vi beräknar Mohr-integralen med hjälp av Vereshchagins regel. Att hitta plotparametrarna 
C 2 =
-C 1 =
-1/4,
och längs dem den önskade rörelsen
Exempel 5.
Bestäm avböjningen i sektionen MED för en given stråle (se figur).
Lösning.
Diagram M F(Fig. b)
Supportreaktioner:
VARA: , ,
, R B + R E = F, R E = 0;
AB: , R A = R I = F; , .
Vi beräknar moment vid karakteristiska punkter, M B = 0, M C = Fa och bygga ett diagram över böjmomentet från en given last.
Diagram(Fig. c).
I tvärsnitt MED, där avböjningen söks, applicerar vi en enhetskraft och konstruerar ett böjmomentdiagram från den, först beräknar vi stödreaktionerna VARA - , , = 2/3; , , = 1/3, och sedan moment vid karakteristiska punkter , , .
2. Bestämning av önskad avböjning. Låt oss använda Vereshchagins regel och först beräkna parametrarna för diagrammen och:
,
Sektionsavböjning MED
Exempel 6.
Bestäm avböjningen i sektionen MED för en given stråle (se figur).
Lösning.
MED. Med hjälp av Vereshchagins regel beräknar vi parametrarna för diagrammen 
,
och hitta önskad avböjning
Exempel 7.
Bestäm avböjningen i sektionen MED för en given stråle (se figur).
Lösning.
1. Konstruera diagram över böjmoment.
Supportreaktioner:
, , R A = 2qa,
, R A + R D = 3qa, R D = qa.
Vi konstruerar diagram över böjmoment från en given last och från en enhetskraft som appliceras vid en punkt MED.
2. Bestämning av rörelser. För att beräkna Mohr-integralen använder vi Simpsons formel och applicerar den sekventiellt på var och en av de tre sektionerna som strålen är uppdelad i.
KomplottAB :
KomplottSol :
KomplottMED D :
Behövlig rörelse
Exempel 8.
Bestäm sektionsavböjningen A och sektionens rotationsvinkel E för en given stråle (fig. A).
Lösning.
1. Konstruera diagram över böjmoment.
Diagram M F(ris. V). Efter att ha fastställt stödreaktionerna
, , R B = 19qa/8,
, R D = 13qa/8 bygger vi diagram över tvärkraft Q och böjmoment M F från en given last.
Diagram(Fig. d). I tvärsnitt A, där avböjningen eftersträvas, applicerar vi en enhetskraft och konstruerar ett diagram över böjmomentet från den.
Diagram(Fig. e). Detta diagram är konstruerat från ett enda moment som tillämpas i avsnittet E, där rotationsvinkeln söks.
2. Bestämning av rörelser. Sektionsavböjning A vi använder Vereshchagins regel. Epure M F på platserna Sol Och CD Vi bryter ner det i enkla delar (Fig. d). Vi presenterar de nödvändiga beräkningarna i form av en tabell.
|
-qa 3 /6 |
2qa 3 /3 |
-qa 3 /2 |
-qa 3 /2 |
|||||
|
C i |
||||||||
|
-qa 4 /2 |
5qa 4 /12 |
-qa 4 /6 |
-qa 4 /12 |
-qa 4 /24 |
Vi får.
Minustecknet i resultatet betyder att punkten A rör sig inte nedåt, eftersom enhetskraften riktades, utan uppåt.
Sektionens rotationsvinkel E vi finner på två sätt: genom Vereshchagins regel och genom Simpsons formel.
Enligt Vereshchagins regel, multiplicera diagram M F och i analogi med den föregående får vi
,
För att hitta rotationsvinkeln med Simpsons formel, beräknar vi de preliminära böjmomenten i mitten av sektionerna:
Erforderlig förskjutning, ökad med EI x en gång,
Exempel 9.
Bestäm vid vilket värde av koefficienten k sektionsavböjning MED kommer att vara lika med noll. När värdet hittas k konstruera ett diagram över böjmomentet och visa en ungefärlig vy av balkens elastiska linje (se figur).
Lösning.
Vi konstruerar diagram över böjmoment från en given last och från en enhetskraft som appliceras i sektionen MED, där avböjningen söks.
Enligt förutsättningarna för problemet V C= 0. Å andra sidan, . Integral på tomten AB vi beräknar med Simpsons formel och i avsnittet Sol– enligt Vereshchagins regel.
Vi hittar i förväg
Flytta ett avsnitt MED 
,
Härifrån 
, .
När värdet hittas k bestämma värdet av stödreaktionen vid punkten A: , , , varifrån vi finner läget för extremumpunkten på diagrammet M enligt tillståndet 
.
Baserat på ögonblicksvärdena på karakteristiska punkter
Vi bygger ett diagram över böjmomentet (Fig. d).
Exempel 10.
I fribärande balk som visas i figuren.
Lösning.
M från inverkan av en extern koncentrerad kraft F: M I = 0, M A = –F 2l(linjär plot).
Enligt villkoren för problemet är det nödvändigt att bestämma den vertikala förskjutningen på I poäng I fribärande balk, därför bygger vi ett enhetsdiagram över verkan av en vertikal enhetskraft F i = 1 applicerad vid punkten I.
Med tanke på att konsolbalken består av två sektioner med olika böjstyvheter, diagram och M Vi multiplicerar med hjälp av Vereshchagins regel med sektioner separat. Diagram M och multiplicera det första avsnittet med formeln 
, och diagrammen i den andra sektionen - som området för diagrammet M andra avsnittet Fl 2
/
2 till ordination 2 l/3 diagram av den andra sektionen under triangeldiagrammets tyngdpunkt M samma område.
I det här fallet formeln 
ger:
Exempel 11.
Bestäm den vertikala förskjutningen av en punkt I enkelspansbalk som visas i figuren. Balken har en konstant böjstyvhet längs hela sin längd. EI.
Lösning.
Vi bygger ett diagram över böjmoment M från verkan av en extern distribuerad belastning: M A = 0; M D = 0;
Ansök vid punkten I enhet vertikal kraft F i = 1 och bygg ett diagram (se figur):
var R a = 2/3;
Var R d = 1/3, alltså M a = 0; M d = 0; .
Låt oss dela upp strålen i fråga i 3 sektioner. Att multiplicera diagram av 1:a och 3:e sektionerna orsakar inga svårigheter, eftersom vi multiplicerar triangulära diagram. För att tillämpa Vereshchagins regel på den andra sektionen, låt oss dela upp diagrammet M 2:a sektionen i två komponenter i diagrammet: rektangulär och parabolisk med area (se tabell).
|
|
|
Tyngdpunkten för den paraboliska delen av diagrammet M ligger i mitten av 2:a sektionen.
Formeln alltså 
att använda Vereshchagins regel ger:
Exempel 12.
Bestäm den maximala avböjningen i en tvåstödsbalk belastad med en jämnt fördelad intensitetsbelastning q(se bild).
Lösning.
Hitta böjmoment:
Från en given last
Från en enhetskraft som appliceras vid en punkt MED där avböjningen söks.
Vi beräknar den erforderliga maximala avböjningen som uppstår i mittsektionen av balken
Exempel 13.
Bestäm avböjningen vid en punkt I strålen som visas i figuren.
Lösning.
Vi konstruerar diagram över böjmoment från en given last och en enhetskraft som appliceras vid en punkt I. För att multiplicera dessa diagram måste strålen delas upp i tre sektioner, eftersom ett enda diagram är begränsat till tre olika räta linjer.
Operationen med att multiplicera diagram i de andra och tredje sektionerna utförs enkelt. Svårigheter uppstår vid beräkning av arean och koordinaterna för tyngdpunkten för huvuddiagrammet i det första avsnittet. I sådana fall förenklar lösningen av problemet avsevärt att konstruera skiktade diagram. I det här fallet är det bekvämt att ta en av sektionerna villkorligt som stationära och konstruera diagram för var och en av lasterna, närmar sig denna sektion från höger och vänster. Det är lämpligt att ta sektionen vid sprickplatsen som en stationär i diagrammet över enhetslaster.
Ett skiktat diagram där sektionen tas som den stationära I, visas i figuren. Efter att ha beräknat areorna för komponentdelarna i det skiktade diagrammet och motsvarande ordinata för enhetsdiagrammet, får vi
Exempel 14.
Bestäm förskjutningarna vid balkens punkt 1 och 2 (fig. a).
Lösning.
Här är diagrammen M Och Q för balkar kl A=2 m; q=10 kN/m; MED=1,5A; M=0,5qa 2 ; R=0,8qa; M 0 =M; =200 MPa (fig. b Och V).
Låt oss bestämma den vertikala förskjutningen av mitten av sektionen där det koncentrerade momentet appliceras. För att göra detta, överväga en balk i ett tillstånd under påverkan av endast en koncentrerad kraft som appliceras vid punkt 1 vinkelrätt mot balkens axel (i riktning mot önskad förskjutning) (Fig. d).
Låt oss beräkna stödreaktionerna genom att komponera tre jämviktsekvationer
Undersökning
Reaktionerna hittades korrekt.
För att konstruera ett diagram, överväg tre sektioner (Fig. d).
1 tomt
2:a avsnittet
Avsnitt 3
Med hjälp av dessa data konstruerar vi ett diagram (fig. e) från sidan av de sträckta fibrerna.
Låt oss bestämma med Mohrs formel med hjälp av Vereshchagins regel. I detta fall kan ett krökt diagram i området mellan stöden representeras som tillägg av tre diagram. Pil
Minustecknet betyder att punkt 1 flyttas upp (i motsatt riktning).
Låt oss bestämma den vertikala förskjutningen av punkt 2, där den koncentrerade kraften appliceras. För att göra detta, överväga en balk i ett tillstånd under påverkan av endast en koncentrerad kraft som appliceras vid punkt 2 vinkelrätt mot balkens axel (i riktning mot önskad förskjutning) (Fig. e).
Diagrammet är konstruerat på liknande sätt som det föregående.
Punkt 2 flyttas upp.
Låt oss bestämma rotationsvinkeln för sektionen där det koncentrerade momentet appliceras.
Utöver den ovan diskuterade analysmetoden för att bestämma förskjutningen av en stråle, finns det andra analytiska och grafiskt-analytiska metoder som är tillämpliga på mer komplexa system, till exempel strukturer med bruten axel och statiskt obestämda system.
En sådan metod bygger på Mohr integral Och Vereshchagins regel. Kärnan i metoden är att applicera en enhetsbelastning (kraft eller vridmoment) i rörelseriktningen som är intressant för oss och beräkna Mohr-integralen. Uttrycket för Mohr-integralen härleds utifrån Castiglianos teorem, som här anges utan bevis.
Castiglianos teorem. Derivat av potentiell töjningsenergi med avseende på generaliserad kraft och generaliserad förskjutning.
Den potentiella töjningsenergin för en krökt stråle uttrycks med formeln
Baserat på Castiglianos teorem definieras den generaliserade (linjära eller vinkel) förskjutningen D som 
Om den generaliserade kraften Q 06 lika med enhet, så kommer den partiella derivatan att vara numeriskt lika med momentet M° enhetsbelastning
i sektion r av balken (de partiella derivatorna av momenten för andra krafter är lika med noll, eftersom dessa moment inte beror på enhetsbelastningen). Resultatet är en formel som kallas Mohr-integralen.
För en separat sektion av strukturen skrivs Mohr-integralen i formen
där D är generaliserad (linjär eller vinkel) rörelse; / - längden på sektionen; M - ekvation av moment av yttre krafter; M° - ekvation av enhetsbelastningsmoment; ?7 är strukturens styvhet.
För att bestämma linjär förskjutning appliceras en enhetsdimensionslös kraft på en sektion och för att bestämma vinkelförskjutning appliceras ett enhetsdimensionslöst moment. För en struktur med konstant styvhet kan den tas ut ur integraltecknet, då
Som ett exempel, låt oss beräkna Mohr-integralen för strålen som visas i fig. 6,27 
Ris. 6,27
Eftersom funktionerna av böjmoment uttrycks grafiskt av momentdiagram, verkar det möjligt att uttrycka Mohr-integralen i termer av arean och ordinaterna för diagrammen längs Vereshchagins regel , annars kallat genom att multiplicera diagram. Denna regel är formulerad enligt följande: den erforderliga integralen är lika med produkten av arean av lastdiagrammet M och ordinatan för enhetsdiagrammet som ligger under dess tyngdpunkt.Frakt diagrammet över böjmoment för yttre krafter heter.
Diagrammens ytor och ordinater är tagna med plus- eller minustecken, och ett positivt resultat betyder att riktningen för den önskade förskjutningen sammanfaller med riktningen för enhetslasten. Om strukturen i fråga har flera sektioner, utförs beräkningar för varje sektion separat, och resultatet summeras.
Som ett exempel, låt oss bestämma, med hjälp av Vereshchagins regel, den linjära förskjutningen och rotationsvinkeln för ändsektionen av balken som visas i fig. 6.24.
För att bestämma den linjära förskjutningen av den fria änden av balken applicerar vi en vertikal enhetskraft på dess ände och överväger lastdiagrammet och diagrammet över momenten för enhetskraften. Sedan
som sammanfaller med uttrycket för y V, erhållen i exempel 6.8.
För att bestämma rotationsvinkeln för balkens ändsektion applicerar vi ett enhetsmoment till dess ände och konstruerar ett diagram. Sedan
Positiva svar innebär att riktningarna för enhetslaster och förskjutningar sammanfaller. Vi får samma resultat om vi multiplicerar arean av enhetsdiagrammet med ordinatan för belastningsdiagrammet som ligger ovanför tyngdpunkten för arean av enhetsdiagrammet.
För att avslöja den statiska obestämningen av systemet bör ett av stöden kasseras, ersättas med reaktioner, en enhetsbelastning bör appliceras och sedan bör last- och enhetsdiagram konstrueras. Genom att multiplicera diagrammen enligt Vereshchagins regel och likställa den resulterande förskjutningen till noll, får vi en ytterligare ekvation som är nödvändig för att avslöja systemets statiska obestämdhet.
Exempel 6.11
Expandera den statiska obestämningen av en fyrkantig ram med två stöd med sida / som visas i fig. 6,28, A.
Lösning. Låt oss kassera stöden och ersätta dem med reaktioner Хь Y u Х 2, Y 2. Efter att ha sammanställt ekvationen av moment om stöden och löst dem får vi Y2-P , Yx = -P . Projektionsekvation på den horisontella axeln P-X x + X2 = 0 har två okända. Låt oss applicera en enhetskraft på den högra änden av ramen, som visas i fig. 6,28, d och konstruera ett diagram över enskilda moment. I fig. 6,28, vig Lastdiagram över böjmoment konstruerades. Multiplicera enligt regeln
Ris. 6,28
Vereshchagin last- och enhetsdiagram, får vi en ytterligare ekvation som är nödvändig för att avslöja den statiska obestämningen av ramen.
Minustecknet i den tredje termen uppstår på grund av diagrammen för den aktiva kraften R och enhetskraften är placerade på motsatta sidor av stångens axel.
Efter att ha utfört beräkningarna får vi 
, var. Ett minus i svaret betyder att reaktionen X 2
riktad i motsatt riktning. Nästa hittar vi 
I det allmänna fallet (stav med variabelt tvärsnitt, komplext system av laster) bestäms Mohr-integralen av numerisk integration. I många praktiskt viktiga fall, när sektionens styvhet är konstant längs stavens längd, kan Mohr-integralen beräknas med hjälp av Vereshchagins regel. Låt oss överväga definitionen av Mohr-integralen i avsnittet från a till 6 (fig. 9.18).
Ris. 9.18. Vereshchagins regel för beräkning av Mohr-integralen
Diagram över momentet från en enskild kraftfaktor består av raka segment. Utan förlust av allmänhet antar vi att inom området
där A och B är parametrarna för linjen:
Mohr-integralen på det aktuella snittet med konstant tvärsnitt har formen
där F är arean under kurvan (arean av diagrammet över böjmoment från yttre krafter i avsnitt z).
var är abskissan för områdets tyngdpunkt.
Jämlikhet (109) är giltig när tecknet inte ändras inom området och kan betraktas som en del av diagrammets area. Nu får vi från relationer (107) -(109).
Moment från en enhetsbelastning i en sektion
En hjälptabell för att använda Vereshchagins regel ges i fig. 9.19.
Anteckningar. 1. Om diagrammet från verkan av yttre krafter på en sektion är linjärt (till exempel under verkan av koncentrerade krafter och moment), kan regeln tillämpas i omvänd form: multiplicera arean av diagrammet från en enkel kraftfaktor med ordinatan i diagrammet som motsvarar områdets tyngdpunkt. Detta följer av ovanstående bevis.
2. Vereshchagins regel kan utvidgas till Mohr-integralen i allmän form (ekvation (103)).
Ris. 9.19. Ytor och positioner för momentdiagram för tyngdpunkter
Ris. 9.20. Exempel på att bestämma avböjnings- och rotationsvinklar med hjälp av Vereshchagins regel
Huvudkravet är följande: inom sektionen måste de interna kraftfaktorerna från en enhetslast vara linjära funktioner längs stavens axel (linjära diagram!).
Exempel. 1. Bestäm avböjningen vid punkt A av den fribärande stången under inverkan av ett koncentrerat moment M (Fig. 9.20, a).
Avböjningen vid punkt A bestäms av formeln (för korthetens skull utelämnas indexet)
Minustecknet beror på att de har olika tecken.
2. Bestäm nedböjningen vid punkt A i konsolstången under inverkan av en fördelad belastning.
Avböjningen bestäms av formeln
Diagram över böjmomentet M och skjuvkraften Q från den yttre lasten visas i fig. 9.20, b, nedan i denna figur är diagram under verkan av en enhetskraft. Nästa hittar vi
3. Bestäm avböjningen vid punkt A och vridningsvinkeln vid punkt B för en tvåstödsbalk belastad med ett koncentrerat moment (Fig. 9.20.).
Avböjningen bestäms av formeln (vi försummar skjuvdeformationen)
Eftersom diagrammet över momentet från en enhetskraft inte är avbildat med en linje; sedan delar vi integralen i två sektioner:
Rotationsvinkeln vid punkt B är lika med
Kommentar. Från ovanstående exempel är det tydligt att Vereshchagins metod i enkla fall låter dig snabbt bestämma avböjningar och rotationsvinklar. Det är bara viktigt att tillämpa en enda teckenregel för Om vi, när vi böjer en stång, kommer överens om att konstruera diagram över böjmoment på en "sträckt fiber" (se fig. 9.20), så är det omedelbart lätt att se det positiva och negativa värden för ögonblicken.
En speciell fördel med Vereshchagins regel är att den inte bara kan användas för stavar, utan också för ramar (§ 17).
Restriktioner för tillämpningen av Vereshchagins regel.
Dessa begränsningar följer av härledningen av formel (110), men låt oss uppmärksamma dem igen.
1. Diagrammet över böjmomentet från en enhetslast ska vara i form av en rak linje. I fig. 9.21, och visar fallet när detta villkor inte är uppfyllt. Mohr-integralen måste beräknas separat för avsnitt I och II.
2. Böjmomentet från den yttre lasten inom sektionen ska ha samma tecken. I fig. Figur 9.21, b visar fallet när Vereshchagins regel ska tillämpas för varje avsnitt separat. Denna begränsning gäller inte för ögonblicket från en enda last.
Ris. 9.21. Begränsningar vid användning av Vereshchagins regel: a - diagrammet har en paus; b - diagrammet har olika tecken; c - stången har olika sektioner
3. Stångens styvhet inom en sektion måste vara konstant, annars bör integrationen utökas separat till sektioner med konstant styvhet. Begränsningar av konstant styvhet kan undvikas genom att rita diagram.
