Va yana bir narsa: sonni qisqartirish formulalari juda ko'p va biz ularni barchasini eslab qolishdan darhol ogohlantiramiz. Bunga mutlaqo ehtiyoj yo'q - bor, bu esa qisqartirish formulalarini qo'llashni osonlashtiradi.

Shunday qilib, barcha qisqartirish formulalarini jadval shaklida yozamiz.


Bu formulalarni daraja va radian yordamida qayta yozish mumkin. Buni amalga oshirish uchun darajalar va radyanlar o'rtasidagi munosabatni eslang va hamma joyda p ni 180 darajaga almashtiring.

Quyma formulalardan foydalanishga misollar

Ushbu bo'limning maqsadi misollarni yechishda qisqartirish formulalarini amalda qo'llashni ko'rsatishdir.

Boshlash uchun shuni aytish kerakki, trigonometrik funktsiyalar belgisi ostida burchakni va shaklida ifodalashning cheksiz ko'p usullari mavjud. . Bu burchak har qanday qiymatni olishi mumkinligi bilan bog'liq. Buni misol bilan ko'rsatamiz.

Masalan, ga teng trigonometrik funksiya belgisi ostidagi burchakni olaylik. Bu burchakni quyidagicha ifodalash mumkin , yoki qanday qilib , yoki qanday qilib , yoki boshqa ko'plab usullar bilan.

Endi burchakning tasviriga qarab qanday qisqartirish formulalarini qo'llashimiz kerakligini ko'rib chiqamiz. Misol uchun, olaylik.

Agar burchakni sifatida ifodalasak , u holda bu ko'rinish shaklning qisqartirish formulasiga mos keladi, biz bu erdan olamiz . Bu yerda trigonometrik funksiyaning qiymatini belgilashimiz mumkin: .

Taqdimot uchun biz allaqachon shakl formulasidan foydalanamiz , bu bizni quyidagi natijaga olib keladi: .

Nihoyat, , chunki mos keladigan qisqartirish formulasi shaklga ega .

Ushbu munozarani yakunlash uchun shuni ta'kidlash kerakki, burchak tasvirlaridan foydalanishda ma'lum qulayliklar mavjud bo'lib, ularda burchak 0 dan 90 darajagacha (yarim radianda 0 dan pi gacha) qiymatga ega.

Qisqartirish formulalaridan foydalanishning yana bir misolini ko'rib chiqing.

Misol.

Qisqartirish formulalaridan foydalanib, sinus orqali, shuningdek, o'tkir burchakning kosinusu orqali ifodalang.

Yechim.

Qisqartirish formulalarini qo'llash uchun biz 197 graduslik burchakni yoki shaklida ifodalashimiz kerak , va muammoning shartiga ko'ra, burchak o'tkir bo'lishi kerak. Bu ikki yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin: yoki . Shunday qilib, yoki .

Tegishli kamaytirish formulalariga va , biz va ni olamiz.

Javob:

Va .

Mnemonik qoida

Yuqorida aytib o'tganimizdek, quyma formulalarini yodlash shart emas. Agar siz ularni diqqat bilan ko'rib chiqsangiz, siz har qanday qisqartirish formulalarini olishga imkon beruvchi qoidani olishingiz mumkin bo'lgan naqshlarni aniqlashingiz mumkin. U chaqiriladi mnemonik qoida(mnemonika - bu xotira san'ati).

Mnemonik qoida uch bosqichdan iborat:

Darhol aytish kerakki, mnemonik qoidani qo'llash uchun siz sinus, kosinus, tangens va kotangens belgilarini chorak bo'yicha aniqlashda juda yaxshi bo'lishingiz kerak, chunki siz buni doimo qilishingiz kerak bo'ladi.

Mnemonik qoidaning qo'llanilishini misollar bilan tahlil qilamiz.

Misol.

Mnemonik qoidadan foydalanib, qisqartirish formulalarini yozing Va , burchakni birinchi chorakning burchagi sifatida hisoblash.

Yechim.

Biz qoidaning birinchi bosqichini bajarishimiz shart emas, chunki trigonometrik funktsiyalarning belgilari ostidagi burchaklar allaqachon kerakli shaklda yozilgan.

Funksiyalarning ishorasini aniqlaylik Va . Bu shart - birinchi chorakning burchagi, burchak ham birinchi chorak burchak, va burchak - ikkinchi chorakning burchagi. Birinchi chorakdagi kosinus ortiqcha belgisiga ega, ikkinchi chorakdagi tangens esa minus belgisiga ega. Ushbu bosqichda kerakli formulalar va kabi ko'rinadi. Biz belgilarni aniqladik, siz mnemonik qoidaning oxirgi bosqichiga o'tishingiz mumkin.

Chunki kosinus funksiyasining argumenti shaklga ega , u holda funksiya nomini kofunktsiyaga, ya'ni sinusga o'zgartirish kerak. Va tangens argumenti , shuning uchun funktsiya nomi bir xil bo'lishi kerak.

Natijada, biz bor Va . Natijalar to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qilish uchun quyma formulalar jadvaliga qarashingiz mumkin.

Javob:

Va .

Materialni mustahkamlash uchun misolning yechimini aniq burchaklar bilan ko'rib chiqing.

Misol.

Mnemonik qoidadan foydalanib, o'tkir burchakning trigonometrik funktsiyalariga aylantiring.

Yechim.

Birinchidan, mnemonik qoidani qo'llash uchun zarur bo'lgan shaklda 777 daraja burchakni ifodalaymiz. Bu ikki yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin: yoki.

Asl burchak - birinchi chorakning burchagi, bu burchak uchun sinus ortiqcha belgiga ega.

Tasvirlash uchun sinusning nomi bir xil bo'lishi kerak va turni ifodalash uchun sinus kosinusga o'zgartirilishi kerak.

Natijada, bizda va .

Javob:

Va .

Ushbu bo'limni yakunlash uchun mnemonik qoidani qo'llash uchun trigonometrik funktsiyalar belgisi ostida burchakni to'g'ri ko'rsatish muhimligini ko'rsatadigan misolni ko'rib chiqing: burchak keskin bo'lishi kerak!

Burchakning tangensini hisoblang. Asosan, maqolaning materialiga sinus, kosinus, tangens va kotangens qiymatlariga murojaat qilib, muammoning savoliga darhol javob berishimiz mumkin: .

Agar burchakni sifatida yoki sifatida ifodalasak, u holda mnemonik qoidadan foydalanishimiz mumkin: Va , bu bizni bir xil natijaga olib keladi.

Ammo burchakning tasvirini, masalan, ko'rinishni oladigan bo'lsak, nima bo'lishi mumkin. Bunday holda, mnemonik qoida bizni ushbu natijaga olib boradi. Bu natija noto'g'ri va bu burchak o'tkir bo'lmaganligi sababli biz tasvirlash uchun mnemonik qoidani qo'llash huquqiga ega emasligimiz bilan izohlanadi.

Qisqartirish formulalarini isbotlash

Qisqartirish formulalari burchaklar va bo'yicha siljishning davriyligi, simmetriyasi va xususiyatlarini aks ettiradi. Darhol shuni ta'kidlaymizki, barcha qisqartirish formulalarini argumentlardagi atamani bekor qilish orqali isbotlash mumkin, chunki bu burchakning to'liq burilishlar soniga o'zgarishini anglatadi va bu trigonometrik funktsiyalarning qiymatini o'zgartirmaydi. Bu atama davriylikning aksi bo'lib xizmat qiladi.

16 ta qisqartirish formulalarining birinchi bloki to'g'ridan-to'g'ri sinus, kosinus, tangens va kotangens xususiyatlaridan kelib chiqadi. Ular bilan to'xtashning hojati yo'q.

Keling, keyingi formulalar blokiga o'tamiz. Biz birinchi navbatda ularning dastlabki ikkitasini isbotlaymiz. Qolganlari ulardan kelib chiqadi. Shunday qilib, shaklning qisqartirish formulalarini isbotlaymiz Va .

Birlik doirasini ko'rib chiqing. Boshlang'ich A nuqta, burchakdan burilgandan so'ng, A 1 (x, y) nuqtaga, burchakdan burilgandan keyin esa A 2 nuqtaga o'ting. A 1 H 1 va A 2 H 2 - Ox chizig'iga perpendikulyarlarni chizamiz.

Buni ko'rish oson to'g'ri uchburchaklar OA 1 H 1 va OA 2 H 2 gipotenuzada va unga tutash ikki burchakda teng. Uchburchaklar tengligidan va A 1 va A 2 nuqtalarining joylashuvidan birlik doirasi agar A 1 nuqta x va y koordinatalariga ega bo'lsa, A 2 nuqta −y va x koordinatalariga ega ekanligi ayon bo'ladi. Keyin sinus va kosinusning ta'riflari bizga tengliklarni yozishga imkon beradi , bundan kelib chiqadi Va . Bu har qanday burchak uchun ko'rib chiqilayotgan kamaytirish formulalarini isbotlaydi.

Sharti bilan; inobatga olgan holda Va (agar kerak bo'lsa, asosiy trigonometrik identifikatsiyalar maqolasiga qarang), shuningdek, hozirgina isbotlangan formulalar bilan biz olamiz va . Shunday qilib, biz quyidagi ikkita qisqartirish formulasini isbotladik.

Qisqartirish formulalarini argument bilan isbotlash uchun uni quyidagicha ifodalash kifoya, keyin esa qarama-qarshi argumentlar bilan trigonometrik funksiyalarning tasdiqlangan formulalari va xossalaridan foydalanish kifoya. Masalan, .

Boshqa barcha qisqartirish formulalari allaqachon ikki marta qo'llash orqali isbotlanganlar asosida xuddi shunday isbotlangan. Masalan, u kabi ko'rinadi , Qanday . Va va - mos ravishda.

Adabiyotlar ro'yxati.

  • Algebra: Proc. 9 hujayra uchun. o'rtacha maktab / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovskiy.- M.: Ma'rifat, 1990.- 272 b.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
  • Bashmakov M.I. Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. o'rtacha maktab - 3-nashr. - M.: Ma'rifat, 1993. - 351 b.: kasal. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Algebra va tahlilning boshlanishi: Proc. 10-11 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn va boshqalar; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14-nashr.- M.: Ma'rifat, 2004.- 384 b.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga abituriyentlar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.

Qaytarilish formulalari sinus, kosinus, tangens va kotangensdan `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi) burchaklari bilan chiqish imkonini beruvchi nisbatlardir. 2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` birlik doirasining birinchi choragida joylashgan `\alpha` burchagining bir xil funktsiyalariga. Shunday qilib, qisqartirish formulalari bizni 0 dan 90 gradusgacha bo'lgan burchaklar bilan ishlashga "etaklaydi", bu juda qulay.

Hammasi birgalikda 32 ta qisqartirish formulalari mavjud. Ular, shubhasiz, imtihonda, imtihonlarda, testlarda foydali bo'ladi. Lekin biz ularni eslab qolishning hojati yo'qligini darhol ogohlantiramiz! Siz ozgina vaqt sarflashingiz va ularni qo'llash algoritmini tushunishingiz kerak, keyin buni qilish siz uchun qiyin bo'lmaydi. to'g'ri daqiqa zarur tenglikni oling.

Birinchidan, barcha qisqartirish formulalarini yozamiz:

Burchak uchun (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) yoki (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Burchak uchun (`\pi \pm \alpha`) yoki (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Burchak uchun (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) yoki (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Burchak uchun (`2\pi \pm \alpha`) yoki (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Tez-tez qisqartirish formulalarini jadval shaklida topishingiz mumkin, bu erda burchaklar radianlarda yoziladi:

Uni ishlatish uchun bizga kerak bo'lgan funksiya bilan qatorni va ustunni tanlash kerak to'g'ri dalil. Masalan, ` sin(\pi + \alpha)` nima bo`lishini jadval yordamida bilish uchun javobni ` sin \beta` qator va ` \pi + \ ustuni kesishmasidan topish kifoya. alfa`. Biz `sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha` ni olamiz.

Va ikkinchi, shunga o'xshash jadval, bu erda burchaklar darajalarda yozilgan:

Formulalarni quyishning mnemonik qoidasi yoki ularni qanday eslab qolish

Yuqorida aytib o'tganimizdek, yuqoridagi barcha nisbatlarni yodlash shart emas. Agar siz ularga diqqat bilan qarasangiz, ehtimol siz ba'zi naqshlarni ko'rgansiz. Ular bizga mnemonik qoidani shakllantirishga imkon beradi (mnemonik - yodlash), uning yordamida siz istalgan qisqartirish formulalarini osongina olishingiz mumkin.

Darhol shuni ta'kidlaymizki, ushbu qoidani qo'llash uchun birlik doirasining turli choraklarida trigonometrik funktsiyalarning belgilarini yaxshi aniqlash (yoki eslab qolish) kerak.
Graftning o'zi 3 bosqichni o'z ichiga oladi:

    1. Funktsiya argumenti `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi shaklida bo`lishi kerak. \ pm \alpha`, `\alpha` kerak o'tkir burchak(0 dan 90 darajagacha).
    2. Argumentlar uchun `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` trigonometrik funktsiya aylantirilgan ifoda kofunktsiyaga, ya'ni teskarisiga o'zgaradi (sinus kosinusga, tangens kotangentga va aksincha). `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` argumentlari uchun funksiya o`zgarmaydi.
    3. Asl funktsiyaning belgisi aniqlanadi. O'ng tomonda hosil bo'lgan funksiya bir xil belgiga ega bo'ladi.

Ushbu qoidani amalda qanday qo'llash mumkinligini ko'rish uchun keling, bir nechta iboralarni o'zgartiramiz:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Funktsiya teskari emas. ` \pi + \alpha` burchagi uchinchi kvadrantda, bu kvadrantdagi kosinus "-" belgisiga ega, shuning uchun aylantirilgan funksiya ham "-" belgisiga ega bo'ladi.

Javob: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alfa)`.

Mnemonik qoidaga ko'ra, funktsiya teskari bo'ladi. `\frac (3\pi)2 - \alpha` burchagi uchinchi kvadrantda, bu yerdagi sinus "-" belgisiga ega, shuning uchun natija ham "-" belgisi bilan bo'ladi.

Javob: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alfa)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi) )2-\alfa))`. Keling, `3\pi`ni `2\pi+\pi` shaklida ifodalaylik. `2\pi` - funksiyaning davri.

Muhim: `cos \alpha` va `sin \alpha` funksiyalari `2\pi` yoki `360^\circ` davriga ega, agar argument bu qiymatlarga oshirilsa yoki kamaytirilsa, ularning qiymatlari o`zgarmaydi.

Bunga asoslanib, ifodamizni quyidagicha yozish mumkin: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Mnemonik qoidani ikki marta qo'llasak, biz: `cos (\pi+(\frac(\) pi) 2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Javob: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

ot qoidasi

Yuqoridagi mnemonik qoidaning ikkinchi nuqtasi reduksiya formulalarining ot qoidasi ham deyiladi. Qiziq, nega otlar?

Shunday qilib, bizda `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \ pm argumentlari bilan funksiyalarimiz bor. \alpha`, `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, `2\pi` nuqtalar asosiy nuqtalar bo`lib, ular koordinata o`qlarida joylashgan. `\pi` va `2\pi` gorizontal x o`qida, `\frac (\pi)2` va `\frac (3\pi)2` esa vertikal y o`qida joylashgan.

Biz o'zimizga savol beramiz: "Funksiya kofunktsiyaga aylanadimi?". Bu savolga javob berish uchun boshingizni asosiy nuqta joylashgan o'q bo'ylab harakatlantirishingiz kerak.

Ya'ni, gorizontal o'qda joylashgan asosiy fikrlarga ega bo'lgan bahslar uchun biz boshimizni yon tomonlarga silkitib, "yo'q" deb javob beramiz. Va vertikal o'qda joylashgan asosiy nuqtalari bo'lgan burchaklar uchun biz ot kabi boshimizni yuqoridan pastga silkitib, "ha" deb javob beramiz 🙂

Video darsini ko'rishni tavsiya qilamiz, unda muallif qisqarish formulalarini yodlamasdan qanday qilib eslab qolishni batafsil tushuntiradi.

Kasting formulalaridan foydalanishning amaliy misollari

Qisqartirish formulalaridan foydalanish 9-10-sinflardan boshlanadi. Ulardan foydalanish bo'yicha ko'plab topshiriqlar imtihonga topshiriladi. Ushbu formulalarni qo'llash uchun sizga kerak bo'lgan ba'zi vazifalar:

  • to'g'ri burchakli uchburchakni yechish uchun topshiriqlar;
  • raqamli va alifbo konvertatsiyalari trigonometrik ifodalar, ularning qiymatlarini hisoblash;
  • stereometrik muammolar.

1-misol. a) `sin 600^\circ`, b) `tg 480^\circ`, c) `cos 330^\circ`, d) `sin 240^\circ` ni hisoblash uchun kamaytirish formulalaridan foydalaning.

Yechish: a) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

b) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

c) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

d) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

2-misol. Qaytarilish formulalari yordamida kosinusni sinus orqali ifodalab, raqamlarni solishtiring: 1) `sin \frac (9\pi)8` va `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` va `cos \frac (3\pi)10`.

Yechish: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Biz dastlab `\frac (\pi)2 + \alpha` argumentining sinus va kosinuslari uchun ikkita formulani isbotlaymiz: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` va ` cos( \frac (\ pi)2 + \alpha)=-sin \\alpha`. Qolganlari ulardan olingan.

Birlik aylana oling va uning ustida koordinatalari (1,0) bo'lgan A nuqtani oling. Yoqilgandan keyin ruxsat bering `\alpha` burchagida u `A_1(x, y)` nuqtaga o`tadi va `\frac (\pi)2 + \alpha` burchagi bo`ylab `A_2(-y,x)` nuqtaga burilgandan keyin. . Bu nuqtalardan OX chiziqqa perpendikulyarlarni tushirsak, `OA_1H_1` va `OA_2H_2` uchburchaklar teng ekanligini ko`ramiz, chunki ularning gipotenuzalari va qo`shni burchaklari teng. Keyin, sinus va kosinus ta'riflariga asoslanib, biz `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos yozishimiz mumkin. (\ frac (\ pi)2 + \alpha)=-y`. ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` va ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha` ekanligini qanday yozish mumkin, bu qisqarishni isbotlaydi. `\frac (\pi)2 + \alpha` burchakning sinusi va kosinusu uchun formulalar.

Tangens va kotangentning ta'rifidan biz ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi) ni olamiz. )2 + \alpha))=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)=-ctg \alpha` va ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos(\frac) (\ pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, bu qisqarishni isbotlaydi. `\frac (\pi)2 + \alpha` burchakning tangensi va kotangensi uchun formulalar.

Formulalarni `\frac (\pi)2 - \alpha` argumenti bilan isbotlash uchun uni `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` shaklida ifodalash va yuqoridagi yo`ldan borish kifoya. Masalan, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

`\pi + \alpha` va `\pi - \alpha` burchaklari `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` va `\frac (\pi) shaklida ifodalanishi mumkin. ) 2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` mos ravishda.

Va `\frac (3\pi)2 + \alpha` va `\frac (3\pi)2 - \alpha` sifatida `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` va `\pi +(\frac (\pi)2-\alfa)`.

Trigonometrik funktsiyalarni kamaytirish uchun formulalarni qanday eslash kerak? Agar assotsiatsiyadan foydalansangiz, bu oson, bu assotsiatsiyani men o'ylab topmaganman. Yuqorida aytib o'tilganidek, yaxshi aloqa "yopishishi", ya'ni yorqin his-tuyg'ularni uyg'otishi kerak. Men bu assotsiatsiyadan kelib chiqqan his-tuyg'ularni ijobiy deb atay olmayman. Ammo bu natija beradi - bu kamaytirish formulalarini eslab qolish imkonini beradi, ya'ni u mavjud bo'lish huquqiga ega. Axir, agar sizga yoqmasa, undan foydalanish shart emas, to'g'rimi?

Kamaytirish formulalari: sin(pn/2±a), cos(pn/2±a), tg(pn/2±a), ctg(pn/2±a). Esda tutamizki, +a soat miliga teskari harakatni, - a - soat yo'nalishi bo'yicha harakatni beradi.

Kamaytirish formulalari bilan ishlash uchun ikkita nuqta kerak:

1) boshlang‘ich funktsiyaga ega bo‘lgan belgini qo‘yamiz (darsliklarda ular yozadilar: qisqartiriladi. Lekin, chalkashmaslik uchun uni boshlang‘ich deb atash ma’qul), agar a ni birinchi chorakning burchagi deb hisoblasak, bu kichik, kichik.

2) Gorizontal diametr - p ± a, 2p ± a, 3p ± a ... - umuman, kasr bo'lmaganda, funktsiyaning nomi o'zgarmaydi. Vertikal p / 2 ± a, 3p / 2 ± a, 5p / 2 ± a ... - kasr mavjud bo'lganda, funktsiyaning nomi o'zgaradi: sinus - kosinusga, kosinus - sinusga, tangens - kotangentga va kotangent - tangensga.

Endi, aslida, uyushma:

vertikal diametr (bir qismi bor) -

mast turadi. Unga erta nima bo'ladi

yoki kechmi? To'g'ri, u tushadi.

Funktsiya nomi o'zgaradi.

Diametri gorizontal bo'lsa, mast allaqachon yolg'on gapiradi. Uxlab qolgan, ehtimol. Unga hech narsa bo'lmaydi, u allaqachon gorizontal pozitsiyani egallagan. Shunga ko'ra, funktsiyaning nomi o'zgarmaydi.

Ya’ni sin(p/2±a), sin(3p/2±a), sin(5p/2±a) va hokazo. ±kosa bering,

va gunoh(p±a), sin(2p±a), gunoh(3p±a), … - ±sina.

Biz allaqachon bilganimizdek.

U qanday ishlaydi? Keling, misollarni ko'rib chiqaylik.

1) cos(p/2+a)=?

Biz p/2 da bo'lamiz. +a biz oldinga, soat miliga teskari yo'nalishda borishni bildiradi. Biz II chorakka tushamiz, u erda kosinus "-" belgisiga ega. Funktsiyaning nomi o'zgaradi ("mast turibdi", ya'ni u tushadi). Shunday qilib,

cos(p/2+a)=-sina.

Biz 2p bo'lamiz. Chunki -a - biz orqaga qaytamiz, ya'ni soat yo'nalishi bo'yicha. Biz IV chorakka tushamiz, u erda tangens "-" belgisiga ega. Funktsiyaning nomi o'zgarmaydi (diametri gorizontal, "mast allaqachon yotadi"). Shunday qilib, tg(2p-a)=- tga.

3) ctg²(3p/2-a)=?

Funktsiya teng kuchga ko'tarilgan misollarni echish osonroq. "-" teng darajani olib tashlaydi, ya'ni funktsiya nomi o'zgaradimi yoki qoladimi, bilib olishingiz kerak. Diametri vertikal (bir qism bor, "mast turibdi", tushadi), funktsiya nomi o'zgaradi. Biz olamiz: ctg²(3p/2-a)= tg²a.

Ta'rif. Qisqartirish formulalari shaklning trigonometrik funktsiyalaridan argument funktsiyalariga o'tish imkonini beruvchi formulalar deb ataladi. Ularning yordami bilan ixtiyoriy burchakning sinusi, kosinusi, tangensi va kotangensini 0 dan 90 gradusgacha (0 dan radiangacha) burchakning sinus, kosinus, tangens va kotangenslariga kamaytirish mumkin. Shunday qilib, qisqartirish formulalari bizga 90 daraja ichida burchaklar bilan ishlashga o'tishga imkon beradi, bu shubhasiz juda qulaydir.

Shakllangan formulalar:


Quyma formulalardan foydalanishning ikkita qoidasi mavjud.

1. Agar burchakni (p/2 ±a) yoki (3*p/2 ±a) shaklida ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda funktsiya nomi o'zgaradi sin cosga, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Agar burchakni (p ±a) yoki (2*p ±a) shaklida ifodalash mumkin bo'lsa, u holda funktsiya nomi o'zgarishsiz qoladi.

Quyidagi rasmga qarang, u sxematik tarzda belgini qachon o'zgartirish kerakligini va qachon o'zgartirilmasligini ko'rsatadi.

2. Qisqartirilgan funksiya belgisi bir xil bo'lib qoladi. Agar asl funktsiya ortiqcha belgisiga ega bo'lsa, qisqartirilgan funksiya ham ortiqcha belgisiga ega. Agar asl funktsiya minus belgisiga ega bo'lsa, qisqartirilgan funksiya ham minus belgisiga ega.

Quyidagi rasmda chorakga qarab asosiy trigonometrik funktsiyalarning belgilari ko'rsatilgan.

Misol:

Hisoblash

Keling, kamaytirish formulalaridan foydalanamiz:

Sin(150˚) ikkinchi chorakda, bu chorakdagi gunoh belgisi "+" ga teng ekanligini rasmdan ko'rishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, yuqoridagi funktsiya ham "+" belgisiga ega bo'ladi. Biz ikkinchi qoidani qo'lladik.

Endi 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ p/2. Ya'ni, biz p / 2 + 60 ishi bilan shug'ullanamiz, shuning uchun birinchi qoidaga ko'ra, biz funktsiyani sindan cosga o'zgartiramiz. Natijada biz Sin(150˚) = cos(60˚) = ½ ni olamiz.

Ular matematikaning "trigonometriya" bo'limiga tegishli. Ularning mohiyati burchaklarning trigonometrik funktsiyalarini yanada "oddiy" shaklga keltirishdir. Ularning bilimlarining ahamiyati haqida ko'p yozish mumkin. Bu formulalardan 32 tasi bor!

Xavotir olmang, matematika kursidagi boshqa ko'plab formulalar kabi ularni o'rganishingiz shart emas. Boshingizni keraksiz ma'lumotlar bilan to'ldirishingiz shart emas, siz "kalitlar" yoki qonunlarni yodlashingiz kerak va kerakli formulani eslab qolish yoki olish muammo bo'lmaydi. Aytgancha, men maqolalarda yozganimda "... o'rganishingiz kerak !!!" - bu haqiqatan ham uni o'rganish kerakligini anglatadi.

Agar siz qisqartirish formulalari bilan tanish bo'lmasangiz, unda ularni olishning soddaligi sizni hayratda qoldiradi - buni qilish oson bo'lgan "qonun" mavjud. Va siz 5 soniyada 32 ta formuladan istalgan birini yozasiz.

Men matematika bo'yicha imtihonda bo'ladigan ba'zi vazifalarni sanab o'taman, bu erda ushbu formulalarni bilmasangiz, hal qilishda muvaffaqiyatsiz bo'lish ehtimoli yuqori. Masalan:

- to'g'ri burchakli uchburchakni yechish masalalari, bu erda biz tashqi burchak haqida gapiramiz va ichki burchaklar uchun masalalar, bu formulalarning ba'zilari ham kerak.

- trigonometrik ifodalarning qiymatlarini hisoblash uchun topshiriqlar; sonli trigonometrik ifodalarni o'zgartirishlar; literal trigonometrik ifodalarni o'zgartirish.

- tangens va tangensning geometrik ma'nosi bo'yicha topshiriqlar, tangensni kamaytirish formulasi, shuningdek, boshqa vazifalar.

- stereometrik masalalar, echish jarayonida ko'pincha 90 dan 180 gradusgacha bo'lgan burchakning sinusi yoki kosinusini aniqlash kerak bo'ladi.

Va bu faqat imtihon bilan bog'liq bo'lgan fikrlar. Va algebra kursining o'zida ko'plab muammolar mavjud bo'lib, ularni hal qilishda kamaytirish formulalarini bilmasdan turib, amalga oshirish mumkin emas.

Xo'sh, bu nimaga olib keladi va belgilangan formulalar biz uchun muammolarni hal qilishni qanday soddalashtiradi?

Masalan, 0 dan 450 gradusgacha bo'lgan har qanday burchakning sinusini, kosinusini, tangensini yoki kotangensini aniqlashingiz kerak:

alfa burchagi 0 dan 90 darajagacha

* * *

Shunday qilib, bu erda ishlaydigan "qonun" ni tushunish kerak:

1. Funksiyaning tegishli chorakdagi belgisini aniqlang.

Ularga eslatib o'taman:

2. Quyidagilarni yodda tuting:

funktsiya kofunktsiyaga o'zgaradi

funktsiya kofunktsiyaga o'zgarmaydi

Tushuncha nimani anglatadi - funktsiya kofunktsiyaga o'tadi?

Javob: sinus kosinusga yoki aksincha, kotangentga teginish yoki aksincha.

Ana xolos!

Endi, taqdim etilgan qonunga muvofiq, biz bir nechta qisqartirish formulalarini mustaqil ravishda yozamiz:

Bu burchak uchinchi chorakda yotadi, uchinchi chorakdagi kosinus manfiy. Biz kofunktsiya uchun funktsiyani o'zgartirmaymiz, chunki bizda 180 daraja bor, ya'ni:

Burchak birinchi chorakda yotadi, birinchi chorakdagi sinus musbat. Biz funktsiyani kofunktsiyaga o'zgartirmaymiz, chunki bizda 360 daraja bor, ya'ni:

Qo'shni burchaklarning sinuslari teng ekanligini yana bir qo'shimcha tasdiq:

Burchak ikkinchi chorakda yotadi, ikkinchi chorakdagi sinus musbat. Biz funktsiyani kofunktsiyaga o'zgartirmaymiz, chunki bizda 180 daraja bor, ya'ni:

Har bir formulani aqliy yoki yozma ravishda ishlab chiqing va siz hech qanday murakkab narsa yo'qligini ko'rasiz.

***

Yechim haqidagi maqolada shunday fakt qayd etilgan - to'g'ri burchakli uchburchakdagi bitta o'tkir burchakning sinusi undagi boshqa o'tkir burchakning kosinusiga teng.