Ko'rsatkichning hosilasi (e ning x darajasiga) va formulalarni isbotlash va hosil qilish. eksponensial funktsiya(a dan x kuchiga). e^2x, e^3x va e^nx hosilalarini hisoblash misollari. Yuqori tartibli hosilalar uchun formulalar.

Tarkib

Shuningdek qarang: Ko'rsatkichli funktsiya - xossalar, formulalar, grafik
Ko'rsatkich, e x ning kuchiga - xossalar, formulalar, grafik

Asosiy formulalar

Ko'rsatkichning hosilasi ko'rsatkichning o'ziga teng (e ning x darajasiga hosilasi e ning x darajasiga teng):
(1) (e x )′ = e x.

A darajali asosli ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi funktsiyaning o'ziga teng bo'lib, a ning natural logarifmiga ko'paytiriladi:
(2) .

Ko'rsatkich bu ko'rsatkichli funktsiya bo'lib, uning ko'rsatkich asosi e soniga teng bo'lib, u quyidagi chegaradir:
.
Bu erda u natural yoki haqiqiy son bo'lishi mumkin. Keyinchalik, ko'rsatkichning hosilasi uchun (1) formulani olamiz.

Ko‘rsatkich hosilasi formulasini hosil qilish

Ko'rsatkichni e ning x ning kuchiga qarab ko'rib chiqing:
y = e x.
Bu funksiya hamma uchun belgilangan. Uning x ga nisbatan hosilasi topilsin. Ta'rifga ko'ra, lotin quyidagi chegara hisoblanadi:
(3) .

Keling, ushbu ifodani ma'lum matematik xususiyatlar va qoidalarga qisqartirish uchun aylantiramiz. Buning uchun bizga quyidagi faktlar kerak:
A) Ko'rsatkich xususiyati:
(4) ;
B) Logarifm xossasi:
(5) ;
IN) Logarifmning uzluksizligi va uzluksiz funksiya uchun limitlar xossasi:
(6) .
Mana, chegarasi bor va bu chegara ijobiy bo'lgan ba'zi funksiyalar.
G) Ikkinchi ajoyib chegaraning ma'nosi:
(7) .

Biz bu faktlarni o'z chegaramizga qo'llaymiz (3). Biz mulkdan foydalanamiz (4):
;
.

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz. Keyin; .
Ko'rsatkichning uzluksizligi tufayli,
.
Shuning uchun, , da. Natijada biz quyidagilarni olamiz:
.

Keling, almashtirishni amalga oshiramiz. Keyin. Da , . Va bizda:
.

Biz logarifmning (5) xossasini qo'llaymiz:
. Keyin
.

Keling, mulkni qo'llaymiz (6). Ijobiy chegara mavjud va logarifm uzluksiz bo'lgani uchun, u holda:
.
Bu erda biz ikkinchi ajoyib chegaradan ham foydalandik (7). Keyin
.

Shunday qilib, ko'rsatkichning hosilasi uchun formula (1) ni oldik.

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi formulasini hosil qilish

Endi asosi a darajali ko‘rsatkichli funksiya hosilasi uchun (2) formulani olamiz. Biz bunga ishonamiz va. Keyin eksponensial funktsiya
(8)
Hamma uchun belgilangan.

(8) formulani o'zgartiramiz. Buning uchun ko'rsatkich funksiyasi va logarifmning xossalaridan foydalanamiz.
;
.
Shunday qilib, (8) formulani quyidagi shaklga o'tkazdik:
.

e ning x darajasiga yuqori tartibli hosilalari

Endi yuqori tartibli hosilalarni topamiz. Avval ko‘rsatkichni ko‘rib chiqamiz:
(14) .
(1) .

(14) funktsiyaning hosilasi (14) funksiyaning o'ziga teng ekanligini ko'ramiz. Farqlash (1), biz ikkinchi va uchinchi tartib hosilalarni olamiz:
;
.

Bu shuni ko'rsatadiki, n-tartibli hosila ham asl funktsiyaga teng:
.

Ko'rsatkichli funktsiyaning yuqori tartibli hosilalari

Endi a darajali asosli eksponensial funktsiyani ko'rib chiqing:
.
Biz uning birinchi tartibli hosilasini topdik:
(15) .

Farqlash (15), biz ikkinchi va uchinchi tartib hosilalarni olamiz:
;
.

Har bir differensiallanish asl funktsiyani ga ko'paytirishga olib kelishini ko'ramiz. Demak, n-chi hosila quyidagi shaklga ega:
.

Shuningdek qarang:

Ushbu video bilan men lotinlar bo'yicha uzoq darslarni boshlayman. Ushbu dars bir necha qismdan iborat.

Avvalo, men sizga umuman hosilalarning nima ekanligini va ularni qanday hisoblashni aytaman, lekin murakkab akademik tilda emas, balki uni o'zim tushunganim va talabalarimga qanday tushuntirayotganimni aytaman. Ikkinchidan, biz masalalarni yechishning eng oddiy qoidasini ko'rib chiqamiz, unda biz yig'indilarning hosilalarini, ayirma hosilalarini va daraja funktsiyasining hosilalarini qidiramiz.

Biz murakkabroq birlashtirilgan misollarni ko'rib chiqamiz, ulardan siz, xususan, ildizlar va hatto kasrlar bilan bog'liq o'xshash masalalarni daraja funktsiyasi hosilasi formulasi yordamida hal qilish mumkinligini bilib olasiz. Bundan tashqari, albatta, ko'plab vazifalar va turli darajadagi murakkablikdagi echimlar misollari bo'ladi.

Umuman olganda, dastlab men 5 daqiqalik qisqa video suratga olmoqchi edim, lekin nima bo'lganini o'zingiz ko'rasiz. Qo‘shiq so‘zlari yetarli – keling, ishga kirishaylik.

hosila nima?

Demak, uzoqdan boshlaylik. Ko'p yillar oldin, daraxtlar yashil bo'lib, hayot yanada qiziqarli bo'lganida, matematiklar bu haqda o'ylashgan: uning grafigi orqali berilgan oddiy funktsiyani ko'rib chiqaylik, uni $y=f\left(x \right)$ deb ataymiz. Albatta, grafik o'z-o'zidan mavjud emas, shuning uchun siz $x$ o'qini, shuningdek $y$ o'qini chizishingiz kerak. Endi esa ushbu grafikdagi istalgan nuqtani, mutlaqo istalgan nuqtasini tanlaylik. Keling, abtsissani $((x)_(1))$ deb ataymiz, ordinata, siz taxmin qilganingizdek, $f\left(((x)_(1)) \right)$ bo'ladi.

Xuddi shu grafikdagi boshqa nuqtani ko'rib chiqing. Qaysi biri muhim emas, asosiysi u asl nusxadan farq qiladi. U yana abscissaga ega, keling, uni $((x)_(2))$ deb ataymiz, shuningdek, ordinata - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Shunday qilib, biz ikkita ochko oldik: ular turli xil abstsissalarga ega va shuning uchun turli ma'nolar funktsiyalari, garchi ikkinchisi ixtiyoriy. Lekin, eng muhimi, planimetriya kursidan bilamizki, ikkita nuqtadan va bundan tashqari, faqat bittadan to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Mana, uni ishga tushiramiz.

Endi esa ularning birinchisi orqali x o'qiga parallel to'g'ri chiziq o'tkazamiz. Oling to'g'ri uchburchak. Keling, uni $ABC$, toʻgʻri burchakli $C$ deb ataymiz. Bu uchburchakning bitta juda qiziq xususiyati bor: haqiqat shundaki, $\alpha $ burchagi, aslida, $AB$ toʻgʻri chiziq abtsissa oʻqining davomi bilan kesishgan burchakka teng. O'zingiz uchun hukm qiling:

1. $AC$ chizig'i konstruktsiyasi bo'yicha $Ox$ o'qiga parallel,
2. $AB$ chizigʻi $AC$ bilan $\alpha $ ostida kesishadi,
3. shuning uchun $AB$ $Ox$ ni bir xil $\alpha $ ostida kesib o'tadi.

$\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ haqida nima deyishimiz mumkin? Hech qanday aniq narsa yo'q, faqat $ABC$ uchburchakda $BC$ oyog'ining $AC$ oyog'iga nisbati aynan shu burchakning tangensiga teng. Shunday qilib, yozamiz:

Albatta, bu holda $AC$ oson ko'rib chiqiladi:

Xuddi shunday $BC$ uchun:

Boshqacha qilib aytganda, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \o'ng))((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Endi bularning barchasini yo‘lga qo‘yganimizdan so‘ng, keling, grafikimizga qaytaylik va yangi $B$ nuqtasini ko‘rib chiqaylik. Eski qiymatlarni o'chiring va $B$ ni $((x)_(1))$ ga yaqinroq joyga olib boring. Yana uning abtsissasini $((x)_(2))$, ordinatasini esa $f\left(((x)_(2)) \right)$ deb belgilaymiz.

Yana $ABC$ va uning ichidagi $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ uchburchagini ko'rib chiqing. Bu mutlaqo boshqa burchak bo'lishi aniq, tangens ham boshqacha bo'ladi, chunki $AC$ va $BC$ segmentlarining uzunligi sezilarli darajada o'zgargan va burchak tangensi formulasi umuman o'zgarmagan. - bu hali ham funktsiyani o'zgartirish va argumentni o'zgartirish o'rtasidagi nisbat .

Nihoyat, biz $B$ ni boshlang‘ich $A$ nuqtasiga yaqinlashishda davom etamiz, natijada uchburchak yanada qisqaradi va $AB$ segmentini o‘z ichiga olgan chiziq borgan sari ko‘proq tegga o‘xshab qoladi. funksiya grafigi.

Natijada, agar biz nuqtalarga yaqinlashishni davom ettirsak, ya'ni masofani nolga kamaytirsak, u holda $AB$ to'g'ri chiziq haqiqatan ham shu nuqtada grafikga teguvchiga aylanadi va $\text( )\!\! \alpha\!\ !\text( )$ oddiy uchburchak elementidan $Ox$ oʻqining musbat yoʻnalishi bilan grafik tangensi orasidagi burchakka oʻzgaradi.

Va bu erda biz muammosiz $f$ ta'rifiga o'tamiz, ya'ni $((x)_(1))$ nuqtadagi funktsiyaning hosilasi $\alfa $ burchakning tangensi orasidagi tangensdir. $((x)_( 1))$ nuqtadagi grafik va $Ox$ oʻqining musbat yoʻnalishi:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \o'ng)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Grafikimizga qaytsak, shuni ta'kidlash kerakki, $((x)_(1))$ sifatida siz grafikdagi istalgan nuqtani tanlashingiz mumkin. Misol uchun, xuddi shu muvaffaqiyat bilan biz rasmda ko'rsatilgan nuqtada zarbani olib tashlashimiz mumkin.

O'qning tangensi va musbat yo'nalishi orasidagi burchakni $\beta $ deb ataylik. Shunga ko'ra, $((x)_(2))$ dagi $f$ ushbu burchakning $\beta $ tangensiga teng bo'ladi.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \o'ng)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Grafikning har bir nuqtasi o'z tangensiga va shuning uchun funktsiyaning o'z qiymatiga ega bo'ladi. Ushbu holatlarning har birida biz ayirma yoki yig'indining hosilasini yoki daraja funktsiyasining hosilasini qidirayotgan nuqtadan tashqari, undan bir oz masofada joylashgan yana bir nuqtani olish kerak va keyin bu nuqtani asl nuqtaga yo'naltiring va, albatta, bu jarayonda bunday harakat moyillik burchagi tangensini qanday o'zgartirishini bilib oling.

Quvvat funksiyasi hosilasi

Afsuski, bu ta'rif bizga umuman to'g'ri kelmaydi. Bu barcha formulalar, rasmlar, burchaklar bizga haqiqiy masalalarda haqiqiy hosilani qanday hisoblash haqida zarracha fikr ham bermaydi. Shuning uchun, keling, rasmiy ta'rifdan biroz chetga chiqamiz va siz allaqachon haqiqiy muammolarni hal qilishingiz mumkin bo'lgan samaraliroq formulalar va usullarni ko'rib chiqamiz.

Keling, eng oddiy konstruksiyalardan boshlaylik, ya'ni $y=((x)^(n))$ ko'rinishdagi funksiyalar, ya'ni. quvvat funktsiyalari. Bu holda biz quyidagilarni yozishimiz mumkin: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Boshqacha qilib aytganda, ko'rsatkichda bo'lgan daraja oldingi ko'paytirgichda ko'rsatiladi. , va ko'rsatkichning o'zi birlik bilan qisqartiriladi, masalan:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(tuzalash) \]

Va yana bir variant:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x) )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \o'ng))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Ushbu oddiy qoidalardan foydalanib, keling, quyidagi misollarni chetlab o'tishga harakat qilaylik:

Shunday qilib, biz olamiz:

\[((\left(((x)^(6)) \o'ng))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Endi ikkinchi ifodani yechamiz:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \o'ng))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Albatta, bular juda ko'p edi oddiy vazifalar. Biroq, haqiqiy muammolar murakkabroq va ular funktsiyaning vakolatlari bilan cheklanmaydi.

Shunday qilib, 1-qoida - agar funktsiya qolgan ikkitasi sifatida ifodalangan bo'lsa, unda bu yig'indining hosilasi hosilalar yig'indisiga teng bo'ladi:

\[((\left(f+g \o'ng))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Xuddi shunday, ikki funktsiya ayirmasining hosilasi hosilalarning ayirmasiga teng:

\[((\left(f-g \o'ng))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \o'ng))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \o'ng))^(\ asosiy ))+((\left(x \o'ng))^(\prime ))=2x+1\]

Bundan tashqari, yana bittasi bor muhim qoida: agar ba'zi $f$ oldidan ushbu funktsiya ko'paytiriladigan doimiy $c$ bo'lsa, u holda bu butun konstruktsiyaning $f$ qiymati quyidagicha hisoblanadi:

\[((\left(c\cdot f \o'ng))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \o'ng))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \o'ng))^(\ asosiy ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Va nihoyat, yana bir muhim qoida: muammolar ko'pincha $x$ ni o'z ichiga olmaydigan alohida atamani o'z ichiga oladi. Masalan, bugungi iboralarimizda buni kuzatishimiz mumkin. Doimiy, ya'ni $x$ ga hech qanday bog'liq bo'lmagan sonning hosilasi har doim nolga teng va $c$ doimiysi nimaga teng bo'lishining umuman ahamiyati yo'q:

\[((\left(c \o'ng))^(\prime ))=0\]

Yechimga misol:

\[((\left(1001 \o'ng))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \o'ng))^(\prime ))=0\]

Yana bir bor asosiy fikrlar:

1. Ikki funktsiya yig'indisining hosilasi har doim hosilalari yig'indisiga teng bo'ladi: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Shunga o'xshash sabablarga ko'ra, ikki funktsiya ayirmasi hosilasi ikki hosila ayirmasiga teng bo'ladi: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Agar funktsiya omil konstantasiga ega bo'lsa, u holda bu doimiyni hosila belgisidan olib tashlash mumkin: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)" $;
4. Agar butun funktsiya doimiy bo'lsa, uning hosilasi har doim nolga teng: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Keling, bularning barchasi haqiqiy misollar bilan qanday ishlashini ko'rib chiqaylik. Shunday qilib:

Biz yozamiz:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \o'ng))^(\prime ))=((\chap) (((x)^(5)) \o'ng))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \o'ng))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \o'ng))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

Bu misolda biz yig‘indining hosilasini ham, farqning hosilasini ham ko‘ramiz. Demak, hosila $5((x)^(4))-6x$.

Keling, ikkinchi funktsiyaga o'tamiz:

Yechimni yozing:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3(x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(tuzalash)\]

Mana biz javobni topdik.

Uchinchi funktsiyaga o'tamiz - bu allaqachon jiddiyroq:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \o'ng)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \o'ng))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \o'ng ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(() (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Biz javob topdik.

Keling, oxirgi ifodaga o'tamiz - eng murakkab va eng uzun:

Shunday qilib, biz ko'rib chiqamiz:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \o'ng))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \o'ng))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \o'ng))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Ammo yechim shu bilan tugamaydi, chunki bizdan nafaqat zarbani olib tashlash, balki uning qiymatini ma'lum bir nuqtada hisoblash so'raladi, shuning uchun biz ifodada $ x $ o'rniga -1 ni almashtiramiz:

\[(y)"\left(-1 \o'ng)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Biz oldinga boramiz va yanada murakkab va qiziqarli misollarga o'tamiz. Gap shundaki, $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) quvvat hosilasini yechish formulasi. )$ odatda ishonilganidan ham kengroq qamrovga ega. Uning yordami bilan siz kasrlar, ildizlar va boshqalar bilan misollarni yechishingiz mumkin. Endi biz buni qilamiz.

Boshlash uchun, quvvat funksiyasining hosilasini topishga yordam beradigan formulani yana bir bor yozamiz:

Va endi e'tibor: biz hozirgacha faqat natural sonlarni $n$ deb hisobladik, lekin kasr va hattoki ko'rib chiqishga hech narsa xalaqit bermaydi. manfiy raqamlar. Masalan, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\ asosiy ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \o'ng))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end (tekislash)\]

Hech qanday murakkab narsa yo'q, shuning uchun keling, ushbu formula ko'proq hal qilishda bizga qanday yordam berishini ko'rib chiqaylik qiyin vazifalar. Shunday qilib, bir misol:

Yechimni yozing:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\prime )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \o'ng))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \o'ng))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(tuzala)\]

Keling, misolimizga qaytaylik va yozamiz:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4) \sqrt(((x)^(3))))\]

Bu shunday qiyin qaror.

Keling, ikkinchi misolga o'tamiz - faqat ikkita atama mavjud, ammo ularning har biri klassik darajani ham, ildizlarni ham o'z ichiga oladi.

Endi biz quvvat funktsiyasining hosilasini qanday topishni o'rganamiz, unda qo'shimcha ravishda ildiz mavjud:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \o'ng))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \o'ng))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \o'ng))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3) ))) \o'ng))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))=((\left(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \o‘ng))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \o'ng))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Ikkala shart ham hisoblab chiqilgan, yakuniy javobni yozish qoladi:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Biz javob topdik.

Kasrning daraja funksiyasi bo‘yicha hosilasi

Lekin daraja funksiyasining hosilasini yechish formulasining imkoniyatlari shu bilan tugamaydi. Gap shundaki, uning yordami bilan siz nafaqat ildizlar bilan, balki kasrlar bilan ham misollarni hisoblashingiz mumkin. Bu shunchaki noyob imkoniyat bo'lib, bunday misollarning echimini sezilarli darajada soddalashtiradi, lekin ko'pincha nafaqat talabalar, balki o'qituvchilar tomonidan ham e'tiborga olinmaydi.

Shunday qilib, endi biz bir vaqtning o'zida ikkita formulani birlashtirishga harakat qilamiz. Bir tomondan, quvvat funktsiyasining klassik hosilasi

\[((\left(((x)^(n)) \o'ng))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Boshqa tomondan, biz bilamizki, $\frac(1)(((x)^(n)))$ shaklidagi ifoda $((x)^(-n))$ shaklida ifodalanishi mumkin. Demak,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \o'ng)"=((\left(((x)^(-n)) \o'ng))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \o'ng))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \o'ng)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)((x)^(2)))\]

Shunday qilib, ayirboshi doimiy, maxraji daraja bo‘lgan oddiy kasrlarning hosilalari ham klassik formula yordamida hisoblanadi. Keling, amalda qanday ishlashini ko'rib chiqaylik.

Shunday qilib, birinchi funktsiya:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \o'ng))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ o'ng))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)((x)^(3)))\]

Birinchi misol hal qilindi, ikkinchisiga o'tamiz:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \o'ng))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \o'ng))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \o'ng))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \o'ng))^(\prime ))-((\left() 3((x)^(4)) \o‘ng))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \o‘ng))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \o'ng))^(\prime ))=\frac(7) )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \o'ng))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \o'ng) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3(x)^ (3))) \o'ng))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)((x)^(3))) \o'ng) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left() \frac(5)(2)((x)^(2)) \o'ng))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \o'ng))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\) left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ tugatish(tekislash)\]...

Endi biz ushbu atamalarning barchasini bitta formulada to'playmiz:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Javob oldik.

Biroq, davom etishdan oldin, e'tiboringizni asl iboralarning o'zini yozish shakliga qaratmoqchiman: birinchi ifodada biz $f\left(x \right)=...$, ikkinchisida: $y deb yozdik. =...$ Ko'p o'quvchilar yozuvning turli shakllarini ko'rganlarida yo'qoladi. $f\left(x \right)$ va $y$ o'rtasidagi farq nima? Aslida, hech narsa. Ular bir xil ma'noga ega turli xil yozuvlardir. Shunchaki, $f\left(x\right)$ deganda, birinchi navbatda, funktsiya haqida, $y$ haqida gap ketganda esa, ko‘pincha funksiya grafigini nazarda tutamiz. Aks holda, u bir xil, ya'ni hosila ikkala holatda ham bir xil deb hisoblanadi.

Losmalar bilan bog'liq murakkab muammolar

Xulosa qilib aytganda, men bugun biz ko'rib chiqqan hamma narsani birdaniga ishlatadigan bir nechta murakkab birlashtirilgan muammolarni ko'rib chiqmoqchiman. Ularda biz ildizlar, kasrlar va summalarni kutmoqdamiz. Biroq, bu misollar faqat bugungi video darslik doirasida murakkab bo'ladi, chunki oldinda sizni chinakam murakkab lotin funktsiyalari kutmoqda.

Shunday qilib, bugungi video darsning yakuniy qismi, ikkita birlashtirilgan topshiriqdan iborat. Birinchisidan boshlaylik:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \o'ng))^ (\ prime ))=((\left(((x)^(3)) \o'ng))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \o'ng))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \o'ng) \\& ((\left(((x)^(3)) \o'ng))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \o'ng))^(\prime ))=((\ chap(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Funktsiyaning hosilasi:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt((x)^ (2))))\]

Birinchi misol hal qilinadi. Ikkinchi muammoni ko'rib chiqing:

Ikkinchi misolda biz shunga o'xshash harakat qilamiz:

\[(((\left(-\frac(2)((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt((x)^(3)) )) \o'ng))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)((x)^(4))) \o'ng))^(\prime ))+((\chap) (\sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \o'ng))^ (\prime))\]

Keling, har bir atamani alohida hisoblaymiz:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)((x)^(4))) \o'ng))^(\prime ))=-2\cdot ((\left() ((x)^(-4)) \o'ng))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \o'ng)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8) )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac) 1)(4))) \o'ng))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1) )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ chap(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \o'ng))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \o'ng))^(\prime ))=((\left(\frac(4)((x)^(1\frac(3) )(4)))) \o'ng))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \o'ng))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \o'ng)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \o'ng)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(tuzalash)\]

Barcha shartlar hisobga olinadi. Endi biz asl formulaga qaytamiz va uchta shartni qo'shamiz. Biz yakuniy javobni olamiz:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7) )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Va bu hammasi. Bu bizning birinchi darsimiz edi. Keyingi darslarda biz ko'proq narsani ko'rib chiqamiz murakkab tuzilmalar, shuningdek, hosilalarning umuman nima uchun kerakligini bilib oling.

Buni eslab qolish juda oson.

Xo'sh, biz uzoqqa bormaymiz, darhol teskari funktsiyani ko'rib chiqamiz. Ko'rsatkichli funktsiyaning teskarisi nima? Logarifm:

Bizning holatlarimizda, asosiy raqam:

Bunday logarifm (ya'ni, asosli logarifm) "tabiiy" deb ataladi va biz buning uchun maxsus belgidan foydalanamiz: o'rniga yozamiz.

Nimaga teng? Albatta, .

ning hosilasi tabiiy logarifm Bundan tashqari, juda oddiy:

Misollar:

1. Funktsiyaning hosilasini toping.
2. Funktsiyaning hosilasi nima?

Javoblar: Ko'rsatkich va natural logarifm hosila jihatidan juda oddiy bo'lgan funksiyalardir. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar boshqa bazis bilan boshqa hosilaga ega bo‘ladi, biz ularni keyinroq, differentsiallash qoidalaridan o‘tganimizdan keyin tahlil qilamiz.

Farqlash qoidalari

Qanday qoidalar? Yana yangi atama, yana?!...

Differentsiatsiya hosilani topish jarayonidir.

Faqat va hamma narsa. Bu jarayon uchun boshqa so'z nima? Proizvodnovanie emas... Matematikaning differensialligi funksiyaning o'ta o'sishi deb ataladi. Bu atama lotincha differentia - farq so'zidan kelib chiqqan. Bu yerga.

Ushbu qoidalarning barchasini olishda biz ikkita funktsiyadan foydalanamiz, masalan, va. Ularning o'sishi uchun bizga formulalar ham kerak bo'ladi:

Hammasi bo'lib 5 ta qoida mavjud.

Konstanta hosila belgisidan olinadi.

Agar - qandaydir doimiy son (doimiy), keyin.

Shubhasiz, bu qoida farq uchun ham ishlaydi: .

Keling, buni isbotlaylik. Qo'ying yoki osonroq.

Misollar.

Funksiyalarning hosilalarini toping:

1. nuqtada;
2. nuqtada;
3. nuqtada;
4. nuqtada.

Yechimlar:

1. (hosil barcha nuqtalarda bir xil, chunki u chiziqli funksiya, esingizdami?);

Mahsulot hosilasi

Bu erda hamma narsa o'xshash: biz yangi funktsiyani kiritamiz va uning o'sishini topamiz:

Hosil:

Misollar:

1. Funksiyalarning hosilalarini toping va;
2. Funktsiyaning nuqtadagi hosilasini toping.

Yechimlar:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Endi sizning bilimingiz faqat ko'rsatkichni emas, balki har qanday ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasini qanday topishni o'rganish uchun etarli (siz u nima ekanligini hali unutdingizmi?).

Xo'sh, raqam qayerda.

Biz funktsiyaning hosilasini allaqachon bilamiz, shuning uchun funksiyamizni yangi bazaga keltirishga harakat qilaylik:

Buning uchun biz foydalanamiz oddiy qoida: . Keyin:

Mayli, ishladi. Endi hosilani topishga harakat qiling va bu funktsiya murakkab ekanligini unutmang.

Bo'ldimi?

Mana, o'zingizni tekshiring:

Formula ko'rsatkichning hosilasiga juda o'xshash bo'lib chiqdi: xuddi shunday bo'lib qoldi, faqat omil paydo bo'ldi, bu shunchaki raqam, lekin o'zgaruvchi emas.

Misollar:
Funksiyalarning hosilalarini toping:

Javoblar:

Bu shunchaki kalkulyatorsiz hisoblab bo'lmaydigan raqam, ya'ni uni ko'proq yozishning iloji yo'q. oddiy shakl. Shuning uchun javobda bu shaklda qoldiriladi.

E'tibor bering, bu erda ikkita funktsiyaning nisbati mavjud, shuning uchun biz tegishli farqlash qoidasini qo'llaymiz:

Ushbu misolda ikkita funktsiyaning mahsuloti:

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Mana shunga o'xshash: siz tabiiy logarifmning hosilasini allaqachon bilasiz:

Shuning uchun, logarifmadan boshqa asosga ega bo'lgan ixtiyoriyni topish uchun, masalan:

Biz bu logarifmni bazaga keltirishimiz kerak. Logarifm asosini qanday o'zgartirish mumkin? Umid qilamanki, siz ushbu formulani eslaysiz:

Faqat hozir o'rniga biz yozamiz:

Maxraj faqat doimiy bo'lib chiqdi (o'zgarmas son, o'zgaruvchisiz). Tsikl juda oddiy:

Eksponensial va logarifmik funktsiyalarning hosilalari imtihonda deyarli topilmaydi, lekin ularni bilish ortiqcha bo'lmaydi.

Murakkab funktsiyaning hosilasi.

"Murakkab funktsiya" nima? Yo'q, bu logarifm emas, yoy tangensi ham emas. Bu funktsiyalarni tushunish qiyin bo'lishi mumkin (garchi logarifm sizga qiyin bo'lib tuyulsa ham, "Logarifmlar" mavzusini o'qing va hamma narsa amalga oshadi), lekin matematika nuqtai nazaridan "murakkab" so'zi "qiyin" degani emas.

Kichik konveyerni tasavvur qiling: ikki kishi o'tirib, ba'zi narsalar bilan ba'zi harakatlar qilmoqda. Misol uchun, birinchisi shokolad barini o'ramga o'radi, ikkinchisi esa uni lenta bilan bog'laydi. Bunday kompozitsion ob'ekt chiqadi: o'ralgan va lenta bilan bog'langan shokolad bar. Shokolad barini iste'mol qilish uchun siz teskari tartibda teskari amallarni bajarishingiz kerak.

Keling, shunga o'xshash matematik quvur liniyasini yarataylik: birinchi navbatda sonning kosinusini topamiz, so'ngra hosil bo'lgan sonni kvadratga olamiz. Shunday qilib, ular bizga raqam (shokolad) berishadi, men uning kosinusini (o'ramini) topaman, keyin men olgan narsamni kvadratga aylantirasiz (tasma bilan bog'lang). Nima bo'ldi? Funktsiya. Bu misol murakkab funktsiya: qachonki, uning qiymatini topish uchun biz birinchi amalni bevosita oʻzgaruvchi bilan, soʻngra birinchi amal natijasida sodir boʻlgan boshqa ikkinchi amalni bajaramiz.

Boshqa so'z bilan, Argumenti boshqa funktsiya bo'lgan funktsiya murakkab funktsiyadir: .

Bizning misolimiz uchun, .

Biz xuddi shu harakatlarni teskari tartibda bajarishimiz mumkin: avval siz kvadratga o'tasiz, keyin esa natijada olingan sonning kosinusini qidiraman:. Natija deyarli har doim boshqacha bo'lishini taxmin qilish oson. Murakkab funktsiyalarning muhim xususiyati: harakatlar tartibi o'zgarganda, funktsiya o'zgaradi.

Ikkinchi misol: (xuddi shunday). .

Biz qiladigan oxirgi harakat chaqiriladi "tashqi" funktsiya, va birinchi bajarilgan harakat - mos ravishda "ichki" funktsiya(bu norasmiy nomlar, men ulardan faqat materialni sodda tilda tushuntirish uchun foydalanaman).

Qaysi funktsiya tashqi va qaysi ichki ekanligini o'zingiz aniqlashga harakat qiling:

Javoblar: Ichki va tashqi funktsiyalarni ajratish o'zgaruvchan o'zgaruvchilarga juda o'xshaydi: masalan, funktsiyada

1. Biz birinchi navbatda qanday chora ko'ramiz? Avval sinusni hisoblaymiz va shundan keyingina uni kubga ko'taramiz. Demak, bu tashqi emas, balki ichki funksiya.
   Va asl vazifasi ularning tarkibi: .
2. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
3. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
4. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .
5. Ichki: ; tashqi: .
   Imtihon: .

biz o'zgaruvchilarni o'zgartiramiz va funktsiyani olamiz.

Xo'sh, endi biz shokoladimizni chiqaramiz - hosilani qidiring. Jarayon har doim teskari bo'ladi: birinchi navbatda tashqi funktsiyaning hosilasini qidiramiz, keyin natijani ichki funktsiya hosilasiga ko'paytiramiz. Asl misol uchun u quyidagicha ko'rinadi:

Yana bir misol:

Shunday qilib, nihoyat rasmiy qoidani shakllantiramiz:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

Bu oddiy ko'rinadi, to'g'rimi?

Keling, misollar bilan tekshiramiz:

Yechimlar:

1) ichki: ;

Tashqi: ;

2) ichki: ;

(Faqat hozirgacha kamaytirishga urinmang! Kosinus ostidan hech narsa chiqarilmaydi, esingizdami?)

3) ichki: ;

Tashqi: ;

Bu erda uch darajali murakkab funktsiya mavjudligi darhol aniq bo'ladi: axir, bu allaqachon o'z-o'zidan murakkab funktsiya va biz hali ham undan ildizni chiqaramiz, ya'ni uchinchi harakatni bajaramiz (shokoladni o'ramga soling. va portfeldagi lenta bilan). Ammo qo'rqish uchun hech qanday sabab yo'q: baribir, biz bu funktsiyani odatdagidek bir xil tartibda "ochamiz": oxiridan.

Ya'ni, avval ildizni, keyin kosinusni va shundan keyingina qavs ichidagi ifodani farqlaymiz. Va keyin biz hammasini ko'paytiramiz.

Bunday hollarda harakatlarni raqamlash qulay. Ya'ni, biz bilgan narsalarni tasavvur qilaylik. Ushbu ifoda qiymatini hisoblash uchun qanday tartibda amallarni bajaramiz? Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik:

Harakat qanchalik kech bajarilsa, mos keladigan funktsiya shunchalik "tashqi" bo'ladi. Harakatlar ketma-ketligi - avvalgidek:

Bu erda uy qurish odatda 4 darajali. Keling, harakat yo'nalishini aniqlaylik.

1. Radikal ifoda. .

2. Ildiz. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Hammasini birlashtirib:

HOSILA. ASOSIY HAQIDA QISQA

Funktsiya hosilasi- funktsiya o'sishining argumentning cheksiz o'sishi bilan argumentning o'sishiga nisbati:

Asosiy hosilalar:

Farqlash qoidalari:

Konstanta hosila belgisidan olinadi:

summaning hosilasi:

Hosil mahsulot:

Ko'rsatkichning hosilasi:

Murakkab funktsiyaning hosilasi:

Murakkab funksiyaning hosilasini topish algoritmi:

1. Biz "ichki" funktsiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
2. Biz "tashqi" funktsiyani aniqlaymiz, uning hosilasini topamiz.
3. Birinchi va ikkinchi nuqtalarning natijalarini ko'paytiramiz.

Mavzuni o'rganishda qulaylik va ravshanlik uchun bu erda qisqacha jadval mavjud.

Doimiyy=C Quvvat funktsiyasi y = x p (x p)" = p x p - 1	Eksponensial funktsiyay = x (a x)" = a x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = e x (e x)" = e x
logarifmik funktsiya (log a x) " = 1 x ln a Xususan, qachona = ebizda ... bor y = log x (ln x)" = 1 x	Trigonometrik funktsiyalar (sin x) "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x
Teskari trigonometrik funksiyalar (a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2	Giperbolik funktsiyalar (s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Keling, ko'rsatilgan jadvalning formulalari qanday olinganligini tahlil qilaylik yoki boshqacha qilib aytganda, har bir funktsiya turi uchun hosilalar uchun formulalar hosil bo'lishini isbotlaymiz.

Konstantaning hosilasi

Isbot 1

Bu formulani chiqarish uchun funktsiyaning nuqtadagi hosilasi ta'rifini asos qilib olamiz. Biz x 0 = x dan foydalanamiz, bu erda x har qanday haqiqiy sonning qiymatini oladi yoki boshqacha qilib aytganda, x f (x) = C funktsiya sohasining istalgan soni. Funksiya ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini ∆ x → 0 shaklida yozamiz:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

E'tibor bering, 0 ∆ x ifodasi chegara belgisi ostiga tushadi. Bu "nolning nolga bo'linishi" noaniqligi emas, chunki numerator cheksiz kichik qiymatni emas, balki nolni o'z ichiga oladi. Boshqacha qilib aytganda, doimiy funktsiyaning o'sishi har doim nolga teng.

Demak, f (x) = C doimiy funktsiyaning hosilasi butun ta'rif sohasi bo'yicha nolga teng.

1-misol

Berilgan doimiy funktsiyalar:

f 1 (x) = 3 , f 2 (x) = a , a ∈ R , f 3 (x) = 4 . 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Yechim

Keling, berilgan shartlarni tavsiflaymiz. Birinchi funktsiyada 3 natural sonining hosilasini ko'ramiz. Quyidagi misolda siz ning hosilasini olishingiz kerak A, Qayerda A- har qanday haqiqiy raqam. Uchinchi misol bizga hosilani beradi irratsional son 4 . 13 7 22 , to'rtinchisi - nolning hosilasi (nol butun son). Nihoyat, beshinchi holatda bizda hosila mavjud ratsional kasr - 8 7 .

Javob: hosilalari funktsiyalarni o'rnatish har qanday real uchun nolga teng x(butun ta'rif sohasi bo'yicha)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Quvvat funksiyasi hosilasi

Biz kuch funktsiyasiga va uning hosilasi formulasiga murojaat qilamiz, u quyidagi ko'rinishga ega: (x p) " = p x p - 1, bu erda eksponent p har qanday haqiqiy sondir.

Isbot 2

Ko'rsatkich bo'lganda formulaning isbotini keltiramiz natural son: p = 1, 2, 3, …

Shunga qaramay, biz hosila ta'rifiga tayanamiz. Quvvat funksiyasi ortishining argument ortishiga nisbati chegarasini yozamiz:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Numeratordagi ifodani soddalashtirish uchun Nyutonning binomial formulasidan foydalanamiz:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 +. . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Shunday qilib:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1) x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + .. + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 x p - 1 + 0 + 0 + ... + 0 = p! 1! (p - 1)! x p - 1 = p x p - 1

Shunday qilib, ko‘rsatkich natural son bo‘lganda daraja funksiyasining hosilasi formulasini isbotladik.

Isbot 3

Qachon ish uchun dalil berish p- noldan boshqa har qanday haqiqiy son, biz logarifmik hosiladan foydalanamiz (bu erda biz hosiladan farqni tushunishimiz kerak. logarifmik funktsiya). To'liqroq tushunchaga ega bo'lish uchun logarifmik funktsiyaning hosilasini o'rganish va qo'shimcha ravishda aniq berilgan funktsiyaning hosilasi va murakkab funktsiyaning hosilasi bilan shug'ullanish maqsadga muvofiqdir.

Ikkita holatni ko'rib chiqing: qachon x ijobiy va qachon x salbiy.

Shunday qilib, x > 0. Keyin: x p > 0 . Biz y \u003d x p tengligining logarifmini e asosiga olamiz va logarifmning xususiyatini qo'llaymiz:

y = x p ln y = ln x p ln y = p ln x

Ushbu bosqichda aniq belgilangan funktsiya olindi. Keling, uning hosilasini aniqlaymiz:

(ln y) " = (p ln x) 1 y y " = p 1 x ⇒ y " = p y x = p x p x = p x p - 1

Endi biz qachon ishni ko'rib chiqamiz x- manfiy raqam.

Agar ko'rsatkich p Mavjud juft son, u holda quvvat funksiyasi x uchun ham aniqlanadi< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Keyin xp< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Agar p toq son bo'lsa, u holda quvvat funksiyasi x uchun aniqlanadi< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y "(x) \u003d (- (- x) p) " \u003d - ((- x) p) " \u003d - p (- x) p - 1 (- x) " = \u003d p (- x ) p - 1 = p x p - 1

Oxirgi o'tish mumkin, chunki agar p demak, bu toq raqam p - 1 juft son yoki nol (p = 1 uchun), shuning uchun salbiy uchun x(- x) p - 1 = x p - 1 tengligi to'g'ri.

Shunday qilib, biz har qanday real p uchun darajali funksiya hosilasi formulasini isbotladik.

2-misol

Berilgan funktsiyalar:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Ularning hosilalarini aniqlang.

Yechim

Berilgan funksiyalarning bir qismini daraja xossalariga asoslanib jadval ko‘rinishiga y = x p ga aylantiramiz va keyin formuladan foydalanamiz:

f 1 (x) \u003d 1 x 2 3 \u003d x - 2 3 ⇒ f 1 "(x) \u003d - 2 3 x - 2 3 - 1 \u003d - 2 3 x - 5 3 f 2 "(x) \u003d x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3 " ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Isbot 4

Ta'rifga asoslanib, hosila uchun formulani olamiz:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Bizda noaniqlik paydo bo'ldi. Uni kengaytirish uchun z = a ∆ x - 1 yangi o'zgaruvchini yozamiz (z → 0 ∆ x → 0 sifatida). Bu holda a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Oxirgi o'tish uchun logarifmning yangi bazasiga o'tish formulasi qo'llaniladi.

Dastlabki chegarada almashtirishni amalga oshiramiz:

(a x) " = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x ln a lim ∆ x → 0 1 1 z ln (z + 1) = = a x ln a lim ∆ x → 0 1 ln (z) + 1) 1 z = a x ln a 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Ikkinchisini eslaylik ajoyib chegara va keyin ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi uchun formulani olamiz:

(a x) " = a x ln a 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x ln a 1 ln e = a x ln a

3-misol

Eksponensial funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Biz ularning hosilalarini topishimiz kerak.

Yechim

Eksponensial funktsiyaning hosilasi va logarifmning xususiyatlari uchun formuladan foydalanamiz:

f 1 "(x) = 2 3 x" = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 "(x) = 5 3 x" = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 "(x) = 1 (e) x" = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Logarifmik funktsiyaning hosilasi

Isbot 5

Har qanday logarifmik funktsiyaning hosilasi formulasining isbotini keltiramiz x ta'rif sohasida va logarifmning a asosining har qanday haqiqiy qiymatlari. Loyning ta'rifiga asoslanib, biz quyidagilarni olamiz:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x x x = lim ∆ x → 0 1 x log a 1 + ∆ x x = = 1 x log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x log a e = 1 x ln e ln a = 1 x ln a

Belgilangan tenglik zanjiridan ko'rish mumkinki, o'zgarishlar logarifm xossasi asosida qurilgan. lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e tengligi ikkinchi ajoyib chegaraga muvofiq to'g'ri.

4-misol

Logarifmik funktsiyalar berilgan:

f 1 (x) = log log 3 x , f 2 (x) = log x

Ularning hosilalarini hisoblash kerak.

Yechim

Olingan formulani qo'llaymiz:

f 1 "(x) = (log ln 3 x)" = 1 x ln (ln 3) ; f 2 "(x) \u003d (ln x)" \u003d 1 x ln e \u003d 1 x

Shunday qilib, natural logarifmning hosilasi bir ga bo'linadi x.

Trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Isbot 6

Biz ba'zilarini ishlatamiz trigonometrik formulalar va trigonometrik funktsiyaning hosilasi formulasini olishning birinchi ajoyib chegarasi.

Sinus funktsiyasi hosilasining ta'rifiga ko'ra, biz quyidagilarni olamiz:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Sinuslar farqi formulasi bizga quyidagi amallarni bajarishga imkon beradi:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Va nihoyat, biz birinchi ajoyib chegaradan foydalanamiz:

sin "x = cos x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Shunday qilib, funktsiyaning hosilasi gunoh x bo'ladi chunki x.

Kosinus hosilasi formulasini ham xuddi shunday isbotlaymiz:

cos "x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Bular. cos x funksiyaning hosilasi bo'ladi - sin x.

Differensiallash qoidalariga asoslanib tangens va kotangens hosilalari uchun formulalarni olamiz:

t g "x = sin x cos x" = sin "x cos x - sin x cos "x cos 2 x = = cos x cos x - sin x (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g "x = cos x sin x" = cos "x sin x - cos x sin "x sin 2 x = = - sin x sin x - cos x cos x sin 2 x = - sin 2 x + cos 2 x sin 2 x = - 1 sin 2 x

Teskari trigonometrik funksiyalarning hosilalari

Hosil bo'limi teskari funktsiyalar arksinus, arkkosinus, arktangens va arkkotangens hosilalari uchun formulalarni isbotlash haqida keng qamrovli ma'lumot beradi, shuning uchun biz bu erda materialni takrorlamaymiz.

Giperbolik funksiyalarning hosilalari

Isbot 7

Giperbolik sinus, kosinus, tangens va kotangens hosilalari uchun differensiallash qoidasi va eksponensial funktsiya hosilasi formulasidan foydalanib formulalarni olishimiz mumkin:

s h "x = e x - e - x 2" = 1 2 e x "- e - x" == 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h "x = e x + e - x 2" = 1 2 e x "+ e - x" == 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h "x = s h x c h x" = s h "x c h x - s h x c h "x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h "x = c h x s h x" = c h "x s h x - c h x s h "x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

murakkab hosilalar. Logarifmik hosila.
Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz farqlash texnikamizni yaxshilashda davom etamiz. Ushbu darsda biz o'tilgan materialni birlashtiramiz, yanada murakkab hosilalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, hosila topishning yangi fokuslari va fokuslari bilan, xususan, logarifmik hosila bilan tanishamiz.

Tayyorgarlik darajasi past bo'lgan o'quvchilar maqolaga murojaat qilishlari kerak hosilani qanday topish mumkin? Yechim misollari bu sizning mahoratingizni deyarli noldan oshirishga imkon beradi. Keyinchalik, sahifani diqqat bilan o'rganishingiz kerak Murakkab funktsiyaning hosilasi, tushunish va hal qilish Hammasi men keltirgan misollar. Ushbu dars mantiqan uchinchisi bo'lib, uni o'zlashtirganingizdan so'ng, siz juda murakkab funktsiyalarni ishonchli tarzda ajratasiz. “Yana qayerda? Bu yetarli!”, chunki barcha misollar va yechimlar realdan olingan nazorat ishlari va amaliyotda tez-tez uchraydi.

Keling, takrorlashdan boshlaylik. Darsda Murakkab funktsiyaning hosilasi batafsil sharhlar bilan bir qator misollarni ko'rib chiqdik. Differensial hisoblash va matematik tahlilning boshqa bo'limlarini o'rganish jarayonida siz juda tez-tez farqlashingiz kerak bo'ladi va misollarni batafsil bo'yash har doim ham qulay emas (va har doim ham kerak emas). Shuning uchun biz hosilalarni og'zaki topishda mashq qilamiz. Buning uchun eng mos "nomzodlar" eng oddiy murakkab funktsiyalarning hosilalaridir, masalan:

Murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasiga ko'ra :

Kelajakda boshqa matan mavzularini o'rganayotganda, bunday batafsil yozuv ko'pincha talab qilinmaydi, talaba avtopilotda shunga o'xshash hosilalarni topishi mumkin deb taxmin qilinadi. Tasavvur qilaylik, ertalab soat 3 da telefon jiringladi va yoqimli ovoz so'radi: "Ikki x tangensining hosilasi nima?". Buning ortidan deyarli bir zumda va muloyim javob bo'lishi kerak: .

Birinchi misol darhol mo'ljallangan bo'ladi mustaqil qaror.

1-misol

Quyidagi hosilalarni og‘zaki, bir qadamda toping, masalan: . Vazifani bajarish uchun siz faqat foydalanishingiz kerak elementar funksiyalarning hosilalari jadvali(agar u allaqachon eslamagan bo'lsa). Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, darsni qayta o'qishni maslahat beraman Murakkab funktsiyaning hosilasi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Dars oxirida javoblar

Murakkab hosilalar

Dastlabki artilleriya tayyorgarligidan so'ng, 3-4-5 funktsiyalari biriktirilgan misollar kamroq qo'rqinchli bo'ladi. Ehtimol, quyidagi ikkita misol ba'zilar uchun murakkab bo'lib tuyulishi mumkin, ammo agar ular tushunilsa (kimdir azob cheksa), differensial hisoblashdagi deyarli hamma narsa bolaning haziliga o'xshaydi.

2-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Yuqorida aytib o'tilganidek, murakkab funktsiyaning hosilasini topishda, birinchi navbatda, kerak To'g'ri INVESTITSIYALARNI TUSHUNING. Shubhalar mavjud bo'lgan hollarda, men sizga foydali hiylani eslataman: biz, masalan, "x" eksperimental qiymatini olamiz va bu qiymatni "dahshatli ifoda" ga almashtirishga harakat qilamiz (aqliy yoki qoralama).

1) Avval biz ifodani hisoblashimiz kerak, shuning uchun yig'indisi eng chuqur joylashuvdir.

2) Keyin logarifmni hisoblashingiz kerak:

4) Keyin kosinusni kubga aylantiring:

5) Beshinchi bosqichda farq:

6) Va nihoyat, eng tashqi funktsiya Kvadrat ildiz:

Murakkab funktsiyani differentsiallash formulasi teskari tartibda, eng tashqi funktsiyadan eng ichkigacha qo'llaniladi. Biz qaror qilamiz:

Hech qanday xato bo'lmaganga o'xshaydi ...

(1) Kvadrat ildizning hosilasini olamiz.

(2) Biz qoida yordamida farqning hosilasini olamiz

(3) Uchlikning hosilasi nolga teng. Ikkinchi muddatda biz daraja (kub) hosilasini olamiz.

(4) Biz kosinusning hosilasini olamiz.

(5) Logarifmning hosilasini olamiz.

(6) Nihoyat, biz eng chuqur uyaning hosilasini olamiz.

Bu juda qiyin tuyulishi mumkin, ammo bu eng shafqatsiz misol emas. Misol uchun, Kuznetsovning to'plamini oling va tahlil qilingan lotinning barcha jozibasi va soddaligini qadrlaysiz. Men shuni payqadimki, ular imtihonda talaba murakkab funktsiyaning hosilasini qanday topishni tushunadimi yoki tushunmaydimi yoki yo'qligini tekshirish uchun shunga o'xshash narsani berishni yaxshi ko'radilar.

Quyidagi misol mustaqil yechim uchun.

3-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Maslahat: Avval biz chiziqlilik qoidalarini va mahsulotning differentsiatsiyasi qoidasini qo'llaymiz

To'liq yechim va javob dars oxirida.

Yana ixcham va chiroyliroq narsaga o'tish vaqti keldi.
Ikki emas, balki uchta funktsiyaning ko'paytmasi misolda berilgan vaziyat uchun odatiy hol emas. Uch omil mahsulotining hosilasi qanday topiladi?

4-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Birinchidan, biz qaraymiz, lekin uchta funktsiya mahsulotini ikkita funktsiya mahsulotiga aylantirish mumkinmi? Misol uchun, agar mahsulotda ikkita polinom bo'lsa, biz qavslarni ochishimiz mumkin. Ammo bu misolda barcha funktsiyalar boshqacha: daraja, ko'rsatkich va logarifm.

Bunday hollarda, bu zarur ketma-ket mahsulotni farqlash qoidasini qo'llang ikki marta

Gap shundaki, "y" uchun biz ikkita funktsiyaning mahsulotini belgilaymiz: , va "ve" uchun - logarifm:. Nima uchun buni qilish mumkin? Bu - bu ikki omilning mahsuli emas va qoida ishlamaydi?! Hech qanday murakkab narsa yo'q:

Endi qoidani ikkinchi marta qo'llash qoladi qavsga:

Siz hali ham buzg'unchilik qilishingiz va qavslardan biror narsa olishingiz mumkin, ammo bu holda javobni ushbu shaklda qoldirish yaxshiroqdir - tekshirish osonroq bo'ladi.

Yuqoridagi misolni ikkinchi usulda hal qilish mumkin:

Ikkala yechim ham mutlaqo ekvivalentdir.

5-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu mustaqil yechim uchun misol bo'lib, namunada u birinchi usulda echiladi.

Kasrlar bilan o'xshash misollarni ko'rib chiqing.

6-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz bir necha usul bilan borishingiz mumkin:

Yoki shunday:

Ammo yechimni ixchamroq yozish mumkin, agar biz birinchi navbatda qismni differentsiallash qoidasidan foydalansak. , butun hisoblagich uchun:

Asos sifatida, misol hal qilinadi va agar u bu shaklda qolsa, xato bo'lmaydi. Ammo vaqtingiz bo'lsa, har doim qoralamani tekshirish tavsiya etiladi, ammo javobni soddalashtirish mumkinmi? Numeratorning ifodasini umumiy maxrajga keltiramiz va uch qavatli fraktsiyadan xalos bo'ling:

Qo'shimcha soddalashtirishlarning kamchiliklari shundaki, lotinni topishda emas, balki maktab o'zgarishlarida xato qilish xavfi mavjud. Boshqa tomondan, o'qituvchilar ko'pincha topshiriqni rad etadilar va lotinni "yodiga keltirishni" so'rashadi.

O'z-o'zidan hal qilish uchun oddiyroq misol:

7-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz hosilani topish usullarini o'zlashtirishni davom ettirmoqdamiz va endi farqlash uchun "dahshatli" logarifm taklif qilingan odatiy holatni ko'rib chiqamiz.

8-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu erda siz murakkab funktsiyani farqlash qoidasidan foydalanib, uzoq yo'lni bosib o'tishingiz mumkin:

Ammo birinchi qadam sizni darhol tushkunlikka soladi - siz kasr darajasining yoqimsiz hosilasini, keyin esa kasrdan olishingiz kerak.

Shunung uchun oldin"Xo'sh" logarifmning hosilasini qanday olish kerak, u ilgari taniqli maktab xususiyatlaridan foydalangan holda soddalashtirilgan:

! Agar qo'lingizda mashq daftaringiz bo'lsa, ushbu formulalarni o'sha yerdan nusxa ko'chiring. Agar sizda daftar bo'lmasa, ularni qog'ozga chizing, chunki qolgan dars misollari ushbu formulalar atrofida aylanadi.

Yechimning o'zi quyidagicha shakllantirilishi mumkin:

Funktsiyani o'zgartiramiz:

Biz hosilani topamiz:

Funktsiyaning dastlabki o'zgarishi yechimni sezilarli darajada soddalashtirdi. Shunday qilib, farqlash uchun shunga o'xshash logarifm taklif qilinganda, uni har doim "buzish" tavsiya etiladi.

Va endi mustaqil yechim uchun bir nechta oddiy misollar:

9-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

10-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Barcha o'zgarishlar va javoblar dars oxirida.

logarifmik hosila

Agar logarifmlarning hosilasi shunday shirin musiqa bo'lsa, unda savol tug'iladi, ba'zi hollarda logarifmni sun'iy tartibga solish mumkinmi? Mumkin! Va hatto zarur.

11-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Shunga o'xshash misollarni biz yaqinda ko'rib chiqdik. Nima qilish kerak? Ketma-ket ko'rsatkichni farqlash qoidasini, keyin esa mahsulotning differentsiallash qoidasini qo'llash mumkin. Ushbu usulning nochorligi shundaki, siz uch qavatli ulkan fraktsiyani olasiz, bu bilan siz umuman shug'ullanishni xohlamaysiz.

Ammo nazariya va amaliyotda logarifmik hosila kabi ajoyib narsa bor. Logarifmlarni sun'iy ravishda ularni har ikki tomonga "osib" tashkil qilish mumkin:

Eslatma : chunki funksiya olishi mumkin salbiy qiymatlar, keyin, umuman olganda, modullardan foydalanishingiz kerak: , farqlash natijasida yo'qoladi. Biroq, joriy dizayn ham qabul qilinadi, bu erda sukut bo'yicha murakkab qiymatlar. Ammo agar qat'iylik bilan bo'lsa, unda ikkala holatda ham buni bron qilish kerak.

Endi siz o'ng tomonning logarifmini iloji boricha "buzishingiz" kerak (ko'z oldingizda formulalar?). Men bu jarayonni batafsil tasvirlab beraman:

Keling, farqlashdan boshlaylik.
Ikkala qismni ham zarba bilan yakunlaymiz:

O'ng tomonning hosilasi juda oddiy, men bunga izoh bermayman, chunki agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, uni ishonch bilan boshqarishingiz kerak.

Chap tomon haqida nima deyish mumkin?

Chap tomonda biz bor murakkab funktsiya. Men savolni oldindan ko'raman: "Nega, logarifm ostida bitta "y" harfi bormi?".

Gap shundaki, bu "bir harf y" - O'ZIDA FUNKSIYA(agar u juda aniq bo'lmasa, bevosita ko'rsatilgan funktsiyaning hosilasi maqolasiga qarang). Demak, logarifm tashqi funksiya, “y” esa ichki funksiyadir. Va biz birikma funksiyani farqlash qoidasidan foydalanamiz :

Chap tomonda, xuddi to'lqin bilan sehrli tayoq bizda hosila bor. Bundan tashqari, mutanosiblik qoidasiga ko'ra, biz "y" ni chap tomonning maxrajidan o'ng tomonning tepasiga tashlaymiz:

Va endi biz farqlashda qanday "o'yin" - funksiya haqida gapirganimizni eslaymiz? Keling, shartni ko'rib chiqaylik:

Yakuniy javob:

12-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Dars oxirida ushbu turdagi namunaning namunaviy dizayni.

Logarifmik hosila yordamida 4-7-sonli misollarning har qandayini hal qilish mumkin edi, boshqa narsa shundaki, u erda funktsiyalar oddiyroq va, ehtimol, logarifmik hosiladan foydalanish unchalik oqlanmagan.

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi

Biz bu funktsiyani hali ko'rib chiqmadik. Eksponensial funktsiya - bu ega bo'lgan funktsiya va daraja va asos "x" ga bog'liq. Har qanday darslikda yoki har qanday ma'ruzada sizga beriladigan klassik misol:

Ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi qanday topiladi?

Hozirgina ko'rib chiqilgan texnikadan foydalanish kerak - logarifmik lotin. Biz logarifmlarni ikkala tomonga osib qo'yamiz:

Qoida tariqasida, daraja logarifm ostidan o'ng tomonda chiqariladi:

Natijada, o'ng tomonda biz standart formula bo'yicha farqlanadigan ikkita funktsiya mahsulotiga egamiz. .

Biz hosilani topamiz, buning uchun ikkala qismni ham chiziqlar ostiga qo'yamiz:

Keyingi qadamlar oson:

Nihoyat:

Agar ba'zi o'zgarishlar to'liq aniq bo'lmasa, iltimos, 11-misoldagi tushuntirishlarni diqqat bilan qayta o'qing.

IN amaliy vazifalar eksponensial funktsiya har doim ko'rib chiqilgan ma'ruza misolidan ko'ra murakkabroq bo'ladi.

13-misol

Funktsiyaning hosilasini toping

Biz logarifmik hosiladan foydalanamiz.

O'ng tomonda bizda doimiy va ikkita omil ko'paytmasi bor - "x" va "x logarifmining logarifmi" (boshqa logarifm logarifm ostida joylashgan). Konstantani farqlashda, biz eslayotganimizdek, uni hosila belgisidan darhol olib qo'yish yaxshidir, shunda u to'sqinlik qilmaydi; va, albatta, tanish qoidani qo'llang :