GEOMETRIYA
10-sinflar uchun dars ishlanmalari
56-dars
Mavzu. Ko'pburchak orfografik proektsiya maydoni
Darsning maqsadi: ko'pburchakning ortogonal proektsiyasi sohasidagi teoremani o'rganish, talabalarda o'rganilgan teoremani masalalar echishda qo'llash ko'nikmalarini shakllantirish.
Uskunalar: stereometrik to'plam, kub modeli.
Darslar davomida
I. Uy vazifasini tekshirish
1. Ikki talaba doskada No 42, 45-sonli masalalarni echish usullarini takrorlaydilar.
2. Frontal ovoz berish.
1) kesishgan ikkita tekislik orasidagi burchakning ta'rifini bering.
2) orasidagi burchak qanday?
a) parallel tekisliklar;
b) perpendikulyar tekisliklar?
3) Ikki tekislik orasidagi burchak qay darajada o'zgarishi mumkin?
4) Parallel tekisliklarni kesib o'tgan tekislik ularni bir xil burchak bilan kesib o'tishi rostmi?
5) Perpendikulyar tekisliklarni kesib o'tgan tekislik ularni bir xil burchak ostida kesib o'tishi rostmi?
3. Talabalar doskada qayta tiklagan No 42, 45-sonli masalalar yechimining to'g'riligini tekshirish.
II. Yangi materialni anglash va anglash
Talabalarga topshiriq
1. Bir tomoni proyeksiya tekisligida joylashgan uchburchakning proyeksiya maydoni uning maydoni va ko'pburchak tekisligi va proyeksiya tekisligi orasidagi burchak kosinusining ko'paytmasiga teng ekanligini isbotlang.
2. Bir tomoni proyeksiya tekisligiga parallel bo'lgan panjara uchburchagi bo'lgan holat uchun teoremani isbotlang.
3. Yon tomonlarining hech biri proyeksiya tekisligiga parallel bo'lmagan panjara uchburchagi bo'lgan holat uchun teoremani isbotlang.
4. Istalgan ko'pburchak uchun teoremani isbotlang.
Muammolarni hal qilish
1. Maydonlari 50 sm2, ko'pburchak tekisligi va uning proyeksiyasi orasidagi burchak 60 ° bo'lgan ko'pburchakning ortogonal proyeksiyasining maydonini toping.
2. Agar ushbu ko'pburchakning ortogonal proyeksiyasining maydoni 50 sm2 bo'lsa, ko'pburchak tekisligi va uning proektsiyasi orasidagi burchak 45 ° bo'lsa, ko'pburchakning maydonini toping.
3. Ko'pburchakning maydoni 64 sm2, ortogonal proyeksiya maydoni esa 32 sm2. Ko'pburchak tekisliklari va uning proektsiyasi orasidagi burchakni toping.
4. Yoki ko'pburchakning ortogonal proyeksiyasining maydoni shu ko'pburchakning maydoniga teng bo'ladimi?
5. Kubning chekkasi a ga teng. Ushbu tayanchga 30 ° burchak ostida taglikning tepasidan o'tuvchi va barcha yon qirralarini kesib o'tuvchi tekislik tomonidan kubning kesma maydonini toping. (Javob.)
6. Darslikdagi 48-sonli masala (1, 3) (58-bet).
7. Darslikdagi 49-sonli masala (2-bet) (58-bet).
8. To'rtburchakning tomonlari 20 va 25 sm, uning tekislikka proyeksiyasi unga o'xshashdir. Proektsiyaning perimetrini toping. (Javob. 72 sm yoki 90 sm.)
III. Uy vazifasi
§4, 34-bet; xavfsizlik raqami 17; vazifalar No 48 (2), 49 (1) (58-bet).
IV. Darsning qisqacha mazmuni
Sinfga savol
1) Ko'pburchakning ortogonal proektsiyasi sohasidagi teoremani tuzing.
2) Ko'pburchakning ortogonal proyeksiyasining maydoni ko'pburchakning maydonidan kattaroq bo'lishi mumkinmi?
3) AB gipotenuzasi orqali to'g'ri uchburchak ABC a tekislikni uchburchak tekisligiga 45 ° burchak ostida va CO tekislikni a tekislikka tortadi. AC \u003d 3 sm, BC \u003d 4 sm.Quyidagi gaplarning qaysi biri to'g'ri, qaysi biri noto'g'ri ekanligini ko'rsating:
a) ABC va a tekisliklar orasidagi burchak burchakka teng CMO, bu erda H nuqtasi CM balandligining asosidir aBC uchburchagi;
b) CO \u003d 2,4 sm;
c) AOC uchburchagi - ABC uchburchakning a tekislikka ortogonal proyeksiyasi;
d) AOB uchburchagi maydoni 3 sm2 ga teng.
(Javob. A) To'g'ri; b) noto'g'ri; v) noto'g'ri; d) to'g'ri.)
To'g'ri chiziq va tekislik orasidagi burchak berilgan to'g'ri chiziq va uning tekislikka proyeksiyasi orasidagi burchak ekanligini eslang (164-rasm).
Teorema. Ko'pburchakning tekislikka prognozli ortogonal proektsiyasi maydoni proektsiyalangan ko'pburchakning maydoniga ko'pburchak tekisligi va proektsiya tekisligi tomonidan hosil bo'lgan burchak kosinusiga ko'paytirilishga teng.
Har bir ko'pburchak uchburchaklarga bo'linishi mumkin, ularning maydonlari yig'indisi ko'pburchakning maydoniga teng. Shuning uchun uchburchak uchun teoremani isbotlash kifoya.
\\ (\\ Delta \\) ABC tekislikka proyeksiyalansin r... Ikkita holatni ko'rib chiqing:
a) tomonlarning biri \\ (\\ Delta \\) ABC tekislikka parallel r;
b) ABC tomonlarning hech biri parallel emas r.
Ko'rib chiqing birinchi holat: ruxsat bering [AB] || r.
(AB) orqali tekislik chizamiz. r 1 || R va ortogonal ravishda \\ (\\ Delta \\) ABC-ni loyihalash r 1 va boshqalar r (rasm 165); \\ (\\ Delta \\) ABC 1 va \\ (\\ Delta \\) A'B'S 'ni \u200b\u200bolamiz.
Proyeksiya xossasi bo'yicha bizda \\ (\\ Delta \\) ABC 1 \\ (\\ cong \\) \\ (\\ Delta \\) A'B'C 'va shuning uchun
S \\ (\\ Delta \\) ABC1 \u003d S \\ (\\ Delta \\) A'B'C '
Draw va D 1 C 1 segmentini chizamiz. Keyin ⊥, a \\ (\\ widehat (CD_ (1) C_ (1)) \\) \u003d φ - bu \\ (\\ Delta \\) ABC tekisligi va tekislik orasidagi burchakning qiymati. r bitta. shuning uchun
S \\ (\\ Delta \\) ABC1 \u003d 1/2 | AB | | C 1 D 1 | \u003d 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ \u003d S \\ (\\ Delta \\) ABC cos φ
va shuning uchun S \\ (\\ Delta \\) A'B'C '\u003d S \\ (\\ Delta \\) ABC cos φ.
Keling, ko'rib chiqishga o'tamiz ikkinchi holat... Keling, samolyot chizamiz r 1 || r shu tepalik orqali \\ (\\ Delta \\) ABC, masofadan tekislikka masofa r eng kichigi (A tepasi bo'lsin).
\\ (\\ Delta \\) ABC ni tekislikda loyihalashtiramiz r 1 va r (rasm 166); uning proektsiyalari mos ravishda \\ (\\ Delta \\) AB 1 C 1 va \\ (\\ Delta \\) A'B'S 'bo'lsin.
(VS) \\ (\\ cap \\) ga ruxsat bering p 1 \u003d D. Keyin
S \\ (\\ Delta \\) A'B'C '\u003d S \\ (\\ Delta \\) AB1 C1 \u003d S \\ (\\ Delta \\) ADC1 - S \\ (\\ Delta \\) ADB1 \u003d (S \\ (\\ Delta \\) ADC - S \\ (\\ Delta \\) ADB) cos φ \u003d S \\ (\\ Delta \\) ABC cos φ
Vazifa. Muntazam uchburchak prizma asosining yon tomoni orqali uning asosi tekisligiga ph \u003d 30 ° burchak ostida tekislik o'tkaziladi. Agar prizma poydevorining yon tomoni bo'lsa, natijada olingan qismning maydonini toping a \u003d 6 sm.
Ushbu prizmaning kesimini chizamiz (167-rasm). Prizma to'g'ri bo'lgani uchun uning yon qirralari asos tekisligiga perpendikulyar. Demak, \\ (\\ Delta \\) ABC, shuning uchun \\ (\\ Delta \\) ADC ning proektsiyasidir
$$ S _ (\\ Delta ADC) \u003d \\ frac (S _ (\\ Delta ABC)) (cos \\ phi) \u003d \\ frac (a \\ cdot a \\ sqrt3) (4cos \\ phi) $$
yoki
$$ S _ (\\ Delta ADC) \u003d \\ frac (6 \\ cdot 6 \\ cdot \\ sqrt3) (4 \\ cdot \\ frac (\\ sqrt3) (2)) \u003d 18 (cm ^ 2) $$
To'rtburchak tetraedr yuzlari proektsiyalari formulasi haqidagi savolni ko'rib chiqaman. Oldindan, men a tekislikda yotgan segmentning ortogonal proyeksiyasini ko'rib chiqaman, bu segmentning l \u003d a∩π to'g'ri chiziqqa nisbatan joylashishining ikkita holatini ta'kidlayman.
1-holat.
AB∥l (8-rasm). AB segmentining ortogonal proyeksiyasi bo'lgan A 1 B 1 segmenti AB segmentiga teng va parallel.
Shakl: 8
2-holat.
CD⊥l (8-rasm). Uchta perpendikulyar teorema bo'yicha, CD chizig'ining ortogonal proektsiyasi bo'lgan C 1 D 1 chiziq ham l chiziqqa perpendikulyar. Shuning uchun, ∠CEC 1 - bu a tekisligi va g proyeksiya tekisligi orasidagi burchak, ya'ni bu erda C 0 D \u003d C 1 D 1... Shuning uchun | C 1 D 1 | \u003d | CD | ∙ cosφ
Endi men ortogonal uchburchak dizayni masalasini ko'rib chiqaman.
Uchburchakning tekislikka proyeksiyalashgan ortogonal proektsiyasi maydoni uchburchak tekisligi va proyeksiyalar tekisligi orasidagi burchak kosinusiga ko'paytirilib, prognoz qilingan uchburchakning maydoniga teng.
Dalillar.Uchburchakning proektsiyalangan maydoni. Uchta perpendikulyar teoremaga binoan B 1 H 1 chizig'i - BH chizig'ining ortogonal proektsiyasi - l chiziqqa perpendikulyar, shuning uchun B 1 H 1 segmenti A 1 B 1 C 1 uchburchakning balandligi. Shuning uchun. Shunday qilib, .
a) ABC uchburchagi proektsiyalangan tomonlaridan biri, masalan, l \u003d a \u003d to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsin (9-rasm) yoki uning ustida yotadi.
U holda uning balandligi VN l to'g'ri chiziqqa perpendikulyar va maydoni teng, ya'ni.
Shakl: to'qqiz
b) ABC uchburchakning proektsiyalangan tomonlarining hech biri l chiziqqa parallel emas (10-rasm). Uchburchakning har bir uchi orqali l to'g'ri chiziqqa parallel ravishda bir tekis chiziq torting. Ushbu satrlardan biri ikkitasi o'rtasida joylashgan (rasmda u m chiziq) va shuning uchun ABC uchburchagini balandligi mos ravishda BH va CE bo'lgan ABD va ACD uchburchaklariga bo'linadi, ularning parallel tomoni AD (yoki uning davomi) ga tortiladi. l. M 1 satr - m chiziqning ortogonal proyeksiyasi - shuningdek A 1 V 1 S 1 - ABC uchburchakning ortogonal proyeksiyasini A 1 B 1 D 1 va A 1 C 1 D 1 uchburchaklariga ajratadi, bu erda. (9) va (10) ni hisobga olgan holda olaman
Yaqinda C2 topshirig'ida ko'pburchakning uchastkasini tekislik bilan qurish va uning maydonini topish zarur bo'lgan muammolar mavjud. Ushbu vazifa demo versiyada taklif qilingan. Ko'pincha kesmaning maydonini uning ortogonal proektsiyasi maydoni orqali topish qulay. Taqdimotda bunday echimning formulasi keltirilgan va batafsil tahlil vazifa, bu bir qator chizmalar bilan birga keladi.
Yuklash:
Oldindan ko'rish:
Prezentatsiyalarni oldindan ko'rishdan foydalanish uchun o'zingizga Google hisob qaydnomasini (qayd yozuvini) yarating va unga kiring: https://accounts.google.com
Slayd sarlavhalari:
Imtihonga tayyorgarlik - 2014 yil matematikadan. Uning ortogonal proektsiyasi maydoni orqali kesma maydonini topish. Vazifa C2 Matematika o'qituvchisi Krasnoyarsk shahridagi 143-sonli o'rta maktab MBOU Knyazkina T. V.
Quyidagi muammoning echimini ko'rib chiqing: to'rtburchaklar parallelepipedda,. Parallelepipedning kesimi B va D nuqtalardan o'tib ABC tekislik bilan burchak hosil qiladi. Kesmaning maydonini toping. Ko'pincha kesmaning maydonini uning ortogonal proektsiyasi maydoni orqali topish qulay. Uchburchakning maydonini uning ortogonal proektsiyasi maydoni orqali topish quyidagi rasm orqali osongina tasvirlangan:
CH - ABC uchburchakning balandligi, C 'H - ABC uchburchakning ortogonal proyeksiyasi bo'lgan ABC "balandligi. CHC to'g'ri burchakli uchburchakdan": ABC uchburchakning maydoni "ABC uchburchakning maydoniga teng. Shuning uchun ABC uchburchakning maydoni ABC' uchburchakning maydoniga bo'linadi. ABC uchburchagi va ABC uchburchagi tekisliklari orasidagi burchak kosinusi ", bu ABC uchburchagi ortogonal proyeksiyasidir.
Har qanday ko'pburchakning maydoni uchburchaklar maydonlarining yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lganligi sababli, ko'pburchakning maydoni uning ko'pburchak tekisliklari va uning proektsiyasi orasidagi burchak kosinusiga bo'lingan tekislikka proektsion proektsiyasining maydoniga teng. Muammoni hal qilish uchun ushbu faktdan foydalanamiz (2-slaydga qarang) Yechish rejasi quyidagicha: A) Bo'lim yaratish. B) uning asos tekisligiga ortogonal proyeksiyasini toping. C) Ortogonal proyeksiya maydonini toping. D) tasavvurlar maydonini toping.
1. Avval ushbu bo'limni qurishimiz kerak. Shubhasiz, BD segmenti kesma tekisligi va taglik tekisligiga tegishli, ya'ni u samolyotlarning kesishish chizig'iga tegishli:
Ikki tekislik orasidagi burchak - bu tekisliklarning kesishish chizig'iga tortilgan va shu tekisliklarda yotgan ikkita perpendikulyar orasidagi burchak. O nuqta tayanch diagonallarining kesishish nuqtasi bo'lsin. OC - \u200b\u200btaglik tekisligida joylashgan tekisliklarning kesishish chizig'iga perpendikulyar:
2. Kesma tekisligida yotgan perpendikulyar holatini aniqlang. (Agar esda tutingki, agar to'g'ri chiziq moyil proektsiyaga perpendikulyar bo'lsa, u holda u eng moyilga perpendikulyar bo'ladi. Biz uning proyeksiyasida (OC) va proyeksiya bilan moyillik orasidagi burchakni qidiramiz). OC ₁ va OC orasidagi COC ₁ burchakning tangensini toping
Shunday qilib, kesma tekisligi va taglik tekisligi orasidagi burchak OC ₁ va OC orasidagi kattaroqdir. Ya'ni, bo'lim qandaydir tarzda shunday joylashgan: K - OP va A ₁C₁, LM || B₁D₁ ning kesishish nuqtasi.
Shunday qilib, bizning bo'limimiz: 3. BLMD kesimining asos tekisligiga proyeksiyasini toping. Buning uchun L va M nuqtalarning proyeksiyalarini topamiz.
To'rtburchak BL ₁M₁D - kesmaning asosiy tekislikka proektsiyasi. 4. BL ₁M₁D to'rtburchakning maydonini toping. Buning uchun BCD uchburchakning maydonidan L CM the uchburchakning maydonini ayirsak, L CM₁ uchburchakning maydonini toping. L CM₁ uchburchagi BCD uchburchagiga o'xshaydi. O'xshashlik koeffitsientini topamiz.
Buning uchun OPC va OKK₁ t burchakli burchaklarni ko'rib chiqing: Shuning uchun L₁CM₁ uchburchakning maydoni BCD uchburchagi maydonining 4/25 ga teng (o'xshash raqamlar maydonlarining nisbati o'xshashlik koeffitsientining kvadratiga teng). U holda BL₁M₁D to'rtburchakning maydoni BCD uchburchagi maydonining 1-4 / 25 \u003d 21/25 ga teng va teng
5. Endi biz 6 ni topamiz. Va nihoyat biz olamiz: Javob: 112
Mavzu bo'yicha: uslubiy ishlanmalar, taqdimotlar va eslatmalar
"Muhandislik kompyuter grafikasi" fanidan test ishlari to'rttadan iborat test topshiriqlari muvofiqlikni o'rnatish. Vazifalarni bajarish uchun 15-20 daqiqa vaqt ketadi ...
Bilan taqdimot qisqa kurs USE vazifalarining ochiq bankidan B8 prototiplarining turli xil nazariyasi va echimlari. O'z-o'zini o'rganish uchun interaktiv doska yoki talabalar uchun kompyuter uchun foydalanish mumkin ...
2014 yilgi matematikadan imtihonga tayyorgarlik. C1 vazifasini hal qilish.
Materialda C1 topshirig'iga echimlar (trigonometrik tenglama) va intervalga tegishli ildizlarni tanlashning 4 usuli mavjud: trigonometrik doira, grafik funktsiyasidan foydalanib, qo'pol kuch ...
