Перед вами листок бумаги с изображением: а) треугольника, б) пятиконечной звезды, в) многоугольника в форме плывущего лебедя. В каждом случае придумайте , как сложить листок, чтобы после этого соответствующую фигуру можно было вырезать одним непрерывным прямолинейным разрезом ножницами.
Подсказка
Во всех случаях решение почти полностью состоит из шагов двух типов: складывать нужно или по биссектрисе какого-то из связанных с фигурой углов (чтобы «уменьшить» число оставшихся не на одной линии отрезков), или по перпендикуляру к одному из отрезков (чтобы «подогнать» его длину до нужной).
Решение
На рисунках ниже показано, как нужно складывать фигуры из условия задачи, чтобы потом вырезать каждую из них одним разрезом.
С треугольником более-менее все понятно: складываем по одной биссектрисе, потом - по другой (рис. 1).
Со звездой тоже довольно легко справиться. Сначала нужно сложить ее пополам вдоль оси симметрии (вполне естественное действие - раз уж можно «уполовинить» фигуру одним махом). Затем - совместить два луча звезды друг с другом, сложив по биссектрисе ее «внешнего» угла. После этого от контура останется всего три отрезка, которые уже несложно совместить (рис. 2).
С лебедем сложнее всего. Это понятно: фигура без симметрий, с большим числом сторон; поэтому потребуется большое число складок. Схема, по которой надо складывать, изображена на рис. 3. Простые пунктирные линии изображают складки «вниз», пунктиры точка-тире изображают складки «вверх». Сначала нужно наметить эти складки по отдельности, чтобы лист приобрел форму крыши дома, а только потом складывать лист в плоскую фигуру.
На серии фотографий показан весь процесс складывания:
О том, откуда возникает такая хитроумная система складок, читайте в послесловии.
Послесловие
Все предложенные в условии варианты - это всего лишь частные случаи общего вопроса, который звучит так:
Дан многоугольник на плоском листе бумаги, можно ли так сложить этот лист, чтобы многоугольник можно было вырезать одним прямым разрезом?
Оказывается, вне зависимости от формы многоугольника, ответ на этот вопрос всегда положительный: да, можно. (Разумеется, мы сейчас обсуждаем эту задачу с точки зрения математики и не касаемся «физической» стороны дела: слишком много раз лист бумаги невозможно сложить. Считается, что даже очень тонкую бумагу больше 7-8 раз перегнуть невозможно. Это почти так: при некотором старании можно сделать 12 перегибов, но больше уже вряд ли получится.)
Более того, если многоугольников нарисовано несколько, то лист все равно можно сложить так, чтобы все их можно было бы вырезать одним разрезом (и ничего лишнего бы не вырезалось). Все дело в том, что верна следующая теорема:
Пусть на листе бумаги нарисован произвольный граф . Тогда этот лист можно сложить так, чтобы данный граф можно было вырезать одним разрезом, и ничего лишнего вырезано не будет.
У этой теоремы алгоритмическое доказательство. То есть в ее доказательстве дается явный рецепт, как построить нужную систему складок.
Вкратце суть такова. Сначала мы должны построить прямолинейный скелет (straight skeleton). Это набор линий - траекторий вершин исходного многоугольника, - по которым они движутся при его специальном сжатии. Сжатие устроено так: мы двигаем стороны многоугольника «внутрь» с постоянной скоростью, чтобы при этом каждая сторона двигалась, не меняя своего направления. Как несложно убедиться, поначалу вершины будут ползти по биссектрисам углов многоугольника. То есть эта на первый взгляд странная конструкция просто обобщает идею, предложенную в подсказке: что надо стараться складывать по биссектрисам углов многоугольника. Отметим, что в процессе сжатия многоугольник может «развалиться» на части, как это произошло на рис. 5.
После того как скелет получен, из каждой его вершины нужно провести лучи, перпендикулярные к тем сторонам исходной фигуры, к которым их можно провести. Если луч натыкается на линию из скелета, то после пересечения он должен продолжиться не прямо, а вдоль своего зеркального отражения относительно этой линии. Система складок состоит из проведенных линий.
Подробнее об этом и о том, как определять направление складки («вверх» или «вниз»), можно прочитать в статье E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Folding and Cutting Paper . Краткую историю и еще один подход к решению задачи можно найти на страничке Эрика Демейна, одного из авторов доказательства теоремы. Также можно почитать чуть более популярный рассказ об этой теореме (к сожалению, тоже на английском). Ну и наконец, советую посмотреть мультфильм «Математических этюдов», в котором прекрасно видно, как нужно складывать треугольник и звезду, чтобы потом вырезать их одним разрезом.
Напоследок отмечу, что вопросы, подобные обсуждавшимся выше, поднимались уже довольно давно. Например, в японской книге 1721 года в качестве одной из задачек читателям предлагалось вырезать одним разрезом фигурку из трех объединенных ромбов (рис. 6). Позже метод вырезания звезды объяснял в своей книге знаменитый иллюзионист Гарри Гудини. Кстати, по легенде, как раз благодаря тому, что такую звезду можно быстро вырезать из бумаги или ткани, сейчас на флаге США мы видим именно пятиконечные звезды: швея Бетси Росс , которая, по преданию, сшила первый флаг, смогла убедить Джорджа Вашингтона, что их лучше использовать для флага, чем шестиконечные, которые изначально хотел использовать Вашингтон.
Photoshop предлагает практически безграничные возможности для творческой реализации. Однако пользователи, которые только начинают работать с программой могут испытывать сложность в самом элементарном, например, в рисовании геометрических фигур. Чаще всего, сложности происходят как раз, когда нужно нарисовать треугольник. На самом деле здесь всё просто, и мы разберёмся, как это сделать.
Как нарисовать треугольник в Photoshop
Изучив левую панель с инструментами, а особенно инструменты, позволяющие рисовать геометрические фигуры, пользователь не найдёт иконку треугольника. Есть квадраты, эллипсы, многоугольники и т.д., но нет треугольников. А рисование треугольника как раз происходит с помощью инструмента «Многоугольник».
Также треугольник можно нарисовать с помощью инструмента «Прямолинейное лассо», хотя этот вариант создания геометрических фигур не является таким очевидным. Выполняется следующим образом:
Как видите, нет ничего сложного в том, чтобы создать треугольник. По аналогичным схемам можно делать другие геометрические фигуры, которые содержат несколько углов. Если данная статья оказалась для вас полезной, поделитесь ей с другими людьми, возможно, она им тоже пригодится.
В этой статье вы научитесь рисовать в фотошопе разные виды треугольника: равносторонний, равнобедренный, разносторонний и прямоугольный.
Как нарисовать равносторонний треугольник
У равностороннего треугольника все три стороны равны.
Самый простой вариант нарисовать в фотошопе такой треугольник — с помощью инструмента Многоугольник .
Выберите этот инструмент и на панели настроек сразу укажите количество сторон — 3.
Следующим этапом нужно определиться каким должен быть будущий треугольник: векторной фигурой, растровым со сплошной заливкой или нужен только контур. Рассмотри все варианты.
Векторный треугольник
На панели параметров выберите опцию Слой-фигура .
Теперь можно рисовать и сам треугольник. Во время создания вы будете видеть его границы. Это нужно для того, чтобы рассчитать его размеры. Также, пока не отпустили клавишу мыши, можно его крутить.
Векторный треугольник хорош тем, что можно быстро сменить его цвет, а также безболезненно изменить его размеры без потери качества. Для этого вызовете команду — Ctrl+T .
Чтобы позже превратить его в растровый треугольник, используйте команду .
Растровый треугольник со сплошной заливкой
Получится такой же треугольник, что и примером выше, но он будет сразу в растре.
Для этого на панели параметров нужно выбрать настройку Выполнить заливку пикселов .
Перед созданием такого треугольника, нужно первоначально .
Теперь рисуйте фигуру и она будет как самый обычный элемент растрового изображения.
Как нарисовать контур равностороннего треугольника
Для такой фигуры выберите на панели параметров опцию Контуры .
Рисуйте треугольник. У вас, естественно, получится только его контур. Далее, при этом же выбранном инструменте, сделайте клик правой кнопкой мыши внутри контура. Появится контекстное меню. Выберите команду Образовать выделенную область .
Откроется диалоговое окно. Радиус растушевки оставьте 0. Жмите Ок.
В итоге мы из контура сделали .
Для этого выполните команду Редактирование — Выполнить обводку . Появится окно, в котором укажите толщину линии обводки, а также как она будет проходить относительно пунктирной линии выделения: внутри, по центру, снаружи.
Фотошоп сделал обводку, теперь уберите пунктир выделения, чтобы не мешал — Ctrl+D . Результат:
Как нарисовать равнобедренный треугольник
У равнобедренного треугольника две стороны равны.
Разберем пример, когда нужно нарисовать равнобедренный треугольник заданных размеров. Допустим, основание 300 пикселей и высота 400 пикселей.
Готово
Равнобедренный треугольник по заданным размерам нарисован!
В прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусов.
Если нужен прямоугольный треугольник с заранее известными размерами, например, размеры катетов 200 и 300 пикселей, то проще всего сделать следующим образом:
Шаг 1
Создайте новый документ в фотошопе с высотой и шириной равными размерам катетов: например, ширина пусть 300 пикселей, а высота 200 пикселей.
Рабочая область в фотошопе всегда прямоугольной формы, поэтому угол в 90 градусов будет уже обеспечен. Две стороны прямоугольника — его катеты. Останется только провести диагональ — это будет гипотенузой.
Шаг 2
Будем действовать по аналогии с примером выше. Берем инструмент Линия и ставим опцию Слой-фигура .
Теперь обводим линией по краям и соединяем две точки по диагонали:
Шаг 3
На палитре слоев опять три слоя-фигуры. Их можно объединить в один слой (команда Объединить слои ).
Готово
Прямоугольный треугольник готов, можно закрасить его в какой-нибудь цвет:
Заметили ошибку в тексте - выделите ее и нажмите Ctrl + Enter . Спасибо!
Придумано несколько невозможных фигур — лестница, треугольник и х-зубец. Эти фигуры на самом деле в объемном изображении вполне реальны. Но когда художник проектирует объем на бумагу, объекты кажутся невозможными. Треугольник, который еще носит название "трибар", стал замечательным примером того, как невозможное становится возможным, когда прикладываешь усилия.
Все эти фигуры — прекрасные иллюзии. Достижения человеческого гения используют художники, которые рисуют в стиле имп-арт.
Нет ничего невозможного. Так можно сказать про треугольник Пенроуза. Это геометрически невозможная фигура, элементы которой не могут быть соединены. Все-таки невозможный треугольник стал возможным. Шведский живописец Оскар Реутерсвард в 1934 г. представил миру невозможный треугольник из кубиков. О. Реутерсвард считается первооткрывателем этой зрительной иллюзии. В честь этого события на почтовой марке Швеции напечатали позже этот рисунок.
А в 1958 г. математиком Роджером Пенроузом была напечатана публикация в английском журнале о невозможных фигурах. Именно он создал научную модель иллюзии. Роджер Пенроуз был невероятным ученым. Он проводил исследования в области теории относительности, а также увлекательной квантовой теории. Его наградили премией Вольфа совместно с С. Хокингом.
Известно, что художник Мауриц Эшер, находясь под впечатлением этой статьи, нарисовал свою изумительную работу — литографию «Водопад». Но возможно ли сделать треугольник Пенроуза? Как сделать, если это возможно?
Трибар и реальность
Хоть и фигура считается невозможной, сделать треугольник Пенроуза своими руками — легче простого. Его можно сделать из бумаги. Любители оригами просто не могли обойти стороной трибар и нашли все же способ создать и подержать в руках вещь, которая казалась ранее запредельной фантазией ученого.
Однако нас обманывают собственные глаза, когда мы смотрим на проекцию трехмерного объекта из трех перпендикулярных линий. Наблюдателю кажется, что он видит треугольник, хотя на самом деле это не так.
Геометрия поделки
Треугольник трибар, как сказано, на самом деле треугольником не является. Треугольник Пенроуза — иллюзия. Лишь под определенным углом объект выглядит как равносторонний треугольник. Однако объект в натуральном виде - это 3 грани куба. На такой изометрической проекции совпадают на плоскости 2 угла: ближний от зрителя и дальний.
Оптический обман, конечно, быстро раскрывается, лишь только взять этот объект в руки. А еще раскрывает иллюзию тень, так как тень трибара ясно показывает, что углы не совпадают в реальности.
Трибар из бумаги. Схемы
Как сделать треугольник Пенроуза своими руками из бумаги? Есть ли схемы этой модели? На сегодня изобретены 2 разверстки для того, чтоб сложить такой невозможный треугольник. Основы геометрии подсказывают, как именно складывать объект.
Чтобы сложить треугольник Пенроуза своими руками, понадобится выделить всего 10-20 минут. Нужно подготовить клей, ножницы для нескольких разрезов и бумагу, на которой печатается схема.
Из такой заготовки получается самый популярный невозможный треугольник. Поделка-оригами не слишком сложна в изготовлении. Поэтому получится обязательно с первого раза, причем даже у школьника, только начавшего изучать геометрию.
Как видим, получается очень симпатичная поделка. Вторая заготовка выглядит иначе и складывается по-другому, но сам треугольник Пенроуза в итоге выглядит так же.
Этапы создания треугольника Пенроуза из бумаги.
Выберите одну из 2 удобных для вас заготовок, скопируйте файл и распечатайте. Приведем здесь пример и второй модели разверстки, которая выполняется немного проще.
Сама заготовка для оригами «Трибар» уже содержит все необходимые подсказки. По сути, инструкция к схеме не требуется. Достаточно только скачать на плотный бумажный носитель, иначе работать будет неудобно и фигура не получится. Если нельзя сразу распечатать на картоне, то требуется приложить эскиз к новому материалу и по контуру вырезать чертеж. Для удобства можно скрепить скрепками.
Что делать затем? Как сложить треугольник Пенроуза своими руками поэтапно? Нужно следовать такому плану действий:
- Наводим обратной стороной ножниц те линии, где нужно согнуть, согласно инструкции. Сгибаем все линии
- Там, где нужно, делаем разрезы.
- Склеиваем с помощью ПВА те лоскутки, что предназначены для скрепления детали в единое целое.
Готовую модель можно перекрасить в любой цвет, или заранее взять для работы цветной картон. Но даже если объект будет из белой бумаги, все равно, все, кто входит в вашу гостиную впервые, будут непременно обескуражены такой поделкой.
Рисунок треугольника
Как нарисовать треугольник Пенроуза? Не все любят заниматься оригами, но многие обожают рисовать.
Для начала изображается обычный квадрат любого размера. Затем внутри рисуется треугольник, основой которого является нижняя сторона квадрата. В каждый угол вписывается небольшой прямоугольник, все стороны которого стираются; остаются лишь те стороны, что примыкают к треугольнику. Это необходимо, чтобы линии были ровными. Получается треугольник с усеченными углами.
Следующий этап — изображение второго измерения. От левой части верхнего нижнего угла проводится строго прямая линия. Такая же линия проводится, начиная с нижнего левого угла, и немного не доводится до первой линии 2 измерения. Еще одна линия рисуется с правого угла параллельно нижней стороне основной фигуры.
Заключительный этап — внутри второго измерения рисуется третье с помощью еще трех небольших линий. Маленькие линии начинаются от линий второго измерения и завершают образ трехмерного объема.
Другие фигуры Пенроуза
По такой же аналогии можно нарисовать и иные фигуры — квадрат либо шестиугольник. Иллюзия будет соблюдаться. Но все же эти фигуры уже не так потрясают воображение. Такие многоугольники кажутся просто сильно перекрученными. Современная графика позволяет сделать и более интересные версии знаменитого треугольника.
Кроме треугольника, всемирно известна еще и лестница Пенроуза. Идея состоит в обмане зрения, когда кажется, что человек поднимается непрерывно вверх при движении по часовой стрелке, а если движется против часовой стрелки, то вниз.
Непрерывная лестница известна больше по ассоциации с картиной М. Эшера «Восхождение и спуск». Интересно, что, когда человек проходит все 4 пролета этой иллюзорной лестницы, он неизменно оказывается там, откуда начинал.
Известны и другие объекты, вводящие разум человека в заблуждение, такие как невозможный брусок. Или сделанный по тем же законам иллюзии ящик с пересекающимися гранями. Но все эти объекты уже придуманы на основе статьи замечательного ученого - Роджера Пенроуза.
Невозможный треугольник в Перте
Фигуре, названной в честь математика, оказана честь. Ей установлен памятник. В 1999 году в одном из городов Австралии (Перт) установлен большой треугольник Пенроуза из алюминия, который составляет 13 метров в высоту. Рядом с алюминиевым гигантом с удовольствием фотографируются туристы. Но если выбрать для фотографии другой угол зрения, то обман становится очевидным.
В свою бытность «чайником», я столкнулся с необходимостью нарисовать треугольник в Фотошопе. Тогда с этой задачей без посторонней помощи мне справиться не удалось.
Оказалось, что все не настолько сложно, как могло показаться на первый взгляд. В этом уроке я поделюсь с Вами опытом в рисовании треугольников.
Существуют два (известных мне) способа.
Первый способ позволяет изобразить равносторонний треугольник. Для этого нам нужен инструмент под названием «Многоугольник» . Находится он в разделе фигур на правой панели инструментов.
Этот инструмент позволяет рисовать правильные многоугольники с заданным числом сторон. В нашем случае их (сторон) будет три.
После настройки цвета заливки
ставим курсор на холст, зажимаем левую кнопку мыши и рисуем нашу фигуру. В процессе создания треугольник можно вращать, не отпуская кнопку мыши.
Полученный результат:
Кроме того, можно нарисовать фигуру без заливки, но с контуром. Линии контура настраиваются в верхней панели инструментов. Там же настраивается и заливка, вернее ее отсутствие.
У меня получились такие треугольники:
С настройками можно экспериментировать, добиваясь нужного результата.
Следующий инструмент для рисования треугольников – «Прямолинейное лассо» .
Этот инструмент позволяет рисовать треугольники с любыми пропорциями. Давайте попробуем изобразить прямоугольный.
Для прямоугольного треугольника нам понадобится точно нарисовать прямой (кто бы мог подумать…) угол.
Воспользуемся направляющими. Как работать с направляющими линиями в Фотошопе, читайте в этой статье .
Итак, статью прочитали, тянем направляющие. Одну вертикальную, другую горизонтальную.
Чтобы выделение «притягивалось» к направляющим, включаем функцию привязки.
Затем кликаем правой кнопкой мыши внутри выделения и выбираем, в зависимости от потребностей, пункты контекстного меню «Выполнить заливку» или «Выполнить обводку» .
Цвет заливки настраивается следующим образом:
Для обводки также можно настроить ширину и расположение.
Получаем следующие результаты:
Заливка.
Для получения острых углов обводку нужно выполнять «Внутри» .
После снятия выделения (CTRL+D ) получаем готовый прямоугольный треугольник.
Вот такие два простейших способа рисования треугольников в программе Фотошоп.
