При выводе самой первой формулы таблицы будем исходить из определения производнойфункции в точке. Возьмем , где x – любое действительное число, то есть, x – любое число из области определения функции . Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.

Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x .

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Производные гиперболических функций.

Правила дифференцирования и формула производной показательной функции из таблицы производных позволяют вывести формулы производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции.

Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .

Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.

Пусть функции y = f(x) и x = g(y) взаимно обратные, определенные на интервалах и соответственно. Если в точке существует конечная отличная от нуля производная функции f(x) , то в точке существует конечная производная обратной функции g(y) , причем . В другой записи .

Можно это правило переформулировать для любого x из промежутка , тогда получим .

Давайте проверим справедливость этих формул.

Найдем обратную функцию для натурального логарифма (здесь y – функция, а x - аргумент). Разрешив это уравнение относительно x , получим (здесь x – функция, а y – ее аргумент). То есть, и взаимно обратные функции.

Из таблицы производных видим, что и .

Убедимся, что формулы нахождения производных обратной функции приводят нас к этим же результатам:

Урок и презентация на тему: "Число e. Функция. График. Свойства"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 11 класса
Интерактивное пособие для 9–11 классов "Тригонометрия"
Интерактивное пособие для 10–11 классов "Логарифмы"

Ребята, сегодня мы будем изучать особенное число. Оно занимает отдельное место во "взрослой" математике и имеет много замечательных свойств, некоторые из которых мы и рассмотрим.

Вернемся к показательным функциям $y=a^x$, где $а>1$. Мы можем построить множество различных графиков функций для различных оснований.
Но следует заметить, что:

  • все функции проходят через точку (0;1),
  • при $х→-∞$ график имеет горизонтальную асимптоту $у=0$,
  • все функции возрастают и выпуклы вниз,
  • а также непрерывны, что в свою очередь означает, что они дифференцируемы.
Если функции всюду дифференцируемы, тогда к ним можно построить касательные в каждой точке. Если все функции проходят через точку (0;1), то она представляет особый интерес. Давайте последовательно построим несколько касательных.

Рассмотрим функцию $y=2^x$ и построим к ней касательную.
Аккуратно построив наши графики, можно заметить, что угол наклона касательной равен 35°.
Теперь давайте построим график функции $y=3^x$ и также построим касательную:
В этот раз угол наклона касательной приблизительно равен 48°. Вообще, стоит заметить: чем больше основание показательной функции, тем больше угол наклона.
Особый интерес представляет касательная с углом наклона равным 45°. К графику какой показательной функции можно провести такую касательную в точке (0;1)?
Основание показательной функции должно быть больше 2, но меньше 3, так как требуемый угол касательной достигается где-то между функциями $y=2^x$ и $y=3^x$. Такое число было найдено и оно оказалось довольно уникальным.

Показательную функцию, у которой касательная, проходящая через точку (0;1) имеет угол наклона равный 45°, принято обозначать: $y=e^x$ .
Основание нашей функции является иррациональным числом. Математиками было выведено приблизительное значение этого числа $e=2.7182818284590…$.
В курсе школьной математике принято округлять до десятых, то есть $e=2.7$.
Давайте построим график функции $y=e^x$ и касательную к этому графику.
Нашу функцию принято называть экспоненциальной.
Свойства функции $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Не является ни четной, ни нечетной.
3. Возрастает на всей области определения.
4. Не ограничена сверху, ограничена снизу.
5. Наибольшего значения нет, наименьшего значения нет.
6. Непрерывна.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Выпукла вниз.
В высшей математике доказано, что экспоненциальная функция всюду дифференцируема, и ее производная равна самой функции: $(e^x)"=e^x$.
Наша функция находит большое применение в многих разделах математики (в математическом анализе, в теории вероятности, в программировании), и многие реальные объекты связаны с этим числом.

Пример.
Найти касательную к графику функции $y=e^x$ в точке $х=2$.
Решение.
Уравнение касательной описывается формулой: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Последовательно найдем требуемые значения:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Ответ: $y=e^2*x-e^2$

Пример.
Найти значение производной функции $y=e^{3x-15}$ в точке $х=5$.
Решение.
Давайте вспомним правило дифференцирования функции вида $y=f(kx+m)$.
$y"=k*f"(kx+m)$.
В нашем случае $f(kx+m)=e^{3x-15}$.
Найдем производную:
$y"=(e^{3x-15})"=3*e^{3x-15}$.
$y"(5)=3*e^{15-15}=3*e^0=3$.
Ответ: 3.

Пример.
Исследовать на экстремумы функцию $y=x^3*e^x$.
Решение.
Найдем производную нашей функции $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x+x^3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Критических точек у функции нет, так как производная существует при любом х.
Приравняв производную к 0, получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-3$.
Отметим наши точки на числовой прямой:

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти касательную к графику функции $y=e^{2x}$ в точке $х=2$.
2. Найти значение производной функции $y=e^{4x-36}$ в точке $х=9$.
3. Исследовать на экстремумы функцию $y=x^4*e^{2x}$.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Число е 11 класс

ПОВТОРЕНИЕ – мать учения!

Определение показательной функции Функция, заданная формулой у = а х (где а >0, а ≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.

Свойства показательной функции у = а х а>1 0

Определение производной функции в точке х 0 . при Δ → 0. Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δх → 0.

Геометрический смысл производной x ₀ α A y = f(x) 0 x y к = tg α = f " (x ₀) Угловой коэффициент к касательной к графику функции f (x) в точке (х 0 ; f (x 0) равен производной функции f "(x ₀). f(x 0)

Игра: «Найди пары» (u + v)" cos x e (u · v)" n· xⁿ ⁻" п (u / v)" - 1 /(sin² x) a (x ⁿ)" - sin x н C" u" v +u v" к (C u)" 1 / (cos ² x) т (sin x)" (u" v – u v") / v² c (cos x)" 0 o (tg x)" u" + v " э (ctg x)" C u" н

Проверь себя! (u + v)" u" + v" э (u · v)" u"· v + u· v " к (u /v)" (u‘ · v –u · v") / v² с (x ⁿ)" n · x ⁿ ⁻¹ п C" 0 о (Cu)" C u " н (sin x)" Cos x е (cos x)" - sin x н (tg x)" 1 / (cos² x) т (ctg x)" - 1 / (sin² x) а

Экспонента - это степенная функция. Экспонента - функция, где e - основание натуральных логарифмов.

1 у= е х 45° Функция у= е х называется «экспонента» х ₀ =0; tg 45° = 1 В точке (0;1) угловой коэффициент к касательной к графику функции к = tg 45° = 1 - геометрический смысл производной экспоненты Экспонента у = е х

Теорема 1. Функция у = е дифференцируема в каждой точке области определения, и (е)" = е х х х Натуральным логарифмом (ln) называется логарифм по основанию е: ln x = log x е Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, и (а)" = а ∙ ln a x x Теорема 2 .

Формулы дифференцирования показательной функции (e)" = e ; (e)" = k e ; (a)" = a ∙ ln a ; (a)" = k a ∙ ln a . x kx + b x x x kx + b kx + b kx + b F(a x) = + C; F(e x) = e x +C.

«Упражнения рождают мастерство.» Тацит Публий Корнелий - древнеримский историк

Примеры: Найти производные функций: 1. = 3 е. 2. (е)" = (5х)" е = 5 e . 3. (4)" = 4 ln 4. 4. (2)" = (-7 х)" 2 ∙ ln 2 = -7 ∙ 2 ∙ ln 2 . 5 х 5 х х (3 е)" 5 х -7 х х х -7 х -7 х х

Интересное рядом

Леонард Эйлер 1707 -1783 г.г. Русский ученый – математик, физик, механик, астроном… Ввел обозначение числа е. Доказал, что число е ≈ 2, 718281…-иррациональное. Джон Непер 1550 – 1617 г.г. Шотландский математик, изобретатель логарифмов. В его честь число е называют « неперовым числом».

Рост и убывание функции со скоростью экспоненты называется экспоненциальным

Цели урока: сформировать представление о числе е ; доказать дифференцируемость функции в любой точке х ;рассмотреть доказательство теоремы о дифференцируемости функции ; проверка сформированности умений и навыков при решении примеров на их применение.

Задачи урока.

Образовательная: повторить определение производной, правила дифференцирования, производную элементарных функций, вспомнить график и свойства показательной функции, сформировать умение нахождения производной показательной функции, осуществить контроль знаний с помощью проверочного задания и теста.

Развивающая: способствовать развитию внимания, развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях.

Воспитательная: воспитывать информационную культуру, выработать навыки работы в группе и индивидуально.

Методы обучения: словестный, наглядный, деятельный.

Формы обучения: коллективная, индивидуальная, групповая.

Оборудование: учебник “Алгебра и начала анализа” (под редакцией Колмогорова), все задания группы В “Закрытый сегмент” под редакцией А.Л. Семенова, И.В.Ященко, мультимедийный проектор.

Этапы урока:

  1. Сообщение темы, цели, задач урока (2мин.).
  2. Подготовка к изучению нового материала через повторение раннее изученного (15 мин.).
  3. Ознакомление с новым материалом (10 мин.)
  4. Первичное осмысление и закрепление новых знаний (15 мин.).
  5. Задание на дом (1 мин.).
  6. Подведение итогов (2 мин.).

Ход урока

1. Организационный момент.

Объявляется тема урока: “Производная показательной функции. Число е.”, цели, задачи. Слайд 1. Презентация

2. Активизация опорных знаний.

Для этого на I этапе урока ответим на вопросы и решим задачи на повторение. Слайд 2.

У доски два ученика работают по карточкам, выполняя задания типа В8 ЕГЭ.

Задание для первого ученика:

Задание для второго ученика:

Остальные учащиеся выполняют самостоятельную работу по вариантам:

Вариант 1 Вариант 2
1. 1.
2. 2.
3.
3.
4.
4.
5. 5.

Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг у друга, сверяясь сответами по слайду 3.

Рассматриваются решения и ответы учащихся, работающих у доски.

Проверка домашнего задания №1904. Демонстрируется слайд 4.

3. Актуализация темы урока, создание проблемной ситуации.

Учитель просит дать определение показательной функции и перечислить свойства функции у = 2 х. Графики показательных функций изображаются в виде гладких линий, к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 равносильно её дифференцируемости в х 0.

Для графиков функции у = 2 x и у = 3 x проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс приблизительно равны 35° и 48° соответственно. Слайд 5.

Вывод: если основание показательной функцииа увеличивается от 2 до, например, 10, то угол между касательной к графику функции в точки х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить, что существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45

Доказано, что существует такое число большее 2 и меньшее 3.. Его принято обозначать буквой е . В математике установлено, что число е – иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.

е = 2,7182818284590…

Замечание (не очень серьезное). Слайд 6.

На следующем слайде 7 появляется портреты великих математиков – Джона Непера, Леонарда Эйлера и краткая справка о них.

  • Рассмотреть свойства функции у=e x
  • Доказательство теоремы 1. Слайд 8.
  • Доказательство теоремы 2. Слайд 9.

4. Динамическая пауза или разрядка для глаз.

(Исходное положение - сидя, каждое упражнение повторяется 3-4 раза):

1. Откинувшись назад, сделать глубокий вдох, затем, наклонившись вперед, выдох.

2. Откинувшись на спинку стула, прикрыть веки, крепко зажмурить глаза, не открывая век.

3. Руки вдоль туловища, круговые движения плечами назад и вперёд.

5. Закрепление изученного материала.

5.1 Решение упражнений №538, №540, №544в.

5.2 Самостоятельное применение знаний, умений и навыков. Проверочная работа в форме теста. Время выполнения задания – 5 мин.

Критерии оценки:

“5” – 3 балла

“4” – 2 балла

“3” - 1 балл

6. Подведение итогов и результатов работы на уроке.

  1. Рефлексия.
  2. Выставление оценок.
  3. Сдача тестовых заданий.

7. Задание на дом: п. 41 (1, 2); № 539 (а, б, г); 540 (в, г), 544 (а, б).

“Закрытый сегмент” №1950, 2142.

График показательной функции представляет собой кривую плавную линию без изломов, к которой в каждой точке, через которую она проходит, можно провести касательную. Логично предположить, что если можно провести касательную, значит функция будет дифференцируема в каждой точке своей области определения.

Отобразим в одних координатных осях несколько графиков функции y = x a , Для а = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

В точке с координатами (0;1). Углы наклона этих касательных будут равны приблизительно 35, 40, 48 и 51 градусов соответственно. Логично предположить, что на интервале от 2 до 3 существует число, при котором угол наклона касательной будет равен 45 градусов.

Дадим точную формулировку этого утверждения: существует такое число большее 2 и меньшее 3, обозначаемое буквой е, что показательная функция y = e x в точке 0, имеет производную равную 1. То есть: (e ∆x -1) / ∆x стремится к 1 при стремлении ∆х к нулю.

Данное число e является иррациональным и записывается в виде бесконечной непериодической десятичной дробью:

e = 2,7182818284…

Так как число е положительно и отлично от нуля, то существует логарифм по основанию e. Данный логарифм называется натуральным логарифмом . Обозначается ln(x) = log e (x).

Производная показательной функции

Теорема: Функция e x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и (e x)’ = e x .

Показательная функция a x дифференцируема в каждой точке своей области определения, и причем (a x)’ = (a x)*ln(a).
Следствием из этой теоремы является тот факт, что показательная функция непрерывна в любой точке своей области определения.

Пример: найти производную функции y = 2 x .

По формуле производной показательной функции получаем:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Ответ: (2 x)*ln(2).

Первообразная показательной функции

Для показательной функции a x заданной на множестве вещественных чисел первообразной будет являться функция (a x)/(ln(a)).
ln(a) - некоторая постоянная, тогда (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x для любого х. Мы доказали эту теорему.

Рассмотрим пример на нахождение первообразной показательной функции.

Пример: найти первообразную к функции f(x) = 5 x . Воспользуемся формулой приведенной выше и правилами нахождения первообразных. Получим: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.