Алгоритм Евклида для многочленов.
Алгоритм Евклида позволяет найти наибольший общий делитель двух многочленов, т.е. многочлен наибольшей степени, на который делятся без остатка оба данных многочлена.
Алгоритм основан на том факте, что для любых двух многочленов от одного переменного, f
(x
) и g
(x
), существуют такие многочлены q
(x
) и r
(x
) , называемые соответственно частное и остаток, что
f
(x
) = g
(x
)∙q
(x
) + r
(x
), (*)
при этом степень остатка меньше степени делителя, многочлена g
(x
), и, кроме того, по данным многочленам f
(x
) и g
(x
) частное и остаток находятся однозначно. Если в равенстве (*) остаток r
(x
) равен нулевому многочлену (нулю), то говорят, что многочлен f
(x
) делится на g
(x
) без остатка.
Алгоритм состоит из последовательного деления с остатком сначала первого данного многочлена, f
(x
), на второй, g
(x
):
f
(x
) = g
(x
)∙q
1 (x
) + r
1 (x
), (1)
затем, если r
1 (x
) ≠ 0, – второго данного многочлена, g
(x
), на первый остаток – на многочлен r
1 (x
):
g
(x
) = r
1 (x
)∙q
2 (x
) + r
2 (x
), (2)
r
1 (x
) = r
2 (x
)∙q
3 (x
) + r
3 (x
), (3)
затем, если r
3 (x
) ≠ 0, – второго остатка на третий:
r
2 (x
) = r
3 (x
)∙q
4 (x
) + r
4 (x
), (4)
и т.д. Поскольку на каждом этапе степень очередного остатка уменьшается, процесс не может продолжаться бесконечно, так что на некотором этапе мы обязательно придем к ситуации, когда очередной, n
+ 1-й остаток r
n
+ 1 равен нулю:
| r n –2 (x ) = r n –1 (x )∙ q n (x ) + r n (x ), | (n ) |
| r n –1 (x ) = r n (x )∙ q n +1 (x ) + r n +1 (x ), | (n +1) |
| r n +1 (x ) = 0. | (n +2) |
Тогда последний не равный нулю остаток r n
и будет наибольшим общим делителем исходной пары многочленов f
(x
) и g
(x
).
Действительно, если в силу равенства (n
+ 2) подставить 0 вместо r
n
+ 1 (x
) в равенство (n
+ 1), затем – полученное равенство r
n
– 1 (x
) = r n
(x
)∙q
n
+ 1 (x
) вместо r n
– 1
(x
) – в равенство (n
), получится, что r
n
– 2 (x
) = r n
(x
)∙q
n
+ 1 (x
) q n
(x
) + r n
(x
), т.е. r
n
– 2 (x
) = r n
(x
)(q
n
+ 1 (x
) q n
(x
) + 1), и т.д. В равенстве (2) после подстановки получим, что g
(x
) = r n
(x
)∙Q
(x
), и, наконец, из равенства (1) – что f
(x
) = r n
(x
)∙S
(x
), где Q
и S
– некоторые многочлены. Таким образом, r n
(x
) – общий делитель двух исходных многочленов, а то, что он наибольший (т.е. наибольшей возможной степени), следует из процедуры алгоритма.
Если наибольший общий делитель двух многочленов не содержит переменную (т.е. является числом), исходные многочлены f
(x
) и g
(x
) называются взаимно-простыми
.
Определение. Если каждый из двух многочленов делится без остатка на третий, то он называется общим делителем первых двух.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов называется их общий делитель наивысшей степени.
НОД можно находить с помощью разложения на неприводимые множители или с помощью алгоритма Евклида.
Пример 40
Найти НОД многочленови
.
Решение. Разложим оба многочлена на множители:
Из
разложения видно, что искомым НОДом
будет многочлен (х
– 1).
Пример 41
Найти НОД многочленов
и
.
Решение. Разложим оба многочлена на множители.
Для многочлена
х
х
– 1) по схеме Горнера.
Для многочлена
возможными рациональными корнями будут
числа1,2,3 и6.
С помощью подстановки убеждаемся, чтох
= 1 является корнем. Разделим
многочлен на (х
– 1) по схеме Горнера.
Следовательно,
,
где разложение квадратного трехчлена
было произведено по теореме Виета.
Сравнив разложение многочленов на множители, находим, что искомым НОДом будет многочлен (х – 1)(х – 2).
Аналогично можно находить и НОД для нескольких многочленов.
Тем не менее, метод нахождения НОДа путем разложения на множители доступен не всегда. Способ, позволяющий находить НОД для всех случаев, называется алгоритмом Евклида.
Схема алгоритма Евклида такова. Один из двух многочленов делят на другой, степень которого не выше степени первого. Далее, за делимое всякий раз берут тот многочлен, который служил в предшествующей операции делителем, а за делитель берут остаток, полученный при той же операции. Этот процесс прекращается, как только остаток окажется равным нулю. Покажем этот алгоритм на примерах.
Рассмотрим многочлены, использовавшиеся в двух предыдущих примерах.
Пример 42
Найти НОД многочленов
и
.
Решение.
Разделим
на
«уголком»:
x
Теперь
разделим делитель
на остатокх
– 1:
x
+ 1
Так как последнее деление произошло без остатка, то НОДом будет х – 1, т. е. многочлен, использовавшийся в качестве делителя при этом делении.
Пример 43
Найти НОД многочленов
и
.
Решение
. Для нахождения НОД
воспользуемся алгоритмом Евклида.
Разделим
на
«уголком»:
1
Произведем
второе деление. Для этого пришлось бы
разделить предыдущий делитель
на остаток
,
но так как
=
,
для удобства будем делить многочлен
не на
,
а на
.
От такой замены решение задачи не
изменится, так как НОД пары многочленов
определяется с точностью до постоянного
множителя. Имеем:
Остаток оказался равным нулю, значит, последний делитель, т. е. многочлен
и будет искомым НОДом.
Дробно-рациональные функции
Определения и утверждения к 2.5 можно найти в .
Дробно-рациональной функцией с
действительными коэффициентами
называется выражение вида
,
где
и
‑ многочлены.
Дробно-рациональная функция (в дальнейшем будем называть ее «дробь») называется правильной , если степень многочлена, стоящего в числителе, строго меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае она называетсянеправильной .
Алгоритм приведения неправильной дроби к правильной называется «выделением целой части».
Пример 44
Выделить целую часть дроби:
.
Решение. Для того, чтобы выделить целую часть дроби необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель. Разделим числитель данной дроби на ее знаменатель «уголком»:
Так как степень получившегося многочлена меньше степени делителя, то процесс деления закончен. В итоге:
=
.
Получившаяся в результате дробь
является правильной.
Дробь вида
называется простейшей, если φ(x
)
– неприводимый многочлен, а
степень
меньше степени φ(x
).
Замечание. Обратите внимание, что сравниваются степени числителя и неприводимого многочлена в знаменателе (без учета степени α).
Для дробей с действительными коэффициентами существует 4 вида простейших дробей:
Любая правильная дробь
может быть представлена в виде суммы
простейших дробей, знаменатели которых
есть всевозможные делители
.
Алгоритм разложения дроби на простейшие:
Если дробь – неправильная, то выделяем целую часть, а на простейшие раскладываем получившуюся правильную дробь.
Раскладываем знаменатель правильной дроби на множители.
Записываем правильную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
Приводим к общему знаменателю сумму дробей в правой части.
Находим неопределенные коэффициенты:
Либо приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях у левого и правого приведенных числителей;
Либо подставляя конкретные (как правило корни общего их знаменателя) значения x .
Записываем ответ с учетом целой части дроби.
Пример 45
Разложить на простейшие
.
Решение. Так как данная дробно-рациональная функция является неправильной, выделим целую часть:
1
= 1 +
.
Разложим
получившуюся дробь
на простейшие. Вначале разложим на
множители знаменатель. Для этого найдем
его корни по стандартной формуле:
Запишем разложение дробно-рациональной функции на простейшие, используя неопределенные коэффициенты:
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:
Составляем систему, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой дробей:
Ответ:
.
Пример 46
Разложить на простейшие
.
Решение. Так как данная дробь является правильной (т. е. степень числителя меньше степени знаменателя), выделять целую часть не надо. Разложим знаменатель дроби на множители:.
Запишем разложение данной дроби на простейшие, используя неопределенные коэффициенты:
По утверждению, знаменатели простейших дробей должны бытьвсевозможными делителями знаменателя дроби:
. (2.2) Можно было бы составить систему уравнений, приравняв числители левой и правой дробей, но в данном примере вычисления будут слишком громоздки. Упростить их поможет следующий прием: подставим в числители по очереди корни знаменателя.
При х = 1:
Прих
= ‑1:
Теперь для определения оставшихся коэффициентов А иС достаточно будет приравнять коэффициенты при старшей степени и свободные члены. Их можно найти, не раскрывая скобок:
В левой части первого уравнения стоит
0, так как в числителе левой дроби в
(2.2) нет слагаемого с
,
а в правой дроби у слагаемого с
коэффициентA
+
C
.
В левой части второго уравнения стоит
0, так как в числителе левой дроби в
(2.2) свободный член равен нулю, а у
числителя правой дроби в (2.2) свободный
член равен (‑A
+
B
+
C
+
D
). Имеем:
Ответ:
.
ДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА
§1. Деление многочленов
При делении многочлены представляются в канонической форме и располагаются по убывающим степеням какой-либо буквы, относительно которой определяется степень делимого и делителя. Степень делимого должна быть больше или равна степени делителя.
Результатом деления является единственная пара многочленов – частное и остаток, которые должны удовлетворять равенству:
< делимое > = < делитель > ´ < частное > + < остаток > .
Если многочлен степени n Pn (x ) является делимым,
Многочлен степени m Rk (x )является делителем (n ³ m ),
Многочлен Qn – m (x ) – частное. Степень этого многочлена равна раз-ности степеней делимого и делителя,
А многочлен степени k Rk (x ) является остатком (k < m ).
То равенство
Pn(x) = Fm(x) × Qn – m(x) + Rk(x) (1.1)
должно выполняться тождественно, то есть, оставаться справедливым при любых действительных значениях х.
Ещё раз отметим, что степень остатка k должна быть меньше степени делителя m . Назначение остатка – дополнить произведение многочленов Fm (x ) и Qn – m (x ) до многочлена, равного делимому.
Если произведение многочленов Fm (x ) × Qn – m (x ) дает многочлен, равный делимому, то остаток R = 0. В этом случае говорят, что деление производится без остатка.
Алгоритм деления многочленов рассмотрим на конкретном примере.
Пусть требуется разделить многочлен (5х5 + х3 + 1) на многочлен (х3 + 2).
1. Разделим старший член делимого 5х5 на старший член делителя х3:
Ниже будет показано, что так находится первый член частного.
2. На очередное (поначалу первое) слагаемое частного умножается делитель и это произведение вычитается из делимого:
5х5 + х3 + 1 – 5х2(х3 + 2) = х3 – 10х2 + 1.
3. Делимое можно представить в виде
5х5 + х3 + 1 = 5х2(х3 + 2) + (х3 – 10х2 +
Если в действии (2) степень разности окажется больше или равна степени делителя (как в рассматриваемом примере), то с этой разностью действия, указанные выше, повторяются. При этом
1. Старший член разности х3 делится на старший член делителя х3:
Ниже будет показано, что таким образом находится второе слагаемое в частном.
2. На очередное (теперь уже, второе) слагаемое частного умножается делитель и это произведение вычитается из последней разности
Х3 – 10х2 + 1 – 1 × (х3 + 2) = – 10х2 – 1.
3. Тогда, последнюю разность можно представить в виде
Х3 – 10х2 + 1 = 1 × (х3 + 2) + (–10х2 +
Если степень очередной разности окажется меньше степени делителя (как при повторе в действии (2)), то деление завершено с остатком, равным последней разности.
Для подтверждения того, что частное является суммой (5х2 + 1), подставим в равенство (1.2) результат преобразования многочлена х3 – 10х2 + 1 (см.(1.3)): 5х5 + х3 + 1 = 5х2(х3 + 2) + 1 × (х3 + 2) + (– 10х2 – 1). Тогда, после вынесения общего множителя (х3 + 2) за скобки, получим окончательно
5х5 + х3 + 1 = (х3 + 2)(5х2 + 1) + (– 10х2 – 1).
Что, в соответствии с равенством (1.1), следует рассматривать как результат деления многочлена (5х5 + х3 + 1) на многочлен (х3 + 2) с частным (5х2 + 1) и остатком (– 10х2 – 1).
Указанные действия принято оформлять в виде схемы, которая называется «деление уголком». При этом, в записи делимого и последующих разностей желательно производить члены суммы по всем убывающим степеням аргумента без пропуска.
| |
5х5 +10х2 5х2 + 1
| |
Х3 + 2
–10х2 + 0х – 1
position:relative; z-index:1"> Мы видим, что деление многочленов сводится к последовательному повторению действий:
1) в начале алгоритма старший член делимого, в последующем, старший член очередной разности делится на старший член делителя;
2) результат деления дает очередное слагаемое в частном, на которое умножается делитель. Полученное произведение записывается под делимым или очередной разностью;
3) из верхнего многочлена вычитается нижний многочлен и, если степень полученной разности больше или равна степени делителя, то с нею повторяются действия 1, 2, 3.
Если же степень полученной разности меньше степени делителя, то деление завершено. При этом последняя разность является остатком.
Пример №1
position:absolute;z-index: 9;left:0px;margin-left:190px;margin-top:0px;width:2px;height:27px">
4х2 + 0х – 24х2 ± 2х ± 2
Таким образом, 6х3 + х2 – 3х – 2 = (2х2 – х – 1)(3х + 2) + 2х.
Пример №2
A3b2 + b5
A3b2 a2b3
– a2b3 + b5
± a2b3 ± ab4
Ab4 + b5
– ab4 b5
Таким образом , a5 + b5 = (a + b)(a4 –a3b + a2b2 – ab3 + b4).
Пример №3
| |
Х5 х4у х4 + х3у + х2у2 + ху3 + у4
Х3у2 – у5
Х3у2 ± х2у3
Ху 4 – у 5
Ху 4 – у 5
Таким образом, х5 – у5 = (х – у)(х4 + х3у + х2у2 + ху3 + у4).
Обобщением результатов, полученных в примерах 2 и 3, являются две формулы сокращенного умножения:
(х + а)(х2 n – х2 n –1 a + х2 n –2 a 2 – … + a2n) = х 2n+1 + a2n + 1;
(х – a)(х 2n + х 2n–1 a + х 2n–2 a2 + … + a2n) = х 2n+1 – a2n + 1, где n Î N .
Упражнения
Выполнить действия
1. (– 2х5 + х4 + 2х3 – 4х2 + 2х + 4) : (х3 + 2).
Ответ: – 2х2 + х +2 – частное, 0 – остаток.
2. (х4 – 3х2 + 3х + 2) : (х – 1).
Ответ: х3 + х2 – 2х + 1– частное, 3 – остаток.
3. (х2 + х5 + х3 + 1) : (1 + х + х2).
Ответ: х3 – х2 + х + 1– частное, 2х – остаток.
4. (х4 + х2у2 + у4) : (х2 + ху + у2).
Ответ: х2 – ху + у2– частное, 0 – остаток.
5. (a 3 + b 3 + c 3 – 3 abc ) : (a + b + c ).
Ответ: a 2 – (b + c ) a + (b 2 – bc + c 2 ) – частное, 0 – остаток.
§2. Нахождение наибольшего общего делителя двух многочленов
1. Алгоритм Евклида
Если каждый из двух многочленов делится без остатка на третий, то этот третий многочлен называется общим делителем первых двух.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов называется их общий делитель наибольшей степени.
Заметим, что любое число неравное нулю является общим делителем двух любых многочленов. Поэтому, всякое неравное нулю число называется тривиальным общим делителем данных многочленов.
Алгоритм Евклида предлагает последовательность действий, которая или приводит к нахождению НОД двух данных многочленов, или показывает, что такой делитель в виде многочлена первой или большей степени не существует.
Алгоритм Евклида реализуется в виде последовательности делений. В первом делении многочлен большей степени рассматривается как делимое, а меньшей – как делитель. Если многочлены, для которых находится НОД, имеют одинаковые степени, то делимое и делитель выбираются произвольно.
Если при очередном делении многочлен в остатке имеет степень больше или равную 1, то делитель становится делимым, а остаток – делителем.
Если при очередном делении многочленов получен остаток, равный нулю, то НОД данных многочленов найден. Им является делитель при последнем делении.
Если же при очередном делении многочленов остаток оказывается числом неравным нулю, то для данных многочленов не существует НОД помимо тривиальных.
Пример №1
Сократить дробь 
.
Решение
Найдем НОД данных многочленов, применяя алгоритм Евклида
| |
Х3 + 7х2 + 14х + 8 1
– х2 – 3х – 2
| |
Х3 + 3х2 + 2х – х – 4
3х2 + 9х + 6
3х2 + 9х + 6
| |
position:absolute;z-index: 49;left:0px;margin-left:209px;margin-top:6px;width:112px;height:20px">
font-size:14.0pt;line-height:150%">Ответ:
font-size:14.0pt;line-height:150%"> 2. Возможности упрощения вычислений НОД в алгоритме Евклида
Теорема
При умножении делимого на число не равное нулю частное и остаток умножаются на такое же число.
Доказательство
Пусть P – делимое, F – делитель, Q – частное, R – остаток. Тогда,
P = F × Q + R.
Умножая данное тождество на число a ¹ 0, получим
a P = F × (a Q) + a R,
где многочлен a P можно рассматривать как делимое, а многочлены a Q и a R – как частное и остаток, полученные при делении многочлена a P на многочлен F . Таким образом, при умножении делимого на число a ¹ 0, частное и остаток так же умножаются на a , ч. т.д
Следствие
Умножение делителя на число a ¹ 0 можно рассматривать как умножение делимого на число .
Следовательно, при умножении делителя на число a ¹ 0 частное и остаток умножается на .
Пример №2
Найти частное Q и остаток R при делении многочленов
Font-size:14.0pt;line-height:150%"> Решение
Для перехода в делимом и делителе к целым коэффициентам умножим делимое на 6, что приведет к умножению на 6 искомого частного Q и остатка R . После чего, умножим делитель на 5, что приведет к умножению частного 6 Q и остатка 6 R на . В итоге, частное и остаток, полученные при делении многочленов с целыми коэффициентами, в раз будут отличаться от искомых значений частного Q и остатка R , полученных при делении данных многочленов.
| |
| |
12у4 ± 18ху3 30х2у2 6у2 – 2ху – 9х2 =
– 4ху3 – 12х2у2 – 11х3у + 3х4
± 4ху3 6х2у2 ± 10х3у
– 18х2у2 – х3у + 3х4
± 18х2у2 27х3у ± 45х4
– 28х3у + 48х4 = font-size:14.0pt;line-height:150%">Следовательно, ;
Ответ:
, 
.
Заметим, что если наибольший общий делитель данных многочленов найден, то, умножая его на любое число, не равное нулю, мы также получим наибольший делитель этих многочленов. Это обстоятельство дает возможность упрощать вычисления в алгоритме Евклида. А именно, перед очередным делением делимое или делитель можно умножать на числа, подобранные специальным образом так, чтобы коэффициент первого слагаемого в частном был числом целым. Как показано выше, умножение делимого и делителя приведет к соответствующему изменению частного остатка, но такому, что в итоге НОД данных многочленов умножится на некоторое равное нулю число, что допустимо.
Пример №3
Сократить дробь 
.
Решение
Применяя алгоритм Евклида, получим
| |
Х4 х3 ± 3х2 font-size:14.0pt; line-height:150%"> 4 1
2х3 + 6х2 + 3х – 2
font-size:14.0pt; line-height:150%">2) 2(х4 + х3 – 3х2 + 4) = 2х4 + 2х3 – 6х2 + 8 2х3 + 6х2 + 3х – 2
2х4 6х3 3х2 ± 2х х – 2
– 4х3 – 9х2 + 2х + 8
± 4х3 ± 12х2 ± 6х font-size:14.0pt; line-height:150%">4
3х2 + 8х + 4
| |
| |
6х3 font-size:14.0pt">16х2 font-size:14.0pt">8х 2х +
1. Алгоритм Евклида
Если каждый из двух многочленов делится без остатка на третий, то этот третий многочлен называется общим делителем первых двух.
Наибольшим общим делителем (НОД) двух многочленов называется их общий делитель наибольшей степени.
Заметим, что любое число неравное нулю является общим делителем двух любых многочленов. Поэтому, всякое неравное нулю число называется тривиальным общим делителем данных многочленов.
Алгоритм Евклида предлагает последовательность действий, которая или приводит к нахождению НОД двух данных многочленов, или показывает, что такой делитель в виде многочлена первой или большей степени не существует.
Алгоритм Евклида реализуется в виде последовательности делений. В первом делении многочлен большей степени рассматривается как делимое, а меньшей - как делитель. Если многочлены, для которых находится НОД, имеют одинаковые степени, то делимое и делитель выбираются произвольно.
Если при очередном делении многочлен в остатке имеет степень больше или равную 1, то делитель становится делимым, а остаток - делителем.
Если при очередном делении многочленов получен остаток, равный нулю, то НОД данных многочленов найден. Им является делитель при последнем делении.
Если же при очередном делении многочленов остаток оказывается числом неравным нулю, то для данных многочленов не существует НОД помимо тривиальных.
Пример №1
Сократить дробь.
2. Возможности упрощения вычислений НОД в алгоритме Евклида
При умножении делимого на число не равное нулю частное и остаток умножаются на такое же число.
Доказательство
Пусть P - делимое, F - делитель, Q - частное, R - остаток. Тогда,
Умножая данное тождество на число 0, получим
где многочлен P можно рассматривать как делимое, а многочлены Q и R - как частное и остаток, полученные при делении многочлена P на многочлен F. Таким образом, при умножении делимого на число 0, частное и остаток так же умножаются на, ч.т.д
Следствие
Умножение делителя на число 0 можно рассматривать как умножение делимого на число.
Следовательно, при умножении делителя на число 0 частное и остаток умножается на.
Пример №2
Найти частное Q и остаток R при делении многочленов
деление многочлен алгоритм евклид
Для перехода в делимом и делителе к целым коэффициентам умножим делимое на 6, что приведет к умножению на 6 искомого частного Q и остатка R. После чего, умножим делитель на 5, что приведет к умножению частного 6Q и остатка 6R на. В итоге, частное и остаток, полученные при делении многочленов с целыми коэффициентами, в раз будут отличаться от искомых значений частного Q и остатка R, полученных при делении данных многочленов.
Следовательно, ;
Заметим, что если наибольший общий делитель данных многочленов найден, то, умножая его на любое число, не равное нулю, мы также получим наибольший делитель этих многочленов. Это обстоятельство дает возможность упрощать вычисления в алгоритме Евклида. А именно, перед очередным делением делимое или делитель можно умножать на числа, подобранные специальным образом так, чтобы коэффициент первого слагаемого в частном был числом целым. Как показано выше, умножение делимого и делителя приведет к соответствующему изменению частного остатка, но такому, что в итоге НОД данных многочленов умножится на некоторое равное нулю число, что допустимо.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Многочлен представляет собой алгебраическую сумму произведений чисел, переменных и их степеней. Преобразование многочленов обычно включает два вида задач. Выражение требуется либо упростить, либо разложить на множители, т.е. представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов или одночлена и многочлена.
Чтобы упростить многочлен, приведите подобные слагаемые. Пример. Упростите выражение \ Найдите одночлены с одинаковой буквенной частью. Сложите их. Запишите полученное выражение: \ Вы упростили многочлен.
В задачах, которые требуют разложения многочлена на множители, определите общий множитель данного выражения. Для этого сначала вынесите за скобки те переменные, которые входят в состав всех членов выражения. Причем эти переменные должны иметь наименьший показатель. Затем вычислите наибольший общий делитель каждого из коэффициентов многочлена. Модуль полученного числа будет коэффициентом общего множителя.
Пример. Разложите на множители многочлен \ Вынесите за скобки \ т.к. переменная m входит в каждый член данного выражения и ее наименьший показатель равен двум. Вычислите коэффициент общего множителя. Он равен пяти. Таким образом, общий множитель данного выражения равен \ Отсюда: \
Где можно решить уравнение многочлена онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
