Как решать кубические уравнения. Как решить кубическое уравнение без свободного члена

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое "квадратное неравенство"? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠ ), получится квадратное неравенство. Например:

1. x 2 -8x+12 ≥ 0

2. -x 2 +3x > 0

3. x 2 ≤ 4

Ну, вы поняли...)

Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине - неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.

Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c , справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

В кубическом уравнении наивысшим показателем степени является 3, у такого уравнения 3 корня (решения) и оно имеет вид . Некоторые кубические уравнения не так просто решить, но если применить правильный метод (при хорошей теоретической подготовке), можно найти корни даже самого сложного кубического уравнения - для этого воспользуйтесь формулой для решения квадратного уравнения, найдите целые корни или вычислите дискриминант.

Шаги

Как решить кубическое уравнение без свободного члена

Выясните, есть ли в кубическом уравнении свободный член d {\displaystyle d} . Кубическое уравнение имеет вид a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} . Чтобы уравнение считалось кубическим, достаточно, чтобы в нем присутствовал только член x 3 {\displaystyle x^{3}} (то есть других членов может вообще не быть).

Вынесите за скобки x {\displaystyle x} . Так как в уравнении нет свободного члена, каждый член уравнения включает переменную x {\displaystyle x} . Это означает, что один x {\displaystyle x} можно вынести за скобки, чтобы упростить уравнение. Таким образом, уравнение запишется так: x (a x 2 + b x + c) {\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)} .

Разложите на множители (на произведение двух биномов) квадратное уравнение (если возможно). Многие квадратные уравнения вида a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} можно разложить на множители . Такое уравнение получится, если вынести x {\displaystyle x} за скобки. В нашем примере:

Решите квадратное уравнение с помощью специальной формулы. Сделайте это, если квадратное уравнение нельзя разложить на множители. Чтобы найти два корня уравнения, значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} подставьте в формулу .

• В нашем примере подставьте значения коэффициентов a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} ( 3 {\displaystyle 3} , − 2 {\displaystyle -2} , 14 {\displaystyle 14} ) в формулу: − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) {\displaystyle {\frac {-(-2)\pm {\sqrt {((-2)^{2}-4(3)(14)}}}{2(3)}}} 2 ± 4 − (12) (14) 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {4-(12)(14)}}}{6}}} 2 ± (4 − 168 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {(4-168}}}{6}}} 2 ± − 164 6 {\displaystyle {\frac {2\pm {\sqrt {-164}}}{6}}}
• Первый корень: 2 + − 164 6 {\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {-164}}}{6}}} 2 + 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2+12,8i}{6}}}
• Второй корень: 2 − 12 , 8 i 6 {\displaystyle {\frac {2-12,8i}{6}}}

1. Используйте ноль и корни квадратного уравнения в качестве решений кубического уравнения. У квадратных уравнений два корня, а у кубических - три. Два решения вы уже нашли - это корни квадратного уравнения. Если же вы вынесли «х» за скобки, третьим решением будет .

   Как найти целые корни с помощью множителей

   1. Удостоверьтесь, что в кубическом уравнении есть свободный член d {\displaystyle d} . Если в уравнении вида a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} есть свободный член d {\displaystyle d} (который не равен нулю), вынести «х» за скобки не получится. В данном случае воспользуйтесь методом, изложенным в этом разделе.

      Выпишите множители коэффициента a {\displaystyle a} и свободного члена d {\displaystyle d} . То есть найдите множители числа при x 3 {\displaystyle x^{3}} и числа перед знаком равенства. Напомним, что множителями числа являются числа, при перемножении которых получается это число.

      Разделите каждый множитель a {\displaystyle a} на каждый множитель d {\displaystyle d} . В итоге получится множество дробей и несколько целых чисел; корнями кубического уравнения будет одно из целых чисел или отрицательное значение одного из целых чисел.

      • В нашем примере разделите множители a {\displaystyle a} (1 и 2 ) на множители d {\displaystyle d} (1 , 2 , 3 и 6 ). Вы получите: 1 {\displaystyle 1} , , , , 2 {\displaystyle 2} и . Теперь в этот список добавьте отрицательные значения полученных дробей и чисел: 1 {\displaystyle 1} , − 1 {\displaystyle -1} , 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} , − 1 2 {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} , 1 3 {\displaystyle {\frac {1}{3}}} , − 1 3 {\displaystyle -{\frac {1}{3}}} , 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} , − 1 6 {\displaystyle -{\frac {1}{6}}} , 2 {\displaystyle 2} , − 2 {\displaystyle -2} , 2 3 {\displaystyle {\frac {2}{3}}} и − 2 3 {\displaystyle -{\frac {2}{3}}} . Целыми корнями кубического уравнения являются какие-то числа из этого списка.

   2. Подставьте целые числа в кубическое уравнение. Если при этом равенство соблюдается, подставленное число является корнем уравнения. Например, подставьте в уравнение 1 {\displaystyle 1} :

      Воспользуйтесь методом деления многочленов по схеме Горнера , чтобы быстрее найти корни уравнения. Сделайте это, если не хотите вручную подставлять числа в уравнение. В схеме Горнера целые числа делятся на значения коэффициентов уравнения a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} и d {\displaystyle d} . Если числа делятся нацело (то есть остаток равен ), целое число является корнем уравнения.

Число е является важной математической константой, которая является основой натурального логарифма. Число е примерно равно 2,71828 с пределом (1 + 1/n )n при n , стремящемся к бесконечности.

Введите значение х, чтобы найти значение экспоненциальной функции ex

Для вычисления чисел с буквой E используйте калькулятор преобразования экспоненциального числа в целое число

Сообщитьоб ошибке

‘; setTimeout(function() { $(‘form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first’).css({‘display’:’inline-block’}); $(«#boxadno»).remove(); $(‘form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first’).click(); $(‘form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first’).css({‘display’:’none’}); $(‘form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first’).parent().prepend(»); }, 32000); } Вам помог этот калькулятор?
Поделитесь этим калькулятором со своими друзьями на форуме или в сети.

Тем самым Вы поможете Нам в разработке новых калькуляторов и доработке старых.

Калькулятор алгебры Расчет

Число e является важной математической константой, лежащей в основе натурального логарифма.

0,3 при мощности x, умноженной на 3 по мощности x, одинаковы

Число е составляет приблизительно 2,71828 с пределом (1 + 1 / n) n для n, которое стремится к бесконечности.

Это число также называется числом Эйлера или числом Непера.

Экспоненциальная — экспоненциальная функция f (x) = exp (x) = ex, где e — число Эйлера.

Введите значение x, чтобы найти значение экспоненциальной функции ex

Вычисление значения экспоненциальной функции в сети.

Когда число Эйлера (e) поднимается до нуля, ответ равен 1.

Когда вы поднимаете до уровня больше одного, ответ будет больше, чем исходный. Если скорость больше нуля, но меньше 1 (например, 0,5), ответ будет больше 1, но меньше оригинала (отметка E). Когда показатель возрастает до отрицательной мощности, 1 нужно разделить на число е на заданную мощность, но со знаком «плюс».

Определения

экспонент Это экспоненциальная функция y (x) = e x, производная которой совпадает с самой функцией.

Показатель отмечен как, или.

Номер e

Основанием экспоненты является число е.

Это иррациональное число. Это примерно то же самое
е ≈ 2,718281828459045 …

Число e определяется за границей последовательности. Это, так называемый, другой исключительный предел:
.

Число e также может быть представлено в виде ряда:
.

График экспонент

На графике показан показатель степени, е в стадии х .
y (x) = ex
График показывает, что он монотонно возрастает экспоненциально.

формула

Основные формулы те же, что и для экспоненциальной функции с базой уровня e.

Выражение экспоненциальных функций с произвольным базисом а в смысле экспоненты:
.

также отдел "Экспоненциальная функция" >>>

Частные ценности

Пусть y (x) = e x.

5 к мощности x и равна 0

Экспоненциальные свойства

Показатель имеет свойства экспоненциальной функции с базисом степени е > первый

Поле определения, набор значений

Для x определяется показатель y (x) = e x.
Его объем:
— ∞ < x + ∞.
Его значение:
0 < Y < + ∞.

Крайности, увеличение, уменьшение

Экспонента является монотонной возрастающей функцией, поэтому она не имеет экстремумов.

Его основные свойства показаны в таблице.

Обратная функция

Обратный показатель является естественным логарифмом.
;
.

Производные показателей

производное е в стадии х Это е в стадии х :
.
Производный N-порядок:
.
Выполнение формул > > >

интеграл

также отдел "Таблица неопределенных интегралов" >>>

Комплексные номера

Операции с комплексными числами выполняются с помощью Формула Эйлера :
,
где мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

Выражения через тригонометрические функции

Расширение степенных рядов

Когда x равно нулю?

Обычный или онлайн-калькулятор

Обычный калькулятор

Стандартный калькулятор дает вам простые операции в калькуляторе, такие как добавление, вычитание, умножение и деление.

Вы можете использовать быстрый математический калькулятор

Научный калькулятор позволяет выполнять более сложные операции, а также калькулятор, такой как синус, косинус, инверсный синус, обратный косинус, который касается, тангенс, показатель экспоненты, показатель, логарифм, интерес, а также бизнес в веб-калькуляторе памяти.

Вы можете вводить непосредственно с клавиатуры, сначала нажмите на область с помощью калькулятора.

Он выполняет простые операции с числами, а также более сложные, такие как
математический калькулятор онлайн .
0 + 1 = 2.
Вот два калькулятора:

1. Вычислить первое как обычно
2. Другой вычисляет его как инженерное

Правила применяются к калькулятору, рассчитанному на сервере

Правила ввода терминов и функций

Зачем мне этот онлайн-калькулятор?

Онлайн-калькулятор — как он отличается от обычного калькулятора?

Во-первых, стандартный калькулятор не подходит для транспорта, а во-вторых — теперь интернет практически повсюду, это не означает, что есть проблемы, зайдите на наш сайт и используйте веб-калькулятор.
Онлайн-калькулятор — как он отличается от java-калькулятора, а также от других калькуляторов для операционных систем?

— снова — мобильность. Если вы находитесь на другом компьютере, вам не нужно его переустанавливать
Итак, используйте этот сайт!

Выражения могут состоять из функций (запись в алфавитном порядке):

абсолютный (x) Абсолютное значение х
(модуль х или | x | ) arccos (x) Функция — аркоксин из х arccosh (x) Арксозин является гиперболическим из х arcsin (x) Отдельный сын х arcsinh (x) HyperX гиперболический х arctg (x) Функция — арктангенс из х arctgh (x) Арктангенс является гиперболическим х е е число — около 2,7 exp (x) Функция — показатель х (как е ^х ) log (x) или ln (x) Естественный логарифм х
(Да log7 (x) , Необходимо ввести log (x) / log (7) (или, например, для log10 (x) = log (x) / log (10)) пи Число «Pi», которое составляет около 3,14 sin (x) Функция — Синус х cos (x) Функция — Конус от х sinh (x) Функция — Синус гиперболический х cosh (x) Функция — косинус-гиперболический х sqrt (x) Функция представляет собой квадратный корень из х sqr (x) или x ^ 2 Функция — квадрат х tg (x) Функция — Тангенс от х tgh (x) Функция — касательная гиперболическая от х cbrt (x) Функция представляет собой кубический корень х почва (х) Функция округления х на нижней стороне (пример почвы (4.5) == 4.0) символ (x) Функция — символ х erf (x) Функция ошибки (Лаплас или интеграл вероятности)

Следующие операции можно использовать в терминах:

Реальные числа введите в форму 7,5 , не 7,5 2 * x — умножение 3 / x — разделение x ^ 3 — eksponentiacija x + 7 — Кроме того, x — 6 — обратный отсчет

Скачать PDF

Показательные уравнения – это уравнения вида

x -неизвестный показатель степени,

a иb – некоторые числа.

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:

Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:

Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени

Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:

Разделим обе части уравнения на

Обратная замена:

Ответ: x=0.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:

Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:

Замена:

Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

– подходит, т.к.

равенство выполняется.
– подходит, т.к.

Как решить? e^(x-3) = 0 е в степени х-3

равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Не подходит, т.к.

Правая часть равна 1, т.к.

Отсюда:

Решите уравнение:

Замена: , тогда

Обратная замена:

1 уравнение:

если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то

2 уравнение:

Логарифмируем обе части по основанию 2:

Показатель степени встаёт перед выражение, т.к.

Левая часть равна 2x, т.к.

Отсюда:

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:

Перемножаем степени по формуле:

Упростим: по формуле:

Представим в виде :

Замена:

Переведём дробь в неправильную:

a2 -не подходит, т.к.

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:

Если

Ответ: x=20.

Решите уравнение:

О.Д.З.

Преобразуем левую часть по формуле:

Замена:

Вычисляем корень из дискриминанта:

a2-не подходит, т.к.

а не принимает отрицательные значения

Приводим к общему основанию:

Если

Возводим в квадрат обе части:

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

Вернутся к темам

Перевод большой статьи «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e»

Число e всегда волновало меня - не как буква, а как математическая константа.

Что число е означает на самом деле?

Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:

Математическая константа е является основанием натурального логарифма.

Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:

Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.

Определения, конечно, правильные.

Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).

С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е , и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!

Число е – это не просто число

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» - это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…».

Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи - это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей . Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д.

Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других.

Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1).

Дано уравнение: е в степени х = 0. Чему равен х?

И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени.

Например:

• Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
• Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
• Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале.

Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

Другими словами, удвоение – это 100% рост.

Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%)x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента.

Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост)x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год.

На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков.

Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

В следующий статье мы посмотрим на пример экспоненциального роста ваших денег.